Асимптотические представления решений дифференциального уравнения с параметром В. В. Кузнецов, Н. А. Кузнецова

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№5, Том 2, 2013
В. В. Кузнецов, Н. А. Кузнецова
Асимптотические представления решений
дифференциального уравнения с параметром
Аннотация: в статье исследуется дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее большой числовой параметр, доказано существование двух линейно независимых решений, получены асимптотические представления решений и их производных первого порядка.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, параметр, асимптотические представления.
В. В. Кузнецов,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры корпоративных информационных систем Национального исследовательского
университета «Высшая школа экономики».
Базовое образование: физический факультет Воронежского государственного университета.
Тема кандидатской диссертации: Спецтема.
Основные публикации: «Существование
и априорная оценка решения задачи Дирихле для
вырождающегося уравнения с параметром»
(2012); «Построение асимптотических представлений решений дифференциального уравнения с вырождением. Математические методы в технике и технологиях – МТТ 26» (2013).
Сфера научных интересов: дифференциальные уравнения, информационные системы.
E-mail: ivanovivan123@mail.ru; vkuznetsov@
hse.ru
Целью настоящей работы является изучение свойств решений обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, содержащего большой числовой параметр. Ряд свойств
таких решений был установлен в работах [1, 2, 4]. В предлагаемой работе доказано, что при выполнении определенных условий
рассматриваемое уравнение имеет два линейно независимых решения, для этих решений и их производных первого порядка получены
асимптотические представления.
Рассмотрим вырождающееся обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка
α 2 (t ) y ′′(t ) − (−1) j ( b(t ) + ikf (t )α(t ) ) y ′(t ) − k 2 c(t ) y (t ) =0,
=
j 0,1, t ∈ (0, δ),
(1)
содержащее большой числовой параметр k ∈ R1+ .
Предполагается, что коэффициенты уравнения удовлетворяют
следующим условиям:
α(t ) ∈ C 4 (0, ∞),
b(t ), f (t ) ∈ C 3 (0, ∞),
1
c(t ) ∈ C 2 (0, ∞); (2)
Н. А. Кузнецова,
(3)
c(t ) − f 2 (t ) > 0; b(0) = 1 ;
4
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры высшей математики и фиα(0) =
α′(0) =
0, α(t ) > 0 при t > 0; α(t ) =
α 0 при t ≥ δ > 0 ; (4)
зики Государственного университета земле­
Предполагается также, что существуют t0 ∈ (0, δ) и N > 1 такие,
устройства.
Базовое образование: математический фа- что
культет Воронежского государственного уни(5)
α(t ) ∈ C N +1 (0, t0 ), α ( N ) (0) ≠ 0.
верситета.
Тема кандидатской диссертации: «АсимДоказано [3], что при выполнении сформулированных условий,
птотические методы в теории дифференци- при t ∈ (0, δ)
существует достаточно большое число k0 > 0 , таальных уравнений с вырождением».
кое, что при k ≥ k0 рассматриваемое уравнение имеет два линейно
Основные публикации: «Существование независимых решения: y (=
1,=
2, j 0,1 . Для этих решений
n j t ), n
и априорная оценка решения задачи Дирихле
и их производных первого порядка установлены асимптотические
для вырождающегося уравнения с параметром» (2012); «Построение асимптотиче- представления. Далее мы будем изучать свойства уравнения (1) при
t ∈ (δ, ∞) . Для этого наложим на функции, входящие в уравнение
ских представлений решений дифференциаль(1),
дополнительные условия:
ного уравнения с вырождением. Математические методы в технике и технологиях – МТТ
(6)
=
b ( n ) (t ) O=
(t −1−ε ), f ( n ) (t ) O=
(t −1−ε ), c ( n ) (t ) O(t −1−ε ),
26» (2013).
Сфера научных интересов: дифференциальε>
=
0, n 1, 2,3, t → ∞.
ные уравнения.
E-mail: kuznetsovanata@gmail.com
26
1. МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Согласно условию (4) при t ≥ δ > 0 функция α(t ) =
α 0 , поэтому на луче (δ, ∞) однородное уравнение
(1) удобно исследовать, преобразовав его к виду
j
y′′ ( t ) + ( −1) β ( t , k ) y ′ ( t ) − k 2 c ( t ) α 0−2 y (=
t ) 0, t ∈ ( 0, ∞ ) , =
j 0,1, (7)
β ( t , k )= b ( t ) α 0−2 + ikf ( t ) α 0−1 . (8)
где
Замена
t

