Бушков С.В. Методы интегрирования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Методические указания
к курсовой работе по математике
(Этап I)
Сама ре . - и, Г * ' С ; а п с т в е ш м н
аирок«-1 м-.ч с . и й у н и в е р с и т е т
БИБЛИОТЕКА
>
о . : ii ф о н д
САМАРА 2003
( &ОЧJ
Составители: Бушков СВ. , Коломнеи Л.В.
УДК 510.2 (075.8)
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ Х
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА: Метод, указания к курсовой
работе по математике (этап 1) /Самар, гос. аэрокосм, ун-т.; Сост.
Буш ков СВ., Коломнеи Л.В. Самара, 2003. 40с.
Методические’указания содержат полное методическое обеспечение
первого этапа курсовой работы по математике, посвященного
изучению методов аналитического и численного интегрирования
дифференциальных уравнений первого порядка.
М етодические указания предназначены для студентов
специальностей 200700, 200800, 201500, 190500 радиотехнического
факультета СГАУ, рабочая программа которых включает курсовую
работу в 3-м семестре. Методические указания также могут быть
использованы для самостоятельной работы студентов других
факультетов.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета
Самарского государственного аэрокосмического университета имени
академика С.П. Королева
Рецензент Е Я. Горелова
СОДЕРЖАНИЕ
1. Основные понятия теории
дифференциальных уравнений.................................................................... 4
2. Дифференциальные уравнения первого
порядка...........................................................................................................5
3. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными............................................................... 7
4. Однородные дифференциальные уравнения................................................9
5. Дифференциальные уравнения,
приводящиеся к однородным.....................................................................11
6. Линейные дифференциальные уравнения.................................................. 13
7. Уравнения Бернулли.....................................................................................18
8. Уравнения в полных дифференциалах....................................................... 19
9. Интегрирующий множитель....................................................................... 21
10. Геометрическая интерпретация дифференциального
уравнения первого прядка. Метод изоклин................................................... 24
11. Численное интегрирование дифференциальных
уравнений первого порядка............................................................................. 26
11.1. Метод последовательных приближений....................................... 27
11.2. Метод Эйлера с шагом h ................................................................ 28
11.3. Метод Эйлера с итерациями........................................................... 31
11.4. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. ;..................................... 32
Заключение....................................................................................................... 34
ПРИЛОЖЕНИЕ.................................................................................................... 35
4
Первый
этап
курсовой
работы
посвящен
изучению
основных
аналитических и численных методов интегрирования дифференциальных
уравнений первого порядка.
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
Пусть F - непрерывная функция, определенная на открытом множестве.
F =
Соотношение
0,
(1)
связывающее независимую переменную х , неизвестную функцию у = у { х ) и
её производные у ’,у " ,..., у ^ " \ называется дифференциальным уравнением.
Если уравнение (1) можно записать в виде
(2 )
=
то говорят, что дифференциальное уравнение разрешено относительно старшей
производной
.
Такое
уравнение
называется
дифференциальным
уравнением в нормальной форме.
Дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция у зависит
только от одной переменной
X, называется обыкновенным. Если же
дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию нескольких
переменных и ее частные производные, то оно называется уравнением в
частных
производных.
В
дальнейшем
будем
рассматривать
только
обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок
производной искомой функции, входящей в уравнение. Так, уравнения (I) и (2)
- дифференциальные уравнения п - ого порядка.
Решением дифференциального уравнения называется функция у = у ( х ) ,
определенная на некотором интервале ( а,Ъ ), такая, что:
•
т ( т ) является п раз непрерывно дифференцируемой функцией на ( а,Ь );
5
точка { x ,y ,y ' ,. .. ,y (n]) e D
.
для всех х € (a,b), где D - область
определения функции р ( х , у ,
• F (x,y,y',...,y^ )= 0,
V
xe(a,b),
т.е.
при
подстановке
в
уравнение функции у{х) дифференциальное уравнение превращается в
тождество.
Всякому решению дифференциального уравнения на плоскости отвечает
некоторая кривая у = у{х ) , х е (a,b), которая называется интегральной
кривой дифференциального уравнения.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется
интегрированием этого уравнения.
2.
При
п =
Дифференциальные уравнения первого порядка
1 соотношение {1} определяет уравнение
F ( x , y , y ' ) = 0,
(3)
у = у(х),
называемое дифференциальным уравнением первого порядка. Здесь F заданная функция, определенная в некоторой области.
Уравнение у'
х ,у ,
называется
разрешенным
= f ( x , y ) , где f ( x , y ) - известная функция переменных
дифференциальным
относительно
уравнением
производной
у',
или
первого
порядка,
дифференциальным
уравнением в нормальной форме.
Соотношение
P(x,y)dx + Q(x,y)dy —0 , где
P,Q -
заданные
функции, также называется дифференциальным уравнением первого порядка,
записанным в дифференциальной форме.
Решением уравнения первого порядка называется действительная функция
у = у ( х ) , определенная на некотором интервале ( а,Ь ), такая, что:
•
у ( х ) является непрерывно дифференцируемой на ( а,Ь );
• точка (хо.з-’С х ,,),/^-,)) е D , V x0 е (а,Ь), где D - область определения
функции F ;
• F (x ,y (x ),y '(x )) = 0 , ^ x e { a , b ) .
Уравнение у ' = f (х, у ) имеет бесконечное множество решений. Задача о
нахождении одного частного решения, удовлетворяющего дополнительным
условиям, называется задачей Коши:
найти
решение
дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию у ( х 0) = y j ^
у' =
= Уо> где (д о >Уо ) '
заданная точка плоскости.
Теорема 1. (О существовании и единственности решения задачи Коши).
Пусть функция f ( x , y ) определена, непрерывна и имеет непрерывную
частную производную —
в области D . Пусть точка (х 0, у 0) £ D , тогда
ду
найдется интервал (х 0 —S ,X Q + S ) , на котором существует единственное
решение
У —у ( х )
дифференциального уравнения
y ' —f ( x , y ) ,
удовлетворяющее условию У(*о)=УйЕдинственность решения понимается в следующем смысле: если есть два
решения у, (.г) и у , (х ) . то 3 U s (х 0 ) такая, что у, (.г) = у , (х ) в каждой
точке этой S
- окрестности. Таким образом, теорема имеет локальный
характер: она гарантирует существование и единственность решения лишь в
некоторой окрестности точки х 0.
