Сборник задач по курсу общей физики. Часть 3

Министерство образования Российской Федерации
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
В.Г. Казачков
Ф.А. Казачкова
С.Н. Чмерев
Т.М. Чмерева
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Часть 3
Учебное пособие для заочного отделения
Оренбург 2000
ББК 22.3я7
С 23
УДК53 (076.5)
Рекомендовано Редакционно - издательским Советом ОГУ
протокол №_________, от ____________________ 2000 г.
Рецензент
кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков
Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерев С.Н., Чмерева Т.М.
С 23
Сборник задач по курсу общей физики. Часть 3: Учебное
пособие для заочного отделения.- Оренбург:ОГУ,2000. - 122 с.
Учебное пособие предназначено для выполнения контрольных работ по физике студентами-заочниками инженерно-технических специальностей.
ББК 22.3я7
C
1604010000
6Л9 - 2000
” Казачков В.Г., 2000
” ОГУ, 2000
2
Содержание
Введение ...................................................................................................................4
1 Механические колебания.....................................................................................6
1.1 Основные формулы и соотношения ................................................................6
1.2 Методические указания ..................................................................................10
1.3 Примеры решения задач .................................................................................11
1.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................25
2 Электромагнитные колебания...........................................................................31
2.1 Основные формулы и соотношения ..............................................................31
2.2 Методические указания ..................................................................................33
2.3 Примеры решения задач .................................................................................34
2.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................39
3 Электромагнитные волны. Излучение .............................................................43
3.1 Основные формулы и соотношения ..............................................................43
3.2 Методические указания ..................................................................................44
3.3 Примеры решения задач .................................................................................46
3.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................49
4 Интерференция волн ..........................................................................................53
4.1 Основные формулы и соотношения ..............................................................53
4.2 Методические указания ..................................................................................54
4.3 Примеры решения задач .................................................................................56
4.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................62
5 Дифракция волн..................................................................................................68
5.1 Основные формулы и соотношения ..............................................................68
5.2 Методические указания ..................................................................................70
5.3 Примеры решения задач .................................................................................72
5.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................76
6 Поляризация электромагнитных волн..............................................................81
6.1 Основные формулы и соотношения ..............................................................81
6.2 Методические указания ..................................................................................83
6.3 Примеры решения задач .................................................................................84
6.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................90
7 Дисперсия и поглощение волн..........................................................................95
7.1 Основные формулы и соотношения ..............................................................95
7.2 Методические указания ..................................................................................96
7.3 Примеры решения задач .................................................................................97
7.4 Задачи для контрольной работы ....................................................................99
8 Элементы квантовой механики.......................................................................104
8.1 Основные формулы и соотношения ............................................................104
8.2 Методические указания ................................................................................106
8.3 Примеры решения задач ...............................................................................108
8.4 Задачи для контрольной работы ..................................................................117
Список использованных источников ................................................................122
3
Введение
Данный сборник является третьей частью издаваемого кафедрой физики в помощь студентам заочного отделения учебно-методического пособия.
При составлении сборника основное внимание было уделено тщательному
подбору задач для контрольных работ, анализу как методических, так и физических подходов к решению типовых задач.
Исходя из требований государственного образовательного стандарта, в
данный сборник включены задачи по колебательным и волновым процессам.
Кроме того, к волновым процессам мы отнесли задачи по выделению микрочастиц, так как уравнение Шредингера - волновое уравнение. При таком
подходе, многие задачи являются естественным продолжением задач, описанных во второй части сборника, в новых условиях переменных полей. Это
позволило показать единые методические подходы к решению задач по колебательным процессам различной физической природы, увязать между собой различные разделы курса физики.
Данный сборник написан коллективом авторов. Работа по составлению
и изданию пособия распределилась следующим образом: задачи к темам
"Интерференция и дифракция" подобраны Казачковой Ф.А., задачи к теме
"Элементы квантовой механики" подобраны Чмеревой Т.М., Чмеревым С.Н.,
задачи к теме "Электромагнитные волны. Излучение" подобраны Казачковым В.Г., задачи к остальным темам подбирались всеми авторами. Методические указания к решению задач, примеры решения типовых задач и их
объяснения составлены Казачковым В.Г.
Общие методические указания
а) Задачи, приведенные в данном сборнике, являются логическим продолжением задач по механике, электричеству и электромагнетизму. Поэтому,
прежде чем приступить к решению задач, мы рекомендуем еще раз обратиться к соответствующим методическим материалам предыдущего семестра. Без этого вы можете столкнуться с целым рядом вопросов при решении задач, так как усвоение нового материала, в данном случае, без повторения соответствующих разделов учебника, затруднительно.
б) Все общеметодические указания первой и второй частей сборника справедливы и в данном пособии, поэтому мы ограничимся только краткой
справкой по оформлению и сдаче контрольных работ.
в) Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условия задач в
контрольной работе надо переписать полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя необходимо оставлять поля.
г) Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан
представить ее на повторную рецензию, включив в нее те задачи, решения
4
которых оказались неверными или потребовали дополнительных уточнений. Повторную работу необходимо представить вместе с незачтенной.
д) Законченные контрольные работы представляются экзаменатору. Студент
должен быть готов во время экзамена (зачета) дать пояснения по существу
решения задач, входящих в контрольную работу. В противном случае не
ставится зачет (экзамен).
е) Количество задач, входящих в контрольную работу, определяется ведущим преподавателем, но не должно превышать десяти.
ж) Контрольная работа должна быть сдана до начала сессии.
5
1 Механические колебания
1.1 Основные формулы и соотношения
Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями:
(1.1)
х A cosZt M 0 ,
V
a
x
ZA sin Zt M 0 ,
x Z 2 A cosZt M 0 Z 2 x ,
(1.2)
(1.3)
где
A - амплитуда колебания;
Z - циклическая частота;
M 0 - начальная фаза.
Циклическая частота Z , период колебаний Т и частота Q связаны соотношениями
Z 2S
2SQ .
(1.4)
T
При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:
а) одинаковой частоты и разной амплитуды получается гармоническое
колебание той же частоты, амплитуда которого А и фазовая постоянная 4
определяются соотношениями
A2
A12 A22 2 A1 A2 cosM 2 M1 ,
tg4
A1 sin M1 A2 sin M 2
,
A1 cosM1 A2 cosM 2
(1.5)
(1.6)
где
A1, A2 - амплитуды складываемых колебаний;
M1 и M2 - их начальные фазы.
б) разных частот, но одинаковой амплитуды, получится соотношение
x
x1 x2
a cosZ1t a cosZ 2t
2a cos
Z1 Z 2
Z Z2
t ˜ cos 1
t.
2
2
(1.7)
При сложении двух взаимно перпендикулярных (оси колебаний взаимно перпендикулярны) гармонических колебаний одинаковой частоты и разных амплитуд колеблющаяся точка описывает эллиптическую траекторию,
которая задается уравнением
6
x2
A12
y2
2 xy
cosM
A1 A2
A22
sin 2 M ,
(1.8)
лежащем в основе оптической поляризации.
При сложении большего числа n гармонических колебаний одной амплитуды а с последовательным сдвигом по фазе на G:
a cosZt a cosZt G a cosZt 2G ... a cos>Zt n 1G @ ,
получается гармоническое колебание
R cosZt D ,
где
R
a
sinnG / 2
,
sinG / 2
(1.9)
n 1 G .
(1.10)
D
2
Если n o f , а сдвиг по фазе G очень мал, так что sin G 2 o G 2 , то
R
na
D
sin D
D
A
n 1 G
|
2
sin D
,
D
(1.11)
nG
.
2
(1.12)
Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании
(квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в
сторону, противоположную смещению:
F
ma
mZ 02 x
kx ,
(1.13)
где k mZ 02 - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой,
вызывающей смещение x, равное единице.
Уравнение движения тела под действием квазиупругой силы имеет вид
x Z 02 x 0 ,
(1.14)
где
7
Z0
k /m
(1.15)
есть собственная частота колебаний системы.
Частота колебаний математического маятника длиной l равна
q
.
l
Z0
(1.16)
Частота колебаний физического маятника
Z0
mgd
,
J
(1.17)
где
J - момент инерции маятника относительно оси качаний;
d - расстояние от оси до его центра масс.
Полная энергия тела, совершающего свободные гармонические колебания, постоянна и равна
E
mZ 2 A 2 / 2 .
(1.18)
При наличии силы сопротивления Fсопр, пропорциональной скорости
( Fсопр rv , где r- коэффициент сопротивления), уравнение движения имеет
вид:
mx rx kx 0 .
(1.19)
Решение уравнения (1.19) запишется в виде
x
A0 e E t cosZt M 0 ,
(1.20)
где
x - смещение в затухающих колебаниях;
E - коэффициент затухания;
Z - частота колебаний;
A0 , M 0 - начальные амплитуда и фаза, которые задаются начальными условиями.
Величины E, Z выражаются через параметры системы r, k, m формула-
ми:
E
Z
8
Z 02 E 2
r / 2m ,
k / m r 2 / 4m 2 .
(1.21)
(1.22)
Уменьшение амплитуды при затухающих колебаниях характеризуется
логарифмическим декрементом затухания - логарифм отношения двух значений амплитуды, разделенных во времени одним периодом:
ln An / An 1 ET .
O
(1.23)
Время, необходимое для уменьшения амплитуды в e раз, называется
временем релаксации, т.е.
e Et
A / A0
e 1 ,
откуда время релаксации
W 1/ E
2m / r .
(1.24)
Уменьшение энергии при затухающих колебаниях характеризуется
добротностью, которая равна числу радиан, на которые изменится фаза
колебаний при уменьшении энергии в e раз, т.е.
Z0m
r
Q
Z0
.
2E
(1.25)
При наличии вынуждающей силы, меняющейся по гармоническому закону F F0 cos Zt , уравнение движения имеет вид:
F0 cos Zt ,
mx rx kx
или
F0
cosZt .
m
x 2 E x Z 0 x
(1.26)
Решение уравнения (1.26) запишется в виде
A cosZt M ,
x
где
А - амплитуда вынужденных колебаний, равная
A
Z 02
F0 / m
Z
2 2
,
2
4E Z
(1.27)
2
и фаза колебания
9
M
arctg
2GZ
.
Z 02 Z 2
(1.28)
Резонансная циклическая частота равна
Z рез
Z 02 2 E 2 .
(1.29)
1.2 Методические указания
а) Кинематика колебательного движения.
1.2.1 Уравнение гармонического колебания можно записать двумя способами, основанными на известной связи между синусом и косинусом:
cosD
S·
§
sin¨D ¸ ,
2¹
©
sin D
S·
§
cos¨D ¸ .
2¹
©
Поэтому смещение, скорость и ускорение того же самого гармонического колебания, которое описывается формулами (1.1)-(1.3), всегда можно
записать в виде уравнений:
x
V
a
A sin Zt M c ,
x ZA cosZt M c ,
x Z 2 A sin Zt M c Z 2 x ,
M c M0 S / 2 .
Начальные фазы M 0 или M c находятся из начальных условий.
1.2.2 Из системы уравнений (1.1)-(1.3) следует, что максимальному
смещению при гармоническом колебании соответствует нулевая скорость и
максимальное ускорение, направленное противоположно смещению (в сторону равновесия). Наоборот, в положении равновесия x 0 скорость максимальна, а ускорение равно нулю.
1.2.3 При сложении nn ! 2 одинаково направленных гармонических
колебаний равных периодов амплитуду и начальную фазу можно находить
по формулам (1.5) и (1.6), последовательно применяя их n 1 раз. Однако
более эффективным в этом случае является метод векторных диаграмм (см.
задачу 3 и литературу /1/-/3/).
1.2.4 В задачах на определение траектории точки, участвующей в двух
взаимно перпендикулярных колебаниях, следует исключать время t из уравгде
10
нений складываемых колебаний, представленных в виде
x
A1 cosZ1t M1 ,
y
A2 cosZ 2t M 2 .
Если при этом Z1 Z 2 , то результирующей траекторией движущейся
точки будет эллипс.
б) Динамика колебательного движения.
1.2.5 Следует иметь в виду, что при решении задач на колебательное
движение используются уже рассмотренные в первой части издания законы
кинематики и динамики. Поэтому, как и в задачах по динамике материальной
точки, необходимо в начале записать уравнение колебательного движения,
т.е. второй закон Ньютона в векторной форме, а затем спроектировать его на
оси (см. Сборник задач, часть 1, раздел “Динамика”).
1.2.6 В случае, если тело совершает колебания только под действием
квазиупругой силы, то независимо от природы этой силы уравнение движения описывается выражением (1.14).
1.2.7 Циклическая частота Z затухающих колебаний, как это следует из
соотношения (1.22), всегда меньше собственной частоты Z 0 свободных колебаний. Таким образом, сопротивление среды приводит к уменьшению
частоты колебаний, но колебание все равно остается гармоническим.
1.2.8 Если, при решении задач, выполняются эквивалентные друг другу
условия:
E 2 Z 2
O2 4S 2 ,
или
то сопротивлением среды можно пренебречь. В этом случае колебания совершаются с частотой собственных колебаний системы.
1.2.9 Многие задачи на колебательное движение удобней и проще решать, используя математический аппарат комплексных чисел.
1.3 Примеры решения задач
Задача 1. Материальная точка совершает гармонические колебания с
частотой Q 500 Гц и амплитудой А = 0.020 см. Определить средние значения скоростей V и ускорения a точки на пути от ее крайнего положения
до положения равновесия, а также найти максимальное значение этих величин: Vмакс и aмакс.
Решение. По определению средней скорости имеем
11
V
'l / 't ,
(1.30)
где 'l - путь, пройденный за время 't .
В данном случае 'l A, 't T / 4 , поскольку за время периода Т колеблющаяся точка проходит путь, равный 4 амплитудам. Подставив эти значения 'l и 'T в (1.30), получим
V
4A/T
4QA .
(1.31)
По формуле (1.2), положив sin Zt M 0 1 , найдем максимальную скорость:
(1.32)
V макс ZA 2SQA .
Согласно определению среднего ускорения, запишем:
a
'V / 't ,
(1.33)
где 'V V V0 . В данном случае начальная скорость V0 0 , конечная
скорость V V макс ZА . Подставив значения 'V и 't T / 4 в формулу
(1.33), получим:
(1.34)
a 4ZA / T 8SQ 2 A .
По формуле (1.3), приняв cosZt M 0 1 , найдем максимальное значение ускорения:
(1.35)
a макс Z 2 A 4S 2Q 2 A .
После подстановки числовых значений в формулы (1.31), (1.32), (1.34),
(1.35) и выполнения вычислений, получаем:
V
0.4 м/с; Vмакс=0.63 м/с;
a
1.2 ˜ 103 м/с2;
a макс
2.0 ˜ 10 3 м/с2.
Замечание. Методом среднего арифметического для нахождения V и
a здесь пользоваться нельзя, поскольку скорость и ускорение при гармоническом колебании, как это следует из формул (1.2) и (1.3), не являются линейными функциями времени.
Рисунок 1.1
12
Задача 2. За какую часть периода точка, совершающая колебание, пройдет путь, равный:
а) половине амплитуды, если в начальный
момент она находилась в положении равновесия;
б) одной трети амплитуды, если в начальный
момент времени она находилась в крайнем положении.
Решение. а) Путь l1 = A / 2, пройденный точкой в гармоническом колебании при движении от положения равновесия к крайнему положению, равен
смещению x, определяемому уравнением (1.1), которое с учетом (1.4) запишем так:
(1.36)
x A cos 2St M 0 .
T
Чтобы найти начальную фазу M 0 , воспользуемся начальными условиями задачи: x = 0 при t = 0. Подставив эти значения x и t в (1.36), получим
S
M r . Считая, что точка движется в сторону положительных значений x,
2
S
мы должны взять M 0 . Следовательно,
2
x
S·
§
A cos¨ Z t ¸
2¹
©
A sin Z t
A sin§¨ 2S t ·¸ .
T¹
©
(1.37)
Примечание. Если бы мы записали гармоническое колебание в виде
x
A sin Zt M 0 ,
то после подстановки начальных условий, получили бы M 0 0 , т.е. сразу выражение (1.37). В этом плане обратите внимание на пункт 1.2.1 методических указаний.
Подставив в (1.37) значение x A / 2 , получим искомое время, выраженное в долях периода:
t T / 12 .
б) Точка движется из крайнего положения, поэтому начальные условия
будут теперь: x = A при t = 0. Подставив эти значения x и t в уравнение
(1.36), получим M0 = 0. Следовательно,
x
A cos§¨ 2S t ·¸ .
T¹
©
(1.38)
Чтобы избежать ошибок, учтем, что исходное уравнение (1.1) выражает
смещение x точки при гармоническом колебании, отсчитанное от положения
равновесия (точка 0 на рисунке 1.1), но не путь, пройденный точкой. Лишь в
частном случае движения точки из положения равновесия к крайнему положению эти величины численно равны (этим мы воспользовались в первом
случае). Если точка, двигаясь из крайнего положения, прошла путь l2 = A / 3,
13
то как видно из рисунка 1.1, ее смещение равно
x
A l2
2
A.
3
2
Подставив это значение x в (1.38), получим cos§¨ 2S t ·¸
. Отсюда,
T¹ 3
©
пользуясь таблицей косинусов, найдем искомое время в долях периода:
2S
t
T
$
48 ,
t
48$
360
T
$
T
.
7.5
Задача 3. Материальная точка участвует в трех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:
3 cos t ,
x1
(1.39)
x2
3 cos t S
x3
3sin t 7S
3
,
6
(1.40)
.
(1.41)
Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания,
написать его уравнение. Все смещения даны в сантиметрах.
Решение. Так как точка участвует в трех гармонических колебаниях, то
и результирующее колебание будет также гармоническим колебанием. Его
амплитуду и начальную фазу можно найти по формулам (1.5) и (1.6). Однако
они выведены для случая, когда складываемые колебания содержат одну и ту
же тригонометрическую функцию: синус или косинус. Поэтому перепишем
уравнение (1.41), выразив x через косинус:
x3
3sin t 7S
6
3 cos t 7S
6
S
2
3 cos t 2S
3
.
(1.42)
Сравнив (1.39), (1.40), (1.42) с общим уравнением смещения гармонических колебаний (1.1), видим, что складываемые колебания характеризуются следующими величинами: амплитуды A1=A2=A3=3 см, циклические частоты Z1 Z 2 Z 3 1 с–1; начальные фазы M1 0;M 2 S ;M 3 2S .
3
3
С помощью формул (1.5) и (1.6) можно последовательно сложить вначале любые два из трех заданных колебаний. Затем, еще раз применив эти
формулы, найти амплитуду A и начальную фазу M результирующего колебания.
14
К этому же результату придем быстрее, применив метод векторных
диаграмм. Сущность его в том, что амплитуду A и начальную фазу M результирующего колебания находят путем сложения векторов. Длина каждого
вектора берется равной амплитуде соответствующего складываемого колебания, а угол, образованный вектором с осью x, - начальной фазе. Величины A
и M определяются длиной результирующего вектора и углом его наклона к
оси x.
На рисунке 1.2 построена векторная диаграмма по данным задачи. Из чертежа сразу получаем M=S/3, A=2A, т.е. A=6 см. Теперь запишем
уравнение результирующего колебания:
x 6 cos t S
3
.
Рисунок 1.2
Задача 4. Известно, что сложное колебание, график которого представлен на рисунке 1.3, состоит из двух гармонических колебаний. Найти их частоту и амплитуды.
Решение. Приведенный график изображает
гармоническое колебание с медленно периодически
изменяющейся амплитудой. Такие колебания, называемые биеРисунок 1.3
ниями, получаются в
результате сложения
двух одинаково направленных гармонических колебаний с мало различающимися частотами. При этом частота сложных колебаний Q оказывается равной полусумме частот слагаемых колебаний Q1 и Q2:
Q
Q1 Q 2
,
2
(1.43)
а частота изменения амплитуды, называется частотой биений, равна
разности частот:
Q ампл
Q1 Q 2 .
(1.44)
Из графика видно, что за одну секунду произошло девять полных колебаний, значит, Q = 9 Гц. За это же время свершились два полных цикла изменения амплитуды, следовательно, Qамп = 2 Гц. Подставив в (1.43) и (1.44) зна15
чения Q и Qамп и решив систему уравнений, найдем:
Q1 = 8 Гц;
Q2=10 Гц.
Амплитуда сложного колебания в каждый момент времени определяется формулой (1.5). При этом ее максимальное значение при M 2 M1 0 равно:
(1.45)
Амакс= А1 + А2.
Минимальное значение амплитуды получим при M 2 M1 S :
Амин= А1 – А2.
(1.46)
Но из графика видно, что Амакс= 2 см, Амин= 0. Подставив эти значения
Амакс и Амин в (1.45) и (1.46), найдем:
А1 = А2 = 1 см.
Примечание. Общее уравнение биений легко получить, складывая два
гармонических колебания x1 a1 cosZ1t M1 и x2 a2 cosZ 2 t M 2 , считая,
что а1 = а2 = а, Z1 | Z 2 Z , M 2 M1 G . Тогда по правилам сложения косинусов получим:
Z Z1
x x1 x2 2a cos 2
t cosZ t G ,
2
Z Z1
где выражение 2a cos 2
t дает значение амплитуды биений, мед2
ленно меняющейся с течением времени, т.к. по условию Z 2 | Z1 .
Задача 5. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями x 2 sin S t ; y cos S t (смещения даны в сантиметрах). Найти уравнение траектории и построить ее на
чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t = 0.5 с.
Решение. Так как циклические частоты складываемых колебаний совпадают, траекторией точки будет эллипс. Исключим время t из заданных
уравнений, для чего возведем оба уравнения в квадрат:
16
x2
4 sin 2 S t ,
y2
cos 2 S t .
Затем, т.к. sin 2 S t 1 cos 2 S t , т.е. sin 2 S t 1 y 2 , получим
x2
4 4y2 .
Приводя это уравнение к виду
x2 y2
4
1
1,
получим каноническое уравнение эллипса с полуосями а = 2 см, b = 1 см (рисунок 1.4). Чтобы определить направление движения по эллипсу, учтем, что
в момент t = 0 имеем x = 0, y = –1 см и, следовательно, точка находится в положении А
(рисунок 1.4). При возрастании t увеличивается смещение x, значит, точка движется по
траектории против
& часовой стрелки.
Скорость V при ее движении по&эллип&
су равна векторной сумме скоростей Vx и V y
в слагаемых колебаниях. Поскольку колебаРисунок 1.4
ния взаимно перпендикулярны, то
V
Vx2 V y2 .
(1.47)
Аналогично определяется искомое ускорение:
a
a x2 a 2y ,
(1.48)
где ax и ay - ускорения в слагаемых колебаниях.
По формулам (1.2) и (1.3) имеем:
Vx
2S cos S t ;
Vy
S sin S t ;
ax
2S 2 sin St ; a y
S 2 cosSt .
Подставив эти значения, соответственно, в формулы (1.47) и (1.48), найдем
V
4S 2 cos 2 S t S 2 sin 2 S t ,
a
4S 4 sin 2 S t S 4 cos 2 S t .
17
Взяв t = 0.5 с и выполнив вычисления, получим:
а = 19.7 см/с2.
V = 3.14 см/с;
Задача 6. На концах тонкого стержня длиной l = 30 см и массой
mст = 400 г укреплены грузики m1 = 200 г, m2 = 300 г. Стержень колеблется
около горизонтальной оси, проходящей через его середину (рисунок 1.5).
Определить период колебаний, совершаемый стержнем. Размерами грузиков
пренебречь.
Решение. Период колебания физического маятника, каким является стержень с
грузиками, определяется по формуле
T
2S
L
,
g
(1.49)
где L - приведенная длина физического маятника;
g - ускорение свободного падения.
В свою очередь приведенная длина физического маятника определяется по формуле
Рисунок 1.5
L
J
,
md
(1.50)
где
J - момент инерции маятника;
m - масса маятника;
d- расстояние от центра масс маятника до оси вращения.
Момент инерции физического маятника J состоит из моментов инерции грузиков J1 и J2 и момента инерции J3 стержня:
J=J1+J2+J3.
(1.51)
Так как размерами грузиков пренебрегаем (из условия задачи), то рассматриваем их как материальные точки, моменты инерций которых равны, соответственно,
J1 m1 l 22 ;
J 2 m2 l 22 .
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину,
определяется по формуле
1
J3
mстl 2 .
12
18
В задачах по общей физике формулы для расчета моментов инерции тел
обычно заданы. Общий момент инерции физического маятника, согласно
(1.51)
2
J
2
1
§l·
§l·
m1 ¨ ¸ m2 ¨ ¸ mст l 2
© 2 ¹ 12
© 2¹
l2
3m1 3m2 mст .
12
(1.52)
Подставляя в (1.52) числовые данные из условия задачи, получим
J
1.42 ˜ 10 2 кг˜м2.
Масса физического маятника состоит из массы стержня и масс грузиков, т.е.
откуда
m = 0.9 кг.
m = mст+m1+m2,
Для определения расстояния d центра масс от оси вращения запишем
условие равновесия стержня с грузиками, находящегося в горизонтальном
положении, т.е. сумма моментов сил относительно оси должна равняться нулю.
§l
·
§l
·
m1 g ¨ d ¸ mст gd m2 g ¨ d ¸ 0 .
©2
¹
©2
¹
Сократив на g и решив уравнение относительно d, получим
d
l m2 m1 2m1 m2 mст l m2 m1 .
2m
(1.53)
Подставив в (1.53) числовые данные, получим
d
1.67 ˜ 10 2 м.
Теперь, подставляя в формулы (1.49) и (1.50), полученные числовые
данные, найдем значение периода колебаний
T = 2 с.
Задача 7. Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает ее на x0 = 5.0 см. Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали и отпущено, в результате чего оно стало совершать колебания. Найти их частоту.
Решение. Если бы тело совершало колебания только под действием упругой силы пружины Fупр = -kx, их частоту можно было определить из урав19
нения (1.14). В данном случае на тело действует еще сила тяжести mg. Чтобы
выяснить ее влияние на колебания груза, рассмотрим силы, действующие на
тело, в двух случаях:
а) тело неподвижно висит на пружине. Равнодействующая сил (они
приложены вдоль одного направления), приложенных к телу, F1 = 0. Приняв
направление вниз за положительное, запишем
F1
mg kx0
0;
(1.54)
б) тело смещено из положения равновесия на xc . Будем считать xc величиной алгебраической. Пружина в этом случае растянулась на x0 x c .
Равнодействующая сил, приложенных к телу, равна
F2
mg k x 0 x c .
Раскрывая скобки и учитывая (1.54), получим
F2
kx c .
(1.55)
Из (1.55) видно, что равнодействующая сил Fупр и mg пропорциональна
растяжению пружины и противоположно ему направлена, если только это
растяжение отсчитывать от положения равновесия висящего на пружине груза. Следовательно, и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания. Согласно формулам (1.54) и (1.55) k mg / x0 , тогда
частота колебаний по формуле (1.15) равна
Z
k
m
g
.
x0
(1.56)
Подставляя в (1.56) числовые данные задачи, получим:
Z
9.8
14 Гц.
0.05
Задача 8. Ареометр массой 55 г, плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости U = 1.27 г/см3. Если прибор незначительно сместить из положения его равновесия по вертикали и отпустить, он
начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить их частоту, если радиус цилиндрический трубки ареометра, в которой заключена его
шкала, равен R = 0.30 см.
Решение. На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы:
сила тяжести mg и выталкивающая (архимедова) сила FA, равная весу жидко20
сти, вытесненной телом:
FA
mж g
UVg ,
где V- объем вытесненной жидкости, равный объему погруженной части ареометра.