j +1 1

y ( t ) =exp ( −1)
β ( t , k )dt  z ( t )
∫
2δ


приводит уравнение (7) к виду
z ′′ ( t ) − Q j ( t , k ) z=
( t ) 0,
(9)
t ∈ ( δ, ∞ ) ,=
j 0,1, (10)
где
1 2
j 1
(11)
β (τ, k ) + k 2 α 0−2 c(t ) + ( −1) β′t (t , k ). 4
2
Лемма 1. При выполнении условий (2)–(6) на коэффициенты уравнения (1) и k ≥ k0 > 0, k0 – достаточно велико, функция Q j ( t , k ) , j = 0,1, t ∈ (δ, ∞) , удовлетворяет требованиям:
Q j (t , k ) =
Q j ( t , k ) ∈ C 2 ( ( a, b ) ) , Q ( t ) ≠ 0 при t ∈ ( a, b ) ;
Q j2 ( t , k ) ∈ C 2 ( ( a, b ) ) , Re Q ( t ) ≥ 0 при t ∈ ( a, b ) ; (12)
1
ρ ( hn , t )=
t
∫ α ( t ) dt
1
(13)
< ∞ при t ∈ ( a, b ) , (14)
hn
где α1 j ( t )
=
−3
−5
2
1
5
Q ′′j ( t , k ) Q j 2 ( t , k ) − ( Q ′j ( t , k ) ) Q j 2 ( t , k ) , 8
32
(15)
δ, n =
1
a =
.
hn = 
∞, n =
2
b =
Доказательство. Принадлежность функций Q j ( t , k ) , j = 0,1, пространству C 2 ( ( δ, ∞ ) ) вытекает
из условия (2). Из представлений (8) и (11) имеем
Q j ( t ,=
k)
1 2
1
1
b (t )α 0−4 + ikf (t )b(t )α 0−3 + k 2 (c(t ) − f 2 (t ))α 0−2 +
4
2
4
+(−1) j ( b′ ( t ) α 0−2 + ikf ′ ( t ) α 0−1 ) . (16)
Следовательно, в силу условия (9) при k ≥ k0 справедливы соотношения
Re Q j ( t=
, k ) k 2 (c(t ) −
1
1 2
f (t ))α 0−2 + O(1) > 0.
4
В качестве корня Q j2 ( t , k ) рассмотрим функцию
1
1
1

=
Q j2 ( t , k ) Q j ( t , k ) 2 exp  arg Q j ( t , k )  , arg Q j ( t , k ) ∈ ( −π, π ) .
2

1
Функция Q j2 ( t , k ) принадлежит множеству C 2 ( ( δ, ∞ ) ) , так как Q j (t , k ) ∈ C 2 ( ( δ, ∞ ) ) и Q j (t , k ) ≠ 0 при
 π π
t ∈ (δ, ∞) . Поскольку при k ≥ k0 > 0, k0 – достаточно велико, Re Q j ( t , k ) > 0 , то arg Q j ( t , k ) ∈  − ,  .
 2 2
1
1
2
 π π
Поэтому arg Q j2 ( t , k ) ∈  − ,  и, следовательно,
< Re Q j2 ( t , k ) < 1 при k ≥ k0 . Таким образом, функ2
 4 4
ция Q j ( t , k ) , j = 0,1 удовлетворяет условиям (12)–(13).
Для доказательства справедливости условия (14) получим необходимые вспомогательные оценки.
Из представления (16) и условия (2) следует, что при k ≥ k0 > 0, k0 – достаточно велико, имеют место
оценки
2
2
(17)
c1 (1 + k ) ≤ Re Q j ( t , k ) ≤ c2 (1 + k ) , c=
c1 ( k0 ) > 0, c=
c2 ( k0 ) > 0, 1
2
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
№5, Том 2, 2013
Im Q j ( t , k ) ≤ c3 (1 + k ) , c3= c3 ( k0 ) > 0, (18)
Q j ( t , k )  (1 + k ) . (19)
2
2
Из представления (16) и условий (2) и (6) имеем:
Q ′j ( t , k ) ≤ (1 + k ) O ( t −1−ε ) , (20)
Q ′′j ( t , k ) ≤ (1 + k ) O ( t −1−ε ) . (21)
2
2
Представление (15) и оценки (19)–(21) позволяют при k ≥ k0 и t → ∞ установить следующее неравенство
=
α1 j ( t )
−3
−5
2
1
5
−1
Q ′′j ( t , k ) Q j 2 ( t , k ) − ( Q ′j ( t , k ) ) Q j 2 ( t , k ) ≤ (1 + k ) O ( t −1−ε ) .
8
32
Полученное неравенство позволяет проверить выполнение условия (14). Пусть n = 1, h1 = δ , тогда
справедлива оценка
t
ρ1 j ( δ, t=
)
∫
α1 j ( t ) dt ≤ (1 + k )
δ
−1
t
−1−ε
∫ O ( ( t ) ) dt ≤ c
δ
δ −3 − t −3
<∞ .
k
Пусть n = 2, h1 = ∞ , тогда имеет место оценка
ρ2 j ( ∞, t=
)
t
∫
∞
α1 j ( t ) dt ≤ (1 + k )
−1
∞
∫ O ( ( t ) ) dt
−1−ε
≤ ckt −3 <∞.
t
Таким образом, выполнены все условия (12)–(15). Лемма 1 доказана.
Лемма 2. При выполнении условий (2)–(6) на коэффициенты уравнения (1) и k ≥ k0 > 0, k0 – достаточно велико, уравнение (10) имеет два линейно независимых решения z1 j ( t ) и z2 j ( t ), j = 0,1, для
которых справедливы асимптотические представления:
=
znj ( t ) znj0 ( t , k ) (1 + ε nj ( t =
, k ) ) , n 1, 2, (22)
1


