ЛЕКЦИЯ 8 Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
ЛЕКЦИЯ 8
Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Сила и потенциальная энергия. Градиент. Геометрический смысл градиента. Одномерное движение. Границы движения. Закон сохранения импульса и энергии как следствие
однородности пространства-времени.
Потенциальная энергия
Для консервативных сил, работа которых не зависит от формы пути,
можно ввести важное понятие потенциальной энергии. Давайте какоелибо произвольное положение системы, характеризуемое заданием координат ее материальных точек, условно примем за нулевое. Тогда
pабота, совершаемая консервативными силами при переходе системы из некотоpого положения в нулевое, называется
потенциальной энергией U системы в этом положении.
U(1)=A10
1
U(2)=A20
2
0
Рис. 1: Определение потенциальной энергии.
Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а поэтому
потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении
зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами,
потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.
Значение потенциальной энергии, вообще говоря, зависит от того, какое положение системы условно принято за нулевое. Если за нулевое принять положение 0, то в положении 1 система будет обладать потенциальной энергией U = A10 , равной работе консервативных сил при переходе
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
1
0
0'
Рис. 2: Потенциальная энергия зависит от выбора нулевого положения.
системы из положения 1 в положение 0. Если же за нулевое принять положение 00 , то потенциальная энергия будет равна U 0 = A100 . Вследствие
консервативности сил
A100 = A10 + A000
или
U10 = U1 + A000 .
(1)
Работа A000 постоянна, то есть не зависит от координат системы в рассматриваемом состоянии 1. Она полностью определяется выбором нулевых положений 0 и 00 .
Мы видим, таким образом, что при замене одного нулевого положения
другим потенциальная энергия системы изменяется на постоянную величину. Неопределенность можно усилить еще больше, если условиться
считать потенциальную энергию в нулевом положении равной не нулю,
а какому-либо постоянному произвольному значению. Тогда в приведенном выше определении вместо потенциальной энергии следует говорить
об ее разности в двух положениях.
Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом
положениях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое.
Таким образом, потенциальная энергия определена не однозначно, а с
точностью до произвольной постоянной. Этот произвол нестрашен, так
как на самом деле всегда важна лишь разность потенциальных энергий.
Закон сохранения энергии в механике
Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по какому-либо
пути 12. Тогда, как следует из рис. 3,
A12 = A10 + A02 = A10 − A20 = U1 − U2 = −(U2 − U1 ),
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
2
1
0
Рис. 3: Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы.
то есть работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии
системы при переходе ее из точки 1 в точку 2.
С другой стороны, работа силы равна приращению кинетической энергии системы
A12 = U1 − U2 = K2 − K1 ,
(2)
поэтому
K1 + U1 = K2 + U2 .
(3)
Сумма кинетической и потенциальной энергии системы называется ее
полной энергией E. Мы получили, что полные энергии в положениях
1 и 2 равны: E1 = E2 , или, что то же самое, полная энергия сохраняется:
E = K + U = const.
(4)
Таким образом,
в системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии
системы измениться не может.
Это положение называется законом сохранения энергии в механике.
Примеры потенциальной энергии в некоторых простейших случаях:
• U = mgh — потенциальная энергия однородного поля тяжести. Начало отсчета h = 0.
• U = kx2 /2 — потенциальная энергия растянутой пружины. Начало
отсчета x = 0.
• U = −GM m/r — потенциальная энергия гравитационного притяжения двух точечных масс m и M . За начало отсчета выбрана бесконечно удаленная точка.
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
Сила и потенциальная энергия. Градиент
Зная силу как функцию координат материальной точки F(x, y, z), можно
путем интегрирования (нахождения работы) определить потенциальную
энергию системы
Z1
U1 = U (x, y, z) − U (0) = A10 = −A01 = −
F · dr
(5)
0
(знак минус перед интегралом обусловлен тем, что при интегрировании в
этой формуле мы движемся от точки 0 к точке 1, то есть в направлении,
противоположном тому, что изображено на рис. 4).
1 (x,y,z)
0
Рис. 4: Связь потенциальной энергии с силой.
Другая задача — вычисление силы F(x, y, z) по заданной потенциальной энергии U (x, y, z). Это, естественно, обратная операция — дифференцирование. Пусть у нас есть две бесконечно близкие точки, r + dr и
r. Тогда
U (r + dr) − U (r) = dU = −F · dr.
(6)
Расписывая скалярное произведение, получаем
Следовательно,
dU = −(Fx dx + Fy dy + Fz dz).
(7)
¯
dU ¯¯
∂U
Fx = −
≡
−
dx ¯y,z=const
∂x
(8)
(это есть частная производная) и, аналогично,
Fy = −
∂U
,
∂y
Fz = −
∂U
.
