ОКРУЖНОСТЬ 8 класс

Серия «Зачет на 5»
Зайцева И.А.
ОКРУЖНОСТЬ
8 класс
НОЯБРЬСК
«Окружность»
3
Вопросы к зачету
по главе VIII «О К Р У Ж Н О С Т Ь»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Каково взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой?
Какая прямая называется секущей по отношению к окружности?
Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка
называется точкой касания прямой и окружности?
Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной
к окружности.
Сформулируйте и докажите теорему об отрезках касательных
к окружности, проведённых из одной точки.
Сформулируйте и докажите признак касательной (теорему,
обратную теореме о свойстве касательной).
Объясните, как через данную точку А окружности с центром О
провести касательную к этой окружности.
Какой угол называется центральным углом окружности? В каких
случаях градусная мера центрального угла считается равной α,
а в каких 360° − α ?
Объясните, что такое дуга окружности? Как она обозначается?
Единицы измерения дуги окружности.
Чему равна градусная мера дуги? В каких случаях градусная мера
дуги считается равной α, а в каких 360° − α?
Объясните, какая дуга называется полуокружностью.
Какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности?
Чему равна сумма градусных мер дуг окружности с общими концами?
Какой угол называется вписанным? В каком случае говорят, что
вписанный угол опирается на дугу?
Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.
Сформулируйте и докажите теорему о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу.
Сформулируйте и докажите теорему о вписанных углах, опирающихся на полуокружность.
Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
4
«Окружность»
20. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.
21. Чему равен угол между хордой окружности и касательной к окружности, проведённой через конец хорды?
22. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую зависимость
между касательной и секущей. Следствие.
23. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве секущих. Следствие.
24. Объясните, как к данной окружности с центром О построить касательную, проходящую через данную точку А вне окружности.
25. Биссектриса угла. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.
26. Биссектриса треугольника. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
27. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку? Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.
28. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
29. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника.
30. Каким замечательным свойством обладают медианы, высоты и
биссектрисы треугольника?
31. Какие точки называют замечательными точками треугольника?
32. Какая окружность называется вписанной в треугольник? Какой
треугольник называется описанным около окружности?
33. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
Какой многоугольник называется описанным около окружности?
34. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в
треугольник.
35. Сколько окружностей можно вписать в треугольник?
36. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?
37. Как построить окружность, вписанную в треугольник? Начертите
три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.
38. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник?
39. В какой четырёхугольник можно вписать окружность?
«Окружность»
5
40. Можно ли вписать окружность в ромб? квадрат? параллелограмм? прямоугольник? трапецию?
41. Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности?
42. Чему равна площадь многоугольника, описанного около окружности?
43. Какая окружность называется описанной около треугольника?
Какой треугольник называется вписанным в окружность?
44. Какая окружность называется описанной около многоугольника?
Какой многоугольник называется вписанным в окружность?
45. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной
около треугольника.
46. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?
47. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?
48. Где находится центр окружности, описанной около остроугольного треугольника?
49. Как построить окружность, описанную около остроугольного
треугольника?
50. Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?
51. Как построить окружность, описанную около прямоугольного
треугольника?
52. Где находится центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника?
53. Как построить окружность, описанную около тупоугольного треугольника?
54. Можно ли описать окружность около четырёхугольника?
55. В каком случае около четырёхугольника можно описать окружность?
56. Можно ли описать окружность около ромба? квадрата? параллелограмма? прямоугольника? трапеции?
57. Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного
в окружность?
58. В какой четырёхугольник всегда можно вписать окружность и
можно описать около него окружность?
6
«Окружность»
Глава VIII «О К Р У Ж Н О С Т Ь»
§1. Касательная к окружности
1. Каково взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой? Возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между d (расстоянием от центра окружности до прямой)
и r (радиусом окружности): прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки.
1 случай: d < r (рис. 1). Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки (пересекаются в двух точках).
2 случай: d = r (рис. 2). Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну в одной точке общую точку (пересекаются).
3 случай: d > r (рис. 3). Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек (не пересекаются).
p
A
p
p
d r
d
d
r
r
•
•
•
O
O
O
d<r
р – секущая
Рис. 1
d=r
р – касательная
А – точка касания
Рис. 2
d>r
Рис. 3
2. Какая прямая называется секущей по отношению к окружности? Секущая – это прямая, имеющая с окружность две общие точки. Или, секущая – это прямая, пересекающая окружность
в двух точках (рис. 1).