1
n +1
=
znj′ ( t ) zn0j ( t , k )  ( −1) Q j2 ( t , k ) − Q ′j ( t , k ) Q −j 1 ( t , k )  (1 + εonj ( t , k ) ) , 4


где
t
−1
1

n +1
=
znj0 ( t , k ) Q j2 ( t , k ) exp ( −1) ∫ Q j2 ( t , k )dt

δ

, 
(23)
(24)
ε nj ( t , k ) = V1n ( t ) + V2n ( t ) − 1, (25)
1
1
Q 0.5
Q ′j ( t , k ) Q −j 1 ( t , k ) U 21 ( t )
j ( t , k ) U1 ( t ) −
4
,
ε (t, k ) =
1 −1
′
Q 0,5
t
k
−
Q
t
k
Q
t
k
,
,
,
) j( )
)
j (
j (
4
(26)
1 −1
2
Q 0,5
Q j ( t , k ) Q j′ ( t , k ) U 22 ( t )
j ( t , k ) U1 ( t ) +
4
,
ε (t ) =
1 −1
′
Q 0,5
t
k
+
Q
t
k
Q
t
k
,
,
,
) j( )
)
j (
j (
4
(27)
0
1j
0
2j
где U11 ( t ) = V11 ( t ) − V21 ( t ) − 1 , U 21 ( t ) = V11 ( t ) + V21 ( t ) − 1 ,
U12 ( t ) = V22 ( t ) − V12 ( t ) − 1 , U 22 ( t ) = V22 ( t ) + V12 ( t ) − 1 ,
функции V1n ( t ) и V2n ( t ) , n = 1, 2 являются решениями систем интегральных уравнений (при h = δ и h = ∞ соответственно), определенных в [4].
Доказательство. Из леммы 1 вытекает, что функция Q j ( t , k ) , j = 0,1, удовлетворяет условиям (12)–
(14) при t ∈ (δ, ∞) и k ≥ k0 > 0, k0 – достаточно велико. Следовательно, для уравнения (10) справедлива
лемма 1 [3], из которой вытекает справедливость утверждений (22)–(27).
Лемма 2 доказана.
28
1. МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Теорема. При выполнении условий (2)–(6) на коэффициенты уравнения (1), t ∈ (δ, ∞) и k ≥ k0 > 0, k0 –
достаточно велико, уравнение (10) имеет два линейно независимых решения y1 j ( t ) и y2 j ( t ) , j = 0,1,
для которых справедливы асимптотические представления
=
ynj ( t ) ynj0 ( t , k ) (1 + ε nj ( t=
, k ) ) , n 1, 2, (28)
=
ynj′ ( t ) ynj0 ( t , k ) Pnj ( t , k ) (1 + ε∗nj ( t , k ) ) , (29)
где
1
 t 

j +1 1
n +1
ynj0 ( t , k ) =α 0−0,5Q −j 0,5 ( t , k ) exp  ∫  ( −1)
β ( t , k ) + ( −1) Q j2 ( t , k ) dt
2

