УДК 533.6.011.8:535.375.5 ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА В КАНАЛЕ В ПОЛЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ И.В. Чермянинов, В.Г. Черняк, Е.П. Хинкина Уральский государственный университет, г. Екатеринбург Рассматриваются процессы тепло- и массопереноса разреженного газа в плоском канале в поле лазерного излучения. Задача решается на основе линеаризованных кинетических уравнений с модельным интегралом столкновений 3-го порядка, позволяющим корректно описать одновременно светоиндуцированные потоки массы газа и тепла. Исследованы поверхностный и столкновительный механизмы светоиндуцированных потоков при произвольных числах Кнудсена (Kn) для однородного и неоднородного уширений линии поглощения. При больших и малых числах Kn получены аналитические выражения для осредненных по сечению канала потоков массы газа и тепла. Ключевые слова Газ, тепломассоперенос, канал, излучение, аккомодация. Условные обозначения – однородная m – постоянная радиационного распада возбужденного уровня, Гц; полуширина линии поглощения, Гц; E – амплитуда электрического поля, В/м; Gmn – частота Раби, Гц; I – плотность числового потока газа, 1/м2с; Pxz – касательное напряжение, Н/м2; Q – плотность теплового потока, Дж/м2с; T – средняя температура газа, К; U – макроскопическая скорость газа, м/с; kB – постоянная Больцмана, Дж/К; h – постоянная Планка, Дж.с; n – плотность молекул, м-3; m – масса молекулы, кг; p – давление газа, Па; v – средняя скорость теплового движения частиц, м/с; – расстройка частоты излучения относительно резонанса, с-1; – длина волны излучения, м; – эффективный диаметр молекулы, м2. Введение Известно [1], что в газовой смеси, в которой молекулы одного из компонентов поглощают излучение селективно по скоростям, возникают поток поглощающего газа и тепловой поток. В неограниченной среде вследствие закона сохранения импульса светоиндуцированный дрейф (СИД) возможен лишь при наличии буферного газа. Светоиндуцированный теплоперенос (СИТ) возможен и в однокомпонентном газе. В ограниченных системах возникают новые механизмы явлений переноса, стимулирующие светоиндуцированные потоки газа и тепла. В работе [2] предсказан теоретически и исследован экспериментально поверхностный СИД однокомпонентного газа. Этот механизм обусловлен разным взаимодействием возбужденных и невозбужденных молекул с граничной поверхностью, которая в рассматриваемом случае выполняет функции буферного газа. В работе [3] предсказан так называемый столкновительный механизм СИД однокомпонентного газа вблизи граничной поверхности. Природа этого явления состоит в том, что кинетические сечения столкновений возбужденных и невозбужденных частиц отличаются друг от друга. Как правило, при возбуждении частиц их сечения столкновений увеличиваются, а значит, уменьшается средняя длина свободного пробега. Тогда эффективная толщина пристеночного кнудсеновского слоя для макроскопического потока возбужденных частиц будет больше, чем для противонаправленного потока невозбужденных частиц газа. В результате эти потоки не компенсируют друг друга, как это происходит в безграничной среде в соответствии с законом сохранения импульса. Вдоль граничной поверхности возникает поток газа как целого, направленный в сторону движения невозбужденных частиц. СИД однокомпонентного газа в плоском канале изучался в [4,5] во всем диапазоне чисел Кнудсена (Kn) и в [6] при малых числах (Kn 0,25). Учитывались оба описанных выше механизма: поверхностный и столкновительный. В [4] использовался интегрально-моментный метод решения кинетического уравнения с аппроксимирующим интегралом столкновений второго порядка [7]. В [5] представлены результаты расчета скорости СИД методом дискретных ординат на