Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé êîìïëåêñ äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé". 3,5 ï.ë. Àâòîð: ê.ô.-ì.í. Ïðîêóäèí Ä.À. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ 3-ãî êóðñà ñïåöèàëüíîñòè 010101 "Ìàòåìàòèêà". Àííîòàöèÿ  ýòîì êóðñå îñíîâíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé (ãàçîâ), ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé íåêîòîðîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Íàâüå-Ñòîêñà. Âîïðîñû î ìàòåìàòè÷åñêîé êîððåêòíîñòè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, âîçíèêàþùèõ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñïëîøíûõ ñðåä, âûçûâàåò íåèçìåííûé èíòåðåñ, ïîñêîëüêó èõ ðåøåíèå âñòðå÷àåò ñóùåñòâåííûå òðóäíîñòè â ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå, ñòèìóëèðóÿ òåì ñàìûì äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.  ÷àñòíîñòè, âîïðîñû äèíàìèêè âÿçêîé æèäêîñòè î÷åíü òðóäíû ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è íå ñëó÷àéíî çàäà÷à î ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ìíîãîìåðíîé ñèñòåìû Íàâüå-Ñòîêñà âêëþ÷åíà â ñïèñîê òàê íàçûâàåìûõ "ïðîáëåì òûñÿ÷åëåòèÿ". Öåëüþ îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ÿâëÿåòñÿ çíàêîìñòâî ñòóäåíòîâ ñ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. Äëÿ åå óñïåøíîãî èçó÷åíèÿ íåîáõîäèìû çíàíèÿ è óìåíèÿ, ïðèîáðåòåííûå â ðåçóëüòàòå îñâîåíèÿ ïðåäøåñòâóþùèõ äèñöèïëèí: ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ëèíåéíàÿ àëãåáðà, îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè), êîìïüþòåðíûå íàóêè, ïðàêòèêóì íà ÝÂÌ ïî ÄÓ. Ïðîãðàììà äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ïðåäóñìàòðèâàåò èçó÷åíèå ñòóäåíòàìè ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, àêòóàëüíûõ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ïðàêòè÷åñêèõ çíàíèé, ñâÿçàííûõ ñ áóäóùåé ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòüþ ìàòåìàòèêîâ.  ðåçóëüòàòå îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû îáó÷àþùèéñÿ äîëæåí: 1) çíàòü: îñíîâíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, îñíîâíûå ìîäåëè ìåõàíèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, îñíîâíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé äàííûõ ìîäåëåé; 2) óìåòü: îïåðèðîâàòü ñ âåêòîðàìè è òåíçîðàìè, èñïîëüçóÿ îñíîâíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, ìîäåëèðîâàòü ðàçëè÷íûå ïðîöåññû ìåõàíèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, íàõîäèòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ ìîäåëåé; 3) âëàäåòü: òåõíèêîé äîêàçàòåëüñòâà (âûâîäà) îñíîâíûõ ôîðìóë âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, íàâûêàìè ðåøåíèÿ îñíîâíûõ çàäà÷ êóðñà. ÓÌÊ, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ îðãàíèçàöèè ó÷åáíîé ðàáîòû ïî äèñöèïëèíå, ñîäåðæèò àííîòàöèþ, ðàáî÷óþ ïðîãðàììó êóðñà, òåêñò ëåêöèé, ïåäàãîãè÷åñêèå èçìåðèòåëüíûå ìàòåðèàëû. 1 ÐÀÁÎ×Àß ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ Ó×ÅÁÍÎÉ ÄÈÑÖÈÏËÈÍÛ ¾ÒÎ×ÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÑÌÅÑÅÉ ÂßÇÊÈÕ ÆÈÄÊÎÑÒÅÉ¿ Îðãàíèçàöèîííî-ìåòîäè÷åñêèé ðàçäåë 1. Ïîÿñíèòåëüíàÿ çàïèñêà Àêòóàëüíîñòü è çíà÷èìîñòü ó÷åáíîé äèñöèïëèíû Ñîâðåìåííàÿ ãàçîâàÿ äèíàìèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáøèðíóþ ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêóþ äèñöèïëèíó, çàíèìàþùóþ ïðî÷íîå ìåñòî â ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå çíàíèé î ïîâåäåíèè ñïëîøíûõ ñðåä. Îáëàñòü ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ðåçóëüòàòîâ è âûâîäîâ ãàçîâîé äèíàìèêè âåñüìà øèðîêà. Îíà îõâàòûâàåò ïðîöåññû è ÿâëåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå ïðè äâèæåíèè â âîçäóõå ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ, ñíàðÿäîâ è ðàêåò, ïðè èñòå÷åíèè ãàçîâûõ ñòðóé, ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè óäàðíûõ âîëí è èõ âîçäåéñòâèè íà ïðåïÿòñòâèÿ. Êóðñ "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ïîñâÿùåí èçó÷åíèþ ïðèíöèïîâ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. Ïðè ïîäãîòîâêå ñòóäåíòà-ìàòåìàòèêà êóðñ "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ñîñòàâëÿåò âàæíóþ è íåîòúåìëåìóþ ÷àñòü åãî ïðîôåññèîíàëüíîãî ñòàíîâëåíèÿ. Ñîîòâåòñòâèå ðàáî÷åé ïðîãðàììû Ãîñóäàðñòâåííîìó îáðàçîâàòåëüíîìó ñòàíäàðòó âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ Ðàáî÷àÿ ïðîãðàììà ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê ñïåöèàëèçàöèè "Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå". Öåëè è çàäà÷è ó÷åáíîé äèñöèïëèíû Öåëüþ ïðåïîäàâàíèÿ äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ÿâëÿåòñÿ ôîðìèðîâàíèå ó áóäóùèõ ñïåöèàëèñòîâ ñîâðåìåííûõ òåîðåòè÷åñêèõ çíàíèé â îáëàñòè ãàçîâîé äèíàìèêè è ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ â èññëåäîâàíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ ñðåä, îçíàêîìëåíèå ñòóäåíòîâ ñ íàâûêàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Çàäà÷è èçó÷åíèÿ äèñöèïëèíû: • Îâëàäåíèå íàâûêàìè ìîäåëèðîâàíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ äèíàìèêè ñìåñåé äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè; • Ïðèîáðåòåíèå íàâûêîâ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷ êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà. ñòà Ìåñòî äèñöèïëèíû â ïðîôåññèîíàëüíîé ïîäãîòîâêå ñïåöèàëè- Èçó÷åíèå äàííîé äèñöèïëèíû áàçèðóåòñÿ íà çíàíèÿõ ñòóäåíòàìè îáùèõ êóðñîâ: ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ëèíåéíàÿ àëãåáðà, îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè), êîìïüþòåðíûå íàóêè, 2 ïðàêòèêóì íà ÝÂÌ ïî ÄÓ. "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" äàþò ìàòåìàòèêó îäíî èç ìîùíûõ ñðåäñòâ äëÿ àíàëèçà ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ ðàçëè÷íîé ïðèðîäû ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Ñòðóêòóðà ó÷åáíîé äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ñîñòîèò èç òðåõ îñíîâíûõ ðàçäåëîâ: • Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà; • Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé; • Ñëó÷àè òî÷íîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. Îñîáåííîñòè èçó÷åíèÿ ó÷åáíîé äèñöèïëèíû Êóðñ "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ïîñòðîåí ñ ïîçèöèè ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ïðè èçó÷åíèè äàííîé äèñöèïëèíû íåîáõîäèìûì ÿâëÿåòñÿ âëàäåíèå ìåòîäàìè óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ôîðìû îðãàíèçàöèè ó÷åáíîãî ïðîöåññà ïî äàííîé äèñöèïëèíå Íà îñíîâå ïðîãðàììû è ó÷åáíîãî ïëàíà, â õîäå ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì â ãàçîâîé äèíàìèêå, èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìû: ëåêöèè, ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà, çà÷åò. Âçàèìîñâÿçü àóäèòîðíîé è ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû Îñíîâíûå âîïðîñû ïðîãðàììû âûíåñåíû êàê íà àóäèòîðíûå, òàê è íà ñàìîñòîÿòåëüíûå çàíÿòèÿ. Íà ëåêöèÿõ ñòóäåíòàì ïðåäëàãàþòñÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ òåîðåì. Òðåáîâàíèÿ ê óðîâíþ îñâîåíèÿ ñîäåðæàíèÿ äèñöèïëèíû  ðåçóëüòàòå îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû îáó÷àþùèéñÿ äîëæåí: 1) çíàòü: îñíîâíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, îñíîâíûå ìîäåëè ìåõàíèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, îñíîâíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé äàííûõ ìîäåëåé; 2) óìåòü: îïåðèðîâàòü ñ âåêòîðàìè è òåíçîðàìè, èñïîëüçóÿ îñíîâíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, ìîäåëèðîâàòü ðàçëè÷íûå ïðîöåññû ìåõàíèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé, íàõîäèòü òî÷íûå ðåøåíèÿ ýòèõ ìîäåëåé; 3) âëàäåòü: òåõíèêîé äîêàçàòåëüñòâà (âûâîäà) îñíîâíûõ ôîðìóë âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà, íàâûêàìè ðåøåíèÿ îñíîâíûõ çàäà÷ êóðñà. Âèäû êîíòðîëÿ çíàíèé ñòóäåíòîâ è èõ îò÷åòíîñòè Ïî òðåì îñíîâíûì ðàçäåëàì êóðñà ïðåäóñìîòðåíû ñàìîñòîÿòåëüíûå ðàáîòû. Ïî èòîãàì èçó÷åíèÿ êóðñà â êîíöå ñåìåñòðà ïðåäóñìîòðåí çà÷åò. 3 Êðèòåðèè îöåíêè çíàíèé ñòóäåíòîâ Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çà÷åòà ïî êóðñó "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" òðåáóåòñÿ: ïîñåùàòü ëåêöèîííûå çàíÿòèÿ; âûïîëíèòü ñàìîñòîÿòåëüíóþ ðàáîòó è òåñò; âûïîëíèòü èíäèâèäóàëüíîå çà÷åòíîå çàäàíèå. Èíäèâèäóàëüíîå çà÷åòíîå çàäàíèå ïî äàííîé äèñöèïëèíå âêëþ÷àåò â ñåáÿ îäèí òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ (ñïèñîê âîïðîñîâ ïðèâåäåí â ïåðå÷íå âîïðîñîâ ê çà÷åòó). Òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå äàííîãî êóðñà. Çà÷åòíîå çàäàíèå ñ÷èòàåòñÿ âûïîëíåííûì, åñëè ñòóäåíò ïðàâèëüíî îòâåòèë íà òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ. Äîïîëíèòåëüíûå âîïðîñû çàäàþòñÿ äëÿ óòî÷íåíèÿ çíàíèé ñòóäåíòà, è, êàê ïðàâèëî, íå âûõîäÿò çà ïðåäåëû âîïðîñîâ â çà÷åòíîì çàäàíèè. 2. Òåìàòè÷åñêèé ïëàí Ðàçäåë äèñöèïëèíû Ñåì. Íåä. Âèäû ó÷åáíîé ðàáîòû, âêëþ÷àÿ ñàìîñòîÿòåëüíóþ ðàáîòó ñòóäåíòîâ è òðóäîåìêîñòü (â ÷àñàõ) 1 Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. Ñëó÷àè òî÷íîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. 5 1-4 Ëåê 4 5 5-8 5 9-18 2 3 4 Çà÷åò Âñåãî 4 Ñåì Ñàì 8 Ñóì 12 8 8 16 24 20 44 36 36 72 3. Ñîäåðæàíèå äèñöèïëèíû 1 2 3 Íàèìåíîâàíèå ðàçäåëà äèñöèïëèíû Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. Ñëó÷àè òî÷íîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. Ñîäåðæàíèå ðàçäåëà äèñöèïëèíû Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è âåêòîðíûé àíàëèç. Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå ôîðìóëû òåíçîðíîãî àíàëèçà. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Ìíîãîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. Îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå. Êðóãîâîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè. 4. Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå è èíôîðìàöèîííîå îáåñïå÷åíèå äèñöèïëèíû à) îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà: 1. Íèãìàòóëèí, Ð.È. Äèíàìèêà ìíîãîôàçíûõ ñðåä. ×. 1 / Ð.È. Íèãìàòóëèí. Ì.: Íàóêà, 1987. - 489 c. 2. Êó÷åð, Í.À. Êðàåâûå çàäà÷è ìåõàíèêè ñìåñåé æèäêîñòåé. ×. 1 / Í.À. Êó÷åð, Ä.À. Ïðîêóäèí. - Ó÷åáíîå ïîñîáèå. ÃÎÓ ÂÏÎ ¾Êåìåðîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò¿. Êåìåðîâî: Êóçáàññâóçèçäàò, 2010. - 154 c. 4. Ñëåçêèí, Í.À. Äèíàìèêà âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè / Í.À. Ñëåçêèí. Ì.: Ãîñóäàðñòâåííîå èçäàòåëüñòâî òåõíèêî-òåîðåòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1955. - 493 c. 5. Ñåäîâ, Ë.È. Ìåõàíèêà ñïëîøíîé ñðåäû. Ò.1-2 / Ë.È. Ñåäîâ. - Ì.: Íàóêà, 1970. - 835 c. á) äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà: 1. Àíòîíöåâ, Ñ.Í. Êðàåâûå çàäà÷è ìåõàíèêè íåîäíîðîäíûõ æèäêîñòåé / Ñ.Í. Àíòîíöåâ, À.Â. Êàæèõîâ, Â.Í. Ìîíàõîâ. - Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1983. 361 c. 2. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - London: World Scientic Publishing, 1995. - 435 c. 3. Áèöàäçå, À.Â. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè / À.Â. Áèöàäçå. Ì.: Íàóêà, 1982. - 254 c. 5 â)ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå è Èíòåðíåò-ðåñóðñû: 1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/info/mathwebs.htm (ìèð ìàòåìàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé). 2. http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics (èíôîðìàöèîííûé ñàéò). 5. Ôîðìû òåêóùåãî, ïðîìåæóòî÷íîãî è ðóáåæíîãî êîíòðîëÿ Êîíòðîëüíûå âîïðîñû äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ 1. Èñòîðèÿ ðàçâèòèÿ ìåõàíèêè æèäêîñòè è ãàçà ( îò ãèäðîìåõàíèêè äðåâíîñòè äî óñòàíîâëåíèÿ âîççðåíèé íüþòîíîâñêîé ýïîõè). 2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä 3. Ñïîñîáû îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñðåäû. 4. Ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû, íåóñòàíîâèâùèåñÿ äâèæåíèÿ. 5. Ëèíèè òîêà è òðàåêòîðèè. 6. Âèõðåâîå è ïîòåíöèàëüíîå äâèæåíèå æèäêîñòè. 7. Èíäåêñíûå îáîçíà÷åíèÿ. Èíòåðâàë èçìåíåíèÿ èíäåêñîâ è ñîãëàøåíèå î ñóììèðîâàíèè. 8. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò. 9. Îáùåå ïîíÿòèå òåíçîðà. 10. Ìåòðè÷åñêèé òåíçîð. 11. Îïåðàöèè ñ òåíçîðàìè. 12. Ìàòðè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ òåíçîðîâ. 13. Ãëàâíûå çíà÷åíèÿ è ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ òåíçîðîâ âòîðîãî ðàíãà. 14. Ñòåïåíè òåíçîðîâ âòîðîãî ðàíãà. Ñîîòíîøåíèå Ãàìèëüòîíà-Êýëè. 15. Îðòîãîíàëüíûå òåíçîðû â ìåõàíèêå è ôèçèêå. 16. Êîâàðèàíòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå. 17. Êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû. Òåîðåìà Ñòîêñà. Òåîðåìà ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî. 18. Íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ñïëîøíîé ñðåäû. 14. Ðàñïðåäåëåíèå ìàññû â ñïëîøíîé ñðåäå. 15. Ðàñïðåäåëåíèå ñèë â ñïëîøíîé ñðåäå. Îáúåìíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñèëû. 16. Êðóãè Ìîðà äëÿ íàïðÿæåíèÿ. 17. Ïëîñêîå íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå. 18. Òåîðèÿ ìàëûõ äåôîðìàöèé. 19.Èíâàðèàíòû äåôîðìàöèè. 20. Ïëîñêàÿ äåôîðìàöèÿ. Êðóãè Ìîðà äëÿ äåôîðìàöèè. 21. Ñêîðîñòü, óñêîðåíèå. 22. Òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè. 23. Èäåàëüíûå ñðåäû. 24. Èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ èäåàëüíîé ñðåäû. 25. Òå÷åíèå æèäêîñòåé ïî òðóáàì. 26. Äâèæåíèå æèäêîñòè ìåæäó âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè. 27. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû. 6 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è âåêòîðíûé àíàëèç 1. Äàíî ïîëå ñêîðîñòåé v1 = x1 /(1 + t), v2 = 2x2 /(1 + t), v3 = 3x3 /(1 + t). Íàéòè êîìïîíåíòû óñêîðåíèÿ. Îïðåäåëèòü ëèíèè òîêà è òðàåêòîðèè. 2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé v1 = x21 x2 + x32 , v3 = 0 ëèíèè òîêà áóäóò îêðóæíîñòè. x1 x22 , v2 = −x31 − 3. Íàéòè óãîë ϕ ìåæäó ãðàäèåíòàìè ïîëÿ u= x2 x + y2 + z2 â òî÷êàõ A(1, 2, 2) è Â(3, 1, 0). 2 2 2 4. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ïîëÿ u = xa2 + yb2 + zc2 â äàííîé òî÷êå M (x, y, z) â íàïðàâëåíèè ðàäèóñà-âåêòîðà r ýòîé òî÷êè.  êàêîì ñëó÷àå ýòà ïðîèçâîäíàÿ áóäåò ðàâíà âåëè÷èíå ãðàäèåíòà? 5. Êîëè÷åñòâî òåïëà, ïðîòåêàþùåå â ïîëå òåìïåðàòóðû u çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè dS , ðàâíî dQ = −k~n∇udS , ãäå k êîýôôèöèåíò âíóòðåííåé òåïëîïðîâîäíîñòè ~n åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S . Îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî òåïëà, íàêîïëåííîå òåëîì V çà åäèíèöó âðåìåíè. Èñïîëüçóÿ ñêîðîñòü ïîâûøåíèÿ òåìïåðàòóðû, âûâåñòè óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò òåìïåðàòóðà òåëà (óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè). 2. Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå ôîðìóëû òåíçîðíîãî àíàëèçà 1. Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåíçîðó Ò âòîðîãî ðàíãà −1 3 −2 − 4 9 . Ïðåäñòàâèòü Ò â âèäå ñóììû ñèììåòðè÷íîãî èìååò âèä: 7 4 − 6 11 è àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðîâ. 2. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå Aij B ji , åñëè À ñèììåòðè÷íûé, à  àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà. 3. Ìàòðèöàñìåøàííûõ êîìïîíåíò òåíçîðà Ò âòîðîãî ðàíãà èìååò âèä: 2 3 0 0 − 4 0 , ïðè÷åì x1 = y 3 , x2 = y 1 + y 2 , x3 = y 1 . Îïðåäåëèòü êîí0 0 0 òðàâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû äàííîãî òåíçîðà. 4. Îïðåäåëèòü âåêòîðà êîâàðèàíòíîãî áàçèñà, åñëè x1 = y 2 + y 1 , x2 = y − y 1 , x3 = y 3 − y 2 . 2 5. Âû÷èñëèòü δij δjk δki . 3. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè 1. Íàïèñàòü óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿ ñæèìàåìîé è íåñæèìàåìîé ñðåäû â âèäå óðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëà. 2. Äîêàçàòü, ÷òî ëàãðàíæåâà ôîðìà óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè è ýéëåðîâà åãî ôîðìà ýêâèâàëåíòíû. 7 3. Íàéòè äèññèïàòèâíóþ ôóíêöèþ äèññèïàòèâíîé ÷àñòè òåíçîðà íàïðÿæåíèé ñìåñè è âûðàçèòü åå ÷åðåç èíâàðèàíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé. 4. Òðóáêà (0 ≤ x ≤ l) ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ S íàïîëíåíà ãàçîì, íà÷àëüíàÿ (ïðè t = 0) êîíöåíòðàöèÿ êîòîðîãî ϕ (x). Ïîâåðõíîñòü è òîðöû òðóáêè ïîðèñòûå, òàê ÷òî ÷åðåç íèõ ïðîèñõîäèò îáìåí êîíöåíòðàöèåé (ïî çàêîíó, àíàëîãè÷íîìó çàêîíó Íüþòîíà äëÿ êîíâåêòèâíîãî òåïëîîáìåíà) ñ âíåøíåé ñðåäîé. Êîíöåíòðàöèÿ ãàçà âî âíåøíåé ñðåäå ðàâíà ϑ (t). Ïîñòàâèòü êðàåâóþ çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè êîíöåíòðàöèè ãàçà u ïðè t > 0 â òðóáêå, êîãäà: à) ÷àñòèöû ãàçà ðàñïàäàþòñÿ (íàïðèìåð, íåóñòîé÷èâûé ãàç), ïðè÷¼ì ñêîðîñòü ðàñïàäà ãàçà â êàæäîé òî÷êå ïîëîñòè òðóáêè ïðîïîðöèîíàëüíà êîðíþ êâàäðàòíîìó èç åãî êîíöåíòðàöèè; á) ÷àñòèöû ãàçà ðàçìíîæàþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé ïðîèçâåäåíèþ uut â êàæäîé òî÷êå ïîëîñòè òðóáêè. 4. Ìíîãîñêîðîñòíàÿ è îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëè äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé 1. Âûïèñàòü óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. 2. Âûïèñàòü óðàâíåíèå áàëàíñà èìïóëüñà i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. 3. Âûâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé ýêâèâàëåíò âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ "ìíîãîñêîðîñòíîé" ìîäåëè ñìåñè, ïðåäïèñûâàþùåãî ïîëîæèòåëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà ýíòðîïèè. 4. Âûâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé ýêâèâàëåíò âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ "îäíîñêîðîñòíîé" ìîäåëè ñìåñè. 5. Ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè Ðàññ÷èòàòü îáúåìíûé ðàñõîä, ñðåäíþþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ñèëó òðåíèÿ äëÿ ìîäåëè ñìåñè, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. 6. Ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå Ðàññ÷èòàòü îáúåìíûé ðàñõîä, ñðåäíþþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ñèëó òðåíèÿ äëÿ ìîäåëè ñìåñè, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå. 7. Êðóãîâîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè 1. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó î âðàùåíèè êðóãîâîãî öèëèíäðà, íàïîëíåííîãî äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñüþ âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé. Íàéòè åå ðåøåíèå. 2. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó î âðàùåíèè êðóãëîãî öèëèíäðà â áåçãðàíè÷íîé ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé. Íàéòè åå ðåøåíèå. 8 Ïðèìåðû òåñòîâûõ çàäàíèé 1. Èäåàëüíàÿ ñðåäà ýòî ñðåäà à) íå ñïîñîáíàÿ îêàçûâàòü ñîïðîòèâëåíèå èçìåíåíèþ ôîðìû á) íå ñïîñîáíà îêàçûâàòü ñîïðîòèâëåíèå èçìåíåíèþ îáúåìà â) ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà êîòîðîé îäèíàêîâû âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ â ïðîñòðàíñòâå ã) èíäèâèäóàëüíûå ÷àñòèöû êîòîðîé íå ïîëó÷àþò óñêîðåíèÿ. 2. Èíòåíñèâíîñòü âíóòðåííèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ â äàííîé òî÷êå ñðåäû íà ïëîùàäêå ñ çàäàííîé îðèåíòàöèåé, îïðåäåëÿåòñÿ à) âåêòîðîì ïîëíîãî íàïðÿæåíèÿ á) ñðåäíèì íàïðÿæåíèåì â) òåíçîðîì íàïðÿæåíèÿ 3. Ðàâíîâåñèå ñðåäû ýòî êîãäà à)íà òåëî äåéñòâóþò âíóòðåííèå è âíåøíèå ñèëû, êîòîðûå ðàâíû ìåæäó ñîáîé, è ëþáàÿ ÷àñòèöà òåëà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì á) òåëî íå èñïûòûâàåò äåéñòâèÿ íèêàêèõ ñèë â) ëþáàÿ ÷àñòèöà òåëà íå èñïûòûâàåò óñêîðåíèÿ → 4. Óñëîâèå rot − v = 0 îçíà÷àåò, ÷òî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ à) ïîòåíöèàëüíûì á) áåçâèõðåâûì â) óñòàíîâèâøèìñÿ 5. Ãëàâíûå ïëîùàäêè ýòî ïëîùàäêè, íà êîòîðûõ à) îòñóòñòâóþò íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ á) îòñóòñòâóþò êàñàòåëüíûå íàïðÿæåíèÿ â) âíåøíÿÿ íîðìàëü ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ îñåé ã) èíòåíñèâíîñòü íàïðÿæåíèÿ ìàêñèìàëüíà 6. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ à) èìïóëüñà á) ýíåðãèè â) ìàññû 7. Èç ïðèâåäåííûõ ñèë âûáåðèòå ïîâåðõíîñòíûå à) ñèëà òðåíèÿ á) ñèëà òÿæåñòè â) ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà 8. Èç ïåðå÷èñëåííûõ ñðåä âûáåðèòå èçîòðîïíûå à) òêàíü á) âîçäóõ â) äåðåâî 9. Ëèíèÿ òîêà ýòî à) êðèâàÿ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé âåêòîð ñêîðîñòè íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê íåé á) ëèíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ÷àñòèöà â) âåêòîð ñêîðîñòè, ëåæàùèé â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè 9 Âàðèàíò ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû 1) Ïðèâåñòè ïðèìåðû ïîëåçíîãî è âðåäíîãî ïðîÿâëåíèé ñèë òðåíèÿ â òåõíèêå. 2) Êàêèå âèäû äåôîðìàöèè èñïûòûâàþò: ïëàñò çåìëè ïðè âñïàøêå; ñòåáëè ðàñòåíèé ïðè ñêàøèâàíèè; êëóáíè êàðòîôåëÿ ïðè ïðîõîæäåíèè ìåæäó êîìêîäàâèòåëÿìè êîìáàéíà? 3) Âåêòîð ñêîðîñòè çàäàí â ýéëåðîâûõ êîîðäèíàòàõ: v1 = x2 , v2 = x3 , v3 = 0. Îïðåäåëèòü êîîðäèíàòû óñêîðåíèÿ â ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàòàõ. 4) Çàäàíî ïîëå ñêîðîñòåé vi = ξi et , i=1,2,3. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî äâèæåíèå óñòàíîâèâøåìñÿ, ïîòåíöèàëüíûì? 5) Ïðèâåñòè ïðèìåð ïðîöåññà, êîòîðûé ìîæíî ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøèìñÿ. Ïðèìåðíûé ïåðå÷åíü âîïðîñîâ ê çà÷åòó 1. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè. 2. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. 3. Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè. Óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. 4. Ìíîãîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. 5. Îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. 6. Ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. 7. Ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé â öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå. 8. Êðóãîâîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè. 10 Òåêñò ëåêöèé Ñîäåðæàíèå 1 Ââåäåíèå 12 2 Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà 13 2.1 2.2 2.3 Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è âåêòîðíûé àíàëèç . . . . . . . . . . . . . . 13 Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå ôîðìóëû òåíçîðíîãî àíàëèçà . 17 Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé 21 3.1 3.2 3.3 3.4 Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè . . . . . . . . Ìíîãîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 . 24 . 25 . 28 4 Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè 28 4.1 Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå 35 5.1 Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6 Êðóãîâîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè 49 6.1 Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 11 1 Ââåäåíèå Ðåàëüíûå ñðåäû â ïðèðîäíûõ ïðîöåññàõ è ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ÷åëîâå÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ñìåñè äâóõ èëè áîëåå êîìïîíåíòîâ. Ãîìîãåííàÿ (èíîãäà ìíîãîêîìïîíåíòíàÿ) ñìåñü ñîñòîèò èç êîìïîíåíòîâ, îäèíàêîâûõ ïî ñâîåìó ôàçîâîìó ñîñòàâó. Åñëè æå â ñìåñè èìåþòñÿ êîìïîíåíòû, ðàçëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ïî ôàçå, òî ñðåäà íàçûâàåòñÿ ãåòåðîãåííîé (èëè ìíîãîôàçíîé). Ê ïîñëåäíèì ìîæíî îòíåñòè, íàïðèìåð, æèäêîñòè ñ òâåðäûìè èëè ãàçîâûìè âêëþ÷åíèÿìè. Ñåé÷àñ òðóäíî óêàçàòü îáëàñòü òåõíèêè, íå èñïîëüçóþùóþ íåîäíîðîäíûå ñðåäû (ñìåñè). Ýòî, ïðåæäå âñåãî, ðàêåòíàÿ òåõíèêà ñî ñëîæíûìè ïî ôèçè÷åñêîìó è õèìè÷åñêîìó ñîñòàâó ïîòîêàìè â ñîïëàõ ðàêåòíûõ äâèãàòåëåé. Ýòî ñîâðåìåííûå õèìè÷åñêèå òåõíîëîãèè, èñïîëüçóþùèå â ïðîìûøëåííîì ïðîèçâîäñòâå ìíîãîêîìïîíåíòíûå è ìíîãîôàçíûå ïîòîêè ñëîæíûõ ñìåñåé ðåàãèðóþùèõ ìåæäó ñîáîé âåùåñòâ. Ýòî ýíåðãåòèêà, ïðèìåíÿþùàÿ ïîòîêè ðàçíîîáðàçíûõ ïàðîæèäêîñòíûõ ñìåñåé äëÿ ñíÿòèÿ òåïëà ñ ïîâåðõíîñòåé íàãðåâà ïàðîãåíåðàòîðîâ è ðåàêòîðîâ. Ýòî ãèäðîòåõíèêà, çàíèìàþùàÿñÿ çàèëåííûìè èëè íåñóùèìè øóãó ðå÷íûìè ïîòîêàìè, ñàíèòàðíàÿ òåõíèêà, áîðþùàÿñÿ ñ çàïûëåíèåì àòìîñôåðû è âîäíûõ áàññåéíîâ, è ìíîãèå äðóãèå îáëàñòè òåõíèêè. Òåîðåòè÷åñêîå îïèñàíèå íåîäíîðîäíûõ ïîòîêîâ, íåçàâèñèìî îò òîãî, áóäåò ëè ïîòîê ãîìîãåííûì èëè ãåòåðîãåííûì, òðåáóåò ïðèíÿòèÿ îñíîâíîãî äîïóùåíèÿ î ñïëîøíîñòè âñåõ ñîâìåñòíî äâèæóùèõñÿ ñîâîêóïíîñòåé ÷àñòèö, êàê îòäåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ, òàê è ñìåñè èõ â öåëîì. Ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî ïðèíèìàåòñÿ â ìåõàíèêå îäíîðîäíîé ñðåäû, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ýëåìåíòàðíîì îáúåìå ñìåñè, òàê æå êàê è â ýëåìåíòàðíûõ îáúåìàõ ñîñòàâëÿþùèõ, íåñìîòðÿ íà ìàëîñòü ýòèõ îáúåìîâ, ñîäåðæèòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ÷àñòèö, äëÿ òîãî ÷òîáû ìîæíî áûëî â äîïóñòèìîì ïðèáëèæåíèè ïðèìåíÿòü ñòàòèñòè÷åñêîå îñðåäíåíèå ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ýòèõ ÷àñòèö ïî èõ ìíîæåñòâó.  ýòîì êóðñå îñíîâíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñè âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé (ãàçîâ), ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé íåêîòîðîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè Íàâüå-Ñòîêñà. Âîïðîñû î ìàòåìàòè÷åñêîé êîððåêòíîñòè êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, âîçíèêàþùèõ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñïëîøíûõ ñðåä, âûçûâàåò íåèçìåííûé èíòåðåñ ìàòåìàòèêîâ, ïîñêîëüêó èõ ðåøåíèå âñòðå÷àåò ñóùåñòâåííûå òðóäíîñòè â ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå, ñòèìóëèðóÿ òåì ñàìûì äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ.  ÷àñòíîñòè, âîïðîñû äèíàìèêè âÿçêîé æèäêîñòè î÷åíü òðóäíû ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ è íå ñëó÷àéíî çàäà÷à î ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ìíîãîìåðíîé ñèñòåìû Íàâüå-Ñòîêñà âêëþ÷åíà â ñïèñîê òàê íàçûâàåìûõ "ïðîáëåì òûñÿ÷åëåòèÿ". Îñíîâíîé öåëüþ îñâîåíèÿ äèñöèïëèíû "Òî÷íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé" ÿâëÿåòñÿ çíàêîìñòâî ñòóäåíòîâ ñ òî÷íûìè ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé. 12 2 Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî àíàëèçà Ìåòîäû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèé èãðàþò âàæíóþ ðîëü â ìåõàíèêå ñïëîøíîé ñðåäû è íåêîòîðûõ äðóãèõ ðàçäåëîâ òåîðåòè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûõ ñ òåîðèåé ïîëÿ. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî òåì, ÷òî èñïîëüçóåìàÿ â ýòèõ ìåòîäàõ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñèìâîëèêà ïîëíîñòüþ îòðàæàåò è îáîáùàåò äåéñòâèòåëüíûå ñâÿçè ìåæäó ôèçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè.  íàñòîÿùåì ðàçäåëå ïðèâåäåì íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèé â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ. Ïîëüçîâàíèå â äàëüíåéøåì ññûëêàìè íà ýòè ôîðìóëû (áåç èõ âûâîäà) çíà÷èòåëüíî îáëåã÷àåò èçëîæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòîðîíû êóðñà è ïîçâîëÿåò áîëåå âûïóêëî ïîêàçàòü ôèçè÷åñêóþ ñóùíîñòü åãî ñîäåðæàíèÿ. 2.1 Âåêòîðíàÿ àëãåáðà è âåêòîðíûé àíàëèç Ââåäåì ñëåäóþùèå îáùåïðèíÿòûå îáîçíà÷åíèÿ. Ñêàëÿðû áóäåì çàäàâàòü ëàòèíñêèìè èëè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè, ñòðî÷íûìè, èíîãäà çàãëàâíûìè, íàïðèìåð, a, b, U, V, α, β . Âåêòîðû çàäàþòñÿ òåìè æå áóêâàìè, ÷òî è ñêàëÿðû, íî ñî ñòðåëêîé ~ . Ìîäóëü (âåëè÷èíà) âåêòîðà îáîçíà÷àåòñÿ ~, V ~, α ñâåðõó, íàïðèìåð, ~a, ~b, U ~, β | ~a |. Åäèíè÷íûé âåêòîð (îðò) ~u, íàïðàâëåííûé âäîëü ~a, çàïèñûâàåòñÿ êàê ~a =| ~a | ~u. Îñè ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: Ox, Oy, Oz èëè Ox1 , Ox2 , Ox3 . Ïðîåêöèè âåêòîðà ~a íà îñè êîîðäèíàò îáîçíà÷àþòñÿ ax , ay , az èëè a1 , a2 , a3 . Çíàêè ìàòåìàòè÷åñêèõ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ îáû÷íûå. Çíàê ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ òî÷êà ìåæäó ñîìíîæèòåëÿìè, íàïðèìåð, ~a ·~b. Çíàê âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íàêëîííûé êðåñò, íàïðèìåð, ~a ×~b. Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ñêàëÿð îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ~a + ~b = ~b + ~a, ~ ~a + b + ~c = ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c, λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b. (1) ³ ´ ¯ ¯ ¯ ¯ c Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ~a · ~b = ¯~a¯ · ¯~b¯ · cos ~a, ~b èìååò ñâîéñòâà: ~a · ~b = ~b · ~a, ~ ~a · (b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c, λ(~a · ~b) = (λ~a) · ~b = ~a · (λ~b), ~ ~a · b = 0 ïðè | ~a |6= 0, | ~b |6= 0, òîëüêî åñëè ~a ⊥ ~b, ~a · ~a =| ~a |2 , 2 ~ (~a ± b) =| ~a |2 ±2(~a · ~b)+ | ~b |2 . 13 (2) Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ~a ×~b ðàâíî ïî âåëè÷èíå ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà ³ ´ c | ~a × ~b |=| ~a | · | ~b | · sin ~a, ~b , (3) ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ, è îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ~a × ~b = −~b × ~a, ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c, (4) λ(~a × ~b) = (λ~a) × ~b = ~a × (λ~b), ~a × ~b = 0 ïðè | ~a |6=| ~b |6= 0. Ñìåøàííîå ñêàëÿðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ ðàâíî ± îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà ~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b), (5) ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ, è îáëàäàåò ñâîéñòâîì ~a · (~b × ~c) = 0 ïðè | ~a |6= | ~b |6=| ~c |6= 0. (6) Äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ ~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c, (~a × ~b) × ~c = (~a · ~c)~b − (~b · ~c)~a. (7)  ñèñòåìå êîîðäèíàò (x, y, z) èëè (x1 , x2 , x3 ) ñêàëÿðíîå èëè âåêòîðíîå ïîëÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí çàäàþòñÿ ôóíêöèÿìè λ = λ(x, y, z) = λ(x1 , x2 , x3 ), ax = ax (x, y, z), ay = ay (x, y, z), az = az (x, y, z) èëè ap = ap (x1 , x2 , x3 ), ãäå p = 1, 2, 3. (8)  äàëüíåéøåì, åñëè èíäåêñ â îäíî÷ëåííîì âûðàæåíèè ïîâòîðÿåòñÿ äâà ðàçà, òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ýòîìó èíäåêñó îò 1 äî 3, à çíàê ñóììû îïóñêàåòñÿ, èñêëþ÷åíèÿ îãîâàðèâàþòñÿ. Ôîðìóëû ïåðåõîäà îò îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (xp ; p = 1, 2, 3) ê äðóãîé (x0q ; q = 1, 2, 3) èìåþò âèä αpq 3 3 P P xp = αpq x0q = αpq x0q , x0q = αqp xp = αqp xp , q=1 p=1 ½ ³ ´ P 3 0 ïðè q = 6 p, 0 \ = cos xp , xq , αps αqs = αps αqs = 1 ïðè q = p, s=1 ¯ ¯ ¯ α11 α12 α13 ¯ ¯ ¯ ¯ α21 α22 α23 ¯ = det(αpq ) = ±1. ¯ ¯ ¯ α31 α32 α33 ¯ (9) Âåðõíèé çíàê â âåëè÷èíå îïðåäåëèòåëÿ det(αpq ) ñîîòâåòñòâóåò ñîíàïðàâëåííûì ñèñòåìàì êîîðäèíàò, íèæíèé ïðîòèâîïîëîæíîìó ñëó÷àþ. Åñëè ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ëþáîé äðóãîé (áåçðàçëè÷íî, ñîíàïðàâëåííîé èëè íåò) ôóíêöèÿ λ ñîõðàíÿåò ñâîå çíà÷åíèå, ò. å. λ(x, y, z) = λ(x0 , y 0 , z 0 ), òî îíà îïðåäåëÿåò ôèçè÷åñêèé, èëè èñòèííûé, ñêàëÿð. 14 (10) Ïðîåêöèè ôèçè÷åñêîãî (èñòèííîãî) âåêòîðà ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê äðóãîé èçìåíÿþòñÿ ïî òåì æå ôîðìóëàì (9), ÷òî è ñàìè êîîðäèíàòû. ap = αpq a0q , a0q = αqp ap . (11) Åäèíè÷íûå âåêòîðû, îðòû îñåé êîîðäèíàò îáîçíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: îñü Ox, Ox1 - îðò ~i, ~e1 , îñü Oy, Ox2 - îðò ~j, ~e2 , îñü Oz, Ox3 - îðò ~k, ~e3 . Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îðòàìè îñåé êîîðäèíàò: ³ ´ ½ 0 1 ~ep × ~eq = ~er . ~ep · ~eq = cos x\ p , xq = ïðè q 6= p, ïðè q = p, (12) (ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ èíäåêñîâ p, q , r ñîîòâåòñòâóåò êðóãîâîé ïåðåñòàíîâêå 1 → 2 → 3 → 1 → ...). Ðàçëîæåíèå âåêòîðà ïî îðòàì îñåé êîîðäèíàò: 3 P ~a = ap~ep , | ~a |2 = ap ap = a2p , p=1 ´ ³ , ~ep . ap = ~a · ~ep =| ~a | · cos ~ad (13) Àíàëèòè÷åñêàÿ ôîðìà íåêîòîðûõ ïðîñòåéøèõ îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè: (~a ± ~b ± ~c ± ...)p = ap ± bp ± cp ± ... (p = 1, 2, 3), (λ~a)p = λap , ~a · ~b = ax bx + ay by + az bz , (14) (~a × ~b)x = ay bz − az by , (~a × ~b)y = az bx − ax bz , (~a × ~b)z = ax by − ay bx , ¯ ¯ ~e1 ¯ ~a × ~b = ¯¯ a1 ¯ b1 ~e2 a2 b2 ~e3 a3 b3 ¯ ¯ ¯ ¯ a1 ¯ ¯ ¯ , ~a · (~b × ~c) = ¯ b1 ¯ ¯ ¯ ¯ c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯ Ïðîèçâîäíàÿ âåêòîð-ôóíêöèè ~a(s) ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó s îáîçíà÷àd~a åòñÿ , ïðîèçâîäíûå îò ñêàëÿðíîé ϕ è âåêòîðíîé ôóíêöèè ~a ïî íàïðàâëåds dϕ d~a íèþ l , . Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ èñïîëüçóþòñÿ îáùåïðèdl dl íÿòûå îáîçíà÷åíèÿ: ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ôóíêöèè ϕ - ∇ϕ , äèâåðãåíöèÿ (ðàñõîäèìîñòü) âåêòîðíîãî ïîëÿ ~a - div ~a, âèõðü (ðîòîð) - rot ~a. Ýëåìåíò äóãè êðèâîé îáîçíà÷åí dlR, ïîâåðõíîñòè - dσ , îáúåìà - dxR. Ñèìâîëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî êðèâîé C − (...)dl, ïî ïîâåðõíîñòè ∂Ω (...)dσ , ïî îáúåìó Ω C ∂Ω R (...)dx . Ω Ïðîèçâîäíàÿ âåêòîð-ôóíêöèè ~a ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó s, ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ óêàçàííîãî íèæå ïðåäåëà, ðàâíà ~a(s + 4s) − ~a(s) 4~a d~a = lim = lim . 4s−→0 4s−→0 ds 4s 4s 15 (15) Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ: d~a d~a ds d~a 0 = = f (t), s = f (t), dt ds dt ds d d~a d~b (~a ± ~b ± ...) = ± ± ..., ds ds ds d dϕ d~a (ϕ~a) = ~a + ϕ , ds ds ds d d~a ~ d~b d d~a ~ d~b (~a · ~b) = · b + ~a · , (~a × ~b) = × b + ~a × . ds ds ds ds ds ds (16) Ïðîèçâîäíûå ïî çàäàííîìó íàïðàâëåíèþ l ñ îðòîì ~l âûðàæàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: d dϕ ~ d~a = ~l · ∇, = l · ∇ϕ, = (~l · ∇)~a. dl dl dl (17) Íåêîòîðûå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ èíòåãðàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ: Z Z Z Z Z ~nϕdσ = ∇ϕ dx, a~n dσ = ~n · ~a dσ = div ~a dx, Ω ∂Ω Z Z ∂Ω ∂Ω ~n × ~a dσ = Ω rot~a dx. (18) Ω ∂Ω Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå äèôôåðåíöèàëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî àíàëèçà: div(ϕ~a) = ϕ div~a + ~a · ∇ϕ, rot(ϕ~a) = ϕ rot ~a + ∇ϕ × ~a, div(~a × ~b) = ~b · rot ~a − ~a · rot ~b, rot(~a × ~b) = (~b · ∇) ~a − (~a · ∇) ~b + ~a div ~b − ~b div ~a, ∇(~a · ~b) = (~a · ∇) ~b + (~b · ∇) ~a + ~a × rot ~b + ~b × rot ~a, µ (~a · ∇) ~a = ∇ div∇ϕ = 4ϕ = | ~a |2 2 ¶ (19) + rot ~a × ~a, ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + + , rot∇ϕ ≡ 0, div rot ~a ≡ 0, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∇ div ~a = rot rot ~a + 4~a, 4~a = ∂ 2~a ∂~a ∂ 2~a + + , ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (4~a)x = 4ax , (4~a)y = 4ay , (4~a)z = 4az . Ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå îò ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ôóíêöèé âûðàæàþòñÿ ðàâåíñòâàìè ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = (∇ϕ)x , = (∇ϕ)y , = (∇ϕ)z , ∂x ∂y ∂z 16 div ~a = (rot ~a)x = ∂ay ∂az ∂ax + + , ∂x ∂y ∂z (20) ∂ az ∂ ay ∂ ax ∂ az ∂ ay ∂ ax − , (rot ~a)y = − , (rot ~a)z = − . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Èíòåãðàëüíûå ôîðìóëû âåêòîðíîãî àíàëèçà â ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ èìåþò âèä Z Z Z Z Z Z ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ n x ϕ dσ = n y ϕ dσ = n z ϕ dσ = dσ, dσ, dσ, ∂x ∂y ∂z ∂Ω ∂Ω ∂Ω ∂Ω ∂Ω ∂Ω Z Z Z Z Z Z nx~a dσ = ∂Ω Z ∂Ω ∂~a dσ, ∂x ny~a dσ = ∂Ω ∂~a dσ, ∂y ∂Ω Z µ (nx ax + ny ay + nz az ) dσ = ∂Ω ∂Ω (nx ay − ny ax ) dσ = ∂ ay ∂ ax − ∂x ∂y Ω ∂Ω Z µ Z (ny az − nz ay ) dσ = ∂ ay ∂ az − ∂y ∂z Ω ∂Ω Z µ Z (nz ax − nx az ) dσ = ∂ ax ∂ az − ∂z ∂x ∂~a dσ, ∂z ∂Ω ∂ ay ∂ az ∂ ax + + ∂x ∂y ∂z Ω Z µ Z ∂Ω nz~a dσ = ¶ dx, (21) ¶ dx, ¶ dx, ¶ dx. Ω 2.2 Òåíçîðíàÿ àëãåáðà è íåêîòîðûå ôîðìóëû òåíçîðíîãî àíàëèçà Òåíçîðû îáîçíà÷àþòñÿ çàãëàâíûìè ëàòèíñêèìè èëè ãðå÷åñêèìè áóêâàìè, èíîãäà ñòðî÷íûìè, íàïðèìåð, P , Q, S , T , σ . Êîìïîíåíòû òåíçîðîâ òåìè æå áóêâàìè ñ èíäåêñàìè. ×èñëî èíäåêñîâ ïðè êîìïîíåíòå îïðåäåëÿåò ðàíã òåíçîðà. Âåêòîð ïî ÷èñëó èíäåêñîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåíçîð ïåðâîãî ðàíãà, ñêàëÿð êàê òåíçîð íóëåâîãî ðàíãà.  äàëüíåéøåì áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ òåíçîðû âòîðîãî ðàíãà (äèàäû), ó êîìïîíåíò êîòîðûõ äâà èíäåêñà Ppq , Qrs è ò. ä. Òåíçîð âòîðîãî ðàíãà Ò çàäàåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ äåâÿòè âåëè÷èí (êîìïîíåíò), ðàñïîëàãàåìûõ â ìàòðèöå (ïåðâûé èíäåêñ - íîìåð ñòðîêè, âòîðîé ñòîëáöà): T11 T12 T13 T = T21 T22 T23 = (Tpq ), p, q = 1, 2, 3. (22) T31 T32 T33 ∗ Òåíçîð T ∗ íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ñ T , åñëè Tpq = Tqp . Òåíçîð S , îá∗ ∗ ëàäàþùèé ñâîéñòâîì S = S , Spq = Spq , íàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì, èëè ñèììåòðè÷íûì. Çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò òàêîãî òåíçîðà íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ èíäåêñîâ, ò. å. Spq = Sqp . Òåíçîð A àíòèñèììåòðè÷åí, åñëè A∗ = −A èëè A∗pq = −Apq è, ñëåäîâàòåëüíî, App = 0, p = 1, 2, 3 (ñóììèðîâàíèå ïî p çäåñü íå ïðåäïîëàãàåòñÿ). 17 ×àñòî óïîòðåáëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ òåíçîðíàÿ åäèíèöà I ñèììåòðè÷íûé ñôåðè÷åñêèé òåíçîð ñ êîìïîíåíòàìè, íå çàâèñÿùèìè îò âûáîðà îñåé êîîðäèíàò: ½ 1 0 0 0 ïðè q 6= p, Ipq = I = 0 1 0 . (23) 1 ïðè q = p, 0 0 1 Çíàêè îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ òåíçîðîâ, óìíîæåíèÿ òåíçîðà íà ñêàëÿð îáû÷íûå. Ðàçëè÷íûå âèäû ïðîèçâåäåíèé äâóõ òåíçîðîâ îáîçíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñêàëÿðíîå - äâóìÿ òî÷êàìè ìåæäó ñîìíîæèòåëÿìè, âåêòîðíîå íàêëîííûì êðåñòîì, òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ñìåæíûì ðàñïîëîæåíèåì ñîìíîæèòåëåé, áåç çíàêà ìåæäó íèìè. Ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x1 , x2 , x3 ê äðóãîé x01 , x02 , x03 êîìïîíåíòû òåíçîðà ïðåîáðàçóþòñÿ ïîäîáíî ïðîèçâåäåíèÿì êîìïîíåíò (ïðîåêöèé) äâóõ âåêòîðîâ: 0 0 Tpq = αpr αqs Trs , Tpq = αrp αsq Trs . Ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå òåíçîðîâ, óìíîæåíèå òåíçîðà íà ñêàëÿð ïðîèçâîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì (P ± Q ± ...)pq = Ppq ± Qpq ± ..., (λP )pq = (P λ)pq = λPpq . (24) Ðàçëîæåíèå òåíçîðà íà ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ ÷àñòè: T ≡ 1 1 1 (T + T ∗ ) + (T − T ∗ ) = S + A, S = (T + T ∗ ), 2 2 2 1 1 A = (T − T ∗ ), Spq = Sqp = (Tpq + Tqp ), 2 2 1 Apq = −Aqp = (Tpq + Tqp ). 2 (25) Óìíîæåíèå âåêòîðà íà òåíçîð èëè òåíçîðà íà âåêòîð îáðàçóåò ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðû ~aT è T~a ñ ïðîåêöèÿìè (êîìïîíåíòàìè) (~aT )p = aq Tqp , (T~a)p = Tpq aq , p = 1, 2, 3. (26) (ïðè ñîõðàíåíèÿ ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ ñîìíîæèòåëåé â ëåâîé â ïðàâîé ÷àñòÿõ èíäåêñû ñóììèðîâàíèÿ q ðàñïîëîæåíû ïî ñîñåäñòâó). Èç îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé (26) âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: ~aI = I~a = ~a − "åäèíè÷íîå" ñâîéñòâî, S~a = ~aS, (S - ñèììåòðè÷íûé òåíçîð), (27) T~a = ~aT ∗ , ~aT = T ∗~a, A~a = ~c × ~a, ~aA = ~a × ~c, ãäå âåêòîð ~c, ýêâèâàëåíòíûé àíòèñèììåòðè÷íîìó òåíçîðó A, èìååò êîìïîíåíòû c1 = A32 = A∗23 , c2 = A13 = A∗31 , c3 = A21 = A∗12 . (28) 18 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òåíçîðîâ P : Q äàåò ñêàëÿð P : Q = Ppq Qpq , (29) P : I = I : P = Ppp = P11 + P22 + P33 , P : P = Ppq Ppq = P 2 =| P |2 − êâàäðàò ìîäóëÿ òåíçîðà P. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òåíçîðîâ P × Q îïðåäåëÿåò âåêòîð ñ ïðîåêöèÿìè (P × Q)p = Pqs Qsr − Prs Qsq (30) (êðóãîâàÿ ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ p → q → r → p → ..., ñóììèðîâàíèå ïî s). Óñëîâèå ñèììåòðèè òåíçîðà P : (31) P × I = 0. Ìóëüòèïëèêàòèâíûé òåíçîð, äèàäà ~a ⊗ ~b ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå äèàäíîãî óìíîæåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ ~a è ~b: a1 b1 a1 b2 a1 b3 a1 b1 a2 b1 a3 b1 ~a ⊗ ~b = a2 b1 a2 b2 a2 b3 , (~a ⊗ ~b)∗ = a1 b2 a2 b2 a3 b2 . (32) a3 b1 a3 b2 a3 b3 a1 b3 a2 b3 a3 b3 Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òåíçîðîâ P Q îïðåäåëÿåò òåíçîð (P Q)pq = Ppr Qrq , p, q = 1, 2, 3 (ñóììèðîâàíèå ïî r), (33) (P I)pq = Ppr Irq = Ppq , P I = IP = P. Èíâàðèàíòû òåíçîðà 2-ãî ðàíãà: I1 = Tpp = T11 + T22 + T33 − ïåðâûé, ëèíåéíûé, èíâàðèàíò, I2 = Tpq Tpq =| T |2 −âòîðîé, êâàäðàòè÷íûé, èíâàðèàíò, (34) I3 = det (Tpq ) − òðåòèé, êóáè÷íûé, èíâàðèàíò. Ðàçëîæåíèå òåíçîðà T íà ñôåðè÷åñêóþ T (s) è äåâèàòîðíóþ T (d) ÷àñòè: µ ¶ 1 1 T ≡ I1 I + T − I1 I = T (s) + T (d) , 3 3 (35) 1 1 (s) (d) I1 I = T , T − I1 I = T . 3 3 Äèôôåðåíöèàëüíàÿ äèàäà, èëè äèôôåðåíöèàëüíûé òåíçîð îáîçíà÷àåòñÿ ∇~a (óñëîâíî ãðàäèåíò âåêòîðà), ñîïðÿæåííàÿ ñ íåþ äèàäà (∇~a)∗ , äèâåðãåíöèÿ ïîëÿ òåíçîðà T div T . Äèôôåðåíöèàëüíàÿ äèàäà ∇~a è ñîïðÿæåííàÿ ñ íåé äèàäà (∇~a)∗ îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∇~a = ∂ a1 ∂ x1 ∂ a1 ∂ x2 ∂ a1 ∂ x3 ∂ a2 ∂ x1 ∂ a2 ∂ x2 ∂ a2 ∂ x3 ∂ a3 ∂ x1 ∂ a3 ∂ x2 ∂ a3 ∂ x3 , (∇~a) = ∗ 19 ∂ a1 ∂ x1 ∂ a2 ∂ x1 ∂ a3 ∂ x1 ∂ a1 ∂ x2 ∂ a2 ∂ x2 ∂ a3 ∂ x2 ∂ a1 ∂ x3 ∂ a2 ∂ x3 ∂ a3 ∂ x3 . (36) Òåíçîðû ∇~a è (∇~a)∗ ìîæíî ðàçëîæèòü íà ñèììåòðè÷íóþ è àíòèñèììåòðè÷íóþ ÷àñòè: 1 1 (∇~a + (∇~a)∗ ) + (∇~a − (∇~a)∗ ) = S + A, 2 2 1 1 (∇~a)∗ ≡ ((∇~a)∗ + ∇~a) + ((∇~a)∗ − ∇~a) = S + A∗ . 2 2 ∇~a ≡ (37) Ñèììåòðè÷íàÿ ÷àñòü S íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé D(~a) ïîëÿ âåêòîðà ~a è âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì µ ¶ 1 1 ∂ aq ∂ ap ∗ S = D(~a) = (∇~a + (∇~a) ) , Spq = (D(~a))pq = + . (38) 2 2 ∂ xp ∂ xq Äèâåðãåíöèÿ òåíçîðà div T îïðåäåëåíà ðàâåíñòâàìè (div T )x = ∂ Tyx ∂ Tzx ∂ Txx + + , ∂x ∂y ∂z (div T )y = ∂ Txy ∂ Tyy ∂ Tzy + + , ∂x ∂y ∂z ∂ Txz ∂ Tyz ∂ Tzz (div T )z = + + , ∂x ∂y ∂z ³ ´ div ~a ⊗ ~b = (~a · ∇) ~b + ~b div ~a. (39) Òåíçîðíûå àíàëîãè èíòåãðàëüíûõ ôîðìóë ðàçäåëà 1.1.1.2 èìåþò âèä Z Z ~n T dσ = div T dx, µ ¶ ∂Txx ∂ Tyx ∂ Tzx (nx Txx + ny Tyx + nz Tzx ) dσ = + + dx, ∂x ∂y ∂z ∂Ω ¶ Z ZΩ µ ∂Txy ∂ Tyy ∂ Tzy (nx Txy + ny Tyy + nz Tzy ) dσ = + + dx, ∂x ∂y ∂z Ω ∂Ω ¶ Z Z µ ∂Txz ∂ Tyz ∂ Tzz (nx Txz + ny Tyz + nz Tzz ) dσ = + + dx. ∂x ∂y ∂z Z ∂Ω ∂Ω ΩZ (40) Ω 2.3 Óïðàæíåíèÿ 1. Âûïèñàòü îïåðàöèè ∇, ∆ íàä ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé ϕ â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ. 2. Âûïèñàòü îïåðàöèè div , rot íàä âåêòîðíûì ïîëåì ~a â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. 3. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñîäåðæèòñÿ â ñèììåòðè÷íîì òåíçîðå òðåòüåãî ðàíãà? 4. Ïîêàçàòü, ÷òî àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà èìååò òîëüêî øåñòü îòëè÷íûõ îò íóëÿ ñîñòàâëÿþùèõ, îäèíàêîâûõ ïî âåëè÷èíå. 20 5. Êàê áóäóò âûãëÿäåòü êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ, îáðàçîâàííîãî â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè div ê äèàäå T â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ? 6. Âûïèñàòü êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé D(~a) ïîëÿ âåêòîðà ~a â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. 3 Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äèíàìèêè ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé Ñèñòåìà äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé æèäêîñòåé, ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû ñìåñè: 1) óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè), 2) çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, 3) çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ýòà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, êàê ïðàâèëî, îêàçûâàåòñÿ íåçàìêíóòîé, è äëÿ òîãî ÷òîáû íà åå îñíîâå èçó÷àòü ðàçëè÷íûå çàäà÷è î äâèæåíèè ñìåñåé æèäêîñòåé, íåîáõîäèìî åå äîïîëíÿòü ñîîòíîøåíèÿìè, õàðàêòåðèçóþùèìè îïðåäåëåííûå ñâîéñòâà äàííîé ñðåäû. Ðàññìîòðèì óêàçàííûå âûøå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â èíòåãðàëüíîé è äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìàõ. 3.1 Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñìåñè Ìíîãîêîìïîíåíòíóþ ñðåäó îáðàçóþò N ñðåä (êîìïîíåíòîâ), ïåðåìåøàííûõ òàê, ÷òî â êàæäîì ýëåìåíòàðíîì îáúåìå ïðèñóòñòâóþò ÷àñòèöû, ïðèíàäëåæàùèå âñåì êîìïîíåíòàì (ñîñòàâëÿþùèì). Äëÿ êàæäîé èç ýòèõ êîìïîíåíò â êàæäîé òî÷êå îáúåìà ìîæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ïðèâåäåííóþ ïëîòíîñòü ρi (ìàññà i-îé êîìïîíåíòû â åäèíèöå îáúåìà ñðåäû), ñêîðîñòü ~u(i) (i = 1, ..., N ) è äðóãèå êèíåìàòè÷åñêèå è äèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû, îòíîñÿùèåñÿ ê ñâîåé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè. Òàêèì îáðàçîì, â êàæäîé òî÷êå îáúåìà, çàíÿòîãî ñìåñüþ, áóäóò îïðåäåëåíû N ïëîòíîñòåé ρi , N ñêîðîñòåé ~u(i) è ò. ä. Óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé ñâÿçàí ñ ïðåäñòàâëåíèåì ñðåäíèõ âåëè÷èí (ρi , ~u(i) è äð.) êàê íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííûõ â çàíèìàåìîì îáúåìå Ω (îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà R3 ), îãðàíè÷åííîì ïîâåðõíîñòüþ ∂Ω ñ åäèíè÷íîé âíåøíåé íîðìàëüþ ~n. Òîãäà óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Z Z Z ∂ρi dx = − ρi (~u(i) · ~n) dσ + hi dx, i = 1, ..., N, (41) ∂t Ω Ω ∂Ω ãäå t âðåìÿ, hi õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà ìàññû èç îäíîé êîìïîíåíòû ñìåñè â äðóãóþ â åäèíèöó îáúåìà è â åäèíèöó âðåìåíè â ðåçóëüòàòå 21 ïðîöåññîâ ñìåøåíèÿ, èîíèçàöèè, õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé è ò. ï., ïðè÷åì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû ïðè ðàçëè÷íûõ ôèçèêî-õèìè÷åñêèõ ïðåâðàùåíèÿõ ñëåäóåò, ÷òî N X hi = 0. (42) i=1 Ïðèìåíÿÿ ê ïåðâîìó èíòåãðàëó â ïðàâîé ÷àñòè (41) ôîðìóëó ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî (ñì. ôîðìóëó (18)): Z Z ρi (~u(i) · ~n) dσ = div(ρi ~u(i) ) dx, (43) Ω ∂Ω ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè îáúåìà Ω, ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè: ∂ρi + div(ρi ~u(i) ) = hi , i = 1, ..., N. ∂t (44)  ÷àñòíîì ñëó÷àå hi = 0, i = 1, ..., N óðàâíåíèÿ (44) èçâåñòíû â ìåõàíèêå êàê óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè: ∂ρi + div(ρi ~u(i) ) = 0, i = 1, ..., N. ∂t (45) Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñîâ. Óðàâíåíèÿ áàëàíñà èìïóëüñîâ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå: Z Z Z ∂ (i) (i) (i) (ρi ~u ) dx = − ρi ~u (~u · ~n) dσ + (P (i) · ~n) dσ+ ∂t Ω ∂Ω ∂Ω Z Z (46) + ρi f~(i) dx + J~(i) dx, i = 1, ..., N, Ω Ω ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (46) ñîîòâåòñòâóåò ïðèòîêó èìïóëüñà iîé ñîñòàâëÿþùåé ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ∂Ω; âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå âîçäåéñòâèþ âíåøíèõ ïîâåðõíîñòíûõ è ìàññîâûõ ñèë, ïðèõîäÿùèõñÿ íà i-óþ êîìïîíåíòó è õàðàêòåðèçóåìûõ òåíçîðîì P (i) è âåêòîðîì f~(i) ; íàêîíåö, J~(i) ïðåäñòàâëÿåò èíòåíñèâíîñòü îáìåíà èìïóëüñîì ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ñìåñè, ïðè÷åì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ïðè ðàçëè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ, àíàëîãè÷íî (42), èìååò ìåñòî N X J~(i) = 0. (47) i=1 Èíòåãðàëüíûì ñîîòíîøåíèÿì (46), ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî, ñîîòâåòñòâóþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñîâ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé: ∂(ρi ~u(i) ) + div(ρi ~u(i) ⊗ ~u(i) ) = div P (i) + ρi f~(i) + J~(i) , i = 1, ..., N. ∂t 22 (48) Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè (45), óðàâíåíèÿ (48) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå: ρi ∂~u(i) + ρi (~u(i) · ∇)~u(i) = div P (i) + ρi f~(i) + J~(i) , i = 1, ..., N. ∂t (49) Óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèé. Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèÿ áàëàíñà ýíåðãèé êàæäîé êîìïîíåíòû ñìåñè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ui óäåëüíóþ (îòíåñåííóþ ê åäèíèöå ìàññû) âíóòðåííþþ ýíåðãèþ i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè, i = 1, ..., N . Ñóììà âíóòðåííåé ýíåðãèè è êèíåòè÷åñêîé Ei = 1 (i) 2 |~u | + Ui 2 (50) íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ýíåðãèåé i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, i = 1, ..., N . Òîãäà, óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ñëåäóþùåì âèäå: Z Z Z ∂ (ρi Ei ) dx = − ρi Ei (~u(i) · ~n) dσ + ~c(i) · ~n dσ+ ∂t Ω ∂Ω ∂Ω Z Z Z (i) (i) (i) (i) ~ ~ + ρi f · ~u dx + J · ~u dx + Γi dx− (51) Ω Ω Z (i) − ~q Ω · ~n dσ, i = 1, ..., N, ∂Ω ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (51) ñîîòâåòñòâóåò ïðèòîêó ýíåðãèè iîé ñîñòàâëÿþùåé ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ∂Ω; âòîðîå è òðåòüå ñëàãàåìûå ðàáîòå âíåøíèõ ïîâåðõíîñòíûõ (õàðàêòåðèçóåìîé âåêòîðîì ~c(i) (â ÷àñòíîì ñëó÷àå ~c(i) · ~n=(P (i) · ~n) · ~u(i) , i = 1, ..., N )) è ìàññîâûõ ñèë, ïðèõîäÿùèõñÿ íà i-óþ ñîñòàâëÿþùóþ ñìåñè; äàëåå, Γi ïðåäñòàâëÿåò èíòåíñèâíîñòü îáìåíà ýíåðãèåé ìåæäó êîìïîíåíòàìè; ïÿòîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ïðèòîê òåïëà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ∂Ω, õàðàêòåðèçóåìûé âåêòîðîì ~q(i) . Àíàëîãè÷íî (42) è (47), èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðè ðàçëè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ èìååò ìåñòî ôîðìóëà N X (Γi + J~(i) · ~u(i) ) = 0. (52) i=1 Èíòåãðàëüíûì ñîîòíîøåíèÿì (51), ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî, ñîîòâåòñòâóþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ïîëíûõ ýíåðãèé êàæäîé îñòàâëÿþùåé ñìåñè: ∂(ρi Ei ) + div(ρi Ei ~u(i) ) = div(P (i) · ~u(i) ) + ρi f~(i) · ~u(i) + ∂t (53) +J~(i) · ~u(i) + Γi − div~q(i) , i = 1, ..., N. Ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (50) è óðàâíåíèé (45) è (49), ïîëó÷àåì èç (53) äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ âíóòðåííèõ ýíåðãèé êàæäîé êîìïîíåíòû ñìåñè: ∂(ρi Ui ) + div(ρi Ui ~u(i) ) = P (i) : ∇~u(i) + Γi − div~q(i) , i = 1, ..., N. ∂t 23 (54) Òåì ñàìûì, ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ (45), (48) è (54), êîòîðûå ìàòåìàòè÷åñêè îïèñûâàþò ïåðå÷èñëåííûå â íà÷àëå ðàçäåëà çàêîíû ñîõðàíåíèÿ. Ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ îïðåäåëåííîé ñïëîøíîé ñðåäû óðàâíåíèÿ (44), (48) è (54) êîíêðåòèçèðóþòñÿ çàäàíèåì âåêòîðà ìàññîâûõ ñèë f~(i) äëÿ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè è îïðåäåëÿþùèõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ è ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé, çàìûêàþùèõ ñèñòåìó óðàâíåíèé (44), (48) è (54). