функциональный 1982, т. анализ 16, вып. 4, и его приложения^ 72-73. УДК 517.9 ГИПОТЕЗА О СУЩЕСТВОВАНИИ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ В. В. К о з л о в 1. Д в и ж е н и е Лагранжа механических d If систем дЬ дЬ дх == дх описывается известными уравнениями ^ ' ^ ^ ^ с «натуральным» л а г р а н ж и а н о м L ~ к {'\ х) — и [х), где /с = < К {х) г, ? ; / 2 — поло­ жительно определенная квадратичная форма (кинетическая энергия), а и: R^^ —^ R — потенциальная энергия системы. Координаты х всегда можно выбрать т а к , чтобы К (0) = Е. Пусть и' (0) = 0. Тогда х {t) ^ 0 — «равновесное» решение у р а в н е н и й Л а г р а н ж а . Решение х {t) Ф О назовем асимптотическим, если х {t) ^ О п р и ^ —^ оо . Из интеграла энергии к -\- и = const следует, что тогда х (t) тоже стремится к н у л ю . Если и (х) имеет в точке х ^= О локальный минимум (не обязательно строгий), то у р а в ­ нения Л а г р а н ж а не имеют асимптотических решений (к точке х = 0). Кажет^ся п р а в ­ доподобным, что асимптотические решения существуют, если д:; = О не я в л я е т с я точкой локального минимума аналитической ф у н к ц и и и (х). В бесконечно дифференци­ руемом случае это у ж е не так. П о с к о л ь к у у р а в н е н и я д в и ж е н и я обратимы ( ф у н к ц и я X (—t) тоже я в л я е т с я решением), то из сущ;ествования асимптотических решений выте­ кает неустойчивость равновесия х =^ 0. Обратное неверно. Вот простой п р и м е р : X = {х^, х^) е R2, L = ±1 + ^'1 + х1' Теорема. Пусть х -= О — критическая точка аналитической функции и (х), которая не является ее локальным минимумом. Асимптотическое решение (к точке х = 0) уравнений Лагранжа существует^ если выполнено одно из следующих условий'. A) и {х) — квазиоднородная функция^ Б) и {х) — полуквазиоднородная функция, B) п =^ 2 и X =^ О — изолированная критическая точка и {х). 2. П р и доказательстве теоремы и с п о л ь з у е т с я следующая Л е м м а . Пусть а: =^ О — изолированная критическая точка гладкой функции и {х), которая не является ее локальным минимумом. Если в области C/J = (х: | о; ( <^ <^ 8, U [х) <С. 0} существует дифференцируемое векторное поле v (х) такое, что 1) '17, u'> < 0 в и~^ 2 ) ^ 1 ; ' ^ , Ь>с1^ V^eR^, ^х^ и-(с= consi>0), 3) \ V {х) \ = О (\ X \) при X -^ О, то уравнения Лагранжа имеют асимптотическое решение. Д л я доказательства рассмотрим дифференцируемую функцию времени / (t) = = ' W (х), dkldx) |^/^ч, где w = v — си'. П р и малых о У> О ж \ х \ с п р а в е д л и в а оценка f ^ С\ ^ + ^^^' ? <^1 > О (см. [1]). Пусть решение х (t) л е ж и т на нулевом у р о в н е э н е р г и и . Так к а к / {t) ограничена, когда х (t) е f7~, и / ^ ои'\ то х (t) либо покинет за конечное время малую область U~^ либо будет асимптотически п р и б л и ж а т ь с я к точке х = О, Предположим, что у р а в н е н и я не имеют асимптотических решений. Пусть х^ е С7~ и ^ш -^ О п р и т —^ оо. Проходящие через них т р а е к т о р и и покидают область U~, п е р е ­ секая сферу I о: I = 8 в некоторых точках г/^ с некоторыми скоростями v.^. Рассмотрим последовательность решений х^^ (t) с н а ч а л ь н ы м и у с л о в и я м и Xm(0) = yjri', ^т(^)== —Vm- Д л я любого Г > 0 , начиная с некоторого номера т , значения х^ (t) е 6 ~ при о ^ ^ ^ Т. Последовательность ф у н к ц и й Хт (t): [О, Т] -^ U~ равностепенно н е ­ прерывна (так к а к согласно интегралу энергии | i^ | ^ >^, х >> 0). По теореме А р ц е л а , существует подпоследовательность х^ (t), с х о д я щ а я с я на [О, Т] к некоторой непрерыв­ ной функции х^^"^ (t). Н а ч и н а я с некоторого номера р определены ф у н к ц и и х^ (/): [О, 2Т] ^ и~, причем из этой последовательности можно выделить подпоследователь­ ность равномерно сходящуюся к функции х^^^ (t). Н а [О, Т] ф у н к ц и и :г;^^^ (^) и х^^^ {t) Существование асимптотических движений 73 совпадают. Продолжая этот процесс неограниченно, получим предельную непрерывную функцию X (t): [О, оэ) —^ и~. Поскольку решения непрерывно зависят от начальных данных, то X (t) дифференцируема и удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Так как X (t) ^ и~ при всех ^ > О, то х {t) -^ О при t -^ сю. 3. Пусть сначала критическая точка х = О изолирована. Многочлен и (х) — квазиоднородная функция степени s e N с показателями а^, . . ., а^^ ^ ^^ если при любом А. е R имеем и {Х'^^^х^, . . ., X '^х^) = Х^и {xi, . . ., х^). В случае А) можно по­ ложить V (х) = Dx, где D =--- diag (а^, . . ., а^). Функция и (х) полуквазиоднородна, если и = UQ -{- щ, где UQ — квазиоднородная функция степени s с изолированной осо­ бенностью, а щ = о {\ X \^), \ X \^ = 11 \ xi\ ^ — «квазиоднородная» норма в R^. В случае Б) поле V (х) является некоторым возмущением поля Dx (см. [1]). В случае В) вектор­ ное поле V построено в работе В. П. Паламодова [2] (в предположении, что К (х) ^ = £•; в работе [3] предложен прием, позволяющий обойти эту трудность). Оно, правда, не везде дифференцируемо, однако это не влияет на существование асимптотического решения. Если в случае А) критическая точка ж = О не изолирована, то наличие асимп­ тотического решения можно доказать следующим образом. Рассмотрим функцию / (t) = ^Dz (t), z (t)), где z (t) — решение с нулевым запасом полной энергии. Можно показать, что при малых е в области 6~ справедлива оценка f^—c^^u, с^^О. Приме­ няя рассуждения п. 2, получим «предельное» решение х (t) такое, что х {t) е й~ при достаточно больших t и замыкание траектории х (t) содержит точку х = 0. Очевидно равенство 2 / = ^ 2 a ^ : z : ^ , где ^ = 1 п 2 а ^ л - ^ ^ Вдоль решения х (t) функция / ( ^ ) < 0 . Значит, функция g (t) монотонно убывает, принимая при этом сколь угодно большие отрицательные значения. Следовательно, ^ (^) —. —оо при t—^ оо ж поэтому x{t)—^0. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Козлов В. В.— УМН, 1981, т. 36, № 3, с. 215—216. 2. Паламодов В. Л — Функц. анализ, 1977, т. И , № 4, с. 42—55. 3. Козлов В. В.— УМН, 1981, т. 36, № 1, с. 209—210. Московский государственный университет Поступило в редакцию 23 ноября 1981 г.