основе этого же кинетического уравнения. В [6] получено выражение для скорости СИД с использованием дифференциальномоментного метода решения уравнения Больцмана при малых числах Kn. В данной работе рассматривается не только СИД, но и сопутствующий ему светоиндуцированный поток тепла в плоском канале. В отличие от [4,5] используются кинетические уравнения с аппроксимирующими интегралами столкновений третьего порядка, которые корректно описывают процессы тепло- и массопереноса одновременно. Постановка задачи 1. Рассмотрим однокомпонентный газ, заключенный между бесконечными параллельными пластинами, которые расположены в плоскостях X=±d/2 , где d — расстояние между пластинами. Вдоль оси z, совпадающей с осью канала, распространяется электромагнитное излучение, частота которого близка к частоте mn перехода частиц газа из основного состояния «n» в возбужденное «m». Вследствие эффекта Доплера излучение поглощают лишь те частицы, скорости которых близки к резонансному значению vp=Ω/k, где = – mn<< , mn , k=2π/λ — волновое число. Поглотившие свет частицы изменяют свои кинетические сечения столкновений. Одновременно с вынужденными переходами происходит конкурирующий процесс — радиационный распад возбужденного уровня с частотой m . Таким образом, в двухуровневом приближении газовую среду можно рассматривать как бинарную смесь газов, молекулы которых имеют одинаковые массы m, но различные сечения столкновений. При этом обмен частицами между компонентами происходит в результате радиационного распада возбужденного уровня и индуцированных переходов. Состояние такой газовой смеси описывается функциями распределения возбужденных f m и невозбужденных f n молекул, которые удовлетворяют следующим кинетическим уравнениям [8]: vx fn X 1 2 r v()(f fn ) m m vx fm X 1 2 r v()(f fm) m m f Sn , f Sm , (1) r v() 2 |mn 4| G m r r,G kv) ] Ed mn . 2h mn r Здесь Sm, Sn - интегралы столкновений, k - волновой вектор падающей волны. Параметр насыщения v( ) характеризует вероятность индуцированных переходов и является функцией скорости частиц. При этом в случае оптически тонкой среды или на сравнительно небольших расстояниях скорость дрейфа можно считать независящей от координаты z. Интенсивность излучения также предполагается однородной по высоте канала. В качестве граничных условий используем модель зеркально-диффузного отражения, согласно которой доля1( i ) частиц i-сорта отражается зеркально, а доля i - рассеивается диффузно с максвелловским распределением по скоростям. Пренебрегая неупругими столкновениями частиц с поверхностью канала, имеем: d 2 f v, X 0 /32 m ir ir i f ir exp BT 1 i (2) d v,x 0 , 2 fi X v2 ; 2 v v 2kB T m /12 , где n ir — числовая плотность рассеянных стенкой частиц в i-состоянии. Кроме того, если аккомодационные свойства поверхностей пластин одинаковы, то выполняются следующие условия симметрии: d 2 f v, X d 2 fv X , 0 0 fi X fi X d ,x 0 , v 2 (3) d ,x 0 . v 2 Если параметр насыщения в среднем мал ( <<1) то состояние каждого компонента газа является слабонеравновесным. В этом случае в приближении слабого поля функции распределения для частиц газа могут быть представлены в виде возмущенных максвелловских распределений: i0 1 r hi X, v , fi0 ni 2 k BT m /32 exp v v2 2 n, m. (4) где hi — неизвестные функции возмущения, ni — равновесная числовая плотность частиц газа в i-м состоянии. Будем полагать, что столкновения молекул являются упругими, а каждая из частот ii , ij ( ii , ij - частоты столкновений частиц i-го сорта соответсвенно между собой и с частицами j-го сорта) много больше постоянной радиационного распада i m m ii i, j = n, m , ,1 i m, т.