Общим
решением
дифференциального уравнения у' =
f (х, >’) в
некоторой области D , в каждой точке которой выполнены условия теоремы 1,
называется семейство функций вида У - <Р(х,С ) , зависящее от параметра С и
удовлетворяющее условиям:
7
К Функции у —<р(х, С) являются решениями уравнения у' —f ( x , у) при
любом допустимом значении параметра С .
2. При любом начальном условии у(х0) = у 0, (х0, у 0) е £>, можно указать
параметр С0 такой, что функция у = #>(*, С0) удовлетворяет условию
<р(х0,С0) = у 0.
Частным
решением
дифференциального
уравнения
у' = f ( x , y )
называется решение, получаемое из общего решения при конкретном значении
параметра С0.
Часто общее решение находится в неявном виде Ф(х,у, С ) = 0
называется
тогда
общим
интегралом
дифференциального
и
уравнения.
Аналогично Ф(х,у,С0) = 0 называется частным интегралом. В общем случае
общий интеграл не всегда содержит все решения дифференциального
уравнения. Это будет только в том случае, когда общий интеграл можно
записать в разрешенном относительно константы С виде: ух (х, у ) = С .
Выполнение условий теоремы 1 с геометрической точки зрения означает,
что через каждую точку (д:0; _у0) проходит одна и только одна интегральная
кривая. Решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого
нарушается единственность, называется особым решением. Через каждую
точку особой кривой проходит еще одна интегральная кривая, касающаяся
особой. Особое решение не может получаться из формулы общего решения ни
при каком значении постоянной С .
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида
M l ( x ) N { ( y) d x + М 2( x ) N 2( y ) d y = 0
называется
дифференциальным
уравнением
первого
(4)
порядка
с
8
разделяющимися переменными. Если М 2(х) ф О, N {( у ) Ф О, то разделив
обе части равенства (3) на /V, ( у ) М 2(х ), получим:
М г (х)
Последнее
уравнение
N |(у)
называется
дифференциальным
уравнением
с
разделенными переменными. Это уравнение можно рассматривать как
равенство дифференциалов, поэтому интегралы от дифференциалов будут
отличаться на константу:
&
= J ^ ) Ф +С
J N }(y)
J M 2(x)
■
Полученное соотношение является общим интегралом уравнения (4).
В точках, где М 2( х ) = 0 или Л ^ у ) = 0 , могут появиться другие (особые)
решения дифференциального уравнения.
Пример К Проверить выполнение условий теоремы 1 и найти общий
интеграл дифференциального уравнения ( х у 2 + y 2)dx + ( х 2 —х 2y ) d y —0 .
Решение. Приведем уравнение к виду у = f (х, у ) , для чего формально
1
dy
ах
разделим на dx и заменим У ~ ~ Г :
Правая
часть
этого
' х 4-1 у —1
у = — ;-------- —
д.-
дифференциального
у-
уравнения
определена
и
непрерывна в области D — {(х; у ) / х ^ 0; у ^ 0}. Частная производная от
д/
х+1 2 -v
правой части — = ----------------
ду
х
у
„
п
также непрерывна в ооласти D . Таким
образом, условия теоремы 1 выполняются в любой точке (х 0, у 0) е D, что
гарантирует существование и единственность решения задачи Коши для
данного дифференциального уравнения с начальными условиями у ( х 0) = у 0,
*о * 0 , у 0 Ф 0 .
Для определения общего интеграла преобразуем исходное уравнение к
виду
у 2(х + \)dx = х 2( у - \)dy.
Раздели в обе части этого уравнения на произведение х 2у 2, х Ф О, у Ф 0 ,
получим уравнение с разделенными переменными:
х+1 ,
у - 1,
—^ d x ^ —y -d y .
X
у
Интегрируя его, получаем: h u e - —= — + In у + С
*
или
. X
х+у
У
„
In---------- —= С -
У
ху
Последнее равенство является общим интегралом данного уравнения и
содержит все неособые решения.
Другими решениями, не получающимися из общего интеграла ни при
каком значении константы С, являются функции д: = 0, у = 0. Это особые
решения исходного дифференциального уравнения, в чем можно убедиться
непосредственной подстановкой.
4. Однородные дифференциальные уравнения
Функция
f i x , у)
называется
однородной
функцией
относительно переменных х, у , если при любом
порядка
а
Л е R выполняется
соотношение / (Ах, Лу) = Лаf (х, у ) .
Уравнение
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
(5)
называется однородным дифференциальным уравнением, если функции
Р ( х , у ) и Q{x,y) являются однородными функциями одного и того же
порядка. В частности, уравнение
у ' = f i x , у ) является однородным, если
функция f i x , у ) - однородная нулевого порядка. Любое однородное ДУ
fy )
-Z
можно привести к виду У ~ ФI ~ I. Тогда заменой 2 ~~ ~ или У = z ' х ■где
Z
= z(x) , однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
Пример 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
, _ х 2+2ху-5у2
^
2 х 2 —6 ху
. х2 +2ху-5у2
Решение. Покажем, что функция / (х , у) = -------------- -—
—
является
2х - бху
однородной функцией нулевого порядка:
« и
,.л _ А2х 2 + 2Л2ху - 5Л2у 2 _ А2 ( х 2 + 2 х у - 5 у 2) _
J (Ах,А.у)
j {х,у).
2Л х —6Л ху
Л (2х —бху)
Следовательно, данное уравнение является однородным. Выполним замену
У —z ■х , тогда у' = z' ■х + z . После замены уравнение примет вид:
х2(1 + 2z _ 5z2)
z' ■X + z - ■
x
Z
,
2( 2 - 6
z
)
1 + 2z - 5z2
X = ------------------------- z
2 - 6z
dz
- —x
dx
z 2 +1
-------- .
2 -6 z
Формально умножим уравнение на
dx , и получим уравнение с
разделяющимися переменными. Разделяя переменные, приходим к равенству:
2 - 6z ,
dx
1+ Z
X
г-flZ = -----.
Интегрируя обе части равенства, получим:
2 ar ct g(z ) —3 ln(l + z 2) = lnx + C .
