Лекция 9 Движение в гравитационном поле Характеристики гравитационного поля Связь между потенциальной энергией и силой Первая и вторая космические скорости Движение в гравитационном поле Взаимодействие материальных частиц описывается законом всемирного тяготения m1 m2 F = G 2 l r - сила тяготения r Любое силовое взаимодействие частиц можно описать полем сил F , которое является векторным, так как F - это вектор Пол сил тяготения или гравитационное поле – это способ описания взаимодействия материальных частиц Гравитационное поле порождается телами и является формой существования материи. Таким образом, материя может существовать не только в виде частиц, но и в виде поля • Характеристики гравитационного поля 1. Напряженность гравитационного поля ( E ) – это физическая величина численно равная силе, с которой действует поле на единичную массу, помещенную в данную точку поля F E= m Направление вектора E Напряженность – это силовая (9.1) характеристика поля совпадает с направлением силы Найдем напряженность поля, создаваемого точечной массой M на расстоянии r от нее E m •А F M Для этого в точку А поместим точечную массу m и найдем силу взаимодействия масс M и m F M По определению E = = G 2 lr Mm m r F = G 2 l r напряженности получим r r M Для сферически E = G 2 l r (9.2) Напряженность гравитационного r поля, создаваемого точечной массой распределенной Для произвольного распределения масс, необходимо тело разбить на бесконечно малые массы, найти напряженность поля, создаваемого этими малыми массами по формуле (9.2), а затем векторно сложить все E Гравитационное поле называют однородным, если его напряженность во всех точках одинакова массы напряженность тоже находится по формуле (9.2), только расстояние r отсчитывается от центра сферы 2. Энергия взаимодействия (W) Пусть источником гравитационного поля является Земля, масса которой M m Найдем энергию взаимодействия точечной массы m и Земли M 2 Начало координат поместим в центр Земли 0 и будем удалять r2 массу m из точки 1 (поверхность Земли) в точку 2 1 m Сила, действующая на массу m в гравитационном поле Земли равна F 0• M зm Rз F =G r2 Удаляя массу m из т. 1 в т.2 необходимо совершить работу против силы тяготения. Найдем эту работу Земля r2 dr 1 cosα = cos 180º = -1 A12 = ∫ F dr = − GM з m ∫ 2 = − GM з m ( − ) rr12 r r r1 = Rз 1 r1 Из (9.3) следует, что работа силы тяготения зависит 1 1 только от начального и конечного положения. − GMm ( − ) (9.3) Следовательно, 2 A12 = r1 r2 гравитационное поле - потенциальное Работа в потенциальном поле равна убыли потенциальной энергии Сравнивая (9.3) и (9.4), получим W (r ) = −G A12 = W1 − W2 (9.4) Mm + C (9,5) , где С = const – зависит от выбора системы отсчета r Например, если выбрать начало отсчета энергии на ∞, то есть W (∞) = 0, то из (9,5) получим W(∞) = 0 + С = 0 → С = 0 Mm W (r ) = −G r (9.6) Потенциальная энергия взаимодействия точечных масс или энергия взаимодействия точечной массы со сферической массой В соответствии с таким выбором системы отсчета потенциальная энергия всегда отрицательна и возрастает с ростом r, достигая 0 при r → ∞ График зависимости W(r) W(r) r 0 Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земли относительно Земли на высоте h << Rз Запишем потенциальную энергию тела на высоте h относительно центра Земли по формуле (9.6) Wh = −G Mm ( R з + h) и потенциальную энергию на поверхности Земли Потенциальная энергия по отношению к Земле Mm W з = −G Rз 1 h h 1 = GMm W = W h − W з = −GMm = GMm − h R з ( R з + h) Rз + h Rз R з2 (1 + ) R GM GM з 0 = g W = ⋅ mh = mgh , где R з2 R з2 3. Потенциал гравитационного поля (φ) – это физическая величина численно равная потенциальной энергии единичной массы m, помещенной в данную точку поля W ϕ= m (9.7) Потенциал – это энергетическая характеристика поля Потенциал поля, создаваемого точечной и сферически распределенной массой Пусть точечная масса M создает гравитационное поле. Поместим в т. А точечную массу m А m По определению ϕ = W (9.7) , где m r Подставив (9.6) в (9.7), получим