Вестник Московского университета. Серия 46 3. Физика. Астртю,1iuЯ. 2000. №1 ГЕОФИЗИКА УДК 537.86:519.2; 537.876.23:551.510 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ УСРЕДНЕНИЯ ВДОЛЬ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И УСРЕДНЕНИЯ ПО ОБЪЕМУ ДЛЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ А. Г. Вологдин, В. Д. Гуев (кафедра физики атмосферы) Доказа110, что возможно получить простра11стве1шые ста"Пtспtчсс1ше хара1стеристшш СJiучай­ по-псодпородпых сред оутем усредпен11я вдоль r11шмой шщии r~роизвольпоrо паr1равлен11я вместо усреД11е1шя по объему. Тем самым 1шйде110 новое решение проблемы пространственной эрrод~1ч1юст11. Показано, что тоJIЪКО при постоmшой скорости перемеще1шя среды измере11ие време1шых средш1х 11()зволяет наход11'1·ь r1ространстве1шые ста111с·шческ11е характер11стию1. Рсзулыа·rы 11редставляют 1111терес для обработки натурных да1111ых, поJ1)'Чеm1ых при распространении волн разной природы (и частоты) в раЗJшчных CJioяx атмосферы, а также в океане. В радиофизических и геофизическ их задачах, опи­ сывающих распространение различ ных волн чайно-неоднородных средах, возникает в слу­ проблема ных и пространственно эргодических полей средние по ансамблю реал изаций «совпадают» со средними по просrранству в смысле сходимости по вероят­ пространственной эргодичности . Это связано с необ­ ности (или в среднем квадратичном). В этом случае ходимостью получить статистическую информацию справедливо равенство по одной просгранственной реализации, что диктует­ ся неповторимостью натурного эксперимента. УмесI­ но подчеркнуть, что при исследовании (f(r )) = f(r)v-+oo простран­ ственной эргодичности появляются трудности ма­ =V-+oo vl ! f(r) d r, 3 lim v тематического характера, обусловленные тремя ко­ ординатами . Укажем также, что, как правило, для получения просiранственных данных используются временные характеристики при введении некоторых допущений (гипотез) [1, 2]. Это, по-видимому, может уменьшить точносrь в интерпретации свойсrв среды . - найти бо­ [3], решение проблемы пространсr­ В настоящей работе мы ставим цель лее простое, чем в венной эргодичносrи путем использования усредне­ ния вдоль произвольной прямой линии. Это позво­ где угловые скобки обозначают усреднение по ан­ самблю реализаций, а черта ему V - Сформулируем взамен этого другое предположе­ ние: L (f(x, у, z)) = f(x, лит в определенном смысле принципиально изменить у, z)L-+oo =L-+oo lim .!_ L Рассмотри м статистически однородное случайное поле . Сконцентрируем наш интерес на однородносш по пространству, опуская время t в соответствующих выкладках и имея, так им образом, поле f(r) = f(x , у, z) . J f(x, у, z) dx , о подход к обработке просrранственных эксперимен­ тальных данн:ы х и сrимулировать их получение. усреднение по объ­ просrранственной области. (3) где интегрирование ведется вдоль произвольной пря­ мой линии, по которой направим ось х . Среднее значение оценки f (х, у, z) L = 7L вдоль прямой (оси х) на конечном интервале (О , L) само является случайной величиной . Вычислим ее матема­ (1) Осrановимся на сrатистических моментах первого и второго порядка, которы ми оперирует корреляцион­ ная теория. Из условия однородносrи поля следует, что среднее значение его и функция автокорреляции тическое ожидание и дисперсию. Тогда - 1/ ~J J L (!L) = L (f(x,y,z))dx = о оо L име1от вид dx = {f(r )) = (f(r+ дr) ) = const, о f(x, у, z)W1(f) df = (!), - оо