«Окружность»
7
3. Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется
точкой касания прямой и окружности (рис. 2).
4. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к
радиусу, проведённому в точку касания.
A
Рис. 4
•
O
p
Дано: ω (О;ОА) ∩ р = A,
р – касательная к окружности,
А – точка касания.
Доказать: p ⊥ ОА.
Доказательство
(методом от противного).
Предположим, что p ⊥ ОА (рис. 5). Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый
из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от
центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т.е. р – секущая. Но это противоречит условию, что р – касательная к окружности.
Так как получили противоречие, то предположение, что
p ⊥ ОА, было неверным.
Значит, верно утверждение теоремы, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Ч.т.д.
5. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках касательных к окружности, проведённых из одной точки.
Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведённые
из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
8
«Окружность»
Рис. 5
• A
1 2
B
C
•
Дано: ω (О;r), A∉ ω (О;r),
AB, AC – касательные к окружности,
В и С – точки касания.
Доказать: АВ = ВС, ∠ 1 =∠ 2.
O
Доказательство.
По свойству касательной касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания, поэтому
∠ АВО=∠ АСО = 90°, а треугольники ∆ АВО и ∆ АСО – прямоугольные (рис. 5).
Рассмотрим ∆ АВО и ∆ АСО. АО – общая сторона, ОВ =
= ОС, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∆ АВО =
= ∆ АСО по признаку равенства прямоугольных треугольников (по
гипотенузе и катету).
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому АВ = ВС и ∠ 1 =∠ 2.
Итак, отрезки касательных к окружности, проведённые из
одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Ч.т.д.
6. Сформулируйте и докажите признак касательной (теорему,
обратную теореме о свойстве касательной). Верна и теорема,
обратная теореме о свойстве касательной − признак касательной.
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она
является касательной.
A
p
Рис. 6
Дано: ω (О;ОА), р, А∈ р, p ⊥ ОА.
Доказать: р – касательная
•
к ω (О;ОА).
O
«Окружность»
9
Доказательство.
По условию р ⊥ ОА, ОА – радиус окружности (рис. 6), поэтому расстояние от центра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая и окружность имеют только одну
общую точку. А это означает, что данная прямая р является касательной к окружности.
Итак, если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она
является касательной.
Ч.т.д.
7. Объясните, как через данную точку А окружности с центром
О провести касательную к этой окружности. 1) Проведём прямую ОА (рис. 7). 2) Построим прямую р, проходящую через точку
А и перпендикулярную к прямой ОА. По признаку касательной
прямая р − искомая касательная.
p
Рис. 7
10
«Окружность»
9. Объясните, какая дуга называется полуокружностью. Дуга
называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
На рисунке 9
M
Рис. 9
АВ – диаметр
O
∪ АМВ − полуокружность
•
A
B
∪ ALB − полуокружность
L
10. Какой угол называется центральным углом окружности? В
каких случаях градусная мера центрального угла считается
равной α, а в каких 360° − α? Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Если центральный угол
меньше развернутого угла, то его градусная мера считается равной
α, а если больше развернутого угла, то 360° − α. (рис. 10).
A
Рис. 10
•
360° − α
O
O
Рис. 8
∪ ALB
∪ AMB
∪ AB
O
•
B
A
L
•
α
§2. Центральные и вписанные углы
8. Объясните, что такое дуга окружности? Как она обозначается? Если на окружности отметить две точки, то они разделят её на
две дуги. Дуга − часть окружности, расположенная между двумя
точками, этой окружности. Чтобы различать эти дуги, на каждой
из них отмечают промежуточную точку. Когда ясно, о какой из
двух дуг идёт речь, используется обозначение без промежуточной
точки (рис. 8).
M
О – центр окружности
ОА и ОВ – радиусы
∠ АОВ − центральный угол
A
B
11. Какая дуга будет полуокружностью, какая дуга меньше
полуокружности, а какая больше полуокружности? Если центральный угол развернутый, то ему соответствуют две дуги, каждая из которых является полуокружностью. На рисунке 9 ∠ АОВ –
развернутый, поэтому ∪ АМВ и ∪ ALB − полуокружности. Если
дуга соответствует центральному углу, градусная мера которого
меньше развёрнутого угла, то говорят что дуга меньше полуокружности, а если дуга соответствует центральному углу с градусной мерой больше развёрнутого угла, то говорят, что дуга больше
полуокружности. На рисунке 8 ∪ ALB − меньше полуокружности,
а ∪ АМВ – больше полуокружности.
