- EcoPlant

Модуль 3. Модели роста клетки
Лекция 4. Простые модели роста клеточных популяций
Введение
Основоположником математических популяционных моделей принято считать Т.Мальтуса,
который сформулировал закон роста народонаселения по геометрической прогрессии. В
дальнейшем было предложено множество моделей, которые учитывали влияние различных
факторов на рост популяции, в том числе и клеточных популяций. К наиболее простой
модели, используемая в наши дни, можно отнести модель Ферхюльста, которая предполагает
существование некоторого предела K, называемого емкостью среды, к которому стремится
численность популяции N при t → ∞ (I):
dN/dt=ε(K-N) N, (1)
где
εK=μ — удельная скорость роста популяции. Модель показывает, что смертность в
популяции
пропорционально
ее
численности.
Однако,
эта
модель
не
учитывает
лимитирующие факторы, которые способны ограничивать рост.
Часть А. Влияние лимитирующего фактора на рост клетки
К наиболее простым уравнениям описывающие рост клетки на питательной среде можно
отнести модели, которые учитывают влияние зависимости роста от концентрации лишь
одного субстрата (вещества), который называют лимитирующим; другие субстраты при этом
полагаются находящимися в избытке и не влияющими на скорость роста.
Лимитирующий фактор
Лимитирующий
фактор
(ограничивающий)
-
любой
экологический
фактор,
колическтвенные и качественные показатели которого как-либо ограничивают
жизнедеятельность организма.
٠1٠
Закон лимитирующих факторов был впервые изучен и сформулирован Юстусом фон
Либихом в 1840 г. в ходе наблюдений за влиянием на жизнедеятельность растений
химических удобрений. В ходе наблюдений он отметил, что ограничения внесения любого из
удобрений ведет к одинаковому результату замедлению роста растений. Таким образом,
Либих сделал вывод, что если даже единственный фактор влияющий на рост и развитие
растений будет находиться за пределами своего оптимума, то этот фактор будет приводит к
стрессовому состоянию организма, а в дальнейшем и к гибели.
Дальнейшие наблюдения показали, что закон лимитирующих факторов, или закон
минимумов Либиха, относится ко всем влияющим на организм факторам абиотическим и
биотическим. В широком смысле этот закон применим даже в отношении биохимических
реакций и экосистем в целом.
В контексте нашей лекции мы сформулируем закон лимитирующих факторов следующим
образом: развитие системы ограничивается при недостатке хотя бы одного необходимого ей
фактора. Лимитирующий фактор при этом понимают как фактор, в первую очередь
ответственный за ограничение роста и/или размножение организма или всей популяции.
Закон лимитирующего фактора часто выражают графически в виде «бочке Либиха»
Рис. 1. «Бочка Либиха» — графическое отображения закона Либиха .
Простейшая модель роста клетки вытекает из самого определения удельной скорости роста
( µ ) и имеет вид
dC / dt = µC
(2)
где µ — удельная скорость роста биологической системы / клетки / биомассы (С).
٠2٠
В данной модели неявно предполагается, что величина µ здесь постоянна, однако это не так,
– она строго зависит от концентрации субстрата. Задача как раз в том и состоит, чтобы найти
эту зависимость.
Модель Кобозева.
Эта простейшая модель дает аналогию с химической кинетикой
dC / dt = KSC,
(3)
где K – константа скорости, или µ = KC.
Графически эта модель представлена на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость удельной скорости роста микроорганизмов от концентрации субстрата,
подчиняющаяся химической кинетике (модель Кобозева).
Модель Блэкмана
Модель Блэкмана при малых концентрациях дает то же уравнение, однако при достижении
величиной S некоторого критического уровня S * (т. е. такого уровня концентрации
субстрата, когда снимается его действие в качестве лимитирующего фактора) скорость роста
прекращает увеличиваться:
(4)
٠3٠
Графически модель Блэкмана представлена на рис.3.