Как и в предыдущей задаче, выясним соотношение между действующими на тело силами в двух случаях:
а) ареометр находится в равновесии. Приложенные к нему силы уравновешивается, т.к. направлены вдоль одной прямой. Приняв направление
вниз за положительное, запишем
mg UgV
0;
(1.57)
б) ареометр смещен из положения равновесия по вертикали на величину x (x- алгебраическая величина). Поскольку изменится объем погруженной
части прибора, выталкивающая сила также изменится. К ареометру будет
приложена равнодействующая, направленная по вертикали и равная
F
mg Ug V 'V ,
(1.58)
где 'V SR 2 x - изменение объема погруженной части прибора.
Подставив в (1.58) это значение 'V и раскрыв скобки, получим, с учетом
(1.57)
(1.59)
F SR 2 Ugx kx ,
где k SR 2 Ug - постоянная величина.
Из выражения (1.59) видно. Что на ареометр действует сила пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, ареометр, совершает гармонические колебания с частотой (1.15)
Z
SR 2 Uq
.
m
(1.60)
Подставляя в (1.60) числовые данные задачи, получим
Z
3.14 ˜ 0.0032 ˜ 1.27 ˜ 9.8
55 ˜ 10 3
2.5 Гц.
Задача 9. Энергия затухающих колебаний маятника, происходящих в
некоторой среде, за время t = 2.00 мин уменьшилось в N = 100 раз. Определить коэффициент сопротивления, если масса маятника m = 0.100 кг.
21
Решение. Коэффициент сопротивления r связан с коэффициентом затухания E и массой m тела соотношением (1.21)
r
2mE .
(1.61)
Чтобы найти величину E, обратимся к уравнению затухающих колебаний (1.20). Стоящий в нем сомножитель
A0 e E t
A
(1.62)
выражает уменьшающуюся со временем амплитуду колебаний. Из (1.18) следует, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно,
обозначив начальную и конечную энергию колебаний через W0 и W, можно
записать:
N
W0
W
2
§ A0 ·
¨ ¸ ;
© A¹
Теперь из (1.62) и (1.63) имеем e E t
A0
A
N.
(1.63)
10 . Логарифмируя, находим
E t ln10.0 ;
E
ln10.0 / t .
Подставив найденное значение E в (1.61), получим ответ:
r
2mln10.0 / t .
Теперь, подставляя числовые данные задачи и учтя, что ln 10.0 = 2.3, получим:
r = 0.0038 кг/с.
Задача 10. Гиря массой 0.500 кг подвешена к пружине, жесткость которой k 32.0 Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период
в двух случаях:
а) за время, в течение которого произошло n1 88 колебаний, и амплитуда уменьшилась в N1 = 2 раза;
б) за время двух колебаний ( n2 2 ) амплитуда уменьшилась в N 2 20
раз.
Решение. Сопротивление среды уменьшает частоту свободных колебаний. Циклическая частота затухающих колебаний определяется по формуле
(1.22), откуда период равен
2S
2S
T
.
(1.64)
2
2
Z
Z E
0
22
Собственную циклическую частоту Z 0 найдем сразу по формуле (1.15), зная
числовые значения m и k пружины:
Z0
k /m
8.0 с-1.
(1.65)
Коэффициент затухания E нельзя найти сразу из условия задачи. Согласно
(1.23) он равен
E O /Т .
(1.66)
Чтобы найти величину O , обратимся к уравнению затухающих колебаний
(1.20). Уменьшающуюся со временем амплитуду с учетом (1.66) выразим
так:
(1.67)
A A0 e E t A0 e O t / T .
Пользуясь введенными в условии задачи обозначениями, можно записать
A0 / A N , t / T n . Тогда из (1.67) следует e On N , откуда, логарифмируя,
имеем
O ln N / n .
Подставив числовые значения N и n для двух случаев, выполним вычисления:
O1 0.0079;
O2 1.5 .
Теперь перепишем формулу (1.64) с учетом (1.66):
T
2S
Z 02 O2 / T 2
.
Получилось квадратное уравнение относительно периода T . Решив его, найдем (отбрасывая отрицательный корень) период колебания:
T
O12
4S 2 O2 Z 0 .
(1.68)
Приступая к вычислениям периода, заметим, что в первом случае
4S 2 . Поэтому, сохраняя достаточно высокую точность, можно в фор-
муле (1.68) пренебречь членом O2 (смотри методические указания к теме,
пункт 1.2.8) и тогда
2S
0.78 с.
T1
Z0
23
Во втором случае нельзя отбросить величину O2 . Тогда производя вычисления по (1.68), получим
T2 = 0.81 с.
Задача 11. Чему равна амплитуда вынужденных колебаний при резонансе A рез , если при очень малой (в сравнении с собственной) частоте вынужденных колебаний она равна A0 0.10 см, а логарифмический декремент
затухания O 0.010 ?
Решение. Как видно из (1.27), амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некотором значении Z Z рез ,
определяемым соотношением (1.29), наступает явление резонанса: амплитуда
достигает максимального значения A рез . Величину A рез выразим по (1.27),
подставив из (1.29) Z рез вместо Z . После ряда упрощений найдем
Aрез
F0
Z 02 E 2 .
2 Em
(1.69)
Из формулы (1.27) можно получить простое соотношение между величинами A0 и F0 / m0 . Учитывая вытекающие из условия задачи соотношения:
Z Z 0 и O2 4S 2 , откуда следует, что E 2 Z 02 (см. пункт 1.2.8 методических указаний), в формуле (1.27) можно пренебречь членами Z 2 и 4 E 2Z 2 .
С учетом сказанного (1.27) запишется в виде:
A0
F0
mZ 02
.
Подставляя данное выражение в формулу (1.69) и пренебрегая величиной E 2
по сравнению с Z 02 , получим
A рез
A0Z 02
2E
Z 02
E
2
A0Z 0
.
2E
(1.70)
Выразим собственную частоту Z 0 и коэффициент затухания по формулам (1.4) и (1.23):
Z 0 2S / T0 ; E O /T ,
где
24
T0 - период свободных колебаний при отсутствии сопротивления;
T - период затухающих колебаний, которые начались бы после
прекращения действия вынуждающей силы.
Подставляя эти значения Z 0 и E в соотношение (1.70) и учитывая, что при слабом затухании (по условию задачи O2 4S 2 ) T | T0 ,
найдем окончательный ответ:
А рез
SA0 / O 31 см.
1.4 Задачи для контрольной работы
1.4.1 Точка колеблется по гармоническому закону. Амплитуда колебания A = 5 см, круговая частота Z = 2 с-1, начальная фаза M 0 0 . Определить ускорение точки в момент, когда ее скорость v = 8 см/с.
1.4.2 Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки vмакс = 10 см/с, максимальное ускорение aмакс = 100 см/с2. Найти
круговую частоту Z колебаний, их период T и амплитуду A. Написать уравнение колебаний.
1.4.3 Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент
времени t смещение точки x1 = 5 см. При увеличении фазы вдвое смещение
точки стало x2 = 8 см. Найти амплитуду A колебаний.
1.4.4 Точка совершает гармонические колебания. В некоторой момент
времени t смещение точки x = 5 см, ее скорость v = 20 см/с и ускорение
80 см/с2. Найти: амплитуду A, круговую частоту Z и фазу колебаний M в рассматриваемый момент времени.
1.4.5 Написать уравнение гармонического колебания, если максимальное ускорение точки 49.3 см/с2, период колебания 2 с и смещение точки от
положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.
1.4.6 Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положения равновесия равном 2.4 см, скорость точки равна
3 см/с, а при смещении равном 2.8 см, скорость равна 2 см/с. Найти амплитуду и период колебания.
1.4.7 Материальная точка массой 10 г колеблется согласно уравнению
St S
x 5 sin( ) см. Найти максимальную силу, действующую на точку, и
5 4
полную энергию колеблющейся точки.
1.4.8 Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания,
равна 3˜10-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, равна 1.5˜10-3 Н.
Написать уравнение колебаний этого тела, если период колебаний равен 2 с и
начальная фаза 60q.
1.4.9 Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых
имеет вид x = 5sin2t см. В момент, когда возвращающая сила впервые достигла значения F = +5 мН, точка обладает потенциальной энергией
П = 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу M.
1.4.10 Период гармонических колебаний материальной точки T = 2 с, а
25
ее полная механическая энергия E = 10-4 Дж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на материальную точку, если
ее масса 10 г. Записать уравнение гармонических колебаний материальной
точки.
1.4.11 Некоторая точка движется вдоль оси по закону
x a sin 2 (Z t S / 4) . Найти:
а) проекцию скорости vx как функцию координаты x;
б) изобразить графики x(t) и vx(x).
1.4.12 Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x около
положения равновесия x = 0. Частота колебаний ω = 4.0 с-1. В некоторый момент координата частицы x0 = 25.0 см и ее скорость vx0 = 100 см/с. Найти координату x и скорость vx частицы через t = 2.40 с после этого момента.
1.4.13 Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой
прямой с периодом Т = 0.60 с и амплитудой А = 10.0 см. Найти среднюю скорость за время, в течение которого она проходит путь А/2:
а) из крайнего положения;
б) из положения равновесия.
1.4.14 В момент t = 0 частица начинает двигаться вдоль оси x так, что
проекция ее скорости меняется по закону v x 35 cos St см/с, где t в секундах.
Найти путь, который пройдет частица за первые t = 2.80 с после начала движения.
1.4.15 Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x по закону x a cos Z t . Считая вероятность Р нахождения частицы в интервале от
–a до +a равной единице, найти зависимость от x плотности вероятности
dP/dx, где dP- вероятность нахождения частицы в интервале от x до x+dx.
Изобразить график dP/dx в зависимости от x.
1.4.16 Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле,
где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как
П x П 0 1 cosDx , где П0 и D- некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
1.4.17 Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле,
где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как П x a x 2 b x ,
где a и b - некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы
около положения равновесия.
1.4.18 Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т1 = Т2 = 1.5 с и равными амплитудами
А1 = А2 = 2 см. Начальные фазы колебаний M1 S / 2 и M 2 S / 3 . Написать
уравнение результирующего колебания.
1.4.19 Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания,
полученного
от
сложения
одинаково
направленных
колебаний
S·
S·
§
§
x1 0.02 sin¨ 5S t ¸ м и x2 0.03sin¨ 5S t ¸ м.
2¹
4¹
©
©
26
1.4.20 Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: x1 sin St см и x2 sin S t 0.5 см. Определить амплитуду и
начальную фазу результирующего колебания.
1.4.21 Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих
вдоль одной прямой и выражаемых уравнениями x1 sin t см и
x2 2 cos t см. Написать уравнение результирующего колебания.
1.4.22 Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 2 с и амплитудами А = 3 см. Начальные
фазы колебаний, соответственно,M1 = 0; M2 = S/3; M3 = 2S/3. Написать уравнение результирующего колебания.
1.4.23 Точка участвует одновременно в трех колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и выраженных уравнениями x1 2 cos t см;
x2 2 sin t S / 4 см; x3 2 cost S / 2 см. Написать уравнение результирующего колебания.
1.4.24 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x 2 sin Z t м и y 2 cosZ t м. Найти траекторию точки, скорость и ускорение.
1.4.25 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x cos S t и y cos S t 2 . Найти траекторию точки. Построить траекторию и указать направление движения точки по ней.
1.4.26 Точка одновременно совершает два гармонических колебания,
происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых
уравнениями x 0.5 sin t см; y 2 cos t см. Найти уравнение траектории и указать направление движения. Определить скорость и ускорение в момент времени t = 0.1 с.
1.4.27 Движение точки задано уравнениями x 10 sin 2t см и
y 5 sin 2t 1.57 см. Найти уравнение траектории, а также скорость и ускорение для момента времени t = 0.5 с.
1.4.28 Движение точки задается уравнениями x 2 cos t 2 см;
y cos t см. Найти уравнение траектории и построить ее на чертеже в масштабе.
1.4.29 Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых x cos St и y 2 cos St 2 .
Определить траекторию и построить ее с соблюдением масштаба.
1.4.30 Написать уравнение результирующего колебания при сложении
следующих
колебаний
одного
направления:
x1 3.0 cos Z t см;
x2 5.0 cosZ t S / 4 см; x3 6.0 sin Z t см.
1.4.31 При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид x a cos 2.1t cos 50.0t см, где
t в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период
биений результирующего колебания.
1.4.32 Точка движется в плоскости xy по закону x c sin Z t ,
27
y b cosZ t , где c, b, Z - положительные постоянные. Найти: уравнение траектории точки y x и направление ее движения по этой траектории; ускоре&
&
ние a в зависимости от ее радиуса-вектора r относительно начала координат.
1.4.33 Написать уравнение результирующего колебания для точки, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой Q 1 Q 2 5 Гц и с одинаковой начальной фазой
M1 = M2 = 60q. Амплитуды колебания соответственно равны А1 = 0.10 м,
А2 = 0.05 м.
1.4.34 Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания O=1.6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при
t T 4 равно 4.5 см. Написать уравнение затухающих колебаний и построить их график для двух периодов.
1.4.35 Построить график затухающего колебания для трех периодов,
уравнение которого дано в виде x e 0.1t sin St 4 .
1.4.36 К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом
пружина удлиняется на 9.8 см. Оттягивая груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания E, чтобы:
а) колебания прекратились через 10 с (считать, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной величины);
б) груз возвращался в положение равновесия апериодически;
в) логарифмический декремент затухания был равен 6?
1.4.37 Амплитуда А колебаний маятника длиной l = 1 м за время
t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент
затухания O.
1.4.38 Логарифмический декремент затухания O = 0.004. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда А уменьшилась в
два раза.
1.4.39 Гиря массой m = 400 г подвешена на пружине жесткостью
k = 15Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания O = 0.003. Сколько полных колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда А колебаний уменьшилась в два раза? За какое время это произойдет?
1.4.40 Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течение
времени t = 40 с тело потеряло 80% своей энергии. Определить коэффициент
сопротивления.
1.4.41 Под действием веса электромотора консольная балка, на которой
он установлен, прогнулась на 'h 1 мм. При каком числе оборотов n якоря
мотора может возникнуть опасность резонанса?
1.4.42 Жесткость пружины рессоры вагона k = 490 кН/м. Масса вагона
с грузом m = 64 т. Вагон имеет четыре рессоры. При какой скорости v вагон
начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина
28
рельса l = 12.8 м?
1.4.43 По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде периодического ряда углублений, находящихся на расстоянии 30 см друг от
друга. По этой дороге движется автомобиль, предположим ВАЗ-2106, имеющий массу примерно равную 1000 кг и две рессоры с жесткостью порядка
35 кН/м. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы, попав в
резонанс, кузов автомобиля начал сильно вибрировать?
1.4.44 Амплитуда скорости вынужденных колебаний при частотах вынуждающих силы, равных Q1 = 200 Гц и Q2 = 300 Гц равны между собой. Принимая, что амплитуда вынуждающей силы в обоих случаях одна и та же,
найти частоту, соответствующую резонансу скорости.
1.4.45 Амплитуды смещений вынужденных колебаний при частотах
вынуждающей силы, равных Q1 = 200 Гц и Q2 = 300 Гц, равны между собой.
Найти частоту, соответствующую резонансу.
1.4.46 Амплитуда смещения вынужденных колебаний при очень малой
частоте x0 = 2 мм, а при резонансе равна 16 мм. Предполагая, что логарифмический декремент затухания меньше единицы, определить его.
1.4.47 Стальная проволока протянута между полюсами электромагнита,
по обмотке которой идет переменный ток, вследствие чего струна колеблется
с частотой переменного тока. Когда частота собственных колебаний струны
равна 100 Гц, мощность тока в обмотке достигает максимальной величины и
на 50% превышает мощность при отсутствии струны. Когда частота собственных колебаний струны увеличивается до 101 Гц, то мощность тока в обмотке электромагнита только на 5% превышает мощность при отсутствии
струны. В течение какого промежутка времени W амплитуда колебаний струны уменьшится в 10 раз, если ток в обмотке электромагнита выключить.
(Указание: считать, что к системе, совершающей вынужденные колебания,
подводится мощность, средняя за период величина которой равна
2
).
P rmv макс
1.4.48 Маятник состоит из очень легкого стержня, на котором закреплены два одинаковых груза - один на расстоянии 30 см от оси, другой на расстоянии 15 см от оси. Каков период колебаний такого маятника? Грузы считать точечными.
1.4.49 Шар, радиус которого 5 см, подвешен на нити длиной 10 см. Определить погрешность, которую мы делаем, приняв его за математический
маятник с длиной 15 см.
1.4.50 Определить период колебания массы m = 121 г
ртути, находящейся в U-образной трубке (рисунок 1.6).
Площадь сечения канала трубки S = 0.3 см2.
1.4.51 Шарик катается по дну сферической чаши.
Предполагая, что эти колебания можно считать синусоидальными, определить их период.
1.4.52 Жидкость налита в изогнутую трубку (рисунок
Рисунок 1.6
1.7), колена которой составляют с горизонтом углы D и E,
29
длина столба жидкости l. Если жидкость выведена из положения равновесия, то начинаются
колебания уровня в трубке. Найти частоту малых колебаний. Вязкостью жидкости пренебречь.
1.4.53 Определить период малых колебаРисунок 1.7
ний тела массой m в системе (рисунок 1.8), если
жесткости пружин равны k1 = k2 = k, а их массы
и трение пренебрежимо малы.
1.4.54 Найти период малых вертикальных колебаний тема массы m в
системе (рисунок 1.9). Жесткости пружин k1 и k2 равны, а их массы пренебрежимо малы.
1.4.55 Покажите, что отношение значений величины Z2 для гармонических колебаний трех систем (рисунок 1.10) равно 1:2:4. Жесткости пружин
равны, массы тел одинаковы.
Рисунок 1.8
Рисунок 1.9
Рисунок 1.10
1.4.56 Найти частоту малых колебаний тела массы m в системе (рисунок 1.9), если жесткости пружин k1 и k2 различны между собой.
1.4.57 Найти частоту малых колебаний тела массы m в системе (рисунок 1.10в), если жесткости пружин различны между собой.
1.4.58 Найти частоту свободных малых колебаний
грузика массой m, укрепленного на середине тонкой
струны длиной l (рисунок 1.11). Натяжение струны постоянно и равно T. Массой струны можно пренебречь.
1.4.59 Найти частоту малых колебаний в системе
Рисунок 1.11
(рисунок 1.12). Известны радиус блока, его момент инерции J относительно оси вращения, масса тела m и коэффициент жесткости пружины k. Массы нити и пружины
пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в
оси блока нет.
1.4.60 Цилиндрический брусок (рисунок 1.13) находится в вертикальном положении на границе раздела двух жидкостей и
делится этой границей пополам. Найти период малых колебаний бруска в пренебреРисунок 1.12
Рисунок 1.13 жении силами трения.
30
2 Электромагнитные колебания
2.1 Основные формулы и соотношения
При свободных колебаниях в контуре, содержащем конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и сопротивление R, соединенных последовательно, уравнение напряжений имеет вид:
1
Lq Rq q 0 .
c
(2.1)
Решение этого уравнения показывает изменение заряда во времени на обкладках конденсатора и дается соотношением:
q
q0 e E t cosZ t M 0 ,
(2.2)
q0 e E t - амплитуда затухающих колебаний;
E - коэффициент затухания;
Z - циклическая частота;
q0, M0 - начальные амплитуда и фаза (определяются из начальных
условий).
Величины E, Z выражаются через параметры контура R, L, C формулами:
где
E
Z
Z 02 E 2
R
,
2L
1 LC 2 R
(2.3)
2 L 2 ,
(2.4)
здесь
Z0
1 LC
(2.5)
есть циклическая частота свободных незатухающих, т.е. собственных, колебаний, которые устанавливаются в контуре при условии Ro0.
Логарифмический декремент затухания
O
где
ln a n an 1 ET ,
(2.6)
an, an+1 - амплитудные значения в двух последовательных колебаниях любой из величин q, I, U (U - напряжение на конденсаторе, I – сила тока в контуре);
Т - период колебания.
31
Добротность колебательного контура Q связана с логарифмическим
декрементом затухания формулой:
Q S O.
(2.7)
Если в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и сопротивления R, действует периодическая ЭДС ( = (0cosZt, то уравнение напряжений
примет вид
(2.8)
Lq Rq q c (0cosZt.
Решение уравнения (2.8) запишется так
q
q0 cosZ t M 0 ,
где
q0
(0
L Z 02 Z 2
и
tgM 0
2
4 E 2Z 2
2 EZ
Z 02
Z2
.
Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре
равна:
dq
q0Z sin Z t M 0 I 0 cosZ t M ,
(2.9)
I
dt
где
S
M M0 .
2
Амплитуда тока I0 = q0Z и начальная фаза M
соотношениями:
I0
tgM
(0
R >ZL 1 Z c @
2
2
ctgM 0
M 0 S 2 определяются
,
ZL 1 Zc .
R
(2.10)
(2.11)
Мощность, выделяемая в цепи переменного тока
N
32
U д ˜ I д ˜ cos M ,
(2.12)
где Uд и Iд - действующие (эффективные) значения напряжения и тока:
Uд
U0
2,
Iд
I0
2.
Аналогично
(0
(д
2
.
(2.13)
2.2 Методические указания
2.2.1 Методы решения задач на электромагнитные колебания сходны с
методами решения задач на механические колебания. В основе этого сходства лежит одинаковая структура уравнений, описывающих оба вида колебаний. Так, например, формулы (2.1) - (2.5) этого раздела, характеризующие
свободные электрические колебания в контуре, аналогичны формулам (1.19)
- (1.23) для свободных механических колебаний. При этом заряд q соответствует смещению x, омическое сопротивление R - коэффициенту сопротивления среды r, индуктивность L – массе m, емкость С – величине, обратной коэффициенту квазиупругой силы k.
Сходство уравнений приводит к сходству при решении задач, основанных на этих уравнениях. Поэтому при решении задач этого раздела всегда
можно найти соответствующие аналогии в задачах на динамику колебательного движения.
2.2.2 Если в формуле (2.10), выражающей связь между амплитудой тока и Э.Д.С. при вынужденных колебаниях в контуре, заменить амплитудные
значения I0 и (0 на соответствующие действующие значения по формулам
(2.12) и (2.13), то получим закон Ома для участка цепи переменного тока:
I
(д
Z
,
2
где Z
R 2 >LZ 1 CZ @ - полное (действующее) сопротивление
цепи.
Оно состоит из омического сопротивления R, индуктивного сопротивления
LZ и емкостного сопротивления 1 CZ . Обратите внимание: отсутствие в цепи переменного тока конденсатора, означает отсутствие емкостного сопротивления, т.е. 1 CZ 0 , следовательно, емкость цепи C = f.
Указание. Закон Ома справедлив в цепях переменного тока только для
квазистационарных токов. Условие квазистационарных токов справедливо,
если время распространения тока в цепи много меньше его периода колеба-
33
l
T , где l - длина цепи, с- скорость света.
c
2.2.3 Законы последовательного и параллельного соединений в цепях
постоянного тока не годятся для переменного тока, если его характеризовать
не мгновенными значениями величин I, U, (, а действующими Iд, Uд, (д (или
амплитудными I0, U0, (0). Так при последовательном соединении сумма напряжений на отдельных участках замкнутой цепи оказывается не равной
электродвижущей силе, а при параллельном соединении сумма токов в ветвях не равна току в неразветвленной части цепи. Величины I, U, ( определяющие электрические процессы во всей цепи и на ее отдельных участках,
совершают гармонические колебания, находясь в различных фазах. Поэтому
напряжения (и токи) складываются по правилу сложения векторных величин
с учетом угла (разности фаз) между ними точно так же, как складываются,
например, амплитуды смешения при механических колебаниях равных периодов (см. формулу (1.5)).
ния, т.е. W |
2.3 Примеры решения задач
Задача 1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С 5.0 мкф и катушки индуктивностью L 0.200 Г. Определить максимальную силу тока I 0 в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U 0 90 В. Сопротивлением контура пренебречь.
Решение. Рассмотрим два способа решения задачи. Первый из них основан на исследовании закона свободных колебаний заряда в контуре (2.2);
второй - на законе сохранения энергии.
Первый способ. Если в колебательном контуре сопротивление пренебрежимо мало (а в условии задачи о величине ничего не говорится), то в уравнениях (2.1) и (2.2) коэффициент затухания можно считать равным нулю. Тогда, согласно (2.4), частота колебаний в таком контуре равна частоте собственных колебаний, т.е. Z Z 0 , получим выражение
q
q0 cos(Z 0 t M 0 )
(2.14)
незатухающих свободных колебаний. Сила тока есть производная от заряда
по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (2.14) по времени, получим
для силы тока в контуре уравнение
I
где M M 0 S / 2 .
34
Z 0 q0 cos(Z 0t M ) ,
(2.15)
Величина I 0 Z 0 q0 является амплитудным, т.е. максимальным, значением
силы тока в контуре. Подставив в выражение I0 величину Z 0 из формулы
(2.5) и учитывая соотношение q0 CU 0 , определим искомую величину:
I0
Z 0 q0
1 / LC ˜ CU 0
U C/L .
Второй способ. В процессе незатухающих электромагнитных колебаний (по условию задачи сопротивлением в контуре можно пренебречь) полная энергия контура, равна сумме энергий электрического поля конденсатора
CU 2 / 2 и магнитного поля катушки LI 2 / 2 , остается постоянной. Поскольку
энергия электрического поля конденсатора ( CU 2 / 2 q 2 / 2C ) пропорциональна квадрату заряда, а энергия магнитного поля пропорциональна квадрату тока, то максимумы энергий электрического и магнитных полей равны,
т.е.
CU 02 LI 02
,
(2.16)
2
2
так как заряд q и ток I в контуре сдвинуты по фазе на S / 2 .
Из (2.16) следует, что
I0 U0 C / L .
Подставив числовые значения величин из условия задачи и произведя вычисления, получим
I 0 0.45 А.
Задача 2. Добротность колебательного контура Q = 5.0. Определить на
сколько процентов отличается частота Z свободных колебаний контура от
его собственной частоты Z 0 .
Решение. Во всяком реальном колебательном контуре, обладающим
сопротивлением R, частота свободных колебаний меньше частоты собственных колебаний контура Z (т.е. частоты колебаний при Ro0). В задаче требуется найти величину
Z0 Z
Z
1
.
(2.17)
x
Z0
Z0
Добротность контура выразим через величины Z и Z0 используя формулы (2.4), (2.6), (2.7) и соотношение T 2S / Z :
Q
S
O
S
ET
Z
2E
Z
2
Z 02
Z
2
.
(2.18)
35
Введя обозначение D
Z / Z 0 из (2.18) имеем:
Q
2
Z2
4(Z 02 Z 2 )
D2
.
4(1 D 2 )
Определив отсюда D и подставив в (2.17), найдем
x 1 D 1 2Q / 1 4Q 2 .
(2.19)
Формулу (2.19) можно упростить, если учесть, что 4Q 2 !! 1 , а также приближенное равенство (1 D ) n | 1 nD , которое выполняется при D 1 .
Действительно, разделив числитель и знаменатель в (2.19) на 2Q, получим
x 1
1
1 1 / 4Q
2
| 1
1
1 1 / 8Q
2
| 1 (1 1
8Q
)
2
1
8Q
2
.
(2.20)
Подставляя значение Q в (2.20) найдем
x 0.50 ˜ 10 2 , или x 0.50% .
Примечание. Второе упрощение в (2.20) проведено на основании приближенного равенства 1 /(1 D ) | 1 D , при D 1 . Оба использованных
приближенных равенства получаются при разложении исходного выражения
в ряд.
