В этом случае обобщенный закон строения кинематических

УДК 621.01
НЕЗАКОНОМЕРНОЕ И ЗАКОНОМЕРНОЕ СТРУКТУРНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Д.П. Дрягин, к.т.н., доцент, СумГУ, г. Сумы
Аннотация. Проведен анализ существующих незакономерных систематик
кинематических цепей и определены их недостатки. С точки зрения множественно-топологического подхода доказано существование закономерной
систематики, которая названа обобщенным законом строения кинематических цепей.
Ключевые слова: структура, контурозвенность, закономерность, неоднородность, неодносемейственность.
Введение
Машины и механизмы структурно отображаются с помощью кинематических цепей и известные формулы Чебышева, Сомова–Малышева и Добровольского предоставляют возможность для проведения структурно-функциональных исследований, но только однородных структур, в то время как современные механизмы и машины нередко содержат
т.н. «пассивные звенья» – автоди-контуры и
переменные кинематические пары – явные
признаки неоднородности.
Решение структурных задач с факторами
неоднородности возможно лишь на основе
закономерной контурозвенности, полученной
в данной работе.
Анализ публикаций
Возможны различные способы множественно-топологических оценок существования
кинематических цепей, отражаемых с помощью систематик.
Исходная систематика деления цепей на звенья (неизменяемые тела) и кинематические
пары была предложена французским ученым
Шарлем Лабулэ в 1849 г. [1]. Эта систематика не может быть закономерной, она аксиоматична, следовательно, весьма жизненна и
служит основой для разработки других систематик. Условимся называть систематику
по Ш. Лабулэ звенно-парной. В рамках си-
стематики, предложенной Ш. Лабулэ, получили свои структурно-функциональные уравнения и формулы П.Л. Чебышев [2], А.П.
Малышев [3] и В.В. Добровольский [4].
Недостаток звенно-парной систематики
заключается в том, что она не позволяет достаточно достоверно учитывать влияние
неоднородности и неодносемейственности
кинематических цепей на их избыточную
связность и подвижность.
Поводково-звенная систематика предложена
немецким ученым М.Грюблером в 1883 г.
[5]. Ее основой является понятие о «поводке»
как неизменяемом теле, входящем в две кинематические пары. Соответственно неизменяемые тела, входящие в три и более пары,
автором названы «звеньями».
В рамках предложенной систематики
М. Грюблеру удалось получить два множественно-топологических уравнения для плоских одноподвижных механизмов и плоских
статически определимых ферм.
Систематика по М. Грюблеру также незакономерна, т.к. пригодна только для замкнутых
кинематических цепей. Попытка О.Г. Озола
развить эту систематику на незамкнутые
цепи путем введения понятия «полуповодок»
не привела ее к уровню закономерности, т.к.
автору не удалось получить структурное замкнутое аналитическое решение, которое
охватило бы кинематические цепи общего
вида [6].
С помощью расширенной систематики по
Грюблеру-Озолу невозможно решать структурно-функциональные задачи для неоднородных и неодносемейственных цепей.
Структурная систематика, отражающая существование замкнутых пристоечных изменяемых контуров кинематических цепей механизмов, была использована для получения
своих структурно-функциональных уравнений и формул авторами П.О. Сомовым [7],
Х.И. Гохманом [8], О.Г. Озолом [9] и
В.И. Пожбелко [10]. Назовем ее систематикой замкнутых контуров и отметим, что она
также незакономерна, несмотря на то, что
Х.И.Гохману удалось получить чисто структурное уравнение, позволяющее достоверно
определять множество кинематических цепей Гохмана, отличающихся друг от друга
«по крайней мере, одним членом» 1. Ограниченность незакономерной систематики замкнутых контуров состоит в том, что с ее
помощью не решаются структурно-функциональные задачи для неоднородных цепей,
содержащих кинематически пассивные звенья-автодиконтуры 2. Эта систематика совершенно неприменима также для анализа комбинированных цепей, содержащих наряду с
замкнутыми контурами-цепями также и
открытые, незамкнутые цепи, множество которых наблюдается, например, в подъемно-транспортных машинах и в роботах-манипуляторах.
