Листок 16 18.V.2011. ÷ÙÛËÁ. 2-Ê ËÕÒÓ. íÏÄÕÌØ IV. Элементы теории Галуа. Терминология. Группа Aut k Gal f =k F k ⊂ F называется расширением Галуа , если dimk F = |Aut k F|. группой Галуа F над k и обозначается Gal F=k. Группа Галуа √ 2i n 1 = e n ∈ C. группа Галуа его поля разложения. Мы полагаем Конечное расширение называется в этом случае многочлена f ∈ k[x] | это А161. Пусть k ⊂ F | расширение Галуа с группой Галуа G. Покажите, что а ) ∃ # ∈ F, G-орбита которого есть базис F как векторного пространства над k. б ) все f ∈ k[x], имеющие в F корень, полностью разлагаются там на линейные множители. А162. Покажите, что при char k = 6 2 группа Галуа многочлена f ∈ k[x] осуществляет лишь D(f ) является квадратом в k. а ) x3 − 3 x +1 б ) x3 +2 x +1 в ) x4 − 5 x2 +6 чётные перестановки его корней, если и только если А163. Найдите группу Галуа над Q многочленов г ) x4 + x2 + 1 д ) x4 + 1 и выразите их корни через квадратные и кубические радикалы. А164. Предъявите угол, который нельзя разбить на три равных угла циркулем и линейкой. А165. Найдите группу Галуа над Q поля √ 7 в ) полученного присоединением к Q всех 5. группу Галуа над Q √ √ Q( 2 + 3) а) А166* . Найдите группу Галуа над Q многочлена x4 + 2 x2 + x + 3. А167* . Предъявите f ∈ Z[x] с deg f = 6 и Gal f=Q ' S . А168. Выразите А169. Пусть а) 1 √ 17 б) 1 p > 2 | простое, F √ √ Q( 3 1 + 3 2) Опишите все подполя этих полей и вычислите тех, что являются расширениями Галуаполя √ 5 б) Q. 6 √ √ 13 через квадратные корни, а в ) 13 через 1 √ p = Q[ 1]. Покажите, что G = Gal F=Q содержит единствен- ную подгруппу индекса 2 и опишите соответствующее квадратичное расширение Q. p ∈ N | простое, и a ∈ Q не является p-той степенью. Покажите, что группа xp − a над Q изоморфна группе аффинно-линейных автоморфизмов аффинной прямой над Fp . А1611* (квадратичный закон взаимности). Пусть p; q > 2 | простые. Положим q ∗ = √ q−1 (−1) 2 q , K = Q[ q ∗ ] и O ⊂ K подкольцо всех его целых над Z. Покажите, что: а ) [q ∗ ]p квадрат в Fp ⇐⇒ O=(p) = Fp ⊕ Fp ⇐⇒ автоморфизм Фробениуса 'p : z 7→ z p тождественно действует на O=(p) (кстати, какова альтернатива 2-го и 3-го условий?) √ q б ) существует вложение полей K ⊂ - Q[ 1] ⊂ C, такое что действие 'p является привеz7→zp дением по модулю p ограничения на O отображения C C. √ ∗ в ) Получите явное выражение q через корни q -той степени из единицы, выясните как действует на него возведение в p-тую степень (по модулю p), и установите квадратичный p−1 q−1 закон взаимности1 : [p=q ] · [q=p] = (−1) 2 · 2 А1610. Пусть Галуа многочлена А1612. Постройте правильный 17-угольник циркулем и линейкой. √ √ Q[ p] ⊂ Q[ 4p 1] при простом p ≡ 3 (mod 4) √ m б ) любое квадратичное расширение Q содержится в некотором круговом поле Q[ 1]. А1614. Пусть u = p(t)=q (t), где p; q ∈ k[t] взаимно просты. Покажите, что: а ) dimk(u) k(t) = max(deg p; deg q ) б ) Aut k k(t) = PGL2 (k) это группа дробно линейных замен переменной t. А1615. Пусть G = PGL2 (Fq ), а P ⊂ G и N ⊂ P состоят из замен t 7→ at + b (с a = 6 0) и t 7→ t + b. “ 2 ”q+1 ! Покажите, что подполя инвариантов этих групп в Fq (t) суть tq −t а ) Fq (t)N = Fq (tq − t) б ) Fq (t)P = Fq ((tq − t)q−1 ) в ) Fq (t)G = Fq 2 (tq −t)q +1 А1613. Покажите, что а) А1616* . Покажите, что алгебраическое замыкание Fp получается присоединением к примитивных корней из единицы всех простых степеней, отличных от 1 напомним, p, что символ Лежандра { Якоби [n=p] и 1 в остальных случах равен −1, если n p. не квадрат по модулю p, 0, если n Fp всех делится на