Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Занятие 12
Дифференциальные
уравнения первого
порядка (продолжение)
12.1
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения
Бернулли.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
a0 (x)y + a1 (x)y = b(x) ,
где a0 (x), a1 (x) и b(x) — непрерывные функции (в некотором
интервале). Деля на a0 (x), мы можем переписать это уравнение
в виде
(1)
y + a(x)y = b(x) .
Уравнение y +a(x)y = 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ), соответстующим уравнению (1). Оно является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. В соответствии с общей теорией ли88
нейных дифференциальных уравнений, которая будет развита
позже, решение уравнения (1) можно найти методом вариации
произвольной постоянной. Для линейных уравнений первого порядка этот метод реализуется как метод Бернулли (или метод
подстановки).
Метод Бернулли решения дифференциального уравнения (1)
состоит в следующем. Ищем решение y = y(x) уравнения (1) в
виде произведения двух функций y = u(x)v(x). Функции u(x) и
v(x) находятся из условия, что y должно быть решением уравнения, т.е. при подстановке y в уравнение должно получаться
тождество. Подставляем y = uv , соответственно, y = u v+uv ,
в уравнение (1) и получаем:
u v + uv + a(x)uv = b(x).
=u(v +a(x)v)=0
Группируем второе и третье слагаемые ("серединку"), получаем
u · (v + a(x)v). Ищем v(x) такое, чтобы это выражение обратилось в нуль. Для этого достаточно, чтобы v(x) было решением
уравнения
(10 )
v + a(x)v = 0 .
Если v(x) является решением этого уравнения, то y = uv является решением уравнения (1), если u(x) является решением
уравнения u v = b(x). Итак, u и v являются решениями системы
v + a(x)v = 0,
(2)
u v = b(x).
Сначала решаем первое из уравнений этой системы, т.е. уравнение (10 ), и находим v = v(x). Это уравнение с разделяющимися
переменными. При нахождении v(x) мы произвольную постоянную не учитываем (считаем, что C = 0; произвольная постоянная появится при следующем интегрировании). Затем из
второго уравнения системы (а это есть простейшее уравнение)
находим u = u(x). Наконец, записываем ответ: y = u(x)v(x).
89
Задача 12.1. Решить дифференциальное уравнение:
2
a) y + 2yx = 2x2 e−x ; b) y − 2y = ex − x;
y
1
c) y + x+y
2 = 0 ; d) y = y 4 −x ;
2 e) y + 1−2x
x2 y = 1; f ) x y = 2xy + 3, y(1) = 0;
x
2
g) y + tg x = tg x ; h) xy − lnyx = x2 ln x , y(e) = 12 e2 .
♥a) Подставляя y = uv, получим:
2
u · v + u · (v + 2xv) = 2x2 e−x .
Для нахождения u и v имеем систему
v + 2xv = 0,
2
u v = 2x2 e−x .
dv
, получаем
Из первого уравнения находим v: подставляя v = dx
dv
2
v = −2xdx. Интегрированием находим ln v = −x , откуда v =
2
e−x .
2
Подставляя найденное v во второе уравнение, имеем: u e−x =
2
2x2 e−x ⇒ u = 2x2 . Интегрируя, получаем u = 23 x3 +C. Находим
2
общее решение: y = uv = 23 x3 + C e−x .
c) На первый взгляд это уравнение не является линейным.
Однако оно является линейным относительно обратной функ1
ции x = x(y). Действительно, yx = x1 , поэтому x1 + x+y
2 = 0, и
y
мы получаем линейное уравнение
x + x = −y 2 , x = x(y) =?