«Окружность»
11
12. Единицы измерения дуги окружности. Дуга окружности измеряется в единицах длины, а так же имеет градусную меру.
13. Чему равна градусная мера дуги? В каких случаях градусная мера дуги считается равной α, а в каких 360° − α? Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, т.е. если дуга меньше полуокружности, то ее градусная
мера считается равной α . Если же дуга больше полуокружности,
то ее градусная мера считается равной 360° − α.. Градусная мера
полуокружности равна 180°. На рисунке 11 ∪ АМВ = ∪ ALB =
= 180°.
Рис. 11
360 о− α
O
M
•
α
B
A
∪ ALB меньше полуокружности
∪ ALB = α
∪ АМВ больше полуокружности
∪ AMB = 360 о− α
L
14. Чему равна сумма градусных мер дуг окружности с общими концами? Сумма градусных мер дуг окружности с общими
концами равна 360 о. На рисунке 11 ∪ АМВ + ∪ АLB = 360°.
15. Какой угол называется вписанным? В каком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу? Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность,
называется вписанным углом. На рисунке 12 ∠ АВС – вписанный,
∪ АМС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят,
что вписанный угол АВС опирается на дугу АМС.
Рис. 12
B
•
A
∠ АВС – вписанный угол,
опирающийся на ∪ АС
O
12
«Окружность»
16. Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на
которую опирается.
Рис. 13
B
A
2
•О
C
Доказательство.
Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО
относительно ∠ АВС.
I случай. Луч ВО совпадает с одной из сторон ∠ АВС, например со стороной ВС (рис. 13). В этом случае ∪ АС меньше полуокружности, поэтому ∠ АОС = ∪ АС. ∠ АОС – внешний угол ∆
АОВ при вершине О, поэтому он равен сумме двух внутренних
углов треугольника, не смежных с ним, т.е. ∠ АОС = ∠ 1 + ∠ 2.
Но ∆ АОВ – равнобедренный, т.к. ОА = ОВ, как радиусы, значит,
∠ 1 = ∠ 2, как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, ∠ АОС =∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ 1 = 2∠ АВС, отсюда
∠ АВС = 12 ∠ АОС. А т.к. ∠ АОС = ∪ АС, то ∠ АВС = 12 ∪АС.
Рис. 14
B
A
•О
C
C
M
Дано: ∠ АВС – вписанный угол,
опирающийся на ∪ АС.
Доказать: ∠ АВС = 12 ∪АС.
1
D
II случай. Луч ВО делит ∠ АВС на
два угла (рис. 14).
В этом случае луч ВО, пересекает
∪ АС в некоторой точке D, которая разделяет ∪ АС на две дуги: ∪ AD и ∪ DС, а ∠ АВС
на два угла: ∠ ABD и ∠ DВС. По доказанному выше,
∠ АВD = 12 ∪ АD, ∠ DВС = 12 ∪ СD.
«Окружность»
13
Значит, ∠ АВС = ∠ АВD + ∠ DВС = 12 ∪ АD +
=
(∪ АD + ∪ DС) =
1
2
Рис. 15
B
C
∪ АС, т.е. ∠ АВС =
∪ DС =
∪ АС.
III случай. Луч ВО не делит ∠ АВС
на два угла и не совпадает со сторонами этого угла (рис. 15).
В этом случае ∪ АС = ∪ АD – ∪ CD.
∠ АВС = ∠ ABD – ∠ CBD =
1
= 2 ∪ АD – 12 ∪ СD = 12 ( ∪ АD – ∪ СD) =
•О
A
1
2
1
2
1
2
=
D
1
2
∪ АС, т.е. ∠ АВС =
1
2
∪ АС.
Итак, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается.
Ч.т.д.
Замечание. Так как градусная мера дуги равна градусной
мере соответствующего центрального угла, то теорему о вписанном угле можно сформулировать следующим образом: угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, т.е.
∠ АВС = 12 ∠ АОС .
17. Сформулируйте и докажите теорему о вписанных углах,
опирающихся на одну и ту же дугу. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Рис. 16
M
B
K
•
A
L
C
∠ АКС, ∠ АМС, ∠ АВС, ∠ АLС
опираются на одну так на одну и ту же
∪ АС (рис. 16). Следовательно, по теореме о вписанном угле ∠ АКС = ∠ АМС =
= ∠ АВС = ∠ АLС.