В 1994 г. Л.Т. Дворников предложил «универсальную структурную систему», в основе
которой понятие о «τ-угольнике», т.е. звене,
«входящем в τ кинематических пар» [11].
Для соблюдения условия замкнутости цепи
автор требует значения τ ≥ 2.
В систематике по Дворникову τ-звено всегда
максимально высокого ранга, его также можно назвать контуром-звеном τmax-ранга, т.е.
звеном, которое содержит τmax кинематических пар. В этом случае топология остальных
контуров-звеньев цепи формируется по остаточному принципу.
Систематика по Дворникову незакономерна
и для ее функционирования автор привлекает
формулу Добровольского.
Вычислительные процедуры при этом становятся необоснованно сложными и скорее следует говорить не об универсальности систематики Дворникова, а ее ограниченности,
обусловленной применением однородной и
односемейственной формулы Добровольского и неучетом существования контуров-звеньев без кинематических пар, т.е. нульконтуров.
Цель и постановка задачи
Поставим задачу отыскания контурозвенной
закономерной систематики.
Допустим, что возможно существование в
составе цепей топологических контуров-звеньев следующих видов [12]:
– нуль-контуров;
– моноконтуров;
– диконтуров.
Принимаем, что нуль-контуры содержат
только места присоединения свободных элементов постоянных и переменных 3 кинематических пар (СЭКП). Моноконтуры содержат
по одной кинематической паре и, как минимум, по одному месту присоединения
СЭКП4. Диконтуры содержат по две кинематические пары со свободными элементами.
Места присоединения СЭКП в составе диконтуров могут отсутствовать.
В этом случае обобщенный закон строения
кинематических цепей, отражающий существование закономерной систематики, может
быть сформулирован так:
– кинематические цепи произвольной структуры, содержащие наряду с постоянными
также и переменные кинематические пары,
состоят или могут быть составлены из трех
видов множеств: нуль-контуров n0, моноконтуров nI и диконтуров nII.
Доказательство обобщенного закона
строения кинематических цепей
1
Х.И.Гохман «членами» называл звенья «кинематического организма», т.е. механизма.
2
Автодиконтуры – автономные, внегрупповые
звенья-контуры, содержащие по две кинематические пары.
3
Возможность существования переменных кинематических пар рассмотрена в работе [13].
4
При формировании открытых, незамкнутых цепей периферийные моноконтуры могут не содержать мест присоединения СЭКП.
Пусть имеем множество звеньев кинематической цепи m, а совокупное множество кинематических пар pΣ = pc + pυ , при этом pc –
множество постоянных пар, а pυ – множество переменных пар.
Представим множество нуль-контуров в виде
ряда
n0 = 0, 1, 2, 3,
Докажем,
что
разностное
множество
m − n0 = n всегда делится без остатка на множества nI и nII, т.е. n = nI + nII .
По определению моноконтура имеем
pΣ I = nI ,
где pΣ I – множество кинематических пар в
составе моноконтуров.
На основании определения диконтура можно
записать
pΣ II = 2nII ,
где pΣ II – множество кинематических пар в
составе диконтуров.
Для всей кинематической цепи получаем
pΣ = pΣ Ι + pΣ Ι Ι , ь
э.
m − n0 = nΙ + nΙ Ι ю
При вычитании второго уравнения из первого в системе (4), с учетом равенств (2) и (3),
получим выражение для определения множества диконтуров или степени диконтурности
кинематической цепи
nΙ Ι = pΣ − n.
С учетом (5) из второго уравнения системы
(4) определяется множество моноконтуров
или степень моноконтурности кинематической цепи
nΙ = 2n − pΣ .
(6)
Зависимости (5) и (6) показывают, что кинематическая цепь общего вида всегда делится
на множества моноконтуров и диконтуров,
при этом значение множества нуль-контуров
произвольно выбирается из ряда (1).