Задача 3. В цепи, из последовательно соединенных резистора сопротивлением R = 20 Ом, катушки индуктивностью L = 1.0 мГ и конденсатора
емкостью C = 0.10 мкФ, действует синусоидальная э.д.с. ( (рисунок 2.1). Определить частоту Z э.д.с., при которой в цепи наступит резонанс. Найти также действующие значения силы тока I и напряжений UR, Uc, UL на всех
элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение э.д.с. ( = 30 В.
Решение. Под действием переменной э.д.с. в
данной цепи, представляющей собой колебательный
контур, установятся вынужденные электромагнитные колебания. При этом
амплитудные значения тока I0 и э.д.с. (0 связаны соотношением (2.10). Из
формул (2.13) видно, что между действующими значениями тока Iд и э.д.с. (д
существует то же соотношение, что и между величинами Iд и (д. Поэтому
Рисунок 2.1
36
(опуская для простоты индексы у величин Iд и (д.) запишем
I
(
R 2 ( LZ 1 / ZC ) 2
.
(2.21)
Очевидно, максимальному току при резонансе соответствует такое
значение, при котором выражение, стоящее в скобках в формуле (2.21), обратится в нуль. Отсюда определим резонансную частоту:
1 LC 1.0 ˜ 105 Гц.
Z Z рез
(2.22)
При этом сила тока равна:
I рез
( R 1.5 А.
Зная силу тока Iрез, найдем действующие значения напряжения на каждом из элементов контура R, L, C, применив закон Ома для каждого из этих
участков:
UR
UL
I рез R (
30 B;
I рез LZ (LZ / R 150 B;
UC
I рез 1 / ZC 150 B.
Равенство UC = UL следует из равенства емкостного и индуктивного
сопротивлений и является характерной особенностью последовательного резонанса.
Примечание. При последовательном резонансе напряжение на реактивных сопротивлениях RC и RL всегда намного превышают напряжение на
активном сопротивлении R. Поскольку эти напряжения UL и UC, сдвинуты по
фазе на S, то общее сопротивление цепи становится чисто активным.
Задача 4. Определить действующее значение силы тока на всех участках цепи, изображенной на рисунке 2.2, если R = 1.0 Ом, L = 1.00 мГ, С = 0.110 мкф,
( = 30 В, Z 1.00 ˜ 10 5 Гц.
Решение. Эта цепь отличается от предыдущей
Рисунок 2.2
(рисунок 2.1) способом включения источника переменной Э.Д.С. (внутренним сопротивлением которого мы пренебрегаем).
Если раньше все элементы цепи были соединены последовательно, то в
37
данном случае имеем разветвленную цепь переменного тока: участок 1-2 является параллельным соединением двух ветвей, одна из которых содержит
конденсатор С, другая – элементы R, L, соединенные последовательно между
собой. Каждая из ветвей вместе с источником Э.Д.С. образует колебательный
(неполный) контур. Поэтому силу тока в каждой ветви снова найдем по формуле (2.9), заменив амплитудные величины I0, (0 их действующими значениями I, (. Тогда для силы тока в цепи 1C2, где R = 0, L = 0, получим:
IC
(
1 ZC
(CZ 0.33 А.
(2.23)
В ветви 1RL2, где отсутствует емкостное сопротивление 1 ZC , сила тока с учетом соотношения R 2 L2Z 2 , равна:
(
I RL
R 2 L2Z 2
(
|
LZ
0.30 А
(2.24)
Если бы переменные токи в обеих ветвях имели одинаковые фазы, то
сила тока в неразветвленной части цепи была бы равна сумме токов IC и IRL.
Однако эти токи имеют различные фазы: между каждым из них и Э.Д.С. (
существует сдвиг фаз, определяемый формулой (2.11). Применим эту формулу для каждой ветви. Для ветви 1С2 R = 0, L = 0. Следовательно,
tgM C
Для ветви 1RL2, учитывая, что 1 / ZC
tgM RL
MC
f;
S / 2 .
0 , получим:
LZ / R 100 ;
M RL | S / 2 .
В формуле (2.9) величина M стоит со знаком “-”; это означает, что ток
IC опережает по фазе Э.Д.С. ( на S/2, а ток IRL отстает по фазе от Э.Д.С. ( на
S/2. На рисунке 2.3 изображена векторная диаграмма, построенная в соответствии с полученными фазовыми соотношениями. Сложив векторы, изображающие токи IC и IRL, найдем вектор, изображающий ток I в неразветвленной
части цепи. Таким образом,
I
I C I RL
0.03 А.
(2.25)
Такой же результат можно получить с помощью формулы (1.5) предыдущей
главы, положив в ней M 2 M1 S .
Замечание. а) В данной задаче величины R, L, Z были связаны R<<LZ.
Именно поэтому переменные токи в параллельных ветвях оказались в проти38
вофазе 'M | S . В противном случае вектор IRL был бы направлен под углом к (, как показано пунктиром на диаграмме
(рисунок 2.3).
б) При условии что R<<LZ, если бы оказалось ZL=1/ZC,
то как видно из формул (2.23), (2.24), величины IC, IRL приблизительно одинаковы и, согласно (2.25) I I C I RL | 0 . Точнее:
при R o 0 , I o 0 и, следовательно, полное сопротивление переменному току всего участка цепи 1-2 R12 o f . Это резонанс Рисунок 2.3
токов (в отличие от резонанса напряжений, рассмотренного в
задаче 3).
в) При резонансе токов токи в ветвях достигают больших величин, в
сравнении с током в цепи. А поскольку сопротивление контура стремится к
бесконечности, то параллельный резонанс используется как фильтр на резонансной частоте.
2.4 Задачи для контрольной работы
2.4.1 Конденсатор емкостью в 20 мкФ и активное сопротивление
R = 150 Ом, включены последовательно в цепь переменного тока частотой
50 Гц. Какую часть напряжения, приложенного к этой цепи, составляет падение напряжения: а) на конденсаторе; б) на сопротивлении.
2.4.2 Конденсатор и электрическая лампочка соединены последовательно и включены в цепь переменного тока напряжением 440 В и частотой
50 Гц. Какую емкость должен иметь конденсатор для того, чтобы через лампочку протекал ток 0.5 А и падение напряжения на лампочке было равно
110 В?
2.4.3 Катушка с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока, напряжением 127 В и частотой
50 Гц. Найти индуктивность катушки, если известно, что катушка поглощает
мощность 400 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током равен 60q.
2.4.4 Рассчитайте формулы для полного сопротивления Z и сдвига фаз
tgM в цепи переменного тока между напряжением и током если: а) сопротивление R и емкость С включены параллельно; б) сопротивление R и индуктивность L включены параллельно.
2.4.5 Конденсатор емкостью в 1 мкФ и реостат с активным сопротивлением в 3000 Ом включены в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Индуктивность реостата ничтожно мала. Найти полное сопротивление цепи, если конденсатор и реостат включены: а) последовательно; б) параллельно.
2.4.6 В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц
включены последовательно емкость 35.4 мкФ, активное сопротивление
100 Ом и индуктивность 0.7 Гн. Найти силу тока в цепи и падение напряжения на каждом элементе цепи.
2.4.7 Индуктивность L 2.26 ˜ 10 2 Гн и активное сопротивление R
39
включены параллельно в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Найти величину R, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током равен 60q.
2.4.8 Найти полное сопротивление цепи Z и сдвиг по фазе tgM в цепи
переменного тока, если: а) R и C; б) R и L; в) R, C и L- включены последовательно.
2.4.9 Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой
50 Гц. Найти значения R и L, если известно, что мощность, поглощаемая в
этой цепи, равна 404 Вт и сдвиг по фазе между напряжением и током равен
60q.
2.4.10 В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно емкость C, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти
падение напряжения UR на омическом сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе UC=2UR и падение напряжения на индуктивности UL=3UR.
2.4.11 На точки А и В схемы (рисунок 2.4) подается
переменное напряжение с действующим значением
Емкость
индуктивность
U = 220 B.
С = 1.00 мкФ,
L = 1.00 мГн, активное сопротивление R = 100 мОм. При каком значении частоты ток через сечение 1 будет минимальным? Чему равны при этой частоте действующие значения
I1, I2, I3 сил токов, текущих через сечения 1, 2, 3?
2.4.12 Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L = 200 мкГн и конденсатора емкостью
С = 80 мФ. Значение емкости в результате изменения температуры может отклоняться от указанного на r5%. Вычислить
Рисунок 2.4 в каких пределах может изменяться частота, на которую резонирует контур.
2.4.13 Активное сопротивление колебательного контура R = 0.33 Ом.
Какую мощность N потребляет контур при поддержании в нем незатухающих колебаний с амплитудой силы тока I0 = 30 мА?
2.4.14 Параметры колебательного контура имеют значения:
С = 1.00 мФ, L = 6.00 мкГн, R = 0.50 Ом. Какую мощность N нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем незатухающие колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе U0 = 10.0 B?
2.4.15 Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки самоиндукции L = 1 Гн. Чему равно омическое сопротивление контура, если
известно, что амплитуда собственных колебаний в нем за 0.05 с уменьшается
в l = 2.7 раза?
2.4.16 Что характеризуют собой коэффициент затухания контура и логарифмический декремент контура?
2.4.17 Через сколько периодов колебаний амплитуда их уменьшится в
l = 2.7 раза в колебательном контуре, у которого L = 1 Гн, С = 0.5 мкФ и
R = 30 Ом?
40
2.4.18 Колебательный контур имеет следующие параметры:
L = 40 мкГн, С = 270 пФ и R = 8 Ом. Определить время за которое амплитуда
собственных колебаний уменьшится в l2 раз.
2.4.19 Получите уравнение (2.1) затухающих свободных колебаний,
используя закон сохранения энергии в колебательном контуре.
2.4.20 Контур состоит из последовательно включенных конденсатора
емкостью С, катушки индуктивностью L, ключа и сопротивления, равного
критическому для данного контура. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения U0 и в момент t = 0 ключ замкнули. Найти ток I в контуре как функцию времени t. Чему равно Iмакс?
2.4.21 Катушку с активным сопротивлением R и индуктивностью L
подключили в момент t = 0 к источнику переменного напряжения
U U 0 cos Z t . Найти ток в катушке как функцию времени t.
2.4.22 Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора
емкостью С и сопротивления R, подключили к переменному напряжению
U U 0 cos Z t в момент t = 0. Найти ток в цепи как функцию времени.
2.4.23 Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора и активного сопротивления R = 110 Ом, подсоединили к переменному напряжению с амплитудным значениям U0 = 110 В. При этом амплитуда установившегося тока в цепи I0 = 0.50 А. Найти разность фаз между током
и подаваемым напряжением.
2.4.24 К сети с действующим напряжением U = 100 В подключили катушку, индуктивное сопротивление которой XL = 30 Ом и импеданс
Z = 50 Ом. Найти разность фаз между током и напряжением, а также тепловую мощность выделяемую на катушке.
2.4.25 Катушка с индуктивностью L = 0.70 Гн и активным сопротивлением r = 20 Ом соединена последовательно с безиндукционным сопротивлением R, и между концами этой цепи приложено переменное напряжение с
действующим значением U = 220 В и частотой Z = 314 Гц. При каком значении сопротивления R в цепи будет выделяться максимальная тепловая мощность? Чему она равна?
2.4.26 Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора
и катушки, подключена к сети. Изменив емкость конденсатора, добились
увеличения тепловой мощности в катушке в n = 1.7 раза. На сколько процентов изменилось при этом значение cosM ?
2.4.27 Цепь, состоящую из последовательно соединенных безиндукционного сопротивления R = 0.16 кОм и катушки с активным сопротивлением,
подключили к сети с действующим напряжением U = 220 В. Найти тепловую
мощность, выделяемую на катушке, если действующие напряжения на сопротивлении R и катушке равны соответственно U1 = 80 В и U2 = 180 В.
2.4.28 Катушка и безиндукционное сопротивление R = 25 Ом подключены параллельно к сети переменного напряжения. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если из сети потребляется ток I = 0 90 А, а через катушку и сопротивление R текут токи, соответственно равные I1 = 0.50 А
41
и I2 = 0.60 А.
2.4.29 Изобразить примерные векторные диаграммы токов в электрических контурах, показанных на рисунке 2.5. Предполагается, что подаваемое
между точками А и В напряжение синусоидальное и параметры каждого контура подобраны так, что суммарный ток I0 через контур отстает по фазе от
внешнего напряжения на угол M.
а)
б)
в)
Рисунок 2.5
42
3 Электромагнитные волны. Излучение
3.1 Основные формулы и соотношения
При отсутствии зарядов и токов электромагнитное поле называется
свободным. Уравнение Максвелла для свободного электромагнитного поля
имеет вид:
&
&
wB
wE
ª w &º
& 0;
«¬ wr& E »¼ wt ;
wr
(3.1)
&
&
wB
ª w & º 1 wE
& 0;
«¬ wr& B »¼ c 2 wt .
wr
Фазовая скорость электромагнитной волны равна:
V
c
HP ,
c 1 H 0 P0 ,
(3.2)
где с - скорость света в вакууме.
В бегущей электромагнитной волне
HH 0 E
PP 0 H
(3.3)
Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна:
w
1
HH 0 E 2 PP 0 H 2 ,
2
w
1 && 1 &&
ED BH .
2
2
или
(3.4)
(3.5)
Плотность потока электромагнитной энергии - вектор Пойтинга:
&
П
>E&H& @.
(3.6)
В области пространства, где отсутствуют заряды и токи, теорема Гаусса для электромагнитного поля имеет вид:
w
wdV
wt V³ &
П
³ dS .
&
(3.7)
43
Плотность потока энергии излучения диполя в волновой зоне:
П~
1
R
2
sin 2 D ,
(3.8)
где
R - расстояние от диполя до точки наблюдения;
&
D - угол между радиусом - вектором R и осью диполя.
&
Мощность излучения диполя с электрическим моментом p t и зарядом
&
q , движущегося с ускорением a :
&
1 2 p 2
,
P
4SH 0 3c 3
или
(3.9)
2 &2
1 2q a
.
P
4SH 0 3c 3
Если в антенне течет ток I I 0 cos Z t , равномерно распределенный по
&
длине
антенны
,
то
решение
уравнений
Максвелла
в
вакууме
для
полей
и
l
E
&
H в волновой зоне дается выражениями
H
I 0 § l · sin D
R ·º
ª §
sin «Z ¨ t ¸»
¨ ¸
2 ©O¹ R
c ¹¼
¬ ©
(3.10)
P0
H,
H0
(3.11)
и
E
если O d l ,
O - длина волны, излучаемой антенной;
где
l - длина антенны.
3.2 Методические указания
3.2.1 Любой электромагнитный волновой процесс может быть представлен в виде суперпозиции плоских монохроматических электромагнитных
волн
&&
& &
E E0 cos Z t k r ;
(3.12)
&&
& &
B B0 cos Z t k r ,
44
причем в электромагнитной
волне
обязательно присутствуют оба поля &
&
электрическое E и магнитное B . &
&
3.2.2 Связь между векторами E и B, как следует из уравнений Максвелла и уравнений (3.12), задается соотношениями:
>n&E& @
> @
&&
c Bn
&
cB ,
(3.13)
&
E,
&
&
где n - единичный вектор, направленный вдоль k , т.е. вдоль распространения волны, и равный
& & &
(3.14)
n k k .
&
&
В частности, из выражения (3.13) следует, что& &E и B перпендикулярны
&
не только n (поперечность), но и друг другу, т.е. BE 0 .
3.2.3 Выражение (3.7) фактически определяют закон сохранения энергии
для электромагнитного поля. Из него видно, что при отсутствии зарядов,
убыль энергии поля в объеме V в единицу времени равна интегральному потоку энергии через поверхность из этого объема.
3.2.4 Из выражения (3.3) следует, что в вакууме отношение
P 0 H 0 имеет размерность сопротивления. Следовательно, отношеE H
ние E H Z 0 представляет собой сопротивление, которое обычно называют
внутренним сопротивлением вакуума (или характеристическим). Его численное значение с учетом (3.2) равно
Z0
P 02 c 2 P 0c 376.7 Ом.
(3.15)
3.2.5 При решении задач, связанных с излучением диполя, вибратора,
антенны, обычно рассматривается излучение в волновой зоне, т.е. в области,
которая находится на расстояниях значительно превышающих длину волны.
В задачах принято считать, что волна распространяется в однородной и изотропной среде, ее волновой фронт в волновой зоне сферический.
3.2.6 Под элементарным диполем понимается диполь, длина которого
мала по сравнению с длиной волны. Излучение элементарного диполя рассматривается в целом ряде задач. Это излучение электронов в атоме, где
вращательное движение электронов вокруг ядра, можно разложить на два
прямолинейных гармонических колебания; а электрон, совершающий гармонические колебания возле неподвижного положительного ядра, представляет
собой элементарный диполь, т.к. в этом случае длина волны, излучаемого,
например, видимого света, намного больше размеров атома.
45
Поле волны от незаземленной антенны в волновой зоне практически неотличимо от поля, излучаемого элементарным диполем. Антенны радиостанций совместно с поверхностью Земли (заземленная антенна), на которой индуцируются заряды противоположного знака, во многих случаях также можно рассматривать как элементарные диполи.
3.2.7 Соответствие между диполем и осциллирующим зарядом следующее:
Осциллирующий заряд
Диполь
p p0 sin Z t qz 0 sin Z t
q q0 sin Z t
p Zp0 cos Z t
p lq 0 sin Z t
dq
p Z 2 p0 sin Z t
p l
lI lI 0 cos Z t
dt
Следовательно, p0Z lI 0 или I 0 p0 Z l .
Подставляя это значение для I 0 в (3.22) задачи 2 (смотри примеры решения задач) и, учтя при этом, что c 2 1 H 0 P 0 и p02Z 4 2 p 2 , то получим
формулу (3.9).
3.2.8 Из формулы (3.9) следует очень важный вывод классической электродинамики, что заряженная частица, движущаяся с ускорением, всегда излучает. Этот вывод противоречит полной устойчивости атома по классической теории Бора, в котором электроны движущиеся по круговым орбитам и,
следовательно, обладают ускорением. Значит, они должны были бы излучать
энергию, что вызывало бы замедление их движения и последующее падение
на ядро. Объяснение устойчивости атома дала квантовая механика, дополняя
электромагнитные явления новыми законами.
3.2.9 Если длина волны O значительно превышает размеры l антенны, то
эффект, производимый различными частями антенны, будут находиться в
различных фазах и в следствие деструктивной интерференции могут
компенсироваться уже на конечном расстоянии от антенны.
3.3 Примеры решения задач
Задача 1. Определить энергию, которую переносит за время t = 1.00 мин
плоская синусоидальная электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S = 10.0 см2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны E0 = 1.00 мВ/м. Период Tt.
Решение. Энергия, переносимая электромагнитной волной за единицу
времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению волны, определяется
вектором Пойтинга. Учитывая, что в электромагнитной
& &
волне EAH (см.
& пункт 3.2.2 методических указаний к теме), получим для модуля вектора П , согласно (3.6),
46
(3.16)
П=ЕН.
Поскольку обе величины Е, H, характеризующие электромагнитную
волну, в каждой ее точке меняются во времени по синусоидальному закону,
находясь в одинаковых фазах, соотношение (3.16) можно записать так:
П
EH
E0 H 0 sin 2 Z t .
E0 sin Z tH 0 sin Z t
(3.17)
Отсюда энергия dW, переносимая волной через площадку S за время t, с
учетом формул (3.6), (3.7) запишется так:
dW
ПSdt
E0 H 0 S sin 2 Z t ˜ dt .
(3.18)
По условию задачи H P 1 , тогда, используя выражение (3.3), связывающее величины E и H между собой, выражение (3.18) можно переписать
так:
H 0 P 0 E 02S sin 2 Z t ˜ dt .
dW
Отсюда полная энергия, переносимая волной за время t,
W
H0 2 t 2
E0 S ³ sin Z t ˜ dt
P0
0
H 0 2 § t sin 2Z t ·
E0 S ¨ ¸.
4Z ¹
P0
©2
(3.19)
Так как частота Z неизвестна, воспользуемся данным в условии неравенством Tt, для оценки величины дроби sin 2Zt 4Z . Учитывая соотношение Z 2 S W , имеем:
sin 2Z 1
§ 4St · T
t.
T sin¨
¸d
4Z
8S
S
8
T
©
¹
Следовательно, в силу неравенства TW членом sin 2Z 4Z в формуле
(3.19) можно пренебречь. Тогда окончательно получим:
W
1 H0 2
E0 St .
2 P0
Подставив числовые данные задачи, выраженные в единицах СИ, получим
W=8.0˜10-11Дж.
Задача 2. Рассчитайте энергию, излучаемую дипольной антенной за 1 с.
47
Считать, что диполь, совершающий колебания, эквивалентен антенне, по которой течет ток: I I 0 cos Zt , равномерно распределенный по всей длине антенны (рисунок 3.1).
Решение. Исходя из формул (3.10) и (3.11), а также пункта 3.2.5 методических указаний к теме, запишем вектор Пойтинга:
&
П
> @
&&
EH
E˜H
Z0 H
2
I 02 § l · sin 2 D
R ·º
2ª §
Z
sin
Z0 ¨ ¸
t
¨
¸» .
«
4 © O ¹ R2
c
©
¹¼
¬
2
(3.20)
Усредняя выражение (3.20) по периоду,
получаем:
2
Z I 2 § l · sin 2 D
П!= 0 0 ¨ ¸
8 © O ¹ R2
(3.21)
&
В волновой зоне вектор П направлен по
нормали к сферической поверхности радиуса R
(см. учебник под редакцией И.В.Савельева,
Рисунок 3.1
часть 2, раздел "Излучение диполя"), поэтому
полная энергия, излучаемая диполем за 1 с, согласно (3.7), равна
W
³
П dS
сфера
³
2
П R d:
сфера
Z 0 I 02 § l ·
¨ ¸
8 ©O¹
2 S
³ sin
2
D ˜ 2S sin D ˜ dD
0
(3.22)
2
S
§l·
Z 0 I 02 ¨ ¸ ,
3
©O¹
где
dS - элемент сферической поверхности;
d: - телесный угол, под которым видна поверхность dS.
Формально эту излучаемую энергию можно рассматривать как энергию, затраченную на преодоление некоторого сопротивления Rизл, которое
характеризует антенну и поэтому называется сопротивлением излучения антенны. Величина Rизл определяется из равенства (3.22)
2
I эфф
Rизл
1 2
I 0 Rизл
2
откуда для дипольной антенны:
48
2
W
S
§l·
Z 0 I 02 ¨ ¸ ,
3
©O¹
Rизл
2S § l ·
Z0 ¨ ¸
3
©O¹
2
2
§l·
789¨ ¸ Ом.
©O¹
3.4 Задачи для контрольной работы
3.4.1 Электромагнитная волна с частотой Q 3.0 МГц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью H 4.0 .
Найти приращение ее длины волны.
3.4.2 Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность
плоскопараллельного слоя толщиной l из немагнитного материала, диэлектрическая проницаемость которого экспоненциально падает от значения H1 на
передней поверхности до H 2 - на задней. Найти время распространения фазы
данной волны через этот слой.
3.4.3 Плоская электромагнитная волна с частотой Q 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проницаемостью
V 10 мСм/м и диэлектрической проницаемостью H 9 . Найти отношение
амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.
&&
& &
3.4.4 Плоская электромагнитная волна E E0 cos Z t k r распространя&
&
&
ется в вакууме. Считая векторы E0 и k известными, найти вектор H как
&
функцию времени t в точке с радиус - вектором r 0 .
3.4.5 В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна
&&
& &
&
& & &
& &
E E0 cos Z t k r , где E0 E0 e у , k ke x , e x , e y - орты осей x, y. Найти век&
&
&
тор H в точке с радиус - вектором r xe x в момент: а) t=0; б) t=t0. Рассмотреть случай, когда E0 160 В/м, k = 0.51 м-1, x = 7.7 м, t0 = 33 нс.
Плоская
электромагнитная
волна
& 3.4.6
&
E E0 cosZ t kx , распространяющаяся в вакууме,
наводит Э.Д.С. индукции (инд в квадратном контуре со
стороной l. Расположение контура показано на рисунке 3.2. Найти (инд(t), если E0 50 мВ/м, частота
Q 100 МГц и l 50 см.
3.4.7 Исходя из уравнений Максвелла, покажите,
Рисунок 3.2
что для плоской электромагнитной волны (рисунок
3.3), распространяющейся в вакууме,
wE
wB
wB
wE
c 2
,
.
wt
wx
wt
wx
3.4.8 В вакууме в направлении оси x установилась
стоячая электромагнитная
& & волна, электрическая составляющая которой E E0 cos kx ˜ cosZt . Найти мгно&
Рисунок 3.3
венную составляющую волны B x, t . Изобразить
49
примерную картину
& & распределения электрической и магнитной составляющих волны E и B в моменты t = 0 и t = T/4, где Т - период колебаний.
&
3.4.9 Найти средний вектор Пойтинга П у плоской электромагнитной
&&
& &
волны E E0 cos Z t k r , если волна распространяется в вакууме.
3.4.10 Плоская гармоническая линейно поляризованная волна распространяется волна в вакууме. Амплитуда напряженности электрической составляющей волны E0 50 мВ/м, частота Q 100 МГц. Найти:
а) действующее значение плотности потока смещения;
б) среднюю за период колебания плотность потока энергии.
3.4.11
& &В вакууме вдоль оси x установилась стоячая электромагнитная
волна E E0 cos kx cos Z t . Найти х - проекцию вектора Пойтинга П x x, t и
ее среднее за период колебания значение.
3.4.12 В вакууме распространяется вдоль оси x плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны H 0 0.05 А/м.
Определить:
а) амплитуду напряженности электрического поля волны E0;
б) среднюю по времени плотность энергии волны w ;
в) интенсивность волны I.
3.4.13 В некоторой среде распространяется электромагнитная волна частотой Z . Диэлектрическая проницаемость среды при частоте Z равна
H 2.00 , магнитная
проницаемость практически равна единице. Найти век&
тор Пойтинга
П в точке, в которой &электрический вектор изменяется по за&
&
кону Ε 10.0 cosωt α ˜ e0 . Вектор Η колеблется вдоль оси x.
3.4.14 Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами
медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойтинга через боковую
поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях пренебречь.
3.4.15 По прямому проводнику круглого сечения течет ток I. Найти поток вектора Пойтинга через боковую поверхность данного провода, имеющего сопротивление R.
3.4.16 Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, достаточно медленно увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии
магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойтинга через его боковую поверхность.
3.4.17 Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов
U, образуют пучок круглого сечения с током I. Найти модуль и направление
вектора Пойтинга вне пучка на расстоянии R от его оси.
3.4.18 В среде с H 4.00 и P 1.00 распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда электрического вектора волны Е0 = 200 В/м. На
пути волны располагается поглощающая поверхность, имеющая форму полусферы радиуса R = 300 мм, обращенная своей вершиной в сторону распространения волны. Какую энергию W поглощает поверхность за время
50
t = 1.0 мин? Считать, что время t >> T - периода волны.
3.4.19 В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с
частотой Z порядка 1010 Гц. Амплитуда электрического вектора волны
Еm = 0.775 В/м. На пути волны располагается поглощающая волну поверхность, имеющая форму полусферы радиуса R = 0.632 м, обращенная своей
вершиной в сторону распространения волны. Какую энергию W поглощает
эта поверхность за время t = 10.0 c?
3.4.20 Оцените порядок величины напряжения, которое появится в антенне радиоприемника, находящегося на расстоянии R = 100 км от радиостанции, излучающей мощностью 100 кВт.