14
«Окружность»
18. Сформулируйте и докажите теорему о вписанных углах,
опирающихся на полуокружность. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. (Вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.)
Рис. 17
M
B
K
A
•
C
∠ AКС, ∠ AМС, ∠ AВС и ∠ AFС опираются на полуокружность, градусная мера
которой равна 180° (рис. 17). Так как
вписанные углы измеряются половиной
дуги на которую опираются, то
∠ AКС =∠ AМС =∠ AВС =∠ AFС = 90o.
F
19. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется
диаметром? Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Рис. 18
E
D
A
M
O
•
B
Диаметр – самая большая
хорда, любой диаметр – хорда, но не
всякая хорда является диаметром. На
рисунке 18 АВ, DE, EC, MN – хорды.
C
N
20. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд. Следствие.
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков
другой хорды.
«Окружность»
15
Рис. 19
A
Дано: ω (О;r),
АВ, CD – хорды окружности,
АВ ∩ CD = S.
Доказать: SA⋅ SB = SC⋅ SD.
C
1
S
3
•
2
4
16
«Окружность»
21. Чему равен угол между хордой окружности и касательной к
окружности, проведённой через конец хорды? Острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведёнными к концам хорды (рис. 21).
Рис. 21
α
2α
B
D
Доказательство.
Проведём хорды AD и СВ, и рассмотрим получившиеся
∆ SAD и ∆ SCB (рис. 19).
∠ 1 = ∠ 2, т.к. это вписанные углы, опирающиеся на одну
и ту же дугу DB; ∠ 3 = ∠ 4, т.к. они вертикальные. Следовательно,
∆ SAD ~ ∆ SCB по первому признаку подобия треугольников (по
двум углам).
В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому
SA SD
=
. Отсюда по свойству пропорции
SC SB
SA⋅ SB = SC⋅ SD.
Итак, если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков
другой хорды.
Ч.т.д.
Следствие. Если через данную точку S провести несколько
хорд, то произведение отрезков хорды есть величина постоянное
для всех хорд, т.е. SA⋅ SB = SC⋅ SD = SK⋅ SL = SM⋅ SN = … = const.
Рис. 20
C
A
K
M
D
•
N
L
B
•
22. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую зависимость между касательной и секущей, и следствие из неё.
Теорема. Если из точки, взятой вне окружности, проведены к ней секущая и касательная, то произведение длины секущей
на длину её внешней части равно квадрату касательной.
Рис. 22
A•
2
C
•
Дано: A ∉ ω (О; r),
АМ – секущая окружности,
АС – касательная к окружности,
С – точка касания.
Доказать: АМ⋅ АB = АC 2.
B
1
M
Доказательство.
Проведем хорды ВС и МС, и рассмотрим получившиеся
∆ АМС и ∆ АCB (рис. 22).
∠ А – общий.
1
∠ 1 = 2 ∪ ВС, т.к. вписанный угол измеряется половиной
дуги, на которую опирается.
∠2=
1
2
∪ ВС, т. к. угол, образованный касательной и хор-
«Окружность»
17
18
дой, равен половине дуги, расположенной внутри этого угла.
Следовательно, ∆ АМС ~ ∆ АCB по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).
В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому
AM AC
=
. Отсюда по свойству пропорции
AC
AB
АМ⋅ АВ = АC 2.
Итак, если из точки, взятой вне окружности, проведены к
ней секущая и касательная, то произведение длины секущей на
длину её внешней части равно квадрату касательной.
Ч.т.д.
2
Замечание. АC = АМ⋅ АB, АС = АM ⋅ AВ , т.е. касательная
к окружности есть среднее пропорциональное между всей секущей
и её внешней частью.
Следствие. Если из точки А провести несколько секущих,
то произведение секущей на её внешний отрезок есть величина
постоянная для данной точки А, так как для каждой секущей это
произведение равно квадрату отрезка касательной, проведённой из
данной точки (рис. 23).
Рис. 23
C
•
A•
B
K
L
АB = АL⋅ АK = … = const = АC 2
M
23. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве секущих.
Следствие.
Теорема. Если из точки, взятой вне окружности, проведены две секущие, то произведение секущих на их внешние отрезки
равны.
«Окружность»
Рис. 24
•P
C
1
A
D
2
Дано: ω (О;r), P∉ ω (О;r),
РВ, РD – секущие
окружности.
B
Доказать: РВ ⋅ PА = PD ⋅ PC.
