Задачи 1 тура 2013/2014 года − 7 + 10 = Задача 1. Решите уравнение и найдите сумму его корней. (2 балла) Решение 7 7 ⇔ ( − 2)( − 5) = ( − 4)( − 7) − 11 + 28 ( − 2)( − 7)( − 4)( − 5) = 7, ( − 9 + 14)( − 9 + 20) = 7, ⇔ ⇔ ≠ 4, ≠ 7. ≠ 4, ≠ 7. − 7 + 10 = − 9 + 17, получим уравнение: ( − 3)( + 3) = 7 ⇔ = 16. Отсюда − 9 + 17 = 4, − 9 + 13 = 0, = 4 или = −4. Возвращаясь к замене получаем: ⇔ − 9 + 17 = −4. − 9 + 21 = 0. Произведем замену: = Второе уравнение действительных корней не имеет, как нетрудно заметить, числа 4 и 7 не являются корнями первого уравнения, поэтому по теореме Виета сумма корней равна 9. Ответ: 9. Задача 2. Сумма первых 80 членов арифметической прогрессии равна 80, а сумма первых 160 её членов равна 320. Чему равна сумма первых 40 членов этой прогрессии? (4 балла) Решение I способ По условию задачи составим систему: 2 = 80, ⇔ = 320 2 = Тогда искомая величина равна + 79 ⋅ 80 = 80, 2 ⇔ + 159 ⋅ 160 = 320 2 2 , 80 1 = . 80 = ⋅ 40 = 20. II способ Обозначим, через ( , ) — сумму членов арифметической прогрессии с номера включительно. Данные суммы образуют арифметическую прогрессию, то есть ( + 2 и так далее. Имеем: ( , ) = + + + + 12 4 + = 80, +2 + +3 + 6 = 480 ⇒8 + 6 = 320 = 320 ⇔ 2 4 = 160 ⇔ , по номер + , ) = + = 80 ⇔ + 6 = 320 = 20. Ответ: 20. Задача 3. — прямоугольник. Точки и — середины сторон и , — точка пересечения отрезков и . Если площадь прямоугольника равна 60, то площадь четырехугольника равна… (6 баллов) Решение Способ 1 Введем систему координат: (0; 0), (0; 2 ), (2 ; 2 ), (2 ; 0), (2 ; ), ( ; 0). Уравнение прямой : + Уравнение прямой : = 1. = ⇔ − = 0. = = 1 ⋅ 2 ⋅ = 1 ⋅ 2 ∩ ⋅ ⇒ 1 ⋅ 2 4 2 ; . 5 5 1 = ⋅ ⋅ 4 = 1 ⋅ 60 = 15; 4 1 ⋅ 2 1 = ⋅ 2 = 1 ⋅2 ⋅ = = 15; 2 1 2 = ⋅ ⋅ = = 3; 2 5 5 ⋅ = ⋅ = − = 15 − 3 = 12. Ответ: 12. Способ 2 (Сакун Андрей) Пусть и – середины сторон и || = Очевидно || , = По теореме Фалеса = и = ⋅ 1 2 = ⋅ ⋅ = 1 2 = , то ⋅ = ⋅ = 1 2 − = 1 4 = 1 2 = , ∙ = = = = 1 1 ∙ 2 2 − 1 2 ∙ = , тогда = 1 4 = ; ; MK – средняя линия трапеции NDCB. = 1 2 2 + = 3 ; 4 = ⋅ ⋅ 60 = 3. = = 15 − 3 = 12. Способ 3 (Жуковский Андрей) = . , следовательно, ⋅ Ответ: 12. Пусть и . = и ⋅ = соответственно. Проведем = 1 ∙ 60 = 15. 4 = 60. 1 ⋅ 60 = 15. 4 = В и Треугольники углы и секущей = ). Значит, = Тогда = и подобны по двум углам (углы и равны как вертикальные, а равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и = 1 1 1 ∙ ∙ 2 2 5 = ; = + 1 20 = 3; = = ; = ; = ; ∙ = ; = 15 − 3 = 12. Ответ: 12. Задача 4. Из города в город выезжает велосипедист, а через 3 часа после его выезда из города выезжает навстречу мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше скорости велосипедиста. К моменту встречи велосипедист проехал половину пути до . Если бы мотоциклист выехал не через 3, а через 2 часа после велосипедиста, то встреча произошла бы на 15 км ближе к . Найдите расстояние между и . (6 баллов) Решение Пусть длина пути от до равна , — скорость велосипедиста, тогда 3 мотоциклиста, 3 — путь проделанный велосипедистом до выезда мотоциклиста, встречи велосипедиста и мотоциклиста. Получаем уравнение: −3 ⋅ +3 3 + — скорость — время = . 2 По аналогии для случая «если бы…» получаем: 2 + ⋅ = − 15. Объединяем эти уравнения в систему и приводим подобные: 9 9 − = 0, − = 0, 9 = , 4 4 4 4 ⇔ ⇔ ⇒ S = 180. 