Вернемся к старым переменным, подставив
Z
= —, и найдем общий
х
интеграл исходного уравнения:
larctg ——3 In
= In х + С
х
2arctg —-31п (х2 + у 2) + 51пх = С.
или
5.
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к о д н о р о д н ы м
К однородным уравнениям сводятся уравнения вида:
/ ахх + Ьх
L у + с. \
/ =/
Заменим переменные
х =и+ а,
j
Х,у
(6)
ка 2х + Ъгу + с2;
новыми переменными
К
и
V
по формулам:
у = V + р , где а и /3 - некоторые числа.
j
л
j
,
dy
dx
dv
du
Тогда dx —а и, иу — d v , у = — = — , и уравнение принимает вид:
dv
du
axu + bxv + (axa + Ъх/3 + с ,)
=f
у а ги + b2v + (a2a + b2fi + c2) j
(7)
Числа а и р подберем так, чтобы уравнение (7) стало однородным. Для
этого достаточно приравнять выражения в скобках к нулю и записать систему
равенств:
Гаха + ЬХР + сх - О
\ а 2а + Ь2Р + сг = О
Если определитель А =
Ф 0, то этой системе удовлетворяет
h
единственная пара чисел а . и р .
Ъ2
Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
2х + у - 4
Решение. Вводим замену х ~ и + а , у —v + f l . Тогда
v + (Р + 2)
2и + v + (2а + /3 —4)'
dv
du
Для нахождения а к р составим систему:
{ р + 2 = 0,
Га = 3,
[2 а + £ - 4 = 0 , ^
Ь5 = - 2 .
Таким образом, х = и + 3 , _у =
V
- 2 , исходное уравнение приобретает
вид:
Jv
V
du
2и + v
или
V =
2w + v
Полученное уравнение является однородным. Решаем его заменой
v = z-u:
zu+z=z<
и—
zu
2 и + zu
2
2, ,
2+z
dz
- z 2- z
du
2+z
— и = ------------- .
Разделим переменные в последнем уравнении:
2+z .
du
dz = ------ .
z2+z
и
Проинтегрировав обе части равенства, будем иметь:
—In—— + —ln(z2 + z) = -ln w + lnC \
2 z+1 2
3in
z
. , i
z+1
,
С
+ 1щд" + z) = i n — .
и
Используя свойства логарифмов, получим:
z 4(z + 1)
С
(z + 1)3
и2
л
V
Сокращая на z +1 и заменяя z н а - , приходим к равенству:
и
С
V4
и 4' I * . ' ’
После преобразований вернёмся к старым переменным х, у по формулам
и = х —3, V = у + 2. Получим выражение:
(У + 2 )2 _ г
х + у- 1
которое является общим интегралом исходного уравнения. Кроме того,
исходное
(z =
дифференциальное уравнение
0 ) h > ’ = 1—X
6.
у ——2
имеет особые решения
( z — —1) , в чем нетрудно убедиться подстановкой.
Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение, в которое неизвестная функция
у
и ее производная
у
входят
в первой степени, не перемножаясь между собой, то есть уравнение вида
(8)
у'+ р(х )-у = f { x )
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Теорема 2. Если функции р ( х ) и f (х ) непрерывны на отрезке [a;b ], то
на всем этом отрезке существует единственное решение линейного
дифференциального
уравнения,
У(х о) = Уо’ х о е О с 6 ).
удовлетворяющее
начальным
условиям
Из теоремы, в частности, следует, что линейное дифференциальное
уравнение
не
имеет
особых
решений
в
области
непрерывности
его
коэффициентов.
Рассмотрим
метод
итерирования
линейного
дифференциального
уравнения (метод Бернулли).
1. Решение будем искать в виде произведения двух функций:
у = и • v = и(х ) • v(jc);
у' = u ' - v + u - v ' ,
2. Подставим в (8) и преобразуем:
u'v + u v ’ + p ( x ) u v = / (х);
u v + u •( v' + p ( x ) - v ) = / ( x).
3. Функцию v можно выбирать любым способом, главное, чтобы
произведение uv было решением. Выберем v так, чтобы выражение
в скобках было равно нулю. Тогда для определения и и v получим
систему:
(у' + />(х)у = 0,
4. Решаем первое уравнение системы:
dv
- = -p(x)-v;
dx
lnjvj = - J p (x )d x + In Cj ;
v = C, ■e~-pix)dx.
5. Подставим найденную функцию v во второе уравнение системы:
и'-Cxe ]p(x)dx = / ( * ) .
Разделим в этом уравнении переменные:
du = A^efp(x)dx . f(x)dx
и проинтегрируем:
и = — je^pU)dxf ( x ) d x + С2 .
О,1
6. Общее решение:
= uv = Сх
Cleе lpix)dx ^ \ е [рШх,f ( x ) d x + C2
уy —
,
1
>, = е - / ' м * Г с |С г + \е^л л л f ( x ) d x
Так как в общем решении участвует только произведение двух
произвольных постоянных С,С2 —С , то обычно в п.4 постоянную С, не
пишут, а в п.5 полагают Сг —С .
Пример 4. Проверить выполнение условий теоремы 2 и найти решение
задачи Коши для уравнения
Решение.
Я1) = 4
хл ’
х
Коэффициенты
данного
линейного
дифференциального
1
2
уравнения имеют вид р (х ) ——; f (х) = ---- . Они являются непрерывными
х
х
функциями при X Ф 0 , поэтому по теореме 2 существует единственное
решение задачи Коши на интервале х е ( —<х>;0) kj (0;+со).
Найдем сначала общее решение данного уравнения по методу Бернулли.
1.
Положим у = u v . где и = и ( х ) , v = v(x)i и подставим uv вместо
у в исходное уравнение.
Получим:
,
,
uv
mv + v m H-------=
х
2
------- ,
-
2.
х
3. Функции V и U найдем, приравняв выражение в скобках к нулю:
v' + - = 0,
х
" 'v = “ 7
'
4. Решением первого уравнения с разделяющимися переменными
dv
dx
v
х
—
1
является функция V = —.
X
1
5. С учетом найденной функции V = —, второе уравнение системы
X
примет вид:
и'
^
— = ---- j
X
или
,
и =
2
т,
X
X
6. Функция
_ U
У ~ I 2I
X\ X
±
з+
откуда
ы - _2__ + с
2
.
