= U ( /2 ) ln(c/a) ( /2 ) ln(c/b) ( /2 ) ln(b/a) = σ πε ∙ +

Шелаев А.Н.
Сведения об авторе
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗОЛОТЫХ СЕЧЕНИЙ
И ФУНКЦИЙ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ
Обобщённая геометрическая модель золотых сечений - окружности золотых
сечений была введена автором статьи в [1,2]. В [3,4] установлена связь этой
модели с обобщёнными функциями средних значений. В работе [5] найдена
физическая интерпретация окружностей золотых сечений и функций средних
значений как эквипотенциальных линий длинных тонких параллельных
противоположно-заряженных тел. В данной работе проводится детальный
анализ предложенной в [5] электростатической модели.
Итак, пусть в точках A,B (см. рис. 1) находятся центры сечений длинных
тонких тел с линейной плотность зарядов   соответственно:
1
Применяя теорему Гаусса и полагая потенциал в точке O , лежащей в
середине отрезка AB ( AO  BO  c ), равным нулю, получим, что суммарный
потенциал в любой точке M ( AM  a, BM  b, об индексах 1,2 ниже) равен:
U  ( / 2o )  ln(c / a)  ( / 2o )  ln(c / b)  ( / 2 o )  ln(b / a)
(1)
Эквипотенциальные линии U  const , имеют место при b / a  const  k .
Пусть в системе координат XOY точка M имеет координаты (x, y) , тогда
k 2  (b / a)2  [(c  x) 2  y 2 ] / [(c  x) 2  y 2 ]
(2)
В (2) учтено, что c  0 , а координата x может быть и  0 , и  0 . Выделяя
в (2) полный квадрат по x , получим уравнение окружностей:
[x  c(k 2  1) / (k 2  1)]2  y 2  4c 2k 2 (k 2 1) 2
(3)
2
2
с центром в точке ( x u  c(k  1) / (k  1), yu  0) и радиусом, равным
R u   2ck / (k 2  1) . R u  0 при знаке «+» для k  1 и знаке «-» для k  1.
При k  1 R u   , x u   и U  const  0 на оси ординат OY  AB .
При c  1/ 2, AB  1, k1    (1  5) / 2 , получим 1-ю окружность
золотой пропорции с центром в точке (x u1    1/ 2, yu1  0) ,
радиусом
R u  1 , в которой точка точка M1 , движущаяся по этой окружности, даёт
постоянное отношение отрезков: BM1 / AM1  b1 / a1  k1   .
2
При c  1/ 2, AB  1, k 2    (1  5) / 2 , получим 2-ю окружность
золотой пропорции с центром в точке (x u2  (  1/ 2), yu2  0) , радиусом
R u  1 , в которой точка точка M 2 , движущаяся по этой окружности, также
даёт постоянное отношение отрезков: BM2 / AM2  b2 / a 2  k 2   .
Потенциал на окружности 1: U1  ( / 2o )ln()  0 , на окружности 2 :
U2  ( / 2o )ln()  0 , U1  U2 , так как   1/  . В общем случае
U1,2  ( / 2o )  ln[(| x u | c) / R u ] , 1 - знак «-» , 2 - знак «+»
(4)
Напряжённость поля E  gradU равна сумме 2-х компонент (см. рис 2):
Ea   / 2oa и Eb   / 2o b , имеющих составляющие по осям X,Y .
В итоге суммарное поле E  E x  i  E y  j и его модуль E 
E 2x  E 2y равны:
E  ( / 2o )  [(cos  / a  cos  / b)  i  (sin  / a  sin  / b)  j]
(5)
E  ( / 2o )  1/ a 2  1/ b2  2cos(  ) / ab  c / oab
(6)
Модуль поля E постоянен при c / ab  const и направлен по касательной к
силовой линии. Силовые же линии, ортогональные эквипотенциальным
окружностям (1, 2 на рис. 1), сами являются окружностями (3, 4 на рис. 1).
Радиус окружностей силовых линий равен: R E  c / sin   c / sin(  ) .
Силовые линии проходят через точки расположения зарядов A,B , поэтому при
движении по данной силовой линии хорда AB видна под постоянным углом  ,
и
отрезок OM  h  c / tg( / 2)  c  tg((  ) / 2) . Центр силовых линий
располагается на оси ординат в точке ( x E  0, yE  c / tg  c / tg(  ) ).
При        / 2 хорда AB становится диаметром окружности силовой
линии.
При движении вдоль окружностей золотых сечений 1,2 , являющихся
эквипотенциальными линиями, поле E направлено по радиусу окружностей, а
модули поля E1, 2 зависят от углов 1, 2 (см. рис. 1). Учитывая, что
R u   2ck / (k 2  1) ,
k  (| x u |  c) / R u ,
ab  b2 / k ,
E1,2 / ( / 2o )  c / R u (| x u | R u cos 1,2 )
(7)
R 2u  x 2u  c2 ,
получим:
3
Так как 2    1 , c  1/ 2 , R u  1 , | x u |   1/ 2 введём функции:
F1()  1/ (2  1  2cos ) ,
F2 ()  1/ (2  1  2cos(  ))
f1,2 ()  F1,2 () / (F1()  F2 ())  1/ 2 cos  / (   )
(8)
(9)
Графики функций F1 () , F2 () , F1()  F2 () показаны на рис. 3 (кривые 1,
2, 3). Графики функций f1,2 () показаны на рис. 4 (кривые 1, 2). При этом
F1(0)  F1(2)  F2 ()  3 ,
F2 (0)  F2 (2)  F1()  3
F1,2 ( / 2)  F1,2 (3 / 2)  1/ (  )
(10)
(11)
f1 (0)  f1 (2)  f 2 ()  1/ (1  6 ) , f 2 (0)  f 2 (2)  f1()  6 / (1  6 ) (12)
4
В то же время было установлено, что для введённых в ходе решения данной
физической задачи функций, определяющих амплитуду электростатических
полей, существует ряд интегральных соотношений гармонии, выражающихся
через фундаментальные математические константы , ,  . Напр., учитывая
2
2
то, что arctg()    / 2 , и то, что при W  p  q  0
J I   d / (p  q  cos )  (2 / W)  arctg[(p  q)  tg(  / 2) / W]
(13)
J II   d / (p  q  cos ) 2  q  sin  / (W  (p  q  cos ))  (p / W)  J I (14)
получаем нетривиальные закономерности для полей и квадратов полей:
2
0

