Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядка.

. .
11
.
,
1.
.
.
,
,
.
!
"
"
,
-
#
.
% &
,
.
S(
r —
(1)
M (r ) ,
,
(2),
M (r ) ,
L
)
F (r ) = 0
(1)
F (r ) = 0 ,
(2)
F —
"
-
r
S(
(1)
(2)
S(
L).
,
-
r
L),
..
"
.
/
F—
F(x, y) = 0
nn-
"
F(x, y) =
ik
x
xi y k , i + k
,
y, . .
n,
i, k
i* , k*
/
,
,
i* + k* = n,
F(x, y, z) = 0
F—
0.
i* k *
nn-
F(x, y, z) =
iks
"
xi y k z s , i + k + s
x, y, z, . .
n,
i,k ,s
i* , k* , s*
2
,
i* + k* + s* = n,
,
.
i* k * s*
"
0.
"
,
2
+ 2 5 0,
"
+ % +D = 0,
2
+ 2 + '2 5 0. 6
+ % + 'z +D = 0,
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
"
2
2
2
Ax + By + Cz + Dxy + Exz + Myz + Kx + Ly + Fz + Q = 0,
E, M
.
3
"
x, y
x, y, z
2
+
2
+ '2 5 0.
&## -
A, B, C, D,
2.
23
7
"
(
n
( 2
)
(
,
(
p). 3
7( r ),
(
"
(r
p).
70( r0 )
"
r0 ) n = 0 . 9
5).
p
,
8
2
"
,
n,
-
M 0M
),
&
"
(
p)
r n + D = 0,
(3)
D = r0 n .
M0(r0 )
n
M
r0
r
r0
r
M0
r - r0
r0
O
O
"
n ( A, B, C ) (n ( A, B) ) ,
M( r )
r
(
#
n
p
"
)
"
M0(x0, y0, z0) (M0(x0, y0)),
(8%9;) Oxyz (Oxy)
Ax + By + Cz + D = 0 (Ax + By + D = 0).
,
" M(x, y, z) (M(x, y)) —
(r r0 ) n = 0
3
(4)
(
"
p).
(x – x0)A + (y – y0)B + (z – z0)C = 0 ((x – x0)A + (y – y0)B = 0).
.
(4),
.
&## -
,
D=
Ax0 By0
(4)
A, B, C, (A, B)
Cz0 ( D =
Ax0
By0).
,
"
,
n
.
3.
23
.
8%9;
"
#
"
a11 x 2 + 2a12 x y + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0.
;
,
(5)
#
x = x0 + x cos
y sin , y = y0 + x sin + y cos
"
—
O1 ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
.
C
,
.%
(5)
(5)
&## -
(
12
)
0,
ctg 2 =
a11 a22
,
2a12
(6)
a11 x 2 + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,
(7)
a11 = a11 cos 2 + 2a12 cos sin + a22 sin 2 , a22 = a11 sin 2
2a12 cos sin + a22 cos 2 ,
a13 = a13 cos + a23 sin , a23 = a13 sin + a23 cos .
8 "
"
.8
( x0 , y0 ) ,
,
x
y,
a11 0, a22 0 . 3
a11
,
"
a
x + 13
a11
2
+ a22
2
a
y + 23
a22
2
2
a13
a11
+ a33
a23
= 0,
a22
,
a11 x 2 + a22 y 2 + a33 = 0,
2
a33 = a33
C
0, a22
a11
-
"
(8)
2
a13
a11
a23
a
a
, x = x + 13 , y = y + 23 , .
a11
a22
a22
a13
, y0 =
x0 =
a11
M (x, y)
. J
,
0,
(9). 2
,
.
( x0 , y0 ) -
.
a23
.
a22
(8),
-
(9)
M ( x, y)
. %
,
,
,
(5),
a11 x0 + a12 y0 + a13 = 0,
(10)
a12 x0 + a22 y0 + a23 = 0,
,
,
-
"
"
J2 =
K
,
1. C
J 2 0 ( a11 0, a22 0 ),
(8)
a11 > 0, a22 > 0, a33 < 0 , (8) —
b
-a
O
a11
a12
a12
a22
0.
&## -
-
"
&
.
&
2
a
a11 > 0, a22 > 0, a33 = 0 ,
2
x
y
+ 2 = 1,
2
a
b
a
33
, b2 =
a2 =
a11
x
-b
2. C
.
;
y
(8) —
,
&
.
a33
.
a 22
"
,
a11 > 0, a22 > 0, a33 > 0 ,
a11 > 0, a22 < 0, a33 < 0 ,
3. C
4. C
y
(8) —
(8) —
&
.
#
-
;
b
#
2
-a
a
O
x
a2
x
-b
a2 =
a11 > 0, a22 < 0, a33 = 0 ,
5. C
(8) —
a11 x +
a22 y = 0 , a11 x
a11 > 0, a22 < 0, a33 > 0 , (8) —
6. C
y
x
a2 =
" J2 = 0,
. % &
,
a22 )
0,
a22
(6),
#
". %
a33
, b2 =
a11
a33
.
a22
,
"
&## a11 = 0, a22
"
a
y + 23
a22
2
c
= 0,
2a13
+ 2a13 x +
x=x +
c
a
, y = y + 23
2a13
a22
a 22 y 2 + 2a13 x = 0 .