В(х2 - х1, У2 - У1, z2 - z1). (2) что позволяет утверждать несмещенносrь сделанной Ограничиваясь только просrранственной эргодич­ оценки математического ожидания. Для дисперсии B(r 1, r 2) = B (r 2 - r1) = ностыо, пользуются гипотезой [3], что для однород- имеем Вестник Московского упиверситета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. №1 47 Таким образом, если автокорреляционная функция абсолютно интегрируема, то оценка среднего асимп­ тотически состоятельна, а случайное поле (1) являет­ ся пространственно эргодическим. Однако вопрос о возможности усреднения вдоль прямой линии нельзя считать полностью решенным, если оставить без внимания зависимость величины (4) от двух других координат . Рассмотрим для этого среднее, полученное усреднением вдоль прямой ли­ нии, как функцию координат у и z : L Здесь под функция интегралом стоит у, z)L = f(x, автокорреляционная l/ Таким образом, исходя из выражения (2). для дисперсии а 2 , можно утверждать, что требова­ ние асимптотической состоятельности оценки сред­ него значения f(x, у, z) dx = U(y, z). (9) о Возьмем разность значений этой функции в двух, вообще говоря, произвольных точках: и= U(y, z) - -U(O,O). Рассмотрим дисперсию этой разности а~. Величина (9) при L будет независимой от координат у, z ---1 оо, если выполнено условие lim и;= О. есть необходимое и достаточное условие сходимости {10) L--too в среднем квадратичном: Используя (4) и (6), находим выражение для диспер­ сии: В силу неравенства Чебышева Р{ lt(r)L -( /(r)L )1 ~ ~ е} ~ а 2 /е 2 условие (5) я:вляется достаточным для случайной величины f (r) L и для сходимости по вероятности: 2~~ IJ(r)L - (f(r)L )1= О (по веро­ ятности) . Следовательно, условие (5) L (5) = ~, проинтегрировать по 'Г/. Тогда (х 1 есть условие + х 2 ) /2 = 'Г/ z)]d~ = По определению а~ ~ О и, следовательно, L ~j a(L) = (1- f )в(~, О, О)~ ~ a(L, у, z) = о можно упростить, если сделать за­ х1 0)- В(~, у, о справедливым. Выражение 1- =a(L)-a(L,y,z). пространственной эргодичности случайного поля (J ). При его выполнении можно считать выражение (3) мену переменных х 2 - ( f) [В(~, О, а~=~! L =i/ (i-f)в(~,y,z)d~. и о 1 LL 2/ / В(х2-х1, О, О) dx1dx 2 = Применяя о о (7), получаем (6) L 00 =~! (1 - i)в(~,О,О)~. lim a(L) = lim L --too L --too _i /В(~, О, О)~. L о о Учитывая л }~~1 [4], а из условия эргодичности что ( 00 1- ~) а f(x) dx = / о при L f(x) dx, а ~ О, (7) о ---1 оо вместо (5) ! L--too -()() = > В результате утверждение (3) справедливо, т. е. математическое ожидание для случайных полей получаем (1) можно получать путем усреднения вдоль произволь­ 00 . -L 1 l1m Вследствие условия а( L) венство lim a(L, у, z) L--too (1 О) доказано. lim а ( L) = О . L-+oo а( L, у, z) справедливо ра­ О . Таким образом, условие (8) - ной прямой линии, а условием эргодичности относи­ B(t, О, О) d~ =О. (8) тельно математического ожидания является условие (5) или (8). Вестник Московского университета. Серия 48 Физика. Астртю,1iuЯ. 3. Условие эргодичности случайного статистически Если сделать замену переменных однородного по пространству поля относительно ав­ и выполнить интегрирование по токорреляционной функции может быть зап исано в о виде В(Лr) = Bv-+oo (Лr) L =f o(r)fo(r + Лг)v-tоо = 2 / df. [ . . .] dry х1 L-€ 2 / [ ...] -€ - L f. = х2 - х1, ry = ry, то получим L f +; ~ ! ( f) [...] а2 = ; №1 2000. df. f О dry = О L =V-too lim ..!._ /!o(r)fo(r+Лr)d r, V 3 = df.' 1- v о где где / 0(r) = /(r)- (f(r)) - центрированная реализа­ ция поля, Лr (Лх , Лу, Лz). [...] =В 2 (~ , О ,0)+ = Сформулируем взамен этой иную гипотезу: В(Лr) = BL-+oo (Лr) f L =L-too lim .!._ L В(f.