∂z
(9)
Подробнее можно записать
Fx (x, y, z) = −
∂U (x, y, z)
∂x
4
и т. д.
(10)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
Таким образом, компоненты силы можно найти, дифференцируя потенциальную энергию системы по координатам x, y и z.
Если ввести единичные орты i, j и k вдоль осей координат X, Y и Z,
то формулу для силы можно будет записать следующим образом:
F = Fx i + Fy j + Fz k = −
µ
= −
∂U
∂U
∂U
i−
j−
k=
∂x
∂y
∂z
∂U
∂U
∂U
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(11)
¶
≡ −grad U,
где мы ввели обозначения:
grad U ≡
∂U
∂U
∂U
∂U
≡
i+
j+
k.
∂r
∂x
∂y
∂z
(12)
Величина, стоящая слева, называется градиентом скалярной функции U (U (x, y, z) — скаляр). Эта величина является вектором, поскольку определяет действующую на материальную точку силу. Таким образом, дифференцирование по координатам скалярной функции дает вектор. Проверим это. Согласно данному нами в лекции 4 определению,
вектор — это физическая величина, ведущая себя при преобразовании
системы координат следующим образом:
Ai = αik A0k .
(13)
Поскольку координаты преобразуются как компоненты вектора
xi = αik x0k ,
то
или
x0k = αik xi ,
∂U
∂U ∂x0k
∂U
∂U
= 0
= 0 αik = αik 0 .
∂xi
∂xk ∂xi
∂xk
∂xk
(14)
(15)
Таким образом, мы видим, что производные ∂U/∂xi действительно преобразуются как компоненты вектора.
Наряду с обозначением градиента как grad U применяется обозначение
∇U , где дифференциальный оператор ∇ (набла) определяется следующим образом:
∂
∂
∂
∂
∇≡
(16)
≡
i + j + k.
∂r
∂x
∂y
∂z
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
Используя это обозначение, мы можем записать
µ
¶
∂
∂
∂
grad U = ∇U =
i+ j+ k U =
∂x
∂y
∂z
(17)
=
∂U
∂U
∂U
i+
j+
k.
∂x
∂y
∂z
Геометрический смысл градиента
Для выяснения геометрического смысла градиента полезно ввести эквипотенциальные поверхности, то есть такие поверхности, на которых
скалярная функция U остается постоянной:
U (x, y, z) = const.
(18)
Пусть U — одна из таких поверхностей, и пусть она проходит через точку
z
n
x
U+dU
O
U
y
Рис. 5: Геометрический смысл градиента (dU > 0).
пространства O, в которой ищется градиент (рис. 5). Поместим в этой
точке начало координат. Ось Z направим по нормали к поверхности (n
— единичный орт нормали), а оси X и Y лежат в плоскости, касательной
к поверхности в точке O. Поэтому в первом приближении вдоль осей x
и y функция U не изменяется:
∂U
∂U
=
= 0.
∂x
∂y
(19)
Следовательно,
∂U
n,
(20)
∂z
поскольку в нашем случае k = n. Если U возрастает в направлении оси
Z, то ∂U/∂z > 0 и, следовательно, градиент направлен по нормали n
к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной
grad U =
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
энергии. Очевидно, что в этом направлении потенциальная энергия изменяется наиболее быстро:
∂U
grad U =
n.
(21)
∂n
Таким образом, мы приходим к выводу, что
градиент скалярной функции U есть вектор, направленный
по нормали к эквипотенциальной поверхности U (x, y, z) =
const в сторону возрастания функции U . Его длина численно равна производной от U по нормали к эквипотенциальной поверхности.
Это определение, как говорят, инвариантно. Оно не зависит от выбора
системы координат.
Наряду с эквипотенциальной поверхностью через каждую точку пространства можно провести так называемую силовую линию. Направление касательной к ней в каждой точке совпадает с направлением силы, действующей на частицу в этой точке. Очевидно, что силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно ортогональны друг другу
(рис. 6).
F
U=const
Рис. 6: Семейство силовых линий и эквипотенциальных поверхностей взаимно ортогональны друг
другу.
Пользуясь понятием градиента, второй закон Ньютона при движении
одной материальной точки в силовом поле можно представить в виде
m
dv
∂U
=−
.
dt
∂r
(22)
Покажем теперь, как из этого уравнения следует закон сохранения энергии. Умножим для этого правую и левую части уравнения скалярно на
скорость частицы v = dr/dt:
mv ·
∂U
∂U dr
dU (r(t))
dv
=−
·v =−
·
=−
dt
∂r
∂r dt
dt
7
(23)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
(при этом мы воспользовались правилом дифференцирования сложной
функции). Выражение слева можно переписать через производную по
времени от кинетической энергии частицы
µ
¶
d mv 2
dU
=− ,
(24)
dt
2
dt
или, перенося все в левую часть,
µ
¶
d mv 2
mv 2
+ U = 0 =⇒
+ U = const
(25)
dt
2
2
— получаем закон сохранения энергии. Заметим, что при выводе здесь
было важно, чтобы потенциальная энергия частицы не зависела бы явно
от времени t (то есть как U [r(t), t]). Зависимость от времени входила
в потенциальную энергию лишь неявно, через зависимость от времени
радиус-вектора частицы r(t) (то есть как U [r(t)] ).
