π σ π σ μ φ

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на
практике. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях,
когда случайная величина является результатом действия большого числа
различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные
законы распределения.
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон
распределения (закон Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид:
f ( x) 
1
e
 2

( x )2
2 2
,
где  - математическое ожидание, а  - среднее квадратическое отклонение
случайной величины; е - основание натуральных логарифмов.
График плотности вероятности нормально распределенной случайной
величины называется нормальной кривой распределения или кривой Гаусса
(рис. 1).
Рис.1.
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1. Функция определена на всей числовой оси.
2. При всех x функция распределения принимает только положительные
значения.
3. Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика плотности
вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной
величине аргумента x , значение функции стремится к нулю.
4. Функция является симметричной относительно прямой x   .
5. Функция имеет максимум в точке
 max (  ) 
1
.
 2
x   , равный
1
 2
, т.е.
6. Функция
имеет
 пер (    ) 
две
точки
перегиба
x   
с
ординатой
1
.
 2e
Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров
 и.
Если   const , и меняется параметр  (1   2  3 ) , то нормальная
кривая смещается вдоль оси абсцисс, не меняя формы (рис. 2).
Если   const и меняется параметр  2 (или  ), то меняется ордината
1
максимума кривой f max (  ) 
. При увеличении
 ордината
 2
максимума кривой уменьшается, но так как площадь под любой кривой
распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится
более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении  ,
напротив, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с
боков (рис. 3).
Рис. 2.
Рис. 3.
Таким образом, параметр  характеризует положение центра, а параметр  2
– форму нормальной кривой.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами
  0 и   1 ,т.е. N (0;1) называется стандартным или нормированным, а
соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.
Непосредственное нахождение функции распределения случайной
величины, распределенной по нормальному закону, по формуле (.10) и
вероятности ее попадания на некоторый интервал по формуле (.9) достаточно
сложно, т.к. интеграл от функции (.10) является «неберущимся» в
элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию Лапласа:
1 x 
Ф( x ) 
e
2 
где u 
x

u2
2 du ,
. Для функции Лапласа составлена таблица ее значений (прил. ).
Функция Ф(x) обладает следующим свойством:
Ф( x)  1  Ф( x) .
Поэтому функция
Ф(x)
в приложении 1
приведена только для
положительных значений аргумента.
Применяя функцию Лапласа можно определить вероятность попадания
нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной
величины X , распределенной по нормальному закону, в интервал  x1 , x2  ,
равна
x 
x 
P( x1  X  x2 )  Ф( x2 )  Ф( x1 )  Ф 2
  Ф 1
.
  
  
Формула позволяет вычислить вероятность попадания любой
нормально распределенной случайной величины X в интересующий
интервал.
Вычислим вероятность попадания нормально распределенной
случайной величины в интервалы: 1)    ,    ; 2)   2 ,   2  ,
3)
  3 ,   3  .
     
     
1) P(     X     )  Ф
  Ф
  Ф(1)  Ф(1) 






 Ф(1)  1  Ф(1)  2Ф(1)  1  2  0,8413  1  0,6826 или 68,26% .
   2   
   2   
2) P(   2  X    2 )  Ф
  Ф
  Ф(2)  Ф(2) 






 Ф(2)  1  Ф(2)  2Ф(2)  1  2  0,9772  1  0,9544 или 95,44% .
   3   
   3   
3) P(   3  X    3 )  Ф
  Ф
  Ф(3)  Ф(3) 






 Ф(3)  1  Ф(3)  2Ф(3)  1  2  0,9987  1  0,9974 или 99,74%
Отсюда вытекает «правило трех сигм»: если случайная величина X
имеет нормальный закон распределения с параметрами  и  , то
практически достоверно, что ее значения заключены в интервале
(  3 ,   3 ) , т.к. вероятность нахождения ее значений в данном
интервале P(  3  x    3 )  99,72%  100% или 1.