5 КЛАССА аз ов УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ан ия МАТЕМАТИКА УЧРЕЖДЕНИЙ ОБЩЕГО СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ то бр С РУССКИМ ЯЗЫКОМ ОБУЧЕНИЯ ту Под редакцией профессора Л. Б. Шнепермана ст и В 2 частях Часть 1 ль ны й ин Допущено Министерством образования Республики Беларусь На ц ио на 2-е издание, пересмотренное и дополненное МИНСК НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАНИЯ 2013 Правообладатель Национальный институт образования ÓÄÊ 51(075.3=161.3=161.1) ÁÁÊ 22.1ÿ721 Ì34 À â ò î ð û: аз ов Ð å ö å í ç å í ò ан ия Å. Ï. Êóçíåöîâà, Ã. Ë. Ìóðàâüåâà, Ë. Á. Øíåïåðìàí, Á. Þ. ßùèí, Þ. Ê. Âîéòîâà на ль ны й ин ст и ту то бр ó÷èòåëü ìàòåìàòèêè âûñøåé êàòåãîðèè ãîñóäàðñòâåííîãî ó÷ðåæäåíèÿ îáðàçîâàíèÿ «Áðàñëàâñêàÿ ãèìíàçèÿ» Ä. Ã. Ìàöêåâè÷ На ц ио Ìàòåìàòèêà : ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ 5-ãî êë. ó÷ðåæÌ34 äåíèé îáù. ñðåä. îáðàçîâàíèÿ ñ ðóñ. ÿç. îáó÷åíèÿ : â 2 ÷. / Å. Ï. Êóçíåöîâà [è äð.] ; ïîä ðåä. Ë. Á. Øíåïåðìàíà. — 2-å èçä., ïåðåñì. è äîï. — Ìèíñê : Íàö. èí-ò îáðàçîâàíèÿ, 2013. — ×. 1. — 224 ñ. : èë. ISBN 978-985-559-198-7. ÓÄÊ 51(075.3=161.3=161.1) ÁÁÊ 22.1ÿ721 ISBN 978-985-559-198-7 (÷. 1) © Îôîðìëåíèå. ÍÌÓ «Íàöèîíàëüíûé ISBN 978-985-559-197-0 èíñòèòóò îáðàçîâàíèÿ», 2013 Правообладатель Национальный институт образования Äîðîãèå ðåáÿòà! то бр аз ов ан ия Çíàêîìñòâî ñ ìàòåìàòèêîé íà÷èíàëîñü äëÿ âàñ â ìëàäøèõ êëàññàõ â îñíîâíîì ñ àðèôìåòèêè — íàóêè î ÷èñëå.  5-ì êëàññå âû ïðîäîëæèòå çàíÿòèÿ àðèôìåòèêîé è óçíàåòå, ÷òî òàêîå íàòóðàëüíûå ÷èñëà è èõ äåëèòåëè è ÷òî òàêîå êîîðäèíàòíûé ëó÷, íàó÷èòåñü âûïîëíÿòü ðàçëè÷íûå äåéñòâèÿ íàä ìíîãîçíà÷íûìè ÷èñëàìè, ðåøàòü àðèôìåòè÷åñêèå çàäà÷è, à òàêæå ïðîäîëæèòå çíàêîìñòâî ñ íåêîòîðûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ôèãóðàìè è èõ ñâîéñòâàìè. ту * * * Óïðàæíåíèÿ â ó÷åáíîì ïîñîáèè îáîçíà÷àþòñÿ çíàè íóìåðóþòñÿ ïî ãëàâàì. ×èñëî ïåðåä òî÷êîé îáî- ст и êîì на ль ны й ин çíà÷àåò íîìåð ãëàâû, ÷èñëî ïîñëå òî÷êè — íîìåð óïðàæíåíèÿ. Íàïðèìåð, 1.81 — 81-å óïðàæíåíèå 1-é ãëàâû. Àíàëîãè÷íî ïóíêò òåîðèè 4.3 îçíà÷àåò 3-é ïóíêò èç 4-é ãëàâû. Óïðàæíåíèÿ, êîòîðûå äîëæíû óìåòü ðåøàòü âñå, îòìå÷åíû êðóæêîì (íàïðèìåð, 2.56°). Îñòàëüíûå çàäàíèÿ àäðåñîâàíû òåì, êòî õî÷åò ëó÷øå çíàòü ìàòåìàòèêó è ïîëó÷àòü îòìåòêè âûøå, ÷åì 5—6 áàëëîâ. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäàíèÿ ïîìå÷åíû çâåçäî÷êîé (íàïðèìåð, 5.87*). Íàèáîëåå âàæíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ñîïðîâîæäà- ио þòñÿ çíàêîì На ц Çíàê . ïîñòàâëåí òàì, ãäå åñòü âîçìîæíîñòü ñðàâíè- âàòü âàðèàíòû ðåøåíèé èëè èõ îôîðìëåíèÿ. Èñòîðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ âûäåëåíû â òåêñòå çàêðàøåííûìè êâàäðàòàìè . Çíàêîì îòìå÷åíû ìàòåðèàëû è çàäà÷è íà ïîâòî- ðåíèå. Æåëàåì óñïåõîâ! Àâòîðû Правообладатель Национальный институт образования 3 1 ия ГЛАВА ан ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ аз ов 1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä ль ны й ин ст и ту то бр Êîãäà íàñ ó÷àò ñ÷èòàòü, òî ïåðâûì íàçûâàþò ÷èñëî 1, çàòåì íàçûâàþò ÷èñëî 2, çàòåì — ÷èñëî 3, ÷èñëî 4, ÷èñëî 5 è ò. ä. Ýòè ÷èñëà, âîçíèêàþùèå ïðè ñ÷åòå, ïîëó÷èëè íàçâàíèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà óïîòðåáëÿþòñÿ íå òîëüêî ïðè ñ÷åòå. Èõ åùå èñïîëüçóþò, ÷òîáû âûðàçèòü ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ âåëè÷èí: äëèíû, ïëîùàäè, âðåìåíè, ñêîðîñòè. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà íåîáõîäèìû íàì äëÿ ðåøåíèÿ ñàìûõ ðàçíûõ çàäà÷. Êðîìå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìû çíàåì åùå ÷èñëî 0 (íóëü). ио на ×èñëî 0 íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì. На ц Ñòàðåéøàÿ (ÕÕÕ â. äî í. ý.) èçâåñòíàÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ çàïèñü ÷èñëà íàéäåíà â 1937 ã. îêîëî äåðåâíè Âåñòîíèöå â Ìîðàâèè (×åõèÿ). Íà ëó÷åâîé êîñòè ìîëîäîãî âîëêà äëèíîé 18 ñì ñäåëàíî 55 çàðóáîê, âèäèìî, òàê îòìå÷àëè òðîôåè îõîòíèêîâ. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... , çàïèñàííûå â òîì ïîðÿäêå, â êàêîì èõ íàçûâàþò ïðè ñ÷åòå, îáðàçóþò íàòóðàëüíûé ðÿä. 4 Правообладатель Национальный институт образования 1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä то бр аз ов ан ия ×òî â ýòîé çàïèñè îçíà÷àåò ìíîãîòî÷èå?  íàòóðàëüíîì ðÿäó çà êàæäûì ÷èñëîì ñëåäóåò åùå îäíî ÷èñëî, íà 1 áîëüøåå. Ïåðå÷èñëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå èìååò êîíöà; ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëüíûé ðÿä áåñêîíå÷åí. Âåñü íàòóðàëüíûé ðÿä çàïèñàòü íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûïèñûâàþò ïîäðÿä íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íà÷èíàÿ ñ 1, ïîñëå ÷åãî ñòàâÿò ìíîãîòî÷èå. Ïåðâûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, 1, à âîò ïîñëåäíåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò. Èòàê, ñâîéñòâà íàòóðàëüíîãî ðÿäà ñëåäóþùèå: ль ны й ин ст и ту 1.  íàòóðàëüíîì ðÿäó åñòü ïåðâîå ÷èñëî — 1. 2.  íàòóðàëüíîì ðÿäó äëÿ êàæäîãî ÷èñëà ñóùåñòâóåò ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî. 3.  íàòóðàëüíîì ðÿäó íåò ïîñëåäíåãî ÷èñëà, îí áåñêîíå÷åí. на Çàìåòèì åùå, ÷òî êàæäîå ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó, êðîìå 1, èìååò ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî, íà 1 ìåíüøåå. На ц ио Ïî ó÷åíèþ ôèëîñîôà è ìàòåìàòèêà Äðåâíåé Ãðåöèè Ïèôàãîðà (îê. 580—500 ãã. äî í. ý.), ÷èñëî 2 îçíà÷àëî ãàðìîíèþ; 5 — öâåò; 6 — õîëîä; 7 — ðàçóì, çäîðîâüå; 8 — ëþáîâü è äðóæáó... Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëè Ïèôàãîðà ðàññìàòðèâàëè êàê ñîáðàíèå åäèíèö, ñàìó æå åäèíèöó îíè ÷èñëîì íå ïðèçíàâàëè è ïî÷èòàëè åå êàê Ïèôàãîð íå÷òî ñîâåðøåííî îñîáîå. ×èñëî 10, ðàâíîå ñóììå ïåðâûõ ÷åòûðåõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà (10 = 1 + 2 + 3 + 4), îíè íàçûâàëè «ñâÿùåííîé ÷åòâåðèöåé». Правообладатель Национальный институт образования 5 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà Âîïðîñû Äëÿ ÷åãî èñïîëüçóþòñÿ íàòóðàëüíûå ÷èñëà? Íàçîâèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ìåíüøèå 10. Ñêîëüêî èõ? Êàêîå èçâåñòíîå âàì ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì? Åñòü ëè â íàòóðàëüíîì ðÿäó ïåðâîå (ïîñëåäíåå) ÷èñëî? Äëÿ êàæäîãî ëè ÷èñëà â íàòóðàëüíîì ðÿäó ñóùåñòâóåò ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî? 6. Êàæäîå ëè ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó èìååò ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî? то бр аз ов ан ия 1. 2. 3. 4. 5. Óïðàæíåíèÿ ту 1. 1.11. ° Çàïèøèòå ïåðâûå äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ль ны й ин ст и 1. 1.22. Çàïèøèòå íàòóðàëüíûì ÷èñëîì êîëè÷åñòâî: 1) ó÷åíèêîâ â êëàññå; 2) äåâî÷åê â êëàññå; 3) ñòîëîâ â êàáèíåòå; 4) ñòðàíèö â ýòîì ó÷åáíèêå. На ц ио на 1. 1.33. Óçíàéòå è çàïèøèòå êîëè÷åñòâî: 1) ïÿòèêëàññíèêîâ â øêîëå; 2) ó÷èòåëåé â øêîëå; 3) êíèã â øêîëüíîé áèáëèîòåêå; 4) ÷èòàòåëåé â øêîëüíîé áèáëèîòåêå. 1. 1.44. Çàïèøèòå êîëè÷åñòâî èçîáðàæåííûõ (ðèñ. 1): 1) òðåóãîëüíèêîâ; 2) êâàäðàòîâ. Ðèñ. 1 6 Правообладатель Национальный институт образования 1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä 1. 1.55 . Çàïèøèòå äëÿ ýòîé êíèãè êîëè÷åñòâî: 1) ñòðàíèö â ïåðâîé ãëàâå; 2) áóêâ «í» è «ù» â ïîñëåäíåé ñòðîêå ñòðàíèöû 7. Ðèñ. 2 то бр аз ов ан ия 1. 1.66. ° Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíû ÷åòûðå îòðåçêà, êîòîðûå ÷åðòî÷êàìè ðàçäåëåíû íà ÷àñòè ñàíòèìåòðîâîé äëèíû. Çàïèøèòå äëèíó êàæäîãî îòðåçêà. ст и ту 1. 1.77. Íàéäèòå è íàçîâèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà ðèñóíêå 3. Îáúÿñíèòå íàçíà÷åíèå êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. ин 200 м ль ны й 00 00 A 6 –23 12 42 102 3 ио на 302 На ц 0493 BX-2 302 Ðèñ. 3 1. 1.88 .° Íàçîâèòå (åñëè ýòî âîçìîæíî): 1) äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; 2) ÷èñëî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì; 3) íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî; 4) íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Правообладатель Национальный институт образования 7 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ия 1. 1.99.° Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ñëåäóåò çà ÷èñëîì: 1) 1; 2) 999; 3) 7249; 4) 4320; ) 1 6) 303 303. 5) 65 056 ; то бр аз ов ан 1. 10 1.10 10.. Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ïðåäøåñòâóåò ÷èñëó: 1) 10; 2) 27; 3) 5931; 4) 94 310; 5) 23 188; 6) 627 924. à + 1 729 ин à – 1 444 ст и 537 à ту 1. 1.111. Íàçîâèòå ÷èñëà, êîòîðûìè íàäî çàïîëíèòü òàáëèöó: 328 на ль ны й 1. 12 1.12 12.. Óêàæèòå òðè ÷èñëà, ñòîÿùèå â íàòóðàëüíîì ðÿäó ïîñëå ÷èñëà: 1) 499; 2) 78; 3) 51 590; 4) 72 837. На ц ио 1. 13 1.13 13.. Óêàæèòå òðè ÷èñëà, ñòîÿùèå â íàòóðàëüíîì ðÿäó äî ÷èñëà: 1) 947; 2) 992; 3) 90 001; 4) 52 903. 1. 14 1.14 14.. Çàïèøèòå âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êîòîðûå: 1) ðàñïîëîæåíû ìåæäó 999 è 1002; 2) áîëüøå 98 è ìåíüøå 106. ________ 1) Ïðè çàïèñè áîëüøèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò ïðîáåëû — çà÷åì ýòî äåëàþò, áóäåò ïîÿñíåíî â ï. 1.5. 8 Правообладатель Национальный институт образования 1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä 1. 15 1.15 15..* Ïóñòü à + 2 — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî: 1) ñëåäóþùåå çà íèì; 2) ïðåäøåñòâóþùåå åìó. 14 99 10 22 96 9 24 98 102 15 16 8 ту 100 17 ст и 19 ин 23 то бр аз ов ан ия 1. 16 1.16 16..°  òàáëèöå çàïèñàíû 16 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Âûïèøèòå èç íèõ êàæäîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî â òàáëèöå åñòü: 1) ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî; 2) ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî; 3) ïðåäøåñòâóþùåå åìó è ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî. ль ны й 1. 17 1.17 17.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) õ + 1 = 100; 3) õ − 1 = 10; 2) õ + 1 = 1000; 4) õ − 1 = 10 000. На ц ио на 1. 18 1.18 18..* 1) Ñåìèçíà÷íûé íîìåð òåëåôîíà Àëåøè — ýòî òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñëà íàòóðàëüíîãî ðÿäà. Îïðåäåëèòå íîìåð Àëåøèíîãî òåëåôîíà. 2) Òðåõçíà÷íûé øèôð êîäîâîãî çàìêà íà ïîðòôåëå ñîñòàâëåí èç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, çàïèñàííûõ â îáðàòíîì ïîðÿäêå (ðèñ. 4). Îïðåäåëèòå øèôð êîäîâîãî çàìêà. Ðèñ. 4 1. 19 1.19 19..* Ñ ïîìîùüþ ÷åòûðåõ ÷åòâåðîê, çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâüòå ÷èñëîâûå âûðàæåíèÿ, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 4, 8, 16, 64, 128, 256. Правообладатель Национальный институт образования 9 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü аз ов ан ия Âû óæå çíàåòå, êàê èçîáðàæàþòñÿ òî÷êà è ïðÿìàÿ. Âû âèäèòå èõ èçîáðàæåíèå íà ðèñóíêàõ 5 è 6: Ðèñ. 5 Ðèñ. 6 На ц ио на ль ны й ин ст и ту то бр Òî÷êó îáîçíà÷àþò ïðîïèñíîé (áîëüøîé) áóêâîé ëàòèíñêîãî àëôàâèòà. Ïðÿìóþ îáîçíà÷àþò ñòðî÷íîé (ìàëîé) áóêâîé ëàòèíñêîãî àëôàâèòà. Ïðÿìàÿ áåñêîíå÷íà, îíà íå èìååò íè íà÷àëà, íè êîíöà, ïîýòîìó íà ðèñóíêå ìîæíî èçîáðàçèòü ëèøü ÷àñòü ïðÿìîé. Îòìåòèì íà ïðÿìîé b òî÷êó K (ðèñ. 7). Ãîâîðÿò: «òî÷êà K ëåæèò íà ïðÿìîé b» èëè «ïðÿìàÿ b ïðîõîÐèñ. 7 äèò ÷åðåç òî÷êó K». ×åðåç îäíó òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè ëþáîå ÷èñëî ïðÿìûõ. Íà ðèñóíêå 8 ÷åðåç òî÷êó P ïðîõîäÿò ÷åòûðå ïðÿìûå. Ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P. Êîãäà äâå òî÷êè M è N ëåæàò íà ïðÿìîé ñ (ðèñ. 9), òî ýòó ïðÿìóþ òàêæå íàçûâàþò «ïðÿìàÿ MN». Ðèñ. 8 Ðèñ. 9 ×åðåç ëþáûå äâå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ, è òîëüêî îäíó. 10 Правообладатель Национальный институт образования 1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü то бр аз ов ан ия Ïîâåðõíîñòè ñòîëà, êëàññíîé äîñêè, îêîííîãî ñòåêëà äàþò ïðåäñòàâëåíèå î ÷àñòè ïëîñêîñòè. Èçîáðàçèòü æå âñþ ïëîñêîñòü íåâîçìîæíî, ïîòîìó ÷òî îíà áåñêîíå÷íà. Íà ðèñóíêå èçîáðàæàåòñÿ òîëüêî ÷àñòü ïëîñêîñòè (ðèñ. 10). Òî÷êè è ïðÿìûå ìîãóò ëåæàòü â ïëîñêîñòè. Íàïðèìåð, ïðÿìûå à è b, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå C, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 11). Ðèñ. 11 ту Ðèñ. 10 На ц ио на ль ны й ин ст и Ïî îäíîé âåðñèè, ñëîâî «òî÷êà» â ðóññêîì ÿçûêå îçíà÷àëî êîíåö çàòî÷åííîãî ãóñèíîãî ïåðà, êîòîðûì ðàíüøå ïèñàëè, è ïðîèñõîäèò îò ñëîâà «òî÷èòü» (ðèñ. 12). Ïî äðóãîé âåðñèè, ñëîâî «òî÷êà» ïðîèñõîäèò îò ãëàãîëà «òêíóòü» òàê æå, êàê ðàâíîçíà÷íîå ñëîâî «ïóíêò» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî ñëîâà pungo — «óêàëûâàþ» (ðèñ. 13). Ðèñ. 12 Ðèñ. 13 Âîïðîñû 1. Êàê îáîçíà÷àåòñÿ: à) òî÷êà; á) ïðÿìàÿ? 2. Ñêîëüêî ïðÿìûõ ìîæíî ïðîâåñòè ÷åðåç îäíó òî÷êó? ÷åðåç äâå òî÷êè? ÷åðåç òðè òî÷êè? 3. Ìîãóò ëè äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàòüñÿ áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå? Правообладатель Национальный институт образования 11 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà Óïðàæíåíèÿ 1. 20 1.20 20.. ° Íàçîâèòå ïðÿìûå, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 14: б) b c a ия а) d m ан a k d то бр Ðèñ. 14 аз ов c ту 1. 21 1.21 21.. ° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè ÷åòûðå ïðÿìûå è îáîçíà÷üòå èõ ìàëûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà. ин ст и 1. 22 1.22 22.. ° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè òðè ïðÿìûå, îòìåòüòå íà êàæäîé èç íèõ ïî äâå òî÷êè. Íàçîâèòå ýòè ïðÿìûå, èñïîëüçóÿ îòìå÷åííûå òî÷êè. ль ны й 1. 23 1.23 23..° Íàçîâèòå òî÷êè, ëåæàùèå è íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé a (ðèñ. 15). a A на а) ио N На ц E б) F P C O F K M D E Ðèñ. 15 T O 1. 24 1.24 24.. ° Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè M è N. Ïðîâåäèòå ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ. Îòìåòüòå è îáîçíà÷üòå åùå òðè òî÷êè: 1) íà ïðÿìîé MN; 2) íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé MN. 12 Правообладатель Национальный институт образования 1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü ия 1. 25 1.25 25.. Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êó M è ïðîâåäèòå ÷åòûðå ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó M. Îòìåòüòå è îáîçíà÷üòå íà êàæäîé ïðÿìîé åùå ïî îäíîé òî÷êå. Çàïèøèòå íàçâàíèå êàæäîé ïðÿìîé. 2) Â; 4) D; аз ов B D E то бр 1) À; 3) Ñ; 5) E. ан 1. 26 1.26 26.. Íàçîâèòå èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 16 ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó: C A ту Ðèñ. 16 à) ин ст и 1. 27 1.27 27..° Ïðîâåðüòå, ìîæíî ëè ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç òî÷êè A, B è C íà ðèñóíêå 17. â) á) ль ны й À ã) A B C B B A ио C на A C C B Ðèñ. 17 На ц 1. 28 1.28 28.. Èçîáðàçèòå òðè òî÷êè A, B è C òàê, ÷òîáû îíè: 1) ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé; 2) íå ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé. 1.29. Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè M, P, T, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. ×åðåç êàæäûå äâå òî÷êè ïðîâåäèòå ïðÿìóþ. Ñêîëüêî ïîëó÷èëîñü ïðÿìûõ? Çàïèøèòå èõ. Правообладатель Национальный институт образования 13 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ан ия 1. 30 1.30 30.. Êàêèå èç ïðÿìûõ íà ðèñóíêå 18 ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ â ïðåäåëàõ ñòðàíèöû ýòîé êíèãè? аз ов Ðèñ. 18 то бр 1. 31 1.31 31.. ° Îïðåäåëèòå, íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëèò ïëîñêîñòü: 1) îäíà ïðÿìàÿ (ðèñ. 19); 2) äâå ïðÿìûå (ðèñ. 20); 3) òðè ïðÿìûå (ðèñ. 21). Ðèñ. 19 à) ин ст и ту á) ль ны й Ðèñ. 20 á) â) Ðèñ. 21 На ц ио на à) 1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Çàïèñûâàòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà ìû óæå óìååì. Òîò ñïîñîá çàïèñè ÷èñåë, êîòîðûì ìû ïîëüçóåìñÿ, íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ. ×èñëà â íåé çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ äåñÿòè çíàêîâ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 14 Правообладатель Национальный институт образования 1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ýòè çíàêè íàçûâàþòñÿ öèôðàìè. ан ия Êàêîå ÷èñëî îçíà÷àåò öèôðà, îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî ñàìîé ýòîé öèôðîé, íî è ïîçèöèåé (ìåñòîì), ãäå îíà ñòîèò â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. то бр аз ов Òàê, â çàïèñè ÷èñëà 285 öèôðà 5 îçíà÷àåò 5 åäèíèö, à â çàïèñè ÷èñëà 528 öèôðà 5 îçíà÷àåò 5 ñîòåí. Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òî äåñÿòè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ ïîçèöèîííàÿ. На ц ио на ль ны й ин ст и ту Ñóùåñòâóþò è íåïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, ðèìñêàÿ íóìåðàöèÿ, ãäå ÷èñëà çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðèìñêèõ öèôð: I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000. Äëÿ çàïèñè ÷èñåë èñïîëüçóþòñÿ ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ. Åñëè ìåíüøàÿ öèôðà ñòîèò ïîñëå áîëüøåé, òî îíà ïðèáàâëÿåòñÿ ê áîëüøåé, à åñëè ìåíüøàÿ öèôðà ñòîèò ïåðåä áîëüøåé, òî îíà âû÷èòàåòñÿ èç áîëüøåé. Íàïðèìåð: III = 3, ò. å. 1 + 1 + 1; VII = 7, ò. å. 5 + 1 + 1; XXI = 21, ò. å. 10 + 10 + 1; I V = 4, ò. å. 5 − 1; IX = 9, ò. å. 10 − 1; XIX = 19, ò. å. 10 + (10 − 1); MCMXLV = 1945 (1000 + (1000 − 100) + (50 − 10) + 5). Ðèìñêóþ íóìåðàöèþ ñåé÷àñ èñïîëüçóþò òîëüêî äëÿ çàïèñè ïîðÿäêîâûõ ÷èñëèòåëüíûõ. Òàê, çàïèñü «XXI â.» ÷èòàþò: «äâàäöàòü ïåðâûé âåê», à çàïèñü «V êëàññ» — «ïÿòûé êëàññ». Çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ. ×èñëî «íóëü» è êàæäîå èç ïåðâûõ äåâÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë çàïèñûâàþòñÿ îäíîé öèôðîé; ýòè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ îäíîçíà÷íûìè. Правообладатель Национальный институт образования 15 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ия Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàïèñàííîå áîëåå ÷åì îäíîé öèôðîé, íàçûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íûì. Ñðåäè ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë äâóçíà÷íûå — ýòî òå, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ äâóìÿ öèôðàìè, òðåõçíà÷íûå — ýòî òå, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ òðåìÿ öèôðàìè, è ò. ä. то бр аз ов ан «Íóëü» ïî-àðàáñêè — «ñèôð», îòêóäà è ïîøëî íàçâàíèå öèôðà. Èíòåðåñíî, ÷òî ìû íàçûâàåì öèôðû 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 àðàáñêèìè, òàê êàê çàèìñòâîâàëè èõ ó àðàáîâ, íî ñàìè àðàáû íàçûâàþò ýòè öèôðû èíäèéñêèìè, ïîñêîëüêó çàèìñòâîâàëè èõ ó èíäèéöåâ. Âîïðîñû ль ны й ин ст и ту 1. Êàê íàçûâàåòñÿ ñïîñîá çàïèñè ÷èñåë, êîòîðûìè ìû ïîëüçóåìñÿ? 2. Ñ ïîìîùüþ êàêèõ çíàêîâ çàïèñûâàþòñÿ ÷èñëà â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ? Êàê íàçûâàþòñÿ ýòè çíàêè? 3. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ, êàêîå ÷èñëî îçíà÷àåò öèôðà â çàïèñè ÷èñëà? 4. Ñ êàêîé öèôðû íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà? Óïðàæíåíèÿ ио на 1. 32 1.32 32.. ° Ïðèâåäèòå ïðèìåð ÷èñëà: 1) äâóçíà÷íîãî; 2) òðåõçíà÷íîãî; 3) îäíîçíà÷íîãî; 4) ÷åòûðåõçíà÷íîãî. На ц 1. 33 1.33 33..° Ñðåäè ÷èñåë 137, 731, 317 íàéäèòå ÷èñëî, â êîòîðîì öèôðà 1 íàõîäèòñÿ íà ïîçèöèè: 1) åäèíèö; 2) äåñÿòêîâ; 3) ñîòåí. 1. 34 1.34 34..° Çàïèøèòå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ íà ïîçèöèÿõ åäèíèö è äåñÿòêîâ öèôðû îäèíàêîâûå. Ñêîëüêî òàêèõ ÷èñåë ïîëó÷èëîñü? 16 Правообладатель Национальный институт образования 1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 1. 35 1.35 35.. Äàíî ÷èñëî: 1) 782; 2) 780. Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ýòîãî ÷èñëà, ìåíÿÿ ïîçèöèè åãî öèôð. Ñêîëüêî òàêèõ ÷èñåë ïîëó÷èëîñü? аз ов ан ия 1. 36 1.36 36.. Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð: 1) 3 è 6; 2) 4 è 0; 3) 2, 0 è 8; 4) 1, 5 è 0. ту то бр 1. 37 1.37 37.. Ïðî÷èòàéòå ÷èñëî: 1) 2569; 2) 7183; 3) 40 104; 4) 69 001. Çàïèøèòå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç òåõ æå öèôð, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Ïðî÷èòàéòå ïîëó÷åííîå ÷èñëî. ль ны й ин ст и 1. 38 1.38 38.. Çàïèøèòå ïåðâûå â íàòóðàëüíîì ðÿäó: 1) âîñåìü îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë; 2) ÷åòûðå äâóçíà÷íûõ ÷èñëà; 3) òðè òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà; 4) äâà ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà. ио на 1. 39 1.39 39.. Çàïèøèòå ïîñëåäíèå òðè â íàòóðàëüíîì ðÿäó: 1) îäíîçíà÷íûõ ÷èñëà; 2) äâóçíà÷íûõ ÷èñëà; 3) òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà; 4) ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà. На ц 1. 40 1.40 40.. Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå ÷èñëà ñðåäè ÷èñåë: 1) äâóçíà÷íûõ; 2) òðåõçíà÷íûõ; 3) ïÿòèçíà÷íûõ; 4) øåñòèçíà÷íûõ. 1. 41 1.41 41..° Ñêîëüêî öèôð èñïîëüçîâàíî äëÿ çàïèñè ÷èñåë è ñêîëüêî ñðåäè íèõ ðàçëè÷íûõ: 1) 290 290; 2) 345 543; 3) 59 585; 4) 47 917? Правообладатель Национальный институт образования 17 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ия 1. 42 1.42 42.. Ñîñòàâüòå: 1) âñå äâóçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñóììà öèôð êîòîðûõ ðàâíà 5; 2) âñå òðåõçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñóììà öèôð êîòîðûõ ðàâíà 4. аз ов ан 1. 43 1.43 43..* Óñòàíîâèòå çàêîíîìåðíîñòü, çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå òðè ÷èñëà, ñëåäóþùèå çà óêàçàííûìè: 5; 50; 505; 5050; ... . ст и ту то бр 1. 44 1.44 44..* Îáðàòèòå âíèìàíèå, ñ êàêîé ñòðàíèöû íà÷èíàåòñÿ íóìåðàöèÿ â âàøåì ó÷åáíîì ïîñîáèè «Ìàòåìàòèêà». 1) Ñêîëüêî öèôð ïîòðåáîâàëîñü íàïå÷àòàòü äëÿ íóìåðàöèè ñòðàíèö â ó÷åáíîì ïîñîáèè «Ìàòåìàòèêà»? 2) Ñêîëüêî ðàç âñòðå÷àåòñÿ êàæäàÿ èç öèôð? ль ны й ин 1. 45 1.45 45.. * Äëÿ íóìåðàöèè ñòðàíèö â ñáîðíèêå «Çàäà÷è íà ñìåêàëêó» ïîòðåáîâàëîñü 787 öèôð. Êàêîé íîìåð èìååò ïîñëåäíÿÿ ïðîíóìåðîâàííàÿ ñòðàíèöà, åñëè ïåðâàÿ ïðîíóìåðîâàííàÿ ñòðàíèöà èìååò íîìåð 3? На ц ио на 1. 46 1.46 46.. * Ìåæäó ÷èñëàìè 1, 3, 5, 7, 9 ðàññòàâüòå çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè òàê, ÷òîáû çíà÷åíèå ïîëó÷åííîãî ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ áûëî ðàâíî: 1) 0; 2) 1; 3) 3; 4) 5; 5) 7; 6) 9. 1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà Ïîçèöèÿ (ìåñòî), íà êîòîðîé â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ñòîèò öèôðà, íàçûâàåòñÿ ðàçðÿäîì. Ïåðâàÿ öèôðà ñïðàâà â çàïèñè ÷èñëà íàçûâàåòñÿ öèôðîé ïåðâîãî ðàçðÿäà, âòîðàÿ öèôðà ñïðàâà — öèôðîé âòî18 Правообладатель Национальный институт образования 1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà ан ия ðîãî ðàçðÿäà, òðåòüÿ öèôðà ñïðàâà — öèôðîé òðåòüåãî ðàçðÿäà è ò. ä. Ïåðâûé ðàçðÿä íàçûâàåòñÿ òàêæå ðàçðÿäîì åäèíèö, âòîðîé ðàçðÿä — ðàçðÿäîì äåñÿòêîâ, òðåòèé ðàçðÿä — ðàçðÿäîì ñîòåí è ò. ä. Öèôðû â ðàçðÿäàõ ïîêàçûâàþò, ÷òî, íàïðèìåð, ÷èñëî 9702 ñîñòîèò èç 9 òûñÿ÷, 7 ñîòåí, 0 äåñÿòêîâ è 2 åäèíèö, ò. å. аз ов 9702 = 9000 + 700 + 0 + 2 = 9 . 1000 + 7 . 100 + 0 . 10 + 2 . 1. На ц ио на ль ны й ин ст и ту то бр ×èñëà 9000, 700, 0 è 2 íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè ñëàãàåìûìè ÷èñëà 9702. Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ. ×èñëà 1, 10, 100 è ò. ä. íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè åäèíèöàìè: 1 — åäèíèöà ïåðâîãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà åäèíèö, 10 — åäèíèöà âòîðîãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà äåñÿòêîâ, 100 — åäèíèöà òðåòüåãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà ñîòåí è ò. ä. Êàæäàÿ åäèíèöà ñëåäóþùåãî ðàçðÿäà â 10 ðàç áîëüøå åäèíèöû ïðåäûäóùåãî ðàçðÿäà, ò. å. 10 åäèíèö ëþáîãî ðàçðÿäà ñîñòàâëÿþò 1 åäèíèöó ñëåäóþùåãî ðàçðÿäà. Èìåííî ïîýòîìó íàøà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé. Ïåðâàÿ öèôðà ñëåâà â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ öèôðîé âûñøåãî ðàçðÿäà. Òàê êàê çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ, òî öèôðà âûñøåãî ðàçðÿäà âñåãäà îòëè÷íà îò íóëÿ. Àáà́ê — ñ÷åòíûé ïðèáîð — ïîÿâèëñÿ ó äðåâíèõ àðàáîâ (ðèñ. 22). Ëàòèíñêîå ñëîâî calculare — «ñ÷èòàòü» (îòñþäà «êàëüêóëÿòîð» (ðèñ. 23), «êàëüêóëÿöèÿ») — ïðîèñõîäèò îò ñëîâà calculus — «êàìåøåê». Правообладатель Национальный институт образования 19 Ðèñ. 23 ан Ðèñ. 22 ия à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà б) 1 ту а) то бр аз ов Ìåñòà äëÿ îòäåëüíûõ ðàçðÿäîâ ÷èñåë áûëè íå òîëüêî íà àáàêå, íî è, íàïðèìåð, íà ñ÷åòàõ, íà ðàçãðàôëåííîé äîñêå (áóìàãà â êëåòêó â òåòðàäÿõ ïî ìàòåìàòèêå íàì åå íàïîìèíàåò). Íà ðèñóíêå 24, à, á, ïîêàçàíî ñëîæåíèå ÷èñåë 123 è 64. ст и + 8 6 4 7 ин 1 3 2 Âîïðîñû ль ны й Ðèñ. 24 На ц ио на 1. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàçðÿäîì? 2. Êàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè åäèíèöàìè? 3. Ïî÷åìó íàøà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé? 4. Êàêàÿ öèôðà â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ öèôðîé âûñøåãî ðàçðÿäà? Óïðàæíåíèÿ 1. 47 1.47 47.. ° Ñêîëüêî åäèíèö ïåðâîãî ðàçðÿäà, âòîðîãî ðàçðÿäà, òðåòüåãî ðàçðÿäà, ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà ñîäåðæèòñÿ â ÷èñëå: 1) 2946; 2) 3052; 3) 9107; 4) 1840; 5) 6010; 6) 2002? 20 Правообладатель Национальный институт образования 1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà ия 1. 48 1.48 48.. ×òî ïîêàçûâàåò öèôðà 4 â çàïèñè ÷èñëà: 1) 641; 2) 29 451; 3) 70 340; 4) 948 356; 5) 40 404; 6) 3 244 444? аз ов ан 1. 49 1.49 49..° Ñðåäè ÷èñåë 5137, 7351, 3715 è 1573 íàéäèòå ÷èñëî, ó êîòîðîãî öèôðà 5 çàïèñàíà â ðàçðÿäå: 1) åäèíèö; 2) äåñÿòêîâ; 3) ñîòåí; 4) òûñÿ÷. ст и ту то бр 1. 50 1.50 50..  êàæäîì ÷èñëå íàçîâèòå ðàçðÿä, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ öèôðà 9: 1) 9; 2) 98; 3) 139; 4) 9507; 5) 19 342; 6) 916 001. ио на ль ны й ин 1. 51 1.51 51..° Çàïèøèòå ÷èñëî, â êîòîðîì: 1) 4 åäèíèöû øåñòîãî ðàçðÿäà, 5 åäèíèö ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà, 7 åäèíèö òðåòüåãî ðàçðÿäà, 3 åäèíèöû ïåðâîãî ðàçðÿäà; 2) 9 åäèíèö øåñòîãî ðàçðÿäà, 4 åäèíèöû ïÿòîãî ðàçðÿäà, 7 åäèíèö òðåòüåãî ðàçðÿäà, 1 åäèíèöà âòîðîãî ðàçðÿäà. На ц 1. 52 1.52 52.. Çàïèøèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî, â êîòîðîì: 1) 6 òûñÿ÷, 2 äåñÿòêà, 3 åäèíèöû; 2) 4 òûñÿ÷è, 3 ñîòíè, 5 åäèíèö; 3) 8 òûñÿ÷, 6 äåñÿòêîâ; 4) 9 òûñÿ÷, 4 ñîòíè. 1. 53 1.53 53.. Íàçîâèòå ðàçðÿäíûå ñëàãàåìûå ÷èñëà: 1) 325; 2) 786; 3) 7896; 4) 9341; 5) 6021; 6) 3203; 7) 2090; 8) 5004. Правообладатель Национальный институт образования 21 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ия 1. 54 1.54 54.. Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ ÷èñëî: 1) 542; 2) 5420; 3) 5042; 4) 5402; 5) 504 020; 6) 500 204. ин ст и ту 1. 56 1.56 56.. Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë: 1) 100 + 20 + 9; 2) 5000 + 800 + 80 + 1; 3) 4 000 000 + 700 + 8; 4) 500 000 + 30 000. то бр аз ов ан 1. 55 1.55 55.. Çàïèøèòå ÷èñëî, çàäàííîå ñóììîé ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ: 1) 3 . 100 + 8 . 10 + 6 . 1; 2) 3 . 1000 + 8 . 100 + 6 . 1; 3) 3 . 10 000 + 8 . 100 + 6 . 10; 4) 3 . 100 000 + 8 . 10 000 + 6 . 1000. ль ны й 1. 57 1.57 57.. Ïî çàïèñè ÷èñëà â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ íàçîâèòå ðàçðÿä, ãäå íàõîäèòñÿ öèôðà 6: 1) 5 . 10 000 + 6 . 1000 + 8 . 10 + 2; 2) 6 . 100 000 + 3 . 10 000 + 6 . 100. На ц ио на 1. 58 1.58 58.. Çàïèøèòå â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ íàèáîëüøåå ÷èñëî: 1) äâóçíà÷íîå; 2) òðåõçíà÷íîå; 3) ÷åòûðåõçíà÷íîå; 4) ïÿòèçíà÷íîå. 1. 59 1.59 59.. Ìàëüâèíà ïðåäëîæèëà Áóðàòèíî çàäàíèå: ïîä÷åðêíè öèôðó â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ â êàæäîì ÷èñëå: 345 637, 198 054 163. Áóðàòèíî âûïîëíèë åãî òàê: 345 637, 198 054 163. Ïî÷åìó Ìàëüâèíà ñêàçàëà, ÷òî Áóðàòèíî âûïîëíèë ýòî çàäàíèå íåïðàâèëüíî? 22 Правообладатель Национальный институт образования 1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà 1. 60 1.60 60..* Íàéäèòå íàèáîëüøåå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ÷èñåë 1, 3, 5, 7, 9, âçÿòûõ ïî îäíîìó ðàçó, çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê. аз ов ан ия 1. 61 1.61 61..* Âðà÷ ïðåäïèñàë áîëüíîìó ïðèíÿòü 5 òàáëåòîê ïî îäíîé ÷åðåç êàæäûå ïîëòîðà ÷àñà. Ïåðâóþ òàáëåòêó áîëüíîé ïðèíÿë â 8 ÷ 30 ìèí. Êîãäà îí ïðèíÿë ïîñëåäíþþ òàáëåòêó? 1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà ль ны й ин ст и ту то бр ×òîáû áûëî óäîáíî ïðî÷èòàòü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî, åãî ðàçðÿäû îáúåäèíÿþò â ãðóïïû, ïî òðè ðàçðÿäà â êàæäîé ãðóïïå, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî ðàçðÿäà, ò. å. ñïðàâà íàëåâî. Êàæäàÿ òàêàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ êëàññîì.  êëàññå öèôðû ñïðàâà íàëåâî îáîçíà÷àþò ÷èñëî åäèíèö, äåñÿòêîâ è ñîòåí ýòîãî êëàññà. Íàçâàíèÿ ïåðâûõ ÷åòûðåõ êëàññîâ è ðàçðÿäîâ, âõîäÿùèõ â ýòè êëàññû, ïðèâåäåíû â òàáëèöå. на Êëàññ åäèíèö На ц ио Êëàññ òûñÿ÷ åäèíèöû äåñÿòêè ñîòíè åäèíèöû òûñÿ÷ äåñÿòêè òûñÿ÷ ñîòíè òûñÿ÷ Êëàññ ìèëëèîíîâ åäèíèöû ìèëëèîíîâ äåñÿòêè ìèëëèîíîâ Êëàññ ìèëëèàðäîâ ñîòíè ìèëëèîíîâ åäèíèöû ìèëëèàðäîâ äåñÿòêè ìèëëèàðäîâ ñîòíè ìèëëèàðäîâ ... ... Правообладатель Национальный институт образования 23 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà Íàçâàíèå ìèëëèîí ïîÿâèëîñü â 1500 ã. â Èòàëèè, à íàçâàíèå ìèëëèàðä — â 1871 ã. âî Ôðàíöèè. то бр аз ов ан ия Çà êëàññîì ìèëëèàðäîâ ñëåäóåò êëàññ òðèëëèîíîâ (òðèëëèîí — ýòî åäèíèöà ñ 12 íóëÿìè). À çà êëàññîì òðèëëèîíîâ èäåò êëàññ êâàäðèëëèîíîâ (êâàäðèëëèîí — ýòî åäèíèöà ñ 15 íóëÿìè). Íî íàòóðàëüíûé ðÿä áåñêîíå÷åí, ïîýòîìó âñå êëàññû ïåðå÷èñëèòü íåâîçìîæíî. Ïðè çàïèñè ÷èñëà êëàññ îò êëàññà óäîáíî îòäåëÿòü íåáîëüøèì ïðîìåæóòêîì. Ýòî äåëàåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî óäîáíî ÷èòàòü ìíîãîçíà÷íûå ÷èñëà. ст и ту Ïð èìåð 1. Ïðî÷èòàòü ÷èñëî: Ïðèìåð à) 239073972; á) 43231000732. ин Îáúÿñíåíèå. à) Âûäåëèì â ýòîì ÷èñëå êëàññû: 239 073 972. ль ны й Íàçîâåì ÷èñëî åäèíèö êàæäîãî êëàññà ñëåâà íàïðàâî: 239 ìèëëèîíîâ 73 òûñÿ÷è 972. На ц ио на Íàçâàíèå êëàññà åäèíèö íå ïðîèçíîñèòñÿ. Öèôðà 0 îçíà÷àåò îòñóòñòâèå åäèíèö ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçðÿäà è ïðè ÷òåíèè íå ïðîèçíîñèòñÿ. á) Âûäåëèì â ýòîì ÷èñëå êëàññû: 43 231 000 732 è ïðî÷òåì åãî: 43 ìèëëèàðäà 231 ìèëëèîí 732. Íàçâàíèå êëàññà, âñå òðè öèôðû êîòîðîãî íóëè, íå ïðîèçíîñèòñÿ. Ïð èìåð 2. Çàïèñàòü öèôðàìè ÷èñëî 51 ìèëëèàðä 28 òûÏðèìåð ñÿ÷ 935. 24 Правообладатель Национальный институт образования 1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà то бр аз ов ан ия Ðåøåíèå. Ïèøåì ñëåâà íàïðàâî.  ðàçðÿäå äåñÿòêîâ ìèëëèàðäîâ 5, çàòåì â êàæäîì ðàçðÿäå — êîëè÷åñòâî åäèíèö ýòîãî ðàçðÿäà. Åñëè åäèíèöà êàêîãî-ëèáî ðàçðÿäà îòñóòñòâóåò, òî ïèøåì öèôðó íóëü.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì: 51 000 028 935. Çàìåòèì, ÷òî: ìèëëèîí ñåêóíä (1 000 000 ñ) ïðîòåêàþò ìåíüøå ÷åì çà 2 íåäåëè, à ìèëëèàðä ñåêóíä (1 000 000 000 ñ) äëÿòñÿ ñâûøå 3 ëåò. ×åëîâå÷åñêèé âîëîñ, óâåëè÷åííûé â ìèëëèîí ðàç, èìåë áû òîëùèíó 70 ì, à åñëè óâåëè÷èòü â ìèëëèîí ðàç êîìàðà, òî îí áûë áû äëèíîé 5 êì. Âîïðîñû Óïðàæíåíèÿ ин ст и ту 1. Êàê ðàçáèòü ÷èñëî íà êëàññû? 2. Êàêèå êëàññû è ðàçðÿäû âû çíàåòå (íàçîâèòå èõ, èñïîëüçóÿ òàáëèöó)? ио на ль ны й 1. 62 1.62 62..° Çàïèøèòå öèôðàìè ÷èñëî: 1) äâàäöàòü øåñòü òûñÿ÷ òðè; 2) ñåìüñîò îäèí ìèëëèîí îäèííàäöàòü òûñÿ÷; 3) âîñåìüäåñÿò ìèëëèàðäîâ äâàäöàòü ïÿòü òûñÿ÷; 4) øåñòü ìèëëèàðäîâ øåñòüñîò øåñòü. На ц 1.63. Çàïèøèòå ÷èñëà, èçîáðàæåííûå íà àáàêå (ðèñ. 25). а) г) б) в) д) Ðèñ. 25 Правообладатель Национальный институт образования 25 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1. 64 1.64 64..° Ïðî÷èòàéòå è çàïèøèòå ÷èñëà, çàäàííûå òàáëèöåé. Êëàññ ìèëëèîíîâ Êëàññ òûñÿ÷ Êëàññ åäèíèö 6 5 7 3 1 9 1 3 1 7 6 6 3 7 1 9 3 7 4 1 6 åäèíèöû 9 5 5 8 3 3 9 4 7 то бр 7 ту 6 ст и 5 аз овñîòíè ан ия äåñÿòêè ñîòíè ìèëëèàðäîâ äåñÿòêè ìèëëèàðäîâ åäèíèöû ìèëëèàðäîâ ñîòíè ìèëëèîíîâ äåñÿòêè ìèëëèîíîâ åäèíèöû ìèëëèîíîâ ñîòíè òûñÿ÷ äåñÿòêè òûñÿ÷ åäèíèöû òûñÿ÷ Êëàññ ìèëëèàðäîâ 7 5 6 6 1 6 7 1 5 ль ны й ин 1. 65 1.65 65.. ° Ðàçáåéòå íà êëàññû è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî: 1) 94012; 2) 836100; 3) 37001285; 4) 203748108; 5) 230001003005; 6) 900300573296. На ц ио на 1. 66 1.66 66.. Ïðî÷èòàéòå ÷èñëà: 1) 378; 2) 1529; 3) 478916; 4) 401238; 5) 23000501; 6) 7600800009. Çàïèøèòå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïåðåïèñàâ èõ ñïðàâà íàëåâî. Ïðî÷èòàéòå ïîëó÷åííûå ÷èñëà. 1. 67 1.67 67..  çàïèñè ÷èñëà 7054932816 ïî îäíîìó ðàçó èñïîëüçîâàíà êàæäàÿ èç äåñÿòè öèôð. Îïðåäåëèòå, êàêàÿ öèôðà çàïèñàíà íà ìåñòå: 1) ðàçðÿäà ñîòåí êëàññà åäèíèö; 2) ðàçðÿäà äåñÿòêîâ êëàññà òûñÿ÷; 26 Правообладатель Национальный институт образования 1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà 3) ðàçðÿäà åäèíèö êëàññà ìèëëèîíîâ; 4) ðàçðÿäà åäèíèö êëàññà ìèëëèàðäîâ. Íàçîâèòå ðàçðÿäû, êëàññû, â êîòîðûõ çàïèñàíû öèôðû 1, 2, 5. то бр аз ов ан ия 1. 68 1.68 68.. Ñêîëüêî òûñÿ÷ ñîäåðæèòñÿ â: 1) 6 äåñÿòêàõ òûñÿ÷; 2) 7 òûñÿ÷àõ è 3 ñîòíÿõ; 3) 4 ñîòíÿõ òûñÿ÷, 7 äåñÿòêàõ òûñÿ÷ è 1 òûñÿ÷å; 4) 1 ñîòíå òûñÿ÷, 2 äåñÿòêàõ òûñÿ÷, 3 òûñÿ÷àõ è 4 ñîòíÿõ? ту 1. 69 1.69 69.. Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷èòñÿ, åñëè 514 çàïèñàòü ïîäðÿä: 1) òðè ðàçà; 2) ÷åòûðå ðàçà. ин ст и 1. 70 1.70 70.. Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷èòñÿ, åñëè ÷èñëî 72 çàïèñàòü ïîäðÿä: 1) ïÿòü ðàç; 2) øåñòü ðàç. ль ны й 1. 71 1.71 71.. Ñêîëüêî åäèíèö êàæäîãî êëàññà ñîäåðæèòñÿ â ÷èñëå: 1) 61901000; 2) 8001004; 3) 40501040009; 4) 510402060020? На ц ио на 1. 72 1.72 72.. Íàçîâèòå è çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ñîäåðæèò: 1) 13 åäèíèö êëàññà ìèëëèàðäîâ, 13 åäèíèö êëàññà ìèëëèîíîâ, 13 åäèíèö êëàññà òûñÿ÷, 13 åäèíèö êëàññà åäèíèö; 2) 801 åäèíèöó êëàññà ìèëëèàðäîâ, 108 åäèíèö êëàññà ìèëëèîíîâ, 801 åäèíèöó êëàññà òûñÿ÷, 108 åäèíèö êëàññà åäèíèö. 1. 73 1.73 73.. Çàïèøèòå öèôðàìè èíôîðìàöèþ î Ñîëíöå: 1) ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà — 6 ìèëëèàðäîâ 87 ìèëëèîíîâ êâàäðàòíûõ êèëîìåòðîâ; 2) âîçðàñò Ñîëíöà — 5 ìèëëèàðäîâ ëåò. Правообладатель Национальный институт образования 27 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1. 74 1.74 74.. Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ñîäåðæèò: 1) 5 ìèëëèàðäîâ, 7 ìèëëèîíîâ, 9 òûñÿ÷, 6 åäèíèö; 2) 12 ìèëëèàðäîâ, 51 ìèëëèîí, 79 åäèíèö. аз ов ан ия 1. 75 1.75 75.. Ñêîëüêî ìèëëèîíîâ ñîäåðæèòñÿ â: 1) 4 ñîòíÿõ ìèëëèîíîâ è 4 äåñÿòêàõ ìèëëèîíîâ; 2) 7 äåñÿòêàõ ìèëëèîíîâ è 9 ìèëëèîíàõ? 1. 76 1.76 76.. * Ïåðâûå ñòî ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà çàïèñàëè áåç ïðîïóñêîâ è ïîëó÷èëè ÷èñëî то бр 12345678910111213141516...979899100. ту Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà: 1) öèôð; 2) êëàññîâ. ль ны й ин ст и 1. 77 1.77 77.. *  ÷èñëå 139506 íå áîëåå òðåõ öèôð ìîæíî çàìåíèòü ðàçíûìè öèôðàìè, êîòîðûõ íåò â çàïèñè ÷èñëà. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî è êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ìîæíî ñîñòàâèòü òàêèì îáðàçîì? На ц ио на 1. 78 1.78 78..* Ìåæäó ÷èñëàìè 3, 2, 1 ðàññòàâüòå çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííîå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå ïðèíèìàëî çíà÷åíèå: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4; 6) 5; 7) 6; 8) 7; 9) 9. 1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà Ðèñ. 26 28 Ïóñòü K è L — òî÷êè íà ïðÿìîé. Âñå òî÷êè ïðÿìîé, ëåæàùèå ìåæäó íèìè, âìåñòå ñ òî÷êàìè K è L îáðàçóþò îòðåçîê (ðèñ. 26). Òî÷êè K è L íàçûâàþòñÿ êîíöà- Правообладатель Национальный институт образования 1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà ìè îòðåçêà. Îòðåçîê ñ êîíöàìè K è L îáîçíà÷àåòñÿ KL èëè LK. ×èòàþò òàê: «îòðåçîê KL», «îòðåçîê LK». ан ия Äâà îòðåçêà, êîòîðûå ìîæíî ñîâìåñòèòü íàëîæåíèåì, íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè. D то бр C ту A аз ов Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 27 èçîáðàæåíû ðàâíûå îòðåçêè AB è CD. ст и B Ðèñ. 27 на ль ны й ин Äëÿ èçìåðåíèÿ äëèíû îòðåçêà èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå åäèíèöû èçìåðåíèÿ.  áîëüøèíñòâå ñòðàí çà îñíîâíóþ åäèíèöó èçìåðåíèÿ äëèíû ïðèíÿò ìåòð, à äðóãèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèíû, ñîîòâåòñòâåííî, ñâÿçàíû ñ ìåòðîì. Ìåòð äåëèòñÿ íà 10 äåöèìåòðîâ, äåöèìåòð — íà 10 ñàíòèìåòðîâ, ñàíòèìåòð — íà 10 ìèëëèìåòðîâ: ио 1 ì = 10 äì = 100 ñì = 1000 ìì. На ц Áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ èçìåðÿþòñÿ êèëîìåòðàìè: 1 êì = 1000 ì. Îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ïðèíÿòà çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ, íàçûâàþò åäèíè÷íûì îòðåçêîì. Ïóñòü â êà÷åñòâå åäèíè÷íîãî îòðåçêà âçÿò îòðåçîê äëèíîé 1 ìì. Òîãäà, åñëè íàäî èçìåðèòü äëèíó îòðåçПравообладатель Национальный институт образования 29 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà êà AB, åå òîæå îáîçíà÷àþò ÀÂ, êàê è ñàì îòðåçîê, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèíåéêîé ñ ìèëëèìåòðîâûìè äåëåíèÿìè (ðèñ. 28). AB = 87 мм 5 4 6 Ðèñ. 28 7 8 ия 3 9 ан 2 1 0 B 10 аз ов A то бр Èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà — ýòî çíà÷èò íàéòè, ñêîëüêî åäèíè÷íûõ îòðåçêîâ ñîäåðæèòñÿ â äàííîì îòðåçêå. ту Åñëè îòðåçêè ðàâíû, òî è äëèíû èõ ðàâíû. ин ст и Åñëè äëèíû îòðåçêîâ ðàâíû, òî è îòðåçêè ðàâíû. Ðèñ. 29 На ц ио на ль ны й Äëèíó îòðåçêà À íàçûâàþò òàêæå ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè À è Â. Åñëè òî÷êà ðàçáèâàåò îòðåçîê íà äâå ÷àñòè, òî äëèíà îòðåçêà ðàâíà ñóììå äëèí åãî ÷àñòåé. Íàïðèìåð, À = ÀÑ + Ñ (ðèñ. 29). Îòðåçêè ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ èëè ñ ïîìîùüþ èçìåðåíèÿ èõ äëèí.  