6 9 3 3 = 60. − = −15. − − = −15. 4 4 4 4 4 Ответ: 180. Комментарии. Если рассматривать движение мотоциклиста, то получаем следующую систему: −3 ⋅3 = , +3 2 −2 ⋅ 3 = + 15. +3 2 Ответ: 180. Задача 5. Найдите значение выражения ° ° ° . (8 баллов) Решение sin 26° + sin 146° + sin 94° = sin 26° + sin (180° − 34°) + sin (90° + 4°) = применим формулы приведения = sin 26° + sin 34° + cos 4° = понизим степени слагаемых 1 − cos 52° 1 − cos 68° 1 + cos 8° 3 − (cos 52° + cos 68°) + cos 8° + + = = 2 2 2 2 заменим сумму косинусов произведением = 3 − 2 cos 60° cos 8° + cos 8° 3 − cos 8° + cos 8° 3 = = . 2 2 2 30 30 10 = = = 20. 3 1 sin 26° + sin 146° + sin 94° 2 2 = Ответ: 20. Задача 6. На реке расположены пункты и , причем ниже по течению на расстоянии 20 км от . Катер направляется из в , затем сразу возвращается в и снова следует в . Одновременно с катером из отправился плот. При возращении из катер встретил плот в 4 км от . На каком расстоянии от катер нагонит плот, следуя вторично в ? (10 баллов) Решение (арифметическое). Заметим, что катер удаляется от плота или приближается к нему с одной и той же скоростью — своей скоростью относительно воды. Следовательно, время, которое катер плыл от пункта до , удаляясь от плота, равно времени, которое катер плыл от пункта до встречи с плотом. Значит, отношение путей, пройденных катером от пункта до и от до плота, равно отношению его скоростей по и против течения, то есть отношение скоростей равно = . Таким же, и по тем же соображениям, будет отношение путей, пройденных катером от пункта до второй встречи с плотом и от первой встречи до пункта . Таким образом, катер нагонит плот в 5 км от пункта . Ответ: 5. Решение (алгебраическое). Способ 1 Пусть скорость катера к , скорость плота равна скорости течения реки и равна п , – время в пути катера, а соответственно и плота. Так как расстояние между и равно 20 км, то до встречи с плотом катер проплыл к.ср. = 20 + 16, а плот проплыл п = 4. Значит, к.ср. = 9 п . Пусть км проплыл плот до следующей встречи с катером. Тогда катер проплывает 36 км за то же время, что плот 4 км. Значит, катер проплывет (4 + 4 + ) км за то же время, что плот км. Отсюда, = , 36 = 4(8 + ), 32 = 32, = 1 (км). Значит, катер догонит плот на расстоянии 4+1 =5 км от пункта . Ответ: 5 км. Способ 2 Пусть — скорость катера, следует уравнение: + (*) получаем, что — скорость течения, z — искомое расстояние. Из первой встречи = (*). Из второй встречи следует, что + + = (**). Из = 9 . Подставляя найденное соотношение в (**), получим, что = 5. Ответ: 5. Способ 3 Пусть — скорость катера, путь от до ; — скорость течения. Тогда — расстояние, пройденное плотом за тоже время; ( встретится плот и катер, плывущий впервые из 20 20 − + ( − )+ + Аналогично составляем искомое выражение. − − , — время, за которое катер пройдет + ) — время, за которое . Из условия задачи получаем уравнение: 20 + + = 4. (1) —время, за которое пройдет катер путь — расстояние, которое пройдет плот за это время. ( ) — время, за которое катер догонит плот, следуя вторично из . ( ) + + —время, прошедшее от начала движения до второй встречи. Тогда искомое выражение: 20 20 + + − ( + )− Из (1) следует, что Ответ: 5. =1⇔ + 20 20 + + − . = 9 . Подставляя найденное соотношение в (2), получаем 5. (2)