Ищем решение в виде: x = u(y)v(y). Подставляя x = u v + v u,
получаем u v + u(v + v) + y 2 = 0. Сначала находим v: v + v = 0
u: u v = −y 2 ⇒ u e−y = −y 2 ⇒
⇒ v = e−y . Затем находим
u = −y 2 ey ⇒ u = − y 2 ey dy. Интегрируя по частям, найдём
u = −y 2 ey + 2yey − 2ey + C. Получаем общее решение: x = uv =
−y 2 + 2y − 2 + Ce−y . ♠
2
Ответ: a) y = 23 x3 + C e−x ; b) y = −ex + 12 x + 14 + Ce2x ;
1
c) x = −y 2 + 2y − 2 + Ce−y ; d) xy = 15 y 5 + C; e) y = x2 + Cx2 e x ;
90
f ) y = x2 − x1 ; g) y = 2 + C(sin x)−1 ; h) y = 12 x2 ln x.
Дифференциальное уравнение вида
y + a(x)y = b(x)y n .
(3)
называется уравнением Бернулли. В частном случае, когда
n = 0 или n = 1 получаем линейное уравнение.
Уравнения Бернулли решаются также методом Бернулли.
Ищем решение в виде произведения y = uv . Подставляя в уравнение, получаем
u v + uv + a(x)uv = b(x)un v n .
Функции u и v находятся из системы
v + a(x)v = 0,
u v = b(x)un v n .
(4)
Отличие от линейных уравнений состоит в том, что в данном
случае второе уравнение системы является не простейшим, а
уравнением с разделяющимися переменными.
Задача 12.2. Решить дифференциальное уравнение:
2
c) y + 2xy = 2x3 y 3 ;
a) y − x1 y = lnxx y 2 ; b) y + 4xy = e2x y 2 ; √
d) y + xy =
x2
3y , y(1)
2xy
= 0; e) y − 1+x
2 =
4 y
√
1+x2
· arctg x , y(1) =
π4
128 .
♥a) Это уравнение Бернулли вида (3) с n = 2. Ищем решение
в виде y = uv. Подставляя в уравнение, получаем
ln x 2 2
1
u v .
uv+u v − v =
x
x
dv
dx
= xv ⇒ dv
Сначала находим v из уравнения v − x1 v = 0: dx
v = x
⇒ v = x.
ln x 2
Затем находим u из уравнения u v = lnxx u2 v 2 : du
dx = x u v ⇒
du
du
1
2
dx = u ln x ⇒ u2 = ln xdx ⇒ − u = x ln x − x + C. Получаем
x
. ♠
ответ: y = uv = − x ln x−x+C
91
1
;
(x+C)e2x2
x2 ) arctg 4 x.
x
Ответ: a) y = − x ln x−x+C
; b) y = −
x2 +
1
2
12.2
2x2
+ Ce
; d) y 2 =
2x5 −2
15x2
; e) y = (1 +
c)
1
y2
=
Уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение первого порядка (записанное в
дифференциальной форме)
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
(5)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом, т.е. дифференциалом некоторой функции u(x, y):
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = du .
(6)
∂u
Поскольку du = ∂u
∂x dx + ∂y dy, то функция u(x, y) должна удовлетворять системе уравнений
∂u
∂x = P (x, y) ,
(7)
∂u
∂y = Q(x, y) .
Если уравнения (7) выполняются, то из независимости смешен∂2u
∂2u
= ∂y∂x
,
ных производных от порядка дифференцирования: ∂x∂y
следует, что функции P (x, y) и Q(x, y) удовлетворяют условию
∂Q
∂P
=
.
∂y
∂x
(8)
Наоборот, можно показать (мы получим это в следующем семестре из формулы Грина), что если условие (8) выполняется,
то функция u(x, y) в уравнении (6) существует (в односвязной
области).
Следовательно, мы можем сказать, что уравнение (5) является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется
условие (8).