е. j (5) ij Это накладывает некоторые ограничения на минимальное давление газа в канале. С учетом принятых предположений кинетические уравнения (1), линеаризованные относительно функций возмущения hi (4) и параметров )i(m (5), с использованием аппроксимирующих интегралов столкновений третьего порядка [7], после обезразмеривания принимают следующий вид: hi ch, i x cx z (6) i где i 2 im 2 1 ix 4 5 4 5 2 c2 i i i u 3 ij ixz 1 4 ij 6 ii /32 iz /32 5 2 2 i i i ex H 5 ij 2 ii Pixz r c 2 dc . 2 n ij n ij ixz z Здесь H uj c 2 dc , c exp h Qi H jxz i vi v i u ij u 6 5 ij v v Hi 2 ij ii Ui u ij 5 ii d X , d x r 3 ii ii 1 c z p2i ; n ii n ii ij /32 ii , ij h exp c 2 dc , c zxi (7) — параметр разреженности газа, обратно пропорциональный числу Kn. Вы- ражения для частот )n( ij , зависящих от вида потенциала межмолекулярного взаимо- действия, приведены в [7]. Граничные условия (2) и условия симметрии (3) для функций возмущения с учетом линеаризации (4) принимают вид: 1x 2 1 2 h c, xh c, xhc, 1 2 0 0 1 0 hi x hi x i hi x 1 c, 0 , 2x 1 c, 0 . 2x 1 , 0 , xc 2 (8) Коэффициенты личны ( m n). i для возбужденных и невозбужденных атомов в общем случае раз- Решение кинетических уравнений 2. Записав кинетические уравнения (6) в интегральной форме с учетом условий (8) и подставив полученные выражения для функций возмущения hi в соотношения (7), получим систему интегрально-моментных уравнений для парциальных скоростей, напряжений и плотностей потоков тепла. Эта система определяет локальные значения макроскопических величин. Но практический интерес представляют числовой поток I (СИД) и плотность потока тепла Q (СИТ), осредненные по сечению канала: /12 nIU I I v n m u m dx , nnun (9) /12 /12 Q kTv nnHn n m H m dx . (10) /12 ~ Для численных расчетов удобно ввести безразмерные величины ,G ные с размерными потоками следующими соотношениями: m I 2 k vc)( G ,G r ~ exp( Q c2z )dc z m 2 ~ и ,SS связан- ~ S ,S (11) . Полученные уравнения для макроскопических скоростей, касательных напряжений и потоков тепла представляют собой линейные интегральные уравнения фредгольмовского типа второго рода. Для их решения воспользуемся методом Бубнова–Галеркина (БГ) [9]. Выберем бесконечную последовательность координатных функций (1, x, x2, x3,…, xk,…) и представим неизвестные величины в интегральных уравнениях в виде разложения в степенной ряд по этим функциям. В N-приближении имеем: N i 1N 0k i() 2 k xk , N ixz 1N 1k bi()xk 2 k 1 , H iN 1N ci()xk 2( k 1) , i m, n (12) 1k В этих выражениях учтены условия симметрии задачи, в соответствии с которыми величины ui, Hi должны быть четными, а величины ixz - нечетными функциями коориз требодинаты x. Неизвестные коэффициенты разложений i()k bi)(,kci() определяются k вания, чтобы невязки, которые получаются из интегральных уравнений после подстаN N , H N вместо ,u новк , H , были ортогональны к каждой из координатных и i ixz i ix i функций. В работе [5] показано, что уже второе приближение (N=2) обеспечивает удовлетворительную точность результатов во всем диапазоне чисел Kn. Расхождение результатов расчета скорости СИД методом Бубнова–Галеркина при N=2 и методом дискретных ординат с заданной точностью 1% максимально при Kn 0,04 и не превышает 18%. Поэтому ограничимся расчетами во втором приближении (N=2). Экспериментально установлено, что относительное различие эффективных диаметров возбужденных m и невозбужденных n частиц (атомов и молекул) составляет порядка 1%. Кроме того, для реальных поверхностей коэффициенты аккомодации i близки к единице. Таким образом, в теории появляются два малых параметра nm ,1 1 n 1. i (13) n В линейном по этим параметрам приближении имеем: G ~ , G , n S n ~ , S n , (14) .mn n Кинетические коэффициенты G1, G3, S1, S3 и G2, G4, S2, S4, характеризуют вклад в величины СИД и СИТ поверхностного и столкновительного механизмов соответственно. Для