+дх , ду, дz)В(f.-дх , дх, дz). + При = L ~ оо, используя (13) находим: (7), 00 f o(x , у, z)fo(x+дx, у+ду, z+дz) dx = [. "J <.t.;. ? а-= I2 / {14) о о = lim BL(дr). Формулы L-too (11) Рассмотрим оценку автокорреляционной функции BL(дr) . На конечном интервале (О, L) эта оценка представляет собой случайную величину. Найдем ее среднее и дисперсию. Для математического ожидания получаем L и (12) свидетельствуют, (14) что при ~ оо математическое ожидание оценки автокорре­ ляционной функции BL(дr) равно истинной авто­ корреляционной функции В( дr) , а дисперсия про­ 1/ L. порциональна ральное выражение Следовательно, если подынтег­ (13) абсолютно интегрируемо, то рассматриваемая оценка асимптотически состоятельна, т.е. ! 00 lim а . = lim -2 2 L = ±f (!о(х, у, z)fo(x+дx, у+ду, z+дz)) dx L-+oo L-too L При этом случайное поле = В(дх, ду, дz). (15) о = о [...] df. = О . (1) пространственно эрго­ дично относительно автокорреляционной функции. (12) При выполнении этого условия автокорреляционную Таким образом, оценка автокорреляционной функ­ функцию В ( дr) можно оценить путем усреднения ции будет несмещенной . Для дисперсии получим вдоль произвольной прямой линии (J 1). Возможность оценки автокорреляционной функ­ и2 = ([ВL(д1·) ции путем усреднения вдоль произвольной прямой - (ВL(д1·) ))2 ) = линии не может считаться полностью доказанной LL = ; 2 J/[(/01/01л/02/02л) -В(Лх, Лу, дz)] (так же как и для математического ожидания), ес­ dx1dx2, о о где foi ли не рассмотреть зависимость величины двух других координат: /оiЛ = fo(xi+ дx, у+ду, z+дz) (i = 1, 2). Дальнейшая конкретизация этого выраже­ ния возможна лишь для частных видов случайных Р(у, z) . z. (11) от Проанализируем Вычисляя дисперсию а; разности значений р = Р(у , z) а;= b(L) тральный момент четвертого порядка. Для гауссов­ ских случайных полей, для которых высшие момен­ ты выражаются через парные корреляции [5], можно - Р(О , О), получим - b(L, у , z), полей, для которых известен четырехмерный цен­ L b(L)=~f (1-f)[B(f.,O,O) + о написать + В(f.-Лх , Лу, Лz)В(f.+Лх , Лу, Лz)] LL 00 и для УI"ого оценку BL(дr), которую обозначим как = fo(xi, у, z), а2 =±//[В2 (х у df. , L 2 -х 1 , О, О)+В(х2-х1+дх, ду, дz) х b(L, у, z) = ~ f ( f) 1- о [B 2 (f. , у, z) + + В(f.-дх, у+ду , z+дz)(f.+дx, у-ду , z-дz)] df.. Вестник Московского упиверситета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. №1 49 (При выводе этих выражений сохранялись все обо­ где значения, предположения и математические приемы, равенсrве, представляет собой среднее значение слу­ которые использованы выше.) Применяя (7), имеем : Тем самым можно утверждать, что если :выполняется чайного поля, вычисленное вдоль прямой (оси х') . условие пространственной эргодичности 00 lim b(L) L-+oo = L-+oo lim 4- j[B 2 (~, у, z) + 1 1 пространственной эргодичности ( 15) получаем limL-+oo а( L) = О . По определению и; ~ О , b(L) ~ b(L, у, z) и limL-+oo b(L, у , z) = О. Таким образом, limL-too и; = О и, следовательно, выражение Р(у , z) при динат у, L ---+ оо не зависит от коор­ z. В итоге утверждение (1 1) полностью доказано, и функцию автокорреляции для случайных статис­ тически пространственно однородных полей можно получать путем усреднения вдоль произвольной пря­ мой