3.4.21 Излучение антенны полевой радиостанции имеет мощность 50 Вт.
Какова средняя напряженность электрического поля при приеме на наземную
антенну на расстоянии 80 км. Оцените величину напряжения на приемной
антенне.
Указание. Считать, что интенсивность излучения по направлению перпендикулярному к антенне, в три раза больше той, которая имела бы место
при равномерном излучении по всем направлениям.
3.4.22 Три наблюдателя находятся на одной прямой на расстоянии 10 км
друг от друга и измеряют среднюю напряженность электрического поля в
электромагнитных волнах, излучаемых некоторым источником. Где находится источник волн, если напряженность поля у крайних наблюдателей одинакова, а у среднего на 10% больше.
3.4.23 Электромагнитная волна, излучаемая элементарным диполем,
распространяется в вакууме. В волновой зоне на луче, проведенным из диполя перпендикулярно его оси, в точке, находящейся на расстоянии R = 1.00 м
от диполя, амплитуда напряженности электрического поля Е0 = 1.00 мВ/м.
Вычислить мощность излучаемую диполем, т.е. энергию, излучаемую диполем в единицу времени по всем направлениям.
3.4.24 Найти среднюю мощность излучения электрона, совершающего
гармонические колебания с амплитудой а = 1.10 нм и частотой
Z 6.5 ˜ 1014 Гц.
3.4.25 Найти мощность излучения нерелятивистской частицы с зарядом
q и массой m, движущейся по круговой орбите радиуса R в поле неподвижного точечного заряда q1.
3.4.26 Электромагнитная волна, излучаемая элементарным диполем,
распространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче, перпендикулярном к оси диполя, на расстоянии R от него, среднее значение плотности
потока энергии равно П0. Найти среднюю мощность излучения диполя.
3.4.27 Средняя мощность, излучаемая элементарным диполем, равна P0.
Найти среднюю объемную плотность энергии электромагнитного поля в вакууме в волновой зоне на луче перпендикулярном к оси диполя, на расстоянии R от него.
3.4.28 Свободный электрон находится в поле плоской электромагнитной
волны. Пренебрегая влиянием на его движение магнитной составляющей
волны, найти отношение средней энергии, излучаемой осциллирующим
51
электроном в единицу времени, к среднему значению плотности потока энергии падающей волны.
3.4.29 Плоская электромагнитная волна с частотой Z падает на упруго
связанный электрон, собственная частота колебаний которого Z 0 . Пренебрегая затуханием колебания, найти отношение средней энергии, рассеянной
электроном в единицу времени, к среднему значению плотности потока энергии падающей волны.
3.4.30 Найти сопротивление излучения Rизл симметричного полуволнового вибратора (антенны).
Указание: При расчетах учесть, что сила тока в разных участках вибратора различна, в отличие от задачи рассмотренной в примерах к теме. Поэтому нужно разбить вибратор на отдельные малые элементы и подсчитать напряженности E и H, суммируя поля от отдельных элементов тока. Приближенно можно считать, что поля, создаваемые отдельными элементами тока,
приходят в данную точку пространства в одинаковой фазе. Сопротивлением
излучения вибратора, в данном случае, называется отношение полной мощности, излучаемой вибратором, к квадрату эффективного значения силы тока
в пучности вибратора.
3.4.31 С учетом указаний к задаче 3.4.30, найти сопротивление излучения Rизл четвертьволнового заземленного вибратора.
3.4.32 В двух одинаковых полуволновых вибраторах, расположенных
параллельно друг другу на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны,
возбуждаются токи одной и той же амплитуды и фазы. Каково сопротивлеc , если сопротивление излучения
ние излучения каждого из вибраторов Rизл
уединенного полуволнового вибратора R = 72 Ом.
3.4.33 Найти эффективную напряженность электрического поля Еэфф,
создаваемого полуволновым вибратором в точке, расположенной в экваториальной плоскости вибратора на расстоянии r = 10 км от него, если известно,
что полная мощность, излучаемая вибратором, равна 10 Вт.
Указание: Воспользоваться указаниями к задаче 3.4.30 и формулами 3.10
и 3.11.
3.4.34 Какую наибольшую мощность P может отдать приемнику присоединенный к нему полуволновой вибратор длиной l = 3 м, если этот вибратор расположен параллельно направлению электрического вектора приходящей электромагнитной волны, и эффективное значение напряженности электрического поля этой волны Eэфф = 2 мкВ/м.
Указание. Нужно найти мощность, развиваемую электрическим полем
приходящей волны в каждом элементе вибратора. Затем подсчитать мощность, развиваемую во всем вибраторе, и найти ту часть мощности, которая,
при оптимальных условиях передачи мощности, может быть отдана приемнику.
52
4 Интерференция волн
4.1 Основные формулы и соотношения
Оптическая длина пути, проходимая электромагнитной волной в однородной среде с показателем преломления n, равна
L
ns ,
(4.1)
где s – геометрическая длина пути.
Оптическая разность хода двух световых лучей
'
L2 L1 .
(4.2)
Результат интерференции волн от двух когерентных источников при
совпадении начальных фаз колебаний зависит от величины
'
§O ·
r m¨ 0 ¸ ,
© 2¹
(4.3)
O0 - длина волны в вакууме,
m - целое число.
Четному m (m = 2к, где к = 0,1,2,3,...) соответствует интерференционный максимум; нечетному m (m = 2к + 1) – интерференционный минимум.
Расстояние между интерференционными максимумами (или минимумами) на экране от двух источников когерентных волн равно:
где
'x
lO d ,
(4.4)
где
l – расстояние от экрана до источников;
d – расстояние между источниками, причем d <<l;
O - длина волны.
Оптическая разность хода световых волн, отраженных от двух поверхностей тонкой пластинки, по обе стороны которой находятся одинаковые
среды, равна
(4.5)
' 2hn cos E O0 2 ,
где
h – толщина пластинки;
n – показатель преломления (абсолютный) вещества пластинки;
E – угол преломления;
O0 – длина световой волны в вакууме.
Кольца Ньютона наблюдаются при интерференции волн, отраженных
53
от поверхностей воздушной прослойки, которая образована между стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней выпуклой поверхностью линзы радиуса R. Радиусы колец Ньютона в этом случае равны
rm
ORm 2 ,
(4.6)
причем кольца светлые, если m – нечетное (m = 1,3,5…), и темные, если m –
четное (m = 2,4,6...) Значению m = 0 соответствует середина центрального
темного пятна.
Временнáя и пространственная когерентности характеризуются, соответственно, длиной и радиусом когерентности:
l ког | O2 'O ;
U ког | O M ;
(4.7)
где M – угловой размер источника.
Для «просветления» оптики стекло с показателем преломления n0 покрывают диэлектриком с показателем преломления
n
n0 .
(4.8)
4.2 Методические указания
4.2.1 Явление интерференции, как это следует из определения, связано
со сложением волн. Поэтому, прежде чем приступать к решению задач, советуем посмотреть вопросы раздела «Колебания и волны» настоящего сборника.
4.2.2 Интерференция возможна лишь в случае сложения когерентных
волн. Так как два любых независимых источника света не являются когерентными, то интерференция света (в данном случае речь идет об электромагнитных волнах оптического диапазона) возникает лишь в тех случаях, когда световая волна, испускаемая одним источником, разделяется оптической
системой на две части. Соответствующие две волны, пройдя различные оптические пути, встречаются на экране (или на каком-нибудь приемном устройстве, например, сетчатке глаза), создавая интерференционную картину.
Последнюю часто удается объяснить, заменив данную систему другой, эквивалентной, считая при этом, что имеется не один, а два когерентных источника.
4.2.3 Задачи на интерференцию света делятся в основном на три группы. Две из них – это задачи связанные с интерференцией волн от двух когерентных источников и интерференцией в тонких пластинках (пленках). К
первой группе задач относятся случаи интерференции, полученной с помощью зеркал Френеля, зеркала Ллойда, бипризмы Френеля, а также в опыте
54
Юнга. Для расчета интерференционной картины используют формулы (4.3),
(4.4), предварительно определив (если в этом есть необходимость) положение двух когерентных источников. Вторую группу составляют задачи на интерференцию как в плоскопараллельных, так и в клинообразных тонких слоях. Сюда же относятся и задачи на кольца Ньютона. В этих случаях соотношение (4.5) позволяет рассчитать оптическую разность хода между интерферирующими волнами, отраженными от обеих поверхностей слоя. Затем по
условию (4.3) определяют результат интерференции.
4.2.4 Определение размеров источников излучения, для получения интерференционной картины, и степени монохроматичности их излучения нами выделено в третью группу задач, хотя их можно решать по методам описанным в пункте 4.2.3. Дело в том, что их решение существенно упрощается,
если воспользоваться формулами (4.7) для временной и пространственной
когерентности. Поскольку такой подход к решению задач требует хорошего
понимания физической сущности интерференции, советуем еще раз внимательно прочитать соответствующие разделы учебника.
4.2.5 Следует обратить внимание на то, что формула (4.5) выведена для
случая, когда пластина (пленка) окружена одинаковыми средами. При этом
один из лучей отражается от границы с оптически менее плотной средой,
другой – от границы с оптически более плотной средой. В последнем случае
фаза светового колебания при отражении скачкообразно меняется на противоположную. Очевидно, что такое явление можно трактовать и как уменьшение, и как увеличение фазы на S, что соответствует изменению оптической
разности хода на r O 2 . Поэтому в формуле (4.5) член O 2 , выражающий
«потерю» полуволны при отражении, можно записывать с любым знаком,
т.е. записать и так:
'
2hn cos E O 2 .
Если тонкая пластинка (пленка) окружена различными средами, то вопрос о
«потере» полуволны на границах раздела пластинка (пленка) решается для
каждой границы среда-пластинка в отдельности.
4.2.6 При интерференции света, известной под названием колец Ньютона, роль тонкой пластинки играет прослойка (обычно воздушная) между
пластинкой и выпуклой поверхностью линзы. Формула (4.6) для радиусов
колец выведена в предложении, что эта прослойка окружена одинаковыми
средами, т.е. пластина и линза имеют одинаковые показатели преломления.
Естественно, что все замечания пункта 4.2.5 относятся и к кольцам Ньютона.
4.2.7 Решение задач по многолучевой интерференции практически ничем не отличаются от решения задач по двухлучевой интерференции. Для
решения многих задач, часто встречающихся на практике, оказывается удобным воспользоваться формулой (1.9) из раздела «Механические колебания».
4.2.8 В условиях задач обычно приводятся значения световых волн настолько округленные, что ими с равным успехом можно пользоваться как в
55
случае распространения света в воздухе, так и в вакууме, поскольку
O0 = 1.00029O.
4.3 Примеры решения задач
Задача 1. На зеркала Френкеля, угол между которыми D = 10c, падает
монохроматический свет от узкой щели S, находящейся на расстоянии
r = 0.10 м от линии их пересечения (рисунок 4.1). Отраженный от зеркал свет
дает интерференционную картину на экране Э, отстоящем на расстоянии
а = 2.7 м от линии их пересечения, причем расстояние между интерференционными полосами равно x = 2.9˜10-3 м. Определить длину волны света.
Решение. После отражения от зеркал ОК и ОL световые волны распространяются так, как будто вышли из двух коРисунок 4.1
герентных источников S1,S2, являющихся
мнимыми изображениями щели S (рисунок 4.1). Если расстояние между источниками S1, S2, обозначить d, а расстояние между ними и экраном через l,
то величины l, d, х, O связаны соотношением (4.4). Откуда
O
xd l .
(4.9)
Чтобы найти величины d и l, учтем, что точки S1 и S2 симметричны
точке S относительно соответствующих зеркал. Следовательно, S1О = S2О = r
и угол ‘S1ОS2 = 2D. Поскольку угол D очень мал и экран обычно располагается параллельно отрезку S1S2, то можно записать:
d
2D r ,
l
r a.
(4.10)
Подставив эти значения d и l в формулу (4.9), получим
O
2D r x r a .
(4.11)
После подстановки числовых данных условия задачи в (4.11), предварительно выразив угол D в радианах, найдем
O
6 ˜ 10 7 м = 0.6 мкм.
Задача 2. Для измерения показателей преломления прозрачных веществ
используют интерферометр, схема которого дана на рисунке 4.2. Здесь S –
56
узкая щель, освещаемая монохромаЛ
тическим светом (O0 = 0.589 мкм), Л линза, в фокусе которой находится
щель S; 1 и 2 – две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых L = 10.0 см; Д - диафрагма с
двумя щелями. Когда воздух в трубРисунок 4.2
ке 2 заменили аммиаком, то ранее
наблюдавшаяся на экране Э интерференционная картина сместилась вверх на
N = 17 полос. Определить показатель преломления nc аммиака, если для воздуха n = 1.00029.
Решение. Две щели в освещаемой диафрагме можно рассматривать как
вторичные источники световых волн. Так как при этом на диафрагму падает
свет от одного источника S, то обе щели являются когерентными источниками, и на экране возникнет интерференционная картина. Результат интерференции в точке А экрана определяется соотношением (4.3), т.е. зависит от оптической разности хода лучей ' = L2-L1 = S2A-S1A. Так, для светлых интерференционных полос имеем
'
r 2k O0 2 r kO0 ,
(4.12)
где k - номер данной полосы (отсчет ведется от центральной полосы,
для которой k = 0).
Замена воздуха аммиаком в трубке 2 вызвала, согласно формуле (4.1),
изменение оптической длины пути L2 светового луча S2А на величину
G
ncl nl .
(4.13)
На столько же изменилась величина ' = L2 – L1. При этом согласно формуле
(4.3) изменилось условие интерференции света в точке А.
В процессе замены воздуха аммиаком, когда величина ' непрерывно
изменялась, в точке А экрана постепенно сменяли друг друга светлые и темные интерференционные полосы – интерференционная картина перемещалась по экрану. Ее смещению на одну полосу соответствует в формуле (4.12)
изменение числа k на единицу и, следовательно, изменение ' на величину
r O0 . Значит, при смещении интерференционной картины на N полос оптическая разность хода ' изменилась на величину r NO0 . Это изменение выражается формулой (4.13), откуда
ncl nl
r NO0 .
(4.14)
Знак в правой части (4.14) определяется направлением смещения интерференционной картины на экране. Действительно, рассмотрим централь57
ную интерференционную полосу (k = 0). Когда в обеих трубках был воздух,
она располагалась на экране на равных расстояниях от щелей в диафрагме.
Перемещение полосы вверх в процессе замены в трубке 2 воздуха аммиаком
свидетельствует, как это видно из чертежа, об увеличении оптической длины
пути L1 луча S1А. Но для центральной полосы интерференционной полосы,
как бы она не перемещалась по экрану, всегда ' L2 L1 r kO 0 . Следовательно, оптическая длина пути L2 луча S2А также увеличилась. Очевидно,
это могло произойти только при условии, что nc>n.Таким образом, отбросив
знак “-“ в правой части (4.14), получим
nc
n NO 0 l ,
(4.15)
а после постановки числовых данных в (4.15) получим результат
nc = 1.00039.
Примечание. В данной задаче описана работа интерферометра ИРФ-2,
где в качестве экрана используется окуляр –микрометр, позволяющий измерить сдвиг интерференционных полос.
Задача 3. Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками заключен очень тонкий воздушный клин (рисунок 4.3). На пластинку
нормально падает монохроматический свет (O0 = 0.50 мкм). Определить угол
D между пластинками, если в отраженном свете на
протяжении l = 1.00 см наблюдается N = 20 интерференционных полос.
Примечание. Прежде чем решать эту задачу, необходимо прочитать в учебнике параграфы об интерференции в тонких пленках (полосы равной толщины)
и о локализации полос интерференции.
Решение. В данном случае интерферируют лучи
1 и 2, отраженные от двух поверхностей тонкого воздушного клана (рисунок 4.3) (Чтобы лучше различать лучи, угол падения луча на верхнюю пластинку взят отличным от нуля). Наблюдаемые на поверхности клина интерференционные полосы будут полосами “равной толщины”,
представляя собой геометрическое место точек, соответствующих одинаковой толщине клина. Очевидно, что эти полосы расположены параллельно
ребру клина и перпендикулярно плоскости чертежа.
Пусть точки А и В соответствуют двум соседским интерференционным полосам. Проведя прямую ВС, параллельную пластине, и учитывая, что
искомый угол очень мал, имеем
AC h A hB N
D
,
(4.16)
BC
l
Рисунок 4.3
58
где hА, hВ – толщины воздушного клина в точке А и В.
Предположим для определенности, что АВ – расстояние между темными полосами. Тогда обе величины hА, hВ найдем, приравняв правые части формул
(4.3), (4.5) и взяв m = 2k + 1. Так как E = 0 (по условию задачи падение луча
нормально к поверхности), n = 1.00 (воздух) и h>0, то
k 1O0
h
2.
(4.17)
Поскольку величины hА, hВ относятся к соседним полосам, то в формуле
(4.17) числа k, соответствующие величинам hА,hВ, должны отличаться на единицу. Следовательно,
h A hB
k A 1O0 k B 1O0
2
2
k A k B O0
2
O0
.
2
(4.18)
Естественно, что к точно такому же результату придем, если предположить,
что АВ – расстояние между соседними светлыми полосами.
Теперь из формулы (4.16) с учетом результата (4.18) найдем, что
D
O0 N 2l ,
т.е. с учетом данных задачи
D
5.0 ˜ 10 4 рад = 1c 40cc .
Задача 4. Сферическая поверхность плосковыпуклой линзы (n1 = 1.52)
соприкасается со стеклянной пластиной (n2 = 1.70). Пространство между линзой, радиус кривизны которой R = 1.00 м, и пластинкой заполнено жидкостью. Наблюдая кольца Ньютона в отраженном свете (O0 = 0.589 мкм), измерили радиус U десятого темного кольца. Определить показатель преломления
жидкости nж в двух случаях: а) U = 2.05 мм; б) U = 1.90 мм.
Решение. Искомый показатель преломления жидкости nж; не входит в
явном виде в формулу (4.6) для колец Ньютона. Однако его можно ввести в
эту формулу, если воспользоваться известным соотношением
O
O0 nж .
(4.19)
Прежде чем подставлять O из (4.19) в формулу (4.6) для темных колец учтем,
что эта формула выведена для случая, когда показатели преломления линзы и
пластинки одинаковы. В данной задаче это (по условию) не соблюдается.
Кроме того, неизвестен показатель преломления жидкости, следовательно мы
59
не знаем коэффициент m в формуле (4.6) (т.е. брать его для темных или светлых полос). Предположим, что показатель преломления жидкости nж удовлетворяет одному из неравенств:
nж < n1 < n2;
nж > n2 > n1.
(4.20)
Тогда, с учетом граничных условий (см. пункт 4.2.4 методических указаний)
для темных колец и с учетом (4.19), получим формулу (4.6) в виде:
nж
kRO0 U k2 .
(4.21)
Выполнив вычисление, найдем:
а) nж1 = 1.41;
б) nж 2 = 1.63.
Теперь сделаем единственно возможное другое предположение относительно величины nж
n1 < nж < n2.
(4.22)
В этом случае (с учетом граничных условий) формула (4.6) запишется в виде:
2k 1RO0
Uk
т.е.
nж
2n ж ,
2k 1RO0
2Uk
.
(4.23)
Выполнив вычисление по формуле (4.23), получим
а) nж1 = 1.34;
б) nж 2 = 1.55.
Сравнив результаты вычислений по формуле (4.21), (4.23) для обеих случаев
(очевидно, соответствующих двум разным жидкостям) видим, что в первом
случае ( nж1 = 1.41; nж1 = 1.34) значения показателя преломления жидкости
удовлетворяют одному из неравенств (4.20), но не удовлетворяют неравенству (4.22). Следовательно, из двух формул (4.21), (4.23) правильный ответ дает
формула (4.21), т.е. для первой жидкости nж1 = 1.41. Во втором случае
( nж 2 = 1.63; nж 2 = 1.55) выполняется только неравенство (4.22). Следовательно, теперь правильный ответ дает формула (4.23), т.е. для второй жидкости nж 2 = 1.55.
Замечание. Интересно отметить, что в данной задаче нельзя предположить, что nж = n1 или nж = n2, т.к. в этих случаях свет будет отражаться лишь
60
от одной поверхности слоя жидкости, и следовательно, колец Ньютона не
будет.
Задача 5. На рисунке 4.4 изображена принципиальная схема получения
интерференции от двух источников в виде щелей (или святящихся нитей).
Оценить максимальную ширину bmax щелей (или диаметр нитей), при которых интерференционные полосы на экране Э будут еще достаточно отчетливо различимы.
Решение. Для того, чтобы в точке А получить интерференционную картину, источники
конечных размеров должны быть пространственно когерентны, т.е. удовлетворять условию (4.7)
Напомним, что радиус (или длина) когерентности
– это смещение вдоль результирующей поверхности, на котором изменение фазы достигает S.
Значит колебания в точках, отстоящих друг от
друга на расстоянии меньшем Uког всегда когерентны. В нашем случае, как видно из чертежа
(рисунок 4.4) радиус каждой из волн в точке А экрана
U ког
O
u
OL
,
b
Рисунок 4.4
(4.24)
где u – угол, под которым видна щель из точки А.
Очевидно, что если Uког = d, интерференционной картины наблюдаться
не будет. Из условия наблюдения хорошей контрастности интерференционных полос, необходимо принять, что
4d = Uког.
(4.25)
Переписывая (4.25) с учетом (4.24), получим
U ког
OL
b
4d .
(4.26)
Тогда, подставляя значение O из формулы (4.4) в выражение (4.26), найдем,
что
bmax 'x 4 .
Задача 6. Для уменьшения потерь света при отражении от стекла на поверхность объектива (n2 = 1.7) нанесена тонкая прозрачная пленка (n = 1.3)
(рисунок 4.5). При какой наименьшей ее толщине произойдет максимальное
ослабление отраженного света, длина волны которого приходится на сред61
нюю часть видимого спектра (O0 = 0.56 мкм)? Считать, что
лучи падают нормально к поверхности объектива.
Решение. Свет, падая на объектив, отражается как от
передней, так и от задней поверхностей тонкой пленки. Ход
лучей для случая их наклонного падения изображен на рисунке 4.5. Отраженные лучи 1, 2 интерферируют. Условие
минимума интенсивности света при интерференции выражается формулой (4.3), где m - нечетное число, т.е.
Рисунок 4.5
'
r 2k 1O0 2 ,
(4.27)
где k - 0,1,2,3…
Оптическая разность хода лучей, отраженных от двух поверхностей
тонкой пленки, окруженной одинаковыми средами, определяется формулой
(4.5) В данном случае пленка окружена различными средами. Из неравенства
n1 < n < n2 следует, что оба луча 1 и 2 отражаясь от границы с оптически более плотной средой «теряют» полуволну. Так как это не влияет на их разность хода, то в (4.5) следует отбросить член O/2. Кроме того, полагая D = 0
(угол падения равен нулю по условию задачи), получим
'
2hn .
(4.28)
Из равенств (4.27) и (4.28) находим толщину пленки:
h
r 2k 1O0 4n .
(4.29)
Учитывая, что в выражении (4.29) h – величина существенно положительная,
и что значение hmin соответствует k = 0, получим
hmin
O0 4n
0.11 мкм.
4.4 Задачи для контрольной работы
4.4.1 Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга d = 1 мм, расстояние от щелей до экрана l = 3 м, расстояние между максимумами яркости
смежных интерференционных полос на экране 'x = 1.5 мм. Определить длину волны источника монохроматического света.
4.4.2 В опыте с зеркалами Френкеля расстояние между мнимыми изображениями источника света d = 0.5 мм, расстояние от них до экрана l = 3 м.
Длина волны O = 0.6 мкм. Определить расстояние между смежными интерференционными максимумами на экране.
4.4.3 Источник света S (O = 0.6 мкм) и плоское зеркало N расположены,
62
как показано на рисунке 4.6. Что будет наблюдаться на экране в точке А – свет или темнота, если SA = r = 2м, а = 0.55 мм?
4.4.4 В опыте Юнга отверстия освещались
монохроматическим
светом
Рисунок 4.6
(O = 0.6 мкм), расстояние между отверстиями
1 мм и расстояние от отверстия до экрана 3 м. Найти положение трех первых
светлых полос.
4.4.5 Определить расстояние между центральной и пятой светлой полосой, если угол между зеркалами Френеля D = 20c. Источник, дающий свет с
длиной волны O = 589 нм, находится от линии пересечения зеркал на расстоянии r = 10 см, а экран на расстоянии L = 1 м.
4.4.6 При освещении зеркал Френеля монохроматическим светом с
длиной волны O = 486 нм на экране, отстоящем на расстоянии L = 1 м от линии пересечения зеркал, наблюдают интерференционные полосы, ширина
которых 'x = 1 мм. Источник света находится на расстоянии r = 10 см от линии пересечения зеркал. Определите угол между зеркалами.
4.4.7 Двояковыпуклая тонкая линза с оптической силой D = 5 дп разрезана пополам, и половинки линзы раздвинуты на расстояние d = 1 мм. Источник монохроматического света (O = 500 нм) расположен на расстоянии
a = 40 см от линзы. Определите размеры интерференционной картины и ширину интерференционных полос на экране.
4.4.8 Из линзы с фокусным расстоянием F = 50 см вырезали центральную часть шириной d и обе половинки сдвинули до соприкосновения. Линзу
поместили между точечным источником монохроматического света
(O = 0.6 мкм) и экраном, на котором наблюдают интерференционные полосы
шириной 'x = 0.5 мм. Постройте изображения источника и определите ширину вырезанной части линзы. Расстояние от источника до линзы a = 100 см,
от линзы до экрана L = 20 см.
4.4.9 Пучок параллельных лучей монохроматического света
(O = 0.48 мкм) падает под углом D = 30q на мыльную пленку. Определить
наименьшую толщину пленки, при которой отраженные лучи максимально
ослаблены интерференцией. Принять относительный показатель преломления мыльной пленки равным n = 1.3.
4.4.10 Мыльную пленку (n = 1.3), расположенную вертикально, наблюдают в отраженном свете через красное стекло (Oк = 0.631 мкм). Расстояние
между соседними темными полосами получилось равным 3 мм. Затем ту же
пленку наблюдают через стекло (Oс = 0.4 мкм). Найдите новое расстояние
между соседними темными полосами. (Считать, что за время измерений
форма пленки не изменилась).
4.4.11 Какова наименьшая толщина мыльной пленки, если при наблюдении ее в отраженном свете она представляется зеленой, когда угол между
нормалью и лучом зрения равен D = 35q? Показатель преломления мыльной
пленки n = 1.3, OЗ = 500 нм.
63
4.4.12 На стеклянный клин падает нормально пучок света
(O = 0.582 мкм). Угол клина M = 20cc. Какое число темных линий интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления n = 1.5.
4.4.13 В очень тонкой клиновидной пластинке в отраженном свете при
нормальном падении лучей наблюдаются интерференционные полосы. Расстояние между соседними темными полосами 'х = 5 мм. Зная, что длина световой волны O = 580 нм, а показатель преломления пластинки n = 1.5, найдите угол D между гранями пластинки.
4.4.14 В установке для наблюдения колец Ньютона пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Определить показатель преломления жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете получился равным 3.65 мм. Радиус кривизны линзы 10 м,
длина волны света O = 589 нм, материал линзы и пластинки одинаков.
4.4.15 Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом длиной волны O = 0.6 мкм, падающим нормально.
Найти толщину воздушного слоя между линзой и стеклянной пластинкой в
том месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном свете.