M ϕ = −G M r W (r ) = −G Mm (9.6) r Потенциал (9.8) гравитационного поля в точке r Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образуют сферическую поверхность (r = const). Такие поверхности, для которых потенциал одинаков, называются эквипотенциальными • Связь между потенциальной энергией и силой, действующей на частицу в каждой точке поля Если известно выражение для потенциальной энергии, то можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля Найдем эту связь Пусть частица m перемещается в гравитационном поле вдоль направления х на расстояние dx При этом сила поля совершает работу dA = Fx dx (9. 9) , где Fx – проекция силы F на направление х Так как поле потенциальное, можно записать, что dA = - dW (9.10) dW dx (9.11) dW dW ; Fz = − Fy = − Соответственно, получим dy dz Распишем вектор силы через проекции F = l x Fx + l y Fy + l z Fz (9.12) Приравнивая (9.9) и (9.10), получим Fx dx = − dW ⇒ Fx = − Подставив (9.11) в (9.12), dW dW dW d d d = − l x F = − l x + ly + lz + ly + l z ⋅ W получим dx dy dz dx dy dz Консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы взятому с обратным знаком ∇ -векторный оператор F = −∇W «набла» или градиент (9.13) Из формулы (9.13) получается связь между E и φ F По определению напряженности E = ⇒ F = mE m По определению потенциала W ϕ = ⇒ W = m ⋅ϕ m F = −∇W (9.13) m ⋅ E = −∇(mϕ ) Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком E = −∇ϕ Если изменение происходит вдоль r, то формула (9.14) будет иметь вид • Первая космическая скорость E=− (9.14) dϕ (9.15) dr это минимальная скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т.е. превратиться в искусственный спутник Земли Находится она из уравнения движения спутника по круговой (околоземной) орбите под действием силы тяготения с нормальным ускорением mV12 = mg Rз → V1 = V1 ~ 8км/c gR з Впервые V1 рассчитал Ньютон, однако практическая космонавтика началась в 1957г., когда был запущен первый спутник ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ НАУЧНО– ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ СЛУЖАТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ЗЕМЛИ , НЕБЕСНЫХ ТЕЛ, КОСМИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИКЛАДНЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ -ЭТО СПУТНИКИ СВЯЗИ, НАВИГАЦИОННЫЕ СПУТНИКИ,МЕТЕОРОЛОГИЧЕКИЕ СПУТНИКИ ПИЛОТИРУЕМЫЕ КОРАБЛИ СПУТНИКИ ИМЕЮТ СПУСКАЕМЫЕ АППАРАТЫ ДЛЯ ВОЗВРАЩЕНИЯ НА ЗЕМЛЮ ЭКИПАЖА , ОТДЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ , ПОДОПЫТНЫХ ЖИВОТНЫХ ПРОТОН – 4 ВОСТОК ПИЛОТИРУЕМЫЕ КОРАБЛИ – СПУТНИКИ И ОРБИТАЛЬНЫЕ СТАНЦИИ ЯВЛЯЮТСЯ НАИБОЛЕЕ СЛОЖНЫМИ И СОВЕРШЕННЫМИ ИСЗ СТАЦИОНАРНЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ - ЭТО СПУТНИКИ НЕПОДВИЖНО ВИСЯЩИЕ НАД ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ТОЧКАМИ ЗЕМНОГО ЭКВАТОРА Высота определяется тем , что период обращения спутника должен совпадать с периодом собственного вращения земли h=35900км -- высота стационарных искусственных спутников земли салют Вывод ИСЗ на орбиту Производится с помощью автоматических управляемых многоступенчатых ракет- носителей Расчетная скорость равна первой космической скоростиV1= 8км/сек или превышает её не более чем в 1,4 раза. Действие сопротивления земной атмосферы, сжатие земли, давление солнечного излучения, притяжения Луны и Солнца – причины отклонений от расчетной орбиты Из-за сопротивления атмосферы ИСЗ постепенно снижаются и попав в верхние слои атмосферы на высоте 120-130км и ниже, разрушаются и сгорают. Поэтому ИСЗ имеют ограниченные сроки существования. • Вторая космическая скорость это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы покинуть область земного притяжения и превратиться в спутник Солнца Для того, чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения mV 22 = 2 ∞ ∫G Rз или с учетом mM 1 dr = − GmM r r2 g =G M R з2 ∞ Rз получим =G mM → V2 = Rз 2GM Rз V2 = 2 gR з ≈ 11,2 км с • Третья космическая скорость Это скорость необходимая телу, чтобы покинуть пределы Солнечной системы V3 = 42,1 км с