линии, а условием эргодичности соответственно будет условие ( 15). В заключение приведем пример применения ре­ зультата этой работы для получения пространствен­ ных с1атистических характеристик случайных полей путем использования временных измерений . Рассмотрим случайно-неоднородную среду, кото­ рая характеризуется случайным полем (1). Если среда движется, то пространственные аргументы случайно­ го поля будут функциями времени: у= в Аргумент y(t) , z = z(t). (1), r = r(t) , х = x(t), t , который был опущен характеризует собственную изменчивость поля во времени. Прямая зависимость поля от времени в сравнении с его зависимостью пространственные координаты тетной (см., напр., [6]), то по­ венную СJатиСJическую характериСJику поля. +в(~-дх , ду , дz)В(~+дх , ду, дz)] d~, поэтому (6), следнее выражение представляет собой пространсr­ Следовательно, полученное равенство позволяет о а из условия Выражение, стоящее справа в этом L = VT . от времени не является через приори­ констатировать, что в случайно-неоднородных сре­ дах, движущихся с постоянной скоростью, прос:;ран­ СI·венные статистические характеристики случаиного поля могут быть определены путем измерения вре­ менных средн их . Основные ся в ния выводы следующем. данной работы заключают­ Доказана возможность проСiранственных статистических получе­ характерис­ тик случайно-неоднородных сред (многопараметри­ ческих случайных полей) путем усреднения вдоль прямой то линии усреднения произвольного направления по тем объему, и самым вмес­ найде­ но более простое решение проблемы пространст­ венной эргодичности. Кроме того, показано, что только при постоянной скороСI-и перемещения случайно-неоднородной среды временнь:~е измерения позволяют находить пространственные статистичес­ кие характеристики. Следует подчеркнуть важность выполнения условия независимости скорости дрейфа от времени и координат . Только в этом случае можно отождествля1ъ полученные в эксперименте средние временные характеристики со статистическими мо­ ментами (очевидно, что для проверки этого условия необходим соответсrвующий контроль). Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 98-02-16834). поэтому ею можно пренеб­ речь . В среде, движущейся с постоянной скоростью V = const , зависимость случайного поля от време­ ни будет иметь вид f (хо + Vxt, Уо+ Vyt, zo+Vzt) , а в системе координат, в которой ось х направлена по Vx = IVI = V , f(xo+Vt,yo,zo). Проанали­ вектору скорости и соответственно Vy =О , Vz =О, вид - зируем временное среднее, которое по определению равно Литература 1. Семепов А.А" Арсеньян ТИ. Флуктуации электромагнит­ 2. Ла.мли Дж., Паповский ГА. Структура атмосферной тур­ ных волн на приземных трассах. М.: Наука, булентности. М.: Мир, З. 1966. Рытов С. М., Кравцов 10.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Ч. П. Случайные поля. М.: т lim .!._ / f(xo+Vt , Уо, zo) dt. Наука, 1978. 4. Титчмар1и Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; T-too Т Л.: Гостехиздат, о Перейдем в этом интеграле к координате х сделаем замену переменной: х 0 1978. +Vt = 1 , т. е. 5. х' . Это дает т связь, 6. 1948. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и 1982. Миркотан С.Ф., Ку~инеревский Ю.В. структура и движения в ионосфере lim .!._ jt(xo+Vt, yo,zo)dt = Т-+оо Т следования. № 12. М.: Наука, // :Неоднородная Ионосферные ис­ 1964. о lim L -too .!_ x!o+Lf(x', Уо, zo) dx', L Поступила в редакцию 18.01.99