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åäèíîãî ïîäõîäà â êîíêðåòèçàöèè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ è ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé ïðè ìîäåëèðîâàíèè äâèæåíèÿ ñìåñåé æèäêîñòåé íà ñåãîäíÿøíèé äåíü íåò. Ïîýòîìó, âûäåëèì äâà îñíîâíûõ ýòî òàê íàçûâàåìûå "ìíîãîñêîðîñòíîé" è "îäíîñêîðîñòíîé" ïîäõîäû.  äàííîì êóðñå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìîäåëè äâèæåíèÿ äâóõêîìïîíåíòíûõ (áèíàðíûõ) ñìåñåé. Îáîáùåíèå ðåçóëüòàòîâ äëÿ ñëó÷àÿ ñìåñåé èç òðåõ è áîëåå êîìïîíåíò ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé íå âûçûâàåò. 3.2 Ìíîãîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé Îäíèì èç âàðèàíòîâ ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé â ìíîãîñêîðîñòíîé ìîäåëè ñìåñè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâà P (i) = −pi I + σ (i) , i = 1, 2, σ (i) = 2 ³ X ´ 2µij D(~u(j) ) + λij div ~u(j) I , i = 1, 2, (55) j=1 ãäå pi äàâëåíèå i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè, σ (i) âÿçêàÿ ÷àñòü òåíçîðà i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, D òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé ³ ³ íàïðÿæåíèé ¡ w~ ¢∗ ´´ w ~ + ∂∂x D(w) ~ = 12 ∂∂x , I åäèíè÷íûé òåíçîð, êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè λij è µij â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò çàâèñåòü îò òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ. Ïðèíèìàÿ ãèïîòåçó ëîêàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè, ìû ìîæåì ââåñòè â ðàññìîòðåíèå òåìïåðàòóðó θi i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè è, íàðÿäó ñ âíóòðåííåé ýíåðãèåé Ui , èñïîëüçîâàòü è äðóãèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû: ýíòðîïèþ si , ýíòàëüïèþ ii è ò. ä. Ñîñòàâëÿþùèå êîìïîíåíòû ñìåñè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ñðåäû (òåðìîäèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè êîìïîíåíòû çàâèñÿò òîëüêî îò äâóõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ), ò. å. Ui = Ui (ρi , θi ), pi = pi (ρi , θi ), si = si (ρi , θi ), i = 1, 2, ïðè÷åì ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ Ãèááñà µ ¶ 1 θi d si = d Ui + pi d , i = 1, 2. ρi (56) (57) Èç ðàâåíñòâ (57), ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé (56), ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ pi = θi ∂pi ∂Ui + ρ2i , i = 1, 2. ∂θi ∂ρi 24 (58) Äàëåå, â ñîîòâåòñòâèè ñ îáîáùåííûì çàêîíîì Ôóðüå, çàäàäèì âåêòîð òåïëîâîãî ïîòîêà ~q(i) i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè ~q(i) = −ki ∇θi , i = 1, 2, (59) ãäå ki = ki (ρi , θi ) òåïëîïðîâîäíîñòü i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè. ×òî êàñàåòñÿ âûðàæåíèé, îïðåäåëÿþùèõ èíòåíñèâíîñòü îáìåíà èìïóëüñîì J~(i) è ýíåðãèåé Γi ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ñìåñè, òî èõ îáû÷íî ñ÷èòàþò ïðîïîðöèîíàëüíûìè ðàçíîñòè ñêîðîñòåé è òåìïåðàòóð: J~(i) = (−1)i+1 c(~u(2) − ~u(1) ), c = const > 0, i = 1, 2, (60) c Γi = (−1)i+1 b(θ2 − θ1 ) + |~u(1) − ~u(2) |2 , i = 1, 2, b = const > 0. (61) 2 Òàêèì îáðàçîì, çàìêíóòàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé æèäêîñòåé ìîæåò áûòü îáðàçîâàíà èç óðàâíåíèé (45), (48), (53), (55)-(56), (58)-(61), ê êîòîðûì íóæíî äîáàâèòü âûðàæåíèÿ äëÿ ki , λij è µi,j , i, j = 1, 2. 3.3 Îäíîñêîðîñòíàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé Òàê íàçûâàåìûé "îäíîñêîðîñòíîé" ïîäõîä îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïèñàíèè òàê íàçûâàåìûõ ãîìîãåííûõ ñìåñåé, ñîñòîÿùèõ èç õîðîøî ïåðåìåøàííûõ êîìïîíåíò â æèäêîé èëè ãàçîîáðàçíîé ôàçå, à òàêæå ðàñòâîðîâ. Ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå ñìåñü â öåëîì, ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: N X ïëîòíîñòü ñìåñè: ρ = ρi , i=1 ñêîðîñòü (áàðèöåíòðè÷åñêàÿ) öåíòðà ìàññ ñìåñè: ρ~u = N X ρi ~u(i) . i=1 Òîãäà êîíöåíòðàöèÿ i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé: ρi ci = , i = 1, ..., N . ρ  ñëó÷àå áèíàðíîé (N = 2) ñìåñè ïîëîæèì c1 = c. Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ c1 + c2 = 1 ïîëó÷èì, ÷òî c2 = 1 − c. Èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ òàê íàçûâàåìûìè äèôôóçèîííûìè ñêîðîñòÿìè ~v (i) = ~u(i) − ~u, i = 1, ..., N, ïðåäñòàâëÿþùèìè ñîáîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ èëè ñðåäû â öåëîì. Ñóììèðóÿ óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ êîìïîíåíò (44), ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (42) ïîëó÷èì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ ñìåñè â öåëîì: ∂ρ + div(ρ~u) = 0. ∂t (62) Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñìåñè â öåëîì èìååò îáû÷íûé âèä, òî åñòü îíî "íå ÷óâñòâóåò" îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ. 25 Ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèè (äëÿ ïðîñòîòû ðàññìàòðèâàåòñÿ áèíàðíàÿ ñìåñü), õàðàêòåðèçóþùåé ñîñòàâ ñìåñè, ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èçìåíÿåòñÿ. Èçìåíåíèå êîíöåíòðàöèè ïðîèñõîäèò äâóìÿ ïóòÿìè. Âî-ïåðâûõ, ïðè ìèêðîñêîïè÷åñêîì äâèæåíèè æèäêîñòè êàæäûé äàííûé åå ó÷àñòîê ïåðåäâèãàåòñÿ êàê öåëîå ñ íåèçìåííûì ñîñòàâîì. Ýòèì ïóòåì îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷èñòî ìåõàíè÷åñêîå ïåðåìåøèâàíèå æèäêîñòè; õîòÿ ñîñòàâ êàæäîãî ïåðåäâèãàþùåãîñÿ ó÷àñòêà æèäêîñòè íå ìåíÿåòñÿ, íî â êàæäîé äàííîé íåïîäâèæíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà êîíöåíòðàöèÿ íàõîäÿùåéñÿ â ýòîì ìåñòå æèäêîñòè áóäåò ñî âðåìåíåì ìåíÿòüñÿ. Òàêîå èçìåíåíèå êîíöåíòðàöèè ÿâëÿåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêè îáðàòèìûì ïðîöåññîì è íå âåäåò ê äèññèïàöèè ýíåðãèè. Âî-âòîðûõ, èçìåíåíèå ñîñòàâà ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïóòåì ìîëåêóëÿðíîãî ïåðåíîñà âåùåñòâ ñìåñè èç îäíîãî ó÷àñòêà æèäêîñòè â äðóãîé. Âûðàâíèâàíèå êîíöåíòðàöèè ïóòåì òàêîãî íåïîñðåäñòâåííîãî èçìåíåíèÿ ñîñòàâà êàæäîãî èç ó÷àñòêîâ æèäêîñòè íàçûâàåòñÿ äèôôóçèåé. Äèôôóçèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì íåîáðàòèìûì è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàðÿäó ñ òåïëîïðîâîäíîñòüþ è âÿçêîñòüþ îäèí èç èñòî÷íèêîâ äèññèïàöèè ýíåðãèè â æèäêîé ñìåñè. Ïðè îòñóòñòâèè äèôôóçèè ñîñòàâ êàæäîãî äàííîãî ýëåìåíòà æèäêîñòè îñòàâàëñÿ áû íåèçìåííûì ïðè åãî ïåðåäâèæåíèè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëíàÿ dc ïðîèçâîäíàÿ áûëà áû ðàâíà íóëþ, ò. å. èìåëî áû ìåñòî óðàâíåíèå dt ∂c dc = + ~u · ∇c = 0, dt ∂t d ∂ ãäå = +~v · ∇ áàðèöåíòðè÷åñêàÿ ñóáñòàíöèîíàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Ýòî dt ∂t óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ (62) â âèäå ∂ (ρc) + div(ρc~u) = 0, ∂t ò. å. â âèäå óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè äëÿ îäíîãî èç âåùåñòâ ñìåñè (ρc åñòü ìàññà îäíîãî èç âåùåñòâ ñìåñè â åäèíèöå îáúåìà). Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ïî ïðîèçâîëüíîìó îáúåìó Ω, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî Z Z ∂ ρc dx = − ρc~u · ~n dσ, ∂t Ω ∂Ω êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äàííîãî âåùåñòâà â îáúåìå Ω ðàâíî êîëè÷åñòâó ýòîãî âåùåñòâà, ïåðåíîñèìîìó äâèæóùåéñÿ æèäêîñòüþ ÷åðåç ãðàíèöó îáúåìà. Ïðè íàëè÷èè äèôôóçèè, íàðÿäó ñ ïîòîêîì ρc~u äàííîãî âåùåñòâà âìåñòå ñî âñåé æèäêîñòüþ èìååòñÿ åùå è äðóãîé ïîòîê, êîòîðûé ïðèâîäèò ê ïåðåíîñó âåùåñòâ â ñìåñè äàæå ïðè îòñóòñòâèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè â öåëîì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç J~ ïëîòíîñòü ýòîãî äèôôóçèîííîãî ïîòîêà, ò. å. êîëè÷åñòâî ðàññìàòðèâàåìîãî âåùåñòâà, ïåðåíîñèìîãî ïóòåì äèôôóçèè â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíèöó ïîâåðõíîñòè (ñóììà ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ îáîèõ âåùåñòâ äîëæíà áûòü ðàâíà ρ~u, ïîýòîìó, åñëè ïëîòíîñòü ïîòîêà îäíîãî èç íèõ åñòü ρc~u + J~, òî äðóãîãî ρ(1 − c)~u − J~). Òîãäà çàêîí èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà ýòîãî âåùåñòâà â ïðîèçâîëüíîì îáúåìå Ω èìååò âèä Z Z Z ∂ ρc dx = − ρc~u · ~n dσ − J~ · ~n dσ ∂t Ω ∂Ω ∂Ω 26 èëè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå ∂ ~ (ρc) + div(ρc~u) = −divJ. ∂t (63) Îáðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè (45) äëÿ äàííîé êîìïîíåíòû ñìåñè, âèäèì, ÷òî J~ = ρc(~u(1) − ~u). Åñëè ñêîðîñòü ~u(1) äàííîé êîìïîíåíòû îïðåäåëèòü ÷åðåç ñðåäíþþ ñêîðîñòü ~u ñ ïîìîùüþ çàêîíà Ôèêà: ~u(i) = ~u − òî D ∇c, c J~ = −ρD∇c, (64) (65) ãäå D > 0 íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè; îí îïðåäåëÿåò äèôôóçèîííûé ïîòîê ïðè íàëè÷èè îäíîãî òîëüêî ãðàäèåíòà êîíöåíòðàöèè êîìïîíåíòû c. Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî ñèñòåìû (44) (èëè (45)), îïèñûâàþùåé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû äëÿ êàæäîé èç êîìïîíåíò ñìåñè, â ñëó÷àå áèíàðíîé ñìåñè èñïîëüçóåòñÿ ýêâèâàëåíòíàÿ åé ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñìåñè â öåëîì (62) è óðàâíåíèÿ äëÿ êîíöåíòðàöèè (63). Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñìåñè â öåëîì ðàññìàòðèâàåòñÿ â âèäå: 0 ∂ (ρ~u) + div(ρ~u ⊗ ~u) = divP + ρF~ , ∂t 0 P = −pI + 2µD(~u) + λ div ~u I, (66) (67) ãäå p äàâëåíèå, I åäèíè÷íûé òåíçîð, D(~u) òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé, îïðåäåëÿåìûé âåêòîðîì áàðèöåíòðè÷åñêîé ñêîðîñòè ~u. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïèøåòñÿ â âèäå 0 ∂E + div(E~u) = div(~uP ) − div ~q, ∂t (68) ¡ ¢ ãäå E = ρ U + 12 |~u|2 ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñìåñè, U óäåëüíàÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, ~q âåêòîð òåïëîâîãî ïîòîêà, âîçíèêàþùèé (êàê è äèôôóçèîííûé ïîòîê J~) â ðåçóëüòàòå íàëè÷èÿ â æèäêîñòè ãðàäèåíòîâ êîíöåíòðàöèè è òåìïåðàòóðû. Îäèí èç âàðèàíòîâ çàäàíèÿ âåêòîðà ~q: ~q = −k∇θ, ãäå θ > 0 òåìïåðàòóðà ñìåñè, k > 0 êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ñìåñè. Óðàâíåíèå ýíåðãèè (68) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì äëÿ ñìåñè äâóõ âåùåñòâ: dU = θds + p dρ + mdc. ρ2 27 (69) Çäåñü m ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì îïðåäåëåííûé õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ñìåñè, s ýíòðîïèÿ.  ñèëó óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè (62) è èìïóëüñà (66) èç óðàâíåíèÿ (68) ñëåäóåò óðàâíåíèå äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè 0 ∂ (ρU ) + div(ρU~u) = P : ∇~u − div ~q − ρ~u · F~ . ∂t (70) Èç (69) è (70) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå èçìåíåíèå ýíòðîïèè ρθ 0 ∂s + θ(ρ~u · ∇)s = p div~u + P : ∇~u − div ~q + m div J~ − ρ~u · F~ . ∂t (71) Ìû ïîëó÷èëè, òàêèì îáðàçîì, ïîëíóþ ñèñòåìó ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ æèäêèõ ñìåñåé. Ýòèìè óðàâíåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ: óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû) (62), óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà) (66), (67), óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ îäíîé èç êîìïîíåíò ñìåñè (63), óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå èçìåíåíèå ýíòðîïèè (71). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (63) è (71) ñòàíîâÿòñÿ îïðåäåëåííûìè ïðè ïîäñòàíîâêå J~ è ~q, âûðàæåííûõ ÷åðåç ãðàäèåíòû òåìïåðàòóðû è êîíöåíòðàöèè. 3.4 Óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàçàòü, ÷òî ëàãðàíæåâà ôîðìà óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè è ýéëåðîâà åãî ôîðìà ýêâèâàëåíòíû. 2. Âûïèñàòü óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, åñëè îáå êîìïîíåíòû íåñæèìàåìû. 3. Âûïèñàòü óðàâíåíèå áàëàíñà èìïóëüñà i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, åñëè îáå êîìïîíåíòû íåñæèìàåìû, à äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâèâøåìñÿ. 4. Âûâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé ýêâèâàëåíò âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ "ìíîãîñêîðîñòíîé" ìîäåëè ñìåñè, ïðåäïèñûâàþùåãî ïîëîæèòåëüíîñòü ïðîèçâîäñòâà ýíòðîïèè. 5. Âûâåñòè ìàòåìàòè÷åñêèé ýêâèâàëåíò âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ "îäíîñêîðîñòíîé" ìîäåëè ñìåñè. 4 Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè Ðàññìîòðèì ìîäåëü ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû, îïèñûâàþùóþ èçîòåðìè÷åñêîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. Áóäåì ðàññìàòðèâàåìóþ ñðåäó ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé, ò.å. ïðèìåì ÷òî ρi = const > 0, 28 i = 1, 2 (72) è äâèæåíèå ïðåäïîëàãàòü óñòàíîâèâøèìñÿ (ñòàöèîíàðíûì) ∂~u(i) = 0, ∂t (73) i = 1, 2. Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (45) è áàëàíñà èìïóëüñà (49) ïðèìóò ñîîòâåòñòâåííî âèä (i) (i) (i) ∂u1 ∂u2 ∂u3 + + = 0, ∂x ∂y ∂z à ρi (i) (i) ∂u1 u1 ∂x + (i) (i) ∂u1 u2 + (i) (i) ∂u2 u2 + (i) (i) ∂u3 u2 ∂y à ρi (i) (i) ∂u2 u1 ∂x ∂y à ρi (i) (i) ∂u3 u1 ∂x (i) ∂y i+1 ãäå Jk = (−1) + (i) (i) ∂u1 u3 + (i) (i) ∂u3 u3 + (i) (i) ∂u3 u3 ! =− ∂z ∂z ³ ´ (2) (1) c uk − uk , ∂pi (1) (2) (i) +µi1 ∆u1 +µi2 ∆u1 +J1 , ∂x i = 1, 2, (75) ! =− ∂z (74) i = 1, 2, ∂pi (1) (2) (i) +µi1 ∆u2 +µi2 ∆u2 +J2 , ∂y i = 1, 2, (76) ! =− ∂pi (i) (2) (1) +µi1 ∆u3 +µi2 ∆u3 +J3 , ∂z i = 1, 2, (77) k = 1, 2, 3, ∆ = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y 2 + ∂2 ∂z 2 . Îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè µij , i, j = 1, 2 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî µ11 > 0, µ22 > 0, 4µ11 µ22 − (µ12 + µ21 )2 > 0. Çà÷àñòóþ â ìîäåëÿõ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä ãèïîòåçà î ãåîìåòðèè ëèíèé òîêà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå. Íèæå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî àíàëîãè÷íîå ïîëîæåíèå äåë èìååò ìåñòî è â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ ñðåä. Ðàññìîòðèì ïðÿìîëèíåéíî-ïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè, ïðîñòèðàþùèìèñÿ â íàïðàâëåíèè îñåé x1 è x3 äî áåñêîíå÷íîñòè (ðèñ.1). Ðèñ. 4.1. Ê òå÷åíèþ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè 29 Îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåíêàìè ÷åðåç 2h. Íà÷àëî îñè x2 âîçüìåì íà ñðåäíåé ëèíèè ìåæäó ñòåíêàìè. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î ïëîñêîïàðàëëåëüíîñòè äâèæåíèÿ è èç óðàâíåíèé (74) ñëåäóåò, ÷òî ³ ´ ~u(i) = u(i) , 0, 0 , ∂u(i) = 0, ∂x1 i = 1, 2.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (75)-(77) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä: ³ 2 (1) ´ ³ 2 (2) ´ ∂ u ∂ 2 u(1) ∂ u ∂ 2 u(2) ∂pi = µ + + µ + + 2 2 2 2 i1 i2 ∂x1 ∂x ∂x ∂x ∂x 2 i+1 + (−1) 3 2 ¡ ¢ c u(2) − u(1) , ∂pi ∂pi = = 0, ∂x2 ∂x3 3 (78) (79) i = 1, 2, (80) i = 1, 2. Èç óðàâíåíèé (78) è (80) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî u(i) = u(i) (x2 , x3 ) , pi = pi (x1 ) , i = 1, 2. (81) ßñíî, ÷òî ðàâåíñòâà (79) ìîãóò èìåòü ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáå ÷àñòè óðàâíåíèé µ 2 (1) ¶ µ 2 (2) ¶ ∂pi ∂ 2 u(1) ∂ 2 u(2) ∂ u ∂ u + + = µi1 + µi2 + ∂x1 ∂x22 ∂x23 ∂x22 ∂x23 + (−1) i+1 ³ ´ c u(2) − u(1) , i = 1, 2, ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç ki , i = 1, 2. ∂pi = ki ïîëó÷àåì, ÷òî Èç ðàâåíñòâ ∂x 1 pi = ki x1 + Ci , i = 1, 2. (82) Äëÿ ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ âèäà ïðÿìîé (82), õàðàêòåðèçóþùåé èçìåíåíèå äàâëåíèÿ âäîëü îñè x1 äëÿ i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè, ò.å. äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ ki è Ci , äîñòàòî÷íî çàäàòü çíà÷åíèÿ äàâëåíèé p1i è p2i â êàêèõ ëèáî äâóõ ñå÷åíèÿõ îáúåìà, çàíèìàåìîãî ñìåñüþ (íàïðèìåð, ïðè x1 = 0 è x1 = l). Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ u(1) è u(2) êàæäîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ êîìïîíåíò ñìåñè æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîñòîÿííûå ki çàäàíû. Äëÿ ïðîñòîòû ïðèìåì, ÷òî k1 = k2 = k . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ u(1) è u(2) íà îñíîâàíèè (79) è (82) èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé: ´ ³ 2 (2) ´ ³ 2 (1) ∂ 2 u(1) ∂ 2 u(2) ∂ u ∂ u µi1 ∂x2 + ∂x2 + µi2 ∂x2 + ∂x2 + 2 3 2 3 (83) ¡ ¢ i+1 + (−1) c u(2) − u(1) = k, i = 1, 2. Óðàâíåíèÿ (83) íåîáõîäèìî äîïîëíèòü ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íèæíÿÿ ãðàíèöà (ñòåíêà) ïåðåìåùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 30 V1 , à âåðõíÿÿ - ñî ñêîðîñòüþ V2 . Òîãäà, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì óñëîâèÿì íà ãðàíèöå: u(i) |x2 =−h = V1 , u(i) |x2 =h = V2 , i = 1, 2. (84) Ðåøåíèå çàäà÷è (83)-(84) ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ñëåäóþùèõ äâóõ ñëó÷àåâ. 1) Åñëè µ12 + µ22 6= 0, òî ñíà÷àëà îïðåäåëèì ôóíêöèþ u(1) êàê ðåøåíèå îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ∂ 2 u(1) ∂x22 δ (1) − c 2h u = ψ= δ 2h (V2 k ∆ (µ22 − µ12 ) − c ∆ψ − ck 2 ∆ x2 , − V1 )x2 + 2δ (V1 + V2 ) − kh2 (85) ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ u(1) |x2 =−h = V1 , u(1) |x2 =h = V2 . (86) Çäåñü δ = µ11 + µ12 + µ21 + µ22 > 0, ∆ = µ11 µ22 − µ12 µ21 > 0. Êðàåâàÿ çàäà÷à (85)-(86) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé √ δ √ δ u(1) = C1 e c ∆ x2 + C2 e− c ∆ x2 + Ax22 + Bx2 + C, (87) ãäå 2k∆ k 1 kh2 − (µ22 − µ12 ) + (V1 + V2 ) − , 2 cδ cδ 2 δ √ √ √ δ F − e2 c ∆δ h F √ δ √ δ F − e2 c ∆δ h F 1 c∆h 3 c∆ h 2 c∆h 2 √ δ √ δ 1, , C2 = e C1 = e F1 − e h h 4 c∆ 4 c∆ 1−e 1−e A= k , δ B= 1 (V2 − V1 ) , 2h C= F1 = V1 − Ah2 + Bh − C, F2 = V2 − Ah2 − Bh − C. Çíàÿ òåïåðü u(1) , íàéäåì u(2) èç ñëåäóþùåãî âûðàæåíèÿ: u(2) = 1 µ11 − µ21 (1) (ψ + kx22 ) − u . µ12 + µ22 µ12 + µ22 (88) 2) Åñëè µ12 +µ22 = 0, òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ u(1) , ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷å: ∂ 2 u(1) (µ11 + µ21 ) = 2k, (89) ∂x22 u(1) |x2 =−h = V1 , u(1) |x2 =h = V2 . (90) Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå µ12 + µ21 6= 0, òî ðåøåíèå çàäà÷è (89)-(90) åäèíñòâåííî è èìååò âèä u(1) = ãäå C1 = k x2 + C1 x2 + C2 , µ11 + µ21 2 1 (V2 − V1 ), 2h C2 = 31 1 kh22 (V1 + V2 ) − . 2 µ11 + µ21 (91) Äàëåå, îïðåäåëèì ôóíêöèþ u(2) êàê ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è: ∂ 2 u(2) ∂x22 − c (2) µ22 u k µ11 −µ21 µ22 µ11 +µ21 = − 2µc22 h (V2 − V1 )x2 − c 2µ22 (V1 u(2) |x2 =−h = V1 , − x22 ck µ22 µ11 +µ21 − + V2 ) + (92) ckh2 µ22 (µ11 +µ21 ) , u(2) |x2 =h = V2 , (93) îáùåå ðåøåíèå êîòîðîé ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå √ c √ x − µc x2 22 u(2) = C1 e µ22 2 + C2 e + Ax2 + Bx + C, (94) ãäå A= k µ11 +µ21 , √ C1 = e c µ22 h B= F1 − e 1 2h (V2 3 √ c µ22 − V1 ), h F2 −e C= 2 1−e √ 4 c µ22 √ µ22 2k c µ11 +µ21 h c µ22 F1 = V1 − Ah2 + Bh − C, F1 h , + 12 (V1 + V2 ) − kh2 µ11 +µ21 − k c √ √ c F − e2 µc22 h F 2 1 µ22 h √ C2 = e , 4 µc h 22 1−e F2 = V2 − Ah2 − Bh − C. Òàêèì îáðàçîì çàäà÷à î äâèæåíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè ïîëíîñòüþ ðåøåíà. Çàìåòèì, ÷òî åñëè â óðàâíåíèÿõ (75)-(77) ìû íå áóäåì áðàòü â ðàñ÷åò ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîñòàâëÿþùèìè ñìåñè (ò.å. ñëàãàåìûå (−1)i+1 c(~u(2) −~u(1) )), òî ðåøåíèå çàäà÷è (83)-(84) â ýòîì ñëó÷àå èìååò ñëåäóþùèé âèä: u(1) = − k 1 1 (µ22 − µ12 )(h2 − x22 ) + (V2 − V1 )x2 + (V1 + V2 ), 2∆ 2h 2 (95) k 1 1 (µ11 − µ21 )(h2 − x22 ) + (V2 − V1 )x2 + (V1 + V2 ). (96) 2∆ 2h 2 Ïðîâåäåì ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ äîñòàâëÿåìûõ ïðåäïîëîæåííîé ìîäåëüþ ñìåñè è êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ, îïèñûâàþùåé òå÷åíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáå êîìïîíåíòû ñìåñè ôèçè÷åñêè íåðàçëè÷èìû, ò.å. µ11 = µ22 = µ, µ12 = µ21 = 0. Òîãäà, èç (87), (88), (95) è (96) ñëåäóåò, ÷òî u(2) = − u(1) = u(2) = u(1) = u(2) = − k 2 1 1 (h − x22 ) + (V2 − V1 ) x2 + (V1 + V2 ). (97) 2µ 2h 2 ßñíî, ÷òî êàðòèíà äâèæåíèÿ òàêîé ñìåñè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò òå÷åíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè. Òàêæå ñîõðàíÿåòñÿ âñå êà÷åñòâåííûå çàâèñèìîñòè (ðàñõîä, ñðåäíÿÿ è ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ è äð.) ïðèñóùèå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. 32 µ11 −µ21 µ11 +µ21 , Òåïåðü, âûÿñíèì âîïðîñ î âëèÿíèè íà ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó òå÷åíèÿ ñìåñè ñëàãàåìûõ, îòâåòñòâåííûõ çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó åå ñîñòàâëÿþùèìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì çàäàäèì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè µ11 = 0.1, µ12 = 0.02, µ21 = 0.01, µ22 = 0.3; çíà÷åíèÿ ïåðåïàäà äàâëåíèÿ - k = 200; ðàññòîÿíèå ìåæäó ñòåíêàìè - h = 10; ñòåíêè áóäåì ñ÷èòàòü íåïîäâèæíûìè, ò.å. V1 = 0, V2 = 0. Ïîñòðîèì ãðàôèêè ôóíêöèé u(i) , ū(i) , i = 1, 2, èçìåíÿÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà c â ïðåäåëàõ îò 0.0001 äî 0.1. ¯ - u(1) , · · · ¯ - ū(1) max ¯u(1) − ū(1) ¯ = 2694.6 max [−10;10] [−10;10] -¯ u(2) , · · · -¯ū(2) ¯u(2) − ū(2) ¯ = 926.3 Ðèñ. 4.2. c = 0.0001 - u(1) , · ·¯· - ū(1) ¯(1) ¯ max u − ū(1) ¯ = 17966.9 ¯ - u(2) , · · · ¯- ū(2) max ¯u(2) − ū(2) ¯ = 6176.1 [−10;10] [−10;10] Ðèñ. 4.3. c = 0.001 33 - u(1) , ·¯· · - ū(1) ¯ (1) ¯ max u − ū(1) ¯ = 41166.1 - u(2) , · · ·¯ - ū(2) ¯ (2) ¯ max u − ū(2) ¯ = 14150.8 [−10;10] [−10;10] Ðèñ. 4.4. c = 0.01 - u(1) , ·¯· · - ū(1) ¯ (1) max ¯u − ū(1) ¯ = 46790.5 - u(2) , · · ·¯ - ū(2) ¯ (2) max ¯u − ū(2) ¯ = 16084.2 [−10;10] [−10;10] Ðèñ. 4.5. c = 0.1 Èç äàííûõ ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà c, ìàêñèìóì ðàçíîñòè ïî ìîäóëþ ìåæäó u(i) è ū(i) âîçðàñòàåò. Êîãäà c äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ 1, òî ýòà ðàçíèöà èìååò ïîðÿäîê 1027 . Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñìåñè, ñëàãàåìûå îòâåòñòâåííûå çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó åå ñîñòàâëÿþùèìè ñïîñîáíû ñóùåñòâåííî âëèÿòü íà ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó òå÷åíèÿ. 34 4.1 Óïðàæíåíèÿ 1.  êëàññå ãëàäêèõ ôóíêöèé äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (83)(84). 2. Ðàññ÷èòàòü îáúåìíûé ðàñõîä, ñðåäíþþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ñèëó òðåíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü ìîäåëè ñìåñè. 3. Íàéòè åùå îäèí ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è îá óñòàíîâèâøåìñÿ òå÷åíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòåíêàìè. Ñðàâíèòü ðåøåíèÿ. 5 Ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå. Âûáåðåì äåêàðòîâû îñè êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû îñü z áûëà íàïðàâëåíà ïî îñè òðóáû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Σ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < R2 } ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáû ïëîñêîñòüþ Oxy , êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðóã ðàäèóñà R è ÷åðåç C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = R2 } êîíòóð, îãðàíè÷èâàþùèé Σ (ñì. Ðèñ. 5.1). Áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ëèíèè òîêà ïðÿìûå, (i) (i) (i) ïàðàëëåëüíûå îñè z , èíà÷å ãîâîðÿ, ïðèìåì, ÷òî u1 = u2 = 0, u3 6= 0, i = 1, 2. Ðèñ. 5.1. Ê òå÷åíèþ ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé â öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé (45), (49) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä: (i) ∂u3 = 0, ∂z ∂pi ∂pi = = 0, ∂x ∂y 35 i = 1, 2, i = 1, 2, (98) (99) µ ∂pi ∂z = µi1 (1) ∂ 2 u3 ∂x2 + (1) ∂ 2 u3 ∂y 2 ³ i+1 + (−1) c· ¶ µ + µi2 (2) u3 − (1) u3 (2) ∂ 2 u3 ∂x2 + (2) ∂ 2 u3 ∂y 2 ¶ + ´ , (100) i = 1, 2. Çàìåòèì, ÷òî áëàãîäàðÿ ïðèíÿòûì ïðåäïîëîæåíèÿì, çàäà÷à î äâèæåíèè ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå ñòàëà ëèíåéíîé. Ê ñèñòåìå óðàâíåíèé (98)-(100) ïðèñîåäèíèì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: (i) u3 |x2 +y2 =R2 = 0, (i) u3 |x2 +y2 =0 < ∞, pi |z=0 = p1i , pi |z=l = p2i , i = 1, 2, i = 1, 2, (101) (102) ãäå l = const > 0. Çàìåòèì, ÷òî èç (98) è (99) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî (i) (i) u3 = u3 (x, y) , i = 1, 2 (103) è pi = pi (z) , (104) i = 1, 2. ßñíî, ÷òî ðàâåíñòâî (100) ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî òîãäà, êîãäà îáå ÷àñòè óðàâíåíèé à ! à ! (1) (1) (2) (2) ∂pi ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 + µi2 + = µi1 + + ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 i+1 + (−1) ³ ´ (2) (1) c · u3 − u3 , ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè. i Îáîçíà÷èâ ∂p ∂z ÷åðåç −ki (ki = const > 0, pi = −ki z + Ci , i = 1, 2 i = 1, 2), áóäåì èìåòü i = 1, 2, ãäå Ci , i = 1, 2 - ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Âåëè÷èíà ∂pi ki = − ∂z (105) (106) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå äàâëåíèÿ âäîëü îñè òðóáû äëÿ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, îòíåñåííîå ê åäèíèöå äëèíû òðóáû, è íàçûâàåòñÿ ïåðåïàäîì äàâëåíèÿ âäîëü îñè òðóáû i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè. Äëÿ ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ âèäà ïðÿìîé (105), õàðàêòåðèçóþùåé èçìåíåíèå äàâëåíèÿ âäîëü îñè òðóáû äëÿ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, ò.å. äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåïàäîâ äàâëåíèé ki è ïîñòîÿííûõ Ci , äîñòàòî÷íî çàäàòü çíà÷åíèÿ äàâëåíèé p1i è p2i â êàêèõ-ëèáî äâóõ ñå÷åíèÿõ òðóáû (ñì. ãðàíè÷íîå óñëîâèå (102)). Òàêèì îáðàçîì, ïîäñòàâëÿÿ â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (102) ñîîòíîøåíèÿ (105) ïîëó÷àåì, ÷òî pi = − p0i − p1i z + p0i , l 36 i = 1, 2. (107) Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êàæäîé (1) (2) èç ðàññìàòðèâàåìûõ êîìïîíåíò ñìåñè æèäêîñòåé u3 è u3 â òðóáå ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðåïàäû äàâëåíèé ki i-îé ñîñòàâëÿþùåé ñìåñè çàäàíû è ðàâíû k = const > 0. (1) (2) Äëÿ îïðåäåëåíèÿ u3 è u3 íà îñíîâàíèè (100) è (106) èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé: ¶ µ ¶ µ (1) (2) (2) (1) ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 ∂ 2 u3 + + µ + + µi1 i2 ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 (108) ³ ´ (2) (1) i+1 + (−1) c · u3 − u3 = −k, i = 1, 2, êîòîðóþ äîïîëíèì ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïðèëèïàíèÿ (101) íà êîíòóðå C : (i) (i) u3 |x2 +y2 =R2 = 0, u3 |x2 +y2 =0 < ∞, i = 1, 2. (109) Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ (108), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: (110) ∆w = −2k, w|x2 +y2 =R2 = 0, (111) w|x2 +y2 =0 < ∞, (2) (1) 2 2 ∂ ∂ ãäå w = (µ11 + µ21 ) u3 + (µ12 + µ22 ) u3 , ∆ = ∂x 2 + ∂y 2 . Ýòà çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: w (x, y) = ¢¢ k¡ 2 ¡ 2 R − x + y2 . 2 (112) Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåõîäÿ â (110) ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ââåäÿ íîâûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ïî ôîðìóëàì x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷å: d2 w 1 dw + = −2k, dr2 r dr (113) w|r=R = 0, w|r=0 < ∞. (114) Ïåðåïèñàâ îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (113) â âèäå µ ¶ d dw r = −2kr, dr dr (115) ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ k w (r) = − r2 + C1 ln |r| + C2 , 2 (116) ãäå Ci , i = 1, 2 - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîäñòàâëÿÿ (116) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (114) è âîçâðàùàÿñü ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, â èòîãå, ïîëó÷àåì ðåøåíèå (112) çàäà÷è (110)-(111). Äàëüíåéøåå ðåøåíèå çàäà÷è (108)-(109) áóäåò ðàçäåëåíî íà äâà ýòàïà. Ýòàï 1. Ïóñòü µ11 + µ21 6= 0. Òîãäà, èç (108) ñëåäóåò, ÷òî (1) u 3 (x, y) = ¡ 2 ¡ 2 ¢¢ µ12 + µ22 (2) k u . R − x + y2 − 2 (µ11 + µ21 ) µ11 + µ21 3 37 (117) Ïîäñòàâèì (117) â ïåðâîå óðàâíåíèå (108) è ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó äëÿ (2) îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè u3 : ¡ ¡ ¢¢ (2) (2) ∆u3 − Au3 = −B R2 − x2 + y 2 + C, (2) u3 |x2 +y2 =R2 = 0, ãäå A=c δ > 0, ∆ B=c (2) u3 |x2 +y2 =0 < ∞, k > 0, 2∆ ∆ = µ11 µ22 − µ12 µ21 > 0, íèå. C=− i = 1, 2, (118) (119) k (µ11 − µ21 ), ∆ δ = µ11 + µ12 + µ21 + µ22 > 0. Ò.ê. ïîñòîÿííàÿ A > 0, òî çàäà÷à (118)-(119) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøå- Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (118)-(119) ïåðåéäåì ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (r, ϕ). Ââåäåì íîâûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ïî ôîðìóëàì x = r cos ϕ, y = r sin ϕ è ïåðåïèøåì (118)-(119) ñëåäóþùèì îáðàçîì: (2) (2) ¡ ¢ d2 u 3 1 du3 (2) + − Au3 = −B R2 − r2 + C, 2 dr r dr (2) u3 |r=R = 0, (2) u3 |r=0 < ∞, i = 1, 2. (120) (121) Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (120) ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèöèðîâàííûì óðàâíåíèåì Áåññåëÿ, åãî îáùåå ðåøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä: (2) u3 (r) = C1 I0 ³√ ´ ³√ ´ A(BR2 − Br2 − C) − 4B Ar + C2 K0 Ar + , A2 (122) R∞ P∞ (r2 /4)k ) √ ãäå I0 (r) = k=0 (k!)2 è K0 (r) = 0 cos(rτ dτ - ìîäèôèöèðîâàííûå ôóíêτ 2 +1 öèè Áåññåëÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñîîòâåòñòâåííî, Ci , i = 1, 2 - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ðèñ. 5.2. Ãðàôèê ôóíêöèè I0 (r) 38 Ðèñ. 5.3. Ãðàôèê ôóíêöèè K0 (r) Ïîäñòàâèì òåïåðü ðåøåíèå (122) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (121), ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è (120)-(121): ³√ ´ A ¡BR2 − Br2 − C ¢ − 4B AC + 4B (2) ³ ´ u3 (r) = I0 Ar + . (123) √ A2 A2 I0 AR Èç ôîðìóë (117) è (123) íàõîäèì, ÷òî ¡ ¢ (1) u3 (r) = 2(µ11k+µ21 ) R2 − r2 − µ ³√ ´ A BR2 −Br2 −C −4B ¶ ( ) µ12 +µ22 AC+4B √ Ar + . − µ11 +µ21 A2 I AR I0 A2 ) 0( (124) Âîçâðàùàÿñü ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, â èòîãå, ïîëó÷èì ðåøåíèå çàäà÷è (108)-(109) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå (ò.å. êîãäà µ11 + µ21 6= 0): ¡ ¡ ¢¢ (1) u3 (x, y) = 2(µ11k+µ21 ) R2 − x2 + y 2 − µ ´ A BR2 −B x2 +y2 −C −4B ¶ (125) ³p ( ( ) ) µ12 +µ22 AC+4B 2 2 A (x + y ) + − µ11 +µ21 A2 I √AR I0 , A2 ) 0( ³p ´ (2) 2 + y2 ) + √ u3 (x, y) = A2AC+4B I A (x 0 I0 ( AR) (126) A(BR2 −B (x2 +y 2 )−C )−4B + . 2 A Ýòàï 2. Ïóñòü µ11 + µ21 = 0. Òîãäà, µ12 + µ22 6= 0 (ïîñêîëüêó δ > 0). Èç (112), â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò, ÷òî (2) u 3 (x, y) = ¡ 2 ¡ 2 ¢¢ k R − x + y2 . 2 (µ12 + µ22 ) (127) Ïîäñòàâèì (127) â ïåðâîå óðàâíåíèå (108), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó äëÿ (1) îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè u3 : ¡ ¡ ¢¢ (1) (1) ∆u3 − Au3 = −B R2 − x2 + y 2 + C, (1) u3 |x2 +y2 =R2 = 0, (1) u3 |x2 +y2 =0 < ∞, 39 i = 1, 2, (128) (129) ãäå A= c > 0, µ11 B= ck > 0, 2µ11 (µ12 + µ22 ) C= k µ12 − µ22 · . µ11 µ12 + µ22 Ðåøåíèå çàäà÷è (128)-(129) ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî ðåøåíèþ çàäà÷è (120)-(121) (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííûõ A, B è C ). Ïåðåõîäÿ â (128)-(129) ê ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïîëó÷àåì ³√ ´ A ¡BR2 − Br2 − C ¢ − 4B AC + 4B (1) ³√ ´ I0 u3 (r) = Ar + . (130) A2 A2 I0 AR Âîçâðàùàÿñü ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è (108)-(109) â ñëó÷àå, êîãäà µ11 + µ21 = 0: ³p ´ A ¡BR2 − B ¡x2 + y 2 ¢ − C ¢ − 4B AC + 4B (1) ³√ ´ I0 u3 (x, y) = A (x2 + y 2 ) + , A2 A2 I0 AR (131) ¡ 2 ¡ 2 ¢¢ k (2) 2 u 3 (x, y) = R − x +y . (132) 2 (µ12 + µ22 ) Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à (108)-(109) ïîëíîñòüþ ðåøåíà. Çàìåòèì, ÷òî åñëè â óðàâíåíèÿõ áàëàíñà èìïóëüñà ìû íå áóäåì áðàòü â ðàñ÷åò ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîñòàâëÿþùèìè ðàññìàòðèâàåìîé ñìåñè æèäêîñòåé (ò.å. ñëàãàåìûå ¢ i+1 ¡ (2) (−1) c ~u − ~u1 , i = 1, 2), òî ðåøåíèå çàäà÷è (108)-(109) â ýòîì ñëó÷àå èìååò ñëåäóþùèé âèä: ¢¢ k (µ22 − µ12 ) ¡ 2 ¡ 2 R − x + y2 , (133) 4∆ ¢¢ k (µ11 − µ21 ) ¡ 2 ¡ 2 (2) ū3 (x, y) = R − x + y2 . (134) 4∆ Ïðîâåäåì ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ äîñòàâëÿåìûõ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëüþ ñìåñè è êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ, îïèñûâàþùåé òå÷åíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå êðóãëîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáå êîìïîíåíòû ñìåñè ôèçè÷åñêè íåðàçëè÷èìû, ò.å. µ11 = µ22 = µ, µ12 = µ21 = 0. Òîãäà èìååì ¢¢ k ¡ 2 ¡ 2 (2) (1) (2) (1) u3 = u3 = ū3 = ū3 = R − x + y2 . (135) 4µ (1) ū3 (x, y) = ßñíî, ÷òî êàðòèíà äâèæåíèÿ òàêîé ñìåñè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò òå÷åíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè. Òàêæå ñîõðàíÿþòñÿ âñå êà÷åñòâåííûå çàâèñèìîñòè (ðàñõîä, ñðåäíÿÿ è ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ è äð.) ïðèñóùèå êëàññè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå êðóãëîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Òåïåðü, âûÿñíèì âîïðîñ î âëèÿíèè íà ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó òå÷åíèÿ ñìåñè ñëàãàåìûõ, îòâåòñòâåííûõ çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó åå ñîñòàâëÿþùèìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì çàäàäèì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè µ11 = 0.1, µ12 = 0.02, µ21 = 0.01, µ22 = 0.3 (µ11 + µ21 6= 0); çíà÷åíèÿ ïåðåïàäà äàâëåíèÿ - k = 200; ðàäèóñ òðóáû - R = 1. Ïîñòðîèì ãðàôèêè ôóíêöèé (i) (i) u3 , ū3 , i = 1, 2, èçìåíÿÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà c â ïðåäåëàõ îò 0.0001 äî 1. 40 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.0641 [0;1] Ðèñ. 5.4. c = 0.0001 41 (2) (2) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (2) (2) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.0219 [0;1] Ðèñ. 5.5. c = 0.0001 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.6403 [0;1] Ðèñ. 5.6. c = 0.001 42 (2) (2) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (2) (2) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.2201 [0;1] Ðèñ. 5.7. c = 0.001 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 6.3 [0;1] Ðèñ. 5.8. c = 0.01 43 (2) (2) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (2) (2) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 2.2 [0;1] Ðèñ. 5.9. c = 0.01 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 51.2 [0;1] Ðèñ. 5.10. c = 0.1 44 (2) (2) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (2) (2) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 17.6 [0;1] Ðèñ. 5.11. c = 0.1 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 178.4 [0;1] Ðèñ. 5.12. c = 1 45 (2) (2) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (2) (2) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 61.3 [0;1] Ðèñ. 5.12. c = 1 Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðîé ñëó÷àé, êîãäà µ11 + µ21 = 0. Íåòðóäíî ïðî(2) (2) âåðèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû äëÿ u3 è ū3 èäåíòè÷íû. Ïîýòîìó, (2) (2) ãðàôèêè ôóíêöèé u3 , ū3 ñòðîèòü íå áóäåì. Çàäàäèì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè µ11 = 0.1, µ12 = 0.02, µ21 = −0.1, µ22 = 0.3 (µ11 + µ21 = 0); çíà÷åíèÿ ïåðåïàäà äàâëåíèÿ - k = 200; ðàäèóñ òðóáû - R = 1. Ïîñòðîèì ãðà(1) (1) ôèêè ôóíêöèé u3 , ū3 , èçìåíÿÿ ñíîâà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà c â ïðåäåëàõ îò 0.0001 äî 1. (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.0233 [0;1] Ðèñ. 5.14. c = 0.0001 46 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 0.2339 [0;1] Ðèñ. 5.15. c = 0.001 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 2.3032 [0;1] Ðèñ. 5.16. c = 0.01 47 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 19.9241 [0;1] Ðèñ. 5.17. c = 0.1 (1) (1) - u3 , · · · - ū3 ¯ ¯ ¯ (1) (1) ¯ max ¯u3 − ū3 ¯ = 83.9740 [0;1] Ðèñ. 5.18. c = 1 Èç äàííûõ ãðàôèêîâ âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà c, ìàêñèìóì (i) (i) ðàçíîñòè ïî ìîäóëþ ìåæäó u3 è ū3 âîçðàñòàåò â îáîèõ ñëó÷àÿõ. Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñìåñè, ñëàãàåìûå îòâåòñòâåííûå çà îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó åå ñîñòàâëÿþùèìè ñïîñîáíû ñóùåñòâåííî âëèÿòü íà ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó òå÷åíèÿ. 48 5.1 Óïðàæíåíèÿ 1.  êëàññå ãëàäêèõ ôóíêöèé äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (108)(109). 2. Ðàññ÷èòàòü îáúåìíûé ðàñõîä, ñðåäíþþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ, ñèëó òðåíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé â ýòîì ðàçäåëå ìîäåëè ñìåñè. 3. Íàéòè åùå îäèí ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è îá óñòàíîâèâøåìñÿ òå÷åíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé â êðóãëîé öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå. Ñðàâíèòü ðåøåíèÿ. 6 Êðóãîâîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè Áóäåì ðàññìàòðèâàåìóþ ñðåäó ñ÷èòàòü íåñæèìàåìîé, ò.å. ïðèìåì ÷òî ρi = const > 0, i = 1, 2 (136) è äâèæåíèå ïðåäïîëàãàòü óñòàíîâèâøèìñÿ (ñòàöèîíàðíûì) ∂~u(i) = 0, ∂t i = 1, 2. (137) Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (45) è áàëàíñà èìïóëüñà (49) ïðèìóò ñîîòâåòñòâåííî âèä (i) (i) (i) ∂u1 ∂u2 ∂u3 + + = 0, i = 1, 2, (138) ∂x ∂y ∂z à ! (i) (i) (i) ∂pi (2) (i) (i) ∂u1 (i) ∂u1 (1) (i) ∂u1 =− + u2 + u3 +µi1 ∆u1 +µi2 ∆u1 +J1 , i = 1, 2, ρi u1 ∂x ∂y ∂z ∂x (139) à ! (i) (i) (i) ∂pi (i) ∂u2 (i) ∂u2 (i) ∂u3 (1) (2) (i) ρi u1 + u2 + u3 =− +µi1 ∆u2 +µi2 ∆u2 +J2 , i = 1, 2, ∂x ∂y ∂z ∂y (140) ! à (i) (i) (i) ∂pi (i) ∂u3 (i) ∂u3 (1) (i) ∂u3 (2) (i) + u2 + u3 =− +µi1 ∆u3 +µi2 ∆u3 +J3 , i = 1, 2, ρi u1 ∂x ∂y ∂z ∂z (141) ³ ´ (i) (2) (1) i+1 ∂2 ∂2 ∂2 ãäå Jk = (−1) c uk − uk , k = 1, 2, 3, ∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 . Îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ âÿçêîñòè µij , i, j = 1, 2 ñíîâà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî µ11 > 0, µ22 > 0, 4µ11 µ22 − (µ12 + µ21 )2 > 0.  