Доказательство.
Проведём хорды AD и СВ (рис. 24).
Рассмотрим получившиеся ∆ PAD и ∆ PCB.
∠ 1 = ∠ 2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу
AC; ∠ Р – общий. Следовательно, ∆ PAD ~ ∆ PCB по первому
признаку подобия треугольников (по двум углам).
В подобных треугольниках сходственные стороны пропорРA = РD . Отсюда по свойству пропорции
циональны, поэтому РC
РB
РВ ⋅ PА = PD ⋅ PС.
Итак, если из точки, взятой вне окружности, проведены
две секущие, то произведение секущих на их внешние отрезки
равны.
Ч.т.д.
Следствие. Если из точки Р провести несколько секущих,
то произведение секущей на её внешний отрезок есть величина
постоянная для данной точки Р, т.е. PB ⋅ PA = PL ⋅ PK = PD ⋅ PC =
… = const.
Рис. 25
C
P•
A
D
K
L
B
«Окружность»
19
24. Объясните, как к данной окружности с центром О построить касательную, проходящую через данную точку А вне окружности (рис. 26).
Рис. 26
B
O•
Дано: ω (О; r), А ∉ ω (О; r).
O1
•
A
•
Построить: касательную к ω (О; r),
проходящую через точку А.
B1
Построение
1) Отрезок ОА.
2) Точка О1 – середина отрезка ОА.
3) ω (О1; О1А); ω (О1; О1А) ∩ ω (О; r) в точках В и В1.
4) Прямые АВ и А1В1 – искомые касательные.
Доказательство. По построению углы АВО и АВ1 О вписанные в
ω (О1; О1А) и опираются на полуокружность, поэтому они прямые.
Исследование. Задача имеет два решения.
§3. Четыре замечательные точки треугольника
25. Биссектриса угла. Сформулируйте и докажите теорему о
биссектрисе угла.
Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины
угла и делящий его на два равных угла. На рисунке 27 АМ – биссектриса угла ВАС, ∠ 1 = ∠ 2.
Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла
равноудалена от его сторон.
Дано: AM – биссектриса ∠ ВАС,
М ∈ АМ, МК ⊥ АВ, МL ⊥ АС.
Доказать: MK = ML.
20
«Окружность»
Рис. 27
Доказательство.
Рассмотрим ∆ АМК и
K
∆ АМL (рис. 27). Они прямоугольA
M
1
ные, т.к. МК ⊥ АВ, МL ⊥ АС по
•
•
2
условию теоремы.
∠ 1 =∠ 2, так как АМ –
L
биссектриса ∠ ВАС; АМ – общая
C
сторона. Следовательно, ∆ АМК =
∆ АМL по признаку равенства прямоугольных треугольников (по
гипотенузе и острому углу).
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому MK = ML.
Итак, каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Ч.т.д.
B
Верна и обратная теорема.
Теорема. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Дано: ∠ ВАС, М лежит внутри ∠ ВАС,
МК ⊥ АВ, МL ⊥ АС, MK = ML.
Доказать: AM – биссектриса ∠ ВАС.
Доказательство.
Рассмотрим ∆ АМК и ∆ АМL. Они прямоугольные, так как
МК ⊥ АВ, МL ⊥ АС по условию теоремы.
MK = ML по условию теоремы, АМ – общая сторона. Следовательно, ∆ АМК = ∆ АМL по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому∠ 1 =∠ 2, а это означает, что луч AM – биссектриса
∠ ВАС.
Итак, каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Ч.т.д.
«Окружность»
21
26. Биссектриса треугольника. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла
треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на
противолежащей стороне.
Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке.
Рис. 28
B
K
C1
O
•
A
B1 M
A1
L
Дано: AА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы
∆ АВС.
Доказать: AА1 ∩ ВВ1 ∩ СС1 = О.
22
резку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нем. На рисунке 29 а – серединный
перпендикуляр к отрезку АВ.
Рис. 29
a
•
A
•
O
B
а ⊥ АВ, АО = ОВ
Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка (рис. 30).
Рис. 30
a
C
Доказательство.
Пусть в ∆ АВС AА1 ∩ ВВ1 = О.
Проведем перпендикуляры OK, OL и OM соответственно к
прямым АВ, ВС и АС (рис. 28). Так как каждая точка биссектрисы
неразвернутого угла равноудалена от его сторон, то ОК = ОМ и
ОК = OL. Значит, ОМ = OL, т.е. точка О равноудалена от сторон
∠ АСВ и поэтому лежит на биссектрисе СС1 этого угла.