Рис. 3. Зависимость удельной скорости роста микроорганизмов от
концентрации субстрата по модели Блэкмана
Модель Моно
Модель Моно основана на ферментативной кинетике протекающих в клетках биохимических
превращений:
(5)
где Ks — константа связывания субстрата; μm — предельное значение скорости роста;
Теоретически максимальное значение μm равняется 1, однако, как будет показано ниже, на
скорость роста влияют множество факторов, например ингибиторы. Формула предложеная
Моно в 1942 г. является актуальной по настоящее время, так как имеет сходстве с формулой
Михаэлиса — Ментен для скорости ферментативной реакции. Закон роста Моно стали
рассматривать как скорость реакции узкого места в цепи ферментативных реакций
переработки субстрата. Графически модель Моно представлена на рис.4.
Рис. 4. Зависимость удельной скорости роста
от концентрации субстрата по модели Моно.
٠4٠
Модель Мозера-Мозера
Модель Мозера-Мозера учитывает сигмоидальный характер зависимости µ(S).
(6)
Здесь K – новый параметр, который является постоянным коэффициентом, при этом K > 1.
Графически модель Мюзера представлена на рис.5.
Рис.5. Зависимость µ(S) по уравнению Мозера-Мозера
Модель Перта
Модель Перта учитывает зависимость µ(S) не для лимитирующего, а для «стимулирующего»
субстрата и описывается уравнением вида.
(7)
Графически модель Перта представлена на рис.6.
Рис. 6. Зависимость по уравнению Перта
٠5٠
Модель Андрюса
Модель Андрюса учитывает ингибирование повышенными концентрациями субстрата
(рис.7) и описывается уравнением
(8)
Это уравнение отличается от уравнения Моно наличием в знаменателе квадратичного члена
S2 с новым кинетическим параметром K i.
Рис. 7. Зависимость µ(S) ингибированием повышенными концентрациями субстрата по модели Андрюса
Рост микроорганизмов зависит не только от концентрации субстрата S, но так же и от
концентрации продуктов метаболизма Р. Причем чаще всего накопление продуктов снижает
(ингибирует) скорость роста. Это ингибирование учитывается различными моделями.
Модель Хиншельвуда.
Модель Хиншельвуда. Наиболее простым является уравнение, предложенное Хиншельвудом,
µ = µ m − KP
(9)
Графическое выражение этого уравнения дано на рис. 8.
٠6٠
Рис.8 Ингибирование удельной скорости роста микроорганизмов
продуктом метаболизма по модели Хиншельвуда
Модель Иерусалимского
Модель Иерусалимского, подобно модели Моно, базируется на ферментативной кинетике и
описывается уравнением
(10)
(11)
где KP – константа ингибирования; µ m – максимальная удельная скорость роста.
Графическое выражение зависимости дано на рис. 9.
Рис. 9. Зависимость µ(Р) по модели Иерусалимского
٠7٠
Модель Иерусалимского которая отражает зависимость удельной скорости роста популяции
клеток μ от концентрации минимального субстрата и концентрации ингибитора.
Модель Бергтера
Модель Бергтера учитывает сигмоидальный характер зависимости µ(P), отражающей
ингибирование удельной скорости роста микроорганизмов продуктом метаболизма (рис. 10).
(12)
где K > 1.
Графическое выражение зависимости дано на рис. 10.
Рис. 10 Зависимость µ(Р) по модели Бергера
Модель частично ингибирующего продукта. Бывают ситуации, когда продукт как бы
частично ингибирует скорость роста микроорганизмов (не до нуля). Эта ситуация может
быть описана уравнением, подобным уравнению Перта для стимулирующего субстрата,
(13)
Графическое выражение зависимости дано на рис. 11.
٠8٠
Рис. 11 Влияние частично ингибирующего продукта
на удельную скорость роста микроорганизмов
Модель стимулирующего продукта
Изредка встречается процесс, в котором выделяемый клетками продукт метаболизма не
ингибирует, а стимулирует рост культуры. Эта ситуация отражена на рис. 12 и может быть
описана уравнением Перта для стимулирующего субстрата, каковым, по существу, и является
такой продукт:
(14)
Графическое выражение зависимости дано на рис. 12.