äàëüíåéøåì, ïîñêîëüêó áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êðóãîâîå äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè, òî íàì áóäåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè (138)-(141) 49 â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z : (i) (i) (i) (i) ∂ur ur 1 ∂uϕ ∂uz + + + = 0, ∂r r r ∂ϕ ∂z (142) i = 1, 2, · ¸ µ 2 u(i) ∂u(i) (u(i) ) (i) ∂u(i) (i) ∂u(i) (1) u(1) i ρi ur ∂zr + rϕ ∂ϕr + uz ∂zr − ϕr = µ + ∂p ∆ur − rr2 − i1 ∂r µ ¶ ³ ´ (i) (2) (2) (1) u(2) i+1 2 ∂uϕ r +µi2 ∆ur − r2 − r2 ∂ϕ + (−1) c ur − ur , i = 1, 2, ¸ µ · (i) (i) (i) (i) u(i) u(i) (i) ∂uϕ (1) (i) ∂uϕ ϕ ∂uϕ z uϕ 1 ∂pi + r ∂ϕ = µi1 ∆uϕ − ρi ur ∂z + r ∂ϕ + uz ∂z − r µ ¶ ³ ´ (i) u(2) (2) (2) (1) i+1 ϕ 2 ∂ur +µi2 ∆uϕ − r2 + r2 ∂ϕ + (−1) c uϕ − uϕ , i = 1, 2, ¸ · u(i) ∂u(i) (i) ∂u(i) (i) ∂u(i) ρi uz ∂rz + rϕ ∂ϕz + uz ∂zz + ´ ³ (1) (2) i+1 + (−1) c uz − uz , i = 1, 2, 2 2 (1) 2 ∂uϕ r 2 ∂ϕ (143) u(1) ϕ r2 + (1) 2 ∂ur r 2 ∂ϕ (144) ∂pi ∂z (1) (2) = µi1 ∆uz + µi2 ∆uz + (145) 2 ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ ãäå ∆ = ∂r 2 + r ∂r + r 2 ∂ϕ2 + ∂z 2 . Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êðóãîâîå äâèæåíèå ñìåñè ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè (ñì. Ðèñ. 1) ñ÷èòàÿ, ÷òî òðàåêòîðèè âñåõ ÷àñòèö ñðåäû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äóãè êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé, òî åñòü u(i) r = 0, u(i) z = 0, u(i) ϕ 6= 0, i = 1, 2. (146) Ðèñ. 6.1. Ê òå÷åíèþ ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè 50 ¶ + ¶ + Ïðè ýòîì ïðåäïîëîæåíèè èç óðàâíåíèé (142) óðàâíåíèé íåñæèìàåìîñòè ïîëó÷èì: (i) ∂uϕ = 0, i = 1, 2. (147) ∂ϕ Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü êàæäîé ÷àñòèöû âäîëü åå òðàåêòîðèè îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Ýòà ñêîðîñòü ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ëèøü ïðè ïåðåõîäå îò ò.å. â çàâèñèìîñòè îò ïåðåìåííûõ r è z ³ îäíîé ÷àñòèöû ê äðóãîé, ´ (i) (i) uϕ = uϕ (r, z) , i = 1, 2 . Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (143)-(145) ïðè èñïîëüçîâàíèè òîæäåñòâ (146), (147) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä: ³ (i) uϕ ´2 ∂pi = ρi , i = 1, 2, ∂r r µ ¶ µ u(1) (1) (2) ∂pi ϕ + µi2 r ∆uϕ − ∂ϕ = µi1 r ∆uϕ − r 2 ´ ³ (1) (2) i+1 + (−1) cr uϕ − uϕ , i = 1, 2, ∂pi = 0, ∂z 2 (148) u(2) ϕ r2 ¶ + i = 1, 2, (149) (150) 2 ∂ 1 ∂ ∂ ãäå ∆ = ∂r 2 + r ∂r + ∂z 2 . Ïóñòü âíóòðåííèé öèëèíäð èìååò ðàäèóñ b è âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω 1 , à âíåøíèé èìååò ðàäèóñ à è âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω 2 (ñì. Ðèñ. 1). Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðèëèïàíèÿ ÷àñòèö æèäêîñòè ê ñòåíêàì öèëèíäðîâ áóäóò èìåòü âèä ¯ ¯ ¯ (i) ¯ u(i) = ω b, u = ω2 a, i = 1, 2. (151) ¯ 1 ϕ ϕ ¯ r=b r=a Èç óðàâíåíèé (150) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî pi = pi (r, ϕ) , i = 1, 2. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèÿ (148) ïî ïåðåìåííîé ϕ, ïîëó÷èì ∂ 2 pi = 0, ∂r∂ϕ Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷òî ∂pi ∂pi = (ϕ) , ∂ϕ ∂ϕ i = 1, 2. i = 1, 2. (152) (153) Ïðîäèôôåðåíöèðóåì òåïåðü óðàâíåíèå (148) ïî ïåðåìåííîé z, ïîëó÷àåì (i) ∂uϕ = 0, i = 1, 2. (154) ∂z Èç ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé è (147) âûòåêàåò, ÷òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êîìïîíåíò ñìåñè åñòü ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé r, òî åñòü (i) u(i) ϕ = uϕ (r) , 51 i = 1, 2. Äàëåå ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ (149). Èõ ëåâàÿ ÷àñòü çàâèñèò òîëüêî îò ϕ, à ïðàâàÿ ÷àñòü îò ýòîé ïåðåìåííîé íå çàâèñèò. Ñëåäîâàòåëüíî, îáå ÷àñòè ðàâíû îäíîé è òîé æå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå, òî åñòü ∂pi = Ki , ∂ϕ (155) i = 1, 2. Èç (155) âûòåêàåò, ÷òî pi = Ki ϕ + Ri (r), i = 1, 2, íî òîãäà äàâëåíèå i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè ïðè èçìåíåíèè óãëà ϕ áóäåò ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèåé. Äëÿ óñòðàíåíèè ýòîé ìíîãîçíà÷íîñòè íóæíî ïîëîæèòü Ki = 0, i = 1, 2. (i) Óðàâíåíèÿ (149) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè uϕ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè i = 1, 2, ïðè ó÷åòå ðàâåíñòâ (154) è (155) òîãäà áóäóò ïðåäñòàâëÿòüñÿ â âèäå ¶ ¶ µ µ ¶ ¶ µ µ du(1) u(1) du(2) u(2) d d r drϕ − ϕr + µi2 dr r drϕ − ϕr + µi1 dr (156) ³ ´ (2) (1) i+1 + (−1) cr uϕ − uϕ = 0, i = 1, 2 èëè d µi1 dr h ´i ´i h ³ (1) (2) d 1 d + µi2 dr + ruϕ ru ϕ r dr ´ ³ (1) (2) c uϕ − uϕ = 0, i = 1, 2. 1 d r dr i+1 + (−1) ³ Ïåðåïèøåì ñèñòåìó (157) â âèäå ! µ ¶Ã µ (1) −c A[uϕ ] µ11 µ12 + (2) c µ21 µ22 A[uϕ ] c −c ¶Ã (1) uϕ (2) uϕ ! µ = (157) 0 0 ¶ , (158) £ ¤ d 1 d ãäå A[v] = (rv) dr r dr µ ¶ . Óìíîæèì îáå ÷àñòè (158) íà ìàòðèöó, îáðàòíóþ ê µ11 µ12 ìàòðèöå , ïîëó÷èì µ21 µ22 ! à µ ¶ à (1) ! µ ¶ (1) c 0 A[uϕ ] uϕ −µ22 − µ12 µ22 + µ12 + = , (159) (2) (2) 0 µ21 + µ11 −µ21 − µ11 ∆ A[uϕ ] uϕ ãäå ∆ = µ11 µ22 − µ12 µ21 > 0. Âû÷èòàÿ òåïåðü èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (159) âòîðîå, ïîëó÷àåì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå A[v] − (1) cδ v = 0, ∆ (160) (2) ãäå v = uϕ − uϕ . Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèè v , ñ ó÷åòîì (151), èìåþò âèä v|r=b = 0, v|r=a = 0. (161) Çàäà÷à (160), (161) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå è íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (1) (2) îíî ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì, ò.å. v(r) = 0, à çíà÷èò uϕ (r) = uϕ (r). Îòñþäà ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî íà ïðîöåññ äâèæåíèÿ äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè ñîâåðøåííî íå âëèÿåò îáìåí èìïóëüñîì ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ñìåñè è äëÿ îïðå(i) äåëåíèÿ ñêîðîñòè uϕ (r) i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé çàäà÷å: ¯ ¯ (i) ¯ (i) ¯ A[u(i) ] = 0, u = ω b, u = ω2 a, i = 1, 2. (162) ¯ 1 ϕ ϕ ϕ ¯ r=b r=a 52 Çàäà÷à (162) îáëàäàåò åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì, êîòîðîå, íåòðóäíî ïðîâåðèòü, èìååò âèä · ¸ ¡ ¢ 1 (ω1 − ω2 ) a2 b2 (i) 2 2 uϕ ω a − ω b r + , i = 1, 2. (163) (r) = 2 2 1 a − b2 r Èç ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé âèäíî, ÷òî ñêîðîñòè äâèæåíèÿ îáåèõ êîìïîíåíò ñìåñè ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè îäèíàêîâû è çàâèñÿò òîëüêî îò ðàäèóñîâ è óãëîâûõ ñêîðîñòåé âðàùåíèÿ öèëèíäðîâ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè èìååì èç (148) ñëåäóþùóþ ôîðìóëó: Z pi (r) = ρi (i) (uϕ (r))2 dr + Ci , r îòêóäà è èç (164) ïîëó÷àåì, ÷òî h¡ ¢2 2 ρi pi (r) = (a2 −b ω2 a2 − ω1 b2 r2 + 2 2) ¡ ¢ +2a2 b2 (ω1 − ω2 ) ω2 a2 − ω1 b2 ln r − i = 1, 2, (ω1 −ω2 )2 a4 b4 2r 2 i + Ci , i = 1, 2. (164) (165) Äàëåå îïðåäåëèì êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå ñèëû âÿçêîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè äëÿ êðóãîâîãî äâèæåíèÿ. Ïîñêîëüêó êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìåþò âèä 1 ∂vϕ vr ∂vz ∂vr , Dϕϕ = + , Dzz = , ∂r r ∂ϕ r ∂z µ ¶ 1 1 ∂vr ∂ ³ vϕ ´ Drϕ = +r , 2 r ∂ϕ ∂r r µ ¶ µ ¶ 1 ∂vϕ 1 ∂vz 1 ∂vz ∂vr = + , Dzr = + , 2 ∂z r ∂ϕ 2 ∂r ∂z Drr = Dϕz òî èç ôîðìóëû σ (i) = 2 2 P j=1 (166) µij D(~u(j) ), i = 1, 2 (ïåðåïèñàííîé â öèëèíäðè- ÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò), â ñèëó (146) è (166), ñëåäóåò, ÷òî ñèëà âÿçêîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè ðàâíà (i) σrϕ =− 2 a2 b2 (ω1 − ω2 ) (µi1 + µi2 ) , 2 r a2 − b2 i = 1, 2. (167) Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèëû âÿçêîñòè âñåé ñìåñè èìååì òîãäà ôîðìóëó (1) (2) σrϕ = σrϕ + σrϕ =− 2δ a2 b2 (ω1 − ω2 ) , r2 a2 − b2 (168) ãäå δ = µ22 + µ12 + µ21 + µ11 > 0. Òåïåðü ïîäñ÷èòàåì ìîìåíò ñèë âÿçêîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, ðàñïðåäåë¼ííûõ ïî êàêîé-ëèáî îêðóæíîñòè ðàäèóñà r, îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè. Îáîçíà÷àÿ ýòîò ìîìåíò ÷åðåç Li , áóäåì èìåòü: Z 2π a2 b2 (ω1 − ω2 ) (i) 2 , i = 1, 2. (169) Li = σrϕ r dϕ, = −4π (µi1 + µi2 ) a2 − b2 0 53 Ìîìåíò ñèë âÿçêîñòè äëÿ âñåé ñìåñè òîãäà ïðèìåò âèä L = L1 + L2 = −4πδ a2 b2 (ω1 − ω2 ) . a2 − b2 (170) Òàêèì îáðàçîì ìîìåíò ñèë âÿçêîñòè, ðàñïðåäåë¼ííûõ ïî ëþáîé îêðóæíîñòè, îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè íå çàâèñèò îò ðàäèóñà ýòîé îêðóæíîñòè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ìû âîçüì¼ì ñëîé, îãðàíè÷åííûé äâóìÿ îêðóæíîñòÿìè, òî ìîìåíòû ñèë âÿçêîñòè, ðàñïðåäåë¼ííûõ ïî ýòèì îêðóæíîñòÿì, áóäóò ðàâíû ïî âåëè÷èíå, íî îáðàòíû ïî çíàêó (â ñèëó ðàçíûõ íàïðàâëåíèé íîðìàëè), ò.å. äëÿ ìîìåíòîâ ñèë âÿçêîñòè áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ. Èòàê, ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à îá óñòàíîâèâøåìñÿ êðóãîâîì äâèæåíèè äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè ïîëíîñòüþ ðåøåíà. Çàìåòèì , ÷òî ôîðìóëà (164) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè i-îé êîìïîíåíòû ñìåñè, ôîðìóëà (165) äëÿ äàâëåíèÿ i-îé ñîñòàâëÿþùåé (ñ ρ1 = ρ2 = ρ) è ôîðìóëû (167), (169) äëÿ ñèëû âÿçêîñòè è ìîìåíòà ñèë âÿçêîñòè i-îé êîìïîíåíòû (ñ µ11 = µ22 = µ, µ12 = µ21 = 0), êîòîðûå îïèñûâàþò äâèæåíèå äâóõêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé âÿçêèõ ñæèìàåìûõ æèäêîñòåé ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè (êîãäà îáå êîìïîíåíòû ôèçè÷åñêè íåðàçëè÷èìû) ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ ôîðìóëàìè, îïèñûâàþùèìè àíàëîãè÷íîå äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî äàííîé ìîäåëè ñìåñè â ýòîì ñëó÷àå ïðèñóùè âñå ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè òå÷åíèÿ, èìåþùèåñÿ ó ìîäåëè Íàâüå-Ñòîêñà, îïèñûâàþùåé ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ìåæäó äâóìÿ âðàùàþùèìèñÿ öèëèíäðàìè. Äàëåå, çàäàäèì çíà÷åíèÿ ðàäèóñîâ öèëèíäðîâ b = 1, a = 2, ω1 = (i) 10, ω2 = 20 è ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèé uϕ (r), i = 1, 2 (ñì. Ðèñ. 2). 54 (i) Ðèñ. 6.2. uϕ (r) = 13 (70r − 40 ), r i = 1, 2 Èç äàííîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñ óâåëè÷åíèåì ðàäèóñà r óâåëè÷èâàåòñÿ ñêîðîñòü êðóãîâîãî äâèæåíèÿ êîìïîíåíò ñìåñè. Ðàññìîòðèì äàëåå íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè. Óìåíüøàÿ çíà÷åíèå ðàäèóñà âíóòðåííåãî öèëèíäðà b äî íóëÿ, ïîëó÷èì èç (164), (165), (168) è (170): (i) uϕ (r) = ω2 r, pi (r) = 12 ρi ω22 r2 + Ci , (171) σrϕ = 0, L = 0. Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû (171) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåøåíèå çàäà÷è î âðàùåíèè êðóãîâîãî öèëèíäðà, íàïîëíåííîãî äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñüþ âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ äâèæåíèè ñìåñü âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé âíóòðè öèëèíäðà âðàùàåòñÿ êàê àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî. Äëÿ ïîääåðæàíèÿ ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ öèëèíäðà ñî ñìåñüþ âÿçêèõ æèäêîñòåé íå òðåáóåòñÿ ìîìåíò âíåøíèõ ñèë. Îòìåòèì åùå, ÷òî åñëè ïîëîæèòü ρ1 = ρ2 = ρ, òî ôîðìóëû (171) ñîâïàäàþò ñ ôîðìóëàìè, îïèñûâàþùèìè àíàëîãè÷íîå äâèæåíèå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. ×òîáû ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è î âðàùåíèè êðóãëîãî öèëèíäðà â áåçãðàíè÷íîé ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé, íåîáõîäèìî â ôîðìóëàõ (164), (165), (168) è (170) âíà÷àëå ïîëîæèòü ω2 = 0, 55 à çàòåì ðàäèóñ âíåøíåãî öèëèíäðà a óâåëè÷èâàòü äî áåñêîíå÷íîñòè.  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì: (i) uϕ (r) = ωr1 b2 , ρ ω 2 b4 pi (r) = Ci − i2r12 , (172) 2 σrϕ = − 2δbr2ω1 , L = −4πδω1 b2 . Äëÿ ïîääåðæàíèÿ ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ öèëèíäðà â íåîãðàíè÷åííîé ñìåñè æèäêîñòåé, íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü ìîìåíò âíåøíèõ ñèë, ïðîïîðöèîíàëüíûé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ öèëèíäðà, êîýôôèöèåíòó âÿçêîñòè δ ñìåñè è êâàäðàòó ðàäèóñà öèëèíäðà.  çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (170) äëÿ ìîìåíòà ñèë âÿçêîñòè ñìåñè ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â ïðèáîðàõ ñ êîíöåíòðè÷åñêèìè öèëèíäðàìè, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ âÿçêîñòè æèäêîñòåé. Èçìåðÿÿ êàêèì ëèáî ñïîñîáîì ìîìåíò ñèë âÿçêîñòè ñìåñè, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ïî ýòîé ôîðìóëå ïîäñ÷èòàòü çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà âÿçêîñòè δ ñìåñè, à òåì ñàìûì óçíàòü (çíàÿ µ11 è µ22 êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè êàæäîé êîìïîíåíòû ñìåñè) çíà÷åíèå µ12 + µ21 . 6.1 Óïðàæíåíèÿ 1. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó î âðàùåíèè êðóãîâîãî öèëèíäðà, íàïîëíåííîãî äâóõêîìïîíåíòíîé ñìåñüþ âÿçêèõ íåñæèìàåìûõ æèäêîñòåé. Íàéòè åå ðåøåíèå. 2. Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó î âðàùåíèè êðóãëîãî öèëèíäðà â áåçãðàíè÷íîé ñìåñè âÿçêèõ æèäêîñòåé. Íàéòè åå ðåøåíèå. 56