Следовательно, AА1 ∩ ВВ1 ∩ СС1 = О , т.е. все три биссектрисы ∆ АВС пересекаются в точке О.
Итак, биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке.
Ч.т.д.
Замечание. Точка пересечения биссектрис треугольника –
замечательная точка треугольника, так как она является центром
вписанной в треугольник окружности.
27. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к
отрезку? Сформулируйте и докажите теорему о серединном
перпендикуляре к отрезку. Серединным перпендикуляром к от-
«Окружность»
M•
•
A
O
Дано: а ⊥ АВ, а ∩ АВ = О,
АО = ОВ, М∈ а.
•
B
Доказать: АМ = МВ.
Доказательство.
Если точка М совпадает с точкой О, то АМ = МВ, так как
АО = ОВ.
Пусть М и О – различные точки. Рассмотрим ∆ ОАМ и
∆ ОВМ. Они прямоугольные, так как а ⊥ АВ. АО = ОВ по условию
теоремы, ОМ – общая сторона. Следовательно, ∆ ОАМ = ∆ ОВМ по
признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам).
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому АМ = МВ.
Итак, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Ч.т.д.
«Окружность»
23
Верна и обратная теорема.
Теорема. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка,
лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Рис. 31
a
Дано: а ∩ АВ = О, АО = ОВ,
точка N, АN = NВ.
N•
•
A
Доказать: N∈ а, а ⊥ АВ.
•
O
B
Доказательство.
Если точка N∈ АВ, то она совпадает с точкой О – серединой отрезка АВ и поэтому N ∈ а.
Пусть N ∉ АВ. Рассмотрим ∆ ANB (рис. 31). Он равнобедренный, так как AN = NB. Отрезок NO – медиана ∆ ANB, а следовательно, и высота, так как медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию является и высотой. Таким образом,
NO ⊥ АВ, поэтому ON и а совпадают, и, значит, N ∈ а.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому АМ = МВ.
Итак, каждая точка, равноудалённая от концов отрезка,
лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Ч.т.д.
28. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Рис. 32
B
m
n
•
O
A
p
Дано: m, n, p – серединные перпендикуляры к сторонам ∆ АВС.
Доказать: m ∩ n ∩ p = О.
C
24
«Окружность»
Доказательство.
Рассмотрим m и n – серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС ∆ АВС (рис. 32), m ∩ n = О.
Если предположить, что m || n, то прямая АВ перпендикулярная m, будет перпендикулярной и к n. Тогда через точку В
пройдут две прямые АВ и ВС, перпендикулярные к прямой n, но
это невозможно.
Так как каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, то ОВ = ОА и
ОВ = ОС, поэтому ОА = ОС, т.е. точка О равноудалена от концов
отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре p к
этому отрезку.
Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и
p к сторонам ∆ АВС пересекаются в точке О.
Итак, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Ч.т.д.
Замечание. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника – замечательная точка треугольника,
так как она является центром окружности, описанной около треугольника.
29. Какой отрезок называется высотой треугольника. Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к
прямой, содержащей противолежащую сторону, называется высотой треугольника.
Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Дано: ∆ АВС, АА1, ВВ1, СС1 – прямые, содержащие высоты
∆ АВС.
Доказать: AА1 ∩ ВВ1 ∩ СС1 в одной точке.
Доказательство.
Через каждую вершину ∆ АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне, получим ∆ А2В2С2 (рис. 33).
Рассмотрим четырехугольники АВА2С и АВСВ2, они явля-
«Окружность»
25
Рис. 33
ются параллелограммами по
построению. ПротиволежаC1
щие стороны параллелограмA1
мов равны, поэтому АВ = А2С
•
и АВ = СВ2, значит, А2С =
C
СВ2 , а точка С – середина
B
A
1
А2В2. Аналогично доказывается, что С2А = АВ2 и
С2В = ВА2, следовательно,
B2
точки А и В являются серединами сторон В2С2 и А2С2. Получили, что точки А, В и С являются
серединами сторон ∆ А2В2С2..
Стороны ∆ АВС по построению параллельны сторонам
∆ А2В2С2, поэтому АА1, ВВ1, СС1 – прямые, перпендикулярные к
сторонам ∆ АВС будут перпендикулярными и к сторонам ∆ А2В2С2,
т.е. СС1 ⊥ А2В2, AА1 ⊥ В2С2 и ВВ1 ⊥ А2С2.