ñòàðèíó èñïîëüçîâàëè è äðóãèå ìåðû äëèíû: âåðñòó, ñàæåíü, àðøèí, âåðùîê, ôóò, äþéì è ò. ä. Ñ 1504 ã. â äîêóìåíòàõ óïîìèíàåòñÿ è îñîáûé áåðåñòåéñêèé àðøèí, ÷òî ãîâîðèò îá èçâåñòíîñòè Áðåñòà êàê òîðãîâîãî ãîðîäà. 30 Правообладатель Национальный институт образования 1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà Âîïðîñû ан ия Èçîáðàçèòå íà ïðÿìîé îòðåçîê è íàçîâèòå åãî êîíöû. Êàê îáîçíà÷àåòñÿ îòðåçîê? Êàêèå îòðåçêè íàçûâàþò ðàâíûìè? Êàêèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèíû âû çíàåòå? ×òî òàêîå åäèíè÷íûé îòðåçîê? ×òî çíà÷èò: èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà? ×òî íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè À è Â? Êàê ñðàâíèâàþòñÿ îòðåçêè? аз ов 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. то бр Óïðàæíåíèÿ ин ст и ту 1. 79 1.79 79..° Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè À è Â. Ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè ïîñòðîéòå îòðåçîê ÀÂ. Îòìåòüòå íà ýòîì îòðåçêå òî÷êè M è N. Íàçîâèòå îòðåçêè, íà êîòîðûå ýòè òî÷êè äåëÿò îòðåçîê ÀÂ. ль ны й 1. 80 1.80 80.. Èçîáðàçèòå â òåòðàäè îòðåçîê ÀÑ è îòìåòüòå íà íåì òî÷êè M è N. Çàïèøèòå âñå ïîëó÷èâøèåñÿ îòðåçêè. На ц ио на 1. 81 1.81 81..° Óêàæèòå òî÷êè íà ðèñóíêå 30, êîòîðûå: 1) ëåæàò íà îòðåçêå MN; 2) íå ëåæàò íà îòðåçêå MN. Ðèñ. 30 1. 82 1.82 82.. Óêàæèòå, êàêèå èç òî÷åê íà ðèñóíêå 31 ëåæàò ìåæäó òî÷êàìè: 1) A è C; 2) K è D; 3) A è B; 4) B è D. Правообладатель Национальный институт образования 31 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ия Ðèñ. 31 ту то бр аз ов ан 1. 83 1.83 83.. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî (ðèñ. 32): 1) À = AD + DB; 2) AB = AD + PB; 3) KR = KE + KD; 4) KD = KE + ED? ст и Ðèñ. 32 ль ны й ин 1. 84 1.84 84.. Èçîáðàçèòå â òåòðàäè îòðåçîê ÀÂ, èçìåðüòå åãî äëèíó. Èçîáðàçèòå îòðåçîê KM, äëèíà êîòîðîãî áîëüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ, è îòðåçîê KN, äëèíà êîòîðîãî ìåíüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ. ио на 1. 85 1.85 85.. ° Èçìåðüòå äëèíó îòðåçêà (ðèñ. 33): 1) KP; 2) KS; 3) KM; 4) PM; 5) PS; 6) SM. На ц 1.86. Ñêîëüêî îòðåçêîâ ïîëó÷àåòñÿ, åñëè íà ïðÿìîé îòìå÷åíà: 1) 1 òî÷êà; 2) 2 òî÷êè; 3) 3 òî÷êè; 4) 4 òî÷êè? Ðèñ. 33 1. 87 1.87 87.. Íàéäèòå íà ðèñóíêå 34 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè: 1) A è B; 2) A è M; 3) A è P; 4) B è M; 5) B è P; 6) P è M. 32 Правообладатель Национальный институт образования ия 1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà ан Ðèñ. 34 то бр аз ов 1. 88 1.88 88.. 1) Èçîáðàçèòå òî÷êè P, S è N òàê, ÷òîáû îíè ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé è òî÷êà P ëåæàëà ìåæäó òî÷êàìè S è N. 2) Ïðîâåðüòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî SP + PN = SN, âûïîëíèâ íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ. ин ст и ту 1. 89 1.89 89.. Èçîáðàçèòå äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêà AN è PK, îáîçíà÷üòå òî÷êó èõ ïåðåñå÷åíèÿ áóêâîé O. Íàéäèòå: 1) äëèíû ïîëó÷èâøèõñÿ îòðåçêîâ; 2) ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè A è P, A è K, N è K, N è P. Ðèñ. 35 На ц ио на ль ны й 1. 90 1.90 90.. Íàéäèòå ðàâíûå îòðåçêè (ðèñ. 35). 1. 91 1.91 91.. Íà÷åðòèòå îòðåçêè, ðàâíûå îòðåçêàì, èçîáðàæåííûì íà ðèñóíêå 36. Ðèñ. 36 Правообладатель Национальный институт образования 33 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà C á) S T A D P V K аз ов ã) N â) ан à) B ия 1. 92 1.92 92.. Íàéäèòå íà ðèñóíêå 37 ðàâíûå îòðåçêè. P M C F ту A то бр E ст и Ðèñ. 37 На ц ио на ль ны й ин 1. 93 1.93 93.. Íà ðèñóíêå 38 èçîáðàæåíû ïðÿìûå à, b è îòðåçêè BC, KL è FR. Ïåðåñåêàþòñÿ ëè: 1) a è BC; 2) a è KL; 3) BC è FR; 4) b è KL; 5) b è BC; 6) BC è KL? Ðèñ. 38 1. 94 1.94 94.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: 1) 5 ì 29 ñì + 3 ì 44 ñì; 2) 7 äì 3 ìì + 26 äì 59 ìì; 3) 1 ì 13 äì + 50 äì 4 ñì; 4) 28 äì 2 ñì + 2 äì 17 ìì. 34 Правообладатель Национальный институт образования 1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 1. 95 1.95 95.. * Äåíèñ, Þðà è Âàäèì ñîáðàëè 48 ìåøêîâ êàðòîôåëÿ. Âàäèì ñîáðàë íà 10 ìåøêîâ ìåíüøå, ÷åì Þðà, à Äåíèñ íà 5 ìåøêîâ áîëüøå, ÷åì Âàäèì. Ñêîëüêî ìåøêîâ êàðòîôåëÿ ñîáðàë êàæäûé? аз ов ан ия 1. 96 1.96 96.. Âî âðåìÿ èñïûòàíèÿ íà ïîëèãîíå íîâûé àâòîìîáèëü çà ïåðâûé äåíü ïðîåõàë 93 êì 860 ì, à çà âòîðîé — íà 15 êì 390 ì áîëüøå. Îïðåäåëèòå îáùèé ïðîáåã àâòîìîáèëÿ çà äâà äíÿ èñïûòàíèé. то бр 1. 97 1.97 97..* Ïðûæîê çàéöà â 2 ðàçà êîðî÷å, íî â 3 ðàçà ÷àùå, ÷åì ó âîëêà. Êòî áûñòðåå ïðåîäîëååò ðàññòîÿíèå â 1 êì? ль ны й ин ст и ту 1. 98 1.98 98..* ×åáóðàøêà çàïèñàë íà äîñêå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà. À ñòàðóõà Øàïîêëÿê ñòåðëà âñå çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé. Âîññòàíîâèòå èõ. 1) 1 2 3 = 4; 2) 1 2 3 4 5 = 5; 3) 1 2 3 4 5 = 6; 4) 1 2 3 4 5 6 = 7; 5) 1 2 3 4 5 6 7 = 8; 6) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 9. 1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ио на Êàê óçíàòü, êàêîå èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áîëüøå, à êàêîå ìåíüøå? На ц Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî, êîòîðîå ïðè ñ÷åòå íàçûâàåòñÿ ðàíüøå. Òàêèì îáðàçîì, èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøèì ñ÷èòàåòñÿ òî, êîòîðîå â íàòóðàëüíîì ðÿäó 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ... ðàñïîëîæåíî ëåâåå, à áîëüøèì — òî, êîòîðîå ðàñïîëîæåíî ïðàâåå. Правообладатель Национальный институт образования 35 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà Ñðàâíèòü äâà ÷èñëà — ýòî çíà÷èò îïðåäåëèòü, êàêîå èç íèõ ìåíüøå, à êàêîå áîëüøå. ту то бр аз ов ан ия  íàòóðàëüíîì ðÿäó ÷èñëî 7 ðàñïîëîæåíî ëåâåå ÷èñëà 11, çíà÷èò, 7 ìåíüøå 11. Ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ äâóõ ÷èñåë çàïèñûâàþò ïðè ïîìîùè çíàêîâ áîëüøå «>» è ìåíüøå «<». Òàê, 7 < 11, à 11 > 7. Òàêèå çàïèñè íàçûâàþò íåðàâåíñòâàìè. Ïðè ñðàâíåíèè äâóõ ÷èñåë ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ, ÷òî ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå âòîðîãî ÷èñëà, èëè áîëüøå åãî, èëè ðàâíî åìó. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ ïðàâèëàìè. ин ст и 1. Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ ðàçíûì êîëè÷åñòâîì ðàçðÿäîâ ìåíüøå òî, ó êîòîðîãî ðàçðÿäîâ ìåíüøå. ль ны й Íàïðèìåð, ñðàâíèì ÷èñëà 9879 è 12 893. Òàê êàê ó ÷èñëà 9879 ÷åòûðå ðàçðÿäà, à ó ÷èñëà 12 893 ïÿòü ðàçðÿäîâ, òî 9879 < 12 893. На ц ио на 2. Äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà ñ îäèíàêîâûì êîëè÷åñòâîì ðàçðÿäîâ ñðàâíèâàþò ïîðàçðÿäíî, íà÷èíàÿ ñ âûñøåãî ðàçðÿäà (ñëåâà íàïðàâî). Ìåíüøå òî ÷èñëî, ó êîòîðîãî öèôðà íàèáîëüøåãî îòëè÷àþùåãîñÿ ðàçðÿäà ìåíüøå. Ïîÿñíèì ýòî ïðàâèëî íà äâóõ ïðèìåðàõ. Ïð èìåð 1. Ñðàâíèòü ÷èñëà 2739 è 5300. Ïðèìåð Îáúÿñíåíèå. Âûñøèé ðàçðÿä êàæäîãî èç íèõ ÷åòâåðòûé. Ó ïåðâîãî ÷èñëà 2 åäèíèöû ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà, ó âòîðîãî — 5 åäèíèö. Çíà÷èò, ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå âòîðîãî: 2739 < 5300. 36 Правообладатель Национальный институт образования 1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ïð èìåð 2. Ñðàâíèòü ÷èñëà 2789 è 2769. Ïðèìåð аз ов ан ия Îáúÿñíåíèå. Âûñøèé ðàçðÿä êàæäîãî èç íèõ ÷åòâåðòûé. Ïîñëåäîâàòåëüíî óáåæäàåìñÿ, ÷òî â ÷åòâåðòîì è â òðåòüåì ðàçðÿäàõ ñòîÿò îäèíàêîâûå öèôðû (ò. å. êîëè÷åñòâî òûñÿ÷ è êîëè÷åñòâî ñîòåí ó ýòèõ ÷èñåë îäèíàêîâîå). À âîò âî âòîðîì ðàçðÿäå ó ïåðâîãî ÷èñëà ñòîèò 8, à ó âòîðîãî — 6 (ò. å. êîëè÷åñòâî äåñÿòêîâ ó ïåðâîãî ÷èñëà 8, à ó âòîðîãî — 6). Çíà÷èò, ïåðâîå ÷èñëî áîëüøå âòîðîãî: 2789 > 2769. ст и ту то бр Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî íóëü ìåíüøå ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Íàïðèìåð, íóëü ìåíüøå ñåìè. Ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê: 0 < 7. Âîïðîñû на ль ны й ин 1. Êàêîå èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå? áîëüøå? 2. ×òî çíà÷èò: ñðàâíèòü äâà ÷èñëà? 3. Ïðè ïîìîùè êàêèõ çíàêîâ çàïèñûâàåòñÿ ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ äâóõ ÷èñåë? Êàê íàçûâàþò òàêèå çàïèñè? 4. Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàêîå ìåíüøå (áîëüøå), åñëè ó íèõ êîëè÷åñòâî ðàçðÿäîâ: à) ðàçíîå; á) îäèíàêîâîå? На ц ио Óïðàæíåíèÿ 1. 99 1.99 99.. ° Íàçîâèòå äâà ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå ÷èñëà: 1) 312; 2) 9999; 3) 1; 4) 0. 1. 100 1.100 100..° Íàçîâèòå äâà ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ ìåíüøå ÷èñëà: 1) 99; 2) 10 000; 3) 3524; 4) 12 345. Правообладатель Национальный институт образования 37 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1. 101 1.101 101.. ° Ïðî÷èòàéòå çàïèñè: 1) 1 < 8; 2) 30 > 2; 3) 92 < 100; 4) 378 > 360; 5) a > 18; 6) m < 20. аз ов ан ия 1. 102 1.102 102..° Èñïîëüçóÿ çíàê «>», çàïèøèòå ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ ÷èñåë: 1) 257 910 è 259 710; 2) 1 300 531 è 130 531. ту то бр 1. 103 1.103 103..° Èñïîëüçóÿ çíàê «<», çàïèøèòå ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ ÷èñåë: 1) 78 290 132 è 7 830 132; 2) 4 893 910 è 4 903 810. ль ны й ин ст и 1. 104 1.104 104.. Ñðàâíèòå ÷èñëà, ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ çàïèøèòå ñ ïîìîùüþ çíàêîâ «>» èëè «<»: 1) 809 è 908; 2) 5588 è 8555; 3) 475 869 è 475 870; 4) 1 111 431 è 11 111 431. ио на 1. 105 1.105 105.. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ðàñïîëîæåíî â íàòóðàëüíîì ðÿäó ëåâåå: 1) 772 èëè 812; 2) 92 756 èëè 100 000; 3) 1000 èëè 1001; 4) 54 321 èëè 54 317? На ц 1. 106 1.106 106.. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ðàñïîëîæåíî â íàòóðàëüíîì ðÿäó ïðàâåå: 1) 820 324 èëè 820 410; 2) 5 670 435 èëè 5 670 436; 3) 110 110 110 èëè 110 110 100; 4) 50 000 000 èëè 499 999 999? 1. 107 1.107 107.. Çàïèøèòå âñå ïÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå: 1) ìåíüøå 10 003; 2) áîëüøå 99 996. 38 Правообладатель Национальный институт образования 1.8. Ëó÷ 1. 108 1.108 108.. Íàçîâèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå: 1) áîëüøå ÷èñëà 163 831 è îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 0; 2) ìåíüøå ÷èñëà 79 000 321 è îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 5. аз ов ан ия 1. 109 1.109 109.. Çàïèøèòå: 1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå áîëüøå 93; 2) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2 è áîëüøå 90. ст и ту то бр 1. 1.1110 10.. Ñðàâíèòå âåëè÷èíû è çàïèøèòå îòâåò ñ ïîìîùüþ çíàêîâ «>», «<», «=»: 1) 978 ñì è 9 ì; 2) 4782 ì è 4 êì; 3) 27 920 êã è 28 ò; 4) 3 êã è 3400 ã; 5) 6 ÷ è 600 ìèí; 6) 370 ñ è 6 ìèí 30 ñ. ль ны й ин 1. 1.1111. * Âìåñòî ñèìâîëà ☺ âñòàâüòå (åñëè ýòî âîçìîæíî) öèôðó òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå íåðàâåíñòâî: 1) 905 > 9☺4; 2) 908 > 9☺9; 3) ☺☺1 > 991; 4) 9☺☺ < ☺00; 5) ☺☺8 < 99☺; 6) 7☺2 < 796. На ц ио на 1. 1.1112 12..* Ñ ïîìîùüþ äåñÿòè åäèíèö è çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé ñîñòàâüòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå, çíà÷åíèå êîòîðîãî ðàâíî: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5; 6) 6; 7) 7; 8) 8; 9) 9; 10) 10; 11) 11; 12) 12. 1.8. Ëó÷ Òî÷êà Î, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé (ðèñ. 39), äåëèò åå íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç íèõ íàçûâàåòñÿ ëó÷îì ñ íà÷àëîì â òî÷êå Î. Ó ëó÷à íåò êîíöà. Правообладатель Национальный институт образования 39 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà A O B Ðèñ. 40 ия Ðèñ. 39 то бр аз ов ан Ëó÷, êàê è ïðÿìóþ, îáîçíà÷àþò äâóìÿ ïðîïèñíûìè (áîëüøèìè) áóêâàìè. Íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòñÿ áóêâà, îáîçíà÷àþùàÿ íà÷àëî ëó÷à, íà âòîðîå — áóêâà, îáîçíà÷àþùàÿ ëþáóþ òî÷êó íà ëó÷å. Íà ðèñóíêå 40 èçîáðàæåíû ëó÷è ÎÀ è ÎÂ. ×èòàþò: «ëó÷ ÎÀ», «ëó÷ λ. Âîïðîñû ин ст и ту 1. ×òî íàçûâàåòñÿ ëó÷îì? 2. Ïðÿìûå À è CD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K (ðèñ. 41). Ïðè ýòîì îáðàçóþòñÿ ëó÷è. Íàçîâèòå ýòè ëó÷è. Ñêîëüêî èõ? ль ны й Ðèñ. 41 Óïðàæíåíèÿ ио на 1. 1.1113 13.. ° Íàçîâèòå è çàïèøèòå ëó÷è, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 42: На ц а) O б) в) E D г) Q T F A K S C B O R Ðèñ. 42 1. 1.1114 14.. Íàçîâèòå ëó÷è íà ïðÿìîé MN, âûõîäÿùèå èç òî÷êè D (ðèñ. 43). 40 Правообладатель Национальный институт образования ан Ðèñ. 44 аз ов Ðèñ. 43 ия 1.8. Ëó÷ 1. 1.1115 15.. Ñêîëüêî ëó÷åé ñ íà÷àëîì â òî÷êå K èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 44? то бр 1. 1.1116 16..° Îòìåòüòå òî÷êó F. Ïðîâåäèòå òðè ëó÷à ñ íà÷àëîì â òî÷êå F. Îáîçíà÷üòå è çàïèøèòå èõ. ль ны й P ин ст и ту 1. 1.1117 17.. Ïåðåñåêàþòñÿ ëè íà ðèñóíêå 45 ïðÿìàÿ AB è ëó÷: 1) OM; 2) RL; 3) DP; 4) ST? R B L T O S На ц ио D на A M Ðèñ. 45 1. 1.1118 18.. Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ PS è îòìåòüòå íà íåé äâå òî÷êè A è E. Íàçîâèòå âñå ëó÷è è îòðåçêè, êîòîðûå îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå. 1. 1.1119 19.. Èçîáðàçèòå ëó÷ KR è îòìåòüòå íà íåì òî÷êè L è S. Çàïèøèòå ëó÷è, êîòîðûå îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå. Правообладатель Национальный институт образования 41 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1. 120 1.120 120.. Èçîáðàçèòå ïðÿìûå MK è NR òàê, ÷òîáû îíè ïåðåñåêàëèñü â òî÷êå Å. Íàçîâèòå âñå ëó÷è, îáðàçîâàâøèåñÿ íà ðèñóíêå. аз ов ан ия 1. 121 1.121 121.. Îòìåòüòå òî÷êó Ñ è ïðîâåäèòå ÷åðåç íåå: 1) 2 ïðÿìûå; 2) 3 ïðÿìûå; 3) 4 ïðÿìûå; 4) 5 ïðÿìûõ. Îïðåäåëèòå ÷èñëî ëó÷åé ñ íà÷àëîì â òî÷êå Ñ. ту то бр 1. 122 1.122 122.. Íà÷åðòèòå ëó÷ PL. Ïðîâåäèòå ëó÷ PT òàê, ÷òîáû ëó÷è PL è PT: 1) áûëè ëó÷àìè îäíîé ïðÿìîé; 2) íå áûëè ëó÷àìè îäíîé ïðÿìîé. O M P F E T на â) D ль ны й à) ин ст и 1. 123 1.123 123.. Ïðèíàäëåæàò ëè ëó÷è, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 46, îäíîé ïðÿìîé? ã) á) E K K T F B C T Ðèñ. 46 На ц ио 1. 124 1.124 124.. Íà ðèñóíêå 47 èçîáðàæåíû òî÷êè A, B, C, D, K, T. Íàçîâèòå òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå, è òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèå ëó÷ó: 1) ÎÌ; 2) ÌÎ. T A B M O K C Ðèñ. 47 42 Правообладатель Национальный институт образования D 1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷ 1. 125 1.125 125.. Èçîáðàçèòå ëó÷ ÀÑ. Ïîñòðîéòå íà íåì îòðåçîê: 1) À = 1 ñì; 3) AD = 1 äì; 2) ÀÌ = 5 ñì; 4) AP = 45 ìì. аз ов 1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷ ан ия Ìîæíî ëè íà ëó÷å ÀÑ îòëîæèòü îòðåçîê äëèíîé 1 ì, 100 ì, 1 êì? ту то бр Èçîáðàçèì ëó÷ ñ íà÷àëîì â òî÷êå Î. Çàäàäèì íà íåì åäèíè÷íûé îòðåçîê OE (ðèñ. 48). ст и Ðèñ. 48 ль ны й ин Ëó÷ ñ çàäàííûì íà íåì åäèíè÷íûì îòðåçêîì íàçûâàþò êîîðäèíàòíûì ëó÷îì. На ц ио на Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî îòêëàäûâàòü åäèíè÷íûé îòðåçîê îò íà÷àëà êîîðäèíàòíîãî ëó÷à. Òåì ñàìûì ìû îòìåòèì íà ëó÷å òî÷êè. Ïðîòèâ êàæäîé îòìå÷åííîé òî÷êè çàïèøåì ÷èñëî, êîòîðîå ïîêàçûâàåò, ñêîëüêî ðàç îòëîæèëè åäèíè÷íûé îòðåçîê îò íà÷àëà ëó÷à (ñì. ðèñ. 48). Íà ðèñóíêå 48 ÷èñëî 7 èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé K íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å. ×èñëî 7 íàçûâàþò êîîðäèíàòîé òî÷êè K è ïèøóò: K(7). Ãîâîðÿò òàêæå: «òî÷êà K ñ êîîðäèíàòîé 7» èëè ïðîñòî: «òî÷êà 7». Òî÷êà Î — íà÷àëî ëó÷à — èìååò êîîðäèíàòó 0 (íóëü). Îáû÷íî êîîðäèíàòíûé ëó÷ ðàñïîëàãàþò ãîðèçîíòàëüíî ñëåâà íàïðàâî (ñì. ðèñ. 48). Òî÷êà Ñ(4) ñ ìåíüøåé êîîðäèíàòîé ðàñïîëîæåíà íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å Правообладатель Национальный институт образования 43 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ëåâåå òî÷êè K(7). Ïðè ñðàâíåíèè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò ïðàâèëî: ия èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî, êîòîðîå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ðàñïîëîæåíî ëåâåå. ан Âîïðîñû то бр аз ов 1. ×òî íàçûâàþò êîîðäèíàòíûì ëó÷îì? 2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî ñðàâíåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîãî ëó÷à. Óïðàæíåíèÿ ин ст и ту 1. 126 1.126 126.. ° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëàì 1, 2, 5, 7, 8, 10, åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê ðàâåí: 1) 2 ìì; 2) 5 ìì; 3) 8 ìì; 4) 12 ìì. ль ны й 1. 127 1.127 127..° Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì, ðàâíûì 10 ìì, îòìåòüòå òî÷êè À(3), Â(5), Ñ(6), D(9). Êàêèå èç ýòèõ òî÷åê ëåæàò íà îòðåçêå: 1) AD; 2) AC; 3) BD; 4) BC? На ц ио на 1. 128 1.128 128.. Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì, ðàâíûì 1 ñì, îòìåòüòå òî÷êè, íàõîäÿùèåñÿ îò íà÷àëà ëó÷à íà ðàññòîÿíèè: 1) 4 ñì; 2) 3 ñì; 3) 7 ñì; 4) 6 ñì. Îáîçíà÷üòå ýòè òî÷êè è çàïèøèòå èõ êîîðäèíàòû. 1. 129 1.129 129.. ° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì, ðàâíûì ñòîðîíå îäíîé êëåòêè â òåòðàäè, ÷èñëà: 1) 0, 2, 4, 6, 12, 16, 20, 24; 2) 1, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19. 44 Правообладатель Национальный институт образования 1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷ 1. 130 1.130 130.. Êàêèì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè A, B, C, D (ðèñ. 49)? 3) 4) O A 2 O A 3 B O A 4 B D C B D C ан B ия A 1 аз ов 2) O D C D C Ðèñ. 49 то бр 1) ль ны й ин ст и ту 1. 131 1.131 131..° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè: 1) À(0), Â(4), Ì(8), Ð(12), åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê ðàâåí 2 êëåòêàì1); 2) G(1), Q(2), R(3), S(4), åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê ðàâåí 5 êëåòêàì. ио на 1. 132 1.132 132.. Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì, ðàâíûì 5 ìì, îòìåòüòå òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ îò íà÷àëà ëó÷à íà ðàññòîÿíèè: 1) 10 ìì; 2) 25 ìì; 3) 4 ñì; 4) 5 ñì. Îáîçíà÷üòå ýòó òî÷êó è çàïèøèòå åå êîîðäèíàòû. На ц 1. 133 1.133 133.. Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó Î. Îòñòóïèâ âïðàâî îò òî÷êè Î íà ÷åòûðå êëåòêè, îáîçíà÷üòå òî÷êó À(2). Îòìåòüòå íà ïðÿìîé òî÷êó: 1) K(4); 2) D(3); 3) M(5); 4) L(8). ________ 1) Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî îòðåçîê ðàâåí, íàïðèìåð, 2 êëåòêàì, òî èìåþò â âèäó, ÷òî åãî äëèíà ðàâíà óäâîåííîé äëèíå ñòîðîíû îäíîé êëåòêè â òåòðàäè. Правообладатель Национальный институт образования 45 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1. 134 1.134 134.. Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó Î. Îòñòóïèâ âïðàâî îò òî÷êè Î íà ïÿòü êëåòîê, îáîçíà÷üòå òî÷êó N(10). Îòìåòüòå íà ïðÿìîé òî÷êó: 2) F(8); 3) E(20); 4) S(30). ия 1) T(2); M K N 10 100 M 2) L то бр 1) аз ов ан 1.135. Çàïèøèòå êîîðäèíàòû îòìå÷åííûõ òî÷åê, èñïîëüçóÿ ðèñóíîê 50, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà ÷àñòü êîîðäèíàòíîãî ëó÷à. N K 6000 ту 1000 L ст и Ðèñ. 50 ль ны й ин 1. 136 1.136 136.. Âûáåðèòå åäèíè÷íûé îòðåçîê è îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êó: 1) F(16); 2) K(20); 3) Z(24); 4) V(40). 1. 137 1.137 137.. Êàêàÿ èç òî÷åê — À(12) èëè Â(19) — ðàñïîëîæåíà áëèæå ê òî÷êå Ñ(15)? ио на 1. 138 1.138 138.. Íàçîâèòå êîîðäèíàòû òî÷åê, óäàëåííûõ íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å îò òî÷êè Ò(21) íà 6 åäèíèö. На ц 1. 139 1.139 139.. Íàçîâèòå êîîðäèíàòû êàêèõ-ëèáî òî÷åê, óäàëåííûõ íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å îò òî÷êè Ò(7) íà îäèíàêîâîå ðàññòîÿíèå. 1. 140 1.140 140.. Íà ðèñóíêå 51 èçîáðàæåíà ÷àñòü êîîðäèíàòíîãî ëó÷à, íà êîòîðîì îòìå÷åíû êîîðäèíàòû äâóõ òî÷åê. Óêàæèòå êîîðäèíàòû îñòàëüíûõ îòìå÷åííûõ òî÷åê. 46 Правообладатель Национальный институт образования 1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 4) A F B C 92 96 M N K 13 17 M N K 26 34 C K Ðèñ. 51 P ия 32 ан 3) B аз ов 2) A 24 P то бр 1) ль ны й ин ст и ту 1. 141 1.141 141.. Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òðè òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè: 1) ìåíüøå 4; 2) áîëüøå 6; 3) áîëüøå 1 è ìåíüøå 7; 4) áîëüøå 0 è ìåíüøå 5. 1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë На ц ио на Åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ ãîðîäàìè îêàæåòñÿ, ÷òî îíî ðàâíî 392 êì, òî ìû ñêàæåì, ÷òî îíî ïðèìåðíî ðàâíî 400 êì. À åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ðàññòîÿíèå ïîëó÷èëîñü ðàâíûì 303 êì, òî ñêàæåì, ÷òî îíî ïðèìåðíî ðàâíî 300 êì.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû çàìåíÿåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî áëèæàéøèì ê íåìó «êðóãëûì» ÷èñëîì, ò. å. ÷èñëîì, îêàí÷èâàþùèìñÿ íóëÿìè (îäíèì èëè íåñêîëüêèìè). Òàêàÿ çàìåíà íàçûâàåòñÿ îêðóãëåíèåì. À ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå îêðóãëåíèÿ, íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äàííîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Правообладатель Национальный институт образования 47 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà Íàòóðàëüíûå ÷èñëà îêðóãëÿþò äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷, äåñÿòêîâ òûñÿ÷ è ò. ä. ия Ïð èìåð 1. Îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ ÷èñëî: Ïðèìåð à) 374; á) 377; â) 375. 372 371 374 373 376 378 то бр 370 аз ов ан Ðåøåíèå. à) ×òîáû îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ ÷èñëî 374, íóæíî èç äâóõ ÷èñåë 370 è 380, ìåæäó êîòîðûìè îíî ðàñïîëîæåíî (ðèñ. 52), âûáðàòü òî, êîòîðîå áëèæå ê 374. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ÷èñëî 370. 375 377 380 379 ту Ðèñ. 52 ст и Ðåçóëüòàò îêðóãëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ òàê: ин 374 ≈ 370. На ц ио на ль ны й ×èòàåòñÿ: «òðèñòà ñåìüäåñÿò ÷åòûðå ïðèáëèæåííî ðàâíî òðåìñòàì ñåìèäåñÿòè». Çàìåòèì, ÷òî, îêðóãëÿÿ ÷èñëî 374 äî äåñÿòêîâ, ìû çàìåíèëè öèôðó â ðàçðÿäå åäèíèö íóëåì. á) Àíàëîãè÷íî îêðóãëÿåòñÿ äî äåñÿòêîâ ÷èñëî 377. Îíî áëèæå ê 380, ÷åì ê 370, ïîýòîìó 377 ≈ 380. Çàìåòèì, ÷òî, îêðóãëÿÿ ÷èñëî 377 äî äåñÿòêîâ, ìû çàìåíèëè öèôðó â ðàçðÿäå åäèíèö íóëåì è óâåëè÷èëè öèôðó â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ íà åäèíèöó. â) ×èñëî 375 ðàñïîëîæåíî íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè îò ÷èñåë 370 è 380.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ÷èñëî îêðóãëÿåòñÿ â áîëüøóþ ñòîðîíó: 375 ≈ 380. ×òîáû îêðóãëèòü ÷èñëî äî îïðåäåëåííîãî ðàçðÿäà, íóæíî: 1) âñå ñëåäóþùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðû çàìåíèòü íóëÿìè; 48 Правообладатель Национальный институт образования 1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан ия 2) åñëè ïåðâàÿ çàìåíåííàÿ íóëåì öèôðà 5, 6, 7, 8 èëè 9, òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî óâåëè÷èòü íà åäèíèöó ðàçðÿäà, äî êîòîðîãî îêðóãëÿåì; 3) åñëè ïåðâàÿ çàìåíåííàÿ öèôðà 0, 1, 2, 3 èëè 4, òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ. то бр ту Ðåøåíèå. à) 183 398 ≈ 180 000; á) 295 301 ≈ 300 000; â) 4987 ≈ 0 äåñÿòêîâ òûñÿ÷. аз ов Ïð èìåð 2. Îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷ ÷èñëî: Ïðèìåð à) 183 398; á) 295 301; â) 4987. ин ст и Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñòàðèííûõ ìåð äëèíû: 1 âåðñòà ≈ 1 êì, 1 ñàæåíü ≈ 2 ì, 1 àðøèí ≈ 71 ñì, 1 âåðøîê ≈ 45 ìì, 1 ôóò ≈ 30 ñì, 1 äþéì ≈ 25 ìì. ль ны й Âîïðîñû ио на 1. ×òî çíà÷èò: îêðóãëèòü ÷èñëî äî äåñÿòêîâ? äî òûñÿ÷? 2. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äàííîãî ÷èñëà? 3. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî îêðóãëåíèÿ ÷èñëà. На ц Óïðàæíåíèÿ 1. 142 1.142 142.. Îïðåäåëèòå, êàêèå çíà÷åíèÿ òî÷íûå, à êàêèå — ïðèáëèæåííûå: 1) â øêîëå ðàáîòàþò 124 ó÷èòåëÿ; 2) â øêîëüíîé áèáëèîòåêå áîëåå 25 000 êíèã; 3) ðàññòîÿíèå îò Ìèíñêà äî Ãîìåëÿ îêîëî 325 êì; 4) ïîåçä îò Ãîìåëÿ äî ñòàíöèè Çÿáðîâêà èäåò ïî÷òè 30 ìèí. Правообладатель Национальный институт образования 49 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1. 143 1.143 143.. ° Íàçîâèòå êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, êîòîðîå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å íàõîäèòñÿ ìåæäó 23 è 32: 1) áëèæå ê 23; 2) áëèæå ê 32. то бр аз ов ан ия 1. 144 1.144 144.. ° Íàïèøèòå êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, êîòîðîå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å íàõîäèòñÿ: 1) ìåæäó 91 è 100 è áëèæå ê 91; 2) ìåæäó 158 è 198 è áëèæå ê 198; 3) ìåæäó 2467 è 2471 è áëèæå ê 2471; 4) ìåæäó 76 800 è 76 900 è áëèæå ê 76 800. ин ст и ту 1. 145 1.145 145.. Êàêîå èç ïðèáëèæåííûõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷åííîå ïðè îêðóãëåíèè äî äåñÿòêîâ, âåðíîå: 1) 67 ≈ 60 èëè 67 ≈ 70; 2) 236 ≈ 240 èëè 236 ≈ 230; 3) 4904 ≈ 4910 èëè 4904 ≈ 4900; 4) 6875 ≈ 6870 èëè 6875 ≈ 6880? Îêðóãëèòå ÷èñëî: à) äî äåñÿòêîâ; á) äî ñîòåí; òûñÿ÷; ã) äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷: 73 649; 2) 57 034; 1245; 4) 4678. На ц ио 1. 147 1.147 147.. â) äî 1) 3) на ль ны й 1. 146 1.146 146.. ° Ïðî÷èòàéòå ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà è îïðåäåëèòå, äî êàêîãî ðàçðÿäà îêðóãëèëè ÷èñëî: 1) 973 ≈ 970; 2) 3182 ≈ 3000; 3) 4767 ≈ 4800; 4) 34 983 ≈ 35 000; 5) 57 442 ≈ 60 000; 6) 978 105 ≈ 1 000 000. 1. 148 1.148 148.. Îêðóãëèòå ÷èñëà: 1) 4 027 482, 352 996, 520 808 äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷; 2) 173 936, 37 078 520, 62 860 012 äî ñîòåí òûñÿ÷. 1. 149 1.149 149.. Ïîñëå îêðóãëåíèÿ ÷èñëà 1 275 409 Ëåíà ïîëó÷èëà ÷èñëî 1 300 000, Øóðà — 1 275 000, à ó Êîëè 50 Правообладатель Национальный институт образования 1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 1 275 410. Îïðåäåëèòå, äî êàêèõ ðàçðÿäîâ êàæäûé èç íèõ âûïîëíÿë îêðóãëåíèå. аз ов ан ия 1. 150 1.150 150.. 1) Þëÿ çàäóìàëà ÷èñëî è, îêðóãëèâ åãî äî äåñÿòêîâ, ïîëó÷èëà 60. Êàêîå ÷èñëî ìîãëà çàäóìàòü Þëÿ? 2) Ëåíà çàäóìàëà ÷èñëî è, îêðóãëèâ åãî äî ñîòåí, çàïèñàëà 300. Êàêîå ÷èñëî ìîãëà çàäóìàòü Ëåíà? то бр 1. 151 1.151 151.. Íàçîâèòå íàèáîëüøåå ÷èñëî è íàèìåíüøåå ÷èñëî, ïðè îêðóãëåíèè êîòîðûõ äî òûñÿ÷ ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî 798 000. ст и ту 1. 152 1.152 152..  ðóññêî-íåìåöêîì ñëîâàðå ñîäåðæèòñÿ 9752 ñëîâà. Óêàæèòå ïðèìåðíîå êîëè÷åñòâî ñëîâ, îêðóãëèâ äàííîå ÷èñëî äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷. ль ны й ин 1. 153 1.153 153.. Çàïèøèòå ðÿä ÷èñåë, êîòîðûé ïîëó÷èòñÿ, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî îêðóãëÿòü ÷èñëî 39 602 649 äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷ è ò. ä. ио на 1. 154 1.154 154.. Ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë, èñïîëüçóÿ îêðóãëåíèå: 1) 9 090 909, 9 090 910, 9 090 900, ... ; 2) 6 794 238, 6 794 240, 6 794 200, ... . На ц 1. 155 1.155 155.. Îïðåäåëèòå, ìåæäó êàêèìè ÷èñëàìè íàòóðàëüíîãî ðÿäà íàõîäÿòñÿ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè îêðóãëåíèè äî òûñÿ÷ ïðèáëèæåííî ðàâíû: 1) 1000; 2) 57 000; 3) 10 000; 4) 90 000. 1. 156 1.156 156.. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ÷èñåë, êîòîðûå ïðè îêðóãëåíèè äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷ ïðèáëèæåííî ðàâíû îäíîìó è òîìó æå íàòóðàëüíîìó ÷èñëó. Правообладатель Национальный институт образования 51 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà то бр аз ов 1. 159 1.159 159.. Îêðóãëèòå äî äåöèìåòðîâ: 1) 4 äì 3 ñì; 2) 768 ìì; 3) 29 ñì; 4) 549 ñì. ан 1. 158 1.158 158.. Îêðóãëèòå äî öåíòíåðîâ: 1) 3 ö 56 êã; 2) 9 ö 90 êã; 3) 781 êã; 4) 909 êã. ия 1. 157 1.157 157.. Îêðóãëèòå äî êèëîãðàììîâ: 1) 8 êã 360 ã; 2) 29 êã 500 ã; 3) 1 êã 980 ã; 4) 44 830 ã. ин ст и ту 1. 160 1.160 160..* Íàéäèòå íàèìåíüøåå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ó êîòîðîãî ñóììà öèôð áîëüøå, ÷åì: 1) ó ëþáîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå èñêîìîãî; 2) ó ëþáîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå èñêîìîãî. ль ны й Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå на 1. 161 1.161 161.. Âû÷èñëèòå: 1) 86 + 2473; 3) 123 + 73 563; На ц ио 1. 162 1.162 162.. Âû÷èñëèòå: 1) 3248 − 359; 3) 4802 − 995; 2) 66 + 5634; 4) 947 + 48 432. 2) 6056 − 132; 4) 2093 − 535. 1. 163 1.163 163.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 5086 . 40; 2) 3110 . 80; 3) 180 414 : 9; 4) 226 804 : 4. 1. 164 1.164 164.. Âûïîëíèòå äåéñòâèå: 1) 702 . 69; 2) 537 . 201; 3) 3952 : 38; 4) 28 334 : 457. 52 Правообладатель Национальный институт образования Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå 1. 166 1.166 166.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: ту то бр êì 320 ì + 1 êì 906 ì; ì 4 äì − 2 ì 48 ñì; ì 25 ñì + 9 äì 15 ìì; äì 62 ìì + 3 ì 48 ñì. ст и 1) 5 2) 6 3) 1 4) 8 аз ов ан ия 1. 165 1.165 165.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: 1) 320 − (56 . 2 + 120 : 6); 2) 320 − 56 . 2 + 120 : 6; 3) 738 : 6 − 861 : 7; 4) 1872 : 8 − 29 . 8; 5) (225 − 875 : 5) : 25; 6) 7992 : (207 − 135) : 3. 1. 167 1.167 167.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: ин ÷ 28 ìèí + 3 ÷ 43 ìèí; ìèí 42 ñ − 6 ìèí 53 ñ; ÷ 3 ìèí 27 ñ + 2 ÷ 48 ìèí 38 ñ; ÷ 57 ìèí 41 ñ + 34 ìèí 29 ñ. ль ны й 1) 1 2) 8 3) 1 4) 3 На ц ио на 1. 168 1.168 168.. Ó Ëèçû 8 êîìïàêò-äèñêîâ ñ ìóçûêàëüíûìè çàïèñÿìè. À ó Îëè íà 3 äèñêà áîëüøå. Ó Íàñòè ñòîëüêî æå êîìïàêò-äèñêîâ, ñêîëüêî ó Îëè. Íà äåíü ðîæäåíèÿ Íàñòå ïîäàðèëè åùå 2 äèñêà. Ñêîëüêî âñåãî äèñêîâ ó äåâî÷åê? 1. 169 1.169 169.. Íà òðåõ àâòîáóñàõ âåçóò äåòåé íà ýêñêóðñèþ â Áðåñòñêóþ êðåïîñòü.  ïåðâîì àâòîáóñå åõàëî 40 äåòåé, âî âòîðîì — â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì, à â òðåòüåì — íà 10 äåòåé ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì è âòîðîì àâòîáóñàõ âìåñòå. Ñêîëüêî äåòåé åõàëî â òðåòüåì àâòîáóñå? Правообладатель Национальный институт образования 53 à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ия 1. 170 1.170 170.. Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ óêðàøåíèÿ èç áèñåðà Ãàëèíà ïîäãîòîâèëà 250 øòóê çåëåíîãî áèñåðà, æåëòîãî — íà 70 øòóê áîëüøå, ÷åì çåëåíîãî, à îðàíæåâîãî — íà 150 øòóê ìåíüøå, ÷åì çåëåíîãî è æåëòîãî âìåñòå. Ñêîëüêî âñåãî áèñåðà ïîäãîòîâèëà Ãàëèíà? то бр аз ов ан 1. 171 1.171 171.. Âðåìÿ ïðèáûòèÿ ïàññàæèðñêîãî ïîåçäà èç Ìèíñêà â Ïîëîöê ïî ðàñïèñàíèþ — 23 ÷ 27 ìèí. Îäíàêî èç-çà ðåìîíòíûõ ðàáîò ïóòåé ïîåçä áûë çàäåðæàí íà 1 ÷ 24 ìèí. Çàòåì îòñòàâàíèå áûëî ñîêðàùåíî íà 40 ìèí. Îïðåäåëèòå âðåìÿ ïðèáûòèÿ ïàññàæèðñêîãî ïîåçäà. ин ст и ту 1.172. Íà÷àëî ïåðâîãî ñåàíñà â êèíîòåàòðå «Ìèð» — 10 ÷ 30 ìèí. Îïðåäåëèòå âðåìÿ íà÷àëà ñëåäóþùèõ äâóõ êèíîñåàíñîâ, åñëè äëèòåëüíîñòü ñåàíñà 2 ÷ 15 ìèí, à ïåðåðûâ ìåæäó ñåàíñàìè ñîñòàâëÿåò 20 ìèí. ль ны й 1. 173 1.173 173..  îäèí ðÿä àëëåè ñ ïðîìåæóòêîì 4 ì áûëè ïîñàæåíû 15 äåðåâüåâ. Êàêîâà äëèíà ðÿäà àëëåè? 1. 174 1.174 174.. Âî ñêîëüêî ðàç ïîäúåì ñ ïåðâîãî ýòàæà íà âòîðîé êîðî÷å ïîäúåìà ñ ïåðâîãî ýòàæà íà äåñÿòûé? На ц ио на 1. 175 1.175 175.. * Ó äâóõ ìàëü÷èêîâ èìååòñÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî êîíôåò. Íà ñêîëüêî êîíôåò ó îäíîãî èç íèõ ñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ó äðóãîãî, åñëè îí îòäàñò åìó òðè êîíôåòû? 1. 176 1.176 176.. * Íàéäèòå ÷èñëî, ðàâíîå óäâîåííîé ñóììå åãî öèôð. 1. 177 1.177 177.. * Ïîñìîòðåâ â êàëåíäàðü, Ôåäÿ ñêàçàë, ÷òî ñ íà÷àëà ìåñÿöà ïðîøëî 16 äíåé, à äî êîíöà ìåñÿöà îñòàëîñü îòîðâàòü â êàëåíäàðå 13 ëèñòêîâ. Íàçîâèòå äåíü è ìåñÿö, êîãäà Ôåäÿ ïðîâåë íàáëþäåíèå. 54 Правообладатель Национальный институт образования Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå 1. 178 1.178 178.. * Íàéäèòå òàêîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, âû÷åðêèâàÿ èç êîòîðîãî îäíó öèôðó, ìîæíî ïîëó÷èòü ÷èñëî 73. Íàéäèòå âñå òàêèå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà. Ñêîëüêî èõ? аз ов ан ия 1. 179 1.179 179.. * 1) Ñêîëüêî ïîòðåáóåòñÿ öèôð, ÷òîáû çàïèñàòü âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 5 äî 35? 2) Íàòóðàëüíûå ÷èñëà çàïèñàíû ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ 5 è çàêàí÷èâàÿ 35. Êàêàÿ öèôðà â ïîëó÷èâøåìñÿ ÷èñëå ñòîèò íà 17 ìåñòå? íà 35 ìåñòå? На ц ио на ль ны й ин ст и ту то бр 1. 180 1.180 180.. * Èñïîëüçóÿ öèôðû 6 è 9, ñêîëüêî ìîæíî çàïèñàòü: 1) äâóçíà÷íûõ ÷èñåë; 2) òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë? Правообладатель Национальный институт образования 2 ия ГЛАВА аз ов ан ÑËÎÆÅÍÈÅ È ÂÛ×ÈÒÀÍÈÅ ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË то бр 2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ин ст и ту Êàê ñëîæèòü äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, íàïðèìåð, 7 è 4? Âîçüìåì â íàòóðàëüíîì ðÿäó ÷èñëî 7 (ðèñ. 53). Îòñ÷èòàåì ñëåäóþùèå çà íèì ÷åòûðå ÷èñëà: 8, 9, 10, 11. Ðèñ. 53 ль ны й Ïîñëåäíåå ïîëó÷åííîå ïðè ñ÷åòå ÷èñëî 11 íàçûâàåòñÿ ñóììîé ÷èñåë 7 è 4: 11 = 7 + 4. На ц ио на Ñóììîé ÷èñåë 7 è 4 íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå 7 + 4, à ñàìè ýòè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ñëàãàåìûìè. Êîãäà ê ÷èñëó 7 ïðèáàâëÿþò ÷èñëî 4, ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ÷èñëî 7 óâåëè÷èâàþò íà 4. Åñëè îäíî èç ñëàãàåìûõ ðàâíî íóëþ, òî ñóììà ðàâíà äðóãîìó ñëàãàåìîìó, ò. å. ïðè ëþáîì ÷èñëå à à+0=0+à=à Íàïðèìåð, 17 + 0 = 0 + 17 = 17; 0 + 0 = 0. 56 Правообладатель Национальный институт образования 2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü ñëåäóþùèõ äâóõ ïðèìåðîâ è îáúÿñíèòå, êàê ñêëàäûâàþòñÿ ÷èñëà ñòîëáèêîì. á) аз ов ан ия à) Âîïðîñû ин Óïðàæíåíèÿ ст и ту то бр 1. Êàê íàçûâàþò ÷èñëà 19 è 23 â ðàâåíñòâå 19 + 23 = 42? À ÷èñëî 42? 2. Êàê íàçûâàåòñÿ çàïèñü 19 + 23? 3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ñêëàäûâàþò ÷èñëî ñ íóëåì? ль ны й 2.1 .° Ïðî÷èòàéòå çàïèñü: 1) 307 + 672; 3) 480 001 + 7003; 2) 3009 + 601; 4) 0 + 0. ио на 2.2 .° Çàïèøèòå ñóììó ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå: 1) 0 è 689; 2) 2525 è 0; 3) 4601 è 2; 4) 7 è 77 777. На ц 2.3 .° Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë: 1) 48 + 521; 2) 196 + 83; 3) 521 + 480; 4) 160 + 740. 2.4 .° Âû÷èñëèòå: 1) 679 234 + 48 976; 2) 57 080 + 742 931; 3) 7 068 946 + 485 068; 4) 789 456 + 2 213 579. Правообладатель Национальный институт образования 57 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан аз ов 2. 6. Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå áîëüøå: 1) 711 íà 389; 2) 920 íà 180; 3) ñóììû ÷èñåë 32 è 78 íà 120; 4) ñóììû ÷èñåë 26 è 91 íà 158. ия 2. 5. ° Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë: 1) 999 è 1; 2) 1 è 9999; 3) 99 999 è 1; 4) 1 è 99 999. ст и ту то бр 2. 7. ×åìó ðàâíà ñóììà íàèáîëüøåãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà è: 1) íàèìåíüøåãî îäíîçíà÷íîãî ÷èñëà; 2) íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà; 3) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà; 4) íàèìåíüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà? ль ны й ин 2. 8. Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è íàèáîëüøåãî: 1) øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà; 2) ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà. на 2. 9. Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ 20, òàê, ÷òîáû êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî áûëî íà 31 áîëüøå ïðåäûäóùåãî. На ц ио 2. 10 10.. Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ 125 òàê, ÷òîáû êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî áûëî íà 125 áîëüøå ïðåäûäóùåãî. 2.1 1. Ñóììà äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ öèô2.11. ðîé 9. Êàêèìè öèôðàìè ìîãóò îêàí÷èâàòüñÿ ñëàãàåìûå? 2. 12 12.. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 24 â âèäå ñóììû: 1) ÷åòûðåõ ðàâíûõ ñëàãàåìûõ; 2) òðåõ íåðàâíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 58 Правообладатель Национальный институт образования 2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ия 2.13 13.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: 1) 4 êì 540 ì + 790 ì; 2) 8 ì 70 ñì + 13 ì 9 ñì; 3) 42 ì 76 ñì + 1 ì 54 ñì; 4) 12 êì 39 ì + 9 êì 24 ì. аз ов ан 2.14 14.. Ìàøà íà÷àëà ãîòîâèòü óðîêè â 16 ÷ 40 ìèí è çàòðàòèëà íà ïîäãîòîâêó 50 ìèí.  êîòîðîì ÷àñó Ìàøà çàêîí÷èëà äåëàòü óðîêè? то бр 2.15 15.. Ýêñïåäèöèÿ âûåõàëà 14 ìàÿ è âîçâðàòèëàñü ÷åðåç 4 ìåñÿöà 21 äåíü. Êîãäà ýêñïåäèöèÿ âîçâðàòèëàñü îáðàòíî? ин ст и ту 2.16 16.. Îò ðóëîíà òêàíè îòðåçàëè 10 ì 75 ñì, ïîñëå ÷åãî îñòàëîñü åùå 8 ì 15 ñì. Ñêîëüêî òêàíè áûëî â ðóëîíå? ль ны й 2.17 17..* Âàíÿ ïðîïëûâàåò äèñòàíöèþ çà 2 ìèí. Çà âòîðóþ ìèíóòó îí ïðîïëûë 56 ì, ÷òî íà 8 ì ìåíüøå, ÷åì çà ïåðâóþ ìèíóòó. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîïëûë Âàíÿ? На ц ио на 2.18 18.. * Èç 10 ëèñòèêîâ áóìàãè íåêîòîðûå ðàçðåçàëè íà 4 ÷àñòè. Ïîëó÷èëñÿ âñåãî 31 ëèñòèê. Ñêîëüêî ëèñòèêîâ áóìàãè ðàçðåçàëè? 2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ Ïðèìåð.  ñïîðòèâíóþ øêîëó ïðèâåçëè 18 ôóòáîëüíûõ è 23 âîëåéáîëüíûõ ìÿ÷à. Ñêîëüêî âñåãî ìÿ÷åé ïðèâåçëè â øêîëó? Ðåøåíèå. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðèáàâèâ ê ÷èñëó ôóòáîëüíûõ ìÿ÷åé ÷èñëî âîëåéáîëüíûõ Правообладатель Национальный институт образования 59 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан ия ìÿ÷åé: 18 + 23 = 41. À ìîæíî ê ÷èñëó âîëåéáîëüíûõ ìÿ÷åé ïðèáàâèòü ÷èñëî ôóòáîëüíûõ ìÿ÷åé: 23 + 18 = = 41. Ïðè ëþáîì ñïîñîáå ïîäñ÷åòà ÷èñëà ìÿ÷åé ðåçóëüòàò áóäåò îäíèì è òåì æå, ò. å. 18 + 23 = 23 + 18. Åñëè âìåñòî ÷èñåë 18 è 23 ìû âîçüìåì ëþáûå ÷èñëà a è b, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî: аз ов a+b=b+a то бр Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: ст и ту îò ïåðåñòàíîâêè ñëàãàåìûõ ñóììà íå ìåíÿåòñÿ. Âîïðîñû ль ны й ин 1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ? 2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ? Óïðàæíåíèÿ на Óêàæèòå ðàâíûå ñóììû: 154 + 318; 2) 19 + 555; 5807 + 2090; 4) 555 + 19; 2090 + 5807; 6) 318 + 154. На ц ио 2. 19 19.. ° 1) 3) 5) 2. 20 20.. ° Óêàæèòå, çíà÷åíèå êàêîé ñóììû áîëüøå: 1) 39 999 + 218 888 èëè 218 888 + 38 999; 2) 284 367 + 358 347 èëè 353 874 + 284 367. 2. 21 21.. Âåðíî ëè, ÷òî: 1) 60 000 + 400 + 3 < 3 + 90 + 400 + 60 000; 2) 1 + 40 + 700 + 8000 > 8000 + 600 + 40 + 1? 60 Правообладатель Национальный институт образования 2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ Çèìà Ëåòî 54 êì то бр Ðèñ. 54 аз ов ан 43 êì ия 2.22 22..° Íà äîðîæíîì óêàçàòåëå (ðèñ. 54) óêàçàíû ðàññòîÿíèÿ äî íàñåëåííûõ ïóíêòîâ Ëåòî è Çèìà. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó íàñåëåííûìè ïóíêòàìè. Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. ст и ту 2.23 23..° Äëÿ îêëåéêè ñòåí êîìíàòû êóïèëè îáîè äâóõ âèäîâ: îäíîòîííûå è ñ ðèñóíêîì. Îäíîòîííûõ êóïèëè 20 ì, ñ ðèñóíêîì — 75 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ îáîåâ áûëî êóïëåíî? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. ль ны й ин 2.24 24..° Âàäèì ðàññòàâèë ñâîè êíèãè íà äâóõ ïîëêàõ. Íà íèæíþþ — ó÷åáíèêè è ñïðàâî÷íóþ ëèòåðàòóðó, âñåãî 24 êíèãè. Íà âåðõíþþ — õóäîæåñòâåííóþ ëèòåðàòóðó, âñåãî 38 êíèã. Ñêîëüêî êíèã ðàçìåñòèë Âàäèì íà äâóõ ïîëêàõ? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. На ц ио на 2.25 25.. Ñàøà è Âèòÿ èäóò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîм м ðîñòÿìè 80 è 60 ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 55). мин мин Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîéäóò ìàëü÷èêè çà 1 ìèí? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. 80 м мин 60 Ñàøà м мин Âèòÿ Ðèñ. 55 Правообладатель Национальный институт образования 61 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë м мин 120 то бр Ðèñ. 56 м мин аз ов 130 ан Âèêà Êàòÿ ия 2. 26 26.. Êàòÿ è Âèêà ïîáåæàëè â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîм м ðîíû ñî ñêîðîñòÿìè 130 è 120 (ðèñ. 56). мин мин Êàêîå ðàññòîÿíèå áóäåò ìåæäó äåâî÷êàìè ÷åðåç 1 ìèí? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. ст и ту 2. 27 27.. Ïëîùàäü Áåðåçèíñêîãî çàïîâåäíèêà 76 200 êì2. Íàéäèòå ïëîùàäü çàïîâåäíèêà «Áåëîâåæñêàÿ ïóùà», åñëè îíà íà 11 300 êì2 áîëüøå. ль ны й ин 2. 28 28.. Ïî ðàñïèñàíèþ ïîåçä äîëæåí ïðèáûòü íà ñòàíöèþ â 22 ÷ 38 ìèí. Íàçîâèòå âðåìÿ ïðèáûòèÿ, åñëè ïîåçä îïîçäàë íà: 1) 20 ìèí; 2) 40 ìèí; 3) 1 ÷ 30 ìèí. На ц ио на 2. 29 29.. * Îïðåäåëèòå öèôðû íà ÷åòûðåõçíà÷íîì íîìåðå àâòîìîáèëÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðâàÿ è ÷åòâåðòàÿ öèôðû îäèíàêîâûå, âòîðàÿ è òðåòüÿ öèôðû òàêæå îäèíàêîâûå, íî ÷åòâåðòàÿ öèôðà â 2 ðàçà ìåíüøå òðåòüåé, à ñóììà ïåðâîé è âòîðîé öèôð ðàâíà 12. 2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ Ïðèìåð. Ñàøå è Äèìå â ñóááîòó è âîñêðåñåíüå íàäî ïðî÷èòàòü òðè ðàññêàçà.  ïåðâîì ðàññêàçå 14 ñòðàíèö, âî âòîðîì — 21 ñòðàíèöà, â òðåòüåì — 11 ñòðàíèö. Ñàøà ïðî÷èòàë â ñóááîòó ïåðâûé è âòîðîé ðàññêàçû, à â âîñêðåñåíüå — òðåòèé. Äèìà ïðî÷èòàë â 62 Правообладатель Национальный институт образования 2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ñóááîòó ïåðâûé ðàññêàç, à â âîñêðåñåíüå — âòîðîé è òðåòèé. Ñêîëüêî âñåãî ñòðàíèö ïðî÷èòàë êàæäûé èç ìàëü÷èêîâ? ан (14 + 21) + 11 = 35 + 11 = 46 (ñòðàíèö). ия Ðåøåíèå. Ñàøà ïðî÷èòàë â ñóááîòó (14 + 21) ñòðàíèö, à â âîñêðåñåíüå — 11 ñòðàíèö. Âñåãî Ñàøà ïðî÷èòàë аз ов Äèìà ïðî÷èòàë â ñóááîòó 14 ñòðàíèö, à â âîñêðåñåíüå — (21 + 11) ñòðàíèö. Âñåãî Äèìà ïðî÷èòàë то бр 14 + (21 + 11) = 14 + 32 = 46 (ñòðàíèö). ст и ту Ñàøà è Äèìà ïðî÷èòàëè îäíè è òå æå ðàññêàçû, ïîýòîìó íå óäèâèòåëüíî, ÷òî ðåçóëüòàòû ñëîæåíèÿ îäèíàêîâûå: (14 + 21) + 11 = 14 + (21 + 11). ль ны й ин Åñëè âìåñòî ÷èñåë 14, 21 è 11 ìû âîçüìåì ëþáûå ÷èñëà a, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî: (à + b) + ñ = à + (b + ñ) ио на Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: На ц ÷òîáû ê ñóììå äâóõ ÷èñåë ïðèáàâèòü òðåòüå ÷èñëî, ìîæíî ê ïåðâîìó ÷èñëó ïðèáàâèòü ñóììó âòîðîãî è òðåòüåãî. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è ïî-äðóãîìó: îò èçìåíåíèÿ ðàññòàíîâêè ñêîáîê ñóììà íå ìåíÿåòñÿ. Правообладатель Национальный институт образования 63 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ïîñêîëüêó ñóììà íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê, òî ñêîáêè ìîæíî âîîáùå íå ïèñàòü: (à + b) + ñ = à + (b + ñ) = à + b + ñ ан ия Èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ ñëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî аз ов ñëàãàåìûå â ñóììå ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè è çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. то бр Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíåíèå ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ñóììó: ту 43 + 236 + 64 + 47 = (43 + 47) + (236 + 64) = 90 + 300 = 390. ст и Âîïðîñû ль ны й ин 1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ? (Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.) 2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ? Óïðàæíåíèÿ На ц ио на 2. 30 30.. ° Íàéäèòå ñóììó íàèáîëåå óäîáíûì ñïîñîáîì: 1) 26 + 19 + 34 + 51; 2) 32 + 29 + 28 + 41; 3) 630 + 40 + 160 + 70; 4) 350 + 130 + 250 + 270. 2. 31 31.. ° Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ, ïðèìåíÿÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ: 1) (637 + 1004) + 996; 2) 729 + (47 + 271); 3) 398 989 + (201 011 + 6482); 4) 15 824 + (37 301 + 24 176). 64 Правообладатель Национальный институт образования 2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ия 2.32 32.. Âû÷èñëèòå, èñïîëüçóÿ çàêîíû ñëîæåíèÿ: 1) 5807 + 2090 + 1103; 2) 154 + 318 + 46 + 182; 3) 29 + 97 + 31 + 43; 4) 145 + 981 + 19 + 555. то бр аз ов ан 2.33 33..° Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë: 1) 6 + 32 + 27 + 4 + 28 + 13; 2) 81 + 143 + 455 + 1000 + 67 + 19 + 345; 3) 182 + 4593 + 29 561 + 5407 + 818 + 70 439; 4) 6001 + 472 + 80 109 + 999 + 528 + 1891. ст и ту 2.34 34.. Íàéäèòå ñóììó íàèáîëüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà, íàèìåíüøåãî øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèìåíüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. ль ны й ин 2.35 35.. Ó÷åíèêè òðåõ ïÿòûõ êëàññîâ ñàæàëè äåðåâüÿ íà óëèöàõ ïîñåëêà. Ó÷åíèêè 5 «À» êëàññà ïîñàäèëè 14 äåðåâüåâ, ó÷åíèêè 5 «Á» ïîñàäèëè íà 5 äåðåâüåâ áîëüøå, à ó÷åíèêè 5 «Â» — íà 2 äåðåâà áîëüøå, ÷åì ó÷åíèêè 5 «À». Ñêîëüêî äåðåâüåâ ïîñàäèëè ïÿòèêëàññíèêè? На ц ио на 2.36 36.. Äÿäÿ Ôåäîð, Øàðèê è êîò Ìàòðîñêèí îòïðàâèëèñü èç Ïðîñòîêâàøèíî â Ñìåòàíèíî ÷åðåç Êåôèðîâî è Òâîðîæüå (ðèñ. 57). Îïðåäåëèòå, ñêîëüêî êèëîìåòðîâ ïðåäñòîèò ïðîéòè äÿäå Ôåäîðó, Øàðèêó è êîòó Ìàòðîñêèíó. Ïðîñòîêâàøèíî Òâîðîæüå Ñìåòàíèíî Êåôèðîâî Ðèñ. 57 Правообладатель Национальный институт образования 65 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 2. 37 37..  ïåðâûé äåíü òóðèñòû ïðîøëè 23 êì, ÷òî íà 6 êì ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.  òðåòèé äåíü îíè ïðîøëè íà 4 êì áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîøëè òóðèñòû çà òðè äíÿ? аз ов ан ия 2.38 38.. Ìàññà îäíîãî ÿáëîêà 175 ã, è îíà íà 35 ã ìåíüøå ìàññû ãðóøè. À ìàññà îäíîãî àïåëüñèíà íà 40 ã áîëüøå ìàññû ãðóøè. Êàêîâà ìàññà òðåõ ôðóêòîâ? то бр 2. 39 39.. Êàê èçìåíèòñÿ ñóììà, åñëè îäíî ñëàãàåìîå: 1) óâåëè÷èòü íà 15, à âòîðîå óìåíüøèòü íà 15; 2) óìåíüøèòü íà 8, à âòîðîå óâåëè÷èòü íà 9? ин ст и ту 2. 40 40.. * Èç òðåõ ñòàðûõ îëîâÿííûõ ëîæåê è íîæà ïîëó÷èòñÿ 10 îëîâÿííûõ ñîëäàòèêîâ; èç ëîæêè, äâóõ âèëîê è äâóõ íîæåé — 9; èç äâóõ âèëîê è íîæà — 5 ñîëäàòèêîâ. Ñêîëüêî îëîâÿííûõ ñîëäàòèêîâ ïîëó÷èòñÿ èç äâóõ ëîæåê, äâóõ âèëîê è äâóõ íîæåé? 2.4. Óãîë на ль ны й 2. 41 41.. * Èìååòñÿ 11 ÿáëîê. Ñ ïîìîùüþ âåñîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ìàññó ëþáûõ äâóõ ÿáëîê. Êàê ñ ïîìîùüþ ñåìè âçâåøèâàíèé îïðåäåëèòü îáùóþ ìàññó âñåõ ÿáëîê? На ц ио Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè òî÷êó À è ïðîâåäåì äâà ëó÷à À è AC ñ îáùèì íà÷àëîì â òî÷êå À (ðèñ. 58). Îíè äåëÿò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç ýòèõ ÷àñòåé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óãëîì. Òî÷êà À íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, à ëó÷è À è ÀÑ — ñòîðîB A C Ðèñ. 58 66 Ðèñ. 59 Правообладатель Национальный институт образования 2.4. Óãîë то бр аз ов ан ия íàìè óãëà. Ëþáîé èç óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 58, ìîæíî îáîçíà÷èòü ∠ BAC èëè ∠ CAB. Åñòü è áîëåå êîðîòêàÿ çàïèñü: ∠ A. Çíàê «∠ » çàìåíÿåò ñëîâî «óãîë». Çàìåòèì, ÷òî åñëè óãîë îáîçíà÷àåòñÿ òðåìÿ áóêâàìè, òî áóêâà, îáîçíà÷àþùàÿ âåðøèíó, ïèøåòñÿ ïîñåðåäèíå. À åñëè óãîë îáîçíà÷àåòñÿ îäíîé áóêâîé, òî òîé, êîòîðîé îáîçíà÷åíà âåðøèíà. Íà ðèñóíêå 59 óãîë KLM îòìå÷åí äóãîé. Òî÷êà P ëåæèò âíóòðè ýòîãî óãëà, à òî÷êà Q — âíå åãî. Òî÷êà R ëåæèò íà ñòîðîíå óãëà. Óãëû ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ. ту Äâà óãëà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îäèí èç íèõ ìîæíî íàëîæèòü íà äðóãîé òàê, ÷òî îíè ñîâìåñòÿòñÿ. ин ст и Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 60 ∠ BAC = ∠ PQR. Ãîâîðÿò: «óãîë ÂÀÑ ðàâåí óãëó PQR». Ðàâíûå óãëû ÷àñòî îòìå÷àþò îäèíàêîâûì ÷èñëîì äóã. ль ны й Q B B А А (Q) P R R C Ðèñ. 60 ио на C P На ц Íà ðèñóíêå 61 èçîáðàæåíû ðàâíûå óãëû ABD è DBC, à óãîë ÀÂÑ áîëüøå óãëà DBC. A D C B Ðèñ. 61 Правообладатель Национальный институт образования 67 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Âîïðîñû ия Êàê èçîáðàçèòü óãîë íà ïëîñêîñòè? Êàê ìîæíî îòìå÷àòü è îáîçíà÷àòü óãîë? Êàê ìîæíî ñðàâíèâàòü óãëû? Êàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè? ан 1. 2. 3. 4. аз ов Óïðàæíåíèÿ б) N C M г) Q K F ин B в) E ст и P ту а) А то бр 2. 42 42.. Ïðî÷èòàéòå è çàïèøèòå óãëû, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 62. Íàçîâèòå âåðøèíó è ñòîðîíû êàæäîãî óãëà. D T ль ны й Ðèñ. 62 на 2. 43 43.. Èçîáðàçèòå òðè ëó÷à ÀK, AB, AE. 1) Çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû. 2) Íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëÿò ïëîñêîñòü òðè ëó÷à ñ îáùåé âåðøèíîé? На ц ио 2. 44 44.. ° Èçîáðàçèòå äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå AB è MN. Îáîçíà÷üòå òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ áóêâîé Î. Çàïèøèòå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû. 2. 45 45.. ×åðåç âåðøèíó K óãëà AKB ïðîâåäèòå ïðÿìóþ SP è çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû. 2. 46 46.. Íà ïðÿìîé DE îòìåòüòå òî÷êó S è òî÷êó F íå íà ýòîé ïðÿìîé. Èçîáðàçèòå ëó÷ SF. Çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû. 68 Правообладатель Национальный институт образования 2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû 2.47 47..° Íà ðèñóíêå 63 èçîáðàæåíû òðè ïàðû ðàâíûõ óãëîâ. Çàïèøèòå ðàâíûå óãëû. D Q E K N L X ия B M A C S O F H аз ов Y ан T P Ðèñ. 63 то бр 2. 48 48.. Âûðåæüòå èç ëèñòà áóìàãè òðè ðàçíûõ óãëà. Ïîñòðîéòå â òåòðàäè óãëû, ðàâíûå âûðåçàííûì. ль ны й ин ст и ту 2.49 49.. Èçîáðàçèòå óãîë MBE è ïðÿìóþ AC, ïåðåñåêàþùóþ ñòîðîíû óãëà MBE. Îòìåòüòå íà ïðÿìîé AC òî÷êó: 1) D òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà âíóòðè óãëà MBE; 2) P òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà âíå óãëà MBE; 3) F òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà íà ñòîðîíå BM óãëà MBE; 4) K òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà íà ñòîðîíå BE óãëà MBE. на 2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû На ц ио Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè òî÷êó À è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ïðÿìóþ ÂÑ (ðèñ. 64). Ëó÷è À è ÀÑ äåëÿò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç ýòèõ ÷àñòåé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ óãëîì. Òàêîé óãîë íàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì. Ïåðåãíåì ëèñò áóìàãè òàê, ÷òîáû ëó÷è À è ÀÑ ñîâïàëè, à çàòåì ðàñïðàâèì åãî. Ïðè ýòîì îáðàçóåòñÿ ëèíèÿ ñãèáà KL (ðèñ. 65). Óãëû BAK è CAK ñîâìåùà- B A C Ðèñ. 64 Правообладатель Национальный институт образования 69 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë аз ов ан ия þòñÿ ïðè íàëîæåíèè, çíà÷èò, îíè ðàâíû. Êàæäûé èç ýòèõ ðàâíûõ óãëîâ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì óãëîì. Ðèñ. 65 то бр Ïðÿìîé óãîë ÷àñòî îòìå÷àþò ñïåöèàëüíûì çíà÷êîì (ðèñ. 66). Ìû âèäèì, ÷òî ту Ðèñ. 66 ин ст и ïðÿìîé óãîë — ýòî ïîëîâèíà ðàçâåðíóòîãî óãëà. ио на ль ны й Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîãî óãëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ÷åðòåæíûé òðåóãîëüíèê — óãîëüíèê (ðèñ. 67). На ц Ðèñ. 67 Ñ ïîìîùüþ óãîëüíèêà ìîæíî ñðàâíèòü èçîáðàæåííûé óãîë ñ ïðÿìûì. Íà ðèñóíêå 68 ïîêàçàíî, êàê ñ B K N C A M Ðèñ. 68 70 Правообладатель Национальный институт образования 2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû ия ïîìîùüþ óãîëüíèêà îïðåäåëèëè, ÷òî óãîë KMN áîëüøå ïðÿìîãî, à óãîë ABC ðàâåí ïðÿìîìó. Ïóñòü ÂÀÑ — ðàçâåðíóòûé óãîë (ðèñ. 69). Ïðîâåäåì ëó÷ ÀÅ è ðàññìîòðèì óãëû ÂÀÅ è ÑÀÅ. A C аз ов B ан E Ðèñ. 69 Ðèñ. 70 ль ны й ин ст и ту то бр Ó íèõ îäíà ñòîðîíà ÀÅ îáùàÿ, à äâå äðóãèå — À è ÀÑ — îáðàçóþò ïðÿìóþ. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ ñìåæíûìè. Ïóñòü ïðÿìàÿ MK ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîé PN â òî÷êå Î (ðèñ. 70). Óãëû MOP è NOK, êîòîðûå îáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòèõ ïðÿìûõ, íàçûâàþò âåðòèêàëüíûìè. Óãëû MON è POK òîæå âåðòèêàëüíûå. Çàìåòèì, ÷òî T âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû. M на Íà ðèñóíêå 70 ìîæíî óêàçàòü è íåñêîëüêî ïàð ñìåæíûõ óãëîâ. Íàïðèìåð, ∠ ÌÎÐ è ∠ ÌÎN. N Q P ио Ðèñ. 71 На ц Âîïðîñû 1. 2. 3. 4. Êàê èçîáðàçèòü ðàçâåðíóòûé óãîë? ×òî òàêîå ïðÿìîé óãîë? Êàê èçîáðàçèòü ñìåæíûå óãëû? Óêàæèòå íà ðèñóíêàõ 70, 71 è 72 âñå ïàðû: à) ñìåæíûõ óãëîâ; á) âåðòèêàëüíûõ óãëîâ. 5. Êàêèå èç óãëîâ íà ðèñóíêàõ 71 è 72 ïðÿìûå? E R O S F T Ðèñ. 72 Правообладатель Национальный институт образования 71 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Óïðàæíåíèÿ M D K C E то бр E B аз ов A ан ия 2. 50 50.. ° Íàéäèòå íà ðèñóíêå 73 è çàïèøèòå: 1) ðàçâåðíóòûå óãëû; 2) ñìåæíûå óãëû; 3) âåðòèêàëüíûå óãëû. T S Ðèñ. 73 ин ст и ту 2. 51 51.. Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûé óãîë ABC è îòìåòüòå åãî äóãîé. Íàçîâèòå âåðøèíó è ñòîðîíû óãëà. Îòìåòüòå òî÷êè: 1) F è D, ïðèíàäëåæàùèå óãëó ABC; 2) E è O, íå ïðèíàäëåæàùèå óãëó ABC. Ðèñ. 74 ио на ль ны й 2. 52 52.. ° 1) Íà ðèñóíêå 74 íàéäèòå âñå óãëû, ñìåæíûå ñ óãëîì: à) BQD; á) AQF; â) KQB; ã) DQK. 2) Ïî ðèñóíêó 74 íàçîâèòå ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ. На ц 2. 53 53.. Íà÷åðòèòå äâå ïðÿìûå AF è BK, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå N. Çàïèøèòå îáðàçîâàâøèåñÿ íà ðèñóíêå: 1) ðàçâåðíóòûå óãëû; 2) ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ; 3) ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ. 2. 54 54.. Íà÷åðòèòå òðè ëó÷à ñ îáùèì íà÷àëîì òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëèñü ñìåæíûå óãëû: 1) íåðàâíûå; 2) ðàâíûå. 72 Правообладатель Национальный институт образования 2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 2.55 55.. ° Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûé óãîë KOM è ïðîâåäèòå ÷åðåç òî÷êó Î ïðÿìóþ ÑD. Çàïèøèòå: 1) ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ; 2) ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ. аз ов ан 2.56 56.. Èçîáðàçèòå äâà óãëà ñ îáùåé ñòîðîíîé, êîòîðûå: 1) ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè; 2) íå ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè. то бр 2.57 57.. Ñòîðîíàìè êàêîãî óãëà ÿâëÿþòñÿ áîëüøàÿ è ìàëåíüêàÿ ñòðåëêè íà ÷àñàõ, åñëè îíè ïîêàçûâàþò: 1) 18 ÷; 2) 15 ÷; 3) 21 ÷? ст и ту 2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ль ны й ин Ïðèìåð.  ñóááîòó è âîñêðåñåíüå Ìàøå íàäî ïðî÷èòàòü ðàññêàç, â êîòîðîì 49 ñòðàíèö. ×àñòü ðàññêàçà Ìàøà ïðî÷ëà â ñóááîòó, à â âîñêðåñåíüå — îñòàâøèåñÿ 28 ñòðàíèö. Ñêîëüêî ñòðàíèö ïðî÷ëà Ìàøà â ñóááîòó? на Ðåøåíèå. ×èñëî ñòðàíèö, ïðî÷èòàííûõ Ìàøåé â ñóááîòó, îáîçíà÷èì áóêâîé k. Òîãäà óñëîâèå çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü òàê: k + 28 = 49. На ц ио  ýòîì ðàâåíñòâå íàäî íàéòè íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå k. Îíî íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ âû÷èòàíèÿ: k = 49 − 28. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë 49 è 28. Âîçüìåì òåïåðü âìåñòî ÷èñåë 49 è 28 ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà a è b. Ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî k, ïðè ñëîæåíèè êîòîðîãî ñ b ïîëó÷àåòñÿ a: k + b = a. Правообладатель Национальный институт образования 73 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ðàçíîñòü ÷èñåë a è b îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a − b. k = a − b. óìåíüøàåìîå âû÷èòàåìîå = k ан b аз ов − a ия ðàçíîñòü ин ст и ту то бр Ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå a − b. ×èñëî à íàçûâàåòñÿ óìåíüøàåìûì, ÷èñëî b — âû÷èòàåìûì. Êîãäà èç ÷èñëà 49 âû÷èòàþò ÷èñëî 28, ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî 49 óìåíüøàþò íà 28. Ðàçíîñòü 49 − 28 = 21 ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷èñëî 49 áîëüøå ÷èñëà 28 íà 21. Ñëåäîâàòåëüíî, ио на ль ны й ÷òîáû óñòàíîâèòü, íà ñêîëüêî îäíî ÷èñëî áîëüøå äðóãîãî, íàäî èç áîëüøåãî ÷èñëà âû÷åñòü ìåíüøåå. Óáåäèòüñÿ, ÷òî âû÷èòàíèå âûïîëíåíî ïðàâèëüíî, ìîæíî òàê: ñëîæèòü ðàçíîñòü è âû÷èòàåìîå — â ðåçóëüòàòå äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ óìåíüøàåìîå. На ц Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èìååì: à − 0 = à , òàê êàê à + 0 = à; à − à = 0 , òàê êàê 0 + à = à. Îáðàòèòå âíèìàíèå: ìû çíàåì íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. À ñ ïîìîùüþ ýòèõ ÷èñåë âû÷èñëèòü ðàçíîñòü à − b ìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî à áîëüøå b èëè à ðàâíî b. 74 Правообладатель Национальный институт образования 2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü äâóõ ïðèìåðîâ è îáúÿñíèòå, êàê ÷èñëà âû÷èòàþòñÿ ñòîëáèêîì. 37854 5423 32431 á) − 37854 5963 31891 ия − аз ов ан à) ту то бр  ÕV â. âïåðâûå ïîÿâèëñÿ çíàê ñëîæåíèÿ «Ð~ » (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà plus) è çíàê âû÷èòàíèÿ «m ~» (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà minus).  êîíöå ÕV â. íåìåöêèå ìàòåìàòèêè ñòàëè èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííûå çíàêè «+» è «−». Âîïðîñû ст и Êàê íàçûâàþòñÿ ÷èñëà 42, 23, 19 â ðàâåíñòâå 42 − 23 = 19? ×òî íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë à è b? Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå à − b? Ïî êàêîìó ïðàâèëó èç ÷èñëà à âû÷èòàåòñÿ: à) íóëü; á) ÷èñëî à? 5. Êîãäà ìîæíî âû÷èñëèòü ðàçíîñòü à − b? 6. Êàê óñòàíîâèòü, íà ñêîëüêî îäíî ÷èñëî áîëüøå äðóãîãî? 7. Êàê ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âû÷èòàíèå âûïîëíåíî ïðàâèëüíî? ио на ль ны й ин 1. 2. 3. 4. На ц Óïðàæíåíèÿ 2.58 58..° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå: 1) 28 903 − 7661; 2) 1 429 506 − 917 830; 3) 269 001 − 50 003; 4) 3 030 303 − 100 100. 2.59 59..° Íàéäèòå ðàçíîñòü: 1) 178 − 107; 3) 9632 − 632; 2) 600 − 200; 4) 7814 − 7014. Правообладатель Национальный институт образования 75 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 2. 60 60.. Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå: 1) 4391 − (32 + 190); 2) 40 404 + (761 − 39); 3) (89 − 15) + 501; 4) (9410 + 472) − 76. аз ов 2) 26 560 − 5794; 4) 79 607 − 9999. то бр 2. 62 62.. ° Âû÷èñëèòå: 1) 10 000 − 6996; 3) 35 000 − 19 673; ан ия 2. 61 61.. ° Çàïèøèòå ðàçíîñòü ÷èñåë è íàéäèòå åå: 1) 750 è 729; 2) 1256 è 128; 3) 40 000 è 3; 4) 790 861 è 1861. ин ст и ту 2. 63 63.. ° Íàéäèòå ðàçíîñòü ÷èñåë: 1) 70 504 è 34 086; 2) 60 250 è 37 839; 3) 8 000 000 è 6 888 888; 4) 5 021 060 è 3 049 879. ль ны й 2. 64 64.. 1) Óìåíüøàåìîå ðàâíî 120, à âû÷èòàåìîå íà 60 ìåíüøå. ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü? 2) Óìåíüøàåìîå ðàâíî 150, ðàçíîñòü 124. Íàéäèòå âû÷èòàåìîå. ио на 2. 65 65.. Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå è íà ñêîëüêî: 1) 1720 èëè 1801; 2) 39 200 èëè 39 019? На ц 2. 66 66.. Êàêîå èç ÷èñåë ìåíüøå è íà ñêîëüêî: 1) 147 èëè 174; 2) 11 871 èëè 11 859? 2. 67 67.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 2063 + 5971 = 8034, âû÷èñëèòå: 1) 8034 − 2063; 3) 8034 − 2063; 76 2) 8035 − 5971; 4) 8034 − 5971. Правообладатель Национальный институт образования 2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 2.68 68.. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 100 â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ÷èñåë: 1) òðåõçíà÷íîãî è äâóçíà÷íîãî; 2) ÷åòûðåõçíà÷íîãî è òðåõçíà÷íîãî; 3) øåñòèçíà÷íûõ; 4) äåâÿòèçíà÷íûõ. то бр аз ов ан 2.69 69.. Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò âû÷èòàíèåì: 1) 1692 + 5024; 2) 40 297 + 13 711; 3) 144 691 + 56 419; 4) 325 432 + 524 568. ст и ту 2.70 70.. Íàéäèòå ðàçíîñòü ÷èñåë è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñëîæåíèåì: 1) 1406 − 711; 2) 13 915 − 9526; 3) 385 796 − 196 886; 4) 52 555 − 51 767. ио на ль ны й ин 2.71 71.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: 1) 6 ò − 372 êã; 2) 23 ö 5 êã − 12 ö 9 êã; 3) 687 ì − 9 ì 64 ñì; 4) 18 äì 3 ñì − 99 ñì; 5) 6 ÷ 12 ìèí − 72 ìèí; 6) 42 ìèí 2 ñ − 27 ìèí 5 ñ. На ц 2.72 72.. Íàéäèòå ðàçíîñòü íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî: 1) äâóçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; 2) ÷åòûðåõçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 2.73 73.. Íàéäèòå ðàçíîñòü äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: 1) íàèìåíüøåãî øåñòèçíà÷íîãî è íàèáîëüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî; 2) íàèáîëüøåãî øåñòèçíà÷íîãî è íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî. Правообладатель Национальный институт образования 77 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан ия 2. 74 74.. 1) Ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Êàêèìè öèôðàìè îêàí÷èâàþòñÿ óìåíüøàåìîå è âû÷èòàåìîå? Ïðèâåäèòå ïðèìåð. 2) Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü ÷èñåë, åñëè óìåíüøàåìîå è âû÷èòàåìîå óâåëè÷èòü íà îäíî è òî æå ÷èñëî? Ïðèâåäèòå ïðèìåð. то бр аз ов 2. 75 75.. 1) Ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë ðàâíà íóëþ. ×òî ìîæíî ñêàçàòü îá ýòèõ ÷èñëàõ? Ïðèâåäèòå ïðèìåð. 2) Äâà ÷èñëà è èõ ðàçíîñòü îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé öèôðîé. Êàêàÿ ýòî öèôðà? ин ст и ту 2. 76 76.. Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü, åñëè: 1) óìåíüøàåìîå óâåëè÷èòü íà 10; 2) âû÷èòàåìîå óìåíüøèòü íà 5; 3) óìåíüøàåìîå óâåëè÷èòü íà 20, à âû÷èòàåìîå óìåíüøèòü íà 3? ль ны й 2. 77 77.. * Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü, åñëè óìåíüøàåìîå: 1) óìåíüøèòü íà ðàçíîñòü; 2) óâåëè÷èòü íà âû÷èòàåìîå? ио на 2. 78 78.. ° Ïëîùàäü âîäíîé ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñîñòàâëÿåò 361 ìëí êì2, à ïëîùàäü ìàòåðèêîâ è îñòðîâîâ ðàâíà 149 ìëí êì2. Íà ñêîëüêî êâàäðàòíûõ êèëîìåòðîâ âîäíàÿ ïîâåðõíîñòü Çåìëè áîëüøå ïîâåðõíîñòè ñóøè? На ц 2. 79 79.. Âðàùàÿñü âîêðóã Çåìëè, Ëóíà ïðèáëèæàåòñÿ ê Çåìëå íà ðàññòîÿíèå 356 400 êì — ïåðèãåé è óäàëÿåòñÿ îò Çåìëè íà ðàññòîÿíèå 406 700 êì — àïîãåé (ðèñ. 75). ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü ìåæäó àïîãååì è ïåðèãååì? 2. 80 80.. ° Äëèíà ýêâàòîðà Çåìëè 40 075 704 ì, à äëèíà çåìíîãî ìåðèäèàíà íà 67 156 ì ìåíüøå (ðèñ. 76). ×åìó ðàâíà äëèíà çåìíîãî ìåðèäèàíà? 78 Правообладатель Национальный институт образования 2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Луна апогей аз ов ан перигей ия меридиан Земля Ðèñ. 75 Ðèñ. 76 ту то бр 2.81 81.. Ïîåçä îïàçäûâàåò íà 1 ÷ 45 ìèí. Êàêèì áóäåò îïîçäàíèå, åñëè çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè îòñòàâàíèå óäàëîñü ñîêðàòèòü íà: 1) 20 ìèí; 2) 50 ìèí; 3) 1 ÷ 30 ìèí? на ль ны й ин ст и 2.82 82.. 1) Àâòîìîáèëü çà òðè äíÿ ïðîåõàë 1475 êì. Çà ïåðâûå äâà äíÿ îí ïðîåõàë 964 êì. Ñêîëüêî êèëîìåòðîâ àâòîìîáèëü ïðîåõàë çà êàæäûé èç ýòèõ äíåé, åñëè âî âòîðîé äåíü îí ïðîåõàë íà 245 êì áîëüøå, ÷åì çà òðåòèé äåíü? 2)  òðåõ êîðîáêàõ áûëî 2 êã 423 ã êîíôåò.  ïåðâîé è âòîðîé êîðîáêàõ — 1 êã 489 ã êîíôåò, âî âòîðîé è òðåòüåé — 1 êã 589 ã. Ñêîëüêî êîíôåò áûëî â êàæäîé êîðîáêå? На ц ио 2.83 83..  ÿùèêå 925 ì ïðîâîëîêè — ñèíåãî, çåëåíîãî, êðàñíîãî è æåëòîãî öâåòà. Ñèíåãî, çåëåíîãî è êðàñíîãî öâåòà âìåñòå — 728 ì, çåëåíîãî, êðàñíîãî è æåëòîãî öâåòà — 799 ì, ñèíåãî, êðàñíîãî è æåëòîãî öâåòà — 682 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîâîëîêè êàæäîãî öâåòà â îòäåëüíîñòè? 2.84 84..* Êàêàÿ öèôðà ñòîèò â ÷èñëå 345 673 456 734 567... íà 100-ì ìåñòå? íà 2015-ì ìåñòå? Правообладатель Национальный институт образования 79 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 2.7. Ëîìàíàÿ ин ст и ту то бр аз ов ан ия Âîçüìåì íà ïëîñêîñòè òî÷êè À è F, ñîåäèíèì èõ ëèíèåé, ñîñòîÿùåé èç îòðåçêîâ (ðèñ. 77), êîíåö êàæäîãî èç êîòîðûõ, êðîìå ïîñëåäíåãî, ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ñëåäóþùåãî, ïðè ýòîì ñîñåäíèå îòðåçêè íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Òàêàÿ ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé, îòðåçêè, ñîñòàâëÿþùèå åå, çâåíüÿìè ëîìàíîé, à èõ êîíöû — âåðøèíàìè ëîìàíîé. Ëîìàíóþ íà ðèñóíêå 77 íàçûâàþò «ëîìàíàÿ ABCDEF». Ëîìàíàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 77, íàçûâàåòñÿ íåçàìêíóòîé. À ëîìàíàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 78, íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. Çàìêíóòóþ ëîìàíóþ ìîæíî íàçûâàòü, íà÷èíàÿ ñ ëþáîé âåðøèíû. Íàïðèìåð, ëîìàíóþ íà ðèñóíêå 78 íàçûâàþò KLMNPQ èëè PQKLMN. K L ль ны й B A M Q C D ио на F E P Ðèñ. 78 На ц Ðèñ. 77 N Äëèíîé ëîìàíîé íàçûâàåòñÿ ñóììà äëèí åå çâåíüåâ. Âîïðîñû 1. ×òî òàêîå: à) çâåíüÿ ëîìàíîé; á) âåðøèíû ëîìàíîé? Íàçîâèòå çâåíüÿ è âåðøèíû ëîìàíûõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêàõ 77, 78. 2. ×òî íàçûâàåòñÿ äëèíîé ëîìàíîé? 80 Правообладатель Национальный институт образования 2.7. Ëîìàíàÿ Óïðàæíåíèÿ M в) г) S E B B X Q L Y Z N P Ðèñ. 79 D A то бр T ан б) M K аз ов а) ия 2.85 85..° Íàçîâèòå ïî ðèñóíêó 79: 1) çàìêíóòóþ ëîìàíóþ; 2) íåçàìêíóòóþ ëîìàíóþ. C ст и ту 2.86 86.. Ìåæäó ïàíñèîíàòàìè «Âåòåðîê» è «×àéêà» ïðîëîæåíû òðè ìàðøðóòà (ðèñ. 80). Êàêîé ìàðøðóò ñàìûé êîðîòêèé? I марш II маршрут ль ны й Пансионат «Ветерок» ин рут Пансионат «Чайка» III маршрут Ðèñ. 80 На ц ио на 2.87 87..° Íà÷åðòèòå ëîìàíóþ, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ çâåíüåâ. Íàéäèòå äëèíó êàæäîãî çâåíà ëîìàíîé. Ïîñòðîéòå îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà äëèíå ëîìàíîé. 2.88 88.. Îäíî çâåíî ëîìàíîé èìååò äëèíó 1 äì 3 ñì, äðóãîå — íà 8 ñì áîëüøå, à òðåòüå — íà 1 äì 4 ñì áîëüøå âòîðîãî. Íàéäèòå äëèíó ëîìàíîé. 2.89 89.. Äëèíà çàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç òðåõ çâåíüåâ, ðàâíà 23 ñì. Äâà çâåíà ëîìàíîé ðàâíû ìåæäó ñîáîé, à òðåòüå íà 5 ñì áîëüøå êàæäîãî èç íèõ. Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ. Правообладатель Национальный институт образования 81 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 2. 90 90.. Äëèíà íåçàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç ÷åòûðåõ çâåíüåâ, ðàâíà 22 ñì, à êàæäîå åå çâåíî íà 1 ñì áîëüøå ïðåäûäóùåãî. Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ. аз ов ан ия 2. 91 91.. Èçâåñòíû äëèíû îòðåçêîâ À = 5 ñì, ÀÑ = 8 ñì, ÂÑ = 7 ñì, AD = 10 ñì, DB = 12 ñì. Íàéäèòå äëèíó íåçàìêíóòîé ëîìàíîé: 1) ÀÂÑ; 2) ADB; 3) DACB; 4) DABC. ту то бр 2. 92 92.. * Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ, ó êîòîðîé äëèíà êàæäîãî çâåíà âûðàæåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ, à äëèíà ëîìàíîé ðàâíà: 1) 2 ñì; 2) 3 ñì; 3) 4 ñì; 4) 5 ñì; 5) 6 ñì; 6) 7 ñì. ль ны й ин ст и 2.93 93.. Èçîáðàçèòå íåçàìêíóòóþ ëîìàíóþ òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó åå êðàéíèìè âåðøèíàìè áûëî ðàâíî: 1) 2 ñì; 2) 8 ñì; 3) 4 ñì; 4) 5 ñì. 2.8. Ìíîãîóãîëüíèê На ц ио на Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ ABC, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ çâåíüåâ, ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóòðåííþþ è âíåøíþþ (ðèñ. 81). ×àñòü ïëîñêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ âíóòðè ëîìàíîé, âìåñòå ñ ýòîé ëîìàíîé îáðàçóþò òðåóãîëüíèê. Òî÷êè À,  è Ñ íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà, îòðåçêè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà, à ∠ À, ∠  è ∠ Ñ — óãëàìè òðåóãîëüíèêà. Íà ðèñóíêå 82 èçîáðàæåíà ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç ÷åòûðåõ çâåíüåâ, — òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîì. 82 Правообладатель Национальный институт образования 2.8. Ìíîãîóãîëüíèê M N ия L Ðèñ. 82 аз ов Ðèñ. 81 ан K ст и ту то бр Òðåóãîëüíèê è ÷åòûðåõóãîëüíèê — ýòî âèäû ìíîãîóãîëüíèêîâ. Íà ðèñóíêå 83 èçîáðàæåíî åùå íåñêîëüêî ìíîãîóãîëüíèêîâ: ïÿòèóãîëüíèê, øåñòèóãîëüíèê è ñåìèóãîëüíèê. ин Ðèñ. 83 На ц ио на ль ны й Ðàññìàòðèâàÿ ýòè ìíîãîóãîëüíèêè, äåëàåì âûâîä: ÷èñëî óãëîâ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíî ÷èñëó åãî âåðøèí è ðàâíî ÷èñëó åãî ñòîðîí. Òðåóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 81, íàçûâàþò òàê: òðåóãîëüíèê ÀÂÑ, èëè ÀCB, èëè BAC, èëè CBA è ò. ä. ×åòûðåõóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 82, ìîæíî íàçâàòü òàê: ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN, èëè ÷åòûðåõóãîëüíèê MNKL, èëè NMLK è ò. ä. Ñóììó äëèí âñåõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà íàçûâàþò åãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ìíîãîóãîëüíèêà îáîçíà÷àåòñÿ ëàòèíñêîé áóêâîé Ð. Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòî âìåñòî ñëîâ «äëèíà ñòîðîíû» ãîâîðÿò ïðîñòî «ñòîðîíà». Правообладатель Национальный институт образования 83 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Âîïðîñû Q 1. Íàçîâèòå ìíîãîóãîëüíèê, èçîáðàæåíP íûé íà ðèñóíêå 84, åãî âåðøèíû, ñòîðîíû, óãëû. Ñêîëüêî èõ? À ñêîëüêî èõ ó ìíîãîóãîëüíèêà íà ðèñóíêå 82? T 2. ×òî íàçûâàåòñÿ ïåðèìåòðîì ìíîãîóãîëüíèêà? R ия S аз ов ан Ðèñ. 84 Óïðàæíåíèÿ P N E ль ны й L C H ин K ст и S M B ту T то бр 2. 94 94.. ° Íàçîâèòå ìíîãîóãîëüíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 85, èõ âåðøèíû, ñòîðîíû è óãëû (ðèñ. 85). D K A F J O V Ðèñ. 85 ио на 2.95 95.. ° Îïðåäåëèòå âèä ìíîãîóãîëüíèêà ïî åãî îáîçíà÷åíèþ, íàçîâèòå åãî âåðøèíû, ñòîðîíû è óãëû: 1) ABC; 2) ABCD; 3) ACBD; 4) ABCEP. На ц 2.96 96.. Èçìåðüòå äëèíû ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà è íàéäèòå åãî ïåðèìåòð (ðèñ. 86). а) б) B E C N D K A E Ðèñ. 86 84 F M Правообладатель Национальный институт образования H 2.8. Ìíîãîóãîëüíèê 2.97 97..° Èçîáðàçèòå ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Ñîåäèíèòå îòðåçêàìè òî÷êè A è C, B è D. Íàçîâèòå ïîëó÷èâøèåñÿ íà ÷åðòåæå òðåóãîëüíèêè. ан ия 2.98 98.. Èçîáðàçèòå ïÿòèóãîëüíèê EHFKM. Ñîåäèíèòå âåðøèíó F ñ íåñîñåäíèìè âåðøèíàìè ïÿòèóãîëüíèêà. Êàêèå ìíîãîóãîëüíèêè îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå? то бр аз ов 2.99 99..* Îòìåòüòå òî÷êè A, B, C, D. Óñòàíîâèòå, ñêîëüêî òðåóãîëüíèêîâ ìîæíî ïîñòðîèòü ñ âåðøèíàìè â òðåõ èç óêàçàííûõ òî÷åê. 2.100 100.. Çàïèøèòå âñå òðåóãîëüíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 87. б) ту а) R S F ст и O E ин A B C D ль ны й K P M Ðèñ. 87 N На ц а) ио на 2.101 101.. Íàçîâèòå ðàâíûå ñòîðîíû è ðàâíûå óãëû êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 88. M б) в) B L M A C K P S P D N R T Ðèñ. 88 Правообладатель Национальный институт образования 85 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 2. 102 102.. Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê. Èçîáðàçèòå îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ïåðèìåòðó ýòîãî òðåóãîëüíèêà. ан ия 2. 103 103..  ïÿòèóãîëüíèêå ABCDE ìåíüøàÿ ñòîðîíà AB ðàâíà 3 ì, à êàæäàÿ ñëåäóþùàÿ íà 2 ì áîëüøå ïðåäûäóùåé. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïÿòèóãîëüíèêà. то бр аз ов 2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòè ту Ïð èìåð Ïðèìåð èìåð..  äâóõ êîðçèíàõ 70 ÿáëîê.  ïåðâîé êîðçèíå íà 14 ÿáëîê áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé. Ñêîëüêî ÿáëîê â êàæäîé êîðçèíå? ин ст и Ðåøåíèå. Ñäåëàåì ñõåìàòè÷åñêèé ðèñóíîê óñëîâèÿ (ðèñ. 89). ль ны й  ïåðâîé êîðçèíå 14 ÿáëîê 70 ÿáëîê Âî âòîðîé êîðçèíå Ðèñ. 89 На ц ио на Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè èç ïåðâîé êîðçèíû âûíóòü 14 ÿáëîê, òî â íåé ñòàíåò ñòîëüêî æå ÿáëîê, ñêîëüêî âî âòîðîé. À â äâóõ êîðçèíàõ ñòàíåò íà 14 ÿáëîê ìåíüøå, ò. å. 70 − 14 = 56 (ÿáëîê). Òàê êàê â ïåðâîé è âî âòîðîé êîðçèíàõ ÿáëîê ñòàëî ïîðîâíó, òî â êàæäîé èç íèõ 56 : 2 = 28 (ÿáëîê). Ýòî ñòîëüêî, ñêîëüêî ïåðâîíà÷àëüíî áûëî âî âòîðîé êîðçèíå. À â ïåðâîé êîðçèíå áûëî íà 14 ÿáëîê áîëüøå, ò. å. 28 + 14 = 42 (ÿáëîêà). Îòâåò: 42; 28. 86 Правообладатель Национальный институт образования 2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòè Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïî-äðóãîìó: аз ов ан ия 1) 70 + 14 = 84 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî áû â îáåèõ êîðçèíàõ âìåñòå, åñëè áû âî âòîðîé êîðçèíå áûëî ñòîëüêî æå ÿáëîê, ñêîëüêî â ïåðâîé; 2) 84 : 2 = 42 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî â ïåðâîé êîðçèíå; 3) 42 − 14 = 28 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî âî âòîðîé êîðçèíå. то бр Îòâåò: 42; 28. ту Óïðàæíåíèÿ ин ст и 2.104 104..  äâóõ êîðçèíàõ 80 áîðîâèêîâ.  ïåðâîé êîðçèíå íà 10 áîðîâèêîâ ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé. Ñêîëüêî áîðîâèêîâ â êàæäîé êîðçèíå? на ль ны й 2.105 105.. Íà îâîùíóþ áàçó ïðèâåçëè 150 êîíòåéíåðîâ ñ îãóðöàìè è ïîìèäîðàìè. Êîíòåéíåðîâ ñ îãóðöàìè áûëî íà 30 áîëüøå, ÷åì êîíòåéíåðîâ ñ ïîìèäîðàìè. Ñêîëüêî êîíòåéíåðîâ ñ ïîìèäîðàìè è ñêîëüêî êîíòåéíåðîâ ñ îãóðöàìè ïðèâåçëè íà áàçó? На ц ио 2.106 106.. Ìîäåëü òåëåáàøíè âûñîòîé 4 ì 70 ñì ñîñòîèò èç äâóõ áëîêîâ. Êàêîâà âûñîòà âåðõíåãî è íèæíåãî áëîêîâ, åñëè íèæíèé áëîê íà 130 ñì êîðî÷å âåðõíåãî? 2.107 107.. Äîñêà áûëà ðàçðåçàíà íà äâå ÷àñòè. Îäíà ÷àñòü íà 30 ñì êîðî÷å äðóãîé. Êàêîâà äëèíà êàæäîé ÷àñòè, åñëè äëèíà äîñêè áûëà 2 ì 90 ñì? 2.108 108..  øâåéíîå àòåëüå ïîñòóïèëî 480 ì äæèíñîâîé òêàíè è äðàïà. Äæèíñîâîé òêàíè ïîñòóïèëî íà 140 ì Правообладатель Национальный институт образования 87 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áîëüøå, ÷åì äðàïà. Ñêîëüêî ìåòðîâ äæèíñîâîé òêàíè ïîñòóïèëî â àòåëüå? аз ов ан ия 2. 109 109.. Ñ òðåõ ÿáëîíü ñîáðàëè 30 êã ÿáëîê. Ñ ïåðâîé ÿáëîíè ñîáðàëè íà 4 êã ìåíüøå, ÷åì ñî âòîðîé, à ñ òðåòüåé ÿáëîíè íà 4 êã áîëüøå, ÷åì ñî âòîðîé. Ñêîëüêî êèëîãðàììîâ ÿáëîê ñîáðàëè ñ êàæäîé ÿáëîíè? ту то бр 2. 110 10.. Çà òðè äíÿ âûñòàâêó ïîñåòèëè 1500 ó÷àùèõñÿ. Âî âòîðîé äåíü âûñòàâêó ïîñåòèëè íà 120 ó÷àùèõñÿ ìåíüøå, ÷åì â ïåðâûé äåíü, â òðåòèé äåíü — íà 120 ó÷àùèõñÿ ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü. Ñêîëüêî ó÷àùèõñÿ ïîñåòèëè âûñòàâêó â êàæäûé èç òðåõ äíåé? ль ны й ин ст и 2. 111.  òðåõ ïàêåòàõ 1 êã 800 ã êîíôåò.  ïåðâîì ïàêåòå íà 250 ã ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîì, à â òðåòüåì íà 250 ã ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì. Êàêîâà ìàññà êàæäîãî ïàêåòà? 2.10. Óðàâíåíèå ио на 2. 112 12..* Åñëè ñëîæèòü óìåíüøàåìîå, âû÷èòàåìîå è ðàçíîñòü, òî ïîëó÷èòñÿ 120. Íàéäèòå êàæäîå èç íèõ, åñëè ðàçíîñòü ìåíüøå óìåíüøàåìîãî íà 24. На ц Ïð èìåð 11.. Ìàìà êóïèëà Ïåòå 8 òåòðàäåé, è òåïåðü ó Ïðèìåð íåãî 21 òåòðàäü. Ñêîëüêî òåòðàäåé áûëî ó Ïåòè äî ìàìèíîé ïîêóïêè? Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì íåèçâåñòíîå ÷èñëî òåòðàäåé áóêâîé x, ò. å. äî ïðèõîäà ìàìû ó Ïåòè áûëî x òåòðàäåé, à ïîñëå åå ïðèõîäà ñòàëî (x + 8) òåòðàäåé. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è x + 8 = 21. Òàêîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì x. 88 Правообладатель Национальный институт образования 2.10. Óðàâíåíèå Ðàâåíñòâî, ñîäåðæàùåå îäíî íåèçâåñòíîå, íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì. ан аз ов x = 21 − 8, x = 13. ия  ðàâåíñòâå x + 8 = 21 áóêâà x îáîçíà÷àåò íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå. Ìû çíàåì, ÷òî íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå íàõîäÿò âû÷èòàíèåì: то бр Çíà÷èò, ó Ïåòè áûëî 13 òåòðàäåé. (Åñëè â ðàâåíñòâå x + 8 = 21 âìåñòî áóêâû x ïîäñòàâèòü ÷èñëî 13, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî 13 + 8 = 21.) ту Îòâåò: 13 òåòðàäåé. ин ст и Çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî, ïðè êîòîðîì óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ. ль ны й Ðåøèòü óðàâíåíèå — ýòî çíà÷èò íàéòè âñå åãî êîðíè. Ïð èìåð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå 11 − õ = 9. Ïðèìåð На ц ио на Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå, íàäî èç óìåíüøàåìîãî âû÷åñòü ðàçíîñòü: õ = 11 − 9, õ = 2. Îòâåò: 2. Ïð èìåð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå (x − 10) + 3 = 15. Ïðèìåð Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå, íàäî èç ñóììû âû÷åñòü èçâåñòíîå ñëàãàåìîå: x − 10 = 15 − 3, x − 10 = 12. Правообладатель Национальный институт образования 89 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå óìåíüøàåìîå, íàäî ê ðàçíîñòè ïðèáàâèòü âû÷èòàåìîå: x = 12 + 10, ия îòêóäà x = 22. ан Îòâåò: 22. Óïðàæíåíèÿ ту то бр ×òî íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì? ×òî íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ? ×òî çíà÷èò: ðåøèòü óðàâíåíèå? Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå: à) ñëàãàåìîå; á) óìåíüøàåìîå; â) âû÷èòàåìîå? ст и 1. 2. 3. 4. аз ов Âîïðîñû ль ны й ин 2. 113 13.. ° Ñðåäè ÷èñåë 0, 6, 9, 13, 35, 37, 38, 49, 72 íàéäèòå êîðåíü óðàâíåíèÿ: 1) õ + 14 = 23; 2) 78 + õ = 78; 3) õ − 16 = 22; 4) y − 49 = 0; 5) 24 − y = 11; 6) 72 − y = 72. На ц ио на 2. 114 14.. ° Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) õ + 1042 = 1042; 3) õ − 173 812 = 0; 5) õ − 0 = 25 306; 2) 51 724 − õ = 0; 4) 934 507 − õ = 934 507; 6) 0 + õ = 79 442. 2. 115 15.. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå, êîðåíü êîòîðîãî ðàâåí: 1) 3; 2) 0; 3) 12; 4) 21; 5) 16; 6) 100. 2. 116 16.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) õ + 518 = 518 + 979; 2) 3452 + 729 = 3452 + õ; 90 Правообладатель Национальный институт образования 2.10. Óðàâíåíèå 3) õ + (7048 + 961) = (504 + 7048) + 961; 4) 14 007 + (õ + 53) = (14 007 + 299) + 53. ан то бр аз ов 27 093 + 52 907 = 80 000, ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) õ + 52 907 = 80 000; 2) 27 093 + õ = 80 000; 3) õ − 27 093 = 52 907; 4) 80 000 − õ = 27 093. ия 2.117 17.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 2.118 18.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî ль ны й ин ст и ту 135 418 − 99 322 = 36 096, ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) 135 418 − õ = 36 096; 2) 135 418 − õ = 99 322; 3) õ + 36 096 = 135 418; 4) 99 322 + õ = 135 418. на 2.119 19.. Íàéäèòå êîðåíü óðàâíåíèÿ: 1) õ + 8930 = 14 301; 2) 672 105 − y = 999; 3) k − 302 = 86 041; 4) m + 3821 = 6 080 281. На ц ио 2.120 120.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) (õ − 49) + 71 = 145; 3) (õ + 179) − 178 = 1; 5) 276 − (227 − õ) = 51; 7) 437 − (õ − 83) = 20; 2) 94 + (õ − 76) = 211; 4) 134 − (õ + 100) = 0; 6) 358 − (843 − õ) = 5; 8) (õ + 463) − 440 = 27. 2.121 121.. Ñîñòàâüòå çàäà÷ó ïî óðàâíåíèþ èç óïðàæíåíèÿ 2.120 è ðåøèòå åå. 2.122 122.. Äèìà çàäóìàë ÷èñëî, ïðèáàâèë ê íåìó 48, çàòåì âû÷åë 94 è ïîëó÷èë 21. Êàêîå ÷èñëî îí çàäóìàë? Правообладатель Национальный институт образования 91 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë аз ов ан ия 2. 123 123.. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïî óñëîâèþ çàäà÷è è ðåøèòå åãî. 1) Èðå õ ëåò, à Òàíÿ íà 5 ëåò ñòàðøå è åé 12 ëåò. Ñêîëüêî ëåò Èðå? 2) Ó Âåðû áûëî 42 íàêëåéêè, îíà âûèãðàëà õ íàêëååê, 15 íàêëååê îíà îòäàëà ñåñòðå, è ó íåå îñòàëîñü ðîâíî 50 íàêëååê. Ñêîëüêî íàêëååê âûèãðàëà Âåðà? ин ст и ту то бр 2. 124 124.. Ðåøèòå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ çàäà÷ó. 1)  ìîòêå áûëî íåñêîëüêî ìåòðîâ øïàãàòà. Ïîñëå òîãî êàê îò ìîòêà øïàãàòà îòðåçàëè 6 ì, â íåì îñòàëñÿ 41 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ øïàãàòà áûëî â ìîòêå? 2) Ðåéñîâûé àâòîáóñ áûë â ïóòè 2 ÷ 5 ìèí. Íà åçäó îí çàòðàòèë 1 ÷ 27 ìèí. Ñêîëüêî âðåìåíè çàíÿëè îñòàíîâêè? На ц ио на ль ны й 2. 125 125.. Ïîñëå òîãî êàê èç êîðçèíû ñ ãðèáàìè âçÿëè 10 ãðèáîâ, à çàòåì â íåå ïîëîæèëè 14 ãðèáîâ, â êîðçèíå ñòàëî 85 ãðèáîâ. Ñêîëüêî ãðèáîâ áûëî â êîðçèíå ïåðâîíà÷àëüíî? км 2. 126 126.. * Àâòîìîáèëü åäåò ñî ñêîðîñòüþ 60 . Íà ñêîëüч êî äîëæíà óâåëè÷èòüñÿ ñêîðîñòü, ÷òîáû àâòîìîáèëü ñòàë ïðîåçæàòü 1 êì íà ïîëìèíóòû áûñòðåå? Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå 2. 127 127.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: 1) (4024 − 3949) ⋅ (67 + 29) : 120; 2) 308 . 21 : 12 + 6021 − 2326; 3) (5049 + 1999) . 102 − 3248 : 16; 4) ((460 . 73 − 246) + 47 918) : 148. 92 Правообладатель Национальный институт образования Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ия 2.128 128.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: 1) 258 + (134 + 144) + (742 + 856); 2) (183 + 347) + (514 + 653) + 817; 3) (3829 + 1008) + (7071 + 1002); 4) (4052 + 379) + (9621 + 7948). аз ов ан 2.129 129.. Îêðóãëèòå ÷èñëî 19 972: 1) äî äåñÿòêîâ; 2) äî ñîòåí; 3) äî òûñÿ÷; 4) äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷. ст и ту то бр 2.130 130.. Îêðóãëèòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äî òûñÿ÷ è çàïèøèòå ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ äðóãóþ åäèíèöó èçìåðåíèÿ: 1) 15 823 ã; 2) 28 518 êã; 3) 803 êã; 4) 4378 ö. ль ны й ин 2.131 131.. Îêðóãëèòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äî ñîòåí è çàïèøèòå ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ äðóãóþ åäèíèöó èçìåðåíèÿ: 1) 445 êã; 2) 983 ñì; 3) 993 ì; 4) 960 êã. ио на 2.132 132.. ×èñëî 15 îêðóãëèëè äî äåñÿòêîâ, äî ñîòåí è äî òûñÿ÷ è ïîëó÷èëè îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò — 11 000. Íàéäèòå ýòî ÷èñëî. На ц 2.133 133.. Ïðè îêðóãëåíèè ÷èñëà 16 äî äåñÿòêîâ, äî ñîòåí, äî òûñÿ÷ è äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷ áûëî ïîëó÷åíî îäíî è òî æå ÷èñëî — 20 000. Êàêîå ÷èñëî îêðóãëÿëè? 2.134 134.. 1) Ñóììà òðåõ ÷èñåë 749 013. Ïåðâîå ÷èñëî 185 640 íà 859 áîëüøå âòîðîãî. Íàéäèòå òðåòüå ÷èñëî. 2) Ïåðâîå ÷èñëî 7570, è îíî íà 38 ìåíüøå âòîðîãî è íà 430 ìåíüøå òðåòüåãî. Íàéäèòå ñóììó òðåõ ÷èñåë. Правообладатель Национальный институт образования 93 à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 2. 135 135.. Áàáóøêà ñâàðèëà íà çèìó âàðåíüå. Êëóáíè÷íîãî âàðåíüÿ îêàçàëîñü 9 áàíîê, ñëèâîâîãî — â 2 ðàçà áîëüøå. Âàðåíüÿ èç ÿáëîê â 3 ðàçà áîëüøå, ÷åì âàðåíüÿ èç ñëèâ. Ñêîëüêî âñåãî áàíîê âàðåíüÿ èç êëóáíèêè, ñëèâ è ÿáëîê çàãîòîâëåíî íà çèìó? аз ов ан 2. 136 136.. Ó Ïåòè áûëî 5 îðåõîâ, ó Ñàøè — íà 12 îðåõîâ áîëüøå, à ó Îëè â 2 ðàçà ìåíüøå îðåõîâ, ÷åì ó Ïåòè è Ñàøè âìåñòå. Ñêîëüêî îðåõîâ áûëî ó äåòåé? ст и ту то бр 2. 137 137.. Òóðèñò â ïåðâûé äåíü ïðîåõàë íà âåëîñèïåäå 68 êì, ÷òî íà 12 êì áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.  òðåòèé äåíü îí ïðîåõàë íà 15 êì ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü. Êàêîå ðàññòîÿíèå òóðèñò ïðîåõàë çà òðè äíÿ? ль ны й ин 2.138.* Íà êëóìáå âîçëå øêîëû ðîñëè ðàçíûå öâåòû. Ãåîðãèí è õðèçàíòåì áûëî 12 êóñòîâ, õðèçàíòåì è ïèîíîâ — 9 êóñòîâ, ïèîíîâ è ãåîðãèí áûëî 11 êóñòîâ. Ñêîëüêî öâåòîâ êàæäîãî âèäà ðîñëî íà êëóìáå? ио на 2. 139 139.. * Ó Ïåòè è Ñàøè — 17 íàêëååê, ó Ñàøè è Ñëàâû — 18 íàêëååê, à ó Ïåòè è Ñëàâû — 25 íàêëååê. Ñêîëüêî íàêëååê ó êàæäîãî ìàëü÷èêà? На ц 2. 140 140.. * Âû÷èñëèòå: 1) 20 + 40 + 60 + ... + 460 + 480 + 500; 2) 30 + 60 + 90 + ... + 540 + 570 + 600. 2. 141 141.. * Óñòàíîâèòå çàêîíîìåðíîñòü è íàïèøèòå åùå 5 ÷èñåë, ñëåäóþùèõ çà óêàçàííûìè: 1) 2, 4, 8, 16, 32, ... ; 2) 2, 6, 10, 14, 18, ... ; 3) 1, 1, 2, 3, 5, ... ; 4) 1, 2, 2, 4, 8, ... . 94 Правообладатель Национальный институт образования Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ия 2.142 142..* Äàíû ÷èñëà 5, 6, 7, 8, 9. Îíè èçìåíÿþòñÿ â íåñêîëüêî ýòàïîâ. Íà êàæäîì ýòàïå ìîæíî ê ëþáûì äâóì èç èìåþùèõñÿ ÷èñåë ïðèáàâëÿòü ïî 1. Ìîãóò ëè íà êàêîì-òî ýòàïå âñå ïîëó÷èâøèåñÿ ïÿòü ÷èñåë îêàçàòüñÿ ðàâíûìè? то бр аз ов ан 2.143 143..* Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ìåíüøèå 11, çàïèñàíû îäíî çà äðóãèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî. Îïðåäåëèòå â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà êîëè÷åñòâî: 1) âñåõ öèôð; 2) äåâÿòîê; 3) åäèíèö; 4) øåñòåðîê. На ц ио на ль ны й ин ст и ту 2.144 144..* Âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, ìåíüøèå 60, çàïèñàíû îäíî çà äðóãèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî. Îïðåäåëèòå â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà êîëè÷åñòâî: 1) âñåõ öèôð; 2) íóëåé; 3) åäèíèö; 4) øåñòåðîê. Правообладатель Национальный институт образования 3 ия ГЛАВА аз ов ан ÓÌÍÎÆÅÍÈÅ È ÄÅËÅÍÈÅ ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË то бр 3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ин Òàêèì îáðàçîì, ст и ту Ìû çíàåì, ÷òî óìíîæèòü, íàïðèìåð, ÷èñëà 23 è 9 — îçíà÷àåò íàéòè ñóììó 9 ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ ðàâíî 23, ò. å. 23 . 9 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 = 207. ль ны й 23 . 9 = 207. ×èñëî 207 íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ÷èñåë 23 è 9. Òàê æå íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå 23 . 9, à ñàìè ÷èñëà 23 è 9 íàçûâàþòñÿ ìíîæèòåëÿìè. На ц ио на Ïð èìåð.  îäíîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ñêîëüêî áàíàíîâ Ïðèìåð. â ïÿòè ñâÿçêàõ? ßñíî, 7 . 5. À â òðåõ? Êîíå÷íî, 7 . 3. Ìîæíî è äëÿ îäíîé ñâÿçêè çàïèñàòü ÷èñëî áàíàíîâ â òàêîì æå âèäå, êàê äëÿ ïÿòè è òðåõ ñâÿçîê, — ïîëó÷èòñÿ 7 . 1. Íî â îäíîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ïîýòîìó ïðèíÿòî, ÷òî 7 . 1 = 7. À ñêîëüêî áóäåò áàíàíîâ, åñëè ÷èñëî ñâÿçîê ðàâíî íóëþ (ò. å. íåò íè îäíîé ñâÿçêè)? ßñíî, 0 áàíàíîâ. Åñëè æå çàïèñàòü îòâåò íà ýòîò âîïðîñ â òàêîì æå âèäå, êàê äëÿ ïÿòè è òðåõ ñâÿçîê, òî ïîëó÷èì 7 . 0 áàíàíîâ. Ïîýòîìó ïðèíÿòî, ÷òî 7 . 0 = 0. 96 Правообладатель Национальный институт образования 3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Âîîáùå, ïðè ëþáîì ÷èñëå à ïðèíÿòî: a.1=a a.0=0 â) × 478 103 1434 + + 000 478 49234 ан × аз ов 478 130 000 + 1434 + 478 62140 á) то бр 478 13 1434 + 478 6214 × ту à) ия Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü òðåõ ïðèìåðîâ è îáúÿñíèòå, êàê ÷èñëà óìíîæàþòñÿ ñòîëáèêîì. Âîïðîñû ль ны й ин ст и 1. Êàê â ðàâåíñòâå 7 . 4 = 28 íàçûâàþòñÿ: à) ÷èñëà 7 è 4; á) ÷èñëî 28? 2. Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå 7 . 4? 3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ÷èñëî à óìíîæàþò: à) íà 1; á) íà 0? Óïðàæíåíèÿ На ц ио на 3.1.° Çàïèøèòå ñóììó â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ è âû÷èñëèòå: 1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; 2) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0; 3) 12 + 12 + 12 + 12 + 12; 4) 101 + 101 + 101 + 101 + 101. 3.2 .° Çàïèøèòå â âèäå ñóììû ïðîèçâåäåíèå: 1) 21 . 4; 2) 31 . 5; 3) 992 . 3; 4) 215 . 6. 3.3 .° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå: 1) 212 . 1; 2) 105 . 0; . 3) 400 70; 4) 90 . 50. Правообладатель Национальный институт образования 97 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан 3. 5. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå: 1) 258 . 7; 2) 4907 . 3; 3) 81 709 . 6; 4) 416 103 . 5. ия 3. 4. Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå áîëüøå ÷èñëà: 1) 201 â 2 ðàçà; 2) 76 â 10 ðàç; 3) 14 â 20 ðàç; 4) 1 â 999 ðàç. то бр аз ов 3. 6. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå: 1) 1320 . 19; 2) 6704 . 14; 3) 609 372 . 65; 4) 26 840 . 78. ст и ту 3. 7. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå: 1) 36 . 4739; 2) 803 . 503; 3) 591 . 1351; 4) 201 . 59 372. ль ны й ин 3. 8. Ñîñòàâüòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç ïÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîé ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî: 1) 5, à êàæäîå ñëåäóþùåå ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ïðåäûäóùåãî íà 4; 2) 111, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 2 ðàçà áîëüøå ïðåäûäóùåãî. На ц ио на 3. 9. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 400 â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ: 1) îäíîçíà÷íîãî è äâóçíà÷íîãî ÷èñåë; 2) äâóõ äâóçíà÷íûõ íå ðàâíûõ ÷èñåë. 3. 10 10.. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë: 1) íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî è íàèìåíüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî; 2) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî è íàèìåíüøåãî âîñüìèçíà÷íîãî. 3. 11. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë â 32 ðàçà áîëüøå ïåðâîãî ìíîæèòåëÿ. ×åìó ðàâåí âòîðîé ìíîæèòåëü? 98 Правообладатель Национальный институт образования 3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3.12 12.. Âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èòñÿ ÷èñëî, åñëè ê íåìó ñïðàâà ïðèïèñàòü: 1) îäèí íóëü; 2) äâà íóëÿ; 3) ïÿòü íóëåé; 4) äåâÿòü íóëåé? аз ов ан ия 3.13 13.. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà: 1) 18 è ñóììû ÷èñåë 38 è 6; 2) 21 è ðàçíîñòè ÷èñåë 28 è 11. то бр 3.14 14.. Ñåìüÿ ñêâîðöîâ çà 1 äåíü óíè÷òîæàåò äî 800 ëè÷èíîê âðåäèòåëåé. Êàêîå êîëè÷åñòâî ëè÷èíîê óíè÷òîæàåò åæåäíåâíî êîëîíèÿ èç 25 ñåìåé ñêâîðöîâ? ту 3.15 15.. Çà êàêîå âðåìÿ Ëåíÿ ðåøèë 6 ïðèìåðîâ, åñëè íà êàæäûé ïðèìåð åìó òðåáîâàëîñü 1 ìèí 15 ñ? ст и 3.16 16..° Îòðåçîê À ðàçáèò íà 26 îòðåçêîâ ïî 12 ñì â êàæäîì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà ÀÂ. ль ны й ин 3.17 17.. 1) Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ îäíîé äåòàëè íóæíî 28 ìèí. Êàêîå âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ 22 òàêèõ äåòàëåé? 2) Íà îêðàñêó 4 áëþäåö òðåáóåòñÿ 3 ìèí. Êàêîå âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ íà îêðàñêó 32 òàêèõ æå áëþäåö? ио на 3.18 18..  äâóõ ÿùèêàõ ëåæàò àïåëüñèíû.  ïåðâîì ÿùèêå â 2 ðàçà áîëüøå àïåëüñèíîâ, ÷åì âî âòîðîì. Ñêîëüêî àïåëüñèíîâ â îáîèõ ÿùèêàõ, åñëè âî âòîðîì 8 êã? На ц 3.19 19..  ïåðâîé êîðîáêå ôëîìàñòåðîâ â 3 ðàçà ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé, è â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â òðåòüåé. Ñêîëüêî ôëîìàñòåðîâ â òðåõ êîðîáêàõ, åñëè â òðåòüåé èõ 12 øòóê? 3.20 20..* Èñïîëüçóÿ òðè ðàçëè÷íûå öèôðû, íå ðàâíûå íóëþ, ñîñòàâüòå èç íèõ âñå âîçìîæíûå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà è íàéäèòå èõ ñóììó. Ïðè äåëåíèè ýòîé ñóììû íà ñóììó òðåõ âûáðàííûõ öèôð ïîëó÷èòñÿ 222. Ïî÷åìó? Правообладатель Национальный институт образования 99 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ то бр аз ов ан ия Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû êðóæêè. Îíè ðàñïîëîæåíû â 4 ñòðîêàõ è 7 ñòîëáöàõ. Ñêîëüêî êðóæêîâ èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 90? Ðèñ. 90 ст и ту Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê.  êàæäîé ñòðîêå 7 êðóæêîâ, à òàêèõ ñòðîê 4. Çíà÷èò, âñåãî êðóæêîâ 7 . 4. ль ны й ин À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó.  êàæäîì ñòîëáöå 4 êðóæêà, à òàêèõ ñòîëáöîâ 7. Çíà÷èò, âñåãî êðóæêîâ 4 . 7. Íî ÷èñëî êðóæêîâ íà ðèñóíêå íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèì ñïîñîáîì ìû åãî ïîäñ÷èòûâàåì. Ïîýòîìó на 4 . 7 = 7 . 4. На ц ио Åñëè âìåñòî ÷èñåë 4 è 7 ìû âîçüìåì ëþáûå ÷èñëà à è b, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî: a.b=b.a Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: îò ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåé ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ. 100 Правообладатель Национальный институт образования 3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ Âîïðîñû ия 1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ? 2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ? то бр ст и ту 3.21 21.. ° Âåðíî ëè, ÷òî: 1) 67 . 32 = 32 . 67; 2) 54 . 49 = 49 . 45; 3) 29 + 29 + 29 + 29 = 4 . 29; 4) 5 . 13 = 13 + 13 + 13 + 13; 5) 89 . 51 > 50 . 89; 6) 103 . 120 < 115 . 103? аз ов ан Óïðàæíåíèÿ ль ны й ин 3.22 22.. ° Âìåñòî ñèìâîëà ☺ âñòàâüòå ÷èñëî òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå ðàâåíñòâî: 1) ☺ . 27 190 = 27 190 . 36 363; 2) 2 000 201 . ☺ = 1 . 2 000 201. ио на 3.23 23..° Ïðåäñòàâüòå ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â âèäå ñóììû ñëàãàåìûõ äâóìÿ ñïîñîáàìè: 1) 4 . 6; 2) 2 . 5; 3) 7 . 3; 4) 9 . 1. На ц 3.24 24.. ° Ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë 25 è 248 ðàâíî 6200. ×åìó ðàâíî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë 248 è 25? 3.25 25.. Èñïîëüçóÿ äàííîå äâóõ âûðàæåíèé: 1) 36 . 49 = 1764; 2) 52 . 35 = 1820; 3) 105 . 8 = 840; 4) 95 . 45 = 4275; ðàâåíñòâî, íàéäèòå çíà÷åíèÿ 49 . 36 = ?; 35 . 52 = ?; 8 . 105 = ?; 45 . 95 = ?; (40 + 9) . 36 = ?; 35 . (55 − 3) = ?; (10 − 2) . 105 = ?; 45 . (100 − 5) = ?. Правообладатель Национальный институт образования 101 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ðèñ. 91 аз ов ан ия 3. 26 26..  ñàäó ïîñàäèëè êóñòû ñìîðîäèíû (ðèñ. 91). Ñêîëüêî êóñòîâ ñìîðîäèíû ïîñàäèëè? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. ст и ту то бр 3. 27 27.. *  îäíîì èç äâóõ ïÿòûõ êëàññîâ íà 22 ó÷åíèêà ìåíüøå, ÷åì â îáîèõ ïÿòûõ êëàññàõ, à â äðóãîì — íà 25 ó÷åíèêîâ ìåíüøå, ÷åì â îáîèõ êëàññàõ. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ â êàæäîì èç ïÿòûõ êëàññîâ? ль ны й ин 3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ На ц ио на Ïð èìåð Ïðèìåð èìåð.. Ìàãàçèí ïðîäàë 72 ÿùèêà áàíàíîâ.  êàæäîì ÿùèêå 16 ñâÿçîê, à â êàæäîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ñêîëüêî áàíàíîâ ïðîäàë ìàãàçèí? Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Óçíàåì ñíà÷àëà, ñêîëüêî áàíàíîâ â îäíîì ÿùèêå: 7 . 16. Òàê êàê ÿùèêîâ 72, òî âñåãî ìàãàçèí ïðîäàë (7 . 16) . 72 áàíàíîâ. À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Óçíàåì ñíà÷àëà, ñêîëüêî ñâÿçîê â 72 ÿùèêàõ: 16 . 72. Òàê êàê â êàæäîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ, òî áûëî ïðîäàíî 7 . (16 . 72) áàíàíîâ. ×èñëî ïðîäàííûõ áàíàíîâ íå çàâèñèò, êîíå÷íî, îò ñïîñîáà, êàêèì îíî ïîäñ÷èòûâàåòñÿ. Ïîýòîìó (7 . 16) . 72 = 7 . (16 . 72). 102 Правообладатель Национальный институт образования 3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ Åñëè âìåñòî ÷èñåë 7, 16 è 72 ìû âîçüìåì ëþáûå ÷èñëà à, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî: (a . b) . c = a . (b . c) аз ов ан ия Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: то бр ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà òðåòüå ÷èñëî, ìîæíî ïåðâîå ÷èñëî óìíîæèòü íà ïðîèçâåäåíèå âòîðîãî è òðåòüåãî. ту Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è ïî-äðóãîìó: ин ст и îò èçìåíåíèÿ ðàññòàíîâêè ñêîáîê ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ. ль ны й Áëàãîäàðÿ ñî÷åòàòåëüíîìó çàêîíó ïðîèçâåäåíèå íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê. Ïîýòîìó ñêîáêè ìîæíî âîîáùå íå ïèñàòü: на (a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c На ц ио Ïîêàæåì, êàê ñî÷åòàòåëüíûé è ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîíû ïðèìåíÿþòñÿ ïðè óìíîæåíèè íåñêîëüêèõ ÷èñåë. Ýòî ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ïðîèçâåäåíèå: 125 . 873 . 8 = (125 . 8) . 873 = 1000 . 873 = 873 000. Èç çàêîíîâ óìíîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìíîæèòåëè â ïðîèçâåäåíèè ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè è çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Правообладатель Национальный институт образования 103 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Âîïðîñû аз ов ан ия 1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ? (Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.) 2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ? 3. ×òî ñëåäóåò èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ óìíîæåíèÿ? Óïðàæíåíèÿ то бр 3. 28 28.. ° Âû÷èñëèòå: 1) 25 . 52 . 4; 3) 2 . 21 . 50; 5) 2 . 439 . 5; ту 2) 17 . 5 . 20; 4) 125 . 9 . 8; 6) 4 . 110 . 5. ин ст и 3. 29 29.. ° Âûïîëíèòå óìíîæåíèå: 1) 2 . 10 . 639 . 5; 2) 21 . 100 . 50 . 2; 3) 8 . 29 . 125; 4) 25 . 63 . 8 . 125 . 4. на ль ны й 3. 30 30.. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå: 1) 4 . 21 . 25 . 3; 2) 2 . 14 . 2 . 5 . 5; 3) 2 . 3 ⋅ 2 . 2 . 5 . 11 . 5 . 5; 4) 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 3 . 5 . 5 . 5. На ц ио 3. 31 31.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 2 . 37 . 25; 2) 128 . 5; 3) 50 . 73; 4) 39 . 125 . 4. 3. 32 32.. ° Íàçîâèòå ÷èñëî, êîòîðîå íóæíî ïîñòàâèòü âìåñòî ñèìâîëà ☺, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå ðàâåíñòâî: 1) 50 . 84 . ☺ = 84 . 39 . 50; 2) 125 . ☺ . 9 = 9 . 125 . 962; 3) 125 . 39 . ☺ = 39 000; 4) 4 . ☺ . 25 = 7800. 104 Правообладатель Национальный институт образования 3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ту то бр аз ов ан ия 3.33 33.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 3 . 37 = 111, âû÷èñëèòå: 1) (37 . 5) . 3; 2) 2 . (37 . 5) . 3; 3) 25 . (37 . 4) . 3; 4) (37 . 125) . 24; 5) 75 . (37 . 4) . 6; 6) 37 . (28 . 3) . 25. 3.34 34.. Èçâåñòíî, ÷òî à . b = 90. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå: 1) a . (4 . b); 2) 3 . (a . 2) . b; 3) 2 . a . (b . 5) . 7; 4) a . (a . b) . 2 . b. 3.35 35.. Èçâåñòíî, ÷òî à . b = 110. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå: 1) a . 2 . 3 . b; 2) a . 3 . b . 3; 3) a . 2 . b . 5 . 4; 4) 2 . a . 2 . 5 . b . 5. ль ны й ин ст и 3.36 36.. Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 7 . 11 . 13 = 1001, âû÷èñëèòå: 1) (3 . 7) . 11 . 13; 2) (22 . 7) . 65; 3) 25 . (91 . 28) . 11; 4) 28 . (125 . 13) . 88. На ц ио на 3.37. Äëÿ ïåðåâîçêè ÿèö èñïîëüçóþò êàðòîííûå ÿùèêè, â êîòîðûå óêëàäûâàþò ëîòêè â øåñòü ñëîåâ ïî 2 ëîòêà â êàæäîì ñëîå Ðèñ. 92 (ðèñ. 92). Ñêîëüêî ÿèö ïîìåùàåòñÿ â ÿùèêå, åñëè â ëîòêå 30 ÿèö? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. 3.38 38.. ×åòûðå ÷åðíåíüêèõ ÷óìàçåíüêèõ ÷åðòåíêà ÷åðòèëè ÷åðíûìè ÷åðíèëàìè ÷åðòåæ. Ñêîëüêî ôëàêîíîâ ÷åðíèë èçðàñõîäîâàëè ÷åðòÿòà, åñëè êàæäûé íà÷åðòèë ïî 4 ÷åðòåæà, à íà âûïîëíåíèå îäíîãî ÷åðòåæà óõîäèëî ïî 5 ôëàêîíîâ ÷åðíèë? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. Правообладатель Национальный институт образования 105 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан ия 3.39. Äëÿ áëàãîóñòðîéñòâà èãðîâîé ïëîùàäêè ïðèâåçëè 4 ïîääîíà, â êîòîðûõ òðîòóàðíàÿ ïëèòêà óëîæåíà â äåñÿòü ñëîåâ ïî 5 ïëèòîê â øèðèíó è ïî 8 ïëèòîê â äëèíó Ðèñ. 93 (ðèñ. 93). Ñêîëüêî âñåãî ïðèâåçëè ïëèòîê? Ðåøèòå çàäà÷ó íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè. то бр аз ов 3. 40 40.. Êàê èçìåíèòñÿ ïðîèçâåäåíèå, åñëè îäèí ìíîæèòåëü óâåëè÷èòü: 1) â 6 ðàç, à äðóãîé — óìåíüøèòü â 2 ðàçà; 2) â 3 ðàçà, à äðóãîé — óìåíüøèòü â 3 ðàçà? ст и ту 3. 41 41.. Êàê ìîæíî èçìåíèòü ìíîæèòåëè, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå óâåëè÷èëîñü: 1) â 10 ðàç; 2) â 7 ðàç? ль ны й ин 3. 42 42.. * Ãóñåíèöà ïîëçëà ââåðõ ïî äåðåâó. Çà äåíü îíà óñïåâàëà ïðîïîëçòè 3 ì, à çà íî÷ü îïóñêàëàñü íà 2 ì. Íà êàêîé äåíü îíà äîñòèãëà âûñîòû 7 ì? 3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì На ц ио на Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ à2 (÷èòàåòñÿ «à â êâàäðàòå»), ò. å. a2 = a . a Íàïðèìåð, 52 = 5 . 5 = 25. Ïðîèçâåäåíèå òðåõ ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, íàçûâàåòñÿ êóáîì ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ à3 (÷èòàåòñÿ «à â êóáå»), ò. å. a3 = a . a . a Íàïðèìåð, 53 = 5 . 5 . 5 = 125. 106 Правообладатель Национальный институт образования 3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì Âîîáùå, ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, îáîçíà÷àåòñÿ àn (÷èòàåòñÿ «à â ñòåïåíè n» èëè «à â n-é ñòåïåíè»), ò. å. ия an = a . a . ... . a ан n ðàç аз ов ×èñëî à íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ñòåïåíè, ÷èñëî n — ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, an — ñòåïåíüþ. Íàïðèìåð, то бр 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243. ль ны й ин ст и ту (×èòàåòñÿ: «òðè â ïÿòîé ñòåïåíè ðàâíî äâóìñòàì ñîðîêà òðåì».) Çäåñü 3 — îñíîâàíèå ñòåïåíè, 5 — ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, 243 — ïÿòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 3. Çàìåòèì, ÷òî êâàäðàò ÷èñëà à — ýòî âòîðàÿ ñòåïåíü ÷èñëà à; êóá ÷èñëà à — ýòî òðåòüÿ ñòåïåíü ÷èñëà à. Ïèôàãîðåéöû çàìåòèëè, ÷òî 100 = 13 + 23 + 33 + 43. Âîïðîñû На ц ио на 1. ×òî òàêîå êâàäðàò ÷èñëà à? êóá ÷èñëà à? 2.* ×òî òàêîå âòîðàÿ, òðåòüÿ, ïÿòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà à? 3. Êàê ÷èòàåòñÿ è ÷òî îçíà÷àåò âûðàæåíèå an? Óïðàæíåíèÿ 3.43 43..° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå. Íàçîâèòå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, îñíîâàíèå ñòåïåíè: 2) 73; 1) 42; 3) 57; 4) 132 ; 5) 105; 6) 9908; 21 7) 10 000 ; 8) 500013. Правообладатель Национальный институт образования 107 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 3. 44 44.. Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå: 2) (6 + 9) 2; 1) 62 + 92; 3) 43 + 73; 4) (4 + 7) 3; 5 5) (12 − 2) ; 6) 122 − 24; 7) (15 − 6)8; 8) 159 − 63. то бр аз ов ан 3. 45 45..° Ïðåäñòàâüòå ïðîèçâåäåíèå â âèäå ñòåïåíè. Íàçîâèòå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, îñíîâàíèå ñòåïåíè: 1) 17 . 17; 2) 29 . 29 . 29; 3) 603 . 603 . 603 . 603; 4) 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4; 5) p . p . p . p . p; 6) t . t . t . t . t . t . t. ин ль ны й 3. 47 47.. ° Âû÷èñëèòå: 1) 153; 3) 202 + 23; ст и ту 3. 46 46.. ° Ïðåäñòàâüòå ñòåïåíü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ: 2) 763; 3) 2504; 4) 5265; 1) 1302; 3 2 7 5) 1611 ; 6) 7503 ; 7) 1 ; 8) 96344. 2) 23 . 44; 4) 53 . 62; 6) 73 . 22. ио на 3. 48 48.. ° Âû÷èñëèòå: 1) 32 . 53; 3) 52 . 34; 5) 62 . 72; 2) 2842; 4) 25 + 104. На ц 3. 49 49.. ° Âû÷èñëèòå: à) êâàäðàòû ïåðâûõ äåñÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; á) êóáû ïåðâûõ äåñÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. 3. 50 50.. ° Âû÷èñëèòå ïåðâûå äåñÿòü ñòåïåíåé ÷èñëà: 1) 2; 2) 3. 3. 51 51.. Ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë: 1) 1, 4, 9, 16, ... , ... , ... ; 2) 1, 8, 27, 64, ... , ... , ... . 108 Правообладатель Национальный институт образования 3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì 3.53 53.. Âû÷èñëèòå: 1) 1002; 3) 10002; 5) 10 0002; аз ов 2) 1003; 4) 10003; 6) 10 0003. ан ия 3. 52 52.. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî â âèäå êâàäðàòà èëè êóáà íàòóðàëüíîãî ÷èñëà: 1) 125; 2) 121; 3) 729; 4) 216; 5) 343; 6) 1000. ль ны й ин ст и 3.55 55.. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî: 1) 32 + 42 = 52; 2) 62 + 82 = 102; 3) 32 + 42 + (3 . 4) 2 = 132; 4) 42 + 62 + 122 = 142? ту то бр 3.54 54.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 2) 42 . 52 − 26; 1) 52 . 22 + 210; 2 2 4 3) 6 . 5 − 3 ; 4) 34 . 72 + 43. ио на 3.56 56.. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî: 1) 13 + 23 = 32; 2) 13 + 63 + 83 = 93; 3) 33 + 43 + 53 = 63; 4) 113 + 123 + 133 + 143 = 203? На ц 3.57 57.. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ âñåõ îäíîçíà÷íûõ: 1) ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2; 2) ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2; 3) ÷èñåë. 3.58 58.. Íàéäèòå ñóììó êóáîâ âñåõ îäíîçíà÷íûõ: 1) ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2; 2) ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2; 3) ÷èñåë. Правообладатель Национальный институт образования 109 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 3. 59 59.. Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ: 2) 7 . 102 + 3 . 10; 1) 7 . 103 + 3; 3 3) 7 . 10 + 3 . 10; 4) 7 . 103 + 3 . 102. аз ов ан 3. 60 60.. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ, èñïîëüçóÿ ñòåïåíè ÷èñëà 10: 1) 904 001 523; 2) 1 634 785; 3) 28 912 765; 4) 5 007 001 232. ль ны й ин ст и ту то бр 3. 61 61..  êà÷åñòâå øèôðîâ òðåõçíà÷íûõ êîäîâûõ çàìêîâ ÷åìîäàíà Îëåã íàáðàë ñëåâà íàèìåíüøåå, à ñïðàâà — íàèáîëüøåå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ êâàäðàòàìè íåêîòîðûõ ÷èñåë (ðèñ. 94). Íàéäèòå øèôðû çàìêîâ, êîòîðûå óñòàíîâèë Îëåã. Ðèñ. 94 На ц ио на 3. 62 62.. * Êàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ: 2) a3 = a; 1) a2 = a; 3) x2 = x3; 4) 2 . x2 = x3; 5) y2 = 11 . y; 6) 25 . y = y3? 3. 63 63.. * 1) Ïðåäñòàâüòå 24 â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íà êàæäîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ 24. 2) Ïðåäñòàâüòå 72 â âèäå ñóììû êóáîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íà êàæäîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ 72. 3. 64 64.. * Ïÿòü êîøåê ïîéìàþò ïÿòü ìûøåê çà ïÿòü ìèíóò. Ñêîëüêî ìûøåê ïîéìàþò 10 êîøåê çà 10 ìèí? 110 Правообладатель Национальный институт образования 3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò 3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò A аз ов C то бр B ан ия ×åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå óãëû ïðÿìûå, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû: AB = CD è BC = AD (ðèñ. 95). D Ðèñ. 95 ин ст и ту Äâå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, êîòîðûå èìåþò îáùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ äëèíîé è øèðèíîé (ðèñ. 96). Äëèíà è øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðåíèÿìè. á) ль ны й à) На ц ио на øèðèíà øèðèíà äëèíà äëèíà Ðèñ. 96 Åñëè ñòîðîíû íåêîòîðîãî ïðÿìîóãîëüíèêà à è b (ñì. ðèñ. 96), òî åãî ïåðèìåòð P íàõîäèì òàê: P = 2 . (a + b) Ïðÿìîóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå ñòîðîíû ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì. Правообладатель Национальный институт образования 111 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a Åñëè Ð — ïåðèìåòð êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à (ðèñ. 97), òî: P = a + a + a + a = a . 4 = 4 . a, a ò. å. ан ия P=4.a Ðèñ. 97 то бр аз ов Óñòàíîâèòü, ðàâíû ëè äâà ïðÿìîóãîëüíèêà (êâàäðàòà), ìîæíî ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ: åñëè ïðè íàëîæåíèè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü, òî îíè íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè. Âîîáùå, ту äâå ôèãóðû íàçûâàþò ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü ïðè íàëîæåíèè. ст и Âîïðîñû на ль ны й ин 1. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ïðÿìîóãîëüíèêîì; á) êâàäðàòîì? 2. Íàçîâèòå ñâîéñòâî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà. 3. Êàê íàçûâàþò ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà? 4. ×åìó ðàâåí ïåðèìåòð Ð: à) ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè à è b; á) êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à? 5. Êàê óñòàíîâèòü, ðàâíû ëè äâà ïðÿìîóãîëüíèêà (êâàäðàòà)? ио Óïðàæíåíèÿ На ц 3. 65 65.. ° Íàçîâèòå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 98). Ðèñ. 98 112 Правообладатель Национальный институт образования 3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò 3.66 66..° Íàçîâèòå ðàâíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà (ñì. ðèñ. 98). ия 3.67 67..° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè: 1) 6 ñì è 4 ñì; 2) 20 ìì è 45 ìì. аз ов ан 3.68 68.. ° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè êâàäðàò ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé: 1) 3 ñì; 2) 55 ìì. то бр 3.69 69..  ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD äëèíû ñòîðîí À è BC ðàâíû ïî 9 ñì. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð. ль ны й ин ст и ту 3.70 70.. Ïðîâåäèòå íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ è íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 99). Ðèñ. 99 ио на 3.71 71..° Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè: 1) 12 ìì è 19 ìì; 2) 7 ñì 3 ìì è 11 ñì 9 ìì. На ц 3.72 72.. Íàéäèòå ïåðèìåòð êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé: 1) 82 ìì; 2) 4 ì 8 äì 2 ñì 5 ìì. C B 3.73 73.. Èç ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD âûðåçàëè êâàäðàò AMNK (ðèñ. 100). Âåðíî ëè, ÷òî ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD ðàâåí ïåðèìåòðó ìíîãîóãîëüíèêà BCDKNM? N M A K D Ðèñ. 100 Правообладатель Национальный институт образования 113 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3.74. Îò ëèñòà êàðòîíà êâàäðàòíîé ôîðìû îòðåçàëè ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 101). Âåðíî ëè, ÷òî ïåðèìåòð îñòàâøåéñÿ ôèãóðû ðàâåí ïåðèìåòðó èñõîäíîãî êâàäðàòà? 3. 75 75.. Ïðÿìîóãîëüíèê, øèðèíà êîòîðîãî ðàâíà 5 ñì, à äëèíà — 7 ñì, ðàçáèëè íà äâå ôèãóðû — ïðÿìîóãîëüíèê è êâàäðàò. Íàéäèòå ïåðèìåòðû ïîëó÷èâøèõñÿ ôèãóð. аз ов ан ия Ðèñ. 101 то бр 3. 76 76.. Êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 6 ñì ðàçäåëèëè íà äâà ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïåðèìåòð êàæäîãî èç íèõ. ин ст и ту 3. 77 77.. Ïðÿìîóãîëüíèê, èçìåðåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû 4 äì è 6 äì, ðàçäåëèëè íà äâà ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïåðèìåòðû ïîëó÷èâøèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à? ль ны й 3. 78 78.. Íà÷åðòèòå ïðÿìîóãîëüíèê, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí 12 ñì. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà âûðàæåíû íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ? на 3. 79 79.. Íà÷åðòèòå êâàäðàò, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí ïåðèìåòðó ïðÿìîóãîëüíèêà ñ èçìåðåíèÿìè 6 ñì è 8 ñì. На ц ио 3. 80 80.. Îäíà èç ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 39 ñì, à äðóãàÿ â 3 ðàçà ìåíüøå. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð. 3.81 81.. Íàéäèòå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè åãî äëèíà â 4 ðàçà áîëüøå øèðèíû, à ïåðèìåòð ðàâåí 90 ñì. 3. 82 82..*  ÷åòûðåõ ìåøî÷êàõ ñîäåðæèòñÿ êðóïà.  ïåðâîì ìåøî÷êå åå íå ìåíüøå, ÷åì â êàæäîì èç îñòàëüíûõ, à âî âòîðîì — íå áîëüøå, ÷åì â êàæäîì èç îñòàëüíûõ. Âåðíî ëè, ÷òî â ïåðâîì è âî âòîðîì ìåøî÷êàõ êðóïû áîëüøå, ÷åì â äðóãèõ? 114 Правообладатель Национальный институт образования 3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè 3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè S = 3 . 4 = 12 (ñì2). Ðèñ. 102 На ц ио на ль ны й ин ст и ту то бр аз ов ан ия ×òîáû èçìåðÿòü ïëîùàäè, íàäî âûáðàòü åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé. Êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå èçìåðåíèÿ äëèíû, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì. Ïëîùàäü åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé. Íàïðèìåð: ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 ì ðàâíà îäíîìó êâàäðàòíîìó ìåòðó (ïèøåì: 1 êâ. ì, èëè 1 ì2); ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 ñì ðàâíà îäíîìó êâàäðàòíîìó ñàíòèìåòðó (ïèøåì: 1 êâ. ñì, èëè 1 ñì2). Íàçâàíèå åäèíèöû ïëîùàäè ïîëó÷àåòñÿ èç íàçâàíèÿ åäèíèöû äëèíû ïðèñîåäèíåíèåì ïðèëàãàòåëüíîãî «êâàäðàòíûé». Åñëè ôèãóðó ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êâàäðàòû, òî ïëîùàäü ôèãóðû ðàâíà ÷èñëó ñîñòàâëÿþùèõ åå åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ. Ïðîùå âñåãî èçìåðèòü ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà íà ðèñóíêå 102 ðàâíà 12 åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ, ò. å. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî èçìåðåíèé, ò. å. ïðîèçâåäåíèþ äëèíû è øèðèíû. Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà à è b åäèíèö äëèíû, à åãî ïëîùàäü S, òî: S=a.b Правообладатель Национальный институт образования 115 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Êîãäà ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì ñî ñòîðîíîé à, òî a = b è S = a2 аз ов ан ия (Èìåííî ïîýòîìó à2 ÷èòàåòñÿ: «à êâàäðàò» èëè «à â êâàäðàòå».) Ðàâåíñòâî S = a2 äàåò âîçìîæíîñòü âûðàçèòü îäíè åäèíèöû ïëîùàäè ÷åðåç äðóãèå. Íàïðèìåð: то бр 1 ì2 = 1 ì . 1 ì = 100 ñì . 100 ñì = 1002 ñì2 = 10 000 ñì2; 1 êì2 = 1 êì . 1 êì = 1000 ì . 1000 ì = 10002 ì2 = = 1 000 000 ì2. ль ны й ин ст и ту Åùå äâå åäèíèöû ïëîùàäè — ãåêòàð è àð — óïîòðåáëÿþòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé çåìåëüíûõ ó÷àñòêîâ. 1 ãåêòàð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 ãà) — ýòî ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 100 ì. Òàêèì îáðàçîì, 1 ãà = 100 ì . 100 ì = 1002 ì2 = 10 000 ì2. 1 àð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 à) — ýòî ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 10 ì. Òàêèì îáðàçîì, на 1 à = 10 ì . 10 ì = 102 ì2 = 100 ì2. На ц ио  îáèõîäå îäèí àð íàçûâàåòñÿ òàêæå «ñîòêîé»; ãîâîðÿò: «äà÷íûé ó÷àñòîê 6 ñîòîê». Çàìåòèì åùå, ÷òî 1 ãà = 100 a (ïðîâåðüòå). Âîïðîñû 1. 2. 3. 4. 5. 6. Êàêîé êâàäðàò íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì? ×òî ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäè? ×òî òàêîå: à) 1 ì2; á) 1 ñì2? ×åìó ðàâíà ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà? ×åìó ðàâíà ïëîùàäü êâàäðàòà? ×òî òàêîå: à) 1 ãåêòàð; á) 1 àð? 116 Правообладатель Национальный институт образования 3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè Óïðàæíåíèÿ а) б) то бр Ðèñ. 103 аз ов ан 1см2 ия 3.83 83.. ° Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû (â êâàäðàòíûõ ñàíòèìåòðàõ), èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 103. ст и 2) 5 ñì è 8 ñì; 4) 2 äì è 3 ì? ин 1) 1 ñì è 3 ñì; 3) 1 äì è 3 ñì; ту 3.84 84..° Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé 1 ñì ìîæíî ðàçáèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñ èçìåðåíèÿìè: На ц ио на ль ны й 3.85 85.. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà â êâàäðàòíûõ ñàíòèìåòðàõ (ðèñ. 104). Ðèñ. 104 3.86 86..° Íà ñêîëüêî ðàâíûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé 1 ñì ìîæíî ðàçáèòü êâàäðàò ñî ñòîðîíîé: 1) 6 ñì; 2) 3 ñì? Правообладатель Национальный институт образования 117 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3. 87 87.. Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ ìîæíî ðàçáèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñ èçìåðåíèÿìè 3 ì è 4 ì, åñëè ñòîðîíà åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ðàâíà: 1) 1 ì; 2) 1 äì; 3) 1 ñì; 4) 1 ìì? аз ов ан ия 3. 88 88.. ° Íàéäèòå ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé: 1) 14 ñì; 2) 17 äì; 3) 30 ìì; 4) 11 ì. то бр 3. 89 89.. ° Íà÷åðòèòå êâàäðàò, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà: 2) 9 ñì2; 1) 25 ñì2; 3) 4 ñì2; 4) 16 ñì2. ст и ту 3.90 90..° Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ñ èçìåðåíèÿìè: 1) 1 ñì è 8 ñì; 2) 8 ìì è 21 ìì; 3) 7 äì è 6 ì; 4) 12 ìì è 9 äì. ль ны й ин 3. 91 91.. Íà÷åðòèòå ïðÿìîóãîëüíèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà: 2) 8 ñì2; 1) 12 ñì2; 3) 14 ñì2; 4) 5 ñì2. На ц ио на 3. 92 92.. Ñóùåñòâóåò ëè êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî âûðàæåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ, à ïëîùàäü ðàâíà: 2) 10 ñì2; 1) 4 ñì2; 2 3) 1 äì ; 4) 12 äì2? Åñëè òàêîé êâàäðàò ñóùåñòâóåò, òî íàéäèòå åãî ñòîðîíó. 3. 93 93.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: 1) 1 êì2 72 ì2 + 3 êì2 39 ì2; 2) 3 à 68 ì2 + 7 à 56 ì2; 3) 42 ãà 425 ì2 + 4 ãà 978 à; 4) 71 ãà 76 à + 5 ãà 217 ì 2. 118 Правообладатель Национальный институт образования 3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè 3.94 94.. Íàéäèòå ïëîùàäü çàêðàøåííîé ÷àñòè êâàäðàòà íà ðèñóíêå 105, ïîëàãàÿ, ÷òî âñå ðàçìåðû óêàçàíû â ìåòðàõ è ñòîðîíà êâàäðàòà ðàçäåëåíà íà ðàâíûå ÷àñòè. б) в) аз ов ан ия а) 4 Ðèñ. 105 то бр 3 4 На ц ио 20 20 на ль ны й ин ст и ту 3. 95 95.. 1) Èç ïðÿìîóãîëüíèêà, èçìåðåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû 8 ñì è 10 ñì, áûëè âûðåçàíû êâàäðàòû ñî ñòîðîíîé 2 ñì (ðèñ. 106). Íàéäèòå ïëîùàäü îñòàâøåãîñÿ çàêðàÐèñ. 106 øåííîãî ìíîãîóãîëüíèêà. 2) Êàêîå êîëè÷åñòâî êåðàìè÷åñêîé ïëèòêè ðàçìåðîì 20 ñì × 20 ñì íåîáõîäèìî äëÿ ïîêðûòèÿ ïàíåëè íàä ðàáî÷èì ñòîëîì, åñëè ðàçìåð ïàíåëè 80 ñì × 800 ñì (ðèñ. 107)? 80 800 Ðèñ. 107 3.96 96.. Ðàçìåðû êàæäîé ôèãóðû óêàçàíû â ìåòðàõ (ðèñ. 108, 109). Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå: 1) 108, à; 2) 108, á; 3) 109, à; 4) 109, á. Правообладатель Национальный институт образования 119 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 11 б) а) 3 2 4 2 5 2 2 7 10 б) 2 6 2 6 2 2 аз ов 12 4 ан а) ия Ðèñ. 108 4 6 то бр 6 Ðèñ. 109 ин ст и ту 3. 97 97.. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè îäíà èç åãî ñòîðîí ðàâíà: 1) 36 ñì, à äðóãàÿ íà 4 ñì áîëüøå; 2) 18 ñì, à äðóãàÿ â 2 ðàçà ìåíüøå. на ль ны й 3. 98 98.. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 60 ñì2, îäíà èç ñòîðîí ðàâíà: 1) 12 ñì; 2) 4 ñì; 3) 1 äì; 4) 3 äì. Âû÷èñëèòå äðóãóþ ñòîðîíó ïðÿìîóãîëüíèêà. На ц ио 3. 99 99.. Âûðàçèòå â êâàäðàòíûõ ìåòðàõ: 1) 7 ãà; 2) 40 à; 3) 90 ãà 6 à; 4) 3 910 êì2. 3. 100 100.. Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, çíàÿ åãî øèðèíó à è ïëîùàäü S: 1) S = 2 ãà, à = 500 ì; 2) S = 4 à, à = 10 ì; 3) S = 5 ì2, à = 400 ñì2; 4) S = 8 êì2, à = 20 ì. 120 Правообладатель Национальный институт образования 3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ан ия 3. 101 101..* Ôåäÿ, Æîðà, Ñàøà è Âëàä ðîäèëèñü 17 îêòÿáðÿ, 27 ìàÿ, 17 èþíÿ, 21 îêòÿáðÿ. Æîðà è Ñàøà ðîäèëèñü â îäíîì ìåñÿöå, à ó Ñàøè è Ôåäè äåíü ðîæäåíèÿ âûðàæåí îäíèì ÷èñëîì. Óêàæèòå äåíü ðîæäåíèÿ êàæäîãî ìàëü÷èêà. аз ов 3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ст и ту то бр Ïðèìåð. Ìàãàçèí ïîëó÷èë 3 êîíòåéíåðà ñ òåëåâèçîðàìè.  êàæäîì êîíòåéíåðå 19 æèäêîêðèñòàëëè÷åñêèõ òåëåâèçîðîâ è 16 ïëàçìåííûõ. Ñêîëüêî âñåãî òåëåâèçîðîâ ïîëó÷èë ìàãàçèí? Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Ñíà÷àëà óçíàåì, ñêîëüêî òåëåâèçîðîâ â îäíîì êîíòåéíåðå: 19 + 16. Çàòåì óçíàåì, ñêîëüêî òåëåâèçîðîâ â òðåõ êîíòåéíåðàõ: (19 + 16) . 3. ио на ль ны й ин À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Óçíàåì, ñêîëüêî æèäêîêðèñòàëëè÷åñêèõ òåëåâèçîðîâ ïîëó÷èë ìàãàçèí: 19 . 3 è ñêîëüêî ïëàçìåííûõ: 16 . 3. Òîãäà âñåãî ìàãàçèí ïîëó÷èë (19 . 3 + 16 . 3) òåëåâèçîðîâ. Òàê êàê êîëè÷åñòâî òåëåâèçîðîâ íå çàâèñèò îò ñïîñîáà, êàêèì îíî ïîäñ÷èòûâàåòñÿ, òî (19 + 16) . 3 = 19 . 3 + 16 . 3. На ц Åñëè âìåñòî ÷èñåë 19, 16 è 3 ìû âîçüìåì ëþáûå ÷èñëà à, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî: (a + b) . c = a . c + b . c Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: Правообладатель Национальный институт образования 121 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ïðîèçâåäåíèå ñóììû ÷èñåë è ÷èñëà ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé êàæäîãî ñëàãàåìîãî è ýòîãî ÷èñëà. ия Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïî-äðóãîìó: аз ов ан ÷òîáû ñóììó äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà ÷èñëî, ìîæíî êàæäîå ñëàãàåìîå óìíîæèòü íà ýòî ÷èñëî è ïîëó÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñëîæèòü. то бр Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí âåðåí íå òîëüêî äëÿ äâóõ, íî è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, (5 + 7 + 9 + 11) . 13 = 5 . 13 + 7 . 13 + 9 . 13 + 11 . 13. ту Êîãäà à áîëüøå èëè ðàâíî b, òî ст и (a − b) . c = a . c − b . c ль ны й ин Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: ио на ÷òîáû ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà ÷èñëî, ìîæíî óìåíüøàåìîå è âû÷èòàåìîå óìíîæèòü íà ýòî ÷èñëî è èç ïåðâîãî ïðîèçâåäåíèÿ âû÷åñòü âòîðîå. На ц Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ïîçâîëÿåò ìåíÿòü ìåñòàìè ìíîæèòåëè. Ïîýòîìó áåçðàçëè÷íî, ãäå ñòîèò ìíîæèòåëü ñ — ïåðåä ñêîáêîé èëè ïîñëå íåå. Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíåíèå ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ñóììó: 743 . 37 + 112 . 37 + 145 . 37 = 37 . (743 + 112 + 145) = = 37 . 1000 = 37 000. 122 Правообладатель Национальный институт образования 3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí Âîïðîñû то бр аз ов ан ия 1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ? (Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.) 2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ? 3. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ? (Äàéòå äâå ôîðìóëèðîâêè.) 4. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ? Óïðàæíåíèÿ ст и ту 3.102 102.. ° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå: 1) (69 − 9) . 5; 2) 2 . (125 + 75); 3) 32 . 19 + 68 . 19; 4) 83 . 47 − 73 . 47. ль ны й ин 3.103 103..° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) (10 + 1) . 32; 2) (1 + 100) . 64; 3) 25 . (1000 + 4); 4) 20 . (8 + 10 000); 5) 40 . (500 − 1); 6) (1000 − 1) . 101. На ц ио на 3.104 104..° Âû÷èñëèòå ïðîèçâåäåíèå: 1) 11 . 64; 2) 92 . 9; . 3) 101 35; 4) 1001 . 56; 5) 72 . 99; 6) 24 . 999. 3.105 105.. Âû÷èñëèòå: 1) 125 . 5 + 3 . 125; 2) 53 . 11 + 53 . 89; 3) 74 . 97 − 64 . 97; 4) 23 . 99 − 99 . 13; 5) 137 . 85 + 137 . 15 − 137 . 90; 6) 213 . 27 + 213 . 96 − 213 . 113. Правообладатель Национальный институт образования 123 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ðèñ. 110 аз ов ан ия 3. 106 106.. Íà ïîë èãðîâîé êîìíàòû äåòñêîãî ñàäà ïîëîæèëè êâàäðàòíóþ ïëèòêó äâóõ öâåòîâ — çåëåíîãî è ñåðîãî (ðèñ. 110). ту то бр Ïîêðûòèå çåëåíîãî ó÷àñòêà ñîñòàâëåíî èç 6 ðÿäîâ ïî 5 ïëèòîê â êàæäîì ðÿäó, ñåðîãî — èç 6 ðÿäîâ ïî 7 ïëèòîê â êàæäîì. Ñêîëüêî ïëèòîê óøëî íà ïîêðûòèå ïîëà? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè. ин ст и 3. 107 107.. Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà 25 ñì, 17 ñì è 13 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî â 2 ðàçà áîëüøå. ль ны й 3. 108 108..  òðåõ ïÿòûõ êëàññàõ ó÷èòñÿ ïî 12 ìàëü÷èêîâ è ïî 18 äåâî÷åê. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ â ýòèõ êëàññàõ? На ц ио на 3. 109 109.. Ó÷àñòîê èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà øèðèíîé 6 ì è äëèíîé 12 ì. Îäíà åãî ÷àñòü ðàçìåðîì 6 ì × 7 ì çàñàæåíà ãàçîííîé òðàâîé, äðóãàÿ — ðîçàìè (ðèñ. 111). Íàéäèòå ïëîùàäü ó÷àñòêà, îòâåäåííîãî ïîä ðîçû. Ðèñ. 111 3. 110 10.. * Ñóììà äâóõ ÷èñåë 781. Îäíî èç íèõ îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Åñëè â ýòîì ÷èñëå íóëü çà÷åðêíóòü, òî ïîëó÷èòñÿ äðóãîå ÷èñëî. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà. 124 Правообладатель Национальный институт образования 3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè 3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè ия Êîãäà ìû ÷èòàåì ðàâåíñòâî (a + b) . c = a . c + b . c то бр (a + b) . c = a . c + b . c аз ов ан ñëåâà íàïðàâî, ò. å. ïåðåõîäèì îò ïðîèçâåäåíèÿ (a + b) . c ê ñóììå a . c + b . c, òî ãîâîðèì, ÷òî ðàñêðûâàåì ñêîáêè. Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî ñïðàâà íàëåâî: ту a . c + b . c = (a + b) . c ин ст и Êîãäà ìû ïåðåõîäèì îò ñóììû a . c + b . c ê ïðîèçâåäåíèþ (a + b) . c, òî ãîâîðèì, ÷òî âûíîñèì îáùèé ìíîæèòåëü çà ñêîáêè. Àíàëîãè÷íî äëÿ ðàâåíñòâ ль ны й (a − b) . c = a . c − b . c è a . c − b . c = (a − b) . c на Èíîãäà âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, 112 . 6 − 22 . 6 = (112 − 22) . 6 = 90 . 6 = 540; На ц ио 57 . 316 + 43 . 175 − 57 . 16 + 43 . 125 = = (57 . 316 − 57 . 16) + (43 . 175 + 43 . 125) = = 57 . (316 − 16) + 43 . (175 + 125) = = 57 . 300 + 43 . 300 = 300 . (57 + 43) = = 300 . 100 = 30 000. Âîïðîñû 1. Êàê ìîæíî íàçâàòü ïåðåõîä îò ïðîèçâåäåíèÿ (a + b) ⋅ c ê ñóììå a ⋅ c + b ⋅ c? 2. Êàê ìîæíî íàçâàòü ïåðåõîä îò ñóììû a ⋅ c + b ⋅ c ê ïðîèçâåäåíèþ (a + b) ⋅ c? Правообладатель Национальный институт образования 125 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ту то бр 3. 112 12.. ° Âåðíî ëè ðàâåíñòâî: 1) 10 + 2 . (5 + 3) = 10 + 10 + 3; 2) 10 + 2 . (5 − 3) = 10 + 10 − 6; 3) 10 + (5 − 3) = 10 + 5 − 3; 4) 10 + (5 + 3) = 10 + 5 + 3? аз ов ан 3. 111. Ñðàâíèòå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé: 1) 6 . 5 + 8 . 5 è 5 . (6 + 8); 2) 12 . 9 − 9 . 10 è 9 . (12 − 10); 3) 13 . 6 + 5 . 6 + 8 . 6 è 6 . (13 + 5); 4) 24 . 8 − 6 . 8 − 2 . 8 è 8 . (24 − 6 − 8). ия Óïðàæíåíèÿ ль ны й ин ст и 3. 113 13.. Ðàñêðîéòå ñêîáêè íå âû÷èñëÿÿ: 1) 2 . (5 + 7) − 11; 2) 3 . (7 − 5) + 13; 3) 17 . (52 − 19) + 19 . (17 − 4); 4) 15 . (43 + 19) + 43 . (17 − 15). ио на 3. 114 14.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 92 . 375 − 92 . 625; 2) 51 . 134 + 49 . 134; 3) 81 . 120 − 31 . 120; 4) 147 ⋅ 38 − 38 . 47. На ц 3. 115 15.. Âû÷èñëèòå: 1) 362 . 25 + 228 . 25 + 410 . 25; 2) 723 . 40 − 121 . 40 − 102 . 40; 3) 958 . 50 − 235 . 50 − 323 . 50; 4) 897 . 75 − 326 . 75 + 429 . 75. 3. 116 16.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 9 . 7 + 9 . 3 + 100 . 13 − 100 . 4; 2) 60 . 5 + 15 . 5 + 13 . 10 + 12 . 10; 126 Правообладатель Национальный институт образования 3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè ан аз ов 3.117 17.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 52 . 71 + 28 . 71 − 40 . 71 − 71; 2) 100 . 51 + 10 . 51 − 99 . 51 − 51; 3) 874 . 64 + 874 . 132 + 3 . 874 + 874; 4) 45 . 210 + 45 . 11 − 45 − 45 . 20. ия 3) 25 . 11 + 25 . 9 + 30 . 8 + 30 . 5 + 7 . 30; 4) 6 . 47 − 2 . 47 + 24 . 4 + 36 . 4 + 18 . 4. ту то бр 3.118 18.. Êàê èçìåíèòñÿ ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ, åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå óâåëè÷èòü: 1) â 2 ðàçà; 2) íà 2; 3) íà 10; 4) â 10 ðàç? ль ны й ин ст и 3.119 19.. Ìåñòà äëÿ ïàðêîâêè àâòîìîáèëåé íà àâòîñòîÿíêå ðàçìå÷åíû ðÿäàìè: 8 ðÿäîâ ïî 34 ìåñòà â êàæäîì ðÿäó è 8 ðÿäîâ ïî 36 ìåñò â êàæäîì ðÿäó. Êàêîå êîëè÷åñòâî àâòîìàøèí ìîæíî ðàçìåñòèòü íà àâòîñòîÿíêå? На ц ио на 3.120 120.. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè åãî ñòîðîíû ðàâíû: 1) 28 ñì è 62 ñì; 2) 7 ñì 5 ìì è 25 ìì; 3) 3 ì 65 ñì è 2 ì 40 ñì; 4) 1 ì 90 ñì è 33 äì. 3.121 121.. Õâàòèò ëè 1 ì ïðîâîëîêè, ÷òîáû èçãîòîâèòü êàðêàñíóþ ìîäåëü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 24 ñì è 29 ñì? 3.122 122.. Ïîä ïàñòáèùå îòâåëè ó÷àñòîê ëóãà ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû øèðèíîé 110 ì è äëèíîé 140 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîâîäà ïîòðåáóåòñÿ äëÿ åãî îãðàæäåíèÿ? Правообладатель Национальный институт образования 127 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë аз ов ан ия 3. 123 123..* Íåçíàéêà íåïðàâèëüíî ñïèñàë ñ äîñêè óñëîâèå ïðèìåðà íà ñëîæåíèå íåñêîëüêèõ ÷èñåë.  îäíîì èç ñëàãàåìûõ âìåñòî öèôðû åäèíèö 5 îí íàïèñàë 8, â äðóãîì — âìåñòî öèôðû äåñÿòêîâ 4 îí íàïèñàë 9 è â îäíîì èç îñòàâøèõñÿ ñëàãàåìûõ öèôðó ñîòåí 3 ïðèíÿë çà 1.  ñóììå ïîëó÷èëîñü 55 561. Íàéäèòå âåðíóþ ñóììó. 3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ту то бр Ïðèìåð. Ñàìîñâàë ïåðåâîçèò çà îäèí ðåéñ 7 ò ïåñêà. Ñêîëüêî ðåéñîâ íóæíî ñäåëàòü, ÷òîáû ïåðåâåçòè 112 ò ïåñêà? На ц ио на ль ны й ин ст и Ðåøåíèå. ×èñëî ðåéñîâ, êîòîðûå äîëæåí ñäåëàòü ñàìîñâàë, îáîçíà÷èì áóêâîé p. Òîãäà óñëîâèå çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü òàê: 7 . p = 112.  ýòîì ðàâåíñòâå íàäî íàéòè íåèçâåñòíûé ìíîæèòåëü p. Îí íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ äåëåíèÿ: p = 112 : 7. ×èñëî p íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ÷èñåë 112 è 7. À òåïåðü âìåñòî ÷èñåë 112 è 7 âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà à è b. ×àñòíûì ÷èñåë à è b íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî p, ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðîå ÷èñëà b ïîëó÷àåòñÿ à: b . p = a. ×àñòíîå ÷èñåë à è b îáîçíà÷àåòñÿ a : b: p = a : b. ×àñòíûì ÷èñåë à è b íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå a : b. ×èñëî à íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, ÷èñëî b — äåëèòåëåì. Óáåäèòüñÿ, ÷òî äåëåíèå âûïîëíåíî ïðàâèëüíî, ìîæíî òàê: óìíîæèòü äåëèòåëü íà ÷àñòíîå; â ðåçóëüòàòå äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ äåëèìîå. 128 Правообладатель Национальный институт образования 3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия Íàïðèìåð, 96 : 8 = 12, òàê êàê 8 . 12 = 96. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à èìååì: a : 1 = a , òàê êàê 1 . a = a; ан a : a = 1 , òàê êàê a . 1 = a. аз ов Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 1 è ñàìî íà ñåáÿ. то бр Ïðè äåëåíèè íóëÿ íà ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ÷àñòíîå ðàâíî íóëþ: ту 0 : b = 0 , òàê êàê b . 0 = 0. ст и Äåëèòü íà íóëü íåëüçÿ! à) на â) ã) На ц ио á) ль ны й ин Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü ÷åòûðåõ ïðèìåðîâ è îáúÿñíèòå, êàê âûïîëíèòü äåëåíèå ÷èñåë óãîëêîì. Ñîâðåìåííîå îáîçíà÷åíèå çíàêîâ äåëåíèÿ è óìíîæåíèÿ ââåë íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ãîòôðèä Ëåéáíèö (1646—1716). Çíàê äåëåíèÿ «:» ïîÿâèëñÿ â 1684 ã., à çíàê óìíîæåíèÿ « . » — â 1698 ã. Правообладатель Национальный институт образования 129 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Âîïðîñû Êàê íàçûâàþòñÿ ÷èñëà 60, 5, 12 â ðàâåíñòâå 60 : 5 = 12? ×òî íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ÷èñåë à è b? Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå a : b? ×åìó ðàâíî ÷àñòíîå a : 1? Åñëè à — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ÷åìó ðàâíî ÷àñòíîå: à) 0 : a; á) a : a? 6. Ìîæíî ëè äåëèòü íà íóëü? аз ов ан ия 1. 2. 3. 4. 5. то бр Óïðàæíåíèÿ ст и ту 3.124 124..° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå: 1) 60 : 6; 2) 75 : 1; 3) 143 : 143; 4) 505 : 5. ль ны й ин 3. 125 125.. ° Íàéäèòå: 1) ÷àñòíîå, åñëè äåëèìîå ðàâíî 60, à äåëèòåëü ðàâåí 20; 2) äåëèìîå, åñëè äåëèòåëü ðàâåí 25, à ÷àñòíîå 0; 3) äåëèòåëü, åñëè äåëèìîå ðàâíî 624, à ÷àñòíîå 1; 4) ÷àñòíîå, åñëè äåëèòåëü ðàâåí 10, à äåëèìîå 0. На ц ио на 3. 126 126.. ° Âûïîëíèòå äåëåíèå: 1) 48 : 12; 2) 60 : 15; 3) 80 : 20; 4) 100 : 25. 3. 127 127.. ° Âû÷èñëèòå: 1) 107 : 107; 3) 1000 : 1; 2) 1000 : 1000; 4) 0 : 100. 3. 128 128.. ° Íàéäèòå ÷àñòíîå: 1) 6 813 040 : 16; 3) 6 221 660 : 20; 2) 859 265 : 11; 4) 357 100 : 50. 130 Правообладатель Национальный институт образования 3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3.129 129.. Âûïîëíèòå äåëåíèå è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ: 1) 82 836 : 354; 2) 260 428 : 497; 3) 976 860 : 243; 4) 215 040 : 168. аз ов ан ия 3.130 130.. Âûïîëíèòå äåëåíèå è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñ ïîìîùüþ äåëåíèÿ: 1) 92 500 : 37; 2) 1920 : 15; 3) 393 254 : 83; 4) 71 325 : 951. ту ин ст и 3.132 132..° Íàéäèòå ÷àñòíîå: 1) 30 500 : 100; 2) 142 000 : 100; 3) 234 000 : 1000; 4) 816 036 000 : 1000. то бр 3.131 131..° Âåðíî ëè ðàâåíñòâî: 1) 8200 : 100 = 82; 2) 56 000 : 1000 = 560; 3) 920 : 10 = 92; 4) 370 000 : 100 = 370? ль ны й 3.133 133..° Âû÷èñëèòå: 1) 1800 : 900; 3) 10 000 : 250; 2) 270 : 30; 4) 3 330 000 : 300. На ц ио на 3.134 134..° Óìåíüøèòå â 9 ðàç ÷èñëî: 1) 549; 2) 4689; 3) 9 900 909; 4) 900 900 900. 3.135 135.. Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ìåíüøå ÷èñëà: 1) 12 â 3 ðàçà; 2) 100 â 25 ðàç; 3) 150 â 10 ðàç; 4) 1000 â 8 ðàç. 3.136 136.. Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå è âî ñêîëüêî ðàç: 1) 25 èëè 75; 2) 57 èëè 19; 3) 2 ìëí èëè 2 òûñ.? Правообладатель Национальный институт образования 131 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 3. 137 137.. Êàêîå èç ÷èñåë ìåíüøå è âî ñêîëüêî ðàç: 1) 10 000 èëè 10 000 000; 2) 5757 èëè 57; 3) 55 ìëí èëè 11 òûñ.? аз ов 2) 550 : 55 = 50 : 5; 4) 70 : 10 = 14 : 2? то бр 3. 139 139.. Âåðíî ëè ðàâåíñòâî: 1) 300 : 150 = 2 : 1; 3) 135 : 15 = 45 : 5; ан 3. 138 138.. ×èñëî 288 óìåíüøèëè â 2 ðàçà, à çàòåì â 9 ðàç. Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèëè ÷èñëî 288? ин ст и ту 3. 140 140.. Èçâåñòíî, ÷òî 916 ⋅ 205 = 187 780. Íå âûïîëíÿÿ äåéñòâèé, îïðåäåëèòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî: 1) 187 780 : 205 = 916; 2) 187 780 : 916 = 205; 3) 205 . 916 = 187 780; 4) 916 . 187 780 = 205. на ль ны й 3. 141 141.. Èçâåñòíî, ÷òî 34 020 : 108 = 315. Íå âûïîëíÿÿ äåéñòâèé, îïðåäåëèòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî: 1) 108 . 315 = 34 020; 2) 34 020 : 315 = 108; 3) 315 . 34 020 = 108; 4) 315 . 108 = 34 020. На ц ио 3.142 142.. Êàê èçìåíèòñÿ ÷àñòíîå, åñëè äåëèìîå óâåëè÷èòü: 1) â 6 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 3 ðàçà; 2) â 8 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 2 ðàçà? 3. 143 143.. Êàê ìîæíî óìåíüøèòü äåëèìîå è äåëèòåëü, ÷òîáû ÷àñòíîå: 1) óâåëè÷èëîñü â 5 ðàç; 2) óìåíüøèëîñü â 4 ðàçà? 3. 144 144.. Ñîñòàâüòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîé ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî: 132 Правообладатель Национальный институт образования 3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 1) 729, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 3 ðàçà ìåíüøå ïðåäûäóùåãî; 2) 1024, à êàæäîå ñëåäóþùåå ïîëó÷àþò èç ïðåäûäóùåãî äåëåíèåì íà 2. то бр аз ов ан 3.145 145.. Íàéäèòå ÷àñòíîå: 1) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèáîëüøåãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà; 2) íàèìåíüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèìåíüøåãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà. ль ны й ин ст и ту 3. 146 146.. Íà äâîðå òðàâà, íà òðàâå äðîâà. Îïðåäåëèòå ÷èñëî îäèíàêîâûõ ïîëåíüåâ, êîòîðûå ïëîòíî óëîæåíû â îäèí ðÿä íà òðàâÿíîì ãàçîíå ïëîùàäüþ 240 äì2, åñëè îäíî ïîëåíî çàíèìàåò 2 äì2 (ðèñ. 112). Ðèñ. 112 ио на 3. 147 147.. Äåòè ðàññûïàëè 216 öâåòíûõ êàðàíäàøåé è ðàçëîæèëè èõ â 18 êîðîáîê ïîðîâíó. Ñêîëüêî êàðàíäàøåé îêàçàëîñü â êàæäîé êîðîáêå? На ц 3.148 148.. Çàêëàäûâàÿ íîâóþ ïëàíòàöèþ íîâîãîäíèõ åëîê, ëåñîïîñàäî÷íàÿ ìàøèíà ôîðìèðóåò 32 îäèíàêîâûõ ðÿäà. Ñêîëüêî åëîê áóäåò ïîñàæåíî â êàæäîì ðÿäó, åñëè îáùåå êîëè÷åñòâî ñàæåíöåâ 1440 øòóê? 3.149 149..  êàæäîé êîðîáêå 60 óïàêîâîê ìåëêîâ, à â êàæäîé óïàêîâêå 80 ìåëêîâ. Åæåäíåâíî íà óðîêàõ ìàòåìàòèêè ðàñõîäóåòñÿ 16 ìåëêîâ. Íà ñêîëüêî äíåé äëÿ óðîêîâ ìàòåìàòèêè õâàòèò îäíîé êîðîáêè? Правообладатель Национальный институт образования 133 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 90 см то бр аз ов ан ия 3. 150 150.. Íà èçãîòîâëåíèå îäíîé ñêàòåðòè òðåáóåòñÿ êóñîê ëüíÿíîãî ïîëîòíà îïðåäåëåííîé øèðèíû äëèíîé 90 ñì, à íà èçãîòîâëåíèå øåñòè ñàëôåòîê êâàäðàòíîé ôîðìû óõîäèò êóñîê ýòîãî æå ïîëîòíà äëèíîé 20 ñì (ðèñ. 113). Ñêîëüêî òàêèõ êîìïëåêòîâ ìîæíî èçãîòîâèòü èç ëüíÿíîãî ïîëîòíà äëèíîé 33 ì? Îïðåäåëèòå øèðèíó ïîëîòíà. 20 см ту Ðèñ. 113 ин ст и 3. 151 151.. * Äåëèìîå â 7 ðàç áîëüøå äåëèòåëÿ, à äåëèòåëü íà 2 áîëüøå ÷àñòíîãî. Íàéäèòå äåëèìîå, äåëèòåëü, ÷àñòíîå. на ль ны й 3. 152 152.. * Èçâåñòíî, ÷òî 5 êðàñíûõ ñòåðæíåé äîðîæå 6 ÷åðíûõ ñòåðæíåé. ×òî äîðîæå: 9 êðàñíûõ ñòåðæíåé èëè 10 ÷åðíûõ? На ц ио 3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìó Ïð èìåð. Ïåòÿ è Âàñÿ ïîéìàëè âäâîåì 42 ðàêà. ÑêîëüÏðèìåð. êî ðàêîâ ïîéìàë êàæäûé èç íèõ, åñëè Ïåòÿ ïîéìàë â 5 ðàç áîëüøå ðàêîâ, ÷åì Âàñÿ? Ðåøåíèå. Ñäåëàåì ñõåìàòè÷åñêèé ðèñóíîê óñëîâèÿ (ðèñ. 114). Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè ðàêîâ, ïîéìàííûõ Âàñåé, ïðèíÿòü çà 1 ÷àñòü, òî ðàêè, ïîéìàííûå Ïåòåé, 134 Правообладатель Национальный институт образования 3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìó Ïåòèíû ðàêè 42 ðàêà Âàñèíû ðàêè ия Ðèñ. 114 то бр аз ов ан ñîñòàâëÿþò 5 òàêèõ ÷àñòåé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ïîéìàííûå ðåáÿòàìè ðàêè ñîñòàâëÿþò 1 + 5 = 6 (÷àñòåé). Íà ýòè 6 ÷àñòåé ïðèõîäèòñÿ 42 ðàêà. Çíà÷èò, íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ 42 : 6 = 7 (ðàêîâ). Ýòî ñòîëüêî ðàêîâ, ñêîëüêî ïîéìàë Âàñÿ. À Ïåòÿ ïîéìàë â 5 ðàç áîëüøå, ò. å. 7 . 5 = 35 (ðàêîâ). Îòâåò: Ïåòÿ ïîéìàë 35 ðàêîâ, à Âàñÿ — 7 ðàêîâ. ст и ту Çàïèøèòå ðåøåíèå çàäà÷è ïî äåéñòâèÿì. ль ны й ин À âîò ðåøåíèå ýòîé æå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ. Ïóñòü õ ðàêîâ ïîéìàë Âàñÿ, òîãäà õ . 5 ðàêîâ ïîéìàë Ïåòÿ. Ïîñêîëüêó âìåñòå îíè ïîéìàëè 42 ðàêà, òî ñîñòàâèì óðàâíåíèå: õ + õ . 5 = 42. ио Âîïðîñû на Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì õ = 7. На ц 1. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå äåëèìîå, çíàÿ äåëèòåëü è ÷àñòíîå? 2. Êàê íàéòè íåèçâåñòíûé äåëèòåëü, çíàÿ äåëèìîå è ÷àñòíîå? Óïðàæíåíèÿ 3.153 153..°  äâóõ ðóëîíàõ 1080 ì òêàíè.  îäíîì èç íèõ â 3 ðàçà áîëüøå òêàíè, ÷åì â äðóãîì. Ñêîëüêî ìåòðîâ òêàíè â êàæäîì ðóëîíå? Правообладатель Национальный институт образования 135 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3. 154 154.. °  äâóõ ïàêåòàõ 1350 ã ïå÷åíüÿ.  îäíîì èç íèõ ïå÷åíüÿ â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â äðóãîì. Ñêîëüêî ãðàììîâ â êàæäîì ïàêåòå? аз ов ан ия 3.155 155..°  ìàãàçèíå çà äåíü ïðîäàíî 1020 êã êàðòîôåëÿ. Ïîñëå îáåäà ïðîäàíî êàðòîôåëÿ â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì äî îáåäà. Ñêîëüêî êàðòîôåëÿ áûëî ïðîäàíî äî è ïîñëå îáåäà? ту то бр 3. 156 156.. Äëÿ ñïîðòèâíîãî êëóáà êóïèëè 70 áîëüøèõ è ìàëåíüêèõ ìÿ÷åé. Áîëüøèõ ìÿ÷åé êóïèëè â 4 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ìàëåíüêèõ. Ñêîëüêî êóïèëè áîëüøèõ ìÿ÷åé è ñêîëüêî ìàëåíüêèõ? ль ны й ин ст и 3. 157 157.. Íà òðåõ ïîëêàõ ðàññòàâèëè 36 ÷àøåê òàê, ÷òî íà âåðõíåé ïîëêå ÷àøåê âäâîå áîëüøå, ÷åì íà íèæíåé, à íà ñðåäíåé ïîëêå ÷àøåê â 3 ðàçà áîëüøå, ÷åì íà âåðõíåé. Ñêîëüêî ÷àøåê íà êàæäîé ïîëêå? на 3. 158 158.. Íà òðåõ ïîëêàõ 44 êíèãè ðàñïîëîæèëè òàê, ÷òî íà âåðõíåé ïîëêå êíèã âäâîå áîëüøå, ÷åì íà íèæíåé, à íà ñðåäíåé ïîëêå êíèã â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì íà âåðõíåé. Ñêîëüêî êíèã íà êàæäîé ïîëêå? На ц ио 3. 159 159.. Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ, åñëè ïðîøåäøàÿ ÷àñòü ñóòîê â 3 ðàçà ìåíüøå îñòàâøåéñÿ? 3. 160 160.. Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ, åñëè îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ñóòîê â 2 ðàçà ìåíüøå ïðîøåäøåé? 3. 161 161.. * Ýäèê, Ïàøà è Äèìà â ïðûæêàõ â âûñîòó ïîêàçàëè ðåçóëüòàòû 105 ñì, 100 ñì è 95 ñì. Ýäèê ïðûãíóë íå íèæå Ïàøè, à Äèìà ïðûãíóë íå âûøå Ïàøè. Íà êàêóþ âûñîòó ïðûãíóë êàæäûé èç ìàëü÷èêîâ? 136 Правообладатель Национальный институт образования 3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìó 3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìó ðèñóíîê óñëîâèÿ аз ов ñõåìàòè÷åñêèé ×èñëî ìåñò â ïëàöêàðòíîì âàãîíå ×èñëî ìåñò â êóïåéíîì âàãîíå то бр Ðåøåíèå. Ñäåëàåì (ðèñ. 115). ан ия Ïð èìåð.  ïëàöêàðòíîì âàãîíå íà 36 ìåñò áîëüøå, Ïðèìåð. ÷åì â êóïåéíîì. Ñêîëüêî ìåñò â ïëàöêàðòíîì âàãîíå, åñëè â íåì â 3 ðàçà áîëüøå ìåñò, ÷åì â êóïåéíîì? 36 ìåñò ту Ðèñ. 115 ль ны й ин ст и Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè ìû ïðèìåì ÷èñëî ìåñò â êóïåéíîì âàãîíå çà 1 ÷àñòü, òîãäà ÷èñëî ìåñò â ïëàöêàðòíîì âàãîíå ñîñòàâëÿåò 3 ÷àñòè.  ïëàöêàðòíîì âàãîíå ìåñò áîëüøå, ÷åì â êóïåéíîì, íà 3 − 1 = 2 (÷àñòè). Íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ на 36 : 2 = 18 (ìåñò). ио Çíà÷èò, â ïëàöêàðòíîì âàãîíå 18 . 3 = 54 (ìåñòà). На ц Îòâåò: 54 ìåñòà. Ïóñòü â êóïåéíîì âàãîíå õ ìåñò, òîãäà â ïëàöêàðòíîì — õ . 3 ìåñò. Ïîñêîëüêó â ïëàöêàðòíîì âàãîíå íà 36 ìåñò áîëüøå, ÷åì â êóïåéíîì, òî ñîñòàâèì óðàâíåíèå: õ . 3 − õ = 36. Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì õ = 18. Правообладатель Национальный институт образования 137 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Âîïðîñû ан ия 1. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå, çíàÿ óìåíüøàåìîå è ðàçíîñòü? 2. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå óìåíüøàåìîå, çíàÿ âû÷èòàåìîå è ðàçíîñòü? 3. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå äåëèìîå, çíàÿ äåëèòåëü è ÷àñòíîå? аз ов Óïðàæíåíèÿ ст и ту то бр 3. 162 162.. ° Ñîâåðøàÿ îäíîäíåâíûé ïîõîä, ó÷àùèåñÿ ñäåëàëè ïðèâàë. Îáñóäèâ äàëüíåéøèé ìàðøðóò, îíè ïðèøëè ê âûâîäó, ÷òî èì îñòàëîñü ïðîéòè ïóòü â 3 ðàçà ìåíüøèé è îí íà 8 êì êîðî÷å ïðîéäåííîãî. Íàéäèòå äëèíó âñåãî òóðèñòñêîãî ìàðøðóòà. ль ны й ин 3. 163 163.. Ìàëü÷èê ðàçðåçàë ïðîâîä íà äâå ÷àñòè òàê, ÷òî îäíà èç íèõ îêàçàëàñü â 6 ðàç äëèííåå äðóãîé. Íàéäèòå ïåðâîíà÷àëüíóþ äëèíó ïðîâîäà, åñëè áîëüøàÿ ÷àñòü íà 35 ñì äëèííåå ìåíüøåé. На ц ио на 3. 164 164.. °  ëèòåðàòóðíîì êðóæêå â 3 ðàçà ìåíüøå ó÷àùèõñÿ, ÷åì â ìàòåìàòè÷åñêîì êðóæêå. Ñêîëüêî âñåãî ó÷àùèõñÿ çàíèìàþòñÿ â ýòèõ êðóæêàõ, åñëè â ëèòåðàòóðíîì íà 16 ó÷åíèêîâ ìåíüøå, ÷åì â ìàòåìàòè÷åñêîì? 3. 165 165..  æåëòîé ïàïêå â 4 ðàçà áîëüøå ëèñòîâ áóìàãè, ÷åì â êðàñíîé. Ñêîëüêî âñåãî ëèñòîâ áóìàãè â ýòèõ ïàïêàõ, åñëè â êðàñíîé ïàïêå íà 30 ëèñòîâ ìåíüøå, ÷åì â æåëòîé? 3. 166 166.. Ó Íàòàøè â 7 ðàç áîëüøå îòêðûòîê, ÷åì ó Òàíè. Ñêîëüêî âñåãî îòêðûòîê ó äåâî÷åê, åñëè ó Íàòàøè íà 24 îòêðûòêè áîëüøå, ÷åì ó Òàíè? 138 Правообладатель Национальный институт образования 3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ ия 3.167 167.. Òóðáþðî â òå÷åíèå ëåòíåãî ïåðèîäà ïðîäàëî â 3 ðàçà ìåíüøå ïóòåâîê â ñàíàòîðèè, ÷åì íà òóðáàçó, íî íà 88 ïóòåâîê áîëüøå, ÷åì â ïðîôèëàêòîðèè. Ñêîëüêî âñåãî ïðîäàíî ïóòåâîê, åñëè íà òóðáàçó áûëî ïðîäàíî íà 312 ïóòåâîê áîëüøå, ÷åì â ñàíàòîðèè? то бр аз ов ан 3.168 168.. Íà ýëåâàòîð ïîñòóïèëî ïøåíèöû â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì ðæè, à îâñà — â 3 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ðæè. Ñêîëüêî çåðíà êàæäîé êóëüòóðû ïîñòóïèëî íà ýëåâàòîð, åñëè ïøåíèöû ïîñòóïèëî íà 720 ò áîëüøå, ÷åì ðæè? ин ст и ту 3.169 169..* Íà êíèæíîì ñêëàäå ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå áûëî â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì ïî èñòîðèè, ïî ëèòåðàòóðå — â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ïî èñòîðèè. Ó÷åáíèêîâ ïî ëèòåðàòóðå áûëî íà 30 450 ìåíüøå, ÷åì ïî ìàòåìàòèêå. Ñêîëüêî ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå âûâåçëè ñî ñêëàäà, åñëè èõ îñòàëîñü íà 28 620 ìåíüøå, ÷åì âûâåçëè? На ц ио на ль ны й 3.170 170..* Îò äà÷íîãî ó÷àñòêà äî æåëåçíîäîðîæíîé ñòàíöèè è îáðàòíî äà÷íèê íà âåëîñèïåäå åäåò 24 ìèí. Åñëè îí äî ñòàíöèè ïîåäåò íà âåëîñèïåäå, à íàçàä ïîéäåò ïåøêîì, òî çàòðàòèò 42 ìèí. Çà êàêîå âðåìÿ äà÷íèê ïðîéäåò ïóòü ïåøêîì îò äà÷è äî ñòàíöèè è îáðàòíî? 3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ Íàïîìíèì, ÷òî çàïèñü, ñîñòàâëåííàÿ èç ÷èñåë, çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê, íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâûì âûðàæåíèåì. Çíà÷åíèåì ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ âñåõ óêàçàííûõ â ýòîì âûðàæåíèè äåéñòâèé. Правообладатель Национальный институт образования 139 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàçûâàþòñÿ äåéñòâèÿìè ïåðâîé ñòóïåíè. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàçûâàþòñÿ äåéñòâèÿìè âòîðîé ñòóïåíè. ль ны й ин ст и ту то бр аз ов ан ия Íàïîìíèì ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé. 1. Åñëè â âûðàæåíèè íåò ñêîáîê è îíî ñîäåðæèò äåéñòâèÿ òîëüêî îäíîé ñòóïåíè, òî ýòè äåéñòâèÿ âûïîëíÿþò ïî ïîðÿäêó ñëåâà íàïðàâî. Íàïðèìåð: à) 283 − 13 + 105 = 270 + 105 = 375; á) 340 : 17 . 45 = 20 . 45 = 900. 2. Åñëè â âûðàæåíèè íåò ñêîáîê è îíî ñîäåðæèò äåéñòâèÿ ðàçíûõ ñòóïåíåé, òî ñíà÷àëà âûïîëíÿþò óìíîæåíèå è äåëåíèå (ñëåâà íàïðàâî), à çàòåì ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå (ñëåâà íàïðàâî). Íàïðèìåð: 475 − 750 : 10 + 20 . 15 = 475 − 75 + 300 = = 400 + 300 = 700. На ц ио на 3. Åñëè â âûðàæåíèè åñòü ñêîáêè, òî ñíà÷àëà âûïîëíÿþò âñå äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ (ñëåâà íàïðàâî), à çàòåì âñå äåéñòâèÿ â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè (ñëåâà íàïðàâî). Íàïðèìåð: 475 − 750 : (10 + 20) . 15 = 475 − 750 : 30 . 15 = = 475 − 25 . 15 = 475 − 375 = 100. Îáðàòèòå âíèìàíèå, âûðàæåíèÿ 475 − 750 : 10 + 20 . 15 è 475 − 750 : (10 + 20) . 15 îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ñêîáêàìè. Íî ñêîáêè ìåíÿþò ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé, ïîýòîìó çíà÷åíèÿ ó ýòèõ âûðàæåíèé ðàçíûå, ñîîòâåòñòâåííî, 700 è 100. 140 Правообладатель Национальный институт образования 3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ Âîïðîñû аз ов ан ия 1. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ÷èñëîâûì âûðàæåíèåì; á) çíà÷åíèåì ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ? 2. Êàêèå äåéñòâèÿ íàçûâàþò äåéñòâèÿìè: à) ïåðâîé ñòóïåíè; á) âòîðîé ñòóïåíè? 3. Êàêîâ ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé? Óïðàæíåíèÿ ст и 3.172 172..° Ïðî÷èòàéòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå: 1) 18 : 9 + 11 . 6; 3) (86 + 67) : 17; 5) (159 − 29) : (98 − 33); ту то бр 3.171 171.. Ïðî÷èòàéòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå: 1) 42 + 69; 2) 97 − 11; 3) 47 . 25; 4) 33 : 3. ль ны й ин âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî 2) 511 + 804 : 12; 4) (34 + 19) . (62 + 5); 6) 23 . (76 − 41). На ц ио на 3.173 173.. Ñîñòàâüòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå: 1) ñóììà ÷èñëà 39 è ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë 11 è 7; 2) ñóììà ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë 21 è 8 è ÷àñòíîãî ÷èñåë 305 è 61; 3) ïðîèçâåäåíèå ñóììû ÷èñåë 83 è 27 è ÷èñëà 25; 4) ÷àñòíîå ðàçíîñòè ÷èñåë 69 è 21 è ÷èñëà 12. 3.174 174.. Íàéäèòå çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ: 1) 10 . (324 230 + 125) − 346 210 : 2; 2) (526 280 − 3625) : 5 + 3104 . 323; 3) 130 800 : 25 . 137 − (17 260 + 668); 4) (732 534 − 37 200) + 304 : 2 . 326. Правообладатель Национальный институт образования 141 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âûðàæåíèé: è 5642 − (2483 − 984); è 6142 − (1542 − 949); è 48 910 + (981 − 799); è 53 207 + (473 − 192). ия 3. 175 175.. Ñðàâíèòå çíà÷åíèÿ 1) 5642 − (2483 − 987) 2) 6142 − (1542 − 947) 3) 48 913 + (981 − 799) 4) 53 204 + (473 − 194) аз ов ан 3.176 176.. ×èñëî 36 ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ òàê, ÷òîáû îäíî èç íèõ áûëî áîëüøå äðóãîãî: 1) íà 12; 2) â 5 ðàç. то бр 3. 177 177.. Ìàññà áåãåìîòèõè äîñòèãàåò 550 êã, à ìàññà åå äåòåíûøà â 5 ðàç ìåíüøå. Êàêîâà îáùàÿ ìàññà áåãåìîòèõè è åå äåòåíûøà? ст и ту 3.178 178.. Äëèíà ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 18 äì, à øèðèíà — íà 17 äì ìåíüøå. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà. на ль ны й ин 3. 179 179.. Íà îòðåçêå KÌ (ðèñ. 116) îòìåòèëè òî÷êè À è  òàê, ÷òî äëèíà îòðåçêà KÀ ðàâíà 4 ñì, äëèíà îòðåçêà À íà 1 ñì ìåíüøå äëèíû îòðåçêà KÀ, à äëèíà îòðåçêà ÂÌ ðàâíà ñóììå äëèí îòðåçêîâ KÀ è ÀÂ. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà KÌ. Ðèñ. 116 На ц ио 3. 180 180.. Äëÿ øêîëüíîãî ïðàçäíèêà áûëî êóïëåíî 93 øàðèêà òðåõ öâåòîâ. Êðàñíûõ øàðèêîâ áûëî íà 12 ìåíüøå, ÷åì áåëûõ, à ñèíèõ íà 12 áîëüøå, ÷åì áåëûõ. Ñêîëüêî øàðèêîâ êàæäîãî öâåòà êóïèëè äëÿ ïðàçäíèêà? 3. 181 181.. Ñîñòàâüòå çàäà÷ó ïî ÷èñëîâîìó âûðàæåíèþ: 1) (32 + 45) . 2; 2) 64 : 8 − 72 : 9. 3. 182 182.. Ñîñòàâüòå ñóììó ÷åòûðåõ ÷èñåë, ïåðâîå èç êîòîðûõ ðàâíî 12, à êàæäîå ñëåäóþùåå íà 5 áîëüøå ïðåäûäóùåãî. Íàéäèòå çíà÷åíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ. 142 Правообладатель Национальный институт образования 3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ан ту то бр аз ов 3.184 184.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) 86 + õ + 138 = 250; 2) 250 − (175 − y) = 125; 3) (x − 84) . 11 = 176; 4) 723 − (246 + õ) = 123; 5) 24 . (94 − y) = 384; 6) 76 659 : y + (32 . 22 − 62) : 507 = 101. ия 3.183 183.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ: 1) 43 578 + 41 200 : 200 − 812 . 13; 2) ((526 + 375) . 68 − 14 . (674 + 348)) : 16; 3) ((3026 + 2175) . 8 − 2 . (3074 + 2050)) : 16; 4) 43 500 780 + 412 000 : 2000 − 81 201 . 13. ин ст и 3.185 185.. Äëèíà îòðåçêà À ðàâíà 16 äì 8 ñì, äëèíà îòðåçêà CD — 420 ìì. Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îòðåçêà CD ìåíüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ? ль ны й 3.186 186..* Íàéäèòå òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, åñëè èõ ñóììà ðàâíà 840. На ц ио на 3.187 187..* Ïåòÿ çàäóìàë íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìåíüøå 100. Ïîêàæèòå, ÷òî âû ìîæåòå îïðåäåëèòü ýòî ÷èñëî, çàäàâ Ïåòå íå áîëåå 7 âîïðîñîâ, íà êîòîðûå îí áóäåò äàâàòü îòâåòû ñëîâàìè «äà» èëè «íåò». 3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè Ïð èìåð 1. Ðàññòîÿíèå îò òóðèñòñêîãî ëàãåðÿ äî ãîðîäà Ïðèìåð Áîðèñîâà 28 êì. Òóðèñòû èäóò èç ëàãåðÿ â ãîðîä ñî км ñêîðîñòüþ 4 . Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò Áîðèñîâà ч îíè áóäóò: à) ÷åðåç 2 ÷; á) ÷åðåç 3 ÷; â) ÷åðåç t ÷? Правообладатель Национальный институт образования 143 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ðåøåíèå. à) Çà 2 ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . 2 êì. Çíà÷èò, ÷åðåç 2 ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè 28 − 4 . 2, ò. å. 20 êì. аз ов ан ия á) Çà 3 ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . 3 êì. Çíà÷èò, ÷åðåç 3 ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè 28 − 4 . 3, ò. å. 16 êì. то бр â) Çà t ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . t êì. Çíà÷èò, ÷åðåç t ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè (28 − 4 . t) êì. ст и ту Çàïèñü, ñîñòîÿùàÿ èç ÷èñåë, áóêâ, çíàêîâ äåéñòâèé è ñêîáîê, íàçûâàåòñÿ áóêâåííûì âûðàæåíèåì. ль ны й ин Òåïåðü, åñëè íóæíî áóäåò óçíàòü, íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò Áîðèñîâà òóðèñòû áóäóò ÷åðåç 5 ÷, ìû ïðîñòî ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå 28 − 4 . t âìåñòî áóêâû t ÷èñëî 5 è âû÷èñëèì çíà÷åíèå ïîëó÷åííîãî ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ: 28 − 4 . 5 = 8 (êì). На ц ио на  áóêâåííîì âûðàæåíèè 28 − 4 . t áóêâà t, âìåñòî êîòîðîé ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ðàçëè÷íûå ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííîé, à ñàìî âûðàæåíèå — âûðàæåíèåì ñ ïåðåìåííîé. Âîîáùå, ïåðåìåííûå — ýòî áóêâû, âõîäÿùèå â áóêâåííîå âûðàæåíèå, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ. Åñëè â âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííûìè âìåñòî ïåðåìåííûõ ïîäñòàâèòü ÷èñëà, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëîâîå âûðàæåíèå. Åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ. 144 Правообладатель Национальный институт образования 3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè Ïðèìåð 2. Íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 17 ⋅ a − b : 3 ïðè à = 4, b = 33. Ðåøåíèå. Ïðè à = 4 è b = 33 ïîëó÷èì ия 17 . a − b : 3 = 17 . 