4.4.16 Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете
освещается монохроматическим светом, падающим нормально. После того,
как пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных колец уменьшились в 1.25 раза. Найти показатель
преломления жидкости.
4.4.17 Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней стеклянной
линзой налита жидкость, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла. Материал линзы и пластинки одинаков. Радиус восьмого темного кольца Ньютона в отраженном свете (O = 700 нм) r8 = 2 мм, радиус кривизны линзы R = 1 м. Найти показатель преломления жидкости.
4.4.18 Сферическая поверхность плосковыпуклой линзы соприкасается
со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели преломления линзы, сероуглерода и пластинки соответственно равны n1 = 1.50, n2 = 1.63, n3 = 1.70. Радиус кривизны
сферической поверхности линзы R = 100 см. Определить радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с длиной волны O = 0.50 мкм.
4.4.19 На пути одного из лучей интерферометра Жамена (рисунок 4.7) поместили откачанную
трубку длиной l = 10 см. При заполнении трубки
хлором интерференционная картина сместилась на
131 полосу. Длина волны монохроматического света
равна O = 590 нм. Найти показатель преломления
Рисунок 4.7
линзы.
4.4.20 Интерферометр Майкельсона был применен для определения длины световой волны. Для этой цели измерялось
расстояние, на которое необходимо передвинуть одно из зеркал для того,
64
чтобы сместить интерференционную картину на 100 полос. Это расстояние
оказалось равным l = 2.94 см. Определить длину световой волны.
4.4.21 Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плеч
интерферометра Майкельсона поместили откачанную трубку длиной
l = 14 см. При заполнении трубки аммиаком интерференционная картина
сместилась на 180 полос при длине волны O = 0.59 мкм. Найти показатель
преломления аммиака.
4.4.22 В интерферометре Жамена (рисунок 4.7) на пути лучей 1, 2 поставлены две одинаковые трубки длиной l = 15 см. Трубки заполнены воздухом. При замене одной из них такой же трубкой, заполненной кислородом,
интерференционная картина сместилась на 6 полос, при длине волны падающего света O = 5˜10-7 м. Определить показатель преломления кислорода,
если показатель преломления воздуха n = 1.000292.
4.4.23 Точечный источник S равномерно движется параллельно плоскости, в которой имеется два
маленьких отверстия на расстоянии d друг от друга.
Расстояние от него до плоскости равно h (рисунок 4.8)
Приемник света, расположенный на оси системы, регистрирует периодически изменяющуюся интенсивность света. Определить скорость движения источника
X, если частота колебаний интенсивности f = 15 Гц,
Рисунок 4.8
длина волны света O = 800 нм, d = 2 мм, h = 1 м. Считать, что источник движется вблизи оси системы.
4.4.24 Приемник радиосигналов, следящий за появлением спутника
Земли из-за горизонта, расположен на берегу озера на высоте H = 3 м над поверхностью воды. По мере поднятия спутника над горизонтом наблюдаются
периодические изменения интенсивности принимаемого радиосигнала. Определить частоту радиосигнала спутника, если максимумы интенсивности
появились при углах возвышения спутника над горизонтом D1 = 3q, D2 = 6q.
Поверхность считать идеально отражающим зеркалом.
4.4.25 Радиоизлучение от звезды, расположенной в плоскости экватора,
принимается с помощью двух антенн, расположенных на экваторе на расстоянии L = 200 м друг от друга. Сигналы с антенны подаются по кабелям
одинаковой длины на приемник. Найти закон изменения амплитуды напряжения на входном контуре приемника в результате вращения Земли. Прием
ведется на длине волны O = 1 м. Звезда мало отклоняется от зенита за время
наблюдения.
4.4.26 Коротковолновый передатчик работает на частоте f = 30 МГц.
Приемник находится на расстоянии L = 2000 км от него. Радиоволны достигают приемника, отражаясь от ионосферных слоев, расположенных на высотах h1 = 100 км и h2 = 300 км. Найти закон изменения интенсивности сигнала,
если приемник перемещать вдоль прямой, соединяющий его с передатчиком.
Перемещение мало по сравнению с L.
4.4.27 Горизонтальный электрический вибратор помещен над идеально
65
проводящий горизонтальной плоскостью на высоте h. Начертить качественно
диаграммы направленности вибратора в вертикальной плоскости, перпендикулярной к его оси, для h = O/4, h = O/2, h = 3O/4, h = O. Найти направления на
максимумы и минимумы излучения в этих случаях.
4.4.28 Начертить качественно диаграмму направленности расположенного над Землей горизонтального полуволнового вибратора в экваториальной, т.е. в вертикальной, плоскости, если Землю можно считать идеально
проводящей, и высота h вибратора над землей равна: O/4; O/2. Найти в экваториальной плоскости направления на максимум и минимум излучения в
этих случаях, а также в общем случае, когда h = nO, где O - длина волны излучения. Указание. Землю считать идеально проводящей поверхностью.
4.4.29 Найти в вертикальной плоскости направления максимумов и минимумов излучения для вертикального полуволнового вибратора в случае,
когда высота вибратора над Землей (считая от середины вибратора) h = nO,
где O - длина волны. Землю считать идеально проводящей.
4.4.30 Четыре идентичных дипольных излучателя расположены в антенне параллельно друг другу и находятся на одинаковых расстояниях 2.5 см
друг от друга. Излучатели работают на частоте f = 3.00˜109 Гц и сфазированы
так, что излучение каждого последующего отстает от предыдущего на 90q.
Найдите интенсивность излучения на больших расстояниях от системы в экваториальной (т.е. перпендикулярной оси диполя) плоскости.
4.4.31 Источник света диаметра d = 30.0 см находится от места наблюдения на расстоянии L = 200 м. В излучении источника содержатся длины
волн в интервале от 490 нм до 510 нм. Оценить для этого излучения: а) время
когерентности; б) длину когерентности; в) радиус когерентности; г) объем
когерентности.
4.4.32 Оценить радиус когерентности UЮ света, приходящего от Солнца
на Юпитер. Сравнить его с радиусом когерентности UЗ света, приходящего от
Солнца на Землю. Расстояние от Солнца до Юпитера 7.778˜1011 м; от Солнца
до Земли 1.496˜1011 м; радиус Солнца 6.96˜108 м; длина волны света 600 нм.
4.4.33 Угловой диаметр звезды Бетельгейзе (D Ориона) равен 0.047 угловой секунды. Чему равен радиус когерентности Uког света, приходящего на
Землю от этой звезды?
4.4.34 Две когерентные плоские световые волны, угол между направлениями распространения которых M , падают почти нормально на экран.
Амплитуды волн одинаковы. Показать, что расстояние между соседними
максимумами на экране 'х OM, где O - длина волны.
4.4.35 Волновые векторы двух плоских когерентных волн одинаковой
интенсивности образуют угол M, много меньший единицы. Волны падают на
&
&
экран, установленный так, что векторы k1 и k 2 симметричны относительно
нормали к экрану. Определить ширину 'x интерференционных полос, наблюдаемых на экране.
4.4.36 Электромагнитная волна падает нормально на границу раздела
66
двух изотропных диэлектриков с показателями преломления n1 и n2. Воспользовавшись
условием непрерывности тангенциальной составляющей век&
тора E на границе раздела
& и законом сохранения энергии, показать, что на
границе раздела вектор E : а) проходящей волны не испытывает скачка фазы;
б) отраженной волны испытывает скачок фазы на S, если отражение происходит от оптически более плотной среды.
4.4.37 Определить продольную и поперечную длину, а также объем когерентности лазера, если O = 500 нм, а разброс частот 'f = 102 Гц. Диаметр
зеркала лазера d = 0.05 м.
4.4.38 Оценить степень монохроматичности ('O) лампы накаливания,
если при освещении ею через красный светофильтр (пропускает свет длиной
O = 600 нм) мыльной пленки наблюдается 10 интерференционных полос.
4.4.39 Две одинаковые радиомачты, находящиеся на расстоянии
L = 400 м друг от друга, передают на частоте 1500 кГц. Покажите, что интенсивность интерференционного распределения между этими излучателями
имеет вид:
I = 2I0>cos (S sinT @,
где I0 - интенсивность излучения каждой радиомачты.
Изобразите графически это распределение интенсивности на полярной диаграмме, считая, что радиомачты расположены на оси 90 - 270q.
4.4.40 Два одинаковых источника, излучающих на длине волны O, находятся на расстоянии O друг от друга. Сигналы, испускаемые источниками, имеют разность фаз G0 = S. Покажите, что распределение интенсивности
излучения описывается выражением
§S
·
I 4 I 0 sin 2 ¨ sin T ¸ ,
©2
¹
где I0 – интенсивность излучения каждого источника (источники лежат на оси T = rS ). Нарисуйте график зависимости I от T.
4.4.41 Источники, о которых говорилось в задаче 4.4.40, находятся на
расстоянии O4 друг от друга и T0 = S . Покажите, что
S
ª
º
I 4 I 0 «cos 2 1 sin T » .
4
¬
¼
Нарисуйте график зависимости I от T.
4.4.42 Покажите, что для того чтобы главный максимум излучения линейной цепочки одинаковых источников был направлен вдоль линии источников (T rS , расстояние между источниками должно быть равно длине
волны излучения. Определите положение (значение T) вторичных максимумов для случая N = 4 и нарисуйте угловое распределение интенсивности.
4.4.43 Первый многолучевой радиоастрономический интерферометр
был эквивалентен линейной цепочке из N = 32 источников (приемников), находящихся на расстоянии l = 7 м друг от друга и работающих на длине волны
O = 0.21 м. Определите угловую ширину центрального максимума, а также
угловое расстояние между соседними главными максимумами.
67
5 Дифракция волн
5.1 Основные формулы и соотношения
Радиусы зон Френеля для сферической поверхности волны, испускаемой точечным изотропным источником S, вычисляется по формуле
Uk
Rr0
kO ,
R r0
(5.1)
Uk – радиус внешней границы k-й зоны (k = 1,2,3….);
R – радиус волновой поверхности;
r0 – расстояние от вершины волновой поверхности до точки наблюдения, для которой построены зоны Френеля.
При дифракции в параллельных лучах от щели (свет падает нормально
к поверхности щели) условие минимума освещенности на экране определяется условием
(5.2)
bsinM r kO,
где
где
b – ширина щели;
M – угол дифракции;
k – порядок минимума (k = 1,2,3...);
а угловое положение k-го максимума интенсивности дифракционной картины вблизи оси симметрии определяется уравнением:
sinMk = r 2kO2.
(5.3)
При нормальном падении плоской волны на дифракционную решетку
положение главных максимумов определяется условием
dsinM
r kO,
(5.4)
где
d – постоянная (период) решетки;
k – порядок максимума (k = 0,1,2,3…).
Разрешающая способность дифракционной решетки
R
где
O
dO
kN ,
(5.5)
k – порядок спектра;
N – число щелей решетки.
Условие (5.5) записывается также в виде теоремы о ширине частотной
68
полосы следующим образом:
'Q ˜'t = 1,
(5.6)
'Q – минимальная разрешаемая решеткой разность частот;
't – разность времен прихода светового сигнала по двум экстремальным оптическим путям.
Разрешающая сила объектива оптического прибора
где
R
1
G\
D
,
1.22O
(5.7)
G\ – наименьшее угловое расстояние, разрешаемое объективом;
D – диаметр объектива.
Расстояние l, разрешаемое объективом микроскопа:
где
l t 0.61
O
,
n sin u
(5.8)
O – длина волны света;
n – показатель преломления среды, заполняющей пространство
между предметом и объективом микроскопа;
u – половина угла между лучами, идущими от предмета к краям
объектива микроскопа.
Величину nsin u - называют числовой апертурой микрообъектива.
Распределение интенсивности на экране при дифракции на одной щели
(в параллельных лучах) задается соотношением
где
I
где
D
I0
sin 2 D
D2
,
(5.9)
S
b sin M .
O
Распределение интенсивности на экране в случае дифракционной решетки определяется соотношением
I
где
I0
sin 2 D sin 2 NE
˜
,
2
2
D
sin E
(5.10)
S
d sin M ;
O
N – число щелей решетки.
E
69
5.2 Методические указания
5.2.1 Решить дифракционную задачу – значит найти относительное
распределение освещенности на экране в зависимости от размеров и формы
неоднородностей, вызывающих дифракцию. В общем случае решение этой
задачи весьма сложное, поэтому в курсе общей физики рассматривают лишь
случаи, в которых соображения симметрии упрощают расчет, это дифракция
от круглого отверстия, от узкой щели, а также дифракционную решетку.
Учитывая сложность вопроса, советуем еще раз внимательно прочитать соответствующие главы учебника.
5.2.2 Для понимания сути подхода к решению задач по дифракции напоминаем, что для всех волн характерны явления интерференции, возникающие при сложении волн, идущих от разных источников. Поэтому различие между интерференцией и дифракцией заключается только в масштабе, а
не в физике явлений. В случае дифракции света на узкой щели или дифракции света малого источника размер отверстия или источника – порядка длины волны. Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку волнового фронта в
плоскости щели можно рассматривать как источник вторичных волн, а дальнейшую эволюцию дифрагировавших волн можно найти суммированием
этих вторичных волн.
В случае интерференции света, идущего от двух и большего числа таких узких щелей, каждую щель можно рассматривать как источник волны.
Поэтому число компонент, складываемых в конечной интерференционной
картине, равно числу щелей (источников). Это означает, что на полном изображении двух и большего числа щелей должны наблюдаться эффекты и интерференции и дифракции. Результат сложения волн от двух и большего числа источников зависит от разницы в путях, проходимых отдельными волнами
(т.е. от разности фаз).
5.2.3 В подтверждение сказанного рассмотрим схему, представленную
на рисунке 5.1, где изображена линейная цепочка N одинаковых источников
S, интервал между которыми равен d, излучающих в направлении M. SА -разность хода между соседними источниками, SВ – разность хода между крайними источниками. Допустим, что мы уменьшаем интервал d между
N источниками до тех пор, пока расстояние между первым и последним из них, первоначально равное Nd, не
станет равным d. Предположим, что теперь d есть ширина узкой щели, на которую падает монохроматическое
излучение с длиной волны O, причем d a O. Теперь каждый из большого числа N одинаковых источников можно рассматривать как источник вторичных волн в соответствии с принципом Гюйгенса. Он образует систему
волн, дифрагированных во всех направлениях.
Рисунок 5.1
70
5.2.4 Таким образом, если
рассмотреть дифракцию на одной
щели (см. рисунок 5.2), то волны,
дифрагированные под углом M,
фокусируется в точке Р, находящейся далеко от щели. Нахождение амплитуды света в точке Р
сводится к суммированию всех
Рисунок 5.2
малых вкладов N одинаковых источников, расположенных в плоскости щели, с учетом разности фаз, обусловленной различием в длине пути от точки Р до источников. Суммирование можно вести различными способами: прямым интегрированием (т.к. источники расположены непрерывно), с помощью преобразований Фурье, в
комплексных числах, методом векторных диаграмм >см. вывод формул (1.9)
и (1.11)@. Освещенность в точке Р будет задаваться уравнением (5.9). В данном случае рассчитывалась дифракция в параллельных лучах или дифракция
Фраунгофера.
5.2.5 Большое число N эквивалентных щелей образует дифракционную
решетку, причем постоянное расстояние d между соседними щелями называется постоянной (периодом) решетки. Чтобы найти распределение освещенности на экране в точке Р (в рисунке 5.2 нужно заменить щель на решетку) от
дифракционной решетки, нужно вновь перейти к схеме, представленной на
рисунке 5.1. Но теперь считать, что источниками излучения являются щели,
дающие излучение длиной волны O. Суммирование всех волн в точке Р дает
выражение (5.10). В этом выражении объединяются дифракционный множитель sin2D/D 2, относящийся к одной щели (одному источнику), и интерференционный множитель sin2NE/sin2E, характеризующий совместное действие
N источников (что лишний раз подтверждает сказанное в пункте 5.2.2). Другими словами, при любом числе щелей дифракционная картина на экране будет представлять собой интерференционное распределение интенсивности от
N щелей (источников), модулированное кривой интенсивности света, дифрагированного на одиночной щели (источнике конечных размеров).
5.2.6 Расчет интенсивности интерференционной картины на круглых
отверстиях (препятствиях) ничем, кроме осложнения в математических расчетах, не отличается от уже рассмотренного в п.п. 5.2.4 и 5.2.5. В курсе общей физики, в связи с этим, рассматривается лишь вопрос о наличии или отсутствии освещенности в той или иной точке экрана вблизи оси симметрии.
Этот вопрос гораздо проще решается с помощью искусственного приема, называющегося методом зон Френеля. При использовании этого метода нужно
иметь в виду, что расстояние от краев зоны до точки наблюдения отличаются
на O, т.е. сдвинуть по фазе на S. Поскольку площади зон одинаковы (по построению), а амплитуда волны от каждой зоны пропорциональна ее площади,
то свет от четного числа зон на экране дает минимум освещенности.
5.2.7 Условие (5.7) разрешающей силы объектива, фактически является
71
условием первого минимума дифракции на круглом отверстии. При этом G\
- угловое расстояние между двумя точками, при котором их дифракционные
изображения в фокальной плоскости объектива располагаются так, что их
еще можно воспринимать раздельно.
5.3 Примеры решения задач
f
Задача 1. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического света. Расположенная за щелью линза Л с фокусным расстоянием
f = 2.00 м проектирует на экран дифракционную картину в виде чередующихся светлых и темных полос. Ширина центральной светлой полосы
'х 5.0 см (рисунок 5.3). Как надо изменить ширину щели, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой его
ширине?
Рисунок 5.3
Решение. Изображенная на рисунке 5.3
кривая показывает распределение интенсивности
света на экране. Центральная светлая полоса заключена между двумя минимумами первого порядка. Ее ширина 'х зависит от угла дифракции
M, соответствующего первому порядку. В свою
очередь угол M связан с шириной щели в формуле
(5.2), где k = 1. Так как при изменении ширины
щели от b1 до b2 величины O и k остаются постоянными, то из (5.2) следует:
b2
b1
sin M1
,
sin M 2
(5.11)
M1, M – углы первых дифракционных минимумов, соответствующие размерам щели b1, b2.
Из условия видно, что угол M мал. Поэтому sinM | tgM ' x2f. С другой стороны, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой ширине последнего, должно выполняться условие M S 2 sinM . Подставив
значения sinM и sinM в (5.11), получим
где
b2
'x
b1
2f
b1
.
40
Таким образом, ширину щели следует уменьшить в 40 раз.
Задача 2. Определить длину волны монохроматического света, падаю72
щего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2.20 мкм, если
угол между максимумами первого и второго порядков спектров 'M q.
Решение. Пусть M и M - углы дифракции, соответствующие максимумам первого (k = 1) и второго (k = 2) порядков. По условию,
MM
'M,
(5.12)
Из формулы дифракционной решетки (5.4) следует:
dsinM
O,
(5.13)
dsinM
O.
(5.14)
Система уравнений (5.12), (5.13), (5.14) содержит три неизвестных: M1,
M2, O. Разделив почленно (5.13), (5.14) получим sinM2 = 2sinM1, или учитывая
(5.12),
sin(M'M 2sinM.
Решив это тригонометрическое уравнение относительно sinM, найдем
sin M1
sin 'M
.
5 4 cos 'M
(5.15)
Теперь из выражения (5.13) с учетом (5.15) определим искомую величину:
d sin 'M
.
5 4 cos 'M
O
(5.16)
Подставив в (5.16) числовые значения условия задачи, получим
O
0.54 мкм.
Задача 3. При каком минимальном числе штрихов дифракционной решетки с периодом d = 2.9 мкм можно разрешить компоненты дублета желтой
линии натрия (O 5890 Å и O 5896 Å"
Решение. Число штрихов N решетки связано с ее разрешающей силой R
и порядком спектра k соотношением (5.5), откуда следует: N = R/k. Минимальному значению Nmin соответствует минимальное Rmin и максимальное
число k, т.е.
(5.17)
Nmin = Rmin/kmax
73
С другой стороны, минимальная разрешающая сила решетки Rmin, необходимая для разрешения дублета желтой линии натрия, выражается через величины O и O по формуле (5.5):
Rmin = OOO
(5.18)
Число kmax найдем из формулы (5.4), если положить в ней sinM и
O O (последнее соотношение гарантирует, что оба компонента дублета с
порядковым номером kmax будут видны). Учитывая при этом, что k - целое
число, и введя функцию Е(х), равную целой части числа Х, получим:
k max
§d ·
E¨ ¸
©O¹
§ 2.9 ˜ 10 4 ·
¸
E ¨¨
¸
5896
¹
©
E 4.9 4 .
(5.19)
Поставив значения Rmin и kmax из соотношений (5.18) и (5.19) в формулу
(5.17), найдем, что
N min
O1
4O2 O1 5890
4˜6
250 .
Замечание. а) Функция Е(х) = целой части х. Например, Е(1) = 1;
Е(S) = 3; Е(5.9) = 5.
б) Полученное значение Nmin еще не достаточно для того, чтобы брать
решетку с таким числом штрихов, потому, что данный расчет не учитывает
интенсивность линий в спектральных порядках. Известно, что интенсивность
линий пропорционально N 2, поэтому стараются брать большее число штрихов, потому, что линии мало разделить их надо еще хорошо видеть. Обычные
решетки имеют размер 15х15 мм, при числе штрихов 600 штр/мм и
1200 штр/мм.
Задача 4. Между точечным источником света (O = 0.50 мкм) и экраном
поместили диафрагму с круглым отверстием радиуса r = 1.0 мм. Расстояние
от диафрагмы до источника и экрана равны соответственно R = 1.00 м и
r0 = 2.00 м. Как изменится освещенность экрана в точке Р, лежащей против
центра отверстия, если диафрагму убрать?
Решение. В результате дифракции света на краях отверстия диафрагмы
и интерференции вторичных волн на экране возникнет дифракционная картина – чередующиеся светлые и темные кольца. При этом в точке Р, являющейся центром картины, будет светлое или темное пятно в зависимости от
числа зон Френеля, укладывающихся в поверхности волнового фронта, ограниченной краями отверстия. Найдем это число, которое зависит от размеров
отверстия и расстояния от отверстия до точки наблюдения. Полагая в форму74
ле (5.1) величину Uk равной радиусу r отверстия в диафрагме, получим
k
r 2 R r0 Rr0 O
3.0 .
Таким образом, в точке Р будет светлое пятно. Чтобы ответить на вопрос задачи, заметим следующее. В силу соотношений r << R, r << r0 световые колебания, приходящие в точку Р от каждой из трех зон Френеля, имеют
приблизительно равные амплитуды. При этом колебания, приходящие от
двух любых соседних зон, будучи противоположны по фазе, гасят друг друга
и весь эффект сводится к действию одной зоны, например первой. Известно
также, что действие всей волны (когда нет диафрагмы) равно половине действия первой зоны Френеля. Следовательно, удаление диафрагмы приведет к
уменьшению амплитуды световых колебаний в точке Р в два раза. Так как
освещенность пропорциональна квадрату амплитуды световых колебаний, то
она уменьшится в четыре раза.
Задача 5. При каком увеличении Г телескопа разрешающая сила его
объектива D будет полностью использована, если диаметр зрачка глаза d0?
Решение. Дифракционные явления, происходящие как в телескопе, так
и в глазу, ограничивают их разрешающую способность. Из формулы (5.7) для
разрешающей силы объектива телескопа и глаза имеем, соответственно
G\об = 1.22O/D,
(5.20)
G\гл = 1.22O/d0,
(5.21)
где G\гл - наименьшее угловое расстояние между двумя точками объекта (или его действительного изображения), которое может разрешать глаз.
Так как d0 < D, то G\гл ! G\об. Для полного использования разрешающей силы объектива при визуальном наблюдении необходимо, чтобы угол
G\об, увеличенный оптической системой телескопа в Г раз, оказался не
меньше угла G\гл, т.е.
G\об˜* t G\гл;
(5.22)
в противном случае изображения двух точек объекта, разрешенных объективом, не будут разрешены глазом, т.е. сольются на сетчатке глаза в одно дифракционное изображение. Из формулы (5.22) с учетом соотношений (5.20) и
(5.21) находим
Г t D/d0.
(5.23)
75
Условие (5.23) дает ответ на вопрос задачи: при Г t D/d0 разрешающая сила
объектива используется полностью.
Замечание. а) При наблюдении в телескопы протяженных объектов
увеличение, равное Г0 = D/d0 является оптимальным, т.к. при этом сохраняются, наряду с разрешающей силой объектива, и высокая освещенность изображения объекта.
б) При проведении исследований с телескопом, изображение объекта
обычно фиксируется на фотопленке. При фотографировании объектов необходимо, чтобы размер зерен эмульсии фотопленки был существенно меньше
расстояния между центрами дифракционных изображений объектов.
5.4 Задачи для контрольной работы
5.4.1 Экран находится на расстоянии L = 40 м от точечного монохроматического источника света (O = 5˜10-4 мм). На расстоянии а = 20 м от источника света помещен экран с диафрагмой. При каком радиусе отверстия диафрагмы центр дифракционного изображения отверстия будет: а) наиболее
темным; б) наиболее светлым?
5.4.2 Расстояние от экрана с отверстием до точки наблюдения 1 м. Экран освещают монохроматическим светом с длиной волны O = 5˜10-7 м. Вычислите радиус пятой зоны Френеля, если: а) источник света точечный и расстояние между ним и экраном а = 0.5м; б) волновой фронт, падающий на экран, плоский, падение света нормальное.
5.4.3 Точечный источник света (O = 550 нм) находится на расстоянии
L = 11 м от экрана. Между источником света и экраном на расстоянии b = 5 м
от экрана помещена ширма с круглым отверстием, диаметр которого
d = 4.2 мм. Как изменится освещенность в точке, находящейся в центре дифракционной картины, если ширму убрать?
5.4.4 На круглое отверстие радиусом 1 мм в непрозрачном экране падает нормально параллельный пучок света с длиной волны 0.5 мкм. На пути
лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние от отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.
5.4.5 На круглое отверстие диаметром d = 4 мм падает нормально параллельный пучок лучей (O = 0.5 мкм). Точка наблюдения находится на оси
отверстия на расстоянии R0 = 1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается
в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифракционной
картины, если в месте наблюдения поместить экран?
5.4.6 Монохроматический свет падает нормально на круглое отверстие
диаметром d = 1 см. На каком расстоянии от отверстия должна находится
точка наблюдения, чтобы в отверстии помещалась одна зона Френеля; две
зоны Френеля?
76
5.4.7 Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта
r4 = 3 мм. Определите радиус двенадцатой зоны из той же точки наблюдения.
5.4.8 Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I0 падает
нормально непрозрачный экран с круглым отверстием. Какова интенсивность света I за экраном в точке, для которой отверстие равно первой зоне
Френеля?
5.4.9 Какова интенсивность света I в центре дифракционной картины
от круглого экрана, если он закрывает всю первую зону? Интенсивность света без экрана равна I0.
5.4.10 Какова будет интенсивность света I в фокусе зонной пластинки,
если закрыты все зоны, кроме первой? Интенсивность света без пластинки
равна I0.
5.4.11 На цель шириной 0.1 мм нормально падает параллельный пучок
света от монохроматического источника (O = 0.6 мкм). Определите ширину
центрального максимума в дифракционной картине, проектируемой при помощи линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий
от линзы на расстоянии L = 1 м.
5.4.12 Каково наибольшее значение числа k (номер дифракционного
максимума) для желтой линии натрия (O = 589 нм) при нормальном падении
лучей на щель шириной 2 мкм? Сколько всего наблюдается максимумов?
