1 Òîïîëîãè÷åñêîå è ìåòðè÷åñêîå ñòðîåíèå ïîâåðõíîñòåé, ñîäåðæàùèõ ïðÿìóþ ([1]). Ïóñòü F ⊂ En äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 0 , èçîìåòðè÷íàÿ ïëîñêîñòè, è íà F ëåæèò åâêëèäîâà ïðÿìàÿ p. Òîãäà F áóäåò öèëèíäðîì ñ îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé p. Òåîðåìà 1 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F̄ äâóìåðíàÿ åâêëèäîâà ïëîñêîñòü, èçîìåòðè÷íàÿ ïîâåðõíîñòè F , à f : F → F̄ ñîîòâåòñòâóþùàÿ èçîìåòðèÿ1 . Äëÿ ëþáîé òî÷êè Q ∈ F è êðèâîé γ ⊂ F áóäåì îáîçíà÷àòü Q̄ := f (Q) è γ̄ := f (γ) èõ îáðàçû íà ïëîñêîñòè F̄ ïîä äåéñòâèåì èçîìåòðèè f . Òàê êàê f èçîìåòðèÿ, òî p̄ := f (p) ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè F̄ . Äàëåå, ââåäåì íà ïðÿìîé p̄ ïàðàìåòð äëèíû s, è ïóñòü òî÷êà P̄ (0) ∈ p̄ îòâå÷àåò çíà÷åíèþ s = 0, à òî÷êà P̄ (s) ∈ p̄ îòñòîèò îò íåå íà ðàññòîÿíèè s. Îáîçíà÷èì ÷åðåç m̄(s) ⊂ F̄ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó P̄ (s) ïåðïåíäèêóëÿðíî p̄. Êðèâàÿ m(s) ⊂ F ïðîîáðàç m̄(s), ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó P (s) ∈ p, ÿâëÿþùóþñÿ ïðîîáðàçîì P̄ (s). A) Ïîéìåì, êàê óñòðîåíû êðèâûå m(s). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ãèïåðïëîñêîñòü En−1 (s), ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó P (s) ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîé p. È ïóñòü l(s) := En−1 (s) ∩ F êðèâàÿ â ïåðåñå÷åíèè ïîâåðõíîñòè F ýòîé ãèïåðïëîñêîñòüþ. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ s ñïðàâåäëèâî (1.1) l(s) = m(s). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ s1 íà êðèâîé l(s1 ) ñóùåñòâóåò òî÷êà Q ∈ l(s1 ), ëåæàùàÿ îäíîâðåìåííî è íà íåêîòîðîé êðèâîé m(s2 ) äëÿ s1 6= s2 . Çàìåòèì, ÷òî ïî ïîñòðîåíèþ, êðèâàÿ l(s1 ) ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé p è ïåðåñåêàåò åå â òî÷êå P (s1 ). Ðàññìîòðèì òî÷êè Q̄ ∈ m̄(s2 ) è P̄ (s1 ) = p̄ ∩ m̄(s1 ). Íà ïðÿìîé p̄ âûáåðåì òî÷êó P̄ (s) òàê, ÷òîáû óãîë ∠P̄ (s)P̄ (s1 )Q̄ áûë îñòðûì è Q̄P̄ (s) < P̄ (s1 )P̄ (s). (1.2) Òóò è âåçäå äàëåå, äëÿ äâóõ òî÷åê A è B ïîä AB ìû ïîäðàçóìåâàåò äëèíó åâêëèäîâà îòðåçêà, èõ ñîåäèíÿþùåãî. Ðàññìîòðèì òî÷êè P (s1 ), Q, P (s) ∈ F è îòâå÷àþùèé èì òðåóãîëüíèê 4P (s1 )QP (s) ⊂ En , ñîñòàâëåííûé èç åâêëèäîâûõ îòðåçêîâ. Òàê êàê, ïî ïîñòðîåíèþ, òî÷êà Q ëåæèò â îðòîãîíàëüíîé ê p ãèïåðïëîñêîñòè En−1 (s1 ), òî ∠QP (s1 )P (s) = π/2. Ñëåäîâàòåëüíî, (1.3) QP (s) > P (s1 )P (s). Òàêæå, â ñèëó èçîìåòðè÷íîñòè ïîâåðõíîñòåé, èìååì P (s1 )P (s) = P̄ (s1 )P̄ (s) è Q̄P̄ (s) = ρ(Q, P (s)), ãäå ρ(Q, P (s)) äëèíà êðàò÷àéøåé (ãåîäåçè÷åñêîé) íà ïîâåðõíîñòè F , ñîåäèíÿþùåé òî÷êè Q è P (s). Èñïîëüçóÿ ýòè ðàâåíñòâà è (1.2), ïîëó÷àåì QP (s) 6 ρ(Q, P (s)) = Q̄P̄ (s) < P̄ (s1 )P̄ (s) = P (s1 )P (s), 1 Íàïîìíèì, ÷òî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ðèåé äâóõ ïîâåðõíîñòåé F1 è F2 , åñëè îòîáðàæåíèþ êðèâûõ.  