Прямые и плоскости в пространстве Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002. – 384 с. 502 Составить параметрические уравнения и общее уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 3, −5) и параллельной векторам {−5, 6, 4} и {2, −1, 0}. Решение. Параметрические уравнения можно записать сразу: x = 2 − 5 λ + 2µ, y = 3 + 6 λ − µ, z = −5 + 4 λ. Чтобы записать общее уравнение плоскости, сначала найдем вектор нормали: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ~i ~j ~k ¯ ¯ ¯ −5 6 ¯ ¯ −5 4 ¯ ¯ ¯ 6 4 ¯ ¯ ¯~ ¯~ ¯ ¯ ~i − ¯ ~n = ¯¯ −5 6 4 ¯¯ = ¯¯ ¯ 2 0 ¯ j + ¯ 2 −1 ¯ k = −1 0 ¯ ¯ 2 −1 0 ¯ = 4~i + 8 ~j − 7 ~k = {4, 8, −7}, тогда уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую вектор нормали ~n: 4 · (x − 2) + 8 · (y − 3) − 7 · (z + 5) = 0, 4 x + 8 y − 7 z − 67 = 0. Ответ: x = 2 − 5 λ + 2µ, y = 3 + 6 λ − µ, z = −5 + 4 λ, 4 x + 8 y − 7 z − 67 = 0. 516 Написать уравнения прямой, проходящей через точку (1, 2, 3) и пересекающей прямые x y+1 z−2 x y+2 z = = и = = . 2 −2 1 4 0 3 Решение. Рисунок 1. Искомая прямая – это прямая пересечения плоскостей, проходящих через заданную точку и содержащих заданные прямые. x y+1 z−2 Запишем уравнение плоскости π1 . Прямая l1 = = проходит через точку 2 −2 1 A1 (0, −1, 2) и имеет направляющий вектор a~1 {2, −2, 1}. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка −−→ −−→ −−→ −−→ плоскости π1 . Тогда векторы AM , AA1 и a~1 компланарны: (AM , AA1 , a~1 ) = 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x−1 y−2 z−3 ¯ ¯ x−1 y−2 z−3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 − 1 −1 − 2 2 − 3 ¯ = 0, ¯ −1 ¯ = 0, −3 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ 2 −2 1 ¯ −2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 −3 ¯ ¯ −1 −1 ¯ ¯ −3 −1 ¯ ¯ ¯ + (z − 3) ¯ ¯ − (y − 2) ¯ (x − 1) ¯¯ ¯ 2 −2 ¯ = 0, ¯ 2 1 ¯ −2 1 ¯ −5 (x − 1) − (y − 2) + 8 (z − 3) = 0, 5 x + y − 8 z + 17 = 0. Аналогично находим уравнение плоскости π2 : ¯ ¯ ¯ x−1 y−2 z−3 ¯ ¯ ¯ ¯ 0 − 1 −2 − 2 0 − 3 ¯ = 0, 12 x + 9 y − 16 z + 18 = 0. ¯ ¯ ¯ 4 0 3 ¯ 1 Итак, искомое уравнение прямой: ½ 5 x + y − 8 z + 17 = 0, Ответ: 12 x + 9 y − 16 z + 18 = 0. Для самостоятельного решения – задачи 497, 506, 515. x−7 y−4 z−5 534 (4) Установить взаимное расположение прямой = = и плоскости 5 1 4 3 x − y + 2 z − 5 = 0. Решение. Возьмем не канонические, а параметрические уравнения прямой: x = 5 t + 7, y = t + 4, z = 4 t + 5, и подставим их в уравнение плоскости: 3 (5 t + 7) − (t + 4) + 2 (4 t + 5) − 5 = 0, 22 t + 22 = 0, t = −1. Получили единственное значение параметра точку пересечения: x = y = z = t, значит, прямая пересекает плоскость. Найдем −5 + 7 = 2, −1 + 4 = 3, −4 + 5 = 1. Ответ: прямая пересекает плоскость в точке (2, 3, 1). 539 (2) Установить взаимное расположение прямых x = 1 + 2t x = −2 t y = 2 − 2t и y = −5 + 3 t z = −t z = 4 Решение. Первая прямая проходит через точку A1 (1, 2, 0) и имеет направляющий вектор ~a1 = {2, −2, −1}. Вторая прямая проходит через точку A2 (0, −5, 4) и имеет направляющий вектор ~a2 = {−2, 3, 0}. Направляющие векторы прямых неколлинеарны, значит, прямые не могут быть параллельными и не совпадают. −−−→ Если прямые скрещиваются, то векторы A1 A2 , ~a1 и ~a2 некомпланарны. Выясним, так ли это: ¯ ¯ ¯ −1 −7 ¯ 4 ¯ ¯ −−−→ (A1 A2 , ~a1 , ~a2 ) = ¯¯ 2 −2 −1 ¯¯ = −9 6= 0, ¯ −2 3 0 ¯ векторы действительно некомпланарны, значит, прямые скрещиваются. Ответ: прямые скрещиваются. Для самостоятельного решения – задачи 537 (3), 543 (3). 