х
_
J X
£'
X
является общим решением
исходного уравнения.
Чтобы найти частное решение задачи Коши, подставим в общее решение
согласно
начальному
условию
у ( 1) = 4
значения
х 0 = 1,
v0 = 4 :
4 = 1+ С => С = 3.
Подставляя С = 3 в общее решение, получим частное решение задачи
Коши:
1
х
3
х
Пример 5. Решить задачу Коши:
t£t + (2x-f s in 2 j/-2 c o s 2 y)dy = 0,
_K- 1) = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на d y :
Если считать, что х - функция, зависящая от у , то есть х —х ( у ) , то
последнее уравнение является линейным относительно х . Решим это
уравнение методом Бернулли.
1. Пусть х = u v , где и = и ( у ) , v = v ( y ) .
2. Тогда
u'v + uv' + 2uv = 2 c o s2 у - sin 2 у ,
u'v + m(v' + 2v) = 2 co s2 у - sin 2 y .
3. Приравниваем выражение в скобках к нулю и составим систему
J v ' + 2v = 0
[u'v = 2 c o s2 j - sin 2 у
4. Найдем из первого уравнения функцию V — в
—2у
5. Тогда второе уравнение системы примет вид:
и’е~2у = 2 c o s 2 j - s i n 2 y ,
и' = е 1у (2 c o s 2 у —sin 2 у ) ,
и = j e 2y (2 c o s 2 у - sin 2 y ) d y = j e 2y (1 + co s 2 у - sin 2 y ) d y
Вычислим интеград по частям и получим:
и = е2у c o s2 у + С .
6. Общим
интегралом исходного уравнения
является равенство
uv = х - co s2 у + Се~2у.
Подчиняя ее начальному условию, находим С = - 2
получаем решение задачи Коши в виде:
и окончательно
7.
Уравнения Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение вида:
y ’+ p ( x ) - y = f ( x ) - y a , a e R .
(9)
При а = О оно превращается в линейное дифференциальное уравнение, а
при
а —1
-
в
уравнение
с
разделяющимися
переменными
y' + ( p ( x ) ~ f ( x ) ) y = 0.
Уравнение Бернулли можно решить тем же способом, что и линейное
дифференциальное уравнение.
Пример 6. Найти решение задачи Коши:
ху' + у ^ х у 2,
у ( 1) =
-
1.
Решение.
1. Разделим обе части данного уравнения на х и, полагая у ~ u v , где
и = и (х ),
,
иV+
UV
,
v = v{ x) ,
UV
X
=и
перепишем
его
в
виде:
2 2
V ,
u'v + M^v' + —j = u 2v 2.
2. Приравняем к нулю выражение в скобках и составим систему:
V
v' + — = О
х
u'v = u 2v 2
1
3. Решим первое уравнение системы: V = —.
х
4. Подставим найденную функцию v во второе уравнение системы:
5.
Тогда
общее
решение
уравнения
Бернулли
имеет
вид:
-1
У ~х(1п|х| + С )'
Подставляя в эту функцию начальное условие х,0 = 1, у0 = —1, найдем
С — —1
и
окончательно
запишем
решение
задачи
Коши:
1
^
j c ( l- l n x )
8.
Полным
Уравнения в полных дифференциалах
дифференциалом
функции двух
переменных
и = и(х, у)
называется выражение
ди , ди ,
d u - — ах + — dy.
дх
ду
Условие,
при
котором
P(x,y)dx + Q(x,y)dy
является
(10)
дифференциальное
полным
дифференциалом
выражение
некоторой
функции и(х, у ) , определяет теорема 3.
Теорема 3. Пусть Р(х,у) и Q{x,y) - функции, непрерывные в
односвязной области D плоскости X Y , имеющие в этой области непрерывные
дР
dQ
ду
дх
частные производные — - и - — . Тогда для того, чтобы дифференциальное
выражение
P(x,y)dx + Q(x,y)dy
являлось
полным
дифференциалом
некоторой функции и(х,у ) , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках
дР
ду
8Q
дх
области D было выполнено условие — —-----.
Уравнение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0
(Ц )
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть
представляет собой полный дифференциал некоторой функции и(х, у ) . В этом
случае уравнение можно записать в виде аи(х,у) —V, откуда следует, что
и(х, у ) ~ С
соотношение
(12)
является его общим интегралом.
Пример 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
xdy - ydx
xdx + ydy +
1
1
X +y
0.
=
Решете. Приведем подобные слагаемые и перепишем уравнение в виде
У
Х
~ ~
V
dx + Г
у+
I
2
2
I
х+У.
2
х +У
2
dy = 0.
у
X
■2, Q(x, у) = у +
х 2 + у"
х2+ у 2 '
Здесь Р(х, у) = х - ■2
Так к а к
дР ' у 2- х 2
дО
ду
дх
т—г = ---- , данное уравнение является уравнением в
=—
(х + у )
полных дифференциалах. Тогда согласно (10) эти функции являются частными
производными функции и(х,у):
у
ди
- ~ = Р(х,у) = х
дх
х +у
Т,
(13)
™
ч
х
— = Q{x,y) = y + —— ~ •
ду
х~ + у"
Интегрируем первое равенство системы (13) по х , считая у постоянной,
получаем:
-JI
у
\
X
X
dx = —— arctg— h <р{у)
х2 + у 2
2
у
(14)
где <р(у) - произвольная функция от у .
Подставим найденную функцию и (.х >У) во второе равенство системы
(13):
Заметим, что после преобразования второго уравнения системы все
слагаемые, содержащие х , всегда должны взаимно уничтожаться.
Итак, найдена функция и{х,у) =
.X2
2
х у2
arctg — I-------1-С,, тогда общий
у
2
интеграл исходного уравнения согласно (12) имеет вид:
X2
X у2 „
_
— - a r c t g - + -— + С , = С 2.
2
у
2
Так как С,
и С2 - произвольные постоянные, можно положить
С — С 2 —С, и записать общий интеграл в виде однопараметрического
2
X
2
X —2 arctg— Уу ~ С .
семейства функций:
У
9.
дР
дО
ду
дх
Интегрирующий множитель
— Ф ---- ,то
Если
дифференциальное
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0
не
является
уравнение
уравнением
в
полных
дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно превратить в
уравнение
в
полных
дифференциалах
умножением
обеих
частей
на
подходящим образом подобранную функцию ц( х,у ), которая называется
интегрирующим множителем.