Окончательно обобщенный закон строения
кинематических цепей запишется так:
n0 = m − n = 0,1, 2,3...ь
п
nI = 2n − pΣ
э.
п
nII = pΣ − n
ю
(7)
При получении зависимостей (7) не налагались ограничения на виды кинематических
пар и на характеристики пространств существования кинематических цепей. Но в этом
случае совокупность трех формул (7) действительно можно трактовать как обобщенный множественно-топологический закон
строения кинематических цепей, сокращенно
– закон контурозвенности.
Этот закон является дальнейшим развитием
закона строения механизмов [12]. Он позволяет заниматься исследованием структуры
машинных агрегатов, которые могут содержать более чем одну полностью или неполностью закрепленную корпусную деталь, т.е.
несколько нуль-контуров.
Выводы
Незакономерные систематики, предложенные Ш. Лабулэ, М. Грюблером, П.О. Сомовым, Х.И. Гохманом и Л.Т. Дворниковым,
позволили получить лишь однородные и односемейственные структурно-функциональные решения для кинематических цепей с постоянными парами.
В рамках систематики замкнутых контуров в
работе [10] автору удалось получить формулу подвижности для неодносемейственных
механизмов, но неоднородность, обусловленная автодиконтурностью и существованием
переменных пар, в этой работе не учитывается.
Получена закономерная систематика в виде
обобщенного закона строения кинематических цепей, которая учитывает существование как постоянных, так и переменных пар и
позволяет выполнять функциональные исследования кинематических цепей с учетом их
неоднородности и неодносемейственности
[14].
Литература
1. Ch. Laboulaye. Traite de cinematique ou theorie
des mecanismes. – Paris, 1849.
2. Чебышев П.Л. О параллелограммах // Избранные труды. Под ред. акад. И.М. Виноградова.
– М.: Изд-во АН СССР, 1955. – С. 663–688.
3. Малышев А.П. Структура и синтез механизмов.
– Новониколаевск: Сибирское обл. гос. изд-во. Прикладная механика. – 1923. – Вып.
1. – – 91 с.
4. Добровольский В.В. Система механизмов. –
М.: Машгиз, 1943. – 96 с.
5. M. Grűbler. Allgemeine Eigenschaften der
zwanglaufigen ebenen kinematischen Ketten. –
«Civilingenieur», 1883. Bd. XXIX, S. 167-200.
6. Озол О.Г. Теория механизмов и машин. – М.:
Наука, 1984. – 432 с.
7. Сомов П.О. О степенях свободы кинематической цепи // Журн. Русского физ.-хим. о-ва.
– 1887. – Т.19. – Вып. 9. – С. 443-476.
8. Гохман Х.И. Основы познавания и созидания
пар и механизмов. – Одесса: Кинематика машин. – 1890. – Т.I. – 248 с.
9. Озол О.Г. Новая структурная формула механизмов и ее теоретическое и практическое
значение // Труды Латвийской с-х. акад. –
1962. – Вып. 11. – С. 113 – 129.
10. Пожбелко В.И. Универсальная структурная
формула и классификация механических систем любой структуры // Известия вузов. –
М.: Машиностроение. – 2000. – № 1–2. –
С. 3 – 11.
11. Дворников Л.Т. Начала теории структуры механизмов. – Новокузнецк: Изд-во СибГГМА, 1994. – 102 с.
12. Дрягин Д.П. Закон строения механизмов //
Вісник Сумського державного університету.
– 1999. – № 2(13). – С. 79 – 80.
13. Дрягин Д.П. Исследование структурных
свойств механизма с переменной кинематической парой // Вісник Сумського державного університету. – 2003. – №3(49). –
С. 183 – 187.
14. Дрягин Д.П. Строение механизмов. Новые методы структурного анализа и синтеза. –
Сумы: Изд-во СумГУ, 2000. – 67 с.
Рецензент: В.А. Перегон, профессор, к.т.н.,
ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 11 октября
2007 г.