СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 13
реклама
Белорусский Государственный Университет, Минск Физический факультет SS 2011/2012 Я.М. Шнир СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 13 1. Модель Дебая в 1d. Рассмотрим одномерную цепочку 𝑁 связанных осцилляторов в тепловом равновесии при температуре 𝑇 . Нормальные моды колебаний системы определяются как √ [ )] ( 2𝜋𝑛 𝜔𝑛 = 𝜔0 2 1 − cos 𝑁 где 𝜔0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и целое число 𝑛 ∈ [−𝑁/2, 𝑁/2]. Рассчитать теплоемкость квантовомеханической модели, проанализировать высокотемпературный и низкотемпературный пределы. 2. Энергия ультрарелятивистского фермиона определяется соотношением √ 𝜀𝑝 = 𝑝2 𝑐2 + 𝑚2 𝑐4 → 𝑝𝑐 при импульсе 𝑝 → ∞. Показать что уравнение состояния газа ультрарелятивистских фермионов имеет вид 𝐸 = 3𝑃 𝑉 . 3. Проверить что энтропия идеального квантового газа определяется соотношением ∑ 𝑆 = −𝑘𝐵 [𝑛𝑖 ln(𝑛𝑖 ) ∓ (1 ± 𝑛𝑖 ) ln(1 ± 𝑛𝑖 )] 𝑖 где верхний знак соответствует статистике Бозе-Эйнштейна, а нижний - статистике Ферми-Дирака. 4. Рассмотрим идеальный газ Ферми-Дирака при температуре 𝑇 . (i) Определить вероятность того, что 𝑛 частиц находятся в данном одночастичном состоянии как функцию среднего числа заполнения ⟨𝑛⟩. (ii) Вычислить среднеквадратичную флуктуацию 𝛿𝑛2 = ⟨(𝑛−⟨𝑛⟩)2 ⟩ как функцию среднего числа заполнения ⟨𝑛⟩. 5. Используя формулу распределения Ферми=Дирака 𝑛𝑖 = 1 𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) + 1 получить выражение, которое может позволить в дальнейшем выразить химический потенциал электронного газа через его плотность (в данной задаче этого делать не требуется!). Показать что статистика Ферми-Дирака редуцируется к статистике Больцмана в пределе 𝑁/𝑉 𝜆3 ≪ 1, где 𝜆 - тепловая длина волны де Бройля. Решения 1. Рассмотрим внутреннюю энергию системы 𝐸= 𝑁/2 ∑ 𝑛=−𝑁/2 ℏ𝜔𝑛 ℏ𝜔 /𝑘 𝑛 𝐵𝑇 𝑒 −1 В высокотемпературном пределе 𝑘𝐵 𝑇 ≫ ℏ𝜔𝑛 и 𝑒ℏ𝜔𝑛 /𝑘𝐵 𝑇 ≈ 1 + 𝐸≈ 𝑁/2 ∑ ℏ𝜔𝑛 𝑛=−𝑁/2 и теплоемкость 𝐶𝑉 = ∂𝐸 ∂𝑇 ℏ𝜔𝑛 , 𝑘𝐵 𝑇 то есть 𝑘𝐵 𝑇 = 𝑁 𝑘𝐵 𝑇 ℏ𝜔𝑛 = 𝑁 𝑘𝐵 . В низкотемпературном пределе 𝑘𝐵 𝑇 ≪ ℏ𝜔𝑛 и 𝑒ℏ𝜔𝑛 /𝑘𝐵 𝑇 ≫ 1. 