Умножим уравнение на р ( х , у ):
(/jP)dx + (pQ)dy - 0.
Для того
чтобы это уравнение являлось уравнением
дифференциалах, необходимо выполнение условия:
в полных
o{/iP)
о\цу)
ду
дх
д/л
дР
д/л
dQ
Р — + и — = 0 — + Д— ■
ду
ду
дх
дх
или
Перепишем:
f dQ
дР''
дх
ду /
д у ^ д х
Для отыскания интегрирующего множителя f i ( x , y )
(15)
нужно решить
последнее уравнение (15) в частных производных. В общем случае это трудно.
Рассмотрим два случая:
1.
Множитель /I зависит только от х :
✓ч
ди
дх
du ди
dx ду
/I = М\Х), тогда - — = ---- ; — = 0
1 d/i
1 dQ
/л dx
дх
п
,
и уравнение (15) примет вид:
dP
ду
(16)
Если в уравнении (16) правая часть зависит только от х , то решением
..
Je l&
уравнения служит функция у* — к
ду)
Произвольную постоянную С можно не писать, так как достаточно найти
один интегрирующий множитель.
2.
Если /I = / l ( y ) , то аналогично случаю 1 уравнение (15) преобразуется
\_d/J _ l _ \ d Q
pdy
Р дх
к виду:
Если
выражение
справа
зависит
дР
(17)
ду,
только от у, то
существует
интегрирующий множитель /л(у) .
Пример 8. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(х2 - cos y)dx + {х2у 2 - х sin y)dy = 0.
Решение.
Здесь Р(х,у) = X2 - c o s y ; Q{x,y) = х 2у 2 - x s i n y .
(18)
23
дР
8у
2
dQ
дх
8Р
ду
Найдем — = sm у ; -----= 2ху —sin у . Так как — Ф
8Q
, то исходное
дх
уравнение (18) не является уравнением в полных дифференциалах. Составим
8Q
дх
.
дР
ду
,
_ .
------------- —1ху —2 sm у .
разность
1 8Q
дР |
Q\dx
ду)
—
2(ху -s in у)
2
х(ху - sin у)
х
-j
;
7 = —
Заметим,
что
выражение
зав и си т только от х , следовательно,
существует интегрирующий множитель ц ( х ) . Уравнение (16) в этом случае
2 dx
1
имеет вид — - = —----- , откуда jU{x) = — . Умножим теперь уравнение (18)
Ц
X
X
1
на - у и получим уравнение в полных дифференциалах:
х
\ - ^ \ d x + \ y 2 -*— ^ \ d y = Q.
п,
ч ,
Здесь £\{Х,у)
что условие
—
cosy
(19)
2 sm y
1----- ——; (у,( а , \ ) = у ----------- и нетрудно проверить,
X
X
8РХ dQt
=
выполняется. Аналогично примеру 7 можно получить
ду
дх
общий интеграл этого уравнения:
Зх2 +лу3 + 3cosy = Сх.
Заметим, что уравнения (18) и (19) неравносильны. Уравнение (18) имеет
особое решение х = 0 , а уравнение (19) особых решений не имеет.
24
10. Геометиическая интерпретация дифференциального уравнения
первого прядка. Метод изоклин
Рассмотрим дифференциальное уравнение у' —f ( х ,у ) . Обозначим через
а угол между касательной к интегральной кривой у = (р(х) в точке (х, у) и
положительным направлением оси Ох . Принимая во внимание, что t g a = у ,
а у ' = f ( x , y ) , будем иметь tga = f ( x , y ) . Таким образом, направление
касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным
уравнением.
Проведя в каждой точке (х,у) из области задания функции f ( x , y )
отрезок с центром в этой точке, образующий с положительным направлением
оси Ох угол а ,
где tg a = f (эс,у), получим так называемое поле
направлений. Если в точке (х 0, у0) правая часть уравнения у —f ( x , y )
обращается в бесконечность, то направление поля параллельно оси О у .
Изучая поле направлений, определяемое заданным дифференциальным
уравнением, можно получить качественное представление об интегральных
кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые.
При изучении поля направлений особый интерес представляют изоклины линии, во всех точках которых направление поля одно и то же. Уравнение
изоклин имеет вид
~ k . Изоклины дают возможность построить
схематически графики интегральных кривых данного дифференциального
уравнения.
Пример 9. Методом изоклин приближенно построить интегральные
кривые дифференциального уравнения
y = £±Z.
дг-у
Решение. Полагая у ' —k , к = co n st , получаем, что изоклинами являются
прямые у =
к-
1
X, проходящие через начало координат.
2^
При к
= 1 ( а — 45°) имеем изоклину у = 0 ;
при к =
0 (а = 0 °) -
изоклину у = —х; при к ~ —\ (< 2 = 1 3 5 °) получаем изоклину Х = 0; при
к = оо ( а = 90°) изоклиной служит прямая у = х , во всех точках которой
интегральные кривые имеют вертикальные касательные.
С помощью полученных изоклин строим интегральные кривые данного
дифференциального уравнения, которые пересекают каждую изоклину под
соответствующим углом (рисунок 1).
Рис. 1.
Изоклины и интегральные кривые
26
31. Численное интегрирование дифференциальных уравнений первого
порядка
В курсе «Дифференциальные уравнения» изучаются методы, позволяющие
выразить
решение
дифференциального
уравнения
через
элементарные
функции, либо представить его при помощи квадратур от элементарных
функций. Эти методы называются точными. Классы уравнений, для которых
применимы точные методы, сравнительно узки и охватывают только малую
часть возникающих на практике задач.
Приближенными называют методы, в которых решение получается как
предел некоторой последовательности функций, причем каждый член этой
последовательности выражается через элементарные функции или квадратуры.
Эти методы удобны, когда большую часть промежуточных выкладок удается
осуществить точно.
Численные методы - это алгоритмы вычисления приближенных значений
функции на некотором конечном множестве точек. Решение при этом
получается в виде таблицы. Численные методы не позволяют найти общее
решение дифференциальных уравнений. С их помощью можно определить
лишь частное решение задачи Коши, но они применимы к широким классам
уравнений и всем типам задач.
Численные методы применимы только к задачам, имеющим единственное
решение
(корректно
поставленным).