òîì ÷èñëå, ñòè F1 è F2 f f f : F1 → F2 íàçûâàåòñÿ èçîìåò- ñîõðàíÿåò äëèíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ïî ýòîìó ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè. Ïîâåðõíî- íàçûâàþòñÿ èçîìåòðè÷íûìè. 1 ÷òî ïðîòèâîðå÷èò (1.3). Ðàâåíñòâî (1.1) äîêàçàíî. B) Ïîëó÷èì òåïåðü, ÷òî (1.1) âëå÷åò çà ñîáîé öèëèíäðè÷íîñòü F . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ q̄ ⊂ F̄ , ïàðàëëåëüíóþ p̄ è ïîêàæåì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé êðèâàÿ q ∈ F áóäåò åâêëèäîâîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé p. Âìåñòå ñ ïóíêòîì A) ýòî è áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî F öèëèíäð íóæíîãî âèäà. ×òîáû ðåàëèçîâàòü ñêàçàííîå âûøå, íà ïðÿìîé q̄ ðàññìîòðèì äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè Q̄1 è Q̄2 . Ïóñòü P̄1 ∈ p̄ è P̄2 ∈ p̄ îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç Q̄i íà ïðÿìóþ p̄. Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîîáðàçû Q1 , Q2 íà q è P1 , P2 íà p ÿâëÿþòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, âåðøèíàìè òðåõìåðíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ââåäåì â ýòîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà÷àëî êîîðäèíàò âîçüìåì â òî÷êå P1 . Îñü z íàïðàâèì ïî ïðÿìîé p è ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî Q1 ëåæèò â ïëîñêîñòè xy . Ïîëó÷èì ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû òî÷åê: P1 (0, 0, 0), P2 (0, 0, z2 ), Q1 (x1 , y1 , 0), Q2 (x2 , y2 , z2 ), ãäå xi , yj è z2 íåêîòîðûå ÷èñëà. Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíèå êîîðäèíàòû òî÷åê P2 è Q2 , â ñèëó A), ñîâïàäàþò. p Âèäíî, ÷òî P1 P2 = |z2 |, à Q1 Q2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + z22 > P1 P2 . Íî P1 P2 = P̄1 P̄2 = Q̄1 Q̄2 è Q1 Q2 6 ρ(Q1 , Q2 ) = Q̄1 Q̄2 . Çíà÷èò, Q1 Q2 6 P1 P2 . È òàêèì îáðàçîì, Q1 Q2 = P1 P2 . Ýòî âîçìîæíî, åñëè âî âñåõ íåðàâåíñòâàõ âûøå äîñòèãàþòñÿ ðàâåíñòâà, ÷òî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x1 = x2 , y1 = y2 (÷òî âëå÷åò Q1 Q2 ||P1 P2 ), è åâêëèäîâ îòðåçîê Q1 Q2 ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé íà ïîâåðõíîñòè F .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà òî÷åê Qi , ïîëó÷àåì, ÷òî q ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè F è ïàðàëëåëüíàÿ p. Òàêèì îáðàçîì, F öèëèíäð íóæíîãî âèäà. Òåîðåìà äîêàçàíà. ([2]). Ïóñòü D ⊂ E3 âûïóêëàÿ îáëàñòü, F = ∂D ãðàíè÷íàÿ ïîâåðõíîñòü. Òåîðåìà 2 1. Åñëè D ñîäåðæèò ïðÿìóþ p, òî F ÿâëÿåòñÿ öèëèíäðîì ñ îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé p. 2. Åñëè D ñîäåðæèò ëó÷, íî íå ñîäåðæèò íè îäíîé ïðÿìîé, òî F ãîìåîìîðôíà2 ïëîñêîñòè. 