ГЛАВА «Функции нескольких переменных» §22. Поверхности в трехмерном пространстве Опр. 22.1. Множество точек ( x, y, z ) называется поверхностью в переменных. 3 3 , удовлетворяющее некоторому равенству F ( x, y, z ) 0 , . Частный случай поверхности: z f ( x, y ) – функция двух Замечание. В приложениях встречаются и функции с большим числом переменных. Например: T ( x, y, z, t ) – температура в точке ( x, y, z ) некоторого тела в момент времени t. Опр. 22.2. Рассмотрим функцию z f ( x, y ) .Множество точек ( x, y ) , в которых определена функция z f ( x, y ) , называется областью определения функции f (обозначение: D f ). При фиксированном значении С кривая f ( x, y ) C называется линией уровня С поверхности z f ( x, y ) . При y 0 кривая z f ( x,0) и при x 0 кривая z f (0, y ) называются (координатными) сечениями поверхности z f ( x, y ) . Замечание. Все эти понятия используются для построения графика функции f ( x, y ) , т.е. поверхности. §23. Касательная плоскость к поверхности. Первый дифференциал функции нескольких переменных Нам понадобится из 1-го семестра: - дифференцирование сложной функции: F ( x(t )) / F / ( x(t )) x / (t ) ; - уравнение плоскости по вектору нормали N ( A, B, C ) и точке ( x0 , y0 , z0 ) : A( x x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) 0 (вытекает из условия перпендикулярности векторов N ( A, B, C ) и ( x x0 , y y0 , z z0 ) ). Опр. 23.1. Пусть т. M 0 ( x0 , y0 , z0 ) лежит на поверхности F ( x, y, z ) 0 . Рассмотрим все гладкие кривые, проходящие через т. M 0 по этой поверхности. Если касательные к этим кривым в т. M 0 лежат в одной плоскости, то такая плоскость называется касательной плоскостью к поверхности F ( x, y, z ) 0 в точке M 0 . F ( x0 x, y0 , z0 ) F ( x0 , y0 , z0 ) , x 0 x то его значение называется частной производной функции F по переменной x в точке M 0 . F F F ( M 0 ), ( M 0 ) . Самим. ( M 0 ), Fx/ ( M 0 ), Fx ( M 0 ) . Аналогично определяются Обозначения: y z x Опр. 23.2. Пусть т. M 0 ( x0 , y0 , z0 ) DF . Если существует предел lim Теорема 23.1. Уравнение касательной плоскости к поверхности F ( x, y, z ) 0 имеет вид: Fx/ ( M 0 )( x x0 ) Fy/ ( M 0 )( y y0 ) Fz/ ( M 0 )( z z0 ) 0 . Доказательство. Следствие. Уравнение касательной плоскости к поверхности z f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) : z z0 f x/ ( x0 , y0 )( x x0 ) f y/ ( x0 , y0 )( y y0 ) . Доказательство. Опр. 23.3. Пусть дана точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) DF , существуют Fx/ ( M 0 ), Fy/ ( M 0 ), Fz/ ( M 0 ) . Обозначим: x x x0 , y y y0 , z z z0 . Выражение dF ( M 0 ) Fx/ ( M 0 ) x Fy/ ( M 0 ) y Fz/ ( M 0 ) z называется первым дифференциалом функции F в точке M 0 . Аналогично df ( x0 , y0 ) f x/ ( x0 , y0 ) x f y/ ( x0 , y0 ) y – первый дифференциал функции f ( x, y ) в точке ( x0 , y0 ) .