Таким образом, прямые AА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам ∆ А2В2С2, следовательно, они
пересекаются в одной точке.
Итак, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Ч.т.д.
Замечание. Точка пересечения высот треугольника (или их
продолжений) – замечательная точка треугольника, так как она
является ортоцентром треугольника.
30. Каким замечательным свойством обладают медианы, высоты и биссектрисы треугольника? Медианы, биссектрисы, высоты (или их продолжения) треугольника пересекаются в одной
точке.
31. Какие точки называют замечательными точками треугольника? С каждым треугольником связаны четыре точки:
1) точка пересечения медиан − центроид треугольника (центр масс
однородной треугольной пластинки);
2) точка пресечения биссектрис − центр окружности, вписанной в
B
C2
A2
26
«Окружность»
треугольник;
3) точка пересечения серединных перпендикуляров − центр окружности, описанной около треугольника;
4) точка пересечения высот (или их продолжений) – ортоцентр
треугольника.
Эти четыре точки называют замечательными точками треугольника.
§4. Вписанная и описанная окружности
Вписанная окружность
32. Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Какой треугольник называется описанным около окружности? Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник –
описанным около этой окружности.
Рис. 34
B
Окружность вписана в ∆ ABC,
∆ ABC описан около окружности (рис. 34)
•O
A
C
33. Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Какой многоугольник называется описанным около окружности? Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
Рис. 35
C
Окружность вписана
в четырёхугольник ABCD,
четырёхугольник ABCD
описан около окружности (рис. 35)
B
A
D
«Окружность»
27
34. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник.
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.
Рис. 36
B
Дано: ∆ ABC.
M
•
O
L
28
«Окружность»
ки на прямую можно опустить только один перпендикуляр, то радиусы окружностей совпадают. Следовательно, эти окружности
совпадают.
36. Какая точка является центром окружности, вписанной в
треугольник? Центром окружности, вписанной в треугольник,
является точка пересечения биссектрис углов треугольника.
Рис. 37
B
Доказать: в ∆ ABC можно
вписать окружность.
A
C Доказательство.
K
Рассмотрим произвольный ∆ ABC. Проведём биссектрисы
треугольника, и точку их пересечения обозначим буквой О. Из
точки О опустим перпендикуляры OМ, OL и ОК соответственно к
сторонам АВ, ВС и АС (рис. 36).
Так как каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла
равноудалена от его сторон, то точка О равноудалена от сторон
∆ ABC, т.е. OМ = OL = ОК. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки М, L и К. Стороны треугольника
∆ ABC касаются этой окружности в точках М, L и К, так как они
перпендикулярны к радиусам OМ, OL и ОК. Значит, окружность с
центром О радиуса ОК является вписанной в ∆ ABC.
Итак, в любой треугольник можно вписать окружность,
центром которой будет точка пересечения биссектрис треугольника, а радиусами – перпендикуляры, опущенные из центра окружности к сторонам треугольника.
Ч.т.д.
35. Сколько окружностей можно вписать в треугольник?
В треугольник можно вписать только одну окружность.
Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О – точкой пересечения
биссектрис треугольника. Радиус каждой окружности равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Так как из одной точ-
•O
АО, ВО, СО – биссектрисы ∆ ABC,
АО ∩ ВО ∩ СО = О,
точка О – центр окружности,
вписанной в ∆ ABC (рис. 37)
A
C
37. Как построить окружность, вписанную в треугольник? Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и
тупоугольный. В каждый из них впишите окружность (рис.38).
1) Построить биссектрисы двух углов треугольника.
2) Точку их пересечения обозначить буквой О.
3) Из точки О к одной из сторон треугольника провести перпендикуляр.
4) Построить окружность с центром в точке О и радиусом, равным
проведённому перпендикуляру.
Рис. 38
а)
б)
в)
B
B
B
O
O
•
r
А
O
•
•
r
r
r
СA
C A
C
ω (О; r) – окружность, вписанная в ∆ АВС
∆ ABC – треугольник, описанный около окружности ω (О; r)
«Окружность»
29
38. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник? Не во
всякий четырёхугольник можно вписать окружность.
39. В какой четырёхугольник можно вписать окружность? Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника
равны, то в него можно вписать окружность.