3
0.
(7)
a23
. .
a22
a33
y2
= 1,
b2
(10)
2
=
.
x2
a2
-b
C
).
#
O
(7) ( a11
&
a13
y
= 1,
b2
a33
a
, b 2 = 33 .
a11
a22
,
;
a
C
2
a22 y = 0 (
#
b
-a
.
"
(11)
,
7. C
J2 = 0
a13
0,
(11) —
.
;
y 2 = 2 px ,
a
p = 13 , p > 0.
a22
x
y
O
C
(7) a11 = a13 = 0 ,
"
a22 y 2 + a33 = 0 ,
"
(12)
a232
a
, y = y + 23 .
a22
a22
a33 = a33
&## -
(12)
:
a22 > 0, a33 < 0 ,
8. C
(12) —
a22 > 0, a33 = 0 , (12) —
a22 > 0, a33 > 0 ,
9. C
10. C
,
K ,
&
),
a 33
.
a 22
"
.
(12)
,
,
.
J2 > 0,
(5)
&
"
&
J2 = 0,
. C
,
(5)
J2 < 0,
(
C
y=±
"
,
(
(5)
,
.
,
,
).
&
–A
–
–
,
,
,
(5)
J2 > 0;
J2 < 0;
J2 = 0.
:
4.
23
.
"
#
8%9;
a11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a12 x y + 2a13 xz + 2a 23 yz + 2a14 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0. (13)
%
,
"
.
"
,
"
-
-
"
,
1. C
0, a22
0, a33
c
x
2. C
3. C
(14)
0.
&## "
.
a11 > 0, a22 > 0, a33 > 0, a44 < 0 , (14) —
z
;
a
. .
,
a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + a44 = 0,
a11
,
"
O
b y
a11 > 0, a22 > 0, a33 > 0, a44 > 0 , (14) —
a11 > 0, a22 > 0, a33 < 0, a44 < 0 ,
.
(14)
&
.
&
x2 y2 z2
+
+
= 1,
a 2 b2 c 2
a44
a
a
a2 =
, b 2 = 44 , c 2 = 44 .
a11
a22
a33
&
.
(14)
;
z
x2 y2
+
a2 b2
O
x
a
b
y
(14)
z
Oc
x
;
x2 y2
+
a 2 b2
y
-c
a2 =
a11 > 0, a22 > 0, a33 < 0, a44 = 0 ,
5. C
a44
a
a
, b 2 = 44 , c 2 = 44 .
a11
a22
a33
a2 =
a11 > 0, a22 > 0, a33 < 0, a44 > 0 ,
.
4. C
z2
= 1,
c2
z2
= 1,
c2
a44 2 a44 2
a
,b =
, c = 44 .
a11
a22
a33
(14)
.
;
z
O
x2 y2
+
a2 b2
y
x
a2 =
6. C
Q
a11 > 0, a22 > 0, a33 > 0, a44 = 0 ,
"
"
"
(13)
z2
=0,
c2
1
1
1
, b2 =
, c2 =
.
a11
a22
a33
(14)
.
.
"
:
C
a11 x 2 + a22 y 2 + 2a34 z = 0 ;
(15)
a11 x 2 + a22 y 2 + a44 = 0 ;
(16)
a11 x 2 + 2a24 y = 0 ;
(17)
a11 x 2 + a44 = 0 .
(18)
(15),
&## .
7. C
a11 > 0, a22 > 0, a34
0,
(15)
&
.
z
;
&
x2 y2
+
=z,
a 2 b2
y
O
x
a11 > 0, a22 < 0, a34
8. C
2a34
2a34
, b2 =
, a34 < 0.
a11
a22
a2 =
0,
(15)
.
;
z
x2 y2
=z,
a 2 b2
2a34
2a
a2 =
, b 2 = 34 , a34 < 0.
a11
a22
O
x
y
C
9. C
"
.
a11 > 0, a22 > 0, a44 < 0 ,
(16),
(16)
;
z
&
-
.
&
-
a
x
O
b
x2 y2
+
= 1,
a2 b2
y
a2 =
10. C
.
a11 > 0, a22 < 0, a44 < 0 ,
(16)
;
z
y
-a
O
x2
a2
x
a
a2 =
11. C
-
.
12. C
13. C
a44
a44
, b2 =
.
a11
a22
a11 > 0, a22 > 0, a44 > 0 ,
a11 > 0, a22 > 0, a44 = 0 ,
( " Oz ).
a11 > 0, a22 < 0, a44 = 0 ,
y2
= 1,
b2
a44
a
, b 2 = 44 .
a11
a22
(16)
&
(16)
(16)
"
a11 x +
,
a11 x
/
a22 y = 0 .
(17)
-
&## .
a22 y = 0 ,
14. %
a11 > 0, a24 < 0 .
;
"
z
O
x 2 = 2 py ,
y
x
p=
K,
-,
15. C
.
a11 > 0, a44 < 0 ,
(18)
a11 > 0, a44 = 0 ,
(18)
"
a11 > 0, a44 > 0 ,
(18)
"
x=±
(13)
a24
.
a11
(18),
"
a44
.
a11
16. C
.
17. C
.