В
некоторых
случаях
условий
корректности может оказаться недостаточно. Необходимо, чтобы задача была
хорошо обусловлена (устойчива), то есть малые изменения в задании
начальных условий приводили к достаточно малым изменениям искомого
решения.
В следующей части курсовой работы требуется найти приближенное
решение задачи Коши для уравнения у ' = f ( x , y ) , у ( х 0) = у 0, на отрезке
[a,fe] = [x0,jc0 + 0 ,5 ] методами:
1. последовательных приближений;
2. Эйлера с шагом h ;
j . Эйлера с итерациями;
4.
Рунге-Кутта 4-ого порядка,
а также построить графики решения, полученного каждым методом, и
сравнить эти графики на одном чертеже. Варианты заданий приведены в
приложении.
■
^ 11.1. Метод последовательных приближений
Найти приближенное решение задачи Коши у ' —f i x , у ) , у ( х 0) —у 0,
взяв три первых приближения, не считая нулевого:
0) (нулевой шаг). Нулевым приближением считаем у ( х 0) = Уо1
X
1) первое приближение: J;f(-50 - } ;o +
*0
X
2) второе приближение: у 2(х ) —y Q+ j f ( х , у }) d x ;
•^0
.X
3) третье приближение: V, (х) = v0 + \f ( х , у 2 )dx и так далее.
-ч
Построить график решения у ъ( х ) .
Пример. Найти приближенное решение задачи Коши:
У = 0,3х2 + 0 ,7 у 2,
у (-1 ) = 1.
0) Нулевым приближением считаем _у0 = у ( —1) = 1.
.Т
1) Найдем первое приближение: у\ (х) = у0 + \ f (х, >’0 )dx =
*0
X
= 1 + }(0,3х2 + 0,7 • 1)dx = 1 + (0,1х3 + 0,7х)|" = 0,1 х3 + 0,7х + 1,8
-I
X
2) Второе приближение:
х
= 1+
~ Уо
н
J( 0 ,3 х 2 + 0,7 (0,1х3 + 0,1 х + 1,8)2 )dx =
~
= G,OGOix7 + 0 ,G i9 x 5 + 0,0 63x' + G,2i4x" + G,882x2 + 2,268x + 2,558.
x
3)
Третье приближение: -Уз(*) “ Уо +
*0
“
А'
= 1+ Д 0,3х2 + 0,7(0,001х2 + 0,019х5 + 0,063х4 + 0,214х3 + 0,882х2 +
-1
+ 2,268х + 2,557933)2| i t .
Вычислив интеграл, найдем функцию
У3(Х), составим таблицу ее
значений и построим по точкам график приближенного решения на отрезке
[х0;х 0 + 0 ,5 ] = [ - 1 ; - 0 ,5 ] .
Метод Эйлера с шагом h
11.2.
Метод Эйлера является численным шаговым методом, позволяющим
вычислить приближенные значения решения дифференциального уравнения
у ' —f (х , у ) с начальным условием у (х 0) = у 0.
Разобьем
отрезок
к = 0,1,2,..., N :
[я,&]
на
N
равных частей
с точками
х к,
а = х0 < х , < . . . < x w = b .
.
Ь-а
Шаг разбиения обозначим п = ------- .
N
Приближенные значения решения уравнения у к в точках х к по методу
Эйлера определяются по формулам:
у о = у (хо);
У\ = У о + К Х о ’Уо)-*1'’
У г ~ У \ ^ f i xi >У)) ' ^ ;
У м = У к + А х к, у к) - ь .
(20)
1Э
Погрешность метода Эйлера имеет порядок o ( h 2) , поэтому обычно шаг
выбирают из условия h < -Js , где £ - заданная точность. Оценка точности
выполняется по правилу Рунге, которое состоит в следующем:
1. Задаем точность вычислений £.
2. Разбиваем отрезок \а,Ь\ на N
частей и находим N
штук
приближенных значений решения y (N) (х к).
3. Разбиваем отрезок [а, /)] на 2 N
частей и находим 2 N
штук
приближенных значений решения у <2Л,)0 О 4. Сравниваем в одинаковых точках х к значения
5. Если
m a x j ^ j y <V>(x it) —y 2Af>(x t ) j| < £,
то
y (N\ x k)
и
приближенное
решение У 2 ' \ х к) удовлетворяет заданной точности £.
Пример. Найти приближенное решение дифференциального уравнения
/ = 0 ,3 х ‘ + 0 ,7 у 2
с
начальным
условием
у ( —1) = 1
на
отрезке
[я,Л]= [х0;х0 + 0 ,5 ]= [—I;—0,5] сточностью £ - 0,01.
I-Выберем шаг h =
N = 10; h = 0,05 < -v/f —0,1. Методом Эйлера
найдем приближенные значения решения при разбиении отрезка на N
частей. Результаты вычислений по формулам (20) оформим в виде таблицы 1.
Таблица 1
к
■**
Ук
Д х к, у к) = 0,3x1 + 0 ,7 у 2
0
1
-1 -0
-0,95
1А
1,05,
1
1,0425
10
-0,5
Q У
...
А----------------------------------- -
У м = У к + / ( х к’Ук)Ь
1,05
1,1021
!
,
Так как задана точность £ = 0,01, все промежуточные вычисления
необходимо проводить с двумя запасными знаками.
II.
Разбиваем отрезок на 2 N = 20 частей и выполняем те же вычисления с
шагом h = 0,025 . Заполним таблицу 2.
Таблица 2
к
**
Ук
f ( x k,yt ) = 0,3х2к + 0,7y l
Ук+\=Ук+К хк>Ук)н
0
1
2
-1
-0,975
-0,95
1
1,025
1,0505
1
1,0206
1,0432
1,025
1,0505
1,0766
20
-0,5
III. Для проверки точности по правилу Рунге заполняем таблицу 3:
Таблица 3
хк
У(Щ(хк)
У12М)( Ъ )
1| ( .V )
(2 А?))
- |Л
~Ук 1
-0,95
-0,9
1,05
1,0505
0,000166
-0,5
Если
хотя
бы
одной
maxi- 1>'(Л} - У2Л°(хк)| ^<0,01
точке
выполняется,
условие
неооходимо
(З 1
повторить вычисления, разбивая отрезок на 40 частей. В этом случае полагаем
N = 20 и 2N = 40 и повторяем вычисления в пунктах I-III до достижения
заданной точности £ = 0,01. В конце необходимо построить по точкам график
самого
последнего решения.