550 Даны уравнения граней тетраэдра x + 2 y − 3 z − 6 = 0, 2 y + 5 z − 4 = 0, 3 x + z + 1 = 0, x + 2 y = 0. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения первых двух его граней и параллельную линии пересечения третьей и четвертой граней. 2 Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей, определяемому первыми думя гранями тетраэдра: x + 2 y − 3 z − 6 + λ(2 y + 5 z − 4) = 0, x + (2 + 2 λ) y + (5 λ − 3) z − 6 − 4 λ = 0. Для того чтобы искомая плоскость была параллельна линии пересечения третьей и четвертой граней, необходимо и достаточно, чтобы вектора нормали этих трех плоскостей были компланарны: ¯ ¯ ¯ 1 2λ + 2 5λ − 3 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 ¯ = 0, 0 1 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 2 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 0 ¯ ¯ 3 1 ¯ ¯ 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 0 ¯ − (2 λ + 2) ¯ 1 0 ¯ + (5 λ − 3) ¯ 1 2 ¯ = 0, −2 + 2 λ + 2 + 30 λ − 18 = 0, λ = 9/16. Итак, искомой плоскости соответствует λ = 9/16, подставляем это значение параметра в уравнение пучка: x + 2y − 3z − 6 + 9 (2 y + 5 z − 4) = 0, 16 x + 50 y − 3 z − 132 = 0. 16 Ответ: 16 x + 50 y − 3 z − 132 = 0. Для самостоятельного решения – задача 549. 559 Даны две точки A = (−3, 1, 5) и B = (5, 4, 2) и плоскость 2 x − 4 y + z + 14 = 0. −→ Установить, пересекает ли данная плоскость отрезок AB, его продолжение за точку A или за точку B? Решение. Обозначим F (x, y, z) = 2 x − 4 y + z + 14, находим F (A) = 2 · (−3) − 4 · 1 + 5 + 14 = 9, F (B) = 2 · 5 − 4 · 4 + 2 + 14 = 10. Так как F (A) и F (B) одного знака, то точки A и B лежат в одной полуплоскости (по одну сторону от заданной плоскости). Поскольку |F (A)| < |F (B)|, то точка A ближе к плоскости, чем точка B. −→ Ответ: плоскость пересекает продолжение отрезка AB за точку A. 571 В пучке, определяемом плоскостями 2 x + y − 3 z + 2 = 0 и 5 x + 5 y − 4 z + 3 = 0, найти две перпендикулярные друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку (4, −3, 1). Решение. Запишем уравнение пучка: 2 x + y − 3 z + 2 + k(5 x + 5 y − 4 z + 3) = 0, (2 + 5 k)x + (1 + 5 k)y + (−3 − 4 k)z + 2 + 3 k = 0. Найдем значение параметра k, соответствующее плоскости из пучка, проходящей через точку (4, −3, 1): 4 (2 + 5 k) − 3 (1 + 5 k) − 3 − 4 k + 2 + 3 k = 0, k = −1. 3 Значит, уравнение одной из искомых плоскостей: (2 − 5) x + (1 − 5) y + (−3 + 4) z − 1 = 0, 3 x + 4 y − z + 1 = 0. Вектор нормали этой плоскости ~n1 = {3, 4, −1}. Выберем из пучка ту плоскость, вектор нормали ~n2 которой перпендикулярен вектору ~n1 : ~n2 = {2 + 5 k, 1 + 5 k, −3 − 4 k}, (~n1 , ~n2 ) = 0, 3(2 + 5 k) + 4(1 + 5 k) − (−3 − 4 k) = 0, k = −1/3. Уравнение второй плоскости: 3(2 x + y − 3 z + 2) − (5 x + 5 y − 4 z + 3) = 0, x − 2 y − 5 z + 3 = 0. Ответ: 3 x + 4 y − z + 1 = 0 и x − 2 y − 5 z + 3 = 0. 