Одномерное движение. Границы движения
В этом случае уравнение движения можно проинтегрировать до конца
и выразить ответ через интеграл, или, как говорят, решить уравнение в
квадратурах. Легче всего это сделать, воспользовавшись законом сохранения энергии
µ ¶2
1
dx
+ U (x).
(26)
E= m
2
dt
Поскольку кинетическая энергия всегда положительна, то неравенство
mv 2
= E − U (x) > 0
2
(27)
определяет классически доступные области движения (границы движения) в одномерном случае. Другими словами, движение может происходить лишь в областях пространства, где E > U (x).1
Ниже, на рис. 7, показан пример. Согласно этому примеру, движение может происходить лишь на конечном отрезке xA < x < xB , что
соответствует финитному движению и в полубесконечном интервале
xC < x < ∞. В последнем случае движение инфинитно, так как частица может уходить на бесконечность. Точки xA , xB и xC называют
точками остановки, поскольку скорость в них обращается в нуль.
1
Мы увидим, что в квантовой механике это ограничение отсутствует.
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
U(x)
A
C
B
xA
xB
U=E
x
xC
Рис. 7: Границы движения в одномерном случае.
Найдем теперь зависимость координаты x от времени t. Для этого
выразим из уравнения (26) скорость
r
dx
2
=±
[E − U (x)].
(28)
dt
m
Это есть дифференциальное уравнение с разделяющими переменными, которое можно легко проинтегрировать (то есть решить):
Z
dx
± q
= t.
(29)
2 [E − U (x)]
m
U(x)
E
x1
x2
x
Рис. 8: Периодическое движение.
В случае финитного движения, которое мы сейчас рассмотрим, можно вычислить период движения как функцию энергии системы E (см.
рис. 8):
Zx2
√
dx
,
(30)
T (E) = 2m p
E − U (x)
x1
где x1 и x2 — точки поворота, где скорость обращается в нуль, то есть
их можно найти, решая уравнение E = U (x).
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
Применим теперь эту формулу в качестве примера для движения в
поле
kx2
U (x) =
.
(31)
2
p
В этом случае x2 = −x1 = 2E/k (см. рис. 9), поэтому
U(x)
E
x1
x
x2
Рис. 9: Движение в квадратичном потенциале. Гармонические колебания.
T =
√
√
Z2E/k
q
2m
−
√
2E/k
dx
E − kx
2
2
√
= 2 2m
√
Z2E/k
q
0
dx
E − kx
2
2
.
Введем теперь новую переменную интегрирования
r
r
2E
2E
x=
y =⇒ dx =
dy.
k
k
Тогда
r
q
2E Z1
1
Z
2E
dy
√
√
dy
k
p
T = 2 2m q
= 2 2m √ k
.
2
2E
k
1
−
y
E
2
y
E−2
0
0
k
Интеграл равен
Z
dy
p
= arcsin y.
1 − y2
Следовательно,
r
¯1
¯
m
arcsin y ¯¯ =
T = 4
k
0
r ³
r
´
m π
m
= 4
− 0 = 2π
,
k 2
k
10
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
то есть в этом случае получается известная формула
r
r
m 2π
k
=
, где ω =
T = 2π
k
ω
m
Лекция 8
(37)
для периода колебаний грузика на пружине, который не зависит от энергии (так называемые гармонические колебания). Во всех остальных
случаях период колебаний зависит от энергии системы (ангармонические колебания).
Закон сохранения импульса и энергии как следствие однородности пространства-времени
Если потенциальная энергия не зависит от какой-либо, скажем одной
координаты x, то ∂U/ ∂x = 0, и следовательно,
dpx
= 0,
(38)
dt
то есть px = const — сохраняется импульс частицы в этом направлении. Независимость U от координаты x означает, что пространство однородно в направлении оси x, то есть что потенциальная энергия не
изменяется при любых перемещениях в этом направлении:
U (x, y, z) = U (x + a, y, z).
(39)
Таким образом, закон сохранения импульса (проекции) в каком-либо направлении связан с однородностью пространства в этом же направлении.