0
2 2
F ()d  2  (  ) ,
0 1,2
2
0

F1,2 ()d  2   F1,2 ()d  2 ,

2
0
(F1()  F2 ())d  0 ,
2
0
f1,2 ()d  
(15)
2 2
f1,2 ()d  7 / 2(  )2
0
(16)
F1()  F2 () d  16  arctg
(17)
2 / (1/ F1()  1/ F2 ())  const  1/ (  )
(18)
2
2
3
3
4
4
Так как 3     , 4     , 7     , получаем, что правые части
(16), (17)
также точно и изящно выражаются через фундаментальные
математические константы , ,  .
Далее, так как при движении по окружности 1 против часовой стрелки (по
окружности 2 по часовой стрелке) модуль поля E  E / ( / 2o ) изменяется
3
3
от  до  можно составить геометрическую прогрессию со знаменателем  ,
разбивающую полуокружность на 6 частей (окружность на 12 частей). При
этом значения модуля поля изменяются как по геометрической прогрессии, так
и по соотношению Фибоначчи Nk 1  Nk  Nk 1 :
E0  3  2  1 , E1  2  1   , E2   , E3  1, E4      1,
E5  2    2 , E6  3  2  3 . При   90o , 270o E  1/ (  ) .
Соответствующие значения углов n , получаемые из соотношения
cos n  (1/ 2 En )  (  1/ 2)
(19),
следующего из (7), равны:
0  arccos(1)  0o ,
1  arccos((1  ) / 2) 78,989 843o ,
2  arccos( / 2)  108o ,
3  arccos() 128,172 708o ,
4  arccos((  1) / 2)  144o , 5  arccos(3 / 2) 157,979 686 o ,
5
6  arccos(1)  180o . Причём 2  3  36o , 4  4  36o , 6  5  36o ,
cos( / 5)  cos(  / (  ) 2 )   / 2 , 5  21, 1 / 3
0,616  .
Полученную последовательность точек на эквипотенциальной окружности,
определяемую углами n и делящую эту окружность на 12 частей, можно,
во-первых, попытаться связать с некоторым календарём. Однако смысл такого
неравномерного календаря пока неясен.
Во-вторых, поскольку в число углов n входят углы 108
o
o
и 144 ,
соответствующие тупым углам в «тонком» и «толстом» ромбах мозаики
Пенроуза [6], то, возможно, углы n определяют также и другие важные
геометрические фигуры (может быть, даже неплоские).
Наконец, в-третьих, поскольку эквипотенциальные окружности являются
одновременно и окружностями золотых сечений и функций средних значений
можно сопоставить данным углам n характерные функции средних значений.
Для этого, в соответствии с работами [3,4], введём вначале точки Mi и M e
(см. рис 1),
делящие отрезок AB  1 в отношении золотого сечения
внутренним (точка Mi ) и внешним (точка M e ) образом. При этом AMi   ,
BMi  1    2 ,
AMi / BMi   ,
AMe    2 ,
BMe    1,
AMe / BMe   .
Далее введём угол
  180   , тогда длины отрезков a1  AM1 ,
b1  BM1 (см. рис. 1) будут определяться соотношениями:
a1  3  2  cos    ,
b1  2   (2cos   1)
(20)
В тоже время длина переменного отрезка a1 при движении точки M1 по
окружности соответствует некоторому значению  следующей функции
средних значений для отрезков AMi   и AMe    2 :
6
M()  [(  (  2) ) / 2]1/ 
Для   0 a1   ,   ; для 
o