92
Таким образом, уравнение в полных дифференциалах имеет
вид du(x, y) = 0. Поскольку дифференциал функции u(x) =
u(x, y(x)) одной переменной x равен нулю, то эта функция равна константе, т.е. u(x, y(x)) = C. Получаем следующий метод
решения уравнения в полных дифференциалах:
1) проверяем является ли уравнение (5) уравнением в полных
дифференциалах; для этого проверяем условие (8);
2) находим функцию u(x, y) из системы (7); для этого, интегрируя первое уравнение системы
по x (и считая y постоянным),
сначала находим u(x, y) = P (x, y)dx = F (x, y) + C(y) с точностью до произвольной постоянной C(y), зависящей от y; затем
подставляем найденное u(x, y) = F (x, y) + C(y) во второе уравнение системы и находим C (y); наконец, по производной C (y),
интегрируя (при этом можно считать, что произвольная постоянная равна нулю), находим функцию C(y) и тем самым u(x, y);
3) искомое решение y = y(x) дифференциального уравнения (5)
задается как неявная функция уравнением u(x, y) = C = const.
Замечание. Решение уравнения (5) сводится к нахождению
функции u(x, y), удовлетворяющей системе (7). Функция u(x, y)
является обобщением понятия первообразной на случай функций многих переменных: мы должны найти функцию по ее известным частным производным. Такая функция называется потенциалом векторного поля (P (x, y); Q(x, y)).
Задача 12.3. Решить дифференциальное уравнение:
a) e−y dx + (1 − xe−y )dy = 0; b) (ln y − 2x)dx + ( xy − 2y)dy = 0 ;
2
c) 2x cos 2 ydx + (2y
= 0;
− x sin y)dy
x
d) (x + ln y)dx + 1 + y + sin y dy = 0.
♥a) В данном случае P (x, y) = e−y , Q(x, y) = 1 − xe−y и,
∂Q
∂P
−y ∂Q
−y
следовательно, ∂P
∂y = −e , ∂x = −e . Так как ∂y = ∂x , то
имеем уравнение в полных дифференциалах. Ищем функцию
u(x, y) из системы
∂u
−y ,
∂x = e
∂u
−y .
∂y = 1 − xe
93
Интегрируя первое уравнение по x, получаем
u(x, y) = e−y dx = xe−y + C(y) ,
где C(y) некоторая функция. Подставляя найденное u(x, y) во
второе уравнение, получаем: −xe−y +C (y) = 1−xe−y ⇒ C (y) =
1 ⇒ C(y) = y. Получаем, что u(x, y) = xe−y + y. Записываем
ответ: xe−y + y = C.
c) Это уравнение в полных дифференциалах (проверить самостоятельно).
∂u
∂u
= 2x cos2 y ,
= (2y − x2 sin 2y);
∂x
∂y
u(x, y) = 2x cos2 ydx = x2 cos2 y + C(y) ⇒
⇒
∂u
= x2 2 cos y · (− sin y) + C (y) ⇒
∂y
⇒ −x2 sin 2y + C (y) = 2y − x2 sin 2y ⇒ C = 2y ⇒
⇒ C(y) = y 2 ⇒ u(x, y) = x2 cos2 y + y 2 .
Получаем ответ: x2 cos2 y + y 2 = C.
♠
xe−y + y
= C; b) x ln y − x2 − y 2 = C; c) x2 cos2 y +
Ответ: a)
2
y 2 = C; d) x2 + x ln y + y − cos y = C.
Задача 12.4. К какому виду относятся следующие уравнения:
a) (x2 − y 2 )y = 2xy ; b) x tg y dy = lg xdx ; c) y 2 = y (2xy + 3) ;
3
d) (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 ; e) y = x2y−1 ; f ) xy + y = 2y 2 .
Контрольные вопросы
1. Что такое линейное дифференциальное уравнение первого
порядка?
2. В чем состоит метод Бернулли?
3. Что такое уравнения Бернулли и как они решаются?
94
4. Что такое уравнение в полных дифференциалах?
5. Как решаются уравнения в полных дифференциалах?
Дополнительные вопросы и задачи
1
= z,
D1. Показать, что уравнение Бернулли (3) заменой yn−1
где z = z(x) — новая неизвестная функция, сводится к линейному уравнению.
D2. Найти то решение уравнения sin 2xy = 2(y + cos x), которое остается ограниченным при x → π2 .
Ответ: y = tgx − cos1 x .
D3. Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен квадрату ординаты точки касания.
95