численных расчетов удобно задавать не число Кнудсена, а параметр разреженности δ= /(2Kn) При промежуточных числах Kn был проведен численный расчет кинетических коэффициентов для молекулярной модели твердых сфер. Результаты показаны на рис. 1– 3. В предельных случаях почти свободномолекулярного ( <<1) режима и режима со скольжением ( >>1) получены аналитические выражения для этих коэффициентов. При <<1, пренебрегая членами порядка и выше, имеем: ln 2G 1,5042 ... , ln S 4 G 4.0084 ... , S 1, G1 S2 1 nn 3 4 1 1 5 1 21 2 1 2 1 nn 5 1 21 2 S3 2, 1 При >>1 с точностью до членов порядка 1 G3 G1 , ... , G2 2 S4 0, S4 (15) G2 . , получаем: 1 ... , G4 1 nn 1 2 1 1 5 1 21 2 4 1 nn 5 1 21 2 1 ... , ... , (16) (17) 1 3. 2 nn 5 nn 2 nn 1 nn 2 4 nn 3 nn 3 , 4 1 nn 5 nn . Обсуждение результатов Решение кинетического уравнения соответствует качественному выводу о том, что СИД однокомпонентного газа возможен только в ограниченных системах, в то время как СИТ имеет место и в безграничном газе. Из выражения (17) в гидродинамическом пределе ( →∞) получаем следующую формулу для плотности теплового потока: Q 3 2 ( vp m 13nn 2 5 2 5() )1( nn 5 2 ) )1( nn 2() nn )2( 1 2() nn (18) n nn Заметим, что формула (18) в точности совпадает с выражением для плотности теплового потока, которое получается из решения кинетического уравнения для безграничного пространственно–однородного газа. В случае типичного для разреженных газов неоднородного уширения ( <<k v ) в числителе и знаменателе выражения (18) можно пренебречь членами пропорциональными частоте 2() nn , так как 1 0,07 и лового потока заметно упрощается 3vp Q |G 5() nn k v mn | 2 0,1. При этом выражение для плотности теп- 2 (19) , n В случае однородного уширения ( >>k v ) имеем 3=3 1/2 и, следовательно, СИТ является эффектом второго порядка, пропорциональном частоте )2( ij , (порядка эффек- та Дюфура). Отсюда, в частности, следует, что аппроксимирующий интеграл столкновений второго порядка [7], который не содержит члены порядка )2( ij , не дает коррект- ного описания явления СИТ. Более того, во втором приближении интеграла столкновений при однородном уширении явление СИТ в безграничном газе не существует. Кинетические коэффициенты G1, G3 и S1, S3, характеризующие поверхностный механизм дрейфа и теплопереноса соответственно, являются знакопостоянными функциями параметра разреженности δ (рис. 1–3). Поэтому направление поверхностных составляющих СИД и СИТ определяется знаками разности коэффициентов аккомодации возбужденных и невозбужденных частиц = n– m и отстройки частоты Ω. Если n> m, то направление поверхностной составляющей СИД при Ω>0 совпадает с направлением распространения света, а при Ω<0 — противоположно ему. Простого объяснения явлению поверхностного СИТ найти не удалось. Выяснилось, что при малых числах Кнудсена — это эффект порядка Kn2, т.е. в рамках метода Чепмена–Энскога он может быть зафиксирован только в барнеттовском приближении. Поверхностный СИТ направлен противоположно поверхностному СИД при всех числах Kn. Это связано с тем, что СИТ определяется разностью между потоками энергии и энтальпии. Оба направлены в ту же сторону, что и СИД, но в случае поверхностного СИТ поток энтальпии по модулю больше потока энергии. 