Учитывая, что задана точность 0,01, в
окончательных значениях у*2**(**) нужно оставить только два знака после
запятой.
31
11.3.
Метод Эйлеиа с итерациями
Этот метод имеет более высокую точность o ( h 3) и состоит в следующем:
..
,
Ъ-а
1. Разбиваем отрезок на N частей с шагом п ——
.
2. Вычисляем
промежуточное
значение
решения
по
Ук+l ~ Ук + / ( х к ’У к ) ' ^ в точках Хк .
3. Вычисляем
уточненное
значение
формуле
(21)
решения
по
формуле
У к + \ = У к + ~ [ / ( х к ,шу к ) + / ( Хк+х; у 1+1)] •
(22 )
4. Погрешность вычислений оценивается по правилу Рунге.
Пример. Найти приближенное решение дифференциального уравнения
У = 0,3л:2 + 0,1 у 2
с
начальным
условием
>-(—1) = 1
на
отрезке
[а ,й ]= [д:0;лг0 + 0 ,5 ]= [—1;—0,5] с точностью £ = 0,01.
I.
Заполняем таблицу 1 для
А^ = 10; h = 0,05 . Вычисления ведем по
формулам (21), (22).
Таблица 1
к
хк
Ук
Л х к>ук)
Ук +1
/(**+■; У м )
0
-1
1
1
1,05
1,0425
^ 1,0511
1
-0,95
1,0511
1,0441
1,1033
1,0951
1,1046
2
-0,9
1,1046
...
...
10
-0,5
...
|
•
...
.......
II.
Разбиваем отрезок на 2 N = 20 частей с шагом h = 0,025 и повторяем
вычисления по формулам (21), (22). Результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2
...
к"
**
Ук
f ( x k\ y k)
Ум
Я хм 'У м )
Ум
0
-1
1
1
1,025
1,0206
1,0253
1
-0,975
1,0253
1,0211
1,0508
1,04368
1,0511
2
-0,95
1,0511
1,0441
1,0772
1,0689
1,0775
20
-0,5
III.
Погрешность вычислений оценивается по правилу Рунге:
£ ^ mf x{ 2r - ! K 'v ,- ^ 2Vi!}Заполняем таблицу 3:
Таблица 3
(Л )
У\
-0,95
1,0511
y ? N)
1,0511
~\ уГ -
уГ
\
о
-0,9
Максимальное значение из последнего столбца таблицы 3 принимаем за
точность £ и округляем значения решения >’<2V) до этой точности. Строим
график решения y l'2N) по точкам.
\ ,
11.4. Метод Рунге-Кугта четвертого порядка
Описанные выше методы Эйлера являются частными случаями численных
методов интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка,
которые носят общее название «Методы Рунге-Кутта». Существует множество
методов Рунге-Кутта различного порядка; в курсовой работе рассмотрим еще
один, имеющий порядок погрешности О (/г4). По этому методу для уравнения
у ' = f (х; у ) вычислению значения У к+\ предшествуют четыре итерации по
формулам:
Чх = h - f ( x k; y k),
Чг = h - f { x k + ^ y k + ^
? 3 = A -^ t+^ * +yj»
(23)
4 4 = h - f ( x k + hi y k + 4 i ) ’
У м = У к + \ ( Ч х У ^ Ч 2 + 2 Чъ+Ч4)6
Порядок вычислений по формулам (23) аналоги-с:: описанному выше и
состоит из трех частей:
1.
Разбиваем отрезок на N = 10 частей с шагом h = ———и
N
заполняем таблицу 1:
к
...
II.
чУ
Ук
|
ч2
44
Чг
Ум
...
, _ b- а
Разбиваем отрезок на 2N = 20 частей с шагом " -
и
заполняем аналогичную таблицу 2.
III.
(V )
Сравниваем значения решений у к
( ’’ Л')
и ук
х к (аналогично методу Эйлера) в таблице 3.
За точность вычислений принимаем
в одинаковых точках
34
так как порядок точности этого метода равен четырем. Округляем значения
у[Щ) до полученной точности и строим график решения.
Заключение
В
первом этапе курсовой работы по математике были изучены
аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными, однородных и линейных уравнений, уравнений
Бернулли и в полных дифференциалах. Изучены условия существования и
единственности
решения
задачи
Коши,
а
также
особые
решения
дифференциальных уравнений.
Кроме аналитических, изучены методы приближенного и численного
интегрирования
дифференциальных уравнений первого
порядка:
метод
изоклин, метод последовательных приближений, шаговые методы Эйлера и
Рунге-Кутта различных порядков.
35
ПРИЛОЖЕНИЕ
Задание № 9. Найдите интегрирующий множитель
и решите дифференциальное уравнение:
1- ( у 2 + y e //'y )dx + ( y 2 - x e //y)dy = 0
2.
i
X
(* sin y + * s in x + \)dx + (x~ cosy - x c o sy н— )dy = 0
У
3. ( ^ - 4 - - 2 j d x + ( \ - 4 - - 2 ~ ) d y = 0
У
У
У
У
4.
^5 —— х )dx + ( 5 у - Л г jdy = О
5.
dx + (e~y c o s y + x jd y = О
6.
( х ъе х + у )dx - xdy = О
7.
(у + 2хуг- In y)dx - (г —х 2у + Зу2 )dy = О
8.
y d x - ( x 2y + х )dy = О
9.
у cos—
X
X
у
X
У
- (-rcos— + 2х~y)dy - О
X
10.
( х 2 ! 3у г )dx - 2хxdy = О
11.
( х у 5 + x y ) d x + ( x 2y A - x 2)dy = О
12. ( v + sec2 х)dx + ( 2 х ->-^~)dy = О
У
13.
( 2 х 3 - х 2 - y ) d x - ( 2 х гу - х )dy = О
14.
f3^Y + 4jdx + (8—+ ^ ) d v = 0
Л
У
У
У У'
15.
(Ъх2у г + 2y co s— ) d x - 2 x c o s — dy = О
16.
3x2dx + ( x i - е ~ у ) d y = О
17.