5.4.13 На щель нормально падает параллельный пучок монохроматического света. Длина волны падающего света укладывается в ширине щели 8
раз. Какова ширина нулевого максимума в дифракционной картине, проектируемой линзой на экран, относящий от линзы на расстоянии L = 1 м?
5.4.14 На щель шириной b = 0.05 мм падает нормально монохроматический свет (O = 0.6 мкм). Определить угол между первоначальным направлением лучей и на четвертую темную дифракционную полосу.
5.4.15 На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Угол
отклонения лучей, соответствующей второй светлой дифракционной полосе,
M = 1q. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?
5.4.16 На щель шириной 10 мкм нормально падает монохроматический
свет (O = 6˜10-7 м). Определите значения интенсивности первого, второго и
третьего максимумов, приняв интенсивность нулевого максимума за единицу.
5.4.17 При нормальном падении света на решетку длиной l = 2 см на
экране с помощью линзы с фокусным расстоянием F = 1 м получено несколько спектров. Красная линия (O = 630 нм) в спектре третьего порядка
видна под углом M = 20q относительно направления падающего на решетку
света. Найдите: постоянную решетки; разрешающую способность решетки в
спектре третьего порядка; линейную дисперсию.
Указание. Линейной дисперсией дифракционной решетки называют
dM
величину, численно равную D *
F , где F – фокусное расстояние линзы,
dO
проектирующей спектр на экран.
77
5.4.18 Длина волны монохроматического света O = 590 нм. Определите
наибольший порядок максимума, который можно получать с помощью решетки, имеющей 500 штрихов на миллиметр, если: а) свет падает на решетку
нормально; б) свет падает на решетку под углом в 30q.
5.4.19 На дифракционную решетку, имеющей 500 штрихов на миллиметр, нормально падает белый свет. Непосредственно за решеткой помещена
линза с фокусным расстоянием F = 2 м, проектирующая спектры на экран.
Диапазон длин волн видимого спектра Oф = 400 нм, Oк = 700 нм. Определите:
а) могут ли перекрываться спектры первого и второго порядков; б) во сколько раз спектр второго порядка на экране длиннее спектра первого порядка?
5.4.20 Ширина решетки l = 15 мм, период решетки d = 5 мкм. В спектре
какого наименьшего порядка получаются раздельные изображения двух
спектральных линий с разностью длин волн 2˜10-10 м, если линии принадлежат диапазону крайне красной части видимого спектра (780 нм-700 нм)?
5.4.21 Дифракционная решетка спектрографа имеет 4000 штрихов на
1см. Вычислите линейную дисперсию спектрографа при объективе с фокусным расстоянием 1 м в спектре третьего порядка для длины волны
O = 500 нм. (Смотрите указание к задаче 5.4.17)
5.4.22 На решетку с периодом 6˜10-5 м нормально падает монохроматический свет. Разность углов дифрагирования для максимумов второго и
третьего порядка равна 4q36c. Определите длину световой волны.
5.4.23 Сколько штрихов на каждый миллиметр содержит дифракционная решетка, если при наблюдении в монохроматическом свете (O = 0.6 мкм)
максимум пятого порядка отклонен на угол M = 18q"
5.4.24 Дифракционная решетка содержит 200 штрихов/мм. На решетку
падает нормально монохроматический свет (O = 0.6 мкм). Максимум какого
наибольшего порядка дает эта решетка?
5.4.25 На дифракционную решетку, содержащую 500 штрихов/мм, падает нормально белый свет. Спектр проектируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длину спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана равно 3 м. Границы видимого спектра
Oкр = 780 нм Oф = 400 нм.
5.4.26 Период дифракционной решетки а+b=0.01 мм. Какое наименьшее число штрихов N должна содержать решетка, чтобы две составляющие
желтой линии натрия (O1 = 589 нм, O2 = 589.6 нм) можно видеть раздельно в
спектре первого порядка? Определите наименьшую длину решетки.
5.4.27 Диаметр зеркала телескопа равен D = 2.6 м. Какой должна быть
минимальная длина l отрезка на Луне, чтобы его изображение можно было
бы отличить от изображения точки?
5.4.28 Диаметр Марса D = 3400 км. Минимальное расстояние между
Землей и Марсом L = 78˜106 км. Может ли человек с нормальным зрением
видеть Марс в виде диска? Каким должно быть минимальное угловое увеличение телескопа, чтобы изображение Марса можно было отличить от звезды?
5.4.29 Диаметр зрачка человеческого глаза при средней яркости рас78
сматриваемого предмета равен 3 мм. Определите: а) минимальное угловое
расстояние между отдельными точками рассматриваемого предмета; б) минимальное расстояние между этими точками, рассматриваемые с расстояния
(L = 25 см) наилучшего зрения нормального глаза.
5.4.30 На шпиле высотного здания укреплены одна под другой две
красные лампочки (O = 640 нм). Расстояние между лампочками l = 20 см.
Здание рассматривают ночью в телескоп с расстояния L = 15 км. Определите
наименьший диаметр объектива телескопа, при котором можно видеть
раздельные дифракционные изображения лампочек.
5.4.31 По прямой дороге движется автомобиль с включенными фарами
(рассматриваемыми как точечные источники). Расстояние между фарами автомобиля 120 см. На каком расстоянии от наблюдателя должна находиться
машина, чтобы он был уверен, что видит два источника света, а не один?
Диаметр зрачка глаза принять равным 0.5 см, испускаемая фарами длина
волны света O = 550 нм. Как Вы думаете, испускаемый фарами «белый» свет
облегчает или затрудняет разрешение двух источников света?
5.4.32 Плоская световая волна с O = 0.60 мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана круглая выемка (рисунок 5.4). Для точки Р
она представляет собой первые полторы зоны Френеля.
Найти глубину h выемки, при которой интенсивность
света в точке Р будет максимальной.
5.4.33 При условии задачи 5.4.32 найдите глубину
выемки, при которой интенсивность света в точке Р будет минимальной.
5.4.34 При условии задачи 5.4.32 найдите глубину
выемки, при которой интенсивность света в точке Р буРисунок 5.4
дет равной интенсивности падающего света.
5.4.35 Плоская световая волна с O = 0.57 мкм падает нормально на поверхность стеклянного (n = 1.60) диска, который закрывает полторы зоны
Френеля для точки наблюдения Р. При какой минимальной толщине диска
интенсивность света в точке Р будет максимальной? Учесть интерференцию
света при прохождении диска.
5.4.36 Вдали от точечного источника S электромагнитной волны поставлен идеально отражающий плоский экран АВ (рисунок 5.5). Найдите интенсивность отраженной волны в точке S, если из экрана вырезать диск СД с
центром на оси симметрии источник – экран и сместить диск по направлению к источнику на одну
двенадцатую длины волны. Площадь диска составляет одну треть от площади первой зоны Френеля.
Указание. Решение задачи облегчается, если воспользоваться векторной диаграммой.
5.4.37 При условии задачи 5.4.36 найдите интенсивность отраженной волны в точке S, если диск
Рисунок 5.5
79
сместить в противоположную сторону.
5.4.38 В установке задачи 5.4.36 (рисунок 5.5) площадь диска составляет половину зоны Френеля. На какое расстояние h следует сместить диск в
направлении от источника, чтобы интенсивность отраженной волны в точке
S осталась неизменной?
5.4.39 Интенсивность света в некоторой точке на оси за отверстием в
непрозрачном экране, на который нормально падает параллельный пучок
монохроматического света, равна I0, если в отверстии укладывается одна зона Френеля. Найти интенсивность света в той же точке, если радиус отверстия уменьшить на D = 1/3 первоначальной величины.
Указание. При решении рекомендуем воспользоваться методом векторных
диаграмм.
5.4.40 Через узкую щель проходит монохроматический пучок света и
создает на экране дифракционную картину Фраунгофера. Во сколько раз изменится интенсивность и энергия света в центре экрана, если ширину щели
увеличить вдвое?
5.4.41 На ирисовую диафрагму с переменным радиусом отверстия R,
расположенную на расстоянии D от экрана, падает свет длиной волны O.
Диафрагму постепенно открывают, начиная с R | 0. При каком радиусе R интенсивность света в центре экрана впервые обратится в нуль?
5.4.42 На звезду смотрят ночью невооруженным глазом. Оцените размер изображения звезды на счетчике глаза.
5.4.43 Исходя из ограничений, налагаемых дифракцией, оцените максимальное расстояние l, на котором человеческий глаз может различить две
светящиеся фары автомобиля.
5.4.44 Пучок света (O = 600 нм) от находящегося на Земле лазера фокусируют с помощью телескопа, диаметр линзы (или зеркала) которого равен
2 м, на лунный кратер (расстояние от Земли до Луны 400000 км). Каков будет размер светового пятна на Луне? Влиянием земной атмосферы пренебречь.
5.4.45.Какой минимальный диаметр d должна иметь линза телеобъектива фотоаппарата, чтобы с расстояния D = 30 км сфотографировать два
предмета, разнесенные на расстояние х = 30 см друг от друга?
80
6 Поляризация электромагнитных волн
6.1 Основные формулы и соотношения
При отражении от границы раздела двух диэлектриков имеют место
соотношения (формулы Френеля):
E Ac
EA
sinD J ;
sinD J E||c
E||
tg D J ,
tg D J (6.1)
E A , E Ac - составляющие напряженности электрического поля, соответственно, в падающем и отраженном свете, перпендикулярные к плоскости падения;
E|| , E||c - составляющие напряженности электрического поля, соответственно, в падающем и отраженном свете, лежащие в
плоскости падения;
D, J - углы падения и преломления, соответственно.
Закон Брюстера: луч, отраженный от границы раздела двух диэлектриков, полностью поляризован, если угол падения DБ удовлетворяет условию:
где
tgD Б
H2
H1
n2
n1
n,
(6.2)
H2, H1, n2, n1 - диэлектрические проницаемости и показатели преломления сред на границе раздела диэлектриков;
n - относительный показатель преломления.
Степень поляризации света
где
P
I макс I мин
,
I макс I мин
(6.3)
где Iмакс, Iмин - максимальная и минимальная интенсивности света, соответствующие двум взаимно перпендикулярным направлениям световых
колебаний.
Закон Малюса:
(6.4)
I I 0 cos 2 D ,
где
I0 - интенсивность света, прошедшего через поляризатор;
I - интенсивность света, прошедшего через анализатор;
D - угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора.
81
Разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, выходящими из кристалла, если направление падающего пучка перпендикулярно
оси кристалла:
2S
G
(6.5)
d no ne ,
O0
O0 - длина волны в вакууме;
no, ne - соответственно показатели преломления обыкновенного и
необыкновенного лучей;
d - толщина кристалла.
Угол поворота плоскости поляризации света в оптически активных
кристаллах
M Dl ,
(6.6)
где
D - удельное вращение, зависящее от природы вещества, температуры и длины волны света в вакууме;
l - путь света в кристалле.
Угол поворота плоскости поляризации света в растворах
где
M D cl ,
(6.7)
D - удельное вращение, зависящее от природы оптически активного вещества и растворителя;
l - толщина слоя раствора;
c - концентрация оптически активного вещества.
Разность показателей преломления анизотропной жидкости для необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света
в направ&
лении, перпендикулярному вектору напряженности
внешнего
E
электрического поля,
(6.8)
'n K O 0 E 2 ,
где
O0 - длина волны в вакууме;
K - постоянная Керра, зависящая от природы вещества, длины
волны и температуры.
Угол поворота плоскости поляризации при прохождении света через
оптически неактивное вещество, находящееся в однородном магнитном поле
индукции В,
M VLB ,
(6.9)
где
где
82
V - постоянная Верде, зависящая от природы вещества и длины
волны света;
L - длина пути света в магнитном поле.
6.2 Методические указания
6.2.1 В данном сборнике не рассматриваются вопросы, связанные с поляризацией электромагнитных волн при отражении от металлических поверхностей. Поэтому: во-первых, приводятся формулы Френеля только для
случая отражения волн от диэлектриков; во-вторых, в связи со сказанным,
рассматривается только оптический диапазон электромагнитных волн.
6.2.2 Задачи, в которых рассматривается поляризация света при отражении и преломлении на границе раздела двух диэлектриков, решаются с
помощью формул Френеля (6.1) или закона Брюстера (6.2), который является, по существу, следствием из формул Френеля. Следует иметь в виду при
решении задач, что используемый в законе Брюстера показатель преломления n - является относительным показателем преломления.
6.2.3 При падении света на границу раздела двух сред со стороны оптически более плотной среды, возможна ситуация, когда вычисления величин интенсивности дадут для угла преломления sinJ = (sinD)/n > 1. Так как
угла J, удовлетворяющему этому неравенству, не существует, такой результат должен означать, что свет не будет преломляться на данной границе, т.е.
возникнет полное внутреннее отражение. В этом случае I Ac I A , I ||c I || и
полная интенсивность отраженного луча I c I Ac I c|| равна интенсивности
падающего луча I
I A I || .
Замечание. Следует иметь в виду, что в случае полного внутреннего
отражения падающая волна заходит во вторую среду. Это следует из необходимости выполнения граничных условий, в уравнениях Максвелла (смотрите
главу 6 второй части сборника и главу 3 настоящего сборника). Если волна
заходит во вторую среду, то она обязательно поглощается. Пока вторая среда
прозрачная и отражений мало, этим поглощением, с высокой степенью точности, можно пренебречь. Однако даже в прозрачных средах, при большом
числе отражений (например, в световодах) это поглощение становится существенным и им (поглощением) уже нельзя пренебрегать.
6.2.4 Плоскость падения - плоскость, содержащая падающий световой
луч и нормаль к поверхности.
Плоскость поляризации – плоскость, проходящая через электрический
вектор и направление распространения электромагнитной волны. Главной
плоскостью (главным направлением) поляризатора называют плоскость, в
которой происходят колебания световых векторов в плоскополяризованном
луче, выходящем из прибора. Световой вектор - это электрический вектор.
Этими же терминами характеризуют анализатор, который представляет
собой тот же прибор, что и поляризатор, но служит для анализа поляризованного света. Следовательно, величина D в формуле (6.4) является углом
между плоскостями, в которых колеблются световые вектора двух плоскополяризованных лучей: падающего на анализатор и выходящего из него.
6.2.5 Любое поляризационное устройство работает по принципу разде83
ления пучков на обыкновенный и необыкновенный, один из которых (чаще
всего обыкновенный) или выводится из устройства (призма Николя) или поглощается (поляроидные пленки). При падении на поляризатор естественного света, интенсивности обыкновенного и необыкновенного лучей равны.
Если на поляроидное устройство падает поляризованный свет, то он
также делится на два пучка, причем их интенсивности относятся как:
Io Ie
tg 2D .
(6.10)
Обыкновенный луч, как уже говорилось, выводится или поглощается в
устройстве. При решении задач, связанных с расчетом интенсивности по закону Малюса, этой частью светового потока обычно пренебрегают, если в
условии задачи нет специальной оговорки.
6.3 Примеры решения задач
Задача 1. Вывести закон Брюстера с помощью формул Френеля.
Решение. Предварительно заметим, что при падении света под углом
Брюстера DБ, определяемым по формуле (6.2), отраженный и преломленный
лучи взаимно перпендикулярны. Действительно, с учетом закона преломления света, формулу (6.2) можно записать так:
tgD Б
sin D Б
cosD Б
sin D Б
.
sin J
Следовательно, cosDБ = sinJ. Поскольку углы DБ, J - острые, то отсюда
следует
DБ +J = S/2,
(6.11)
что означает взаимную перпендикулярность отраженного и преломленного
лучей (рисунок 6.1).
Теперь обратимся к формулам Френеля. Из второй формулы (6.1) при
условии (6.11) сразу получаем I ||c 0 . Это означает, что под углом падения
DБ, определяемом по (6.2), в отраженном луче останутся световые колебания лишь одного направления
(перпендикулярные плоскости падения), т.е. отраженный луч полностью поляризован. Но в этом и состоит
закон Брюстера, являющийся таким образом, следствием формул Френеля.
Рисунок 6.1
84
Задача 2. Естественный свет падает под углом
Брюстера на поверхность стекла (n = 1.6). Определить коэффициент отражения.
Решение. Коэффициент отражения U показывает, какую долю от интенсивности падающего света I составляет интенсивность отраженного света
Ic, т.е
Ic
U
.
(6.12)
I
Свет, отраженный под углом Брюстера, полностью поляризован. При
этом в отраженном луче присутствуют лишь световые колебания, перпендикулярные плоскости падения (см. задачу 1). Поэтому на основании формулы
(6.1) и соотношения (6.11) из задачи 1, получим
Ic
I Ac
I A sin 2 D Б J .
(6.13)
Так как в естественном свете IA составляет половину от полной интенсивности I, то из (6.12), (6.13) следует
U
IA
sin 2 D Б J 0.5 sin 2 D Б J .
I
(6.14)
Углы DБ, J можно найти, зная показатель преломления стекла n. По закону Брюстера tgDБ = n = 1.6. Отсюда DБ = 58q; J = 90q-58q = 32q; DБ -J = 26q.
Теперь из (6.14) получим
U
0.5 sin 2 26 $
0.10 , или 10%.
Задача 3. Определить с помощью формул Френеля коэффициент отражения естественного света при нормальном падении на поверхность стекла
(n = 1.5).
Решение. Коэффициент отражения равен
U
Ic I .
Во всех случаях, кроме рассмотренного в предыдущей задаче, отраженный свет содержит колебания как параллельные, так и перпендикулярные
плоскости падения. Следовательно, пользуясь обозначениями формул (6.1)
можно записать
I Ac I ||c
U
.
(6.15)
I A I ||
85
Заметим, что в естественном свете всегда
IA
I || .
(6.16)
Для отраженного света, вообще говоря, как это следует из формул (6.1),
I Ac z I ||c . Однако при нормальном падении света, когда плоскость падения
становится неопределенной (см. пункт 6.2.4 методических указаний), отраженный луч остается естественным. Поэтому, выбрав произвольную плоскость падения, запишем
(6.17)
I Ac I ||c .
Тогда из формул (6.15), (6.17) получаем
U
I Ac
IA
I ||c
I ||
.
(6.18)
Любое из отношений (6.18) выражается соответствующей формулой
Френеля. Однако при нормальном падении, когда D = 0, J = 0 формулы (6.1)
становятся неопределенными. Чтобы раскрыть неопределенность, будем считать углы D, J весьма малыми, но отличными от нуля (так, будто свет падает
почти нормально). Тогда с помощью любой из формул (6.1) можно найти U.
Например, заменив в первой формуле (6.1) синусы малых углов углами, имеем
U
I Ac
I ||c
§D J
¨¨
©D J
2
·
¸¸ .
¹
Разделив числитель и знаменатель на J, и учитывая, что для малых углов
D/J = n, получим ответ:
2
U
§ n 1·
¨
¸ ;
© n 1¹
т.е. U = 0.04, или 4%.
Задача 4. Параксиальный пучок света проходит через центрированную
оптическую систему, состоящую из N = 5 стеклянных линз (n = 1.5). Определить, какая доля света пройдет через прибор. Поглощением света в стекле
линз пренебречь. Коэффициент отражения U = 4%.
Решение. Из условия следует, что свет, проходя оптическую систему,
падает нормально или почти нормально на поверхности всех линз. Проходя
каждую линзу, свет дважды отражается: один раз на передней (по ходу света)
86
поверхности линзы, второй раз на задней поверхности. Очевидно, доля света,
прошедшего всю систему, зависит от коэффициентов отражения света на
обеих поверхностях каждой линзы.
Отражение света от передней поверхности линзы (имеется в виду, что
каждая линза окружена воздухом) соответствует случаю, рассмотренному в
задаче 3, поэтому для коэффициента отражения запишем
2
U
§ n 1·
¨
¸ ,
© n 1¹
(6.19)
где n - показатель преломления стекла относительно воздуха.
Отражение света от задней поверхности линзы происходит на границе
среда-воздух, т.е. среды поменялись местами. Теперь, если в формуле (6.19)
вместо n нужно подставить величину nc = 1/n, где nc показатель преломления
воздуха относительно стекла, то найдем коэффициент отражения на границе
стекло-воздух:
§ nc 1 ·
Uc ¨
¸
© nc 1 ¹
2
§ 1 n 1·
¨¨
¸¸
1
1
n
©
¹
2
2
§1 n ·
¨
¸ .
©1 n ¹
(6.20)
Сравнив (6.19) и (6.20) видим, что U = Uc. Таким образом, для всех 2N
поверхностей N линз коэффициент отражения одинаков.
Обозначим через I, I1 – соответственно, интенсивности света, падающего на систему линз и прошедшего первую границу. Из определения коэффициента отражения (см. задачу 2) следует, что интенсивность света отраженного от первой границы, равна UI. Так как по закону сохранения энергии
U I + I1 = I, то
I1 = I –U I = I (1–U).
Аналогично, интенсивность света, прошедшего вторую границу,
I2 = I1(1–U) = I (1–U)2.
Отсюда получим интенсивность света, прошедшего всю систему:
I2N = I(1–U)2N.
В итоге получаем ответ:
I 2N I
1 U 2 N ,
т.е.
I 2N I
0.9610
0.7 .
Задача 5. На пути частично поляризованного пучка света поместили
николь. При повороте николя на угол M = 60q из положения, соответствую87
щего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света
уменьшилась в G = 3 раза. Найти степень поляризации падающего света.
Решение. Частично поляризованный свет можно рассматривать как
смесь плоскополяризованного света и естественного света. Николь всегда
пропускает половину падающего на него естественного света, превращая его
в плоскополяризованный. Степень пропускания поляризованного света, падающего на николь, определяется законом Малюса (6.4). Поэтому полная интенсивность света, прошедшего николь, равна
0.5I 0 I p cos 2 M ,
I
(6.21)
где I0, Ip - интенсивности естественного и поляризованного света, падающего на николь.
Чтобы воспользоваться формулой (6.3), заметим, что входящие в нее
величины согласно (6.21) равны
I макс
0.5I 0 I p ,
(6.22)
I мин
0.5I p .
(6.23)
По условию задачи Iмакс = G I, или согласно формулам (6.21) - (6.23),
>
@
G I мин I макс I мин cos 2 M .
I макс
(6.24)
Уравнение (6.24) содержит два неизвестных: Iмакс, Iмин. Достаточно найти их отношение D = Iмакс/Iмин, т.к. степень поляризации Р, определяемую
формулой (6.3), можно выразить через D:
P
1 D 1 D .
(6.25)
Разделив обе части уравнения (6.24) на Iмакс, имеем
>
@
1 G D 1 D cos 2 M .
Выражая отсюда D и подставляя в (6.25), получаем ответ:
P
G 1
1 G 1 2 cos 2 M
0.8 .
Задача 6. Из кварца нужно вырезать пластинку, параллельную оптиче88
ской оси кристалла, толщиной около 0.6 мкм так, чтобы плоскополяризованный луч желтого цвета (O0 = 0.589 мкм), пройдя пластинку, стал поляризованным по кругу. Рассчитать толщину пластинки, если для желтых лучей в
кварце показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей
равны:no = 1.544, ne = 1.553.
Решение. Так как на пластинку кварца К, вырезанную параллельно оптической кристалла, нормально падает плоскополяризованный луч (рисунок
6.2), световые колебания которого имеют
амплитуду Е0 и составляют угол D с оптической осью кристалла, то внутри пластинки будут распространяться по одному направлению, но с разной скоростью два луча
– две компоненты поляризованного света. В
одном луче, обыкновенном, колебания перРисунок 6.2
пендикулярны оптической оси и имеют амплитуду Е0sinD; в другом, необыкновенном, колебания параллельны оптической оси и имеют амплитуду Е0cosD. Заметим, что при D = 45q амплитуды
обоих лучей равны.
Обладая разными скоростями, обыкновенный и необыкновенный лучи,
пройдя пластинку К, приобретут некоторую разность фаз M, которая, согласно формуле (6.5), равна
2S
M
(6.26)
d no ne .
O0
В результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний
одинаковой частоты, но со сдвигом&по фазе, возникнут эллиптические колебания, при которых конец вектора E описывает эллипс. В частности, при равенстве амплитуд (D = 45q) и разности фаз M S 2 эллипс превращается в
окружность. При этом свет будет иметь круговую поляризацию. Очевидно, к
тому же результату придем, положив разность фаз равной
M
S
2kS ,
2
где k = 0, 1, 2, 3,… .
(6.27)
Из формул (6.26), (6.27) найдем толщину пластинки, необходимую для
получения света с круговой поляризацией:
d
k 1 4O .
no ne
(6.28)
Подставив в (6.28) числовые значения d, O, no, ne (d берем из условия
задачи), найдем для числа k значение 8.9. Так как k - целое число, то, округ89
лив результат до ближайшего целого числа, примем k = 9. Теперь, подставив
k = 9 в формулу (6.28), определим точное значение толщины пластинки
(ближайшее к 0.6 мм), необходимое для круговой поляризации:
d = 0.605 мм.
6.4 Задачи для контрольной работы
&
6.4.1
Световой
вектор
плоской
волны изменяется по закону
E
&
& &
E E0 cosZ t kx , причем вектор E 0 образует с осями y и z соответственно
&
углы D и ( S 2 D ). Написать выражения для составляющих вектора E по
осям у и z.
6.4.2 На пути световой волны из предыдущей задачи 6.4.1 расположен
плоскопараллельный слой однородного анизотропного диэлектрика, в котором составляющие Еy и Еz распространяются с неодинаковой скоростью. Написать выражения для этих составляющих E cy и E zc на выходе из слоя.
6.4.3 Какой характер& поляризации имеет плоская электромагнитная
волна, проекции вектора E которой на оси х и у, перпендикулярные к направлению ее распространения, определяются следующими уравнениями:
a) Ex = Ecos(Zt–kz),
Ey = Ecos(Zt–kz);
б) Ex = Ecos(Zt–kz),
Ey = Ecos(Zt–kz–S/4);
в) Ex = Ecos(Zt–kz),
Ey = Ecos(Zt–kz–S)?
6.4.4 Какой характер& поляризации имеет плоская электромагнитная
волна, проекции вектора E которой на оси х и у, перпендикулярные к направлению ее распространения, определяются следующими уравнениями:
а) Ex = Ecos(Zt–kz),
Ey = Ecos(Zt–kz);
б) Ex = Ecos(Zt–kz),
Ey = Ecos(Zt–kz+S/4),
в) Ex = Ecos(Zt–kz),
Ey = Ecos(Zt–kz+
& &S)? &
&
6.4.5 Найти связь между векторами D , E , H и единичным вектором n
нормали к фронту волны, распространяющейся в прозрачной однородной
кристаллической среде.
6.4.6 Выразить нормальную скорость v плоской монохроматической
&
&
волны в однородной кристаллической среде через векторы D и E .
6.4.7 Исходя непосредственно из граничных условий для электрического и магнитного полей на границе вакуума и диэлектрика, найти коэффициент отражения U света при нормальном падении его на границу раздела. Выразить коэффициент отражения через показатель преломления диэлектрика n.
Найти значения U для отражения света от поверхности стекла (n = 1.5).
6.4.8 Исходя непосредственно из граничных условий для электрического и магнитного полей на границе вакуума и диэлектрика, найти коэффициент пропускания V при нормальном падении света на границу раздела. Выразить коэффициент пропускания через показатель преломления диэлектрика n.
90
Найти значение V для стекла (n = 1.5).
6.4.9 Плоский пучок естественного света с интенсивностью I0 падает
под углом Брюстера на поверхность воды (n = 1.33). При этом U = 0.039 светового потока отражается. Найти интенсивность преломленного луча.