Рис. 12 Влияние стимулирующего рост продукта метаболизма
на удельную скорость роста микроорганизмов
٠9٠
Часть Б. Влияние двух факторов на рост клетки
Чаще всего приходится учитывать влияние двух субстратов (например, углеродного и
азотного, углеродного и кислородного). Такие уравнения бывают четырех основных типов.
1. Мультипликативные уравнения
В этом случае учет множества факторов производят за счет простого произведения функций
однофакторных зависимостей:
(15)
В данном уравнении каждый фактор автономен и может иметь свою собственную
зависимость. Например, один субстрат имеет зависимость по Моно, а второй – с
ингибированием по Андрюсу:
(16)
Чаще всего встречаются мультипликативные зависимости типа Моно-Моно
(17)
2 Аддитивные уравнения
В этом случае учет множества факторов производят за счет суммирования однофакторных
зависимостей. Такие зависимости встречаются довольно редко, чаще для двух субстратов
одного назначения (например, два углеродных субстрата: глюкоза и лактоза, глюкоза и
крахмал и т.д.):
+
٠ 10 ٠
(18)
Альтернативные уравнения
В этом случае учет множества факторов подчиняется принципу кинетического минимума:
(19)
Это уравнение показывает, что для каждого субстрата существует зависимость µ(S i) , когда
лимитирующим фактором является только этот субстрат. Реально же микроорганизм растет
со скоростью, которая является наименьшей из всех возможных µ(S i ).
Уравнения с неразделяющимися переменными.
Все три рассмотренных варианта, несмотря на кажущееся различие, сходны в одном – они
формируются из однофакторных зависимостей. Однако возможны и более сложные случаи,
когда многофакторную зависимость трудно разбить на однофакторные.
Например, существует уравнение конкурентного торможения вторым субстратом
(20)
Часть В. Влияние двух факторов на рост клетки
Многофакторные уравнения со смешанными факторами. До сих пор мы рассматривали
многофакторные уравнения с факторами одного типа (двухсубстратные). Однако едва ли не
чаще встречаются неоднородные многофакторные уравнения, в которых участвуют,
например, такие пары, как субстрат и продукт, субстрат и биомасса.
Среди них наиболее распространены уравнение типа Моно-Иерусалимского
(21)
или уравнение конкурентного торможения продуктом метаболизма
٠ 11 ٠
(22)
Особый интерес представляет уравнение Контуа, учитывающее влияние концентрации
биомассы на вид зависимости удельной скорости роста от концентрации субстрата,
(23)
Все рассмотренные ранее математические зависимости, даже и многофакторные, касались
собственно роста микроорганизмов. Однако существует представление о том, что в процессе
роста клеток, и особенно при замедлении роста и в стационарной фазе, одновременно с
ростом происходит диссимиляция, т.е. отмирание. Данные представления хорошо
согласуются с экспериментальными данными:
(24)
^ − удельная скорость отмирания биомассы в биотехнологическом
В этом уравнении µ
^ ^
процессе. При этом общая скорость отмирания обозначается Q = µC. Существует несколько
^:
уравнений, описывающих величину µ
1. Отсутствие отмирания
(25)
2. Уравнение Герберта.
В этом уравнении принято, что удельная скорость отмирания биомассы является величиной
постоянной:
(26)
3. Уравнение Ферхюльста.
В нем удельная скорость отмирания биомассы принята пропорциональной концентрации
биомассы, а общая скорость отмирания QC − пропорциональной квадрату концентрации
биомассы:
(27)
4. Уравнение Рамкришны.
٠ 12 ٠
Рамкришна принимал удельную скорость диссимиляции биомассы пропорциональной
концентрации ингибирующих продуктов метаболизма Р:
(28)
Это уравнение имеет аналогию с химическую кинетику взаимодействия продукта и
биомассы микроорганизмов.
