Ê Â À Í T 2001/№3 10 ëó÷à l i â ñòîðîíó ëó÷à M i M i+1 ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ, ïîýòîìó ∆ iθ = π − α i < 0 . (2) 2) Ïóñòü îòðåçîê M i M i+1 ðàñïîëàãàåòñÿ ïî ëåâóþ ñòîðîíó îò M i −1 M i .  ýòîì ñëó÷àå 0 < α i < π (ðèñ.18). Ñíîâà ïðîäîëæèì M i −1 M i çà òî÷êó Mi êàê ëó÷ ñ íà÷àëîì â Mi ; è ñíîâà óãîë âðàùåíèÿ êàñàòåëüíîé ê äóãå îêðóæíîñòè ðàâåí îðèåíòèðîâàííîìó óãëó ìåæäó ëó÷îì l i è ëó÷îì Mi Mi+1 , ò.å. ∆ iθ = π − α i > 0 . (3) 3) Ñòîðîíà M i M i+1 ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ñòîðîíû M i−1 M i . Òîãäà óãîë α i ðàâåí π , à âðàùåíèå êàñàòåëüíîé ðàâíî íóëþ, ïîýòîìó â òàêèõ âåðøèíàõ M i ìîæåì çàïèñàòü: ∆ iθ = π − α i = 0 . (4) Íà òåõ ó÷àñòêàõ êðèâîé L, êîòîðûå èäóò ïî îòðåçêàì ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà Ð, âðàùåíèÿ êàñàòåëüíîé íåò âîâñå, ïîýòîìó âåñü ïîâîðîò êàñàòåëüíîé ê L ñêëàäûâàåòñÿ èç ñóììû åå ïîâîðîòîâ íà äóãàõ îêðóæíîñòåé Γi . Ñëåäîâàòåëüíî, âçÿâ äëÿ êàæäîãî i ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ (2), (3) èëè (4) è ñëîæèâ èõ, Как вычислять индекс кривой? Íà ïåðâûé âçãëÿä â ôîðìóëå (5) ìàëî ïîëüçû: âåäü âû÷èñëåíèå èíäåêñà ìíîãîóãîëüíèêà ñâîäèòñÿ â ñâîþ î÷åðåäü ê íàõîæäåíèþ îðèåíòèðîâàííûõ óãëîâ â âåðøèíàõ Mi ìåæäó ïðîäîëæåíèåì ñòîðîíû Mi −1Mi è ñòîðîíîé M i M i+1 , à èõ âû÷èñëåíèå çàäà÷à òàêîé æå òðóäíîñòè, ÷òî è íàõîæäåíèå óãëîâ α i . Îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ, ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà ìíîãîóãîëüíèêà äàæå áåç çíàíèÿ åãî óãëîâ. Äëÿ ýòîãî ââåäåì ïîíÿòèå ñòåïåíè îòîáðàæåíèÿ êðèâîé íà îêðóæíîñòü. Ïóñòü äàíà íåêîòîðàÿ çàìêíóòàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâàÿ L è ïóñòü Φ :L → Γ íåêîòîðîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå êðèâîé L íà ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííóþ îêðóæíîñòü Γ . Ïóñòü êðèâàÿ L è îêðóæíîñòü Γ ïðåäñòàâëåíû êàê îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà äóã L1 , K, Lk è, ñîîòâåòñòâåííî, γ 1 , K, γ m (ðèñ.19), òàêèõ, ÷òî êàæäàÿ äóãà Li , 1 ≤ i ≤ k , îòîáðàæåíèåì Φ ïåðåâîäèòñÿ èëè â êîíöåâóþ òî÷êó îäíîé èç äóã γ j èëè ãîìåîìîðôíî (ò.å. âçàèìγ2 γ1 Mi+1 Mi1 Γ γm αi Ãi Ai+1 Mi Рис.18 ∆iθ li ? 2πIndL = πn − α 1 + K ïîëó÷àåì K + α n . Êðîìå òîãî, âèäíî, ÷òî IndL íå çàâèñèò îò âûáîðà ìàëûõ îêðóæíîñòåé Γi , ñ èñïîëüçîâàíèåì äóã êîòîðûõ áûëà ïîñòðîåíà êðèâàÿ L, ïîýòîìó îáùåå çíà÷åíèå èíäåêñîâ âñåõ êðèâûõ L ìû ìîæåì íàçâàòü èíäåêñîì ñàìîãî äàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà Ð è îáîçíà÷àòü åãî êàê IndP .  èòîãå èìååì èñêîìóþ ôîðìóëó D ? D α1 + α 2 + K + α n = π n − 2IndP . (5) Åñëè æå ìû áóäåì âû÷èñëÿòü ñóììó óãëîâ, ëåæàùèõ ñïðàâà ïî íàïðàâëåíèþ îáõîäà ìíîãîóãîëüíèêà, òî îíà, î÷åâèäíî, áóäåò ðàâíà π n + 2 IndP , è âìåñòå ñ ñóììîé âíóòðåííèõ óãëîâ ïîëó÷àåì 2πn , êàê è äîëæíî áûòü. ? D L2 L Рис.19 (i) (i) Ai1 L1 Lk íî îäíîçíà÷íî è íåïðåðûâíî â îáå ñòîðîíû) îòîáðàæàåòñÿ íà îäíó èç äóã γ j . Åñëè, âî âòîðîì ñëó÷àå, îòîáðàæåíèå Φ ïåðåâîäèò äóãó Li â äóãó γ j ñ ñîõðàíåíèåì (èçìåíåíèåì) íàïðàâëåíèÿ îáõîäà, òî ãîâîðÿò, ÷òî ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Φ íà äóãå Li ðàâíà +1 (ñîîòâåòñòâåííî, 1). Âîçüìåì òåïåðü íåêîòîðóþ òî÷êó M íà îêðóæíîñòè, íå ÿâëÿþùóþñÿ êîíöåâîé òî÷êîé íè îäíîé èç äóã γ j . Ïóñòü M1 , K, M s , 1 ≤ s ≤ k , ñóùåñòâóþùèå íà L ïðîîáðàçû òî÷êè M , ò.