6.4.10 На поверхность воды (n = 1.33) под углом Брюстера падает пучок плоскополяризованного света. Плоскость колебаний светового вектора
составляет угол M = 45q с плоскостью падения. Найти коэффициент отражения.
6.4.11 Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на поверхность толстой плоскопараллельной
прозрачной пластины. При этом от верхней поверхности отражается U = 0.080 светового потока. Найти степень поляризации пучков 1 – 4 (рисунок 6.3).
Рисунок 6.3
6.4.12 На плоскопараллельную стеклянную пластину
(n = 1.5) падает под углом Брюстера узкий пучок света (рисунок 6.3) интенсивностью I0. Определить с помощью формул Френеля интенсивность прошедшего пучка I4, если падающий свет линейно поляризован, причем плоскость колебаний его перпендикулярна к плоскости падения.
6.4.13 При условии задачи 6.4.12 определить с помощью формул Френеля степень поляризации прошедшего через пластинку пучка I4, если падающий луч естественный.
6.4.14 Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на
стопу Столетова, состоящую из N толстых плоскопараллельных стеклянных
пластин. Найти: а)степень поляризации Р прошедшего пучка; б) чему равно
Р при N = 10 и n = 1.5.
6.4.15 Пучок естественного света падает на систему из N = 6 николей,
плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол M = 30q относительно плоскости пропускания предыдущего николя. Какая часть светового потока проходит через эту систему?
6.4.16 Естественный свет падает на систему из трех последовательно
расположенных одинаковых поляроидов, причем главное направление среднего поляроида составляет угол M = 60q с главными направлениями двух других поляроидов. Каждый поляроид обладает поглощением таким, что при падении на него линейно поляризованного света максимальный коэффициент
пропускания составляет W = 0.81. Во сколько раз уменьшится интенсивность
света после прохождения этой системы?
6.4.17 Наблюдатель видит Луну под углом 10q над горизонтом и ее отражение в спокойном озере. Рассчитайте ярость изображения по сравнению с
яростью самой Луны. Считайте, что излучение Луны не поляризовано (почти) и для воды в озере n = 1.33.
6.4.18 Степень поляризации частично поляризованного света Р = 0.25.
Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света
к интенсивности естественной составляющей.
6.4.19 Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор,
91
вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью Z = 21 сек-1. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток
энергии в падающем пучке )0 = 4.0 мВт.
6.4.20 Для сравнения яркости освещения двух поверхностей одну из
них рассматривают непосредственно, а вторую через два николя. Каково отношение яркостей, если освещение обеих поверхностей кажется одинаковым
при угле между николями 70q? Учесть, что каждый никель поглощает 10%
проходящей через него энергии. Потерями при отражении пренебречь.
6.4.21 Частично поляризованный свет проходит через николь. При повороте на 60q от положения, соответствующего максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в 2 раза. Пренебрегая поглощением в николе, определите: а) отношение интенсивностей естественного и плоскополяризованного света; б) степень поляризации пучка.
6.4.22 Сложный объектив состоит из двух линз, одна из которых сделана из стекла с коэффициентом преломления n1 = 1.52, а другая – из стекла с
n2 = 1.6. Во сколько раз уменьшатся в объективе потери света из-за отражений, если склеить линзы канадским бальзамом (n3 = 1.6)? Определите потери
света в склеенном объективе. Углы падения света на поверхности линз считать малыми.
6.4.23 Во сколько раз ослабляется свет, проходя через два николя,
плоскости поляризации которых составляют угол 30q, если в каждом из николей в отдельности теряется 0.1 падающего на него светового потока?
6.4.24 В фотометре одновременно рассматривают две половины поля
зрения: в одной видна эталонная светящаяся поверхность с яркостью
5 ккд/м2; в другой – испытуемая поверхность, свет от которой проходит через
два николя. Граница между обеими половинами поля зрения исчезает, если
второй николь повернуть относительно первого на угол 45q. Найти яркость
испытуемой поверхности, если известно, что в каждом из николей теряется
0.08 падающего света.
6.4.25 Пучок естественного света, длина волны которого в пустоте
O0 = 589 нм, падает нормально на пластинку исландского шпата, вырезанную
параллельно оптической оси. Толщина пластинки d = 0.03 мм, nо = 1.658,
nе = 1.486. Какой наименьшей толщины нужно сделать пластинку, чтобы для
этого света она была «четвертьволновой»? Напишите выражение для амплитуды волны на выходе «четвертьволновой» пластинки.
6.4.26 Монохроматический поляризованный по кругу свет падает нормально на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической
оси. За пластинкой находится николь, главное направление которого составляет угол M с оптической осью пластинки. Покажите, что интенсивность света, прошедшего через эту систему, равна
I I 0 1 sin 2M ˜ sin G ,
где G - разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, которую вносит пластинка.
6.4.27 Параллельный пучок монохроматического света проходит через
92
два николя, главные сечения которых повернуты друг относительно друга на
угол D = 20q. Между николями ставится пластинка в полволны из одноосного
кристалла, вырезанная параллельно оптической оси. Какой угол E должна составлять оптическая ось пластинки с главным направлением первого николя,
чтобы свет не прошел через эту систему?
6.4.28 На пути плоскополяризованного луча поместили пластинку
кварца, вырезанную параллельно оптической оси кристалла. Какой толщины
должна быть пластинка, чтобы образующаяся разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами составляла 1/4 длины волны желтого света? Считать, что луч падает нормально к оптической оси кристалла,
O = 589 нм, nе = 1.553, nо = 1.543. Напишите выражение для амплитуды волны
на выходе пластинки.
6.4.29 Плоскопараллельная пластинка в 1/4 волны, вырезанная из кварца параллельно оптической оси кристалла, имеет толщину 16 мкм. На нее падает монохроматический свет с длиной волны O = 589 нм. Определить показатель преломления необыкновенного луча, если показатель преломления
обыкновенного луча nо = 1.544.
6.4.30 Пластинка кварца толщиной d = 1 мм, вырезанная перпендикулярно к оптической оси и помещенная между двумя параллельными николями, поворачивает плоскость поляризации на угол M = 20q. При какой толщине
кварцевой пластинки свет этой же длины волны не будет выходить из второго николя.
6.4.31 Какой толщины пластинку кварца нужно поместить между
скрещенными николями, чтобы поле зрения стало максимально светлым?
Как в этой пластинке должна проходить оптическая ось? В задаче считать
удельное вращение кристалла 29.7q на 1 мм при длине волны монохроматического света 500 нм.
6.4.32 Какова концентрация сахара в растворе, если угол поворота
плоскости поляризации желтого света при прохождении его через трубку с
раствором сахара равен 20q? Длина трубки L = 15 см, удельное вращение сахара равно 66.5q дм-1 при концентрации 1 г/см3.
6.4.33 Параллелепипед, вырезанный из плексигласа с линейными размерами а = 2b = 3d = 0.5 см, сжимается силой F в направлении оси Z (рисунок 6.4) и освещается плоскополяризованным светом (O = 500 нм) в направлении оси X. Плоскость колебаний
падающего света составляет с осью
анизотропии угол 45q. При какой силе
давления F свет выйдет из плексигласа поляризованным по кругу? Напишите выражение для амплитуды выРисунок 6.4
ходящего света. Считать коэффициент фотоупругости плексигласа равным C 2 ˜ 10 11 м2/Н.
6.4.34 Между скрещенными николями помещена пластинка кварца,
вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось пластинки состав93
ляет угол 45q с главными направлениями николей. Рассчитайте минимальную толщину пластинки, при которой одна линия водорода (O1 = 656.3 нм)
будет сильно ослаблена, а другая (O2 = 410.2 нм) будет обладать максимальной интенсивностью. Считать разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей этих длин волн в кварце равной
'n = 0.009.
6.4.35 В установке для наблюдения эффекта Керра плоский конденсатор с длиной пластины L = 10 см заполнен нитробензолом и помещен между
поляроидами. Через систему проходит монохроматический свет (O = 500 нм).
Вектор напряженности электрического поля составляет с главным направлением поляризатора угол 45q. Определите постоянную Керра нитробензола,
если наименьшее значение напряженности поля, при котором положение
анализатора не влияет на поле зрения, равно Е = 106 В/м.
6.4.36 Монохроматический плоскополяризованный свет с круговой
частотой Z проходит через вещество вдоль однородного магнитного поля с
напряженностью Н. Найти разность показателей преломления для право– и
левополяризованных по кругу компонент светового пучка, если постоянная
Верде равна V.
6.4.37 Некоторое вещество поместили в продольное магнитное поле
соленоида, расположенного между двумя поляроидами. Длина трубки с веществом l = 30 см. Найти постоянную Верде, если при напряженности поля
Н = 56.5 кА/м. Угол поворота плоскости поляризации M1 = +5q10c для одного
направления поля и M2 = -3q20c для противоположного направления поля.
6.4.38 Ячейка Керра с расстоянием между пластинками h = 1 мм заполнена нитробензолом и помещена между двумя скрещенными николями. Направление электрического поля в конденсаторе образует с главными направлениями николей угол 45q. Через систему проходит монохроматический свет
с длиной волны, для которой постоянная Керра К = 2.2˜10-12 м/В2.Определите
длину пути света в конденсаторе, если минимальное напряжение между пластинами конденсатора, при котором интенсивность света, прошедшего через
ячейку, при вращении анализатора не меняется, равно U = 1 кВ.
6.4.39 Концентрация раствора сахара, налитого в стеклянную трубку,
равна 0.3 г/см3. Этот раствор вращает плоскость поляризации света на 25q.
Определите концентрацию раствора в другой такой же трубке, если он вращает плоскость поляризации на 20q на той же длине волны.
6.4.40 На четвертьволновую пластинку падает нормально пучок плоскополяризованного света с длиной волны O = 6280 Å и мощностью Р = 3 Вт.
При каких условиях пластинка будет испытывать крутящий момент? Каковы
его величина и направление?
6.4.41 На ячейку Керра падает свет, поляризованный под углом 45q к
полю. Сдвиг фаз, вносимый ячейкой, равен S/2. Какова интенсивность света
I, проходящего через николь, поставленный за ячейкой Керра и пропускающий свет, плоскость поляризации которого перпендикулярна к плоскости поляризации падающего света?
94
7 Дисперсия и поглощение волн
7.1 Основные формулы и соотношения
Согласно элементарной теории дисперсии диэлектрическая проницаемость вещества равна:
nk
e2
H 1
,
(7.1)
¦
mH 0 k Z 02k Z 2
nk – концентрация электронов с собственной частотой Z 0k ;
m, e – соответственно масса и заряд электрона;
Z – частота колебаний внешнего поля.
Связь между показателем преломления и диэлектрической проницаемостью вещества:
H.
n
(7.2)
где
Фазовая скорость V равна
V
c
H
Z
.
k
c
n
(7.3)
Групповая скорость равна
dZ
.
dk
u
(7.4)
Связь между групповой и фазовой скоростями задается формулой Релея:
u V O
dV
,
dO
(7.5)
причем в области нормальной дисперсии u V; в области аномальной дисперсии u ! V, но всегда u < с.
Зависимость показателя преломления от длины волны в области нормальной дисперсии выражается формулой Коши:
n
A
B
O20
C
O40
... ,
(7.6)
где А, В, С, …- постоянные величины, определяемые для каждого
вещества опытным путем;
95
O0 - длина волны в вакууме.
Обычно в формуле Коши ограничиваются первыми двумя членами.
Закон ослабления узкого пучка электромагнитного излучения (закон
Бугера):
(7.7)
I I 0e P d ,
где
P k kc;
P , k , k c - линейные показатели ослабления, поглощения и рассеяния.
7.2 Методические указания
7.2.1 Прежде чем приступать к решению задач данного раздела, советуем повторить соответствующий материал по учебнику, а также еще раз посмотреть методические указания к главам 1, 3, 4 данного пособия, т.к. вопросы, cвязанные с дисперсией, поглощением и рассеянием света, тесно взаимосвязаны с вопросами излучения и распространения электромагнитных волн.
7.2.2 Формула (7.1) справедлива, в силу своего вывода, только для диапазона электромагнитных волн далеких от собственных частот Z 0к электронов рассматриваемого вещества и справедлива для газов и прозрачных диэлектриков в видимом диапазоне длин волн. В инфракрасном и
ультрафиолетовом свете она не применима, т.к. в этом случае Z 0k | Z
7.2.3 Формула (7.1) применима и для металлов в рентгеновском диапазоне длин волн, т.к. в этом случае частота излучения Z далека от собственных частот Z 0k электронов в металле.
7.2.4 При резонансных частотах излучения, т.е. когда, диэлектрическая
проницаемость становится комплексной, т.к. приходится учитывать ослабление и поглощение излучения в веществе, т.е.:
H
H 1 iH 2 1 где
Z 02 Z 2
2 EZ
ne 2
˜
,
i
2
2 2
2 2
mH 0 Z 2 Z 2 2 4 E 2Z 2
Z0 Z
4E Z
0
(7.8)
E - коэффициент затухания;
i - мнимая единица.
Напомним, комплексность H означает, что в веществе происходят два
процесса: изменяeтся скорость распространения волны и возникает поглощение.
7.2.5 Все приемники света (излучения) реагируют на энергию, поэтому
во всех опытах измеряется скорость переноса энергии световым сигналом ее
называют групповой скоростью (7.4). Она отличается от скорости распро96
странения фазы волны (фазовой скорости (7.3)), являющейся чисто расчетной величиной и определяемой действительной частью показателя преломления (7.2). Вдали от области дисперсии обе скорости практически совпадают.
7.2.6 Поглощение излучения в веществе идет в соответствии с законом
Бугера (7.7). Следует иметь в виду, что показатели поглощения, ослабления и
рассеяния зависят от длины волны, как это следует из теории дисперсии. Однако следует иметь в виду, что в рентгеновском диапазоне частот поглощение происходит за счет фотоэффекта.
7.2.7 При поглощении света в сильно разбавленных растворах выполняется условие:
P
k
AC ,
(7.9)
где
С – концентрация;
А – величина, зависящая от длины волны, определяется из опыта
и не зависит от концентрации.
7.2.8 Поскольку явление дисперсии моделируется как переизлучение
электронами вещества первичного излучения, то ряд задач данного раздела
во многом являются как бы продолжением задач рассмотренных в главах по
«Излучению электромагнитных волн» и «Интерференции» и «Поляризации».
Советуем еще раз просмотреть методические указания к решениям задач в
указанных разделах.
7.3 Примеры решения задач
Задача 1. Показатель преломления воздуха при нормальных условиях
для желтой линии натрия ( O 5893 ˜ 10 10 м) n1 = 1.0002918. Определите показатель преломления n2 температуре 30q С и давлении 3 ˜ 10 6 Па.
Решение. Области поглощения в спектрах азота, кислорода (основные
составляющие атмосферы) и натрия не совпадают, поэтому для решения задачи используем уравнения (7.1) и (7.2) для составления системы уравнений
двух состояний газа:
N1e 2
1
2
˜ 2
n1 1 mH 0 Z 0 Z 2
(7.10)
n22
N 2e2
1
˜ 2
1
mH 0 Z 0 Z 2
97
В системе (7.10) циклическая частота обращения электронов в атомах
не зависит от температуры, так что Z 0 const ; частота Z падающего излучения также постоянна по условию задачи. Следовательно, взяв отношение
уравнений в системе (7.10) получим, что
n12 1
N1
,
N2
n22 1
(7.11)
т.е. отношение показателей преломления пропорционально отношению концентраций. Полагая, что концентрация электронов прямо пропорциональна
концентрации молекул воздуха или массе единицы объема вещества, а масса
пропорциональна плотности, можем записать
N1 N 2
U1 U 2 .
(7.12)
Отношение U1 U 2 определим из системы уравнений Клайперона – Менделеева для двух состояний газа:
p1
U1
RT1 ,
P
p2
U2
RT2 .
P
Откуда, с учетом выражений (7.11), (7.12) получим
n12 1
n22
1
U1
U2
N1
N2
p1T1
.
p 2T2
(7.13)
И окончательно из (7.13) получим
n2
n
2
1
1 p 2T1
1.
p1T2
Вычисления дают: n2 = 1.00793.
Задача 2. Показатель преломления прозрачного вещества небольшого
интервала длин волн, вдали от линий поглощения, связан с длиной волны соотношением
B
(7.14)
n A 2 .
O
Определите: дисперсию вещества; фазовую скорость; групповую скорость.
98
Решение. Дисперсия K показывает зависимость показателя преломления от длины волны, т.е.
dn
.
K
dO
В соответствии с этим, продифференцировав (7.14), получим:
K
2B
O3
,
т.е. K 0, следовательно, дисперсия нормальная.
Фазовую скорость света в веществе запишем по формуле (7.3)
V
c
n
cO2
c
A
B
AO2 B
O2
.
Групповая скорость по формуле (7.5) равна
u V O
где
dV
dO
откуда
u
wV
,
wO
2OcB
AO
2
B
cO2 AO2 B
AO
2
B
2
2
,
.
7.4 Задачи для контрольной работы
7.4.1 Насыщенные пары бензола (C6H6) для света, длина волны которого O = 5893˜10-10 м (желтая линия натрия) при температуре 40qС и давлении
7.6 мм.рт.ст. имеют показатель преломления n1 = 1.001812. Чему равен показатель преломления этого газа при температуре 400qC и давлении
60.6 мм.рт.ст.?
7.4.2 Показатель преломления сероуглерода для света, длина волны которого соответственно равна O1 = 589 нм, O2 = 527 нм и O3 = 656 нм, имеют
99
следующие значения: n1 = 1.629, n2 = 1.642, n3 = 1.620. Определите соотношение между средней фазовой и средней групповой скоростью в интервале
длин волн O1 – O3 и O1 – O2. В каком из этих интервалов дисперсия больше?
7.4.3 Коэффициент преломления воды в интервале длин волн от 546 нм
до 589 нм меняется от 1.33447 до 1.33300. Определите среднюю фазовую и
среднюю групповую скорости света для этого интервала длин волн.
7.4.4 Майкельсон измерил скорость света в сероуглероде по методу
вращающегося зеркала. Показатель преломления сероуглерода для средней
§ O dn ·
длины волны видимого света равен n = 1.64, а величина ¨1 ˜ ¸ равна
© n dO ¹
0.93. Определите, какое следует ожидать значение для отношения скорости
света в вакууме к измеренной этим методом скорости света в сероуглероде?
7.4.5 Вычислите групповую скорость для различных законов дисперсии, если фазовая скорость: а) V1 = a; б) V2 = b O ; в) V3 = ck2, где а, b, c - некоторые постоянные; k - волновое число.
7.4.6 Вычислите групповую скорость для различных законов дисперсии, если фазовая скорость: а) V1 = a; б) V2 = b/ O , в) V3 = c/O, где а, b, с - некоторые постоянные.
7.4.7 Вычислите групповую скорость для различных законов дисперсии, если фазовая скорость: а) V1 = a; б) V2 = c 2 b 2 O2 , где а, b - некоторые
постоянные, c - скорость света в вакууме.
7.4.8 Вычислите групповую скорость для электромагнитной волны в
прямолинейном волноводе, заполненном диспергирующей средой с диэлектрической проницаемостью H = H(Z) и магнитной проницаемостью P = P(Z),
если фазовая скорость волны равна V cZ / Z 2HP c 2D 2 , где c - скорость
света в вакууме, D - некоторая постоянная.
7.4.9 В некоторой среде связь между групповой и фазовой скоростями
электромагнитной волны имеет вид uV = c2, где с - скорость света в вакууме.
Найти зависимость диэлектрической проницаемости среды от частоты волны, т.е. H = H(Z).
7.4.10 Допустим, что фазовая скорость V света в некоторой среде а) изменяется с частотой света Z по закону V = DZ q, б) изменяется с длиной волны O в данной среде по закону V = EOp (q и p - числа, меньшие 1, D, E константы). Найти значение групповой скорости u. Вычислить значение u
для случаев q = 1; p = -1.
7.4.11 Свободный электрон находится в поле распространяющейся в
вакууме монохроматической световой волны. Длина волны O = 600 нм, интенсивность I = 375 лм/м2. Найти амплитуду а колебаний и амплитуду
Vмax.его скорости. Действием на электрон магнитной составляющей поля
волны пренебречь.
7.4.12 Решить предыдущую задачу при условии, что интенсивность
света I = 150 Bт/м2, а его частота Z = 3.4˜1015 Гц.
100
7.4.13 Электромагнитная волна с частотой Z распространяется в рaзреженной плазме. Kонцентрация свободных электронов в плазме равна n0.
Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость:
а) диэлектрической проницаемости плазмы от частоты; б) фазовой скорости
электромагнитной волны от ее длины волны O в плазме.
7.4.14 Электрон, на который действует квазиупругая сила &kх и «сила
трения» JV , находится в поле электромагнитного излучения. E - составляющая поля меняется по закону Е = Е0соsZ t. Найти: а) уравнение движения
электрона; б) среднюю мощность, поглощаемую электроном; частоту, при
которой она будет максимальна, и выражение для максимальной средней
мощности. Действием магнитной составляющей поля пренебречь.
7.4.15 Получите выражение для фазовой скорости радиоволны в ионосфере в зависимости от длины волны O в ионосфере.
7.4.16 Радиосигнал определенной частоты Q Z / 2S посылается вверх
и отражается на определенной высоте. Определите концентрацию электронов
в точке отражения.
7.4.17 Радиоволна распространяется вверх. Волны каких частот могут
проходить через ионосферу? Какие волны будут отражаться полностью? Расчет вести с точностью до n - концентрации частиц в ионосфере.
7.4.18 В ряде случаев диэлектрическая проницаемость вещества оказывается величиной комплексной или отрицательной и показатель преломления
- соответственно комплексным nc n ix или чисто мнимым nc ix . Написать для этих случаев уравнение плоской волны и выяснить физический
смысл таких показателей преломления.
7.4.19 Найдите показатель преломления алюминия для рентгеновских
лучей с длиной волны O = 1.56˜10-8 cм, предполагая, что электроны в алюминии имеют собственную частоту, много меньшую, чем частота рентгеновских лучей. Плотность алюминия 2700 кг/м3, относительная атомная масса
алюминия 27 кг/кмоль.
7.4.20 Показатель преломления ионосферы для радиоволн с частотой
100 МГц равен n = 0.90. Определите концентрацию электронов 1 см3 ионосферы.
7.4.21 Считая, что для достаточно жестких рентгеновских лучей электроны вещества можно считать свободными, определить, на сколько отличается от единицы показатель преломления графита для рентгеновских лучей с
длиной волны в вакууме O = 50 пм. Принять плотность графита равной
U = 1.6 г/см3, относительная атомная масса графита 12 кг/кмоль.
7.4.22 Прозрачная пластинка пропускает половину падающего на нее
светового потока. Определить коэффициент поглощения, если толщина пластинки l = 4.2 см, показатель преломления n = 1.5, свет падает нормально к
поверхности.
7.4.23 Пластинка толщиной d1 = 3.8 мм пропускает 0.84 падающего на
нее светового потока. Вторая пластинка из того же вещества толщиной
d2 = 9.0 мм пропускает 0.70 того же светового потока. Найти коэффициент
101
поглощения этого вещества.
7.4.24 В лаборатории имеются изготовленные из некоторого сорта
стекла пластинки толщиной d1 = 2.16 мм и d2 = 36.82 мм. Пусть первая пластинка пропускает 92.5 % упавшего на нее света, а вторая – 88.2%. Найти коэффициент поглощения света стеклом для данной длины волны.
7.4.25 Пучок естественного света интенсивности I0 падает на систему
из двух скрещенных николей, между которыми находится трубка с некоторым раствором в продольном магнитном поле напряженности Н. Длина
трубки l, линейный показатель поглощения раствора k и постоянная Верде V.
Найти интенсивность света, прошедшего через систему.
7.4.26 Точечный источник монохроматического света, испускающий
световой поток Ф, находится в центре сферического слоя вещества, внутренний радиус которого равен а, наружный – b. Линейный показатель поглощения вещества равен k, коэффициент отражения поверхностей равен U. Найти
интенсивность света на выходе из этого вещества. Вторичными отражениями
пренебречь.
7.4.27 Монохроматический пучок света падает нормально на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной l. Показатель поглощения
вещества линейно изменяется вдоль нормали к ее поверхности от значения k1
до k2. Коэффициент отражения от каждой поверхности пластины U. Определить коэффициент пропускания пластины. Вторичными отражениями пренебречь.
7.4.28 Источник монохроматического света силой I1 находится в среде,
показатель поглощения которой изменяется с расстоянием от источника по
закону k1 k 0 Dl , где k0 - показатель поглощения света непосредственно
около источника, D - некоторая постоянная, l - расстояние от источника света. Определить интенсивность света на расстоянии R от источника.
7.4.29 Во сколько уменьшится интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения с длиной волны 20 пм при прохождении свинцовой пластинки толщиной d = 1.0 мм, если массовый показатель ослабления для данной длины волны излучения P/U = 3.6 см3/г. Плотность свинца 11.3˜10 кг/м3.
7.4.30 Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны 62 пм
проходит через алюминиевый экран толщиной 2.6 см. Какой толщины надо
взять свинцовый экран, чтобы он ослаблял данный пучок в такой же
степени? Массовые показатели ослабления алюминия и свинца для этого излучения равны соответственно 3.48 и 72.0 см2/г. Плотность алюминия
2.7˜103 кг /м3, свинца 11.3˜103 кг/м3.
7.4.31 Найти для алюминия толщину слоя половинного ослабления узкого пучка монохроматического рентгеновского излучения, если соответствующий массовый показатель ослабления P/U = 0.32 см2/г. Плотность алюминия 2.7 103 кг/м3.
7.4.32 Сколько слоев половинного ослабления в пластинке, которая
уменьшает интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения в n = 50
раз?
102
7.4.33 Узкий пучок рентгеновских лучей с длиной волны O = 1.24 пм
проходит слой железа толщиной d = 1.5 см. Во сколько раз уменьшится интенсивность рентгеновских лучей? Массовый показатель поглощения железа
для данной длины волны P / U 5.6˜10-3 м2/кг, плотность железа 7.9 г/см3.
7.4.34 Найти для свинца толщину слоя половинного ослабления узкого
пучка рентгеновского излучения некоторой длины волны. Массовый показатель поглощения свинца для этой длины волны P/U = 6.8˜10-3 м2/кг, плотность
свинца 11.3 г/см3.
103
8 Элементы квантовой механики
8.1 Основные формулы и соотношения
Соотношения де Бройля:
E
!Z ,
&
p
&
!k ,
(8.1)
где
Е - энергия движущейся частицы;
&
p - импульс частицы;
&
2S
);
k - волновой вектор ( k
O
h
1.054 ˜ 10 24 Дж˜сек.
!
2S
Соотношения неопределенностей:
для координаты и импульса
'x ˜ 'p x t !; 'y ˜ 'p y t !; 'z ˜ 'p z t !;
(8.2)
для энергии и времени
'E ˜ 't t ! .
(8.3)
Временнόе и стационарное уравнения Шредингера:
w<
i!
wt
'\ !2
'< U< ,
2m
2m
!2
E U \
0,
(8.4)
(8.5)
w2 w2 w2
где '
- оператор Лапласа.
wx wy wz
Одномерное временное уравнение Шредингера для свободной частицы
i!
104
w<
wt
!2 w 2<
,
2m wx 2
(8.6)
где < x, t - волновая функция, описывающая движение свободной
частицы, равная
< x, t i
px Et !
Ae
Ae
iE ip
t
x
! e! ,
(8.7)
где
А – амплитуда;
р – импульс частицы;
Е – энергия частицы.
Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний
d 2\
dx 2
2m
!2
E U \
0,
(8.8)
где
U - потенциальная энергия силового поля, в котором движется
частица.