2,809 468 2 / (  )
для   51,827 292
o
22,020 313o a1  
0,786151 ,
2,809 926 ; для   36o a1  1,   1;
a1   1, 272 020,   0 ; для   72o a1   ,
  1; для  101,010157o a1  3/2
2 / (  )
(21)

2,058171,
2,809 468
2,809 926 ; для   180o a1    2 ,    .
Отметим, что, в силу симметрии, аналогичные результаты можно получить
и для второй окружности.
Полученные соотношения устанавливают неожиданную и интересную
связь углов ,  и модуля поля E с основными функциями средних значений:
средним гармоническим (   1), геометрическим (   0 ), арифметическим
(   1). Кроме того, установлено соответствие a1  
3/2
средних с показателями 
аппроксимируемыми
, 1/2 необычных
4
 2 / (  ) , с высокой точностью (  1,7 10 )
комбинацией из
фундаментальных
математических
констант , ,  и 2       .
0
1
2
Отметим также, что хотя среднее квадратичное (  2) не соответствует
рассмотренной
последовательности
углов
n (n ) , оно определяется
характерным значением этих углов:     90 . Но при этом значение
o
a1  2   не попадает в члены геометрической прогрессии со знаменателем
q   , в которую входят значения a1 , соответствующие среднему
гармоническому ( a1  1), геометрическому ( a1 
 ) и арифметическому
( a1   ).
Подчеркнём, что наряду с соотношениями гармонии, полученными в [1-4]
из чисто математических соображений, в данной работе получены новые
7
нетривиальные соотношения, следующие из найденной электростатической
модели золотых сечений и функций средних значений.
Таким образом, ввёденные модели золотых сечений не только обобщают
геометрическое толкование золотого сечения, но и связывают его с функциями
средних значений и с базовым физическим объектом.
При этом существенно то, что наряду с обычно рассматриваемым
внутренним делением отрезка, в данных моделях рассматривается и внешнее
деление (в том же числовом отношении), о котором редко упоминают. Более
того,
введённая
обобщённая
геометрическая
модель
золотых
сечений
показывает непрерывный переход от внутреннего деления к внешнему через
бесконечное число стадий при движении точки деления по окружности
золотого сечения.
Электростатическая же модель золотых сечений показывает также, что
существует две симметричных окружности золотых сечений, определяемых
двумя эквипотенциальными окружностями (напр., с единичным радиусом) в
системе двух противоположно-заряженных тел.
Литература
1. Шелаев А.Н. Соотношения гармонии и экстремумы длин, площадей и их
производных в обобщённой модели золотого сечения. Актуальные проблемы
современной науки, 2010, № 6, - С.169-162.
2. Шелаев А.Н. Обобщённая геометрическая модель золотых сечений и
соответствующие
ей
характерные
экстремумы
длин,
площадей
и
их
производных. М., Эл. № 77-6567, публ. 17431, 29.04.2012. www.trinitas.ru/
rus/doc/0232/009a/1252-shl.pdf
3. Шелаев А.Н. Соотношения гармонии в обобщённой геометрической
модели золотых сечений и функций средних значений. Актуальные проблемы
современной науки, 2011, № 1, - С.118-120.
8
4. Шелаев А.Н. Обобщённая геометрическая модель золотых сечений и
функций средних значений. М., Эл. № 77-6567, публ. 17485, 28.05.2012.
www.trinitas.ru/ doc/0232/009a/1252-shl.pdf
5. Шелаев А.Н. Соотношения гармонии для электростатической модели
обобщённых золотых сечений – длинных параллельных противоположнозаряженных тел. Актуальные проблемы современной науки, 2011, № 2, - С.131134.
6. Пенроуз Р. Новый ум короля. М., УРСС, 2003.
Сведения об авторе
Шелаев Анатолий Николаевич – доктор физ.-мат. наук, профессор
Место работы – НИИ ядерной физики МГУ им. М.В. Ломоносова
Автор и соавтор более 200 научных работ
Лауреат научной премии им. акад. Р.В.Хохлова
Основные направления исследований – нелинейная динамика, в том числе
динамика генерации вращающихся кольцевых лазеров; невзаимные оптические
эффекты и методы управления лазерным излучением и конкурентным
взаимодействием встречных световых волн в усиливающих и нелинейных
средах; системная гармония и методы исследования нестандартных
математических и физических задач
E-mail: Shelaev@rambler.ru
9