𝐸≈2 𝑁/2 ∑ ℏ𝜔𝑛 𝑒−ℏ𝜔𝑛 /𝑘𝐵 𝑇 𝑛=0 При этом теплоемкость модели определяется как ) ∫𝑁/2 ( 𝑁/2 ∑ ∂𝐸 (ℏ𝜔𝑛 )2 −ℏ𝜔𝑛 /𝑘𝐵 𝑇 ℏ2 𝜔02 2𝜋𝑥 −(ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇 ) sin(𝜋𝑥/𝑁 ) 𝐶𝑉 = =2 𝑒 ≈2 𝑒 𝑑𝑥 2 1 − cos 2 2 ∂𝑇 𝑘 𝑇 𝑘 𝑇 𝑁 𝐵 𝐵 𝑛=0 0 ℏ2 𝜔02 =8 𝑘𝐵 𝑇 ∫𝑁/2 sin2 0 𝜋𝑥 −(ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇 ) sin(𝜋𝑥/𝑁 ) 𝑒 𝑁 cos 𝜋𝑥 𝑁 𝑁 ( 𝜋𝑥 ) 8𝑁 ℏ2 𝜔02 ⋅ 𝑑 sin = 𝜋 𝑁 𝜋𝑘𝐵 𝑇 ∫1 𝑑𝑡 0 𝑡2 𝑒−𝑡ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇 √ 1 − 𝑡2 Поскольку функция 𝑒−𝑡ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇 быстро уменьшается при приближении переменной 𝑡 к верхнему пределу интегрирования, можно оценить интеграл как 8𝑁 ℏ2 𝜔02 𝐶𝑉 ≈ 𝜋𝑘𝐵 𝑇 так как ∫∞ ∫1 𝑑𝑡 𝑡2 𝑒−𝑡ℏ𝜔0 /𝜋𝑘𝐵 𝑇 0 8𝑁 ℏ2 𝜔02 ≈ 𝜋𝑘𝐵 𝑇 𝑑𝑧 𝑧 2 𝑒−𝑧 = 2, то 0 𝐶𝑉 ≈ 2 𝑇 16𝑁 𝑘𝐵 ⋅ 𝜋ℏ 𝜔0 ( 𝑘𝐵 𝑇 ℏ𝜔0 )3 ∫∞ 𝑑𝑧 𝑧 2 𝑒−𝑧 0 2. Плотность числа состояний частицы со спином 1/2 в интервале значений импульса от 𝑝 до 𝑝 + 𝑑𝑝 равна 4𝜋𝑉 𝑔(𝑝) = 2 3 𝑝2 𝑑𝑝 ℎ Поскольку 𝜀 = 𝑐𝑝, 8𝜋𝑉 𝑔(𝜀)𝑑𝜀 = 3 3 𝜀2 𝑑𝜀 𝑐ℎ и энергия газа определяется соотношением 8𝜋𝑉 𝐸= 3 3 𝑐ℎ ∫∞ 𝜀3 𝑑𝜀 𝑒𝛽(𝜀−𝜇) + 1 0 Получить уравнение состояния можно из определения большого канонического потенциала Φ = −𝑃 𝑉 = −𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑍 −, то есть ∫∞ 𝑃 𝑉 = 𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑍 − = 𝑘𝐵 𝑇 8𝜋𝑉 𝜀2 8𝜋𝑉 𝜀2 −𝛽(𝜀−𝜇) ln[1+𝑒 ]𝑑𝜀 = 𝑘𝐵 𝑇 𝑐3 ℎ3 3𝑐3 ℎ3 0 ∫∞ ln[1+𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) ]𝑑(𝜀3 ) 0 ( ) Интегрируя по частям (то есть переходя от ln[1+𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) ]𝑑(𝜀3 ) → 𝑑 ln[1 + 𝑒−𝛽(𝜀−𝜇) ] 𝜀3 ), получим ∫∞ 3 −𝛽(𝜀−𝜇) 𝜀𝑒 𝐸 8𝜋𝑉 𝜀2 𝑑𝜀 = 𝑃𝑉 = 3 3 −𝛽(𝜀−𝜇) 3𝑐 ℎ 1+𝑒 3 0 3. Воспользуемся формулами распределений Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака для среднего числа частиц в 𝑖-м квантовом состоянии 𝑛𝑖 = 1 𝑒𝛽(𝜀𝑖 −𝜇) ∓1 ≡ 1 𝑒𝛼+𝛽𝜀𝑖 ∓1 откуда следует что 𝑒𝛼+𝛽𝜀𝑖 = 1 ± 𝑛𝑖 ; 𝑛𝑖 𝛼 + 𝛽𝜀𝑖 = ln(1 ± 𝑛𝑖 ) − ln(𝑛𝑖 ) Следовательно, логарифм большой статсуммы может быть записана как ∑ ∑ ∑ 1 ln − 𝑍=∓ ln(1 ∓ 𝑒−𝛼−𝛽𝜀𝑖 ) = ∓ ln =± ln(1 ± 𝑛𝑖 ) 1 ± 𝑛𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 Поскольку энтропия большого канонического ансамбля определяется как [ ( ) ( )] ∂ ln − 𝑍 ∂ ln − 𝑍 𝑍−𝛼 𝑆 = 𝑘𝐵 ln − −𝛽 ∂𝛼 𝛽 ∂𝛽 𝛼 то очевидно что 𝑆 = −𝑘𝐵 ∑ 𝑖 [𝑛𝑖 ln(𝑛𝑖 ) ∓ (1 ± 𝑛𝑖 ) ln(1 ± 𝑛𝑖 )] 4. (i) Статсумма рассматриваемой системы фермионов определена как ∑ 𝑍= 𝑒𝑛𝛽(𝜇−𝜀) = [𝑛 = 0, 1] = 1 + 𝑒𝛽(𝜇−𝜀) 𝑛 где 𝜀 - энергия одночастичного состояния. Следовательно, среднее значение числа заполнения равно ⟨𝑛⟩ = 𝑘𝐵 𝑇 ∂ ln 𝑍 1 = 𝛽(𝜀−𝜇) ∂𝜇 𝑒 +1 и искомая вероятность определена соотношением 𝑃 (𝑛) = 1 𝑛𝛽(𝜇−𝜀) (1 − ⟨𝑛⟩)𝑛 𝑒 = 𝑍 ⟨𝑛⟩𝑛−1 ln 𝑍 (ii) Поскольку ⟨𝑛⟩ = 𝑘𝐵 𝑇 ∂ ∂𝜇 ⟨(𝑛 − ⟨𝑛⟩)2 ⟩ = 𝑘𝐵 𝑇 ∂⟨𝑛⟩ = ⟨𝑛⟩(1 − ⟨𝑛⟩) ∂𝜇 5. Элемент объема конфигурационного пространства электронного газа равен √ (2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀 2𝜋𝑉 (2𝜋ℏ)3 Плотность электронного газа определяется соотношением (2𝑚)3/2 𝑁 = 2𝜋𝑉 (2𝜋ℏ)3 ∫∞ √ 𝜀𝑑𝜀 = 𝛽(𝜀−𝜇) 𝑒 +1 ( 2𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇 ℎ2 )3/2 0 4𝑉 √ 𝜋 ∫∞ √ 𝑥𝑑𝑥 +1 𝑒−𝛽𝜇 𝑒𝑥 0 Следовательно, 𝑁 1 4 =𝑛= 3√ 𝑉 𝜆 𝜋 √ ∫∞ 𝑥𝑑𝑥 +1 𝑒−𝛽𝜇 𝑒𝑥 0 Это выражение может быть использовано для выражения химического потенциала через плотность электронного газа. Если выполняется условие 𝑛𝜆3 ≪ 1, то очевидно что в правой части предыдущей формулы должно выполняться условие 𝑓 = 𝑒−𝛽𝜇 ≫ 1 то есть 𝑛𝑖 = 1 𝑓 𝑒𝛽𝜀𝑖 +1 ≈ 𝑓 −1 𝑒−𝛽𝜀𝑖 что согласуется с распределением Больцмана.