3. Åñëè D íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ëó÷à, òî F ãîìåîìîðôíà ñôåðå. 2 Íàïîìíèì, ÷òî ãîìåîìîðôèçìîì íàçûâàåòñÿ áèåêòèâíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå ê êîòîðîìó òîæå íåïðåðûâíî. 2 2 Ãàóññîâà êðèâèçíà âûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé Íà ëþáîé çàìêíóòîé3 ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè F ⊂ E êëàññà C ñóùåñòâóåò òî÷êà, â êîòîðîé ãàóññîâà êðèâèçíà F ïîëîæèòåëüíà. Óòâåðæäåíèå 2.1. 3 2 (Æ. Àäàìàð). Åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà â êàæäîé òî÷êå çàìêíóòîé ðåãóëÿðíîé êëàññà C 2 ïîâåðõíîñòè F ïîëîæèòåëüíà, òî F âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü. Òåîðåìà 3 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü D çàìêíóòàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷èâàåìàÿ ïîâåðõíîñòüþ F . Òàê êàê F çàìêíóòà, òî òàêàÿ îáëàñòü ñóùåñòâóåò. Ðàññìîòðèì âíóòðåííå ïîëå íîðìàëåé ê F .  ñèëó óòâåðæäåíèÿ 2.1, ïî îòíîøåíèþ ê âûáðàííîìó ïîëþ íîðìàëåé ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà Q ∈ F , ÷òî â íåé kn (Q) > 0. Çíà÷èò, ïî íåïðåðûâíîñòè, äëÿ ëþáîé P ∈ F è v ∈ TP F âûïîëíÿåòñÿ kn (P, v) > 0. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè Q ∈ int D îïðåäåëèì ΓQ := {P ∈ int D : îòðåçîê P Q ⊂ int D}. Ïîêàæåì, ÷òî ΓQ = D. (2.1) Èç ýòîãî, â ñèëó ñâÿçíîñòè D, è áóäåò ñëåäîâàòü óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3. A) Ìíîæåñòâî ΓQ îòêðûòî, ÷òî ñëåäóåò èç îòêðûòîñòè int D è âûïóêëîñòè ìíîæåñòâà, ÿâëÿþùåãîñÿ òðóáêîé íàä îòðåçêîì. B) Ïîêàæåì, ÷òî ΓQ çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê {Qi } ⊂ ΓQ òàêèõ, ÷òî Qi → Q0 è Q0 ∈ int D, ñëåäóåò ÷òî è òî÷êà Q0 ëåæèò â ìíîæåñòâå ΓQ . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, òî åñòü Q0 6= ΓQ . Òîãäà îòðåçîê QQ0 äîëæåí êàñàòüñÿ ïîâåðõíîñòè F â íåêîòîðîé P , ïðè÷åì P âíóòðåííÿÿ òî÷ −−→òî÷êå êà îòðåçêà QQ0 . Íî òîãäà kn P, P Q0 6 0. Ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ΓQ çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Èç A) è B) ñëåäóåò (2.1). Èìååò ìåñòî áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü F çàìêíóòàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïîâåðõíîñòü êëàññà C 2 , ïîãðóæåííàÿ â E3 . Åñëè ãàóññîâà êðèâèçíà F íåîòðèöàòåëüíà â êàæäîé, òî F âûïóêëà, à, ñëåäîâàòåëüíî, âëîæåíà. Òåîðåìà 4. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] À. À. Áîðèñåíêî. Î ñòðîåíèè íåïðåðûâíîé ïîâåðõíîñòè, ñîäåðæàùåé ïðÿìóþ. Óêðàèíñêèé ãåîìåòðè÷åñêèé ñáîðíèê, (14):2124, 1973. [2] V. A. Toponogov and Rovenski V. Dierential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide. Birkhauser, 2006. 3 Òî åñòü êîìïàêòíîé è áåç êðàÿ. 3