Собственное значение энергии Еn частицы, находящейся на n-м энергетическом уровне в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме, определяется формулой:
S 2! 2 2
n (n=1,2,3…),
2ml
En
(8.9)
где l – ширина потенциальной ямы.
Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет
вид:
Sn
2
sin x .
l
l
\ n x (8.10)
Вероятность нахождения частицы в объеме dV
dP
\ x, y, z dV ,
2
(8.11)
где \ x, y, z – плотность вероятности.
Коэффициенты отражения R и пропускания (или прозрачности) D волн
де Бройля через низкий (U < Е) потенциальный барьер бесконечной ширины
2
2
R
D
k1 k 2
;
k1 k 2
4k1k 2
k1 k 2 2
(8.12)
,
(8.13)
105
где k1 и k2 – волновые числа волн де Бройля.
Коэффициент прозрачности потенциального барьера U(х):
º
ª 2 x2
D | exp« ³ 2mU E dx »,
»¼
«¬ ! x1
(8.14)
где х1, х2 – координаты точек, между которыми U > Е.
Оператор ' – в сферических координатах:
'
w2
2 w
1
w §
w ·
w2
1
.
¨ sinT
¸
wT ¹ r 2 sin 2 T wM 2
wr 2 r wr r 2 sinT wT ©
(8.15)
8.2 Методические указания
8.2.1 В задачах, где используют формулы (8.1), обычно выражают импульс р частицы через ее кинетическую энергию (или наоборот) и далее
обычно вычисляют скорость. При этом нужно иметь в виду, что во всех случаях движения электрона в атоме, где его энергия измеряется лишь несколькими электронвольтами, релятивистскими эффектами при движении можно
пренебречь.
8.2.2 С помощью соотношения неопределенностей (8.2) решают задачи
не только на определение наименьшего значения одной из двух неопределенностей 'x, 'px при заданном значении другой (в этом случае в формуле
пишут знак равенства), но и задачи на приближенный расчет наименьшего
значения самих величин линейных размеров области l, в которой находится
частица, или импульса р частицы (или связанной с импульсом кинетической
энергии). При этом руководствуются следующими соображениями:
а) если даны линейные размеры области l, в которой находится частица, то считают 'x | l (некоторые авторы, для упрощения формул, берут
'x | l/2; если известен модуль р, но неизвестно его направление, то полагают
'p | p.
б) искомая величина не может быть меньше наименьшей неопределенности в ее измерении, т.е. в качестве минимального значения искомой величины приближенно берут минимальную неопределенность этой величины:
lмин = ('x)мин; pмин = ('p)мин.
8.2.3 В курсе общей физики обычно рассматривают одномерное (вдоль
одной из координат) движение частиц только в постоянном во времени силовом поле. При этом уравнение (8.4) запишется в виде (8.6), а его решение
(8.7) представляется в виде двух сомножителей. Поскольку один из сомножителей зависит только от времени, а другой только от координат, то такая
106
функция (8.7) описывает монохроматическую стоячую волну де Бройля. В
более общем виде ее можно представить как
< x, t e
i(
t
! \
x .
Теперь, зная величину \(х) как функцию координаты, можно найти по формуле (8.11) вероятность нахождения частицы в заданном интервале:
5
x2
³ \ x
2
dx .
x1
8.2.4 Волновая функция \(х,у,z) может быть найдена путем решения
уравнения Шредингера для стационарных состояний (8.5) или, если движение одномерное, путем решения уравнения (8.8) находят волновую функцию
<(х).
8.2.5 Решение уравнения Шредингера зависит от вида входящей в него
функций U(х,у,z) и практически всегда достаточно сложно математически.
Поэтому в курсе общей физике потенциальная энергия U=U(х) – функция
одной координаты и при этом ограничиваются задачами, в которых потенциальная энергия постоянна в определенных интервалах изменения координаты
х, но испытывает скачки на их границах. Эти случаи соответствуют частице,
находящейся в «потенциальном ящике», а также движению частицы при наличии низкого или высокого потенциального барьера (ступеньки) (смотри
рисунки 8.2, 8.3).
8.2.6 При U(х) = const уравнение (8.8) принимает вид
\ cc x k 2\ x 0 при UE,
где
k
2 m E U / ! ;
\ cc x k 2\ x 0 при U!E,
где
k
2mU E ! .
(8.16)
(8.17)
(8.18)
(8.19)
Уравнения (8.16) и (8.18) - дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их общие решения, соответственно
для (8.16) и (8.18) таковы:
\ x A sin kx B cos kx ;
(8.20)
107
\ x Ce kx De kx ,
(8.21)
где А, В, С, D - постоянные.
Их значения (или соотношения между ними) находят, используя свойства
волновой функции, обусловленные физическим смыслом: она должна быть
однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения х; ее производная \ c x также должна быть непрерывной. Кроме того, волновая
функция должна отвечать условию нормировки, которое для одномерной задачи имеет вид
f
³ \ x 2
dx 1 .
f
Из перечисленных свойств волновой функции следует, что волновое
число k и полная энергия частицы Е могут иметь не любые значения, а лишь
ряд определенных значений: k1, k2, k3…, Е1, Е2, Е3,... Эти уровни энергии Еi
находят, исследуя полученное решение уравнения Шредингера для < функции. В отдельных случаях, например, когда частица находится в бесконечно глубоком потенциальном ящике, уровни энергии можно определить,
не решая уравнения Шредингера, а лишь используя указанные выше свойства волновой функции, рассматривая ее как амплитуду стоячих вoлн де Бройля.
8.2.8 Задача о движении частицы в заданном потенциальном поле U(х)
считается решенной, если найдены уровни энергии и вычислены < - функции для всех уровней.
8.2.9 Задачи на уравнение Шредингера, обычно вызывают затруднения
не только из-за математических сложностей, но и из-за незнания физики вопроса. Поэтому, прежде чем приступать к решению задач данного раздела,
советуем еще раз прочитать соответствующие главы учебников /1y4/.
8.3 Примеры решения задач
Задача 1. Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего
кинетической энергией: Т = 100 эВ; Т = 3.0 МэВ.
Решение. Как видно из соотношений (8.1), задача сводится к выражению импульса р электрона через его кинетическую энергию Т. Решение задачи зависит от того, классической или релятивистской частицей следует считать электрон.
а) Так как T << m0c2, где m0c2 = 0.51 МэВ - энергия покоя электрона, то
в данном случае электрон является классической частицей, значит, его импульс и кинетическая энергия связаны соотношением
108
T
p2
.
2m
Отсюда
2mT .
p
(8.22)
Подставив это значение импульса во вторую формулу (8.1), получим
O1
2S! / 2mT .
(8.23)
Выразим данные задачи и величины входящие в формулу (8.23) в единицах
СИ; 2S! =h=6.62·10-34 Дж·с, m = 9.11·10-31 кг, T = 1.00·102·1.6·10-19 Дж. Выполнив расчеты, найдем
O1 = 1.23˜10-10 м = 1.23 Å.
б) T > m0c2. Поэтому электрон следует считать релятивистской частицей, импульс и кинетическая энергия которой выражается формулами
p
T
m0V
§
·
1
1¸ .
m0 c 2 ¨
¨ 1 E 2
¸
©
¹
Исключив из этих формул величину E
p
1 E 2 ,
v c , получим
2m0T 1 T 2m0 c 2 ,
(8.24)
где m0 = 9.1·10-31 кг - масса покоя электрона.
Следовательно,
O2
h
p
h
2 m0 T 1 T / 2 m 0 c
2
O1
1 T 2m0 c
2
.
Взяв величины Т и m0c2 в мегаэлектронвольтах и произведя вычисление, найдем
O2 ≈ λ1/2 = 0.62 Ǻ.
Задача 2. Параллельный пучок электронов падает нормально на диа109
фрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой а = 2.0 мкм. Oпределить скорость электронов (считая ее одинаковой для всех частиц), если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 50 см, ширина
центрального дифракционного максимума b = 80 мкм.
Решение. Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Поэтому для определения скорости электронов применим вторую
формулу в соотношении (8.1), откуда
2S! / mO .
V
Для нахождения длины волны де Бройля λ, воспользуемся тем обстоятельством, что дифракционная картина, возникающая при прохождении через узкую щель параллельного пучка электронов, вполне соответствует дифракционной картине, полученной от этой же щели при освещении ее параллельным пучком монохроматического света, длина волны которого равна
длине волны де Бройля для электрона. Это значит, что в случае дифракции
электронов положение дифракционных минимумов можно определить по
формуле (5.2), если понимать в ней под λ длину волны де Бройля для электрона.
С учетом сказанного, вернемся к решению задачи 1 из раздела «Дифракция». По-прежнему считается, что центральный дифракционный максимум заключен между двумя минимумами первого порядка и учитывая соотношение между величинами b и l, получим (см. рисунок 5.3):
sinφ ≈ tgφ = b/2l.
Отсюда, полагая в формуле (5.2) k = 1, имеем
O
ab / 2l .
Подставив это значение λ во вторую формулу (8.1), найдем
V
4S!l / тab .
(8.25)
Произведем расчет по формуле (8.25), предположив V<<с, т.е. считая электрон классической частицей, пренебрежем зависимостью его массы от скорости. Вычисления дают
V = 4.5·106 м/с.
Замечание. Если бы полученный результат противоречил неравенству
V<<c, это означало бы, что электрон следует рассматривать как релятивистскую частицу, масса которой зависит от скорости. Тогда чтобы получить ответ, надо подставить в формулу (8.25) вместо m ее значение по формуле
110
m
m0 1 E 2 и решить квадратное уравнение относительно V.
Задача 3. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужденном
атоме водорода равна 13.6 эВ. Исходя из соотношения неопределенностей,
найти наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату
электрона в атоме.
Решение. Как следует из соотношения неопределенностей (8.2), неточность координаты частицы
Δ xt
2S!
.
'p x
(8.26)
Величина Δpx неизвестна, однако сам импульс р (точнее, его среднеквадратичное значение) легко найти, поскольку нам известна средняя кинетическая
энергия Т электрона. Рассматривая электрон как нерелятивистскую частицу
(т.к. T << m0c2), запишем выведенное в задаче 1 соотношение между величинами р и Т:
(8.27)
2mT .
p
&
Теперь сравним величины ∆px и p. Поскольку импульс p - вектор (8.1), то
формула (8.27) позволяет вычислить только модуль этого вектора, тогда как
его направление остается неизвестным. Поэтому проекция рx импульса на
фиксированную ось х оказывается неопределенной: ее величина лежит в интервале (-p, p). Это значит, что неопределенность проекции импульса на ось х
равна
или ∆px ~ px ,
∆px = 2p
т.е. величины ∆px и p одного порядка. Поэтому заменив ∆px в формуле (8.26)
величиной р и учитывая соотношение (8.27), получим ответ:
'x t
2S!
p
2S!
.
2mT
(8.28)
Произведя вычисления по (8.28), найдем
'x t 10 10 м.
Следовательно, наименьшая, допустимая соотношением неопределенностей
неточность 'x мин , с которой можно определить координату электрона в атоме водорода, совпадает с размерами самого атома. Вопрос о наиболее вероятном местонахождении электрона в атоме принцип неопределенности не
111
решает.
Задача 4. Электрон находится в одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной l (рисунок 8.1). Вычислить наименьшую разность двух соседних энергетических уровней (в элекронвольтах) электрона в двух случаях: l = 10 cм; l = 10 Å.
Решение. Формально задача решается с помощью
уравнения Шредингера (8.8), однако в данном случае в
этом нет необходимости, т.к. достаточно использовать
некоторые свойства волновой функции. Так как внутри
потенциального ящика при 0 d x d l потенциальная энерРисунок 8.1 гия электрона U = 0, то его полная энергия есть энергия
кинетическая. Согласно закону сохранения энергии, при
движении электрона Т = соnst. Следовательно, сохраняется и импульс электрона p
2mT . Учитывая два возможных направления движения электрона вдоль оси х, запишем для проекций импульса на ось х:
p x1
p;
p x2
p.
Согласно соотношению де Бройля, двум, отличающимся лишь знаком,
проекциям рx импульса соответствуют две плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль
оси х. В результате их интерференции возникнут стоячие волны де Бройля,
характеризующиеся стационарным, т.е. не зависящем от времени, распределением вдоль оси х амплитуды колебаний. Эта амплитуда и есть волновая
функция \(х), квадрат которой согласно формуле (8.11) определяет плотность вероятности пребывания электрона в точке с координатой х.
Так как потенциальный ящик бесконечно глубок (U=f при x < 0 и
x > l), электрон не может оказаться за его пределами. Поэтому \x = 0 при
x < 0 и x > l. Отсюда в силу свойства непрерывности волновой функции следует
\0 = 0, \l) = 0.
Таким образом, амплитуда колебаний в стоячей волне де Бройля равна
нулю в точках х = 0, х = l, т.е. здесь находятся узлы стоячей волны. Поскольку расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны,
то в потенциальном ящике могут быть лишь волны де Бройля, длина которых
удовлетворяет условию
l
nO n / 2
n
1,2,3...,
т.е. на ширине ящика l должно укладываться целое число полуволн. Отсюда
112
On
2l / n .
(8.29)
Из отношения (8.29) делаем вывод, что в потенциальном ящике существуют уровни энергии частицы. Действительно, полная энергия электрона в
ящике с учетом (8.1) равна
p 2 2S 2 ! 2
.
E T
2m
mO2
Подставив сюда значение O из (8.29), получим
E
S 2! 2 2
n
2ml 2
n
1,2,3... .
(8.30)
Так как отношение уровней энергии Е1:E2:E3…= 1 : 4 : 9…, то наименьшая разность уровней
'E
4S 2 ! 2
E2 E1
2ml 2
S 2! 2
2ml 2
3S 2 ! 2
2ml 2
.
(8.31)
Произведя вычисления по формуле (8.31), найдем для двух случаев:
'E 1.8 ˜ 10 35 Дж = 1.1˜10-16 эВ;
'E 1.8 ˜ 10 19 Дж = 1.1 эВ.
Задача 5. Частица находится в основном состоянии (n = 1) в одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной l (рисунок 8.1) с
абсолютно непроницаемыми стенками. Найти вероятность пребывания частицы в областях: 0 < x < l/3 и l/3 < x < 2l/3.
Решение. Вероятность dР пребывания частицы в интервале dх выразим
через плотность вероятности \ x при помощи формулы (8.11), которая для
данного случая одномерной задачи примет вид
2
\ x dx .
2
dP
Отсюда вероятность найти частицу в области 0 < x < l/3 выразится интегралом:
l 3
P1
³ \ x 2
dx .
(8.32)
0
113
Так как частица находится в бесконечно глубоком потенциальном ящике, то,
считая n = 1, по формуле (8.10) получим для собственной волновой функции
\ x 2 / l sin Sx / l .
Подставив это значение \(x) в (8.32), найдем
P1
2
l
l 3
2
³ sin
0
Sx
dl .
l
Используя соотношение sin2D = (1 - cos2D)/2, вычислим интеграл:
1ª
« dx l «¬ ³0
l3
P1
l 3
³
0
cos
2Sx º 1 ª l
2Sx º
l
sin
dx »
«
l
l »¼
»¼ l ¬ 3 2S
1
3
1.195 .
3 4S
Вероятность Р2 пребывания частицы в области l/3 < 0 < 2l/3 (т.е. в
средней трети ящика) находится аналогично Р1, но можно поступить проще.
Если сложить вероятности Р1, Р2, Р3 пребывания частицы соответственно в
первой, второй и третьей частях ящика, то получим вероятность пребывания
частицы во всем ящике, которая заведомо равна единице, как вероятность
достоверного события. Учитывая, что в силу симметрии ящика Р1 = Р3, получим
P2 = 1 – 2P1 = 0.61.
Задача 6. Пучок электронов с энергией Е = 25.0 эВ встречает на своем
пути потенциальный барьер высотой U = 9.0 эВ (рисунок 8.2). Определить
коэффициент отражения R и коэффициент пропускания D волн де Бройля для
данного барьера.
Решение. В силу неравенства U < Е данный
потенциальный барьер является низким. Поэтому
для вычисления коэффициента отражения R воспользуемся формулой (8.12). Чтобы найти входящие
в нее волновые числа k1, k2, выразим длины волн де
Бройля O1, O2, соответствующие областям I, II, через
Рисунок 8.2
импульсы p1, p2 электрона, а последние – через его
кинетические энергии. При этом учтем, что в области I кинетическая энергия равна полной энергии Е (так как U = 0), а в области II она, согласно закону сохранения энергии, равна Е-U. Тогда получим
O1
114
2S!
p1
2S!
,
2mE
(8.33)
O2
2S!
p2
2S!
.
2 m E U k1
2S
O1
2mE
,
!
k2
2S
O2
2 m E U .
!
(8.34)
Отсюда
Подставим эти значения k1, k2 в формулу (8.12) и произведя сокращение,
имеем
§ k k2 ·
¸¸
R ¨¨ 1
© k1 k 2 ¹
2
§ E E U
¨¨
© E E U
2
·
¸¸ .
¹
(8.35)
Подставляя в (8.35) числовые данные задачи, получим
R = 1/81.
Аналогично, по формуле (8.13) можно найти величину D. Есть и другой способ определения D. Так как по условию задачи поглощения электронов нет, то должно выполняться соотношение
R+D = 1.
Отсюда находим D = 1 – 1/81 = 80/81.
Задача 7. Пучок электронов с энергией Е = 25 эВ встречает на своем
пути потенциальный барьер высотой U = 26 эВ (рисунок 8.3). Определить
относительную плотность вероятности K пребывания
электрона в области II на расстоянии х = 1.0 Å от
границы областей I, II (т.е. отношение плотности вероятности пребывания электрона в точке х = 1.0 Å к
плотности вероятности его пребывания на границе
областей при х = 0).
Рисунок 8.3
Решение. Здесь в отличие от предыдущей задачи дан высокий (U > Е) потенциальный барьер бесконечной ширины. Несмотря на то, что в этом случае коэффициент отражения R = 1, т.е. все падающие на барьер электроны отражаются, существует вероятность обнаружить электрон и в области II, за барьером. Чтобы найти эту вероятность, надо
решить уравнение Шредингера (8.8). В данном случае одномерной задачи
115
оно запишется с учетом неравенства U > Е так:
\ cc x 2m
!2
U E \ x 0.
Решение этого уравнения дается формулой (8.21) (см. пункт 8.2.6 методических указаний). Из нее следует: если xof, то \of. Но волновая функция по
своему физическому смыслу должна оставаться конечной при всех значениях
х. Следовательно, коэффициент С = 0. Поэтому из (8.21) с учетом (8.19) получим
\ x De kx
De 2 m U E x / !
.
Значит, плотность вероятности пребывания частицы в точке х равна
\ x 2
D 2e 2
2 m U E x / !
.
Отсюда относительная плотность вероятности
K
\ x 2
\ 0
2
e 2
2 m U E x / !
.
Подставляя в полученное соотношение числовые данные задачи в единицах СИ:
! 1.06 ˜ 10 34 Дж˜сек; m=9.1˜10-31кг; U E 1.6 ˜ 10 19 Дж; x=1.0˜10-10м,
найдем
K = 0.3.
Задача 8. Атом водорода находится в 1s - состоянии. Определить наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.
Решение. 1s - состояние электрона в атоме водорода описывается собственной волновой функцией \ r , зависящей только от расстояния r от ядра
и выражаемой формулой
\ r e r / a
где
Sa 3 ,
(8.35)
r – расстояние от ядра;
а – радиус первой боровской орбиты.
Тогда вероятность найти электрон в элементарном объеме dV, находящемся
на расстоянии r от ядра, согласно (8.11) равна
116
dP
\ r dV .
2
(8.36)
В силу сферической симметрии функции \(r), элементарным объемом
dV, все точки которого удалены на расстояние r, будет шаровой слой радиуса
r и толщиной dr, т.е.
(8.37)
dV 4Sr 2 dr.
Подставив в (8.36) значения \ (r) по (8.35) и dV по (8.37), получим
dP
4
a
3
e 2r / a r 2 dr .
(8.38)
Величина w(r) = dP/dr, измеряемая отношением вероятности обнаружения частицы в шаровом слое к толщине этого слоя, называется линейной
плотностью вероятности в шаровом слое. Тогда на основании (8.38) запишем
wr 4
a
3
e 2r / a r 2 .
(8.39)
Функция w(r) имеет максимум при некотором расстоянии r=rв, которое и называют наиболее вероятным. Чтобы вычислить rв, применим обычный метод
исследования функций на экстремум, т.е. найдем rв из условия wc (r) = 0.
Произведя дифференцирование, получим
2re
2r / a
2r 2 2 r / a
e
a
0.
отсюда
rв = a.
Таким образом, искомое расстояние совпадает с радиусом первой боровской
орбиты.
8.4 Задачи для контрольной работы
8.4.1 Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью шириной b = 1.0 мкм.
Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на
расстояние l = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума
'х = 0.36 мм.
8.4.2 Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 25 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями,
117
расстояние между которыми d = 50 мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном
на расстоянии l = 100 см от щелей.
8.4.3 Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом
скольжения T = 30q на естественную грань монокристалла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными
этой грани монокристалла, d = 0.20 нм. При некотором ускоряющем напряжении U0 наблюдали максимум зеркального отражения. Найти U0, если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в K = 2.25 раза.
8.4.4 Узкий пучок моноэнергетических электронов падает нормально
на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол D
с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвертого
порядка при энергии электронов Т = 180 эВ. Вычислить соответствующее
значение межплоскостного расстояния.
8.4.5 Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером
l = 0.20 нм.
8.4.6 Электрон с кинетической энергией Т | 4 эВ локализован в области размером l = 1 мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей
относительную неопределенность его скорости.
8.4.7 Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна l. Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки
этой ямы при минимально возможной его энергии.
8.4.8 Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле
U = kx2 / 2 (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения
неопределенностей минимально возможную энергию частицы в этом поле.
8.4.9 Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующие
эффективные расстояния его от ядра.
8.4.10 Используя соотношение неопределенностей, найти выражение,
позволяющее оценить минимальную энергию электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.
8.4.11 Найти возможные значения энергии частицы массы m, находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме U(r) = 0 при r < r0 и
U(r) = f при r = r0 для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией \(r), зависящей от r.
Указание. При решении записать уравнение Шредингера в сферических координатах и воспользоваться подстановкой \ r F r r .
8.4.12 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид \ r Ae r / a , где а – первый боровский радиус; А – некоторая постоянная. Найти: а) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон; б) среднее значение потенциальной энергии электро118
на в поле ядра.
8.4.13 Волновая функция частицы m для основного состояния в одномерном потенциальном поле U x kx 2 / 2 имеет вид \ x Ae D x , где А –
нормировочный коэффициент; D – положительная постоянная. Найти с помощью уравнения Шредингера постоянную D и энергию Е частицы в этом
состоянии.
8.4.14 Определить энергию электрона атома водорода в стационарном
состоянии, для которого волновая функция \ r A1 a r e D r , где А, α, D некоторые постоянные.
Указание. Уравнение Шредингера записать в сферических координатах
8.4.15 Частица находится в сферически-симметричном потенциальном
поле в стационарном состоянии, описываемом нормированной волновой
1 er / a
, где r - расстояние от центра поля. Найти среднее
функцией \
2Sa r
значение радиуса <r>.
8.4.16 Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид
1
\ r e r / a , где а – радиус первой боровской орбиты, найти среднее
3
Sa
значение радиуса.
8.4.17 Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле
U x k x 2 , где k – положительная постоянная. Найти среднее значение <U>
2
частицы в состоянии, описываемом волновой функцией \ x Ae D x , где А
и α – неизвестные постоянные.
8.4.18 Найти асимптотический вид радиальной части волновой функции \(r) для связанных состояний электрона в кулоновском поле ядра на
больших расстояниях от ядра.
Указание. Использовать подстановку \ r F r r .
8.4.19 Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид \ r Ae r / a , где А – некоторая постоянная, а – первый боровский радиус. Найти:
а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;
б) среднее значение <r> расстояния электрона от ядра;
в) средние значения кинетической энергии и среднеквадратичной скорости.
8.4.20 Найти наиболее вероятное расстояние между электроном и
ядром в атоме водорода, если:
r r / a
а) волновая функция электрона имеет вид \ r ;
e
a
2
119
б) волновая функция электрона имеет вид \ r 2
§ r · r / 3a
;
¨ ¸ e
©a¹
а – первый боровский радиус.
8.4.21 Частица находится в возбужденном состоянии (n = 3) в одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной l. В каких точках
интервала 0 < х < l (рисунок 8.1) плотность вероятности нахождения частицы
имеет экстремальные значения?
2
2
8.4.22 Пси-функция некоторой частицы имеет вид \ Ae r 2a , где r
– расстояние частицы от силового центра, а – некоторая константа. Найти:
а) значение коэффициента А;
б) наиболее вероятное rвер и среднее <r> расстояния частицы от центра.
8.4.23 Электрон с энергией Е = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9 эВ (рисунок 8.2). Определить коэффициент
преломления волн де Бройля на границе барьера.
8.4.24 Определить коэффициент преломления волн
де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени (рисунок 8.4). Кинетическая энергия протонов
Т = 16 эВ, а высота потенциальной ступени U0 = 9 эВ.
8.4.25 Протон с энергией Е = 1 МэВ изменил при
прохождении потенциального барьера де бройлевскую
Рисунок 8.4
длину волны на 1%. Определить высоту потенциального
барьера.
8.4.26 Определить показатель преломления n волн де Бройля при прохождении потенциального барьера с коэффициентом отражения R = 0.5.
8.4.27 При каком отношении высоты U потенциального барьера к энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения R = 0.5?
8.4.28 На низкий потенциальный барьер (рисунок 8.2) направлен моноэнергетический поток электронов с плотностью потока энергии Π1 = 10 Вт/м2.
Определить плотность потока энергии Π2 электронов, прошедших барьер, если высота его U = 0.91 эВ и энергия электронов в падающем потоке Е = 1 эВ.
8.4.29 Частицы с массой m и энергией Е движутся
слева на потенциальной барьер (рисунок 8.5). Найти а)
коэффициент отражения R этого барьера при Е > U0; б)
эффективную глубину проникновения частиц в область
х > 0 при Е < U0, т.е. расстояние от границы барьера до
точки, где плотность вероятности нахождения частицы
Рисунок 8.5
уменьшается в е раз.
8.4.30 Воспользовавшись формулой (8.14), найти
для электрона с энергией Е вероятность D прохождения потенциального
барьера, ширина которого l и высота U0, если барьер имеет форму, представленную на рисунке 8.6.
8.4.31 При условии задачи 8.4.30 найти вероятность D прохождения
частицей потенциального барьера, представленного на рисунке 8.7.
120
8.4.32 Найти с помощью формулы (8.14) вероятность D прохождения
частицей с массой m и энергией Е сквозь потенциальный барьер (рисунок
8.8), где U x U 0 1 x 2 / l 2 .
Рисунок 8.6
Рисунок 8.7
Рисунок 8.8
121
Список использованных источников
1
2
3
4
5
6
Трофимова Т.И. Курс физики.-М.:Высш. шк.,1990.- 478с.
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики.-М.:Наука,1988.- 432с.
Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2.-М.:Наука,1988.- 496с.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.5-М.:Наука,1979.- 422с.
Иродов И.Е. Задачи по общей физике.-М.:Наука,1979.- 368с.
Стрелков С.П., Эльцин И.А., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. Ч.2-М.:Высш.шк,1973.- 464с.
7 Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики.М.:Высш.шк.,1977.- 351с.
122