0 .4 G1 12 G2 0 .2 10 3 0 .0 8 -0 .2 6 -0 .4 -0 .6 1 2 4 1 -0 .8 3 2 2 -1 .0 0 -3 -2 -1 0 1 lg -3 -2 -1 0 1 lg Рис.1. Зависимость кинетических коэффициентов G1 и G2 от параметра разреженности δ. 1 – численный расчет, 2 – формулы (15), 3 – формулы (16). Кинетические коэффициенты G2, G4 и S2,S4 определяют столкновительный механизм дрейфа и теплопереноса, соответственно. Зависимость коэффициента G2 от параметра разреженности δ представлена на рис. 1. Видно, что G2 является знакопеременной функцией δ. Смена знака происходит при inv 0,9. Отсюда следует, что в промежуточном режиме существует инверсное значение давления газа, при котором происходит изменение направления СИД на противоположное. Кроме этого, направление столкновительного СИД определяется знаками отстройки Ω и разности диаметров возбужденных и невозбужденных молекул Δσ. Например, при inv и Δσ>0 столкновительный СИД направлен против распространения излучения, если Ω>0, и в противоположную сторону, если Ω<0. Столкновительный СИТ во всем диапазоне чисел Kn при Ω>0, Δσ>0 направлен в сторону распространения излучения, если Ω<0 – то в противоположную сторону. На рис. 1 также видно, что при inv коэф0.00 фициент G2 достигает максимального значения -0.02 1 G при δ≈3,5 и стремится к нулю как при даль-0.04 нейшем увеличении параметра разреженности. В G почти свободномолекулярном режиме при δ→0 -0.06 величина G2 стремится к постоянному значению -0.08 G2=–1. Кажущаяся парадоксальность этого результата связана с вырожденной геометрией кана-0.10 ла. В бесконечно широком канале свободномоле-3 -2 -1 0 1 lg кулярный режим недостижим. В случае капилляра Рис.2.Зависимость кинетических круглого поперечного сечения в свободномолекукоэффициентов G3 и G4 от лярном режиме происходит «выключение» столкпараметра разреженности δ. новительного СИД (G2=0) [10]. Зависимость кинетических коэффициентов G3 и G4 от параметра разреженности δ показана на рис. 2. Заметим, что эти коэффициенты появляются при использовании модельных интегралов столкновений высших порядков, начиная с третьего [7]. Они про4 3 порциональны частоте )2( nn и, как правило, имеют второй порядок малости по отноше- нию к величинам коэффициентов G1 и G2, за исключением узкой области значений параметра kv, inv , где G2≈0. При неоднородном уширении ( <<k v ), когда 3/ 1 вкладом в СИД коэффициентов G3 и G4 можно пренебречь. В этом случае вклад коэффициентов S3 и S4 в величину СИТ также пренебрежимо мал, порядка k v . Однако при однородном уширении ( >>k v ) все кинетические коэффициенты S1, S2, S3, S4 дают вклад в величину СИТ одного порядка. S3 1.5 4 S2 1 2 0 2 2.0 8 1.0 -2 -1 0 1 -4 S1 lg 1 3 0.5 2 0.0 -8 -3 -2 -0.5 -1.0 -1 0 S4 -12 -16 1 1 lg 3 1 2 Рис.3. Зависимость кинетических коэффициентов S1, S2, S3 и S4 от параметра разреженности δ. 1 – численный расчет, 2 – формулы (15), 3 – формулы (17). Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 03-01-00049). Литература 1. Гельмуханов Ф.Х., Шалагин А.М. Светоиндуцированная диффузия газов// Письма в ЖЭТФ. 1978. т.29. №12. C. 773–776. 2. Ghiner A.V., Stockman M.I., Vaksman M.A. Surface light–induced drift of a rarefied gas// Phys. Lett. 1983. V.96A. №2. P. 79–85. 3. Чермянинов И.В., Черняк В.Г. Скольжение газа в поле оптического излучения// ИФЖ. 1988. Т.55. №6. С. 906–909. 4. Чермянинов И.В., Черняк В.Г. Дрейф разреженного газа в плоском канале под действием монохроматического излучения// ИФЖ. 1991. Т.60. №6. С.1015–1021. 5. Черняк В.Г., Чермянинов И.В., Вилисова Е.А., Субботин Е.А. Светоиндуцированный дрейф однокомпонентного газа в плоском канале// ПМТФ. 1994. №5. С. 3–13. 6. Жданов В.М., Крылов А.А., Ролдугин В.И. Кинетическая теория светоиндуцированного дрейфа в канале// ЖЭТФ. 1994. Т.105. вып.1. С. 94–105. 7. McCormack F.J. Construction of linearized kinetic models for gaseous mixtures and molecular gases// Phys. Fluids. 1973. V.16. №12. P. 2095–2106. 8. Раутиан С.Г., Смирнов Г.И., Шалагин А.М. Нелинейные резонансы в спектрах атомов и молекул. Новосибирск.: Наука. 1979. 312 с. 9. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970. 512 с. 10. Черняк В.Г., Винтовкина Е.А., Чермянинов И.В. Светоиндуцированный дрейф однокомпонентного газа в капиллярах//ЖЭТФ. 1993. Т.103. Вып.5. С.1571–1583.