5. Уравнение Колпикова
Это уравнение связывает удельную скорость диссимиляции с концентрацией субстрата S
(29)
^ − максимальная удельная скорость диссимиляции при нулевой концентрации
где µ
m
субстрата; Kd − константа субстратного ингибирования процесса диссимиляции.
Это уравнение дает переменную скорость отмирания в ходе процесса. Пока субстрата много,
идет рост, а отмирания или нет, или почти нет. С уменьшением концентрации субстрата
скорость отмирания биомассы плавно повышается. Такая картина вполне правдоподобна.
Часть Г. Влияние температуры на рост клетки
Помимо указанных факторов на кинетику роста микроорганизмов влияет и температура
процесса. Как и в любой кинетике, температура оказывает влияние на константы скорости
кинетических уравнений роста микроорганизмов. В принципе любая из констант в той или
иной мере может быть подвержена влиянию температуры.
Однако в кинетических уравнениях для роста чаще всего полагают, что температура влияет
на максимальную удельную скорость роста µ m , а на величины KS, Ki и т.д. – в меньшей
степени.
По аналогии с химической кинетикой температурное влияние часто пытаются описывать
законом Аррениуса:
٠ 13 ٠
(30)
где µm0 − предэкспоненциальный множитель; E − энергия активации; R − универсальная
газовая постоянная; T – абсолютная температура.
Проблема состоит в том, что данное уравнение описывает только увеличение скорости роста
и совсем не учитывает того обстоятельства, что реально зависимость роста микроорганизмов
от температуры имеет характер кривой с экстремумом.
Рис. 13. Типичный характер зависимости удельной скорости роста микроорганизмов µm
от температуры Т используют более простые эмпирические зависимости
Это можно объяснить все той же теорией об одновременно протекающих в клетке процессах
синтеза и распада клеточного материала. При этом зависимость «объединенной» константы µ
m от температуры отображает разность двух сопряженных процессов, каждый из которых
подчиняется закону Аррениуса, что можно описать уравнением
(31)
где µ1 и µ2 − соответственно предэкспоненциальные множители для синтеза и распада
биомассы; E1 и E2 − энергии активации этих процессов.
Часто для этой цели используют более простые эмпирические зависимости
(31)
٠ 14 ٠
где µ0, µ1, µ2 − коэффициенты, найденные путем обработки экспериментальных данных.
Аналогичного вида зависимость используется и для оценки зависимости скорости роста
микроорганизмов от pH среды.
Часть Д. Влияние продуктов на рост клетки
Одновременно с ростом микроорганизмов или несколько сдвинуто во времени, но в одном и
том же процессе ферментации происходит также биосинтез продуктов метаболизма.
Закономерности этого процесса также требуют своего математического описания.
Казалось бы, искусственно выведенный математический параметр – удельная скорость роста
µ – послужил основой составления многих математических моделей биосинтеза продуктов
метаболизма. Собственно говоря, процессы биосинтеза продуктов издавна делили на два
больших класса – связанные с ростом и не связанные с ростом микроорганизмов. В качестве
примера процессов первого класса можно назвать биосинтез конститутивных ферментов
клетки, а второго класса – биосинтез многих антибиотиков, интенсивный синтез которых
происходит после прекращения роста микроорганизмов.
Удельная скорость биосинтеза продуктов, связанных с ростом микроорганизмов, может быть
выражена простым соотношением
(32)
или
(33)
Более сложное выражение было предложено Людекингом и Пайри:
(34)
или
(35)
(36)
+
٠ 15 ٠
где а и b − константы.
Эти уравнения дают выпуклую и вогнутую кривые, выходящие из начала координат
Рис.10. Зависимости qP (µ) по уравнениям (35) и (36) кривые 1 и 2 соответственно.