Похожие выводы можно сделать и в отношении полной энергии системы E. Как мы уже видели, если потенциальная энергия системы
U (x, y, z, t) не зависит явным образом от времени t, то есть является
функцией только координат системы, U (x, y, z), то имеет место закон
сохранения энергии
E = K + U = const.
(40)
Поэтому по аналогии с законом сохранения импульса можно сказать, что
закон сохранения энергии связан с однородностью времени.
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
Задачи
1. Потенциальная энергия частицы зависит от координат r по закону:
U (r) = a · r, где a — некий постоянный вектор. Найти силу F. Как
выглядят эквипотенциальные поверхности и силовые линии?
Ответ: F = −a. Эквипотенциальные поверхности — это плоскости,
перпендикулярные вектору a. Силовые линии — это линии, перпендикулярные этим плоскостям (т. е. параллельные вектору a).
2. То же самое для случая U = αr2 .
Ответ: F = −2αr. Эквипотенциальные поверхности — это концентрические сферы с центром в начале координат, r = 0. Силовые
линии — это лучи, проведенные из начала координат (и перпендикулярные этим сферам).
3. То же самое для случая U = (a · r)2 .
4. То же самое для случая U = (a · r)(b · r).
5. То же самое для случая U = [a × r]2 .
Ответ: F = 2[a × [a × r]]. Выберем ось Z системы координат вдоль
вектора a. Тогда эквипотенциальные поверхности — это круговые
цилиндрические поверхности с осью симметрии, направленной вдоль
оси Z. Силовые линии в этом случае — это линии перпендикулярные
оси Z (и поверхности цилиндров).
6. То же самое для случая U = −x/r2 .
Ответ:
y 2 + z 2 − x2
2xy
2xz
Fx =
,
F
=
−
,
F
=
−
.
y
z
r4
r4
r4
Эквипотенциальные поверхности описываются уравнением:
(x − C)2 + y 2 + z 2 = C 2 ,
где C — некоторая константа (положительная или отрицательная).
Это есть уравнение сферы, проходящей через начало координат, радиуса |C|, с центром в точке (C, 0, 0).
7. Дивергенцией некоторого вектора E называется скалярная величина, равная скалярному произведению векторного оператора набла
∇ на вектор E: div E ≡ ∇ · E. Найдите чему равна величина div E.
Ответ:
∂Ex ∂Ey ∂Ez
div E =
+
+
.
∂x
∂y
∂z
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
8. Ротором некоторого вектора E называется векторная величина, равная векторному произведению векторного оператора набла ∇ на вектор E: rot E ≡ [∇ × E]. Найдите чему равен вектор rot E.
Ответ:
∂Ez ∂Ey
(rot E)x =
−
,
∂y
∂z
∂Ex ∂Ez
−
,
(rot E)y =
∂z
∂x
∂Ey ∂Ex
(rot E)z =
−
.
∂x
∂y
9. Найти зависимость периода от энергии E для мячика с массой m,
подпрыгивающего вертикально над поверхностью стола в однородном поле силы тяжести g. Соударение мячика со столом рассматривать как абсолютно упругое.
Ответ:
√ r
√
2 2 E
T =
∝ E.
g
m
10. Найти зависимость периода от энергии частицы E, массой m, свободно движущейся между двумя параллельными стенками, разделенными расстоянием L, перпендикулярно этим стенкам. Соударение частицы со стенкой рассматривать как абсолютно упругое.
Ответ:
r
2m
1
T =L
∝√ .
E
E
11. Найти зависимость периода колебаний от энергии для частицы, движущейся в потенциале U (x) = a|x|n .
Ответ: T ∝ E 1/n−1/2 .
12. Используя законы сохранения, доказать, что при упругом столкновении частицы с закрепленной гладкой стенкой, угол падения всегда
равен углу отражения. Что будет если стенка не закреплена и обладает конечной массой? Что будет если стенка (с бесконечной массой)
движется?
13. Какие компоненты импульса частицы сохраняются в задачах 1 и 5?
Ответ: В задаче 1 сохраняются компоненты импульса перпендикулярные вектору a. В задаче 5 сохраняется компонента импульса параллельная вектору a.
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Динамика
Лекция 8
14. Тело соскальзывает без начальной скорости с вершины наклонной
плоскости, образующей угол α с горизонтом. Коэффициент трения
k между телом и наклонной плоскостью изменяется с увеличением
расстояния x от вершины наклонной плоскости по закону k = bx.
Через некоторое время тело останавливается, не дойдя до конца наклонной плоскости. Найдите время t, прошедшее с начала движения
тела до его остановки.
√
Ответ: t = π/ gb cos α.
Анекдот
Резерфорд пользовался следующими критериями при выборе своих сотрудников. Когда к нему приходили в первый раз, Резерфорд давал задание. Если после этого новый сотрудник спрашивал, что делать дальше,
его увольняли.
14