å. òî÷êè, ïåðåâîäèìûå îòîáðà æåíèåì Φ â M . Íà êàæäîé èç äóã êðèâîé L, ãäå ëåæàò òî÷êè M1, K, M s , ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Φ èçâåñòíà; ïóñòü íà ð èç íèõ îíà ðàâíà +1, à íà q = s ð äóãàõ îíà ðàâíà 1. Òîãäà ÷èñëî p q íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ îòîáðàæåíèÿ Φ êðèâîé L. Åñëè æå íà L íåò íè îäíîãî ïðîîáðàçà òî÷êè M , òî ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Φ ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò, êîíå÷íî, â äîêàçàòåëüñòâå êîððåêòíîñòè ýòîãî îïðåäåëåíèÿ, ò.å. â òîì, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ íå çàâèñèò íè îò ðàçáèåíèÿ êðèâîé L è îêðóæíîñòè Γ íà äóãè, íè îò âûáîðà òî÷êè M . Îêàçûâàåòñÿ, ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Ïóñòü M 0 íåêîòîðàÿ òî÷êà íà L, ñ êîòîðîé ìû íà÷èíàåì îáõîä, è ïóñòü M1 ïåð âûé ïðîîáðàç òî÷êè M , âñòðåòèâøèéñÿ ïî íàïðàâëåíèþ îáõîäà L. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè òî÷êà M ðàñïîëîæåíà â ïåðâîé ÷åòâåðòè è ïóñòü ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ Φ â îêðåñòíîñòè òî÷êè M1 ðàâíà +1, òîãäà ïåðåõîä âåêòîðà Φ M íà îêðóæíîñòè Γ ÷åðåç M ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè è óãîë θ ìåæäó îñüþ Îõ è âåêòîðîì Φ M ðàñòåò (îáðàç òî÷êè M ∈ L ïåðåñåêàåò òî÷êó M «ñíèçó ââåðõ»). Çàòåì âåêòîð Φ M ïåðåñåêàåò òî÷êó M âî âòîðîé ðàç â ñëåäóþùåì ïðîîáðàçå M2 ∈ L . Åñëè è â ýòîò ðàç ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ ðàâíà +1, òî óãîë θ îêàæåòñÿ âûðîñøèì íà 2π , òàê êàê âåêòîð Φ M ïîäîéäåò ê M îïÿòü «ñíèçó», íà÷àâ äâèæåíèå ñ òî÷åê «âûøå» M è íè ðàçó äî ýòîãî íå ïåðåñåêàÿ M , ò.å. îí ñäåëàåò ïîëíûé îáõîä îêðóæíîñòè; åñëè æå ñòåïåíü ðàâíà 1, òî âåñü ïðèðîñò óãëà èñ÷åçíåò, òàê êàê òî÷êà Φ M ïðè äåò ê M «ñâåðõó», òàê ÷òî óãîë âåðíåòñÿ ê èñõîäíîìó çíà÷åíèþ. Âîîáùå, êàæäûé ïðèðîñò óãëà θ çà ñ÷åò ïåðåõîäà ÷åðåç M ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè àííóëèðóåòñÿ ïåðåõîäîì âåêòîðà Φ M ÷åðåç M â íàïðàâëåíèè ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè êàêîé-ëèáî ïåðåõîä ÷åðåç M ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íå àííóëèðóåòñÿ ïåðåõîäîì ÷åðåç M ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, òî óãîë θ ïðè ïîäõîäå Φ M ê M îêàæåòñÿ âîçðîñøèì íà 2π è â èòîãå ïîëíîå ïðèðàùåíèå ∆θ ýòîãî óãëà îêàæåòñÿ ðàâíûì 2π p − q , ãäå ð ÷èñëî ïðîîáðàçîâ ñî ñòåïåíüþ îòîáðàæåíèÿ +1 è îäíîâðåìåííî ÷èñëî ïåðå õîäîâ ÷åðåç M ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, à q àíàëîãè÷íîå ÷èñëî äëÿ ñòåïåíåé 1 è ïåðåõîäîâ ïî ÷àñîâîé ∆θ = p − q åñòü íå ñòðåëêå. À ÷èñëî 2π ÷òî èíîå, êàê âðàùåíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ Φ M âäîëü L, ñëåäîâàòåëüíî, îíî íå çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè M ∈ Γ è îò ÷èñåë ð è q, à çàâèñèò òîëüêî îò èõ ðàçíîñòè, êîòîðàÿ, òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ îäèíàêî âîé ïðè ëþáîì âûáîðå M . > C > C > C > C > C > C > C > > C C