Q L - + 2x)dx + 3(2y + Z -)d y = 0
X
X
У
2
18.
У
2
ydx —xdy + In xdx = О
36
19.
у -yjl - у 2dx + ( х ф -
у2
+y)dy = О
20.
( x 2 c o s x - y )d x + xdy - 0
21.
( —— + tgy)dx + ( x + tgy)dy = 0
cosy
22.
( y - e ~x + sin yjd x + ( x-e~x + c o s y ) d y - 0
23.
( y + ^ -^ -Jdx + (0,5x + cosyJdy = 0
x
X^
24. ( — + _y + l^<5tc + ("2x +
У
+ — ) dy —0
7
25.
(^2xy 2<?* + y l n y ) d x + ( y e x + x ) d y = 0
26.
^2jv2 +2xylny)dx + ( x 2 + 2xy + 2y)dy = 0
27.
yefo + f y e -1 +1 )dy = 0
28.
(sinу + xe~x )dx + (cosy + ye~x Jdy - 0
29.
( y l n y - 5 y 3 sin5x)cbc + ( x + 2 y 2 cos5x)dy = 0
30.
( e x + 3 x 2e~y )dx + ( e x + 4 y 2e~y )dy = 0
31.
(x + ^ -^ -)d x + (x~l + cos у Jdy = 0
x
Задание Jfe 10. Найдите приближенное решение задачи Коши на отрезке
[а ,й ] = [х„;хд + 0.5] 1) методом последовательных приближений, 2) методом
Эйлера, 3) методом Эйлера с итерациями, 4) методом Рунге-Кутта.
Сравните полученные графики решений на одном чертеже.
1.у’=0.7х+0.5у2 ; у(0)=1.
2. у’=0.6х+0.6у2 ; у(-1)=1.
3. y’^.S x+ O Jy2 ; у(0)=-1.
4. у’=0.6х-0.5у2 ; у(-1)=1.
5. у ’^Лх+О.бу2 ; у(0)=1.
6. у’^^х-О .бу2 ; у(-1)=1.
7.
y ’=0.6x-0.5y2 ;
8.
y ’=- 0.5x+0.7y2;
y (-l)= l.
9.
y ’=- 0.5x+0.2y2 ;
y (-l)= l.
10. y ’=0.6x+0.4y2 ;
11
. y ’= -0 .4 x + 0.3 y 2 ;
12. y ’=0.5x2+O.6y2;
13. y ’- O J x ' + O V ;
у(0)=-1.
y (0)= l.
y (-l)= l.
y (-l)= l.
y (-l)= l.
14. y ’=0.4x2+0.7y2 ; y (- l) = l.
15
. y ’=0.1x2+0.5y2 ; y (-l)= l.
16. y ’=- 0.2x2+0.1y2; y (0)= l.
17. y ’=0.3x2+0.2y2 ; y (-l)= l.
18
y ’=0.4x2+0.5y2 ; y (0)= l.
19
. y ’= -0 .1 x 2+O.6y2 ; y (-l)= l.
20. y ’=-0.2xz+0.6y2; y (-l)= l.
21. у
0.6x+0.6y2 ;
22. у ’=0.7x+0.7y2 ;
y(0)= 1.
y (- l) = l.
23. y ’=-0.6x+0.8y2; y (0 )= l.
24. y ’=0.6x-0.5y2 ;
y (-l)= l.
25. y ’=0.4x+0.6y2 ;
y (0 )= l.
26. у 'Ю ^х + О .б у 2 ;
y ( - l) = l.
27. y ’=-0.2x2+0.1y2; y (-l)= l.
28. У’=- О ^ + О - б у 2; y (0 )= l.
29. У’=- O ^ + O J y 2; y (0 )= -l.
3 0 .y - O J x ^ . V y 2 ; y (-1)= 1.
38
1.
Метод последовательных приближений
\ y ' = f(x,y),
Найти решение задачи Коши 1 у ( х 0) = у 0 ,
взяв 3 первых приближения, не считая нулевого:
л
у о = у ( * 0 )>
1
Уг
=
х
Уо + \ / ( х , У у № ;
У\ = Уо +
J*
/
(х ’ У 0 ) ^ х ;
х
у 3 = у 0 + j f ( x , y 2)dx
*0_____________
Построить график решения Уз(х ) .
2.
Метод Эйлера с шагом h
b- а
у а =у(*„);
«=-
y \ = y 0 * f <x ( , y o > - h '
Решить данное дифференциальное
У 2 = У \ + f (х \ ’У \ ) ' к;
уравнение с точностью £ = 0 .0 1 .
y k + i = Уи + f (* кir’' yу ^к j - b ;
.
N
Оценка точности по правилу Рунге:
/1
шах< — у
13
Построить график решения.
Г - уГ '
<£.
39
3.
Метол Эйлера с итерациями
и
Ь~ а
Выбрав /V = 10 и " — jq ,
h
Уы =Ук^ ( / ( хк>Ук)+ЯхЫ’Уы))
оценить погрешность
вычислений по правилу Рунге:
Построить график решения.
4.
Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
Чх = b - f ( x k, yk)\
h
q]
q2 = h - f i x k + 2 ,yk + —\
h
q2
q2 =h- f ( xk + ~ , y k +— );
Выбрав N ~ 10 и ^
jq
оценить погрешность вычислений
по правилу Рунге:
4 ^ h - f ( x k +h,yk +q2)\
1
Ум =Ук +-^(Чх + 24 i +2^з +ЧЛ
Построить график решения.
5. Сравнить полученные графики решений
(на одном чертеже).
,
Учебное издание
МЕТОДЫ И НТ ЕГ РИР ОВ А НИ Я
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У РА В Н Е Н И Й
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
(Этап 1 )
Составители: Буш ков Станислав Владимирович
К олом иец Людмила Вадимовна
Редактор Л. Я. Ч е г о д а е в а
Подписано в печать 28.11.2003 г. Формат 60x84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл.печ.л. 2,3. Уел кр - отт. 2,4. Уч. - издл. 2,5.
Тираж 200 экз. Заказ 9 7 ’.Арт.С-11(ЦЗ)/2003.
Самарский государственный аэрокосмический
университет имени академика С П. Королева.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
РИО Самарского государственного аэрокосмического
университета. 443001 Самара, ул.Молодогвардейская, 151.