587 Даны три плоскости 2 x + 3 y − 4 z + 5 = 0, 2 x − z + 3 = 0, x + y − z = 0. Через линию пересечения двух первых плоскостей провести плоскость так, чтобы линия её пересечения с третьей плоскостью была перпендикулярна к линии пересечения первой и второй плоскостей. Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку, определяемому первыми двумя плоскостями. Уравнение пучка: 2 x + 3 y − 4 z + 5 + λ(2 x − z + 3) = 0, (2 + 2 λ)x + 3 y + (−4 − λ)z + 5 + 3 λ = 0. Вектор нормали плоскости, принадлежащей пучку: ~n = {2 + 2 λ, 3, −4 − λ}. Найдем направляющий вектор прямой пересечения искомой плоскости и третьей из данных плоскостей: ¯ ¯ ¯ ¯ ~k ~i ~j ¯ ¯ ¯ ~a = ¯ 2 + 2 λ 3 −4 − λ ¯¯ = ¯ 1 1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −4 − λ ¯ ¯ 2 + 2 λ −4 − λ ¯ ¯ 2 + 2λ 3 ¯ ~ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= = ~i ¯ − ~j ¯ +k¯ 1 −1 ¯ 1 −1 ¯ 1 1 ¯ = {1 + λ, −2 + λ, −1 + 2 λ}. Найдем направляющий вектор прямой пересечения первых двух плоскостей: ¯ ¯ ¯ ~i ~j ~k ¯ ¯ ¯ ¯ 2 3 −4 ¯ = −3~i − 6 ~j − 6 ~k = {−3, −6, −6}. ¯ ¯ ¯ 2 0 −1 ¯ В качестве направляющего вектора возьмем вектор, коллинеарный найденному, ~b = {1, 2, 2}. Из условия перпендикулярности векторов ~a и ~b определяем значение параметра λ, соответствующее искомой плоскости: ~a⊥~b ⇒ (~a, ~b) = 0, 1 + λ + 2(−2 + λ) + 2(−1 + 2 λ) = 0, λ = 5/7. 4 Уравнение искомой плоскости: 5 2 x + 3 y − 4 z + 5 + (2 x − z + 3) = 0, 24 x + 21 y − 33 z + 50 = 0. 7 Ответ: 24 x + 21 y − 33 z + 50 = 0. Для самостоятельного решения – задача 578. √ 590 Через ось Oz провести плоскость, образующую с плоскостью 2 x + y − 5 z − 7 = 0 угол π/3. Решение. Ось Oz можно представить как линию пересечения координатных плоскостей x = 0 и y = 0. Тогда уравнение пучка плоскостей, проходящего через ось Oz имеет вид x+ky = 0. Вектор нормали плоскости из пучка: ~n1 = {1, k, 0}. √ Вектор нормали заданной плоскости: ~n2 = {2, 1, − 5}. Угол между плоскостями π1 и π2 определяется по формуле cos(\ π1 , π 2 ) = |(~n1 , ~n2 )| . |~n1 | · |~n2 | Найдем значение k, используя эту формулу: cos π |2 + k| =√ , 5(1 + k 2 ) = 2(2 + k)2 , √ 2 3 1+k · 4+1+5 3 k 2 − 8 k − 3 = 0, k1 = 3, k2 = −1/3. Подставляем значения k в уравнения пучка, находим уравнения плоскостей x+3 y = 0 и 3 x−y = 0. Ответ: x + 3 y = 0 и 3 x − y = 0. x+7 y−6 z 593 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую = = и обра−2 3 1 π зующей угол с прямой x − y + z = 0, x − y + 2 z = 0. 3 x+7 y−6 z Решение. Запишем уравнение прямой = = в виде −2 3 1 x+7 z ½ = , x + 2 z + 7 = 0, −2 1 y − 6 z y − 3 z − 6 = 0. = , 3 1 Теперь удобно записать уравнение пучка плоскостей, проходящих через заданную прямую: x + 2 z + 7 + λ(y − 3 z − 6) = 0, x + λy + (2 − 3λ)z + 7 − 6λ = 0. Вектор нормали плоскости из пучка: ~n = {1, λ, 2 − 3 λ}. Найдем направляющий вектор прямой x − y + z = 0, x − y + 2 z = 0: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ~i ~j ~k ¯ ~j ~k ¯ ¯ ~i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 1 ¯ = ¯ 1 −1 1 ¯ = −~i − ~j. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 2 ¯ ¯ 0 0 1 ¯ 5 В качестве направляющего вектора возьмем вектор ~a{1, 1, 0}. По условию задачи угол между искомой плоскостью π и заданной прямой l равен π/3. Воспользуемся формулой cl) = |(~n, ~a)| . sin(π, |~n| · |~a| sin π |1 + λ| √ , 3 (10 λ2 − 12 λ + 5) = 2 (λ2 + 2 λ + 1), =p 2 2 3 1 + λ + (2 − 3 λ) · 2 28 λ2 − 40 λ + 13 = 0, λ1 = 1/2, λ2 = 13/14. Теперь мы можем записать уравнения искомых плоскостей: для значения λ = 1/2 имеем: 2 (x + 2 z + 7) + (y − 3 z − 6) = 0, 2 x + y + z + 8 = 0, для значения λ = 13/14 имеем: 14 (x + 2 z + 7) + 13 (y − 3 z − 6) = 0, 14 x + 13 y − 11 z + 20 = 0. Ответ: x + y + z + 8 = 0 или 14 x + 13 y − 11 z + 20 = 0. Для самостоятельного решения – задачи 594, 597. 609 Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между двумя плоскостями x − z − 5 = 0, 3 x + 5 y − 4 z + 1 = 0, в котором лежит начало координат. Решение. Все точки биссекторной плоскости равноудалены от плоскостей, образующих угол: |x − z − 5| |3 x + 5 y − 4 z + 1| √ √ = . 2 50 Записанное уравнение задает пару биссекторных плоскостей для двух заданных плоскостей. Обозначим F1 = x−z −5 и F2 = 3 x+5 y −4 z +1. Начало координат поможет нам установить нужную (лежащую в том же двугранном угле) биссекторную плоскость: F1 (0, 0, 0) = −5 < 0, следовательно, |x − z − 5| = −x + z + 5, F2 (0, 0, 0) = 1 > 0, следовательно, |3 x + 5 y − 4 z + 1| = 3 x + 5 y − 4 z + 1. Итак, уравнение искомой плоскости: 5 (−x + z + 5) = 3 x + 5 y − 4 z + 1, 8 x + 5 y − 9 z − 24 = 0. Ответ: 8 x + 5 y − 9 z − 24 = 0. 618 Найти растояние от точки (1, 2, 5) до прямой x = t, y = 1 − 2 t, z = 3 + t. Решение. Рисунок 2. Составим уравнение плоскости, перпендикулярной заданной прямой и содержащей заданную точку: 1 · (x − 1) − 2 · (y − 2) + 1 · (z − 5) = 0, (в качестве вектора нормали к плоскости используем направляющий вектор прямой) x − 2 y + z − 2 = 0. 6 Найдем точку пересечения заданной прямой и построенной плоскости: t − 2(1 − 2 t) + 3 + t − 2 = 0, t = 1/6. Точка пересечения (проекция заданной точки A на прямую) имеет координаты 1 1 2 1 19 xM = , y M = 1 − 2 · = , z M = 3 + = , 6 6 3 6 6 µ т.е. M = ¶ 1 2 19 , , . Искомое расстояние: 6 3 6 sµ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 √ 1 2 19 210 AM = −1 + −2 + −5 = . 6 3 6 6 √ 210 Ответ: . 6 Замечание. Существует формула, позволяющая непосредственно находить расстояние от точки до прямой. Приведенное решение можно рассматривать как доказательство этой формулы. 620 (1) Найти расстояние между двумя прямыми: x = 3 + t, y = 1 − t, z = 2 + 2 t и x = −t, y = 2 + 3 t, z = 3 t. Решение. Рисунок. Расстояние между скрещивающимися прямыми (а заданные прямые именно скрещиваются) можно найти как расстояние от точки на одной прямой до плоскости, параллельной первой прямой, сорержащей вторую прямую: ρ(l1 , l2 ) = ρ(A1 , π). Запишем уравнение плоскости π: −−−→ (A2 M , ~a1 , ~a2 ) = 0, здесь M (x, y, z) – произвольная точка ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ плоскости π, A2 (0, 2, 0), ~a1 = {1, −1, 2}, ~a2 = {−1, 3, 3}. ¯ x y − 2 z ¯¯ 1 −1 2 ¯¯ = 0, −1 3 3 ¯ 9 x + 5 y − 2 z − 10 = 0. Координаты точки A1 (3, 1, 2). Искомое расстояние: ρ(l1 , l2 ) = ρ(A1 , π) = |9 · 3 + 5 · 1 − 2 · 2 − 10| 18 p =√ . 110 92 + 52 + (−2)2 18 Ответ: √ . 110 Для самостоятельного решения – задачи 610, 621. 7