4 − 33 : 3 = 68 − 11 = 57. ан Îòâåò: 57. то бр аз ов Ãîâîðèì: «Ïðè à, ðàâíîì ÷åòûðåì, è b, ðàâíîì òðèäöàòè òðåì, âûðàæåíèå 17 . a − b : 3 ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, ðàâíîå 57». Ïðèìåð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè p çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 5 . p + 3 . (p + 1) ðàâíî 19? ст и ту Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ: ль ны й ин 5 . p + 3 . (p + 1) = 5 . p + 3 . p + 3 . 1 = = (5 + 3) . p + 3 = 8 . p + 3. Ðåøèâ óðàâíåíèå 8 . p + 3 = 19, ïîëó÷èì p = 2. Îòâåò: ïðè p = 2. Âîïðîñû На ц ио на 1. ×òî íàçûâàåòñÿ áóêâåííûì âûðàæåíèåì? 2. ×òî òàêîå ïåðåìåííàÿ? 3. ×òî íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ? Óïðàæíåíèÿ 3.188 188..° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå: 1) 32 . b; 2) 14 . c; . 3) 117 n; 4) 48 . a + b; 6) 44 . b3 + 2; 5) 35 . m − n2; Правообладатель Национальный институт образования 145 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 7) 3 . n + 4 . m5; 9) 81 . p2 + q3 − 65; 8) 95 . x7 − 14 . y; 10) 35 . t4 − s2 + 2. ту то бр аз ов ан ия 3. 189 189.. ° Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå ïî óñëîâèþ çàäà÷è. 1) Îäíî ÷èñëî ðàâíî à, à äðóãîå â 5 ðàç áîëüøå. ×åìó ðàâíî âòîðîå ÷èñëî? 2) Îäíî ÷èñëî ðàâíî b, à äðóãîå íà 5 áîëüøå. ×åìó ðàâíî âòîðîå ÷èñëî? 3) Òàíå 10 ëåò, à Èðà â n ðàç ìëàäøå. Ñêîëüêî ëåò Èðå? 4)  øêîëó Ñòåïà èäåò 15 ìèí, à îáðàòíî — íà ñ ìèí äîëüøå. Ñêîëüêî âðåìåíè ó íåãî óõîäèò íà äîðîãó â øêîëó è îáðàòíî? ин ст и 3.190 190.. Çàïèøèòå ñóììó è ïðîèçâåäåíèå äâóõ âûðàæåíèé: 1) 25 + 36 è 80 − à; 2) 91 . f è 101 . k; 3) 14 : t è 29 + b; 4) 134 . m è 45 : n. ль ны й 3. 191 191.. Çàïèøèòå ðàçíîñòü è ÷àñòíîå äâóõ âûðàæåíèé: 1) 130 − à è 25 . à; 2) 14 + m è n + 36; 3) õ − 16 è ó − 95; 4) 72 . t è 121 : k. ио на 3. 192 192.. Ðàñêðîéòå ñêîáêè: 1) 12 + (16 − 4 . à); 3) 2 . (3ð − 40) − 18; 2) 12 + (8 − 4 . å); 4) 4 . (3ð + 25) + 17. На ц 3. 193 193.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ ïðè à = 1: 1) 38 + à; 2) à2 + 1; 3) 29 . à + à2; 4) 50 . à − 25 . à2. 3. 194 194.. ° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 38 6301 + à, åñëè à = 2 906 715; 2) 56 093 201 − b, åñëè b = 46 901 203; 3) (13 901 − t) . 2, åñëè t = 1894; 4) (1597 + k) − 32 . k, åñëè k = 35. 146 Правообладатель Национальный институт образования 3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè èñïîëüçóÿ çàêîíû ñëîæå87 + 3 . c + 6 . c + 3; 105 . n − 4 − 50 . n; (k − 13) . 7; 8 ⋅ n + (5 + n) . 4. ия 2) 4) 6) 8) ан 3.195 195.. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå, íèÿ è óìíîæåíèÿ: 1) 2 . b + 29 + 3 . b − 4; 3) 64 + 60 . c − 54 . c; 5) 4 . (12 − m); 7) 14 + 2 . (b − 5); то бр аз ов 3. 196 196.. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè t çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 3 . t + 2 . (5 − t) ðàâíî: 1) 14; 2) 29; 3) 33; 4) 108? ст и ту 3.197 197..* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ p è q çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 3 . (p − 2 . q) + 6q − 12 ðàâíî: 1) 12; 2) 33; 3) 36; 4) 99? ль ны й ин 3.198 198..* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ k è m çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ k + 3 . (4 . m + 5) − 12m − 11 ðàâíî: 1) 35; 2) 63; 3) 707; 4) 2121? на 3.199 199..* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m è p çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 4 . p + 2 . (4 − 2 . p) − 8 + 64 : m ðàâíî: 1) 2; 2) 16; 3) 32; 4) 64? ио 3.200 200..* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à è b çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 4a + 2 . (3 . b − a) − 6 . b + 10 ðàâíî: На ц 1) 10; 4) 40; 2) 12; 5) 28; 3) 30; 6) 64? 3.201 201.. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå: 1) 5 . (2 . m + 3 . p) + 2 . (3 . p − 5 . m); 2) 3 . (4 . p − 2 . q) + 4 . (5 . q − 3 . p); 3) 134 . k − 10 . l + 5 . (2 . l − 17 . k); 4) 48 . n + 18 . t + 8 . (3 . t − 2 . n). Правообладатель Национальный институт образования 147 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 3. 202 202.. Ïà÷êà ïå÷åíüÿ ñòîèò à ðóáëåé, ïàêåò ñîêà — b ðóáëåé. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòîèìîñòè ïîêóïêè, åñëè êóïèëè: 1) 4 ïà÷êè ïå÷åíüÿ è 2 ïàêåòà ñîêà; 2) 5 ïà÷åê ïå÷åíüÿ è 4 ïàêåòà ñîêà. то бр аз ов ан 3. 203 203..  êëàññå 14 äåâî÷åê, à ìàëü÷èêîâ íà m ÷åëîâåê áîëüøå. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ó÷åíèêîâ â êëàññå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè m, ðàâíîì: 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 5. ин ст и ту 3. 204 204.. Ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî n, âòîðîå íà 5, à òðåòüå â 2 ðàçà áîëüøå ïåðâîãî. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñóììû ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè n, ðàâíîì: 1) 9; 2) 16; 3) 39; 4) 51. ио на ль ны й 3. 205 205.. Ñóììà ñîñòîèò èç ïÿòè ñëàãàåìûõ, ïåðâîå ðàâíî n, à êàæäîå ñëåäóþùåå íà 5 áîëüøå ïðåäûäóùåãî. Çàïèøèòå ñóììó ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå ïðè n, ðàâíîì: 1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5. На ц 3. 206 206.. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç øåñòè ÷èñåë, ïåðâîå ðàâíî à, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 6 ðàç áîëüøå ïðåäûäóùåãî. Çàïèøèòå ñóììó ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå ïðè à, ðàâíîì: 1) 1; 2) 2; 3) 6; 4) 8. 3. 207 207.. * Âî âëàäåíèÿõ Ñíåæíîé Êîðîëåâû 12 ëåäÿíûõ äîìèêîâ è êàæäûå äâà äîìèêà ñîåäèíåíû äîðîãîé. Ñêîëüêî äîðîã â êîðîëåâñòâå? 148 Правообладатель Национальный институт образования 3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè 3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè ан ия Ïð èìåð 1. Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ìàðìåëàäà èç ñëèâ íà Ïðèìåð 5 ÷àñòåé ñëèâîâîãî ïþðå íàäî âçÿòü 3 ÷àñòè ñàõàðà. Ñêîëüêî íåîáõîäèìî âçÿòü ñàõàðà, ÷òîáû ïðèãîòîâèòü ìàðìåëàä èç 10 êã ñëèâîâîãî ïþðå? то бр 10 : 5 = 2 (êã). аз ов Ðåøåíèå. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è 10 êã ñëèâîâîãî ïþðå ñîñòàâëÿþò 5 ÷àñòåé. Çíà÷èò, íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ Ñàõàðà íàäî âçÿòü 3 òàêèå ÷àñòè, çíà÷èò, ту 2 . 3 = 6 (êã). ст и Îòâåò: 6 êã. ль ны й ин Ïð èìåð 2.  êíèãå âîëøåáíèêîâ íàïèñàíî, ÷òî äëÿ ïðèÏðèìåð ãîòîâëåíèÿ ëåêàðñòâà îò æàäíîñòè íàäî âçÿòü 7 ÷àñòåé ùåäðîñòè, 5 ÷àñòåé äîáðîòû è 2 ÷àñòè ñïðàâåäëèâîñòè. Ñêîëüêî âñåãî ïîëó÷èòñÿ ëåêàðñòâà îò æàäíîñòè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî èñïîëüçîâàí 21 ã ùåäðîñòè? На ц ио на Ðåøåíèå. Çàïèñü ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è (ïî âîïðîñàì). 1) Ñêîëüêî ãðàììîâ ùåäðîñòè ïðèõîäèòñÿ íà îäíó ÷àñòü ëåêàðñòâà? 21 : 7 = 3 (ã). 2) Ñêîëüêî âñåãî ðàâíûõ ÷àñòåé íóæíî äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ëåêàðñòâà? 7 + 5 + 2 = 14 (÷àñòåé). 3) Ñêîëüêî ãðàììîâ ëåêàðñòâà ïîëó÷èòñÿ? 3 . 14 = 42 (ã). Îòâåò: 42 ã. Правообладатель Национальный институт образования 149 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия À ìîæíî, ðåøàÿ ýòó çàäà÷ó, ñîñòàâèòü âûðàæåíèå. Ïîñêîëüêó 21 ã ïðèõîäèòñÿ íà 7 ÷àñòåé, à âñå ëåêàðñòâî ñîäåðæèò (7 + 5 + 2) ÷àñòåé, òî ïîëó÷èòñÿ âûðàæåíèå 21 : 7 . (7 + 5 + 2), çíà÷åíèå êîòîðîãî 42 (îíî ðàâíî ìàññå ëåêàðñòâà â ãðàììàõ). ан Îòâåò: 42 ã. аз ов Âîïðîñû 1. Ñîñòàâüòå çàäà÷ó íà ÷àñòè ïî âûðàæåíèþ то бр 48 : 12 ⋅ (12 + 3 + 8). 2. Êàê ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó íà ÷àñòè (ñì. âîïðîñ 1)? ст и ту Óïðàæíåíèÿ ль ны й ин 3. 208 208..° Ìîðîæåíîå ñîäåðæèò 4 ÷àñòè âîäû, 2 ÷àñòè ìîëî÷íîãî æèðà è 4 ÷àñòè ñàõàðà. Ñêîëüêî íàäî âîäû, æèðà è ñàõàðà äëÿ ïîëó÷åíèÿ 2 êã ìîðîæåíîãî? на 3. 209 209.. ° Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ðèñîâîé êàøè íàäî âçÿòü 2 ÷àñòè ðèñà, 3 ÷àñòè ìîëîêà è 5 ÷àñòåé âîäû. Ñêîëüêî ìîëîêà è ñêîëüêî âîäû ïîíàäîáèòñÿ, åñëè âçÿëè 180 ã ðèñà? На ц ио 3. 210 210.. Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ìàííîé êàøè áåðóò 10 ÷àñòåé êðóïû, 2 ÷àñòè ñàõàðà, 50 ÷àñòåé ìîëîêà è 1 ÷àñòü ìàñëà. Ñêîëüêî ïîòðåáóåòñÿ êðóïû, ñàõàðà è ìàñëà, ÷òîáû ñâàðèòü êàøó, èñïîëüçóÿ 1 ë ìîëîêà (1 ë ìîëîêà ≈ 1000 ã). 3. 21 2111. Êîìïîò èç ñóõîôðóêòîâ ñîäåðæèò 3 ÷àñòè èçþìà, 4 ÷àñòè ÿáëîê, 2 ÷àñòè ãðóø è 35 ÷àñòåé âîäû. 1) Ñêîëüêî ÿáëîê ñîäåðæèòñÿ â 6600 ã êîìïîòà? 2) Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ êîìïîòà, åñëè ãðóø 200 ã? 150 Правообладатель Национальный институт образования 3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè ия 3.212 212.. Äëÿ îâîùíîãî ðàãó íóæíî âçÿòü 4 ÷àñòè ìîðêîâè, 2 ÷àñòè ëóêà è 6 ÷àñòåé êàðòîôåëÿ. 1) Ñêîëüêî êàðòîôåëÿ òðåáóåòñÿ äëÿ 900 ã ðàãó? 2) Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ ðàãó, åñëè âçÿòü 180 ã ëóêà? аз ов ан 3.213 213.. Òåñòî äëÿ «ëåíèâûõ» âàðåíèêîâ ñîäåðæèò 14 ÷àñòåé òâîðîãà, 4 ÷àñòè ìóêè, 2 ÷àñòè ìàñëà, 3 ÷àñòè ñìåòàíû è 2 ÷àñòè ñàõàðà. Íàéäèòå ìàññó êàæäîãî ïðîäóêòà, íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ 2 êã òåñòà. ту ст и ин ль ны й ? 4) 15 ãà 3) 36 êã то бр 3.214 214.. Ñîñòàâüòå è ðåøèòå çàäà÷ó ïî ñõåìå (ðèñ. 117): 1) 2) 28 à ? 9 êã Ðèñ. 117 На ц ио на 3.215 215.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) 2 . x + 6 . x + 4 . x − 1472 = 10 528; 2) 3 . a + 2 . a + 7 . a + 8654 = 32 654; 3) 19 . c + 8 . c + 12 . c + 80 039 = 95 639; 4) 11 . b + 14 . b + 9 . b − 14 671 = 87 329. 3. 216 216.. * Ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íå÷åòíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 9. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ìíîæèòåëåé ìîæåò áûòü â ýòîì ïðîèçâåäåíèè? Правообладатель Национальный институт образования 151 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå то бр аз ов ан ия 3. 217 217.. Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ è ðåçóëüòàò îêðóãëèòå: à) äî äåñÿòêîâ; á) äî ñîòåí: 1) 59 285 : (821 . 17 − 13 952) + 7003; 2) (7007 − 5777) : 15 . 2; 3) 12 . (5369 + 2651) − 19 176 : 47; 4) (6284 : 2 + 683) . 43 − 1617; 5) 806 . (5432 − 2345) : 7 + 368 : 16; 6) (918 341 − 14 867) : 78 + (3482 + 4623) . 12. ту 3. 218 218.. Ðàñïîëîæèòå ÷èñëà 37 861, 820 012, 23 045, 23 545, 82 100, 37, 880 â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ. ль ны й ин ст и 3. 219 219.. Çàïèøèòå âñå: 1) ÷èñëà áîëüøå 6037 è ìåíüøå 6056, ñîäåðæàùèå öèôðó 5 â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ; 2) òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, â êîòîðûõ ÷èñëî äåñÿòêîâ íà 8 áîëüøå ÷èñëà åäèíèö, à ÷èñëî ñîòåí íà 7 áîëüøå ÷èñëà åäèíèö. На ц ио на 3. 220 220.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) 72 + õ = 149 − 12; 2) õ − 14 . 2 = 60; 3) 13 . õ = 5 . (11 + 2); 4) (37 + 28) − õ = 47 − 24. 5) 39 + õ + 51 = 182 : 2; 6) õ − 81 : 9 = 100 : 25; 7) 505 : 5 − õ = 112 : 2; 8) õ + (170 − 58) = 1000. 3. 221 221.. * Ðåøèòå çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ. Âåðíî ëè, ÷òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷èñëî: 1) 1509 â âèäå ñóììû ÷èñëà 829 è ÷åòûðåõ ðàâíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; 152 Правообладатель Национальный институт образования Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå 2) 49 275 â âèäå ñóììû îäèííàäöàòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è ÷èñëà 48 010? ан ия 3.222 222.. Íà ëåâîé ÷àøå âåñîâ ñòîÿò ãèðè 2 êã, 3 êã è 5 êã, à íà ïðàâîé — àðáóç. Êàêîâà ìàññà àðáóçà, åñëè äëÿ ðàâíîâåñèÿ ïðèøëîñü ïîëîæèòü íà ïðàâóþ ÷àøó âåñîâ 2 êã 250 ã? то бр аз ов 3.223 223..  ìàãàçèí ïðèâåçëè 180 êîðîáîê, â êàæäîé êîðîáêå ïî 46 ïà÷åê ïå÷åíüÿ. Êàêîâà ìàññà âñåãî ïå÷åíüÿ, åñëè ìàññà îäíîé ïà÷êè 120 ã? ст и ту 3.224 224.. Ïåðåä ñïîðòèâíûìè ñîðåâíîâàíèÿìè âñåõ ó÷åíèêîâ ïÿòûõ è øåñòûõ êëàññîâ ïîñòðîèëè â 12 êîëîíí.  êàæäîé êîëîííå 6 ðÿäîâ ïî 8 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ó÷àñòâîâàëî â ñîðåâíîâàíèè? ль ны й ин 3.225 225.. Ëåñíèê îòìåòèë äëÿ âûðóáêè 58 äåðåâüåâ — ñîñåí, áåðåç è îñèí. Ñîñåí è îñèí èì îòìå÷åíî 47, ñîñåí è áåðåç — 24. Ñêîëüêî áåðåç, ñêîëüêî ñîñåí è ñêîëüêî îñèí îòìå÷åíî ëåñíèêîì? ио на 3.226 226..  äâà ìàãàçèíà ïðèâåçëè 350 ñïîðòèâíûõ êîñòþìîâ. Êîãäà â îäíîì èç íèõ ïðîäàëè 21 êîñòþì, à â äðóãîì — 9 êîñòþìîâ, òî êîñòþìîâ â ìàãàçèíàõ ñòàëî ïîðîâíó. Ñêîëüêî êîñòþìîâ áûëî â êàæäîì ìàãàçèíå? На ц 3.227 227..* Êàê ìîæíî äåòàëü ìàññîé 29 ã óðàâíîâåñèòü íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ, èñïîëüçóÿ òîëüêî ãèðè ìàññîé 3 ã è 5 ã? 3.228 228.. * Îäèí äðàíèê ñ îäíîé ñòîðîíû æàðèòñÿ íà ñêîâîðîäêå îäíó ìèíóòó. Çà êàêîå âðåìÿ áûñòðåå âñåãî ìîæíî ïîäæàðèòü 9 äðàíèêîâ íà äâóõ îäèíàêîâûõ ñêîâîðîäêàõ, åñëè íà îäíîé óìåùàåòñÿ òîëüêî 3 äðàíèêà? Правообладатель Национальный институт образования 153 à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3. 229 229.. * Èç âîñüìè îäèíàêîâûõ êîëåö îäíî íåñêîëüêî ëåã÷å îñòàëüíûõ. Íàéäèòå åãî ïðè ïîìîùè íå áîëåå ÷åì äâóõ âçâåøèâàíèé íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ. ан ия 3. 230 230.. *  äâóõ ñóìêàõ ëåæàò 100 îãóðöîâ. Ìîæåò ëè ÷èñëî îãóðöîâ â îäíîé èç ñóìîê áûòü â äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì â äðóãîé? аз ов 3. 231 231.. * Êàê, èìåÿ ëèøü äâà ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 3 ë è 4 ë, íàëèòü èç âîäîïðîâîäíîãî êðàíà 2 ë? ту то бр 3. 232 232.. * Åñëè ê íåêîòîðîìó äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèïèñàòü ñïðàâà 0, òî îíî óâåëè÷èòñÿ íà 504. Íàéäèòå ýòî ÷èñëî. ин ст и 3. 233 233..* Ïîñòàâüòå âìåñòî çâåçäî÷åê çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé «+», «−», «.», «:» òàê, ÷òîáû çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 76 4 51 3 áûëî ðàâíî 36. ль ны й 3. 234 234..* Íàçîâèòå ïîñëåäíþþ öèôðó ïðîèçâåäåíèÿ âñåõ òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2. на 3. 235 235.. * Êàêîé öèôðîé îêàí÷èâàåòñÿ ðàçíîñòü 1 . 2 . 3 . ... . 21 . 22 − 1 . 3 . 5 . ... . 13 . 15? ио 3. 236 236.. * Ñêîëüêî èìååòñÿ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, ó êîòîðûõ ñóììà öèôð íå äåëèòñÿ íà 2? На ц 3. 237 237.. * Çàäà÷à-øóòêà. Ó êàðòîííîãî êâàäðàòà îòðåçàëè 3 óãëà. Ñêîëüêî óãëîâ îñòàëîñü? Правообладатель Национальный институт образования 4 аз ов ан ÄÅËÈÌÎÑÒÜ ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË ия ГЛАВА то бр 4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûå ст и ту Ïóñòü à è b — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à äåëèòñÿ íà ÷èñëî b, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî s, ÷òî a=b.s На ц ио на ль ны й ин Íàïðèìåð, ÷èñëî 112 äåëèòñÿ íà 7, òàê êàê 112 = 7 . 16.  ðàâåíñòâå a = b . s ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà à. Òàêèì îáðàçîì, äåëèòåëü ÷èñëà à — ýòî ÷èñëî, íà êîòîðîå äåëèòñÿ à. Íàïðèìåð, âñå äåëèòåëè ÷èñëà 30 — ýòî ÷èñëà 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. ×èñëà 42, 78 è 24 äåëÿòñÿ íà 6, òàê êàê 42 = 6 . 7, 78 = 6 . 13, 24 = 6 . 4. Ñóììà ýòèõ ÷èñåë òîæå äåëèòñÿ íà 6, òàê êàê 42 + 78 + 24 = 6 . 7 + 6 . 13 + 6 . 4 = 6 . (7 + 13 + 4) = 6 . 24. Âîîáùå, åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî è ñóììà äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. È, ñîîòâåòñòâåííî, åùå îäíî ñâîéñòâî äåëèìîñòè ñóììû: Правообладатель Национальный институт образования 155 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë åñëè îäíî ñëàãàåìîå íå äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, à îñòàëüíûå äåëÿòñÿ, òî ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. то бр аз ов ан ия Íàïðèìåð, ÷èñëà 42 è 78 äåëÿòñÿ íà 6, à ÷èñëî 21 íå äåëèòñÿ íà 6. Ïîýòîìó èõ ñóììà 42 + 78 + 21 = 141 íà 6 íå äåëèòñÿ. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî à äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî b, òî ÷èñëî à íàçûâàåòñÿ êðàòíûì ÷èñëà b (ãîâîðÿò åùå «÷èñëî à êðàòíî ÷èñëó b»). Äðóãèìè ñëîâàìè, êðàòíîå ÷èñëà b — ýòî ÷èñëî, êîòîðîå äåëèòñÿ íà b. Âîò, íàïðèìåð, íåñêîëüêî êðàòíûõ ÷èñëà 7: ту 7, 14, 28, 42, ... . ст и Çàïèøåì òåïåðü íàòóðàëüíûé ðÿä ин 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, ... ль ны й è óìíîæèì êàæäîå ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó íà 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ... . На ц ио на Ýòî ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 6. Òàê êàê íàòóðàëüíûé ðÿä áåñêîíå÷åí, òî è ðÿä êðàòíûõ ÷èñëà 6 áåñêîíå÷åí. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî 6 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êðàòíûõ. Òî÷íî òàê æå ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êðàòíûõ. Âîïðîñû 1. Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî à äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî b? 2. Íà êàêîå ÷èñëî äåëèòñÿ ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî? 3. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êðàòíûì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà b? 4. Ñêîëüêî êðàòíûõ èìååò ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî? 5. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à? 6.* Ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà äåëèìîñòè ñóììû. 156 Правообладатель Национальный институт образования 4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûå Óïðàæíåíèÿ аз ов ан ия 4.1 .° ßâëÿåòñÿ ëè îäíî ÷èñëî äåëèòåëåì äðóãîãî: 1) 24 è 3; 2) 35 è 5; 3) 68 è 8; 4) 83 è 3; 5) 92 è 2; 6) 100 è 25? Åñëè äà, òî îáúÿñíèòå ïî÷åìó. то бр 4.2.° Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëî 7 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà: 1) 28; 2) 54; 3) 140; 4) 367; 5) 231; 6) 353 535? ст и ту 4.3 .° Íàéäèòå âñå äåëèòåëè ÷èñëà: 1) 11; 2) 29; 3) 33; 4) 31; 5) 47; 6) 62. ль ны й ин 4. 4. Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å âñå äåëèòåëè ÷èñëà: 1) 8; 2) 10; 3) 13; 4) 18. на 4.5.° Âåðíî ëè, ÷òî êðàòíûì ÷èñëà 35 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî: 1) 105; 2) 700; 3) 31 745; 4) 43 540? На ц ио 4.6 .° Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó: 1) 3; 2) 5; 3) 7; 4) 10. 4.7 . Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó: 1) 13; 2) 21; 3) 31; 4) 42. 4.8 . Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, 3, 6, 9, 18, 36, 54, 72, 90, 108 óêàæèòå: 1) äåëèòåëè ÷èñëà 18; 2) êðàòíûå ÷èñëà 18. Правообладатель Национальный институт образования 157 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан ия 4.9. Êàêèå èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40 ÿâëÿþòñÿ: 1) äåëèòåëÿìè ÷èñëà 60; 2) äåëèòåëÿìè ÷èñëà 80; 3) êðàòíûìè ÷èñëà 6; 4) êðàòíûìè ÷èñëà 10? аз ов 4. 10 10.. Çàïèøèòå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå äåëèòåëè ÷èñëà: 1) 100; 2) 318. то бр 4. 11. Çàïèøèòå â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âñå äåëèòåëè ÷èñëà: 1) 90; 2) 442. ст и ту 4. 12 12.. Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó: 1) 90; 2) 125; 3) 150; 4) 250. ль ны й ин 4. 13 13.. Çàïèøèòå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 25, êîòîðûå â íàòóðàëüíîì ðÿäó ðàñïîëîæåíû ìåæäó ÷èñëàìè: 1) 400 è 500; 2) 925 è 1000; 3) 3054 è 3126; 4) 45 318 è 45 486. на 4. 14 14.. Çàïèøèòå ÷èñëà, ìåíüøèå 72 è êðàòíûå: 1) 5; 2) 8; 3) 12; 4) 16. На ц ио 4. 15 15.. Çàïèøèòå ïÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ: 1) 16 áóäåò êðàòíûì; 2) 16 áóäåò äåëèòåëåì. 4. 16 16.. Íàçîâèòå: 1) íàèáîëüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êðàòíîå 75; 2) íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàòíîå 300. 4. 17 17.. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî: 1) 52 029 êðàòíî ÷èñëó 141; 2) 273 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 7098; 158 Правообладатель Национальный институт образования 4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2 3) 49 200 íå êðàòíî ÷èñëó 68; 4) 175 íå ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 162 495. ия 4.18 18.. Íà ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ìîæíî ïîðîâíó ðàçäåëèòü 18 òåòðàäåé? аз ов ан 4.19 19..  ïîõîä ñîáèðàþòñÿ èäòè 36 ïÿòèêëàññíèêîâ. Èõ íàäî ðàçáèòü íà ãðóïïû ñ ðàâíûì ÷èñëîì ó÷åíèêîâ. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ìîæåò áûòü â êàæäîé ãðóïïå è ñêîëüêî ìîæåò áûòü òàêèõ ãðóïï? ст и ту то бр 4.20 20.. Ìèíåðàëüíàÿ âîäà ðàñôàñîâàíà â ïëàñòèêîâûå óïàêîâêè ïî 6 áóòûëåé. Ñêîëüêî áóòûëåé ìèíåðàëüíîé âîäû ìîãëè ïðèâåçòè â êèîñê, åñëè äîñòàâêà ïðîèçâîäèòñÿ öåëûìè óïàêîâêàìè, à çàêàçàíî íå áîëåå 50 áóòûëåé? ль ны й ин 4.21 21.. * Äåäóøêèí õðîíîìåòð îòñòàåò çà êàæäûé ÷àñ íà 10 ìèí, íî â äàííûé ìîìåíò ïîêàçûâàåò òî÷íîå âðåìÿ. Îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîé íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè õðîíîìåòð âíîâü ïîêàæåò òî÷íîå âðåìÿ. 4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2 На ц ио на ×òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ ëè îäíî ÷èñëî íà äðóãîå, ìîæíî ïðîñòî ðàçäåëèòü ïåðâîå ÷èñëî íà âòîðîå. Íî äëÿ íåêîòîðûõ äåëèòåëåé åñòü ñïîñîá áîëåå óäîáíûé: äëÿ íèõ ñóùåñòâóþò ïðèçíàêè äåëèìîñòè. Ïðèçíàêîì íàçûâàþò ïðàâèëî, ïîëüçóÿñü êîòîðûì óäîáíî âûÿñíèòü, âûïîëíÿåòñÿ ëè íåêîòîðîå ñâîéñòâî. Ðàññìîòðèì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2. Äëÿ ýòîãî âûïèøåì ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ... . Правообладатель Национальный институт образования 159 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé èç öèôð 0, 2, 4, 6, 8. Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä: ан ия åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ îäíîé èç öèôð 0, 2, 4, 6, 8, òî îíî äåëèòñÿ íà 2. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 2 íå äåëÿòñÿ. то бр аз ов Ýòî ïðàâèëî íàçûâàåòñÿ ïðèçíàêîì äåëèìîñòè íà 2. ×èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2 (÷èñëà, êðàòíûå 2), íàçûâàþòñÿ ÷åòíûìè. ×èñëà, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2 (÷èñëà, íå êðàòíûå 2), íàçûâàþòñÿ íå÷åòíûìè. ст и ту Ïðèìåð 1. ×èñëî 3 758 992 425 îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 5. Ïîýòîìó îíî íå äåëèòñÿ íà 2 è, ñëåäîâàòåëüíî, íå÷åòíîå. ль ны й ин Ïðèìåð 2. ×èñëî 3 758 992 426 îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 6. Ïîýòîìó îíî äåëèòñÿ íà 2 è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòíîå. на Îñíîâîïîëîæíèêàìè òåîðèè äåëèìîñòè ÿâëÿþòñÿ ïèôàãîðåéöû. Îíè ðàçáèëè ÷èñëà íà ÷åòíûå (ìóæñêèå) è íå÷åòíûå (æåíñêèå). ио Âîïðîñû На ц 1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2. 2. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ: à) ÷åòíûì; á) íå÷åòíûì? Óïðàæíåíèÿ 4.22 22..° Êàêèå èç ÷èñåë 48, 3442, 7807, 4926, 4557, 71 090, 699 114, 13 141 513 äåëÿòñÿ íà 2? 4. 23 23.. ° Âûïèøèòå ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 122, ïÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà ÷èñëî 2. 160 Правообладатель Национальный институт образования 4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2 4.24 24.. Âûïèøèòå ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 475, ïÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå äåëÿùèõñÿ íà ÷èñëî 2. ия 4.25. Èç ÷èñåë 422, 940, 95, 82, 9, 2, 2710, 64 823, 130 025, 630 264, 80 136, 67 451 âûïèøèòå: аз ов ан 1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 2; 2) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ÷èñëà, íå äåëÿùèåñÿ íà 2. 4.26 26..° Çàïèøèòå âñå îäíîçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 2. то бр 4.27 27.. Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà îò 57 äî 68, íå êðàòíûå 2. 2) íå÷åòíûå ÷èñëà. ин 1) ÷åòíûå ÷èñëà; ст и ту 4.28 28..° Ñðåäè ÷èñåë 221, 23, 32, 114, 129, 500, 448, 5047, 885, 6086 íàéäèòå: ль ны й 4.29 29.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë, ðàñïîëîæåííûõ â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè: 1) 12 è 18; 2) 81 è 99; 3) 189 è 201; 4) 4126 è 4136. На ц ио на 4.30 30.. ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî: 1) a + 1; 2) a + 2; 3) a . 2; 4) a . 3, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî a: à) ÷åòíîå; á) íå÷åòíîå? 4.31 31.. ×åòíîé èëè íå÷åòíîé ÿâëÿåòñÿ ñóììà: 1) äâóõ 2) äâóõ 3) òðåõ 4) òðåõ ÷åòíûõ ÷èñåë; íå÷åòíûõ ÷èñåë; ÷åòíûõ ÷èñåë; íå÷åòíûõ ÷èñåë? Ñâîè îòâåòû ïîäòâåðäèòå ïðèìåðàìè. Правообладатель Национальный институт образования 161 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 4. 32 32.. Íå âûïîëíÿÿ ñëîæåíèÿ, óñòàíîâèòå, ïðàâèëüíî ëè íàéäåíà ñóììà: 1) 78 305 + 412 634 + 83 107 = 574 047; 2) 23 423 + 58 799 + 14 103 = 96 326. то бр аз ов ан 4. 33 33.. ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 8534 . 1007; 2) 9684 : 807; 3) (893 − 567) . 499; 4) (52 063 + 23 687) : 101? ль ны й ин ст и ту 4. 34 34.. * Äâà ìàëü÷èêà õîäÿò ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ. Ó íèõ íà äâîèõ åñòü îäèí âåëîñèïåä, íà êîòîðîì îíè åçäÿò òàêæå ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ. Êàê îíè ìîãóò, íà÷àâ îäíîâðåìåííî äâèæåíèå èç îäíîãî ïóíêòà, îäíîâðåìåííî ïðèáûòü â äðóãîé ïóíêò, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé èç íèõ ëèáî äâèãàåòñÿ ïåøêîì, ëèáî åäåò íà âåëîñèïåäå? 4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10 на Âûïèøåì ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 5: ио 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ... . На ц Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé èç öèôð 0 èëè 5. Âîîáùå, åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ îäíîé èç öèôð 0 èëè 5, òî îíî äåëèòñÿ íà 5. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 5 íå äåëÿòñÿ. Òàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5. 162 Правообладатель Национальный институт образования 4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10 ия Ïð èìåð 1. à) ×èñëî 3 758 992 425 îêàí÷èâàåòñÿ öèôÏðèìåð ðîé 5, ïîýòîìó îíî äåëèòñÿ íà 5. á) ×èñëî 3 758 992 420 äåëèòñÿ íà 5 (ïî÷åìó?). â) ×èñëî 3 758 992 423 íå äåëèòñÿ íà 5 (ïî÷åìó?). аз ов ан ×òîáû íàéòè ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10, íàäî âûïèñàòü ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 10 (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî). À òåïåðü îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî âñå ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ öèôðîé 0. то бр Âîîáùå, åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 0, òî îíî äåëèòñÿ íà 10. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 10 íå äåëÿòñÿ. ту Òàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10. ин ст и Ïð èìåð 2. ×èñëî 3 758 992 420 äåëèòñÿ íà 10, à ÷èñëî Ïðèìåð 3 758 992 425 íå äåëèòñÿ íà 10 (ïî÷åìó?). ль ны й Âîïðîñû 1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5. 2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10. на Óïðàæíåíèÿ На ц ио 4.35 35..° Ñðåäè ÷èñåë 10, 15, 54, 105, 555, 550, 8375, 9410, 5553 íàéäèòå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó: 1) 5; 2) 10. 4.36 36.. Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíÿòü ñèìâîë ☺ â çàïèñÿõ: à) 26☺, 3☺0, 61☺, 49☺; á) 537☺, 2☺95, 2☺30, 371☺ òàê, ÷òîáû (åñëè ýòî âîçìîæíî) êàæäîå ïîëó÷åííîå ÷èñëî äåëèëîñü: 1) íà 5; 2) íà 10; 3) íà 2 è íà 5; 4) íà 2? Правообладатель Национальный институт образования 163 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 4. 37 37.. ° Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó: 1) 5; 2) 10. ия 4. 38 38.. Çàïèøèòå ïÿòü ÷åòíûõ ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 5. Âåðíî ëè, ÷òî ýòè ÷èñëà êðàòíû 10? аз ов ан 4. 39 39.. Èñïîëüçóÿ êàæäóþ èç öèôð 0, 1 è 5 ïî îäíîìó ðàçó, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó: 1) 5; 2) 10. то бр 4. 40 40.. Èñïîëüçóÿ öèôðû 0, 2, 5 è 8 íå áîëåå îäíîãî ðàçà êàæäóþ, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó: 1) 5; 2) 10. ин ст и ту 4. 41 41.. Èñïîëüçóÿ ïî îäíîìó ðàçó êàæäóþ èç öèôð 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ñîñòàâüòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå äåñÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó: 1) 5; 2) 10. на ль ны й 4. 42 42.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 5 è ðàñïîëîæåíû â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè: 1) 4 è 23; 2) 15 è 38; 3) 129 è 153; 4) 4789 è 4800. На ц ио 4. 43 43.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 10 è ðàñïîëîæåíû ìåæäó ÷èñëàìè: 1) 1 è 45; 2) 56 è 99; 3) 148 è 200; 4) 14 395 è 14 425. 4. 44 44.. Íàéäèòå ñóììó ïåðâûõ: 1) ïÿòè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êðàòíûõ 5; 2) äåñÿòè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êðàòíûõ 10. 4. 45 45.. Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà äâóõ ÷èñåë, êðàòíûõ 5, äåëèòñÿ íà 10? Îòâåò îáúÿñíèòå è ïîäòâåðäèòå ïðèìåðàìè. 164 Правообладатель Национальный институт образования 4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10 4.46 46.. Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà äâóõ ÷èñåë, êðàòíûõ 10, äåëèòñÿ íà 10? Îòâåò îáúÿñíèòå è ïîäòâåðäèòå ïðèìåðàìè. аз ов ан ия 4.47 47.. Çàïèøèòå äâà ÷èñëà — ÷åòûðåõçíà÷íîå è òðåõçíà÷íîå — êðàòíûå 5. Âåðíî ëè, ÷òî áóäåò äåëèòüñÿ íà 5 èõ: 1) ñóììà; 2) ðàçíîñòü; 3) ïðîèçâåäåíèå? то бр 4.48 48.. Çàïèøèòå ÷åòûðåõçíà÷íîå è òðåõçíà÷íîå ÷èñëà, êðàòíûå 10. Âåðíî ëè, ÷òî áóäåò äåëèòüñÿ íà 10 èõ: 1) ñóììà; 2) ðàçíîñòü; 3) ïðîèçâåäåíèå? ст и ту 4.49 49.. Äâà ó÷åíèêà óìíîæèëè îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî: Âîëîäÿ — íà 5, Âàíÿ — íà 10. Âîëîäÿ ïîëó÷èë â ðåçóëüòàòå 3665. Êàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷èë Âàíÿ? ль ны й ин 4.50 50.. Íå ïðîèçâîäÿ âû÷èñëåíèé, îïðåäåëèòå, äåëèòñÿ ëè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: íà 5, íà 10, íà 5 è íà 10: 1) 575 . 122; 2) 435 . 1023; 3) 5875 − 905; 4) 23 885 − 3780; 5) 438 + 502; 6) 9963 − 5888. На ц ио на 4.51 51.. Íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, îïðåäåëèòå, äåëèòñÿ ëè íà 10 ïðîèçâåäåíèå: 1) 1 . 2 . 3 . 4 . 5; 2) 13 . 14 . 15; . . 3) 146 147 148; 4) 205 . 206 . 207 . 208. 4.52 52.. Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ 100. 1) Êàêèìè öèôðàìè îêàí÷èâàþòñÿ ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 100? 2) Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè ÷èñåë íà 100. 4.53 53.. Íàéäèòå ñóììó ïåðâûõ ïÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äåëèòåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 100. Правообладатель Национальный институт образования 165 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 4. 54 54.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë ïåðâîé òûñÿ÷è, äåëèòåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 100. ан ия 4. 55 55..* Äîêàæèòå, ÷òî èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 20 íåëüçÿ âûáðàòü 15 ÷èñåë òàê, ÷òîáû èõ ñóììà áûëà ðàâíà ñóììå îñòàëüíûõ ÷èñåë. аз ов 4.4. Îêðóæíîñòü ио на ль ны й ин ст и ту то бр Åñëè óñòàíîâèòü îñòðèå öèðêóëÿ â íåêîòîðîé òî÷êå Î (ðèñ. 118) è âðàùàòü íîæêó ñ êàðàíäàøîì, òî êàðàíäàø íà÷åðòèò íà ïëîñêîñòè ëèñòà ëèíèþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ. Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòð îêðóæÐèñ. 118 íîñòè ñ ëþáîé òî÷êîé íà îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì. Íà ðèñóíêå 119 ðàäèóñû — ýòî îòðåçêè OP è OQ. Âñå ðàäèóñû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òàê êàê äëèíà ëþáîãî ðàäèóñà — ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó îñòðèåì öèðêóëÿ è êîí÷èêîì êàðàíäàøà. Ðèñ. 119 На ц Âñå òî÷êè îêðóæíîñòè óäàëåíû îò åå öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå äëèíå ðàäèóñà. ×àñòî ñëîâî «äëèíà» îïóñêàþò è âìåñòî «äëèíà ðàäèóñà» ãîâîðÿò ïðîñòî «ðàäèóñ». Íàïðèìåð, ãîâîðÿò: «Èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì 2 ñì». Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî ëåæàò íà îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ õîðäîé. Íà ðèñóíêå 120 îòðåçêè PQ è À ÿâëÿþòñÿ õîðäàìè. 166 Правообладатель Национальный институт образования 4.4. Îêðóæíîñòü ия Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ åå äèàìåòðîì. Íà ðèñóíêå 120 îòðåçîê À ÿâëÿåòñÿ äèàìåòðîì. Î÷åâèäíî, ÷òî äèàìåòð îêðóæíîñè ðàâåí äâóì åå ðàäèóñàì. ан Ðèñ. 120 то бр аз ов Ñëîâî «ðàäèóñ» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî ñëîâà radius, êîòîðîå ïåðåâîäèòñÿ êàê «ñïèöà â êîëåñå, ëó÷». Ñëîâî «äèàìåòð» îáðàçîâàíî îò ãðå÷åñêîãî ñëîâà diametros, êîòîðîå îáîçíà÷àåò «ïîïåðå÷íèê». Âîïðîñû ль ны й ин ст и ту 1. Êàêîé ïðåäìåò, íàïîìèíàþùèé ïî ôîðìå îêðóæíîñòü, âû ìîæåòå íàçâàòü? 2. ×òî òàêîå: à) ðàäèóñ îêðóæíîñòè; á) õîðäà îêðóæíîñòè; â) äèàìåòð Ðèñ. 121 îêðóæíîñòè? 3. Êàêîé îòðåçîê íà ðèñóíêå 121 (òî÷êà Î — öåíòð îêðóæíîñòè) ÿâëÿåòñÿ: à) ðàäèóñîì îêðóæíîñòè; á) õîðäîé îêðóæíîñòè; â) äèàìåòðîì îêðóæíîñòè? на Óïðàæíåíèÿ На ц ио 4.56 56..° Ïî ðèñóíêó 122 íàçîâèòå òî÷êè: 1) ëåæàùèå íà îêðóæíîñòè; 2) íå ëåæàùèå íà îêðóæíîñòè. à) á) Ðèñ. 122 Правообладатель Национальный институт образования 167 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ðèñ. 123 аз ов ан ия 4.57 57..° Èçìåðüòå ðàäèóñ è äèàìåòð îêðóæíîñòåé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 123 (òî÷êè Î, À, Q — èõ öåíòðû). то бр 4. 58 58.. ° Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü: 1) ðàäèóñîì 3 ñì; 2) äèàìåòðîì 9 ñì; 3) äèàìåòðîì 80 ìì; 4) ðàäèóñîì 4 ñì 2 ìì. ст и ту 4.59. Íàéäèòå äèàìåòð îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì: 1) 1 äì; 2) 27 ñì; 3) 6 ì 86 ñì; 4) 2 äì 7 ñì. ль ны й ин 4. 60 60.. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì: 1) 5 äì; 2) 46 ñì; 3) 8 ì 2 ñì; 4) 7 äì 6 ñì. ио на 4. 61 61.. Ïî ðèñóíêó 124 íàçîâèòå äëÿ îêðóæíîñòè (òî÷êà P — åå öåíòð) åå: E 1) ðàäèóñû; 2) äèàìåòðû; B F 3) õîðäû. На ц P 4. 62 62.. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Ì è ðàäèóñîì ÌÒ = 3 ñì. ×åðåç òî÷êó Ò ïðîâåäèòå 4 õîðäû. A C Ðèñ. 124 4. 63 63.. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è ðàäèóñîì ÎÀ = 4 ñì. Ïðîâåäèòå õîðäû ÀÂ, ÂÑ, ÑD, DM, MN äëèíîé 4 ñì êàæäàÿ. Ñîåäèíèòå òî÷êè À è N, èçìåðüòå äëèíó õîðäû ÀN. 168 Правообладатель Национальный институт образования 4.4. Îêðóæíîñòü 4.64 64.. Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è ðàäèóñîì ÎÌ = 35 ìì. Ïðîâåäèòå ÷åðåç òî÷êó M õîðäó òàê, ÷òîáû îíà áûëà: 2) ðàâíà ðàäèóñó; 4) ðàâíà äèàìåòðó. ан ия 1) ìåíüøå ðàäèóñà; 3) áîëüøå ðàäèóñà; аз ов 4.65 65.. Íà ðèñóíêå 125 èçîáðàæåíû äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè Î è C. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êàæäîé îêðóæíîñòè, åñëè ÌK = 2 äì 1 ñì. ль ны й ин ст и ту то бр 4.66. Íà ðèñóíêå 126 èçîáðàæåíû äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O è C òàê, ÷òî îíè èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó Å. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ áîëüøåé îêðóæíîñòè, åñëè ÐR = 24 ñì, à ðàäèóñ ìåíüøåé îêðóæíîñòè ðàâåí 3 ñì. Ðèñ. 126 на Ðèñ. 125 На ц ио 4.67 67..* Íà ðèñóíêå 127 äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O1 è O2 èìåþò ðàäèóñû, ðàâíûå 5 ñì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà O1Î2, åñëè: 1) BD = 19 ñì; 3) BD = 24 ñì; 2) BD = 12 ñì; 4) BD = 43 ñì. а) б) B O1 O2 D B O1 O2 D Ðèñ. 127 Правообладатель Национальный институт образования 169 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë аз ов ан ия 4. 68 68.. * Íà ðèñóíêå 128 îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O1 è O2 èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ðàäèóñû 3 ñì è 5 ñì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà: 1) O1O2, åñëè ÌK = 20 ñì; Ðèñ. 128 2) PF, åñëè ÌK = 30 ñì; 3) PF, åñëè MK áîëüøå PF â 2 ðàçà. ин ст и ту то бр 4. 69 69.. à) Íà ñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòåé ìîæíî ðàçáèòü îêðóæíîñòü, åñëè âçÿòü íà íåé: 1) 2 òî÷êè; 2) 3 òî÷êè; 3) 4 òî÷êè; 4) 15 òî÷åê? á) Íà ñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòåé ìîæíî ðàçáèòü îòðåçîê, åñëè âçÿòü íà íåì: 1) 3 òî÷êè; 2) 4 òî÷êè; 3) 5 òî÷åê; 4) 14 òî÷åê? ль ны й 4.5. Êðóã ио на Ðèñ. 129 Îêðóæíîñòü ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ëèíèåé. Îíà ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè — âíóòðåííþþ è âíåøíþþ (ðèñ. 129). На ц ×àñòü ïëîñêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ âíóòðè îêðóæíîñòè, âìåñòå ñ ýòîé îêðóæíîñòüþ íàçûâàåòñÿ êðóãîì. Ãîâîðÿò åùå, ÷òî êðóã — ýòî ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ îêðóæíîñòüþ. Öåíòðîì êðóãà íàçûâàåòñÿ öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè. Ðàäèóñîì êðóãà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñ ýòîé îêðóæíîñòè. Äèàìåòðîì êðóãà íàçûâàåòñÿ äèàìåòð ýòîé îêðóæíîñòè. Õîðäîé êðóãà íàçûâàåòñÿ õîðäà ýòîé îêðóæíîñòè. 170 Правообладатель Национальный институт образования 4.5. Êðóã Íàïîìíèì, ÷òî îêðóæíîñòü ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò åå öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åå ðàäèóñó. ан ия Êðóã ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè (åãî öåíòðà) íà ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå èëè ðàâíîå åãî ðàäèóñó. Âîïðîñû ту то бр аз ов 1. Êàêèå ïðåäìåòû, íàïîìèíàþùèå ïî ôîðìå êðóã, âû ìîæåòå íàçâàòü? 2. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) êðóãîì; á) öåíòðîì êðóãà; â) ðàäèóñîì êðóãà; ã) äèàìåòðîì êðóãà; ä) õîðäîé êðóãà? 3. Èç êàêèõ òî÷åê ñîñòîèò: à) îêðóæíîñòü; á) êðóã? ст и Óïðàæíåíèÿ ль ны й ин 4.70 70..° Ïóñòü Î — òî÷êà íà ïëîñêîñòè. Êàêóþ ôèãóðó îáðàçóþò âñå òî÷êè ïëîñêîñòè, íàõîäÿùèåñÿ íà ðàññòîÿíèè 4 ñì 5 ìì îò òî÷êè Î? E Íà÷åðòèòå ýòó ôèãóðó. С D B A F На ц ио на 4.71 71..° Íà ðèñóíêàõ 130 è 131 íàçîâèòå òî÷êè, ëåæàùèå: 1) âíóòðè êðóãà; 2) âíå êðóãà; 3) íà îêðóæíîñòè. а) B б) T E A O F L F R C M Q P K S Ðèñ. 130 A N Ðèñ. 131 Правообладатель Национальный институт образования 171 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 4. 72 72.. Èçîáðàçèòå êðóã ñ ðàäèóñîì 3 ñì è îòìåòüòå òðè òî÷êè, ëåæàùèå: 1) âíóòðè êðóãà; 2) âíå êðóãà; 3) íà îêðóæíîñòè; 4) íà åãî äèàìåòðå. аз ов ан ия 4. 73 73.. Èçîáðàçèòå êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è äèàìåòðîì, ðàâíûì 12 ñì. Îòìåòüòå òî÷êè À, Â, Ñ, D, Å òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ: ÎÀ = 5 ñì, Π= 7 ñì, ÎÑ = 6 ñì, OD = 12 ñì, ÎÅ = 60 ìì. то бр 4. 74 74.. Íàéäèòå äèàìåòð êðóãà, åñëè åãî ðàäèóñ ðàâåí: 1) 4 äì; 2) 19 ñì; 3) 2 ì 99 ñì; 4) 6 äì 5 ñì. ст и ту 4. 75 75.. Íàéäèòå ðàäèóñ êðóãà, åñëè åãî äèàìåòð ðàâåí: 1) 13 äì; 2) 24 ñì; 3) 1 ì 32 ñì; 4) 15 äì 4 ñì. ль ны й ин 4. 76 76.. * Ïîñòðîéòå äâà êðóãà òàê, ÷òîáû ðàäèóñ îäíîãî êðóãà áûë ðàâåí 6 ñì è ðàâåí äèàìåòðó äðóãîãî êðóãà, à ýòè êðóãè èìåëè òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äàííûõ êðóãîâ. на 4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì На ц ио Îäíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî íå âñåãäà äåëèòñÿ íà äðóãîå. Áóäåì äåëèòü, íàïðèìåð, 47 íà 6: 47 6 42 7 5 Çíà÷èò, 47 íå äåëèòñÿ íà 6.  ÷èñëå 47 ñîäåðæèòñÿ 7 ðàç ïî 6 è åùå 5. Èìååì: 47 = 6 . 7 + 5, − ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàçäåëèëè 47 íà 6 ñ îñòàòêîì 5. 172 Правообладатель Национальный институт образования 4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì ия ×èñëî 47 íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, ÷èñëî 6 — äåëèòåëåì, ÷èñëî 7 — ÷àñòíûì (ãîâîðÿò åùå íåïîëíûì ÷àñòíûì), à ÷èñëî 5 — îñòàòêîì ïðè äåëåíèè 47 íà 6. Çàìåòèì, ÷òî ан îñòàòîê ìåíüøå äåëèòåëÿ. 47 = 6 . 7 (îñò. 5). аз ов Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ 47 íà 6 ìîæíî çàïèñàòü è òàê: ту то бр Ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì íàòóðàëüíîå ÷èñëî à íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî b — ýòî çíà÷èò íàéòè òàêèå ÷èñëà ñ è r, ÷òîáû äëÿ íèõ áûëî âåðíî ðàâåíñòâî ст и a = b ⋅ c + r, ãäå r < b. ль ны й ин Åñëè îäíî ÷èñëî äåëèòñÿ íà äðóãîå, òî ìû åùå ãîâîðèì, ÷òî «îíî äåëèòñÿ ñ îñòàòêîì, ðàâíûì íóëþ», èëè «äåëèòñÿ áåç îñòàòêà», èëè «äåëèòñÿ íàöåëî». ио на Ïð èìåð 1. Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì çàïèñàëè â Ïðèìåð âèäå ðàâåíñòâà 17 = 23 . ñ + r. Îïðåäåëèòü ÷èñëà ñ è r. На ц Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ñ = 0 (ïîÿñíèòå ïî÷åìó), òî r = 17. Îòâåò: ñ = 0; r = 17. Ïð èìåð 2. Ðàçäåëèòü 78 ñ îñòàòêîì íà: Ïðèìåð à) 38; á) 39; â) 81. Ðåøåíèå. à) 78 = 38 . 2 (îñò. 2); á) 78 = 39 . 2 (îñò. 0); â) 78 = 81 . 0 (îñò. 78). Правообладатель Национальный институт образования 173 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà 10 ðàâåí ïîñëåäíåé öèôðå ýòîãî ÷èñëà. ин ст и ту то бр аз ов ан ия Êðîìå òîãî, ïî ïîñëåäíåé öèôðå ÷èñëà ìîæíî ñóäèòü î åãî äåëèìîñòè íà 2, íà 5, íà 10. À ïî÷åìó? Ðàçîáðàòüñÿ ñ ýòèì ïîìîæåò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Íàïðèìåð, ðàçäåëèâ ÷èñëî 9735 ñ îñòàòêîì íà 10, ïîëó÷èì: 9735 = 973 . 10 + 5.  ïðàâîé ÷àñòè ÷èñëî 973 . 10 — ïåðâîå ñëàãàåìîå ñóììû äåëèòñÿ è íà 2, è íà 5, è íà 10. À âòîðîå ñëàãàåìîå, ðàâíîå 5, — ýòî îñòàòîê îò äåëåíèÿ 9735 íà 10. Âòîðîå ñëàãàåìîå íå äåëèòñÿ íà 2 (íà 10), ïîýòîìó è ñóììà íå äåëèòñÿ íà 2 (íà 10). Âòîðîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà 5, ïîýòîìó è ñóììà äåëèòñÿ íà 5. ль ны й Âîïðîñû На ц ио на 1. ×òî çíà÷èò: ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì ÷èñëî à íà ÷èñëî b? 2. Êàê ìîæíî çàïèñàòü ðåçóëüòàò äåëåíèÿ 79 íà 12 ñ îñòàòêîì? Óêàæèòå â ïîëó÷åííîé çàïèñè: äåëèìîå, äåëèòåëü, ÷àñòíîå (íåïîëíîå ÷àñòíîå), îñòàòîê. 3. Ìîæåò ëè ïðè äåëåíèè îñòàòîê áûòü: à) áîëüøå äåëèòåëÿ; á) ðàâåí äåëèòåëþ; â) ðàâåí äåëèìîìó; ã) ìåíüøå ÷àñòíîãî; ä) ðàâåí ÷àñòíîìó; å) áîëüøå ÷àñòíîãî? 4.* Îò ÷åãî çàâèñèò äåëèìîñòü ÷èñëà: à) íà 2; á) íà 5; â) íà 10? Óïðàæíåíèÿ 4. 77 77..° Ìîæåò ëè (ïîÿñíèòå ïî÷åìó) ïðè äåëåíèè ÷èñåë íà 7 ïîëó÷èòüñÿ îñòàòîê: 1) 1; 2) 0; 3) 7; 4) 6; 5) 9; 6) 3? 174 Правообладатель Национальный институт образования 4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì ия 4.78 78.. Ñêîëüêî îñòàòêîâ (íàçîâèòå èõ) ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ ïðè äåëåíèè ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà: 1) 4; 2) 8; 3) 5; 4) 14; 5) 32; 6) 50? аз ов ан 4.79 79..° Êàêèå îñòàòêè ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 6; 5) 11; 6) 16? ст и ту то бр 4.80 80..° Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 2 ÷èñëà: 1) 49; 2) 71; 3) 194; 4) 398; 5) 38 787; 6) 890 105. ль ны й ин 4.81 81..° Ðàçäåëèòå ñ îñòàòêîì: 1) 55 íà 9; 2) 29 íà 4; 3) 1593 íà 18; 4) 3491 íà 20; 5) 798 íà 987; 6) 495 íà 549. ио на 4.82 82.. Íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 10 ÷èñëà: 1) 990; 2) 2763; 3) 60 109; 4) 1 000 008. На ц 4.83 83.. Íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 5 ÷èñëà: 1) 8; 2) 26; 3) 4601; 4) 43 827. 5) 6785; 6) 27 830. 4.84 84.. Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, îïðåäåëèòå, êàêèå îñòàòêè ïîëó÷àþòñÿ ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3598, 73 704, 58 165, 149 356 íà: 1) 2; 2) 5; 3) 10. Правообладатель Национальный институт образования 175 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 4. 85 85.. Ðàçäåëèòå ñ îñòàòêîì è ñäåëàéòå ïðîâåðêó: 1) 47 534 íà 23; 2) 48 245 íà 46; 3) 136 017 íà 214; 4) 257 250 íà 315. аз ов ан ия 4. 86 86.. Ïðîâåðüòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî, è íàçîâèòå äåëèìîå, äåëèòåëü, ÷àñòíîå è îñòàòîê: 1) 9566 = 326 . 29 + 25; 2) 2446 = 147 . 16 + 94; . 3) 6419 = 493 13 + 10; 4) 224 = 325 . 0 + 224. 61 35 42 Äåëèòåëü 14 k 8 ×àñòíîå p 3 Îñòàòîê 5 2 43 ту Äåëèìîå то бр 4. 87 87.. Èñïîëüçóÿ òàáëèöó, çàïèøèòå â âèäå ðàâåíñòâà ñâÿçü ìåæäó äåëèìûì, äåëèòåëåì, ÷àñòíûì è îñòàòêîì. Óêàæèòå çíà÷åíèÿ p, k, q, l, s, m, d, n. ст и 7 s 125 d 140 5 25 12 n l 11 5 3 5 q 1 3 m 7 15 ин 5 ио на ль ны й 4. 88 88.. Íàéäèòå íàèìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì: 1) íà 2 äàåò â îñòàòêå 1; 2) íà 3 äàåò â îñòàòêå 2; 3) íà 25 äàåò â îñòàòêå 13; 4) íà 15 äàåò â îñòàòêå 14. На ц 4. 89 89.. Íàéäèòå òðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì íà 8 äàþò â îñòàòêå ÷èñëî: 1) 1; 2) 2; 3) 5; 4) 7. 4. 90 90.. * Íàéäèòå íàèìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì: 1) íà 2 è íà 3 äàåò îñòàòîê 1; 2) íà 5 è íà 8 äàåò îñòàòîê 4; 3) íà 4 è íà 12 äàåò îñòàòîê 1; 4) íà 3, íà 4 è íà 5 äàåò îñòàòîê 2. 176 Правообладатель Национальный институт образования 4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì ия 4.91 91.. Ñðåäè ÷èñåë 15, 40, 145, 560, 712, 855, 889, 990, 1001, 1540 óêàæèòå ÷èñëà, êîòîðûå: 1) äåëÿòñÿ íà 2; 2) äåëÿòñÿ íà 5; 3) äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 5. аз ов ан 4.92 92.. Çàïèøèòå òðåõçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 5, è ïÿòèçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå äåëÿùååñÿ íà 5. Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà è ðàçíîñòü ýòèõ ÷èñåë íå äåëÿòñÿ íà 5? ту то бр 4.93 93.. Çàïèøèòå ïÿòèçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàòíîå 5, è äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êðàòíîå 10. Âåðíî ëè, ÷òî èõ ñóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå äåëÿòñÿ íà 2 è íà 5? ль ны й ин ст и 4.94 94.. Êàêîé îñòàòîê ïîëó÷èòñÿ ïðè äåëåíèè ñóììû äâóõ ÷èñåë íà 5, åñëè: 1) ïåðâîå ñëàãàåìîå êðàòíî 5, âòîðîå äåëèòñÿ íà 5 ñ îñòàòêîì 3; 2) ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðè äåëåíèè íà 5 äàåò îñòàòîê 1, âòîðîå — 2? на 4.95 95.. Êàêèì áóäåò îñòàòîê ïðè äåëåíèè ñóììû äâóõ ÷èñåë íà 10, åñëè èçâåñòíû îñòàòêè ïðè äåëåíèè ñëàãàåìûõ íà 10 (ñì. òàáëèöó)? ио Íîìåð çàäàíèÿ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Îñòàòêè ïðè äåëåíèè ïåð1 âîãî ñëàãàåìîãî íà 10 2 3 4 5 6 7 8 9 5 7 3 6 Îñòàòêè ïðè äåëåíèè âòî3 ðîãî ñëàãàåìîãî íà 10 4 6 1 7 9 2 3 8 6 9 5 2 На ц 1 Правообладатель Национальный институт образования 177 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 4. 96 96.. Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 ñóììà: 1) 30 + 45; 2) 84 + 90; 3) 29 810 + 5360; 4) 7400 + 3012? аз ов ан ия 4. 97 97.. Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 ïðîèçâåäåíèå: 1) 7219 . 4000; 2) 3749 . 1001; . 3) 38 200 55; 4) 740 235 . 102? то бр 4.98 98.. Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 32 . 10 + 6; 2) 49 . 100 + 25; 3) 649 . 1000 + 80; 4) 168 . 10 + 71? ль ны й ин ст и ту 4. 99 99.. ×èñëî m êðàòíî 2. Êàêèå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 10 ìîæåò äàòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) m + 12; 2) m − 3; . 3) 5 m; 4) 5 . m + 9; 5) 10 . m − 6; 6) m . 100 − 42? ио на 4. 100 100..* ×èñëî à êðàòíî 5. Êàêèå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 10 ìîæåò äàòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) à + 8; 2) à − 4; 3) à + 15; 4) 2 . à; 5) 2 . à + 4; 6) 4 . à − 1? На ц 4.101 101.. Ñ êîðàáëÿ íà áåðåã íàäî îäíîâðåìåííî ïåðåâåçòè 129 ïàññàæèðîâ. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî 12-ìåñòíûõ ëîäîê ïîòðåáóåòñÿ äëÿ ýòîãî? 4.102 102.. Ñêîëüêî íàäî 3-ëèòðîâûõ áàíîê, ÷òîáû ïåðåëèòü â íèõ ìîëîêî èç 10-ëèòðîâîãî âåäðà? 4. 103 103..  ÿùèê ïîìåùàåòñÿ 20 êã ÿáëîê. Ñêîëüêî ÿùèêîâ íàäî ïîäãîòîâèòü, ÷òîáû óëîæèòü íà õðàíåíèå 250 êã ÿáëîê? 178 Правообладатель Национальный институт образования 4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3 4.104 104.. à)  êóïåéíîì âàãîíå 36 ìåñò, â êàæäîì êóïå 4 ìåñòà.  êàêîì êóïå íàõîäèòñÿ ïàññàæèðñêîå ìåñòî: 1) ¹ 8; 2) ¹ 15; 3) ¹ 25; 4) ¹ 31? ан ия á) Êàêèå åùå íîìåðà ìåñò ðàñïîëîæåíû â êóïå, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ìåñòî: 1) ¹ 23; 2) ¹ 10; 3) ¹ 30; 4) ¹ 27? то бр аз ов 4.105 105.. Íà êàæäîì ýòàæå äåâÿòèýòàæíîãî äîìà íàõîäèòñÿ 4 êâàðòèðû.  êàêîì ïîäúåçäå è íà êàêîì ýòàæå íàõîäèòñÿ êâàðòèðà: 1) ¹ 128; 2) ¹ 215; 3) ¹ 302; 4) ¹ 337? ст и ту 4.106 106.. * Óêàæèòå îáùèé âèä âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â îñòàòêå: à) 0; á) 1; â) 2. ин 4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3 На ц ио на ль ны й Ìû çíàåì, ÷òî äåëèìîñòü ÷èñëà íà 2, íà 5 è íà 10 çàâèñèò òîëüêî îò åãî ïîñëåäíåé öèôðû. À âîò ñóäèòü ïî ïîñëåäíåé öèôðå, äåëèòñÿ ëè ÷èñëî íà 9 èëè íà 3, íåëüçÿ. Íàïðèìåð, è ÷èñëî 18, è ÷èñëî 28 îêàí÷èâàþòñÿ öèôðîé 8. Ïåðâîå èç íèõ äåëèòñÿ íà 9, à âòîðîå íå äåëèòñÿ. Óêàæåì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9: åñëè ñóììà öèôð 1) ÷èñëà äåëèòñÿ íà 9, òî è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 9 íå äåëÿòñÿ. ________ 1) Äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóëèðîâîê äîãîâàðèâàþòñÿ ñóììîé öèôð íàçûâàòü ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë. Правообладатель Национальный институт образования 179 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë аз ов ан ия Íàïðèìåð, ñóììà öèôð ÷èñëà 3267 = 3 + 2 + 6 + 7 = 18, îíà äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è ÷èñëî 3267 äåëèòñÿ íà 9. Ñóììà öèôð ÷èñëà 3266 ðàâíà 17, îíà íå äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è ñàìî ÷èñëî 3266 íå äåëèòñÿ íà 9. Ïîÿñíèì, ïî÷åìó äåëèìîñòü ÷èñëà íà 9 çàâèñèò îò ñóììû åãî öèôð. ×èñëî 3267 ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû åãî ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ (ñì. ï. 1.4) è ïðåîáðàçóåì åå: то бр 3267 = 3 . 1000 + 2 . 100 + 6 . 10 + 7 = = 3 . (999 + 1) + 2 . (99 + 1) + 6 . (9 + 1) + 7 = = (3 . 999 + 2 . 99 + 6 . 9) + (3 + 2 + 6 + 7). ин ст и ту Ñóììà â ïåðâûõ ñêîáêàõ òðåòüåé ñòðîêè äåëèòñÿ íà 9, òàê êàê êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà 9. È ñóììà âî âòîðûõ ñêîáêàõ (ýòî ñóììà öèôð äàííîãî ÷èñëà) òàêæå äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è äàííîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9. ль ны й Óêàæåì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3: на åñëè ñóììà öèôð ÷èñëà äåëèòñÿ íà 3, òî è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 3 íå äåëÿòñÿ. На ц ио Íàïðèìåð, ñóììà öèôð ÷èñëà 3216 ðàâíà 12, îíà äåëèòñÿ íà 3. Ïîýòîìó è ÷èñëî 3216 äåëèòñÿ íà 3. Ñóììà öèôð ÷èñëà 3214 ðàâíà 10, îíà íå äåëèòñÿ íà 3. Ïîýòîìó è ñàìî ÷èñëî 3214 íå äåëèòñÿ íà 3. Ïîÿñíåíèå ïðèçíàêà äåëèìîñòè íà 3 àíàëîãè÷íî ïîÿñíåíèþ ïðèçíàêà äåëèìîñòè íà 9. Âîïðîñû 1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9. 2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3. 180 Правообладатель Национальный институт образования 4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3 Óïðàæíåíèÿ ан ия 4.107 107..° Ñðåäè ÷èñåë 15, 18, 30, 90, 126, 417, 585, 9990, 30 335 íàéäèòå ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9; 3) íà 2 è íà 3; 4) íà 5 è íà 9. то бр аз ов 4.108 108..° Ñðåäè ÷èñåë 3756, 64 953, 17 193, 5 558 247, 10 010 001, 303 003 009 íàéäèòå òå, êîòîðûå äåëÿòñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9; 3) íà 3, íî íå äåëÿòñÿ íà 9. ст и ту 4.109 109.. Âåðíî ëè (îòâåò îáúÿñíèòå), ÷òî åñëè ÷èñëî: 1) äåëèòñÿ íà 3, òî îíî äåëèòñÿ è íà 9; 2) äåëèòñÿ íà 9, òî îíî äåëèòñÿ è íà 3? ль ны й ин 4.110 10.. Âåðíî ëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 3, äåëèòñÿ íà 9? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû. ио на 4.111 . Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíèòü ñèìâîë ☺ â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî, êðàòíîå: à) 3; á) 9, åñëè: 1) n = 1☺3; 2) n = 89☺; 3) n = 5☺61; 4) n = 47☺2? На ц 4.112 12.. Íàéäèòå ñóììó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ: à) íà 3; á) íà 9 è ðàñïîëîæåíû â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè: 1) 1 è 12; 2) 17 è 23; 3) 56 è 72; 4) 199 è 210. 4.113 13..° Íàéäèòå ñóììó âñåõ äâóçíà÷íûõ ÷èñåë áîëüøèõ 60 è ìåíüøèõ 86: 1) êðàòíûõ ÷èñëó 9; 2) êðàòíûõ ÷èñëó 3. Правообладатель Национальный институт образования 181 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 4. 114 14.. Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå îáà: 1) äåëÿòñÿ íà 3; 2) êðàòíû ÷èñëó 9. аз ов ан ия 4. 115 15.. Äåëèòñÿ ëè íà 3 è äåëèòñÿ ëè íà 9 çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 828 + 315; 2) 273 . 411; 3) 1125 − 105; 4) 102 : 17? то бр 4. 116 16.. * Âåðíî ëè (ïðèâåäèòå ïðèìåðû), ÷òî: ст и ту 1) ñóììà òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 3; 2) ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êðàòíî ÷èñëó 3? ин 4. 117 17.. Äåëÿòñÿ ëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà 63 366 933 039, 993 693 330 093, 333 333 333, 6 666 600 333 íà: 2) 9? ль ны й 1) 3; ио на 4.1 18. 1) Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëà 444 444, 777 777 777 777 4.118. êðàòíû ÷èñëó 3? 2) Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëà 111 111 111, 888 888 888, 9 999 999, 666 666 666 666 êðàòíû ÷èñëó 9? На ц 4. 119 19.. Óêàæèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå äåëèòñÿ: à) íà 3; á) íà 9, èñïîëüçóÿ â åãî çàïèñè òîëüêî öèôðó: 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 6. 4. 120 120.. Âàäèì è Àëåøà çàïèñàëè îäíî è òî æå ÷èñëî. Âàäèì óìíîæèë ÷èñëî íà 3 è ïîëó÷èë 8721. Àëåøà óìíîæèë ýòî ÷èñëî íà 9. Êàêîå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷èë Àëåøà? 182 Правообладатель Национальный институт образования 4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3 4.121 121.. Çàïèøèòå îñòàòêè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà: 1) 3; 2) 9; 3) 6; 4) 12. 1 2 Îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 3 âòîðîãî ñëàãàåìîãî 1 1 0 2 2 аз ов 0 1 2 0 0 то бр Îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 3 ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ан ия 4.122 122..* Äåëèòñÿ ëè íà 3 ñóììà äâóõ ÷èñåë, åñëè èçâåñòíû èõ îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3 (ñì. òàáëèöó)? ст и ту 4.123 123.. Êàêèìè äîëæíû áûòü îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 9 êàæäîãî ñëàãàåìîãî ñóììû äâóõ ÷èñåë, ÷òîáû îíà áûëà êðàòíà ÷èñëó 9? ль ны й ин 4.124 124.. 1) Çàïèøèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 3 è çàêëþ÷åííûå ìåæäó ÷èñëàìè 420 è 456. 2) Ïîä÷åðêíèòå òå èç âûïèñàííûõ ÷èñåë, êîòîðûå êðàòíû ÷èñëó 6. 3) Äåëÿòñÿ ëè ïîä÷åðêíóòûå ÷èñëà íà 2? 4) Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà 6. На ц ио на 4.125 125.. Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíèòü ñèìâîë ☺ â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî, êðàòíîå ÷èñëó 6, åñëè: 1) n = 978☺; 2) n = 500☺; 3) n = 811☺; 4) n = 964☺? 4.126 126.. 1) Çàïèøèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 3 è çàêëþ÷åííûå ìåæäó ÷èñëàìè 732 è 768. 2) Ïîä÷åðêíèòå òå èç âûïèñàííûõ ÷èñåë, êîòîðûå êðàòíû ÷èñëó 5. 3)* Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà 15. Правообладатель Национальный институт образования 183 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ия 4. 127 127.. * Êàêîé öèôðîé ìîæíî çàìåíÿòü ñèìâîë ☺ â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü (åñëè ýòî âîçìîæíî) ÷èñëî, êðàòíîå ÷èñëó 15, åñëè: 1) n = 3☺3☺; 2) n = 5☺5; 3) n = 23☺☺; 4) n = ☺99☺? аз ов ан 4. 128 128.. Âåðíî ëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà, êðàòíîãî ÷èñëó 3, è ÷èñëà, êðàòíîãî ÷èñëó 4, äåëèòñÿ íà 12? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû. ст и ту то бр 4. 129 129.. * Ìîæíî ëè ïðèäóìàòü òàêîé ïðèìåð íà äåëåíèå ñ îñòàòêîì, ÷òîáû äåëèìîå îêàí÷èâàëîñü íà 9, äåëèòåëü — íà 1, ÷àñòíîå — íà 7, à îñòàòîê îêàí÷èâàëñÿ íà 3? ин 4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êóá На ц ио на ль ны й Ïðåäñòàâëåíèå î ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå äàþò, íàïðèìåð, ñïè÷å÷íûé êîðîáîê, êèðïè÷ è äð. (ðèñ. 132). Ïîâåðõíîñòü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñîñòîèò èç 6 ãðàíåé, êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì (ðèñ. 133). Ñòîðîíû ýòèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ íàçûâàþòñÿ ðåáðàìè, à âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêîâ — âåðøèíàìè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 12 ðåáåð è 8 âåðøèí (ñì. ðèñ. 133). Ðèñ. 132 184 Правообладатель Национальный институт образования 4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåïèïåä. Êóá верхняя грань B вершина C A боковая грань ия D K нижняя грань L Ðèñ. 134 то бр Ðèñ. 133 аз ов E ан ребро F Ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíû. На ц ио на ль ны й ин ст и ту Íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþò åãî îñíîâàíèÿìè, îñòàëüíûå ãðàíè — áîêîâûìè ãðàíÿìè (ðèñ. 134). Íàçâàíèÿ «íèæíÿÿ ãðàíü», «âåðõíÿÿ ãðàíü», «áîêîâàÿ ãðàíü» óñëîâíû. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêàõ 135 è 136 èçîáðàæåí îäèí è òîò æå ïàðàëëåëåïèïåä, à åãî âåðõíèå ãðàíè íà ýòèõ ðèñóíêàõ ðàçëè÷íû. Òðè ðåáðà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòîðûå èìåþò îáùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðåíèÿìè: äëèíîé, øèðèíîé è âûñîòîé. Íàçâàíèÿ «äëèíà», «øèðèíà», «âûñîòà» óñëîâíû. Òàê, íà ðèñóíêàõ 135 è 136 èçîáðàæåí îäèí è òîò æå ïðÿìî- Ðèñ. 135 Ðèñ. 136 Правообладатель Национальный институт образования 185 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N K M P B AM = AB = AD A ия C ан D Ðèñ. 137 аз ов óãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, à åãî âûñîòîé, íàïðèìåð, íàçâàíû ðàçíûå ðåáðà. то бр Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî âñå ðåáðà ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êóáîì (ðèñ. 137). ту Âîïðîñû На ц ио на ль ны й ин ст и 1. Êàêèå ïðåäìåòû, èìåþùèå ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, âû ìîæåòå íàçâàòü? 2. Êàêóþ ôîðìó èìåþò ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà? 3. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ðåáðîì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà; á) âåðøèíîé ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà? 4. Ñêîëüêî ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà: à) ãðàíåé; á) ðåáåð; â) âåðøèí? 5. ×òî òàêîå èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà? 6. Êàê íàçûâàþòñÿ èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà? 7. ×òî òàêîå êóá? Óïðàæíåíèÿ 4. 130 130.. ° Èñïîëüçóÿ èçîáðàæåíèÿ êóáà (ñì. ðèñ. 137) è ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 138), íàçîâèòå: 1) âåðøèíû, ÷èñëî âåðøèí; 2) ðåáðà, ÷èñëî ðåáåð, ðàâíûå ðåáðà; 3) ãðàíè, ÷èñëî ãðàíåé, ðàâíûå ãðàíè. 186 Правообладатель Национальный институт образования 4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåïèïåä. Êóá L K F E R S T ия P ан Ðèñ. 138 то бр аз ов 4.131 131.. ° Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè åãî èçìåðåíèÿ ðàâíû: 1) 9 ñì, 4 ñì, 15 ñì; 2) 25 ñì, 11 ñì, 8 ñì; 3) 3 ñì 2 ìì, 5 ñì 8 ìì, 1 äì; 4) 3 äì 5 ñì, 4 äì 9 ñì, 45 ìì. ин ст и ту 4.132 132..° Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð êóáà â ñàíòèìåòðàõ, åñëè åãî ðåáðî ðàâíî: 1) 12 ñì; 2) 17 äì; 3) 150 ìì; 4) 2 ì 3 ñì. ль ны й 4.133 133.. Äëèíà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà 24 ñì, øèðèíà â 6 ðàç ìåíüøå äëèíû, à âûñîòà íà 5 ñì áîëüøå øèðèíû. Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð ïàðàëëåëåïèïåäà. На ц ио на 4.134 134.. Íàéäèòå ñóììó ïëîùàäåé âñåõ ãðàíåé êóáà, åñëè ñóììà âñåõ åãî ðåáåð ðàâíà: 1) 60 ñì; 2) 108 äì; 3) 144 ì; 4) 252 ì. 4.135 135.. Ñêîëüêî êâàäðàòíûõ äåöèìåòðîâ êàðòîíà ïîòðåáóåòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ïîäàðî÷íîé êîðîáêè, äëèíà êîòîðîé 30 ñì, øèðèíà 40 ñì, âûñîòà 20 ñì? 4.136.* Èç êàæäîé áóìàæíîé ðàçâåðòêè (ðèñ. 139, 140) èçãîòîâèëè ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êàêèå îòðåçêè, îáîçíà÷åííûå íà ðàçâåðòêå, ïðè ýòîì ñîâïàëè? Правообладатель Национальный институт образования 187 аз ов ан ия à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ðèñ. 139 Ðèñ. 140 ст и ту то бр 4. 137.* Ñóììà äëèí òðåõ èçìåðåíèé ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà 72 ñì. Ñóììà äëèíû è âûñîòû ðàâíà 50 ñì, à øèðèíû è âûñîòû — 40 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäà, ò. å. ñóììó ïëîùàäåé âñåõ åãî ãðàíåé. ин 4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà На ц ио на ль ны й ×òîáû èçìåðèòü îáúåì, íàäî âûáðàòü åäèíèöó èçìåðåíèÿ îáúåìîâ. Êóá, ðåáðî êîòîðîãî ðàâíî åäèíèöå èçìåðåíèÿ äëèíû, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì. Îáúåì åäèíè÷íîãî êóáà ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ îáúåìîâ. Íàïðèìåð: îáúåì êóáà ñ ðåáðîì 1 ì ðàâåí îäíîìó êóáè÷åñêîìó ìåòðó (ïèøåì: 1 êóá. ì èëè 1 ì3); îáúåì êóáà ñ ðåáðîì 1 ñì ðàâåí îäíîìó êóáè÷åñêîìó ñàíòèìåòðó (ïèøåì: 1 êóá. ñì èëè 1 ñì3). Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî íàçâàíèå åäèíèöû îáúåìà ïîëó÷àåòñÿ èç íàçâàíèÿ åäèíèöû äëèíû ïðèñîåäèíåíèåì ïðèëàãàòåëüíîãî «êóáè÷åñêèé». Åñëè ôèãóðó ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êóáû, òî îáúåì ôèãóðû ðàâåí ÷èñëó ñîñòàâëÿþùèõ åå åäèíè÷íûõ êóáîâ. 188 Правообладатель Национальный институт образования 4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà то бр аз ов ан ия 5 Ïðîùå âñåãî èçìåðèòü îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå3 ëåïèïåäà. Íàïðèìåð, íà ðè- 1 ñóíêå 141 èçîáðàæåíû åäè- 1 4 1 íè÷íûé êóá è ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, äëèíà Ðèñ. 141 êîòîðîãî ðàâíà 5 ñì, øèðèíà — 4 ñì è âûñîòà — 3 ñì. Åãî ìîæíî ðàçáèòü íà 3 ñëîÿ, â êàæäîì ñëîå — 5 . 4 åäèíè÷íûõ êóáîâ. Âñåãî òàêèõ êóáîâ (5 . 4) . 3 = 60. Çíà÷èò, îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V = 5 . 4 . 3 = 60 (ñì3). ин ст и ту Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ åãî èçìåðåíèé, ò. å. ïðîèçâåäåíèþ äëèíû, øèðèíû è âûñîòû. ль ны й Èòàê, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà a, b è c åäèíèö äëèíû, à åãî îáúåì V, òî: V=a.b.c V=S.c На ц ио на Åñëè S — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, òî S = a . b. Ñëåäîâàòåëüíî, Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ è âûñîòû. Êîãäà ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ÿâëÿåòñÿ êóáîì ñ ðåáðîì à, òî a = b = c è V = a3 (Èìåííî ïîýòîìó à3 ÷èòàåòñÿ «à êóá» èëè «à â êóáå».) Правообладатель Национальный институт образования 189 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ðàâåíñòâî V = a3 äàåò âîçìîæíîñòü âûðàæàòü îäíè åäèíèöû îáúåìà ÷åðåç äðóãèå. Íàïðèìåð: 1 ì3 = 1 ì . 1 ì . 1 ì = 100 ñì . 100 ñì . 100 ñì = = 1003 ñì3 = 1 000 000 ñì3; ан ия 1 êì3 = 1 êì . 1 êì . 1 êì = 1000 ì . 1000 ì . 1000 ì = = 10003 ì3 = 1 000 000 000 ì3. то бр аз ов Åäèíèöà îáúåìà 1 äì3 èìååò åùå è äðóãîå íàçâàíèå — ëèòð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 ë). Ëèòð èñïîëüçóåòñÿ, íàïðèìåð, äëÿ èçìåðåíèÿ îáúåìà æèäêîñòåé. Âîïðîñû ль ны й ин ст и ту 1. ×òî òàêîå åäèíè÷íûé êóá? 2. ×òî ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ îáúåìîâ? 3. ×åìó ðàâåí îáúåì ôèãóðû, êîòîðóþ ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êóáû? 4. ×åìó ðàâåí îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà? êóáà? Óïðàæíåíèÿ На ц ио на 4.138 138..° Ïðîçðà÷íóþ êîðîáêó çàïîëíÿþò êóáèêàìè ñ ðåáðîì, ðàâíûì 1 ñì (ðèñ. 142). Ñêîëüêî êóáèêîâ âîéäåò â êîðîáêó? Îïðåäåëèòå îáúåì êîðîáêè. Ðèñ. 142 190 Правообладатель Национальный институт образования 4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà аз ов ан ия 4.139 139..° Íàéäèòå îáúåì êîðîáêè, èìåþùåé ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 143). Ðèñ. 143 б) 9 дм ин Песок ст и ту а) то бр 4.140 140.. ° Âû÷èñëèòå îáúåì ÿùèêà è êîðîáêè, èìåþùèõ ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 144). 12 дм ль ны й 6 дм Торт 15 cм 30 cм 40 cм Ðèñ. 144 На ц ио на 4.141 141..° Íàéäèòå îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè åãî èçìåðåíèÿ ðàâíû: 1) 4 ñì, 6 ñì, 8 ñì; 2) 3 äì, 5 äì, 10 äì; 3) 6 ñì 2 ìì, 6 äì 2 ñì, 6 ì 2 äì; 4) 1 äì 2 ñì, 3 äì 8 ñì, 1 ì 5 ñì. 4.142 142..° Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè åãî ðåáðî ðàâíî: 1) 2 ì; 2) 4 äì; 3) 5 ñì 4 ìì; 4) 1 ì 1 äì. 4.143 143.. Âûðàçèòå â êóáè÷åñêèõ äåöèìåòðàõ: 2) 14 ì3, 7 ì3, 13 ì3. 1) 1 ì3, 6 ì3, 45 ì3; Правообладатель Национальный институт образования 191 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан ия 4. 144 144..° Ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êóáîâ îáúåìîì 1 ñì3 íóæíî âçÿòü, ÷òîáû ïîñòðîèòü èç íèõ ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ñ èçìåðåíèÿìè: 1) 1 ñì, 3 ñì, 8 ñì; 2) 5 ñì, 4 ñì, 1 äì; 3) 1 äì, 2 äì, 5 ñì; 4) 7 ñì, 6 ñì, 1 äì 5 ñì; 5) 2 ì, 3 äì, 40 ñì; 6) 30 ñì, 1 ì 21 ñì, 7 äì? то бр аз ов 4. 145 145.. Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êóáîâ îáúåìîì 1 ñì3 ìîæíî ðàçáèòü êóá ñ ðåáðîì: 1) 3 ñì; 2) 10 ñì; 3) 2 äì; 4) 5 äì 2 ñì? ль ны й ин ст и ту 4. 146 146..  êàêóþ èç äâóõ êîðîáîê, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 145, ïîìåñòèòñÿ áîëüøå êóáèêîâ ñ ðåáðîì, ðàâíûì 6 ñì, è íà ñêîëüêî áîëüøå? 30 см 18 см 18 см 24 см 36 см 54 см Ðèñ. 145 На ц ио на 4. 147 147.. Ñðàâíèòå: 1) 90 ìì3 è 9 ñì3; 2) 500 ñì3 è 5 äì3; 3) 80 000 äì3 è 8 ì3; 4) 2000 ñì3 è 2 ì3; 5) 40 000 ìì3 è 4 äì3; 6) 1 ì3 25 äì3 è 1 250 000 ñì3. 4. 148 148.. Íàéäèòå îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè åãî âûñîòà 12 ñì è ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ðàâíà: 2) 98 ñì2; 1) 14 ñì2; 2 3) 3 ì ; 4) 12 äì2. 192 Правообладатель Национальный институт образования 4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà 4.149 149.. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 3024 äì3. Íàéäèòå ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ, åñëè âûñîòà ðàâíà: 2) 7 äì; 4) 1200 ìì. ия 1) 18 äì; 3) 140 ñì; 2) 9 äì; 4) 10 ìì. аз ов 1) 7 ñì; 3) 4 ì; ан 4.150 150.. Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè äëèíà åãî ðåáðà ðàâíà: то бр 4.151 151.. Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè ïëîùàäü åãî íèæíåé ãðàíè ðàâíà: 2) 64 äì2; 4) 10 000 ìì2. ст и ту 1) 25 ñì2; 3) 121 ì2; ль ны й 1) V = 2 ñì3; 3) V = 4 ñì3; ин 4.152 152.. Êàêèå èçìåðåíèÿ ìîæåò èìåòü ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä îáúåìîì V, åñëè êàæäîå åãî èçìåðåíèå âûðàæåíî íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ è: 2) V = 3 ñì 3; 4) V = 30 ñì3? на 4.153 153.. Ñóùåñòâóåò ëè êóá, äëèíà ðåáðà êîòîðîãî âûðàæåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, à îáúåì ðàâåí: 2) 1000 ìì3; 4) 64 ì3? На ц ио 1) 4 ñì3; 3) 100 äì3; 4.154 154.. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 8 äì3. Íàéäèòå èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè âñå îíè âûðàæåíû ðàçëè÷íûìè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. 4.155 155.. Äëèíà àêâàðèóìà 90 ñì, øèðèíà 40 ñì, âûñîòà 60 ñì. Ñêîëüêî ëèòðîâ âîäû ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû íàïîëíèòü àêâàðèóì? Правообладатель Национальный институт образования 193 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë аз ов ан ия 4. 156 156.. * Âîäó èç ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîãî àêâàðèóìà, èìåþùåãî ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, ïåðåëèëè â àêâàðèóì â ôîðìå êóáà. Êàêèì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ âûðàæåíà äëèíà ðåáðà ýòîãî êóáà, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî àêâàðèóìà ðàâíû: 1) 10 ñì, 40 ñì, 20 ñì; 2) 25 ñì, 60 ñì, 18 ñì? а) б) то бр 4. 157 157.. * Ïî äàííûì íà ðèñóíêå 146 âû÷èñëèòå îáúåì ôèãóðû. 3 см 3 дм ин 5 дм 2 дм ст и 1дм 12 ту см 18 см 48 см 8 дм ль ны й 4 дм 27 см Ðèñ. 146 на 4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå км . Êàêîå ðàñч На ц ио Ïð èìåð 1. Ïîåçä èäåò ñî ñêîðîñòüþ 67 Ïðèìåð ñòîÿíèå îí ïðîéäåò çà 5 ÷? Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü ïîåçäà ÷èñëåííî ðàâíà ðàññòîÿíèþ, êîòîðîå îí ïðîõîäèò çà åäèíèöó âðåìåíè. À ïî óñëîâèþ çàäà÷è çà 1 ÷ ïîåçä ïðîåçæàåò 67 êì. Çíà÷èò, çà 5 ÷ îí ïðîéäåò 67 . 5 = 335 (êì). Îòâåò: 335 êì. 194 Правообладатель Национальный институт образования 4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå аз ов ан ия Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå, íàäî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ óìíîæèòü íà âðåìÿ äâèæåíèÿ. Åñëè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå îáîçíà÷èòü áóêâîé s, ñêîðîñòü äâèæåíèÿ áóêâîé v, à âðåìÿ äâèæåíèÿ áóêâîé t, òî ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê: s=v.t на ль ны й ин ст и ту то бр Ðàññòîÿíèå s ìîæåò èçìåðÿòüñÿ â êèëîìåòðàõ, ìåòðàõ, ñàíòèìåòðàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ äëèíû. Âðåìÿ t — â ÷àñàõ, ìèíóòàõ, ñåêóíäàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ âðåìåíè. Ñêîðîñòü, íàïðèìåð, ïîåçäà, ïåøåõîäà, àâòîìîáèëÿ — ýòî ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå èìè çà åäèíèöó âðåìåíè. Ïîýòîìó åäèíèöû, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè, çàâèñÿò îò òîãî, â êàêèõ åäèíèöàõ èçìåðÿþòñÿ ðàññòîÿíèå è âðåìÿ. Åäèíèöû км км м , , . Íàèçìåðåíèÿ ñêîðîñòè çàïèñûâàþò òàê: ч мин с км ïðèìåð, çàïèñü 67 ÷èòàåòñÿ: «67 êèëîìåòðîâ â ÷àñ». ч На ц ио Ïð èìåð 2. Ñàäîâàÿ óëèòêà ïðîïîëçëà 120 ñì çà 5 ìèí. Ïðèìåð Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îíà ïîëçëà? Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü óëèòêè — ýòî ðàññòîÿíèå, êîòîðîå îíà ïðîïîëçëà çà 1 ìèí. Çà 5 ìèí îíà ïðîïîëçëà 120 ñì, çíà÷èò, çà 1 ìèí — â 5 ðàç ìåíüøå. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü óëèòêè Îòâåò: 24 см . мин см 120 : 5 = 24 . мин Правообладатель Национальный институт образования 195 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Òàêèì îáðàçîì, ия ÷òîáû íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, íàäî ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå ðàçäåëèòü íà âðåìÿ äâèæåíèÿ. аз ов v=s:t ан Èñïîëüçóÿ áóêâû, ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê: то бр ×òîáû íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ, íàäî ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå ðàçäåëèòü íà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ. ту Èñïîëüçóÿ áóêâû, ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê: ст и t=s:v ин Âîïðîñû ио на ль ны й 1. Êàê íàéòè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå, çíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ è âðåìÿ äâèæåíèÿ? 2. Êàê íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, çíàÿ ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå è âðåìÿ äâèæåíèÿ? 3. Êàê íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ, çíàÿ ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå è ñêîðîñòü äâèæåíèÿ? На ц Óïðàæíåíèÿ км 4. 158 158.. ° Ïåøåõîä øåë 3 ÷ ñî ñêîðîñòüþ 4 è 4 ÷ ñî ч км ñêîðîñòüþ 5 . Íàéäèòå ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ч ïåøåõîäîì. 4. 159 159.. ° Êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà ïðîëåòåëà çà t ìèí 24 640 êì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ëåòåëà ðàêåòà? Ñî196 Правообладатель Национальный институт образования 4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè t, ðàâíîì: 1) 40; 2) 55; 3) 44; 4) 56. то бр аз ов ан ия 4.160 160..° Êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà ïðîëåòåëà s êì ñî ñêîðîñòüþ км 580 . Ñêîëüêî ìèíóò ëåòåëà ðàêåòà? Ñîñòàâüòå мин âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè s, ðàâíîì: 1) 2320; 2) 4060; 3) 12 180; 4) 16 820. ин ст и ту 4.161 161.. Òóðèñòû ïðîåõàëè íà àâòîáóñå â 8 ðàç áîëüøåå ðàññòîÿíèå, ÷åì ïðîøëè ïåøêîì çà 3 ÷. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîåõàëè òóðèñòû íà àâòîáóñå, åñëè ïåøêîì çà 1 ÷ îíè ïðîõîäèëè 4 êì? на ль ны й 4.162 162.. Ïëîâåö ïðîïëûë äèñòàíöèþ çà 9 ìèí. Ïåðâûå м 5 ìèí îí ïëûë ñî ñêîðîñòüþ 85 , ïîñëå ÷åãî åãî мин м ñêîðîñòü óìåíüøèëàñü íà 6 . Íàéäèòå äëèíó äèñмин òàíöèè. На ц ио 4.163 163.. Çà äâà ýòàïà âåëîãîíêè âåëîñèïåäèñò ïðîåõàë 376 êì. Ïåðâûé ýòàï äëèíîé 216 êì îí åõàë ñî ñêîкм км ðîñòüþ 36 , à âòîðîé ýòàï — ñî ñêîðîñòüþ íà 4 ч ч ìåíüøåé, ÷åì íà ïåðâîì ýòàïå. Çà êàêîå âðåìÿ âåëîñèïåäèñò ïðîåõàë âñþ äèñòàíöèþ? 4.164 164.. Çà 6 ÷ òåïëîõîä ïðîïëûë 210 êì, à ïîåçä çà 4 ÷ ïðîåõàë 420 êì. Âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü ïîåçäà áîëüøå ñêîðîñòè òåïëîõîäà? Правообладатель Национальный институт образования 197 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан ия 4. 165 165.. Ïîëîâèíó ïóòè âåðòîëåò ïðîëåòåë çà 3 ÷ ñî ñêîкм ðîñòüþ 240 , à îñòàëüíîå ðàññòîÿíèå — ñî ñêîч км ðîñòüþ 180 . Ñêîëüêî âðåìåíè âåðòîëåò íàõîäèëñÿ ч â ïîëåòå? то бр аз ов 4. 166 166.. ×åðåç 5 ìèí ïîñëå âûëåòà ïåðâîãî ñàìîëåòà â òîì æå íàïðàâëåíèè âûëåòåë âòîðîé ñàìîëåò è ñïóñòÿ 15 ìèí äîãíàë ïåðâûé. Ñêîðîñòü ïåðâîãî ñàìîëåòà км ñîñòàâëÿëà 6 . Êàêîâà ñêîðîñòü âòîðîãî ñàìîëåòà? мин На ц ио на ль ны й ин ст и ту 4. 167 167..* Êîãäà ïî÷òàëüîí Ïå÷êèí ïðîåõàë 300 ì, âñëåä çà íèì íà âåëîñèïåäå âûåõàë ìàëü÷èê, çà êîòîðûì óâÿçàëñÿ ïåñ Øàðèê. Øàðèê äîãíàë ïî÷òàëüîíà Ïå÷êèíà, ïîòîì âåðíóëñÿ ê ìàëü÷èêó è áåãàë ìåæäó ìàëü÷èêîì è Ïå÷êèíûì äî òåõ ïîð, ïîêà ìàëü÷èê íå äîãíàë ïî÷òàëüîíà. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîáåæàë çà м , ñêîýòî âðåìÿ Øàðèê, åñëè åãî ñêîðîñòü 500 мин м ðîñòü ïî÷òàëüîíà Ïå÷êèíà 200 , à ñêîðîñòü ìàëüмин м ÷èêà 250 ? мин 4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿ Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà äâèæåíèå ïî ðåêå íàäî ó÷èòûâàòü ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè. Ýòà ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì, íà êîòîðîå òå÷åíèå îòíîñèò ëþáîé ïëàâàþùèé ïðåäìåò çà åäèíèöó âðåìåíè (ðèñ. 147). 198 Правообладатель Национальный институт образования аз ов ан ия 4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿ Ðèñ. 147 то бр Ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ äâèæóòñÿ ïî ðåêå ïëîò, íàäóâíîé êðóã, ìÿ÷. ст и ту Ìîòîðíûå è âåñåëüíûå ëîäêè, êàòåðà è òåïëîõîäû èìåþò ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü, êîòîðàÿ ðàâíà èõ ñêîðîñòè â ñòîÿ÷åé âîäå. ль ны й ин км Åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà ðàâíà 15 , ч км à ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè — 2 , òî ïðè äâèæåíèè ч êàòåðà ïî òå÷åíèþ ðåêè òå÷åíèå ïîìîãàåò åìó ïëûòü, è ñêîðîñòü ðàâíà На ц ио на км 15 + 2 = 17 , ч à ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ — ìåøàåò, è ñêîðîñòü ðàâíà км 15 − 2 = 13 . ч км Ãîâîðÿò, ÷òî: 17 — ñêîðîñòü êàòåðà ïî òå÷åч км — ñêîðîñòü êàòåðà ïðîòèâ òå÷åíèÿ. íèþ, à 13 ч Правообладатель Национальный институт образования 199 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ñêîðîñòü ïî òå÷åíèþ íàõîäÿò ñëîæåíèåì ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ. ия ×òîáû íàéòè ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ íàäî èç ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè âû÷åñòü ñêîðîñòü òå÷åíèÿ. На ц ио на ль ны й ин ст и ту то бр аз ов ан Ïð èìåð 1. Ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè ïðîÏðèìåð ãóëî÷íûé êàòåð ïðîïëûë 24 êì çà 2 ÷. Íàéòè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà км 14 . ч Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé êàòåð ïëûë ïðîòèâ òå÷åíèÿ, ðàâíà км 24 : 2 = 12 . ч Òàê êàê ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðàâíà ðàçíîñòè ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè êàòåðà è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè îïðåäåëÿåì êàê íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå: км 14 − 12 = 2 . ч км Îòâåò: 2 . ч км Ïð èìåð 2. Ñêîðîñòü ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè 23 Ïðèìåð , à ч км ïðîòèâ òå÷åíèÿ — 17 . Íàéòè ñîáñòâåííóþ ñêîч ðîñòü ëîäêè è ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè. Ðåøåíèå. Ñëîæèâ ñêîðîñòè ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè è ïðîòèâ åå òå÷åíèÿ, ïîëó÷èì óäâîåííóþ ñêîðîñòü ëîäêè â ñòîÿ÷åé âîäå: км 23 + 17 = 40 . ч 200 Правообладатель Национальный институт образования 4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿ ан ия км Çíà÷èò, ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü ëîäêè 20 , à ñêîч км ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè — 3 . ч км км Îòâåò: 20 ; 3 . ч ч ст и ту то бр аз ов  ìîðåõîäíîé ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ ñïåöèàëüíûå åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé: 1 êàáåëüòîâ = 185 ì 2 äì; 1 ìîðñêàÿ ìèëÿ = 10 êàáåëüòîâûõ = 1852 ì, à òàêæå åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè: ìîðñêàÿ ìèëÿ ì 1 óçåë = 1 = 1852 . ÷ ÷ Âîïðîñû ль ны й ин 1. Êàê, çíàÿ ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü ñóäíà è ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, íàéòè åãî ñêîðîñòü: à) ïî òå÷åíèþ; á) ïðîòèâ òå÷åíèÿ? 2. Êàê íàéòè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, çíàÿ ñêîðîñòü ñóäíà ïî òå÷åíèþ è åãî ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ? на Óïðàæíåíèÿ ио 4.168 168.. ° Ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü ëîäêè 8 км . Ñêîðîñòü òåч На ц км . Íàéäèòå: ч 1) ñêîðîñòü ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè; 2) ñêîðîñòü ëîäêè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè; 3) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ëîäêîé ïî òå÷åíèþ ðåêè çà 3 ÷; 4) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ëîäêîé ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè çà 4 ÷. ÷åíèÿ ðåêè 3 Правообладатель Национальный институт образования 201 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë аз ов ан ия 4.169 169.. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðè÷àëàìè 90 êì. Ñîáкм ñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà 14 , ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåч км êè 4 . Çà êàêîå âðåìÿ êàòåð ïðåîäîëååò ýòî ðàñч ñòîÿíèå, åñëè áóäåò ïëûòü: 1) ïî òå÷åíèþ ðåêè; 2) ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè? ин ст и ту то бр 4.170 170..° Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðè÷àëàìè 120 êì. Ñîáñòâåíкм íàÿ ñêîðîñòü òåïëîõîäà 25 . Åñëè òåïëîõîä ïëûâåò ч âíèç ïî ðåêå (çíà÷èò, ïî åå òå÷åíèþ), òî ýòî ðàññòîÿíèå îí ïðåîäîëåâàåò çà 4 ÷. Íàéäèòå: 1) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè; 2) âðåìÿ, çà êîòîðîå òåïëîõîä ïðåîäîëååò ýòî ðàññòîÿíèå ââåðõ ïî ðåêå, ò. å. ïðîòèâ åå òå÷åíèÿ. ль ны й 4. 171 171.. ° Ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè км км 27 . Íàéäèòå: , à ïðîòèâ òå÷åíèÿ 19 ч ч 1) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè; 2) ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî îçåðó. на км , ч ïëûëà 3 ÷ ïî òå÷åíèþ ðåêè è 5 ÷ ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîïëûëà ëîäêà, åñëè ñêîкм ? ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 2 ч км 4. 173 173.. Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 5 . Òåïëîõîä ïðîïëûë ч ïî òå÷åíèþ 240 êì çà 8 ÷. Êàêîå âðåìÿ íåîáõîäèìî çàòðàòèòü åìó íà îáðàòíûé ïóòü, åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü òåïëîõîäà íå èçìåíèëàñü? На ц ио 4. 172 172.. Ëîäêà, èìåþùàÿ ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü 6 202 Правообладатель Национальный институт образования м 140 мин ту 1 км то бр 150 м мин ан м 93 мин аз ов м 107 мин ия Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ст и Ðèñ. 148 На ц ио на ль ны й ин 4.174 174..* Ñëîíåíîê è óäàâ íà÷àëè äâèæåíèå íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, íàõîäÿñü íà ðàññòîÿíèè 1 êì äðóã îò äðóãà. м , à óäàâ — Ñëîíåíîê äâèãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ 107 мин м 93 . Âñå ýòî âðåìÿ ìåæäó ñëîíåíêîì è óäàâîì мин áåãàëà îáåçüÿíêà è ëåòàë ïîïóãàé, ïîäãîíÿÿ òî óäàâà, òî ñëîíåíêà (ðèñ. 148). Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîáåæàëà îáåçüÿíêà è ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîëåòåë ïîïóãàé äî òîãî âðåìåíè, ïîêà ñëîíåíîê è óäàâ íå âñòðåòèëèñü, åñëè м м , à ïîïóãàÿ — 140 ? ñêîðîñòü îáåçüÿíêè 150 мин мин Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå 4.175 175.. Îêðóãëèòå äî ñîòåí ÷èñëà: 1) 72 835; 2) 247 348; 3) 7 197 153; 4) 5 824 715. Правообладатель Национальный институт образования 203 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ан то бр аз ов 4. 177 177.. Ñðàâíèòå: 1) 53 − 33 è (5 − 3)3; 2) 52 + 22 è (5 + 2)2; 3) 152 − 112 è (15 − 11) . (15 + 11); 4) 23 + 43 è (2 + 4)3. ия 4. 176 176.. Âû÷èñëèòå è ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî òûñÿ÷: 1) 705 399 + 13 245 − 34 760 : 632; 2) (795 328 − 53 794) : 6 + 141 . 352; 3) 937 120 − 423 . 132 + 342 612 : 372; 4) 816 651 : (65 724 − 64 481) + 2318 . 139. ст и ту 4.178 178.. Èñïîëüçóÿ öèôðû 0 è 2, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå: 1) äâóçíà÷íûå ÷èñëà; 2) òðåõçíà÷íûå ÷èñëà; 3) ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà. ль ны й ин 4. 179 179.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: 1) 93 . a − 27 . a − 46 . a ïðè à = 1378; 2) 15 . m + 84 − 5 . m − 52 ïðè m = 7541; 3) (57 . p − 38 ⋅ ð) : 19 ïðè p = 2907; 4) (75 . q − 35 ⋅ q) : 20 ïðè q = 5432. на 4. 180 180.. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ p − (108 − (59 − k)) + (t + 64) ио ïðè ð = 206, k = 57, t = 36. На ц 4. 181 181.. Êàêîå èç ÷èñåë 8, 12, 16 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ 96 : õ = 22 − õ? 4. 182 182.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) õ . 299 = 0; 3) 225 : õ = 1; 2) 79 . y = 79; 4) y : 794 = 0. 4. 183 183.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) (723 + ò) + (1257 − 452) = 1805; 2) (n − 17 274) . (118 + 714 : 7) = 126 500. 204 Правообладатель Национальный институт образования Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ия 4.184 184.. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 1) 67 . õ − 59 . õ = 576; 2) 31 . õ + 4 . õ − 34 . õ + 8 = 118; 3) 122 . (õ − 52) = 362; 4) 62 + 5 . õ = 432 : 12. аз ов ан 4.185 185.. Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñóììà äëèíû è øèðèíû êîòîðîãî 62 ñì, à èõ ðàçíîñòü — 6 ñì. ту то бр 4.186 186.. Ñàøà ðåøèë ïîéòè â ãîñòè ê Ìèøå ïåøêîì, ïîýòîìó îí çàòðàòèë â 7 ðàç áîëüøå âðåìåíè, ÷åì åñëè áû îí åõàë íà àâòîáóñå. Êàêîå âðåìÿ ïîòðàòèë áû Ñàøà, ïîåõàâ íà àâòîáóñå, åñëè íà äîðîãó ïåøêîì óøëî íà 36 ìèí áîëüøå? ин ст и 4.187 187..* Ñêîëüêèìè íóëÿìè îêàí÷èâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 30 äî 80? ль ны й 4.188 188..* Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷åòûðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äåëèòñÿ: 1) íà 4; 2) íà 8. ио на 4.189 189.. *  òðåõ ïàññàæèðñêèõ ïîåçäàõ ðàçëè÷íîå ÷èñëî ìåñò: 236, 295, 472. Ñêîëüêî âàãîíîâ â êàæäîì ïîåçäå è ñêîëüêî ìåñò â êàæäîì âàãîíå, åñëè âî âñåõ âàãîíàõ ÷èñëî ìåñò îäèíàêîâîå? На ц 4.190 190..* Ê äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèáàâèëè 5, è ñóììà îêàçàëàñü êðàòíîé 5. Êîãäà îò íåãî îòíÿëè 3, òî ðàçíîñòü îêàçàëàñü êðàòíîé 3. Êîãäà åãî ïîäåëèëè íà 2, òî îêàçàëîñü, ÷òî è ÷àñòíîå äåëèòñÿ íà 2. Íàéäèòå ýòî ÷èñëî. 4.191 191..* Êàê, èìåÿ ëèøü äâà ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 5 ë è 7 ë, à òàêæå ñëèâíóþ ðàêîâèíó, íàëèòü èç âîäîïðîâîäíîãî êðàíà 6 ë? Правообладатель Национальный институт образования 205 à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 4.192 192..* Èìååòñÿ 8 êã ñàõàðà è ÷àøå÷íûå âåñû áåç ãèðü. Ìîæåò ëè ñ èõ ïîìîùüþ ïðîäàâåö âçâåñèòü òðåì ïîêóïàòåëÿì 1 êã, 3 êã è 4 êã ñàõàðà? ан ия 4. 193 193.. * Ñêîëüêî îäèíàêîâûõ èçäåëèé ïîìåùàåòñÿ â îäíîé êîðîáêå, åñëè â 13 êîðîáêàõ èõ ìåíüøå 118, à â 20 êîðîáêàõ áîëüøå 179? ту то бр аз ов 4. 194 194.. Ïî òå÷åíèþ ðåêè ïëûâåò ìîòîðíàÿ ëîäêà, à íàâñòðå÷ó — êàòåð. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ëîäêà è êàòåð âñòðåòÿòñÿ, åñëè îíè îäíîâðåìåííî íà÷àëè äâèæåíèå ñ ñîáñòâåííûìè ñêîðîñòÿìè, ñîîòâåòкм км ñòâåííî ðàâíûìè 12 , íàõîäÿñü íà ðàññòîÿè 15 ч ч íèè 54 êì äðóã îò äðóãà? ин ст и 4. 195 195.. Âûðàçèòå â êóáè÷åñêèõ äåöèìåòðàõ: 1) 40 ì3; 2) 4000 ñì3; 3) 5 êì3; 4) 2 ì 3. ль ны й 4. 196 196.. Çàïîëíèòå òàáëèöó (à, b, ñ — èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, V — åãî îáúåì). 8 ñì 60 ìì ? ñì b 13 ñì ? ìì 130 ìì ñ ? ñì 4 ñì 80 ìì V 520 ñì3 216 ñì3 2600 ñì3 На ц ио на à 4. 197 197.. Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð êóáà, îáúåì êîòîðîãî ðàâåí 343 äì3. 4. 198 198..* Àêâàðèóì, èìåþùèé ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, èçãîòîâëåí èç ïÿòè îäèíàêîâûõ êóñêîâ ñòåêëà, îáùåé ïëîùàäüþ 12 500 ñì 2. Ñêîëüêî ëèòðîâ âîäû ïîòðåáóåòñÿ äëÿ çàïîëíåíèÿ äîâåðõó òðåõ òàêèõ æå àêâàðèóìîâ? 206 Правообладатель Национальный институт образования ия Îòâåòû На ц ио на ль ны й ин ан аз ов то бр ст и 1.4. à) 3 òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòîâ íåò; á) íåò òðåóãîëüíèêîâ, 5 êâàäðàòîâ; â) 8 òðåóãîëüíèêîâ, 2 êâàäðàòà; ã) 7 òðåóãîëüíèêîâ, 3 êâàäðàòà. 1.11. à: 728; 329; à + 1: 538; 445; 330; à – 1: 536; 443; 727. 1.14. 2) 99; 100; 101; 102; 103; 104; 105. 1.15. 1) à + 3. 1.16. 1) 9; 10; 15; 16; 17; 23; 24; 99; 100; 2) 8; 9; 14; 15; 16; 22; 23; 98; 99; 3) 9; 15; 16; 23; 99. 1.17. 1) 99; 3) 11. 1.18. 1) 9 899 100; 2) 109. 1.19. 4 + 4 ⋅ (4 − 4) = 4; (4 + 4) ⋅ 4 : 4 = 8; 4 ⋅ 4 ⋅ 4 : 4 = 16; 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 = 32; (4 + 4) ⋅ (4 + 4) = 64; (4 + 4) ⋅ 4 ⋅ 4 = 128; 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 256. 1.31. 1) 2; 3) à) 7; á) 4; â) 6. 1.33. 1) 731; 3) 137. 1.34. 9. 1.35. 1) 6; 2) 4. 1.36. 2) 40; 44; 4) 10; 15; 11; 51; 50; 55. 1.40. 2) 999; 100; 4) 999 999; 100 000. 1.42. 2) 103; 112; 121; 130; 202; 211; 220; 310; 400. 1.43. 50 505; 505 050; 5 050 505. 1.45. Íîìåð 299. 1.46. 1) 1 + 3 ⋅ 5 – (7 + 9); 2) (1 + 3 ⋅ 5) : (7 + 9); 3) ((1 + 3) ⋅ 5 + 7) : 9); 4) 1 + 3 ⋅ (5 + 7) : 9; 5) 1 + 3 + 5 + 7 – 9; 6) (1 ⋅ 3 + 5 – 7) ⋅ 9. 1.51. 1) Íàïðèìåð, 405 703. 1.52. 2) 4305; 4) 9400. 1.54. 2) 5000 + 400 + 20; 4) 5000 + 400 + 2; 6) 500 000 + 200 + 4. 1.55. 1) 386; 3) 30 860. 1.56. 2) 5881; 4) 530 000. 1.58. 2) 900 + 90 + 9; 4 ) 90 000 + 9000 + + 900 + 90 + 9. 1.61.  14 ÷ 30 ìèí. ту ÃËÀÂÀ 1 Правообладатель Национальный институт образования 207 Îòâåòû На ц ио на ль ны й ин ст и ту то бр аз ов ан ия 1.62. 2) 701 011 000; 1.104. 2) 5588 < 8555; 4) 6 000 000 606. 4) 1 111 431 < 1.67. 1) 8; 3) 4. < 11 111 431. 1.68. 2) 7; 4) 123. 1.105. 1) 772; 3) 1000. 1.72. 2) 801 108 801 108. 1.106. 2) 5 670 436; 1.75. 2) 79. 4) 499 999 999. 1.76. 1) 192; 2) 64. 1.107. 1) 10 000; 10 001; 1.77. 879 546; 124 506. 10 002. 1.78. 1) 3 − 2 − 1; 1.109. 1) 94; 95; 96; 97; 98; 2) 3 − 2 ⋅ 1; 99. 3) 3 − 2 + 1; 1.110. 2) 4782 ì > 4 êì; 4) 3 ⋅ (2 − 1); 4) 3 ê ã < 3400 ã; 5) 3 + 2 − 1; 6) 370 ñ < 6 ìèí 30 ñ. 6) 3 + 2 ⋅ 1; 1.111. 1) 0; 3) íåâîçìîæíî; 7) 3 ⋅ 2 ⋅ 1; 5) ïîäõîäèò ëþáàÿ 8) 3 ⋅ 2 + 1; öèôðà. 9) 3 ⋅ (2 + 1). 1.114. á) DC, DF. 1.90. À = FH = NP, 1.115. à) 2. SE = CD. 1.92. á) PS = ST = TV = PV, 1.117. 1) Íåò; 3) äà. SV = PT; 1.123. à) Äà; â) äà. ã ) EC = EF = EN. 1.124. 2) Òî÷êè  è Î ïðè1.93. 1) Äà; 3) íåò; 5) íåò. íàäëåæàò ëó÷ó ÌÎ, à 1.94. 2) 33 äì 6 ñì 2 ìì; òî÷êè À, Ò, Ñ, K è D 4) 30 äì 3 ñì 7 ìì. íå ïðèíàäëåæàò. 1.95. 11; 16; 21. 1.130. 2) À(2), Â(6), Ñ(16), 1.96. 203 êì 110 ì. D(20); 4) A(4), B(16), 1.97. Çàÿö. C(20), D(36). 1.98. 1) 12 : 3 = 4; 1.135. 1) M(20), N(50), K(90), 2) 1 + 2 + 3 + 4 − 5 = 5; L(110). 3) 12 : 3 : 4 + 5 = 6; 1.137. À. 4) 12 : 3 + 4 + 5 − 6 = 7; 1.138. 15 è 27. 5) 12 : 3 ⋅ 4 + 5 − 6 − 7 = 8; 1.139. Íàïðèìåð, 2 è 12. 6) 12 ⋅ 3 : 4 − 5 + 6 + 1.145. 2) 236 ≈ 240; + 7 − 8 = 9. 4) 6875 ≈ 6880. 1.102. 2) 1 300 531 > 130 531. 1.146. 2) Äî òûñÿ÷; 4) äî òû1.103. 1) 7 830 132 < ñÿ÷; 6) äî ñîòåí òûñÿ÷. < 78 290 132. Правообладатель Национальный институт образования 208 Ãëàâà 2 1.179. 1) 57. 1.180. 2) 8. ÃËÀÂÀ 2 ту то бр аз ов ан ия 2.6. 2) 1100; 4) 275. 2.7. 1) 99; 3) 10 098. 2.8. 2) 100 000. 2.10. 125; 250; 375; 500; 625; 750; 875. 2.13. 1) 5 êì 330 ì; 3) 44 ì 30 ñì. 2.14.  17 ÷ 30 ìèí. 2.15. 5 îêòÿáðÿ. 2.16. 18 ì 90 ñì. 2.17. 120 ì. 2.18. 7. 2.20. 2) Ïåðâàÿ. 2.21. 1) Äà. 2.23. 95 ì. 2.24. 62. 2.25. 140 ì. 2.26. 250 ì. 2.27. 87 500 êì 2. 2.28. 1) 22 ÷ 58 ìèí; 2) 23 ÷ 18 ìèí; 3) 0 ÷ 8 ìèí. 2.29. 4884. 2.30. 2) 130; 4) 1000. 2.31. 1) 2637; 3) 606 482. 2.33. 1) 110; 3) 111 000. 2.34. 200 000. 2.35. 49. 2.36. 15 êì. 2.37. 85 êì. 2.38. 635 ã. 2.39. 1) Íå èçìåíèòñÿ. 2.40. 12. На ц ио на ль ны й ин ст и 1.147. 1) a) 73 650; á) 73 600; â) 74 000; 2) 70 000; 3) à) 1250; á) 1200; â) 1000; ã) 0. 1.148. 2) 200 000; 37 100 000; 62 900 000. 1.149. Ëåíà — äî ñîòåí òûñÿ÷, Øóðà — äî òûñÿ÷, Êîëÿ — äî äåñÿòêîâ. 1.155. 1) 500 è 1499; 3) 9500 è 10 499. 1.157. 1) 8 êã; 3) 2 êã. 1.158. 2) 10 ö; 4) 9 ö. 1.159. 1) 4 äì; 3) 3 äì. 1.160. 199. 1.161. 1) 2559; 3) 73 686. 1.162. 2) 5924; 4) 1558. 1.163. 1) 203 440; 3) 20 046. 1.164. 2) 107 937; 4) 62. 1.165. 1) 188; 3) 0; 5) 2. 1.166. 2) 3 ì 92 ñì; 4) 43 äì 4 ñì 2 ìì. 1.167. 1) 5 ÷ 11 ìèí; 3) 3 ÷ 52 ìèí 5 ñ. 1.168. 32. 1.169. 50. 1.170. 990. 1.171. 0 ÷ 11 ìèí. 1.172. 13 ÷ 05 ìèí; 15 ÷ 40 ìèí. 1.173. 56 ì. 1.174.  9 ðàç. 1.175. 6. 1.176. 18. 1.177. 17 ôåâðàëÿ. 1.178. 29 ÷èñåë. Правообладатель Национальный институт образования 209 Îòâåòû ту то бр аз ов ан ия 2.90. 4 ñì, 5 ñì, 6 ñì, 7 ñì. 2.91. 1) 12 ñì; 3) 25 ñì. 2.99. 4, 3 èëè íè îäíîãî. 2.100. á) EFR, ESR, EFS, EKM, EPM, EKP. 2.101. à) MN = MP, ∠N = ∠P; â) KL = KT, LM = ST, MN = R S, PN = PR, ∠L = ∠T, ∠N = ∠R, ∠M = ∠S. 2.103. 35 ì. 2.104. 35 è 45. 2.105. 60 è 90. 2.106. 3 ì è 1 ì 70 ñì. 2.107. 1 ì 30 ñì è 1 ì 60 ñì. 2.108. 310 ì. 2.109. 6 êã, 10 êã, 14 êã. 2.110. 620; 500; 380. 2.111. 600 ã, 850 ã, 350 ã. 2.112. 60; 24; 36. 2.113. 1) 9; 3) 38; 5) 13. 2.116. 2) 729; 4) 299. 2.117. 1) 27 093; 3) 80 000. 2.118. 2) 36 086; 4) 36 086. 2.119. 1) 5371; 3) 86 343. 2.120. 2) 193; 4) 34; 6) 490; 8) 4. 2.122. 67. 2.123. 1) 7. 2.124. 2) 38 ìèí. 2.125. 81. 2.127. 1) 60; 3) 718 693. 2.128. 2) 2514; 4) 22 000. 2.130. 2) 29 ò; 4) 400 ò. 2.131. 1) 4 ö; 3) 1 êì. 2.132. 10 995. 2.133. 19 996. На ц ио на ль ны й ин ст и 2.47. ∠NMP = ∠XTY, ∠BAC = ∠QLH, ∠KSO = ∠DEF. 2.57. 1) 180°; 2) 90°; 3) 90°. 2.63. 1) 36 418; 3) 1 111 112. 2.64. 2) 26. 2.68. Íàïðèìåð, 2) 1807 − 987; 4) 123 456 789 − − 123 456 689. 2.71. 1) 5 ò 628 êã; 3) 677 ì 36 ñì; 5) 5 ÷. 2.72. 2) 8999. 2.74. 2) Íå èçìåíèòñÿ. 2.75. 1) Ýòè ÷èñëà ðàâíû. 2.76. 2) Óâåëè÷èòñÿ íà 5. 2.77. 1) Îáðàòèòñÿ â íóëü. 2.78. Íà 212 ìëí êì2. 2.79. 50 300 êì. 2.80. 40 008 548 ì. 2.81. 1) 1 ÷ 25 ìèí; 3) 15 ìèí. 2.82. 2)  ïåðâîé êîðîáêå 834 ã, âî âòîðîé — 655 ã, â òðåòüåé — 934 ã. 2.83. Ñèíåãî öâåòà 126 ì, çåëåíîãî — 243 ì, êðàñíîãî — 359 ì, æåëòîãî — 197 ì. 2.84. Íà 100-ì ìåñòå ñòîèò öèôðà 7, è íà 2015-ì — öèôðà 7. 2.88. 6 äì 9 ñì. 2.89. 6 ñì, 6 ñì, 11 ñì. 210 Правообладатель Национальный институт образования Ãëàâà 3 2.142. 2.143. 2.144. ин ÃËÀÂÀ 3 1) 1806; 3) 490 254. 2) 93 856; 4) 2 093 520. 1) 170 604; 3) 798 441. 2) 111; 222; 444; 888; 1776. 3.11. 32; 3.12. 2)  100 ðàç; 4) â 1 000 000 000 ðàç. 3.13. 1) 792. 3.14. 20 000. 3.15. 7 ìèí 30 ñ. 3.16. 3 ì 12 ñì. 3.17. 1) 10 ÷ 16 ìèí; 2) 24 ìèí. 3.18. 24 êã. 3.19. 108. 3.21. 2) Äà; 4) íåò; 6) íåò. 3.22. 2) 1. На ц ио на ль ны й 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. ия ан аз ов то бр 2.140. 2.141. 3.24. 6200. 3.26. 6 ⋅ 4 = 24. 3.27. 22 è 25. 3.28. 2) 1700; 4) 9000; 6) 2200. 3.29. 1) 63 900; 3) 29 000. 3.30. 2) 1400; 4) 30 000. 3.31. 1) 1850; 3) 3650. 3.32. 2) 962; 4) 78. 3.33. 1) 555; 3) 11 100; 5) 66 600. 3.34. 2) 540; 4) 16 200. 3.35. 1) 660; 3) 4400. 3.36. 2) 10 010; 4) 4 004 000. 3.37. 360. 3.38. 80. 3.39. 1600. 3.40. 2) Íå èçìåíèòñÿ. 3.42. 5. 3.45. 1) 172; 3) 6034; 5) p5. 3.48. 2) 2048; 4) 4500; 6) 1372. 3.52. 2) 112; 4) 63; 6) 103. 3.53. 1) 10 000; 3) 1 000 000; 5) 100 000 000. 3.54. 2) 336; 4) 4033. 3.55. 1) Äà; 3) äà. 3.56. 2) Äà; 4) äà. 3.57. 1) 120; 2) 165; 3) 285. 3.58. 1) 800; 2) 1225; 3) 2025. 3.59. 1) 7003; 3) 7030. 3.60. 2) 1 ⋅ 106 + 6 ⋅ 105 + + 3 ⋅ 104 + 4 ⋅ 103 + + 7 ⋅ 102 + 8 ⋅ 10 + 5; 4) 5 ⋅ 109 + 7 ⋅ 106 + ту 2.139. 1) 378 592; 2) 23 178. 81. 33. 165 êì. Ïèîíîâ — 4, õðèçàíòåì — 5, ãåîðãèí — 7. Ó Ñàøè — 5, ó Ïåòè — 12, ó Ñëàâû — 13. 2) 6300. 1) 64; 128; 256; 512; 1024; 3) 8; 13; 21; 34; 55. Ìîãóò. 1) 10; 3) 2. 2) 5; 4) 5. ст и 2.134. 2.135. 2.136. 2.137. 2.138. Правообладатель Национальный институт образования 211 Îòâåòû ту то бр аз ов ан ия 3.101. Ôåäÿ — 17 èþíÿ, Æîðà — 21 îêòÿáðÿ, Ñàøà — 17 îêòÿáðÿ, Âëàä — 27 ìàÿ. 3.103. 1) 352; 3) 25 100; 5) 19 960. 3.104. 2) 828; 4) 56 056; 6) 23 976. 3.105. 1) 1000; 3) 970; 5) 1370. 3.106. 72. 3.107. 110 ñì. 3.108. 90. 3.109. 30 ì2. 3.110. 71 è 710. 3.111. 1) Ðàâíû; 3) áîëüøå. 3.112. 2) Äà; 4) äà. 3.113. 1) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 − 11; 3) 17 ⋅ 5 2 − 17 ⋅ 19 + + 19 ⋅ 17 − 19 ⋅ 4. 3.114. 2) 13 400; 4) 3800. 3.115. 1) 25 000; 3) 20 000. 3.116. 2) 625; 4) 500. 3.117. 1) 2769; 3) 174 800. 3.118. 2) Óâåëè÷èòñÿ íà 4; 4) óâåëè÷èòñÿ â 10 ðàç. 3.119. 560. 3.120. 2) 20 ñì; 4) 10 ì 4 äì. 3.121. Íå õâàòèò. 3.122. 500 ì. 3.123. 55 708. 3.128. 2) 78 115; 4) 7142. 3.129. 1) 234; 3) 4020. 3.130. 2) 128; 4) 75. 3.131. 1) Äà; 3) äà. 3.132. 2) 1420; 4) 816 036. 3.138. 18. На ц ио на ль ны й ин ст и + 1 ⋅ 103 + 2 ⋅ 102 + + 3 ⋅ 10 + 2. 3.61. 100 è 961. 3.62. 2) 1; 4) 2; 6) 5. 3.64. 20. 3.71. 1) 62 ìì. 3.72. 2) 19 ì 3 äì. 3.73. Äà. 3.74. Äà. 3.75. 14 ñì, 20 ñì. 3.76. 18 ñì. 3.77. 14 äì èëè 16 äì. 3.78. Òðè ðåøåíèÿ. 3.79. Ñòîðîíà êâàäðàòà ðàâíà 7 ñì. 3.80. 1 ì 4 ñì. 3.81. 9 ñì, 36 ñì. 3.82. Íå âñåãäà. 3.84. 2) 40; 4) 6000. 3.86. 2) Íà 9. 3.88. 2) 289 äì2; 4) 121 ì2. 3.89. 1) Ñòîðîíà êâàäðàòà ðàâíà 5 ñì; 3) ñòîðîíà êâàäðàòà ðàâíà 2 ñì. 3.90. 2) 168 ìì2; 4) 108 ñì2. 3.92. 2) Íåò; 4) íåò. 3.93 1) 4 êì2 111 ì2; 3) 55 ãà 82 à 25 ì2. 3.95. 1) 64 ñì 2. 3.96. 1) 26 ì2; 2) 36 ì2; 3) 36 ì2; 4) 64 ì 2. 3.97. 1) 1440 ñì2. 3.98. 2) 15 ñì; 4) 2 ñì. 3.99. 1) 70 000 êì2; 3) 900 600 ì2. 3.100. 2) 40 ì; 4) 400 êì. 212 Правообладатель Национальный институт образования Ãëàâà 3 3.162. 3.163. 3.164. 3.165. 3.166. 3.167. ия ан аз ов то бр ту ст и На ц 3.151. 3.152. 3.153. 3.154. 3.155. 3.156. 3.157. 3.158. 3.159. 3.160. 3.161. ин 3.145. 3.146. 3.147. 3.148. 3.149. 3.150. ль ны й 3.144. на 3.143. 3.168. Îâñà — 240 ò, ðæè — 720 ò, ïøåíèöû — 1440 ò. 3.169. 31 710. 3.170. 1 ÷. 3.173. 1) 116; 3) 2750. 3.174. 1) 3 070 445; 2) 1 107 123; 3) 698 856; 4) 744 886. 3.175. 1) Áîëüøå; 3) áîëüøå. 3.176. 2) 36 = 6 + 30. 3.177. 660 êã. 3.178. 38 äì. 3.179. 14 ñì. 3.180. Êðàñíûõ — 19, áåëûõ — 31, ñèíèõ — 43. 3.182. 78. 3.183. 1) 33 228; 3) 1960. 3.184. 2) 50; 4) 354; 6) 759. 3.185.  4 ðàçà. 3.186. 279; 280; 281. 3.192. 2) 20 − 4å; 4) 12ð + 117. 3.193. 1) 39; 2) 2; 3) 30; 4) 25. 3.194. 1) 3 293 016; 2) 9 191 998; 3) 24 014; 4) 512. 3.195. 1) 5b + 25; 3) 6c + 64; 5) 48 – 4m; 7) 2b + 4. 3.196. 2) 19; 4) 98. 3.197. 1) p = 8, q — ëþáîå; 3) p = 16, q — ëþáîå. 3.198. 2) k = 59, m — ëþáîå; 4) k = 2117, m — ëþáîå. Правообладатель Национальный институт образования 213 1) Äà; 3) äà. 2) Äà; 4) íåò. 1) Äà; 3) íåò. 2) Óâåëè÷èòñÿ â 4 ðàçà. 1) Íàïðèìåð, äåëèìîå óâåëè÷èòü â 10 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 2 ðàçà. 2) 512; 256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1. 1) 101. 120. 12. 45. 300. 30 êîìïëåêòîâ; 120 ñì. 63 : 9 = 7. 9 êðàñíûõ. 270 ì, 810 ì. 450 ã, 900 ã. 680 êã, 340 êã. 14; 56. 4; 8; 24. 4; 8; 32. 6 ÷. 16 ÷. Ýäèê — 105 ñì, Ïàøà — 100 ñì, Äèìà — 95 ñì. 16 êì. 49 ñì. 32. 50. 32. 692. ио 3.139. 3.140. 3.141. 3.142. Îòâåòû На ц ио на ль ны й ин ст и ту то бр аз ов ан ия 3.199. 1) m = 32, p — ëþ3.219. 1) 6050; 6051; 6052; áîå; 3) m = 2, p — 6053; 6054; 6055. ëþáîå. 3.220. 2) 88; 4) 42; 6) 13; 3.200. 2) a = 1, b — ëþáîå; 8) 888. 4) a = 15, b — ëþ3.221. 1) Âåðíî. áîå; 6) a = 27, b — 3.222. 7 êã 750 ã. ëþáîå. 3.223. 993 êã 600 ã. 3.201. 1) 21p; 3) 49k. 3.224. 576. 3.202. 2) 5à + 4b. 3.225. Áåðåç — 11, ñîñåí — 3.203. m + 28. 13, îñèí — 34. 3.204. 4n + 5. 3.226. 181; 169. 3.205. 5n + 50. 3.227. 29 = 3 ⋅ 8 + 5 ⋅ 1 = 3.206. 9331a; 2) 18 662; = 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4. 4) 74 648. 3.228. 3 ìèí. 3.207. 66. 3.229. Ïîëîæèòü ïî òðè 3.208. Âîäû — 800 ã, êîëüöà íà êàæäóþ æèðà — 400 ã, ÷àøó âåñîâ. ñàõàðà — 800 ã. 3.230. Íåò. 3.209. Ìîëîêà — 270 ã, 3.231. (3; 0) → (3; 3) → âîäû — 450 ã. → (2; 4) → (2; 0). 3.210. Êðóïû — 200 ã, 3.232. 56. ñàõàðà — 40 ã, 3.233. 76 : 4 + 51 : 3. ìàñëà — 20 ã. 3.234. 5. 3.211. 1) 600 ã; 2) 4 êã 400 ã. 3.235. 5. 3.212. 1) 450 ã; 2) 1 êã 80 ã. 3.236. 45 000. 3.213. Òâîðîã — 1120 ã, 3.237. 7. ìóêà — 320 ã, ìàñëî — 160 ã, ÃËÀÂÀ 4 ñìåòàíà — 240 ã, 4.5. 1) Äà; 3) äà. ñàõàð — 160 ã. 4.7. 1) 13; 26; 39; 52; 65; 3.215. 1) 1000; 3) 400. 78; 91; 3) 31; 62; 93. 3.216. 2. 4.10. 2) 1; 2; 3; 6; 53; 106; 3.217. 1) à) ≈ 18 860; 159; 318. á) ≈ 18 900; 4.11. 1) 90; 45; 30; 18; 15; 3) à) ≈ 95 830; 10; 9; 6; 5; 3; 2; 1. á) ≈ 95 800; 4.13. 1) 425; 450; 475; 5) à) ≈ 355 470; 3) 3075; 3100; 3125. á) ≈ 355 500. Правообладатель Национальный институт образования 214 Ãëàâà 4 ту то бр аз ов ан ия 4.67. 1) 9 ñì; 3) 14. 4.68. 2) 14 ñì. 4.69. à) 1) 2; 3) 4; á) 1) 4; 3) 6. 4.74. 2) 38 ñì; 4) 30 äì 8 ñì. 4.75. 1) 6 äì 5 ñì; 3) 66 ñì. 4.77. 1) Äà; 3) íåò; 5) íåò. 4.81. 1) 55 = 9 ⋅ 6 (îñò. 1); 3) 1593 = 18 ⋅ 88 (îñò. 9); 5) 798 = 987 ⋅ 0 (îñò. 798). 4.82. 2) 3; 4) 8. 4.85. 1) 47 534 = 23 ⋅ 2066 + + 16; 3) 136 017 = = 214 ⋅ 635 + 127. 4.87. ð = 4; k = 11; q = 2 ; l = 6; s = 58; m = 0 ; d = 43; n = 25. 4.88. 2) 11; 4) 14. 4.90. 2) 44; 4) 62. 4.94. 2) 3. 4.95. 1) 4; 3) 9; 5) 2; 7) 9; 9) 7; 11) 6; 13) 8. 4.96. 2) Íåò; 4) íåò. 4.97. 1) Äà; 3) äà. 4.98. 2) Íåò; 4) íåò. 4.100. 2) 1 èëè 6; 4) 0; 6) 9. 4.101. 11. 4.102. 4. 4.103. 13. 4.104. à) 2) Êóïå ¹ 4; 4) êóïå ¹ 8; á) 2) ¹ 9, 11, 12; 4) ¹ 25, 26, 28. 4.105. 1) 4-é ïîäúåçä 5-é ýòàæ; 3) 9-é ïîäúåçä 4-é ýòàæ. На ц ио на ль ны й ин ст и 4.16. 2) 300. 4.20. 6, èëè 12, èëè 18, èëè 24, èëè 30, èëè 36, èëè 42, èëè 48. 4.21. 72 ÷ èëè 144 ÷. 4.25. 1) 2; 82; 422; 940; 2710; 80 136; 630 264; 2) 130 025; 67 451; 64 823; 95; 9. 4.29. 1) 30; 3) 1170. 4.30. 2) à) ×åòíîå; á) íå÷åòíîå; 4) à) ÷åòíîå; á) íå÷åòíîå. 4.31. 1) ×åòíàÿ; 3) ÷åòíàÿ. 4.32. 2) Íåò. 4.33. 1) ×åòíîå; 3) ÷åòíîå. 4.36. 2) à) 0; á) íåâîçìîæíî; 4) à) 0; 2; 4; 6; 8; á) íåâîçìîæíî. 4.40. 2) 250; 280; 520; 580; 820; 850. 4.41. 1) 9 876 543 210; 1 023 467 895. 4.42. 2) 110; 4) 9585. 4.43. 1) 100; 3) 850. 4.44. 1) 75; 2) 550. 4.45. Íåò. 4.46. Âåðíî. 4.49. 7330. 4.51. 1) Äà; 3) íåò. 4.53. 1500. 4.54. 5500. 4.59. 1) 2 äì; 3) 13 ì 72 ñì. 4.60. 2) 2 äì 3 ñì; 4) 3 äì 8 ñì. 4.65. 7 ñì. 4.66. 9 ñì. Правообладатель Национальный институт образования 215 Îòâåòû ин ль ны й на ио На ц 216 ия ан то бр 4.133. 4.134. 4.135. 4.137. 4.138. 4.139. 1) 0; 3) 5. Âåðíî. Íåëüçÿ. 1) 112 ñì; 3) 760 ìì. 2) 204 ñì; 4) 2446 ñì. 148 ñì. 2) 486 äì2; 4) 2646 ì2. 52 äì2. 3352 ñì2. à) 30. à) 1620 ñì3; á) 1080 ñì 3. à) 648 äì3; á) 18 000 ñì3. 1) 238 328 000 ìì3 = = 238 328 ñì3. 3) 216 äì3. 2) 64 äì3; 4) 1331 äì3. 1) 1 ì3 = 1000 äì3; 6 ì3 = 6000 äì 3; 45 ì3 = 45 000 äì3. 2) 200; 4) 630; 6) 254 100. 1) Íà 27; 3) íà 8000.  ïåðâóþ íà 18 êóáèêîâ áîëüøå. 1) Ìåíüøå; 3) áîëüøå; 5) ìåíüøå. 2) 1176 ñì 3; 4) 14 400 ñì3. 1) 168 äì2; 3) 216 äì2. 2) 729 äì3; 4) 1 ñì3. 1) 125 ñì3; 3) 1331 ì3. 1) Íåò; 3) íåò. 1 äì, 2 äì, 4 äì. 216 ë. аз ов 4.127. 4.128. 4.129. 4.131. 4.132. ту 4.140. 4.141. ст и 4.106. à) 3 ⋅ n; á) 3 ⋅ n + 1; â) 3 ⋅ n + 2, ãäå n — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èëè 0. 4.107. 1) 15; 18; 30; 90; 126; 417; 585; 9990; 3) 18; 30; 90; 126; 9990. 4.108. 2) 64 953; 5 558 247; 303 003 009. 4.109. 1) Íå âñåãäà. 4.110. Âåðíî. 4.111. 1) à) 2, 5, 8; á) 5; 3) à) 0, 3, 6, 9; á) 6. 4.112. 2) à) 39; á) 18; 4) à) 612; á) 207. 4.113. 2) 1665. 4.114. 1) 1101. 4.115. 2) Äà; 4) íà 3 äåëèòñÿ, íà 9 íå äåëèòñÿ. 4.116. 1) Âåðíî. 4.117. 2) Íåò, íåò, äà, íåò. 4.118. 1) Âåðíî. 4.119. 2) à) 444; á) 444 444 444; 4) à) 6; á) 666. 4.120. 26 163. 4.121. 2) 3, 4, 5, 6, 7, 8; 4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. 4.122. Íåò, íåò, íåò, äà, íåò, äà. 4.123. 1 è 8, 2 è 7, 3 è 6, 4 è 5, 0 è 0. 4.125. 1) 0; 6; 3) 2; 8. 4.126. 3) ×èñëî äîëæíî äåëèòüñÿ è íà 3, è íà 5. 4.142. 4.143. 4.144. 4.145. 4.146. 4.147. 4.148. 4.149. 4.150. 4.151. 4.153. 4.154. 4.155. Правообладатель Национальный институт образования Ãëàâà 4 На ц ио на ту то бр аз ов ан ия 4.175. 1) 72 800; 3) 7 197 200. 4.176. 2) 173 221 ≈ 173 000; 4) 322 859 ≈ 323 000. 4.177. 1) Áîëüøå; 3) ðàâíû. 4.178. 2) 200; 202; 220; 222. 4.179. 1) 27 560; 3) 2907. 4.180. 200. 4.181. 16. 4.182. 2) 1; 4) 0. 4.183. 1) 277; 2) 17 849. 4.184. 2) 110; 4) 0. 4.185. 952 ñì2. 4.186. 6 ìèí. 4.187. 13. 4.189. 4, 5 è 8 âàãîíîâ; â êàæäîì ïî 59 ìåñò. 4.190. 60. 4.191. (0; 7) → (5; 2) → → (0; 2) → (2; 0) → → (2; 7) → (5; 4) → → (0; 4) → (4; 0) → → (4; 7) → (5; 6) → → (0; 6). 4.192. Ìîæåò. 4.193. 9. 4.194. 2 ÷. 4.197. 84 äì. 4.198. 375 ë. ст и ль ны й ин 4.156. 2) 30 ñì. 4.157. à) 86 äì3; á) 3240 ñì3. 4.158. 32 êì. 24 640 км ; 4.159. t мин км ; 1) 616 мин км . 3) 560 мин s ìèí; 2) 7 ìèí; 4.160. 580 3) 29 ìèí. 4.161. 96 êì. 4.162. 741 ì. 4.163. 11 ÷. 4.164. 3. 4.165. 7 ÷. км 4.166. 480 . ч 4.167. 3 êì. км ; 4) 20 êì. 4.168. 2) 5 ч 4.169. 1) 5 ÷. 4.170. 2) 6 ÷. км 4.171. 1) 4 . ч 4.172. 44 êì. 4.173. 12 ÷. 4.174. 750 ì, 700 ì. Правообладатель Национальный институт образования Aa à Bb Bb áý Cc Cc öý Dd Dd äý Ee Ee ý Ff Ff Gg Hh Jj ио Ll На ц Mm ан ýí î Pp Pp ïý Qq Qq êó Rr Rr ýð ýô Ss Ss ýñ Gg æå Tt Tt òý Hh àø Uu Uu ó Ii è Vv Vv âý Jj æè Ww Ww äóáëü-âý Kk êà Xx Xx èêñ Ll ýëü Yy Yy èãðåê Mm ýì Zz Zz çýò ст и ту Oo на Kk Nn Oo ль ны й Ii Nn Íàçâàíèå ин Aa Íà÷åðòàíèå êóðñèâïðÿìîå íîå аз ов Íàçâàíèå то бр Íà÷åðòàíèå êóðñèâïðÿìîå íîå ия Ëàòèíñêèé àëôàâèò Правообладатель Национальный институт образования ия Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü À ан äëèíà ëîìàíîé 80 — îòðåçêà 30 — ïðÿìîóãîëüíèêà 111 — ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 185 ио на à ãðàíü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 184 — áîêîâàÿ 185 — âåðõíÿÿ 185 На ц Ä äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 128, 129 — — — áåç îñòàòêà 173 — — — íàöåëî 173 — — — ñ îñòàòêîì 172, 173, 174 äèàìåòð êðóãà 170 — îêðóæíîñòè 167 то бр ту Å åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèíû 30 — — îáúåìà 188 — — ïëîùàäè 115 ст и ль ны й ин  âåðøèíà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 184 — òðåóãîëüíèêà 82 — óãëà 66 âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè 125 âûðàæåíèå áóêâåííîå 144 — ñ ïåðåìåííîé 144 âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 185 аз ов àð 116 Ç çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíûé ñëîæåíèÿ 60 — — óìíîæåíèÿ 100 çàêîí ðàñïðåäåëèòåëüíûé óìíîæåíèÿ 121, 122 çàêîí ñî÷åòàòåëüíûé ñëîæåíèÿ 63, 64 — — óìíîæåíèÿ 103 çâåíî ëîìàíîé 81 çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 139 È èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèê à 111 ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 190 Правообладатель Национальный институт образования 219 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü Ì ио на ìåòð 29 ìíîãîóãîëüíèê 83 ìíîæèòåëü 96 На ц Î îáúåì êóáà 189 — ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 189 îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 47 îêðóæíîñòü 166 îñíîâàíèå ñòåïåíè 107 îñòàòîê ïðè äåëåíèè 176 îòðåçêè ðàâíûå 29 220 аз ов ан ия Ï ïåðèìåòð êâàäðàòà 113 — ìíîãîóãîëüíèêà 83 — ïðÿìîóãîëüíèêà 113 ïëîñêîñòü 11 ïëîùàäü êâàäðàòà 116 — ïðÿìîóãîëüíèêà 117 ïîêàçàòåëü ñòåïåíè 107 ïðèçíàê äåëèìîñòè 159 — — íà 2 159, 160 — — íà 5 è íà 10 162, 163 — — íà 9 è íà 3 179, 180 ïðÿìàÿ 10 ïðÿìîóãîëüíèê 111 ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä 184 то бр ст и ль ны й ин Ë ëèòð 194 ëîìàíàÿ 80 — çàìêíóòàÿ 80 — íåçàìêíóòàÿ 80 ëó÷ 39 — êîîðäèíàòíûé 43 îòðåçîê 28 — åäèíè÷íûé 29 ту Ê êâàäðàò 111 — åäèíè÷íûé 115 — ÷èñëà 106 êëàññ â çàïèñè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 23 êîîðäèíàòà òî÷êè íà ëó÷å 44 êðàòíîå 156 êðóã 170 êóá 186 — åäèíè÷íûé 188 — ÷èñëà 106 Ð ðàäèóñ êðóãà 170 — îêðóæíîñòè 166 ðàçðÿäíûå åäèíèöû 19 — ñëàãàåìûå 19 ðàçðÿäû â çàïèñè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 18 ðàñêðûòèå ñêîáîê 125 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàì è 30 ðÿä íàòóðàëüíûé 4 Ñ ñâîéñòâà íàòóðàëüíîãî ðÿäà 5 Правообладатель Национальный институт образования Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ äåñÿòè÷íàÿ 14 — — ïîçèöèîííàÿ 15 ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 35 ñòåïåíü ÷èñëà 106, 107 ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà 82 — óãëà 66, 67 Õ õîðäà îêðóæíîñòè 166 — êðóãà 170 Ò × ÷àñòíîå 131, 173 — íåïîëíîå 173 ÷åòûðåõóãîëüíèê 82 ÷èñëî ìíîãîçíà÷íîå 16 — íàòóðàëüíîå 4 — íå÷åòíîå 160 — îäíîçíà÷íîå 15 — ÷åòíîå 160 аз ов ан ия Ö öåíòð êðóãà 170 — îêðóæíîñòè 166 öèôðà 15 ту ст и ль ны й ин Ó óãëû âåðòèêàëüíûå 71 — ðàâíûå 67 — ñìåæíûå 71 óãîë 66 — ïðÿìîé 70 — ðàçâåðíóòûé 69 — òðåóãîëüíèêà 82 óðàâíåíèå 89 то бр òî÷êà 10 òðåóãîëüíèê 82 На ц ио на Ô ôèãóðû ðàâíûå 112 Ø øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà 111 — ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 185 Правообладатель Национальный институт образования Îãëàâëåíèå ÃËÀÂÀ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 4 10 14 18 23 28 35 39 43 47 52 ту то бр аз ов ан ия 1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä 1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü ............................... 1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ............................. 1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà ................................ 1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà .................... 1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà ................................ 1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ....................... 1.8. Ëó÷ ............................................................. 1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷ ......................................... 1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................ Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................ ст и ÃËÀÂÀ 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ......................... Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ .................. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ....................... Óãîë ............................................................. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû ....................................... 2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................ 2.7. Ëîìàíàÿ ....................................................... 2.8. Ìíîãîóãîëüíèê ............................................. 2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòè .................................................... 2.10. Óðàâíåíèå ..................................................... Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................ На ц ио на ль ны й ин 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 56 59 62 66 69 73 80 82 86 88 92 ÃËÀÂÀ 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................ 96 3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ............... 100 222 Правообладатель Национальный институт образования Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ .................... Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì ..... Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò ................................ Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ............................. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè .............................................. 3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ............................. 3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìó ................................................... 3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìó .............................................. 3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ ................................... 3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ........................... 3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè ............................................ Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................ 102 106 111 115 121 125 128 ст и ту то бр аз ов ан ия 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 134 137 139 143 149 152 ÃËÀÂÀ 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ио на ль ны й ин Äåëèòåëè è êðàòíûå ...................................... Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2 ............................... Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10 .................. Îêðóæíîñòü ................................................. Êðóã ............................................................. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì ....................................... Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3 .................. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êóá ............ Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà ................................................ 4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ...................................... 4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿ ........................................................... Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................ На ц 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 155 159 162 166 170 172 179 184 188 194 198 203 Îòâåòû ................................................................. 207 Ïðèëîæåíèå ......................................................... 218 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ............................................ 219 Правообладатель Национальный институт образования 223 (Íàçâàíèå è íîìåð ó÷ðåæäåíèÿ îáùåãî ñðåäíåãî îáðàçîâàíèÿ) Ó÷åáíûé ãîä Èìÿ è ôàìèëèÿ ó÷àùåãîñÿ Ñîñòîÿíèå Îöåíêà ó÷åáíîãî ó÷àùåìóñÿ çà ïîñîáèÿ ïîëüçîâàíèå ïðè ó÷åáíûì ïîëó÷åíèè ïîñîáèåì ия 20 / ан 20 / аз ов 20 / 20 / то бр 20 / Ó÷åáíîå èçäàíèå ст и ту Êóçíåöîâà Åëåíà Ïàâëîâíà Ìóðàâüåâà Ãàëèíà Ëåîíèäîâíà Øíåïåðìàí Ëåâ Áîðèñîâè÷ è äð. ин МАТЕМАТИКА ль ны й Учебное пособие для 5 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения В 2 частях Часть 1 на 2-е издание, пересмотренное и дополненное На ц ио Íà÷. ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî îòäåëà Ã. È. Áîíäàðåíêî Ðåäàêòîð Ò. Â. Ïðèìà÷åíîê Îáëîæêà õóäîæíèêà È. À. Óñåíêî Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà À. Í. Êèñåëåâà Êîððåêòîðû Í. È. Ïîðõóí, Â. Ï. Øêðåäîâà Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 12.04.2013. Ôîðìàò 60×90/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 14,00. Ó÷.-èçä. ë. 5,38 + 0,38 ôîðç. Òèðàæ 89 670 ýêç. Çàêàç Íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêîå ó÷ðåæäåíèå «Íàöèîíàëüíûé èíñòèòóò îáðàçîâàíèÿ» Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ Ðåñïóáëèêè Áåëàðóñü. ËÈ ¹ 02330/0494469 îò 08.04.2009. Óë. Êîðîëÿ, 16, 220004, ã. Ìèíñê ÎÀÎ «Ïîëèãðàôêîìáèíàò èì. ßêóáà Êîëàñà». ËÏ ¹ 02330/0150496 îò 11.03.2009. Óë. Êîðæåíåâñêîãî, 20, 220024, ã. Ìèíñê Правообладатель Национальный институт образования