 δ 
1
1
1
j +1
n +1
Pnj ( t , k ) = ( −1)
β ( t , k ) + ( −1) Q j2 ( t , k ) − Q −j 1 ( t , k ) Q ′j ( t , k ) 2
4
ε1 j (t , k ) ≤ ck −1 ,
ε 2 j (t , k ) ≤ ct −ε k −1 ,
ε∗2 j (t , k ) ≤ ct −ε k −1 ,
(30)
ε1 j (δ, k ) =
0, ε >0,
ε1∗ j (t , k ) ≤ ck −1 ,

, 
c>0,
ε 2 j ( ∞, k ) =
0
ε1∗ j (δ, k ) =
0, ε >0,
c>0,
ε∗2 j (∞, k ) =
0 .
Все постоянные, присутствующие в оценках, положительны и зависят только от k0 , функции β ( t , k ) и Q j ( t , k ) , j = 0,1, определены в (8) и (11) соответственно.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Глушко В. П. Оценка в L2 и разрешимость общих граничных задач для вырождающихся эллиптических
уравнений второго порядка // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1970. – Т. 187, 23. – С. 113–178.
Кузнецов В. В., Кузнецова Н. А. Существование и априорная оценка решения задачи Дирихле для вырождающегося уравнения с параметром // Ученые записки Российского государственного социального
университета. – 2012. – Т. 103. – № 3. – С. 170–174.
Кузнецов В. В., Кузнецова Н. А. Построение асимптотических представлений решений дифференциального уравнения с вырождением. Математические методы в технике и технологиях – МТТ-26: сб. трудов
XXVI Междунар. науч. конф.: в 10 т. – Т. 1. – Секция 1, 15/под общ. ред. А. А. Большакова. – Н. Новгород:
Нижегород. гос. техн. ун-т, 2013. – С. 29–30.
Лаптев Г. И., Лаптева Н. А. Почти равномерно монотонные операторы в банаховом пространстве // Ученые
записки Российского государственного социального университета. – 2009. – № 7. – Ч. II. – С. 214–219.
Лаптев Г. И., Лаптева Н. А. Критические степени для уравнения теплопроводности с нелокальным нелинейным возмущением // Ученые записки Российского государственного социального университета. –
2009. – № 13. – С. 232–239.
Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1980. – 352 с.
Spisok literatury
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Glushko V. P. Otsenka v L2 i razreshimost’ obshhikh granichnykh zadach dlya vyrozhdayushhikhsya
ehllipticheskikh uravnenij vtorogo poryadka // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1970. – T. 187, 23. – S. 113–178.
Kuznetsov V. V., Kuznetsova N. А. Sushhestvovanie i apriornaya otsenka resheniya zadachi Dirikhle dlya
vyrozhdayushhegosya uravneniya s parametrom // Uchenye zapiski Rossijskogo gosudarstvennogo sotsial’nogo
universiteta. – 2012. – T. 103. – № 3. – S. 170–174.
Kuznetsov V. V., Kuznetsova N. А. Postroenie asimptoticheskikh predstavlenij reshenij differentsial’nogo
uravneniya s vyrozhdeniem. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh – MTT-26: sb. trudov XXVI
Mezhdunar. nauchn. konf.: v 10 t. T.1. Sektsiya 1, 15/pod obsh. red. А. А.Bol’shakova. – Nizhnij Novgorod:
Nizhegorod. gos. tekhn. un-t, 2013. – S. 29–30.
Laptev G. I., Lapteva N. А. Pochti ravnomerno monotonnye operatory v banakhovom prostranstve // Uchenye
zapiski Rossijskogo gosudarstvennogo sotsial’nogo universiteta, 2009. – № 7. – Ch. II. – S. 214–219.
Laptev G. I., Lapteva N. А. Kriticheskie stepeni dlya uravneniya teploprovodnosti s nelokal’nym nelinejnym
vozmushheniem // Uchenye zapiski Rossijskogo gosudarstvennogo sotsial’nogo universiteta. – 2009. –
№ 13. – S. 232–239.
Fedoryuk M. V. Obyknovennye differentsial’nye uravneniya. – M.: Nauka, 1980. – 352 s.
29