Как и рост микроорганизмов, биосинтез продукта может описываться однофакторными или
многофакторными уравнениями. Более того, и сами виды зависимости qP от S, P,
температуры и величины pН практически такие же, как и уравнения для удельной скорости
роста микроорганизмов: Моно, Андрюса, Перта, Мозера, Бергтера, Хиншельвуда и т. д.
Многофакторные
зависимости
здесь
чаще
бывают
мультипликативными,
чем
альтернативными или аддитивными. Используют также уравнения с неразделяющимися
эффектами факторов типа Контуа или неконкурентного торможения продуктом, например:
(37)
или
(38)
Для биосинтеза продуктов метаболизма часто бывает недостаточно также и «внешних»
факторов среды. Ведь в биосинтезе участвуют внутриклеточные ферменты микроорганизмов,
промежуточные продукты, содержание которых в клетке зависит от предыстории развития
культуры.
Однако и учитывать эти внутриклеточные компоненты при моделировании опасно – их
٠ 16 ٠
трудно измерять и, соответственно, находить кинетические коэффициенты. Вместо этого
предложены некоторые феноменологические подходы к оценке физиологического состояния
микробной биомассы. Эти подходы основывают на оценке возрастного состояния популяции
клеток.
Достаточно часто влияние возрастного состояния популяции клеток на кинетику биосинтеза
продуктов метаболизма имеет возрастающий характер с насыщением, в этом случае ее
удобно выразить в форме, похожей на уравнение Моно:
(39)
или
(40)
где θ – средний возраст популяции.
-
Рис. 11 Варианты зависимости qP(θ) с насыщением:
1 – по уравнению (39); 2 – по уравнению (40)
Если, наоборот, она убывает с возрастом (рис. 12), то лучше подходит выражение, подобное уравнению
Иерусалимского:
٠ 17 ٠
(41)
или
(42)
Рис. 12 Варианты зависимости qP(θ) с насыщением:
1 – по уравнению (41); 2 – по уравнению (42)
Часто
используется
полиноминальная
форма
зависимости,
учитывающая
наличие
экстремума,
(43)
Хорошо подходит для многих процессов кусочно-линейная аппроксимация (рис. 13)
зависимости qP (θ).
(44)
Возможны и другие зависимости в соответствии с характером кривой qP (θ).
-
Рис. 13 Кусочно-линейная форма зависимости qP (θ) по уравнению (44).
٠ 18 ٠
В ряде случаев складывается ситуация, когда синтезированные продукты метаболизма не
всегда остаются устойчивыми; часто они настолько лабильны, что разрушаются уже в
процессе самой ферментации. Поэтому, описывая материальный баланс по продукту
метаболизма, необходимо учитывать кинетику его инактивации
(45)
где QP − общая скорость деградации продукта метаболизма.
В данном случае правильно брать именно общую скорость, так как причиной разложения
продукта совсем не обязательно должна быть биомасса.
В этой связи рассмотрим варианты моделирования кинетики деградации:
деградация отсутствует
(46)
деградация идет с постоянной скоростью
(47)
нормальная реакция первого порядка
(48)
Реакция разложения идет по уравнению химической кинетики с показателем степени n
(больше или меньше 1):
(49)
Реакция разложения зависит не только от концентрации продукта, но и от концентрации
биомассы:
(50)
Скорость реакции разложения зависит от концентрации биомассы и возрастает с
концентрацией продукта до какого-то предела:
(51)
٠ 19 ٠
На рис. 14 для сравнения представлено графическое выражение различных зависимостей от
концентрации продукта метаболизма.
-
Рис. 14. Варианты зависимости QP(P):
1 – по уравнениям (47) и (48); 2 – по уравнению (49) при n > 1;
3 – по уравнению (49) при n < 1; 4 – по уравнению (51); 5 – по уравнению (46)
٠ 20 ٠
Использованная литература
Дворецкий Д.С., Дворецкий С.И., Муратова Е.И., Ермаков А.А. Компьютерное
моделирование биотехнологических процессов и систем. Тамбов: Из-во Тамб. гос. ун-та.
2005. 80 с.
٠ 21 ٠