Рис. 39
C
B
В четырёхугольнике ABCD (рис. 39)
ВС + АD = АВ + СD,
поэтому в него можно вписать окружность
A
D
40. Можно ли вписать окружность в ромб? квадрат? параллелограмм? прямоугольник? трапецию? Так как в ромбе и в квадрате все стороны равны, значит и суммы противоположных сторон
равны, поэтому в любой ромб и в любой квадрат можно вписать
окружность. В параллелограмм только тогда можно вписать окружность, когда он будет ромбом. В прямоугольник только тогда
можно вписать окружность, когда он будет квадратом. В трапецию
можно вписать окружность тогда, когда суммы противоположных
сторон будут равны.
41. Каким свойством обладают стороны четырёхугольника,
описанного около окружности? В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
Рис. 40
c C
B b•
b
•
•
a
A a
c
d
•
d D
Обозначим одними и теми же буквами равные отрезки касательных проведенных
к окружности из одной точки (рис. 40), тогда
АВ + CD = a + b + c + d,
BC + AD = a + b + c + d,
отсюда ВС + АD = АВ + СD.
42. Чему равна площадь многоугольника, описанного около
окружности? Площадь описанного многоугольника равна поло-
30
«Окружность»
вине произведения его периметра на радиус вписанной окружности: S = 12 P · r, или площадь описанного многоугольника равна
произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: S = p · r.
Рис. 41
Соединим точку О с вершинами мноC
гоугольника
(рис. 41). По свойству площаB
дей SABC… = SAOB + SBOC + SCOD + ….
r
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоr • r
O
ту, проведенную к этому основанию. Высоты треугольников равны r, поэтому
SABC… = 12 АВ · r + 12 ВС · r + 12 СD · r +…,
D
A
SABC… = 12 r (АВ + BC + СD + …),
SABC… = 12 PABC… · r или
S = p · r.
Описанная окружность
43. Какая окружность называется описанной около треугольника? Какой треугольник называется вписанным в окружность? Если все вершины треугольника лежат на окружности, то
окружность называется описанной около треугольника, а треугольник – вписанным в эту окружность.
Рис. 42
B
Окружность описана около ∆ ABC,
∆ ABС вписан в окружность (рис. 42)
A
C
44. Какая окружность называется описанной около многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в
окружность? Если все вершины многоугольника лежат на окруж-
«Окружность»
31
ности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
Рис. 43
C
Окружность описана
около четырёхугольника ABCD,
четырёхугольник ABCD,
вписан в окружность (рис. 43)
B
A
D
45. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника.
Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.
Рис. 44
B
32
«Окружность»
перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиусом – расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника.
Ч.т.д.
46. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника? Около треугольника можно описать только одну окружность.
Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О – точкой пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Так как
радиус каждой окружности равен расстоянию от точки О до вершин треугольника, то радиусы окружностей совпадают. Следовательно, эти окружности совпадают.
47. Какая точка является центром окружности, описанной
около треугольника? Центром окружности, описанной около
треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Рис. 45
B
Дано: ∆ ABC.
O
A
•
C
Доказать: около ∆ ABC можно
описать окружность.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный ∆ ABC. Проведём серединные
перпендикуляры к сторонам треугольника, и точку их пересечения
обозначим буквой О. Соединим точку О с вершинами A, B и C
(рис. 44).
Так как точка пересечения серединных перпендикуляров
равноудалена от вершин ∆ ABC, то OА = OВ = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, и значит, является описанной около ∆ ABC.
Итак, около любого треугольника можно описать окружность, центром которой является точка пересечения серединных
K
A
O
•
L
N
C
KО, LО, NО – серединные
перпендикуляры
к сторонам ∆ ABC,
KО ∩ LО ∩ NО = О,
точка О – центр окружности,
описанной около ∆ ABC (рис. 45)
48. Где находится центр окружности, описанной около остроугольного треугольника? Центр окружности, описанной около
остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
49. Как построить окружность, описанную около остроугольного треугольника?
1) Построить серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника.
2) Точку их пересечения обозначить буквой О.
3) Построить окружность с центром в точке О и радиусом, равным
«Окружность»
33
расстоянию от точки О до любой из вершин треугольника.
Рис. 46
B
O
LО, NО – серединные
перпендикуляры
к сторонам ∆ ABC,
LО ∩ NО = О
точка О – центр окружности,
описанной около ∆ ABC,
r = OC (рис. 46)
N
•
A
L
C
50. Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Центром окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
51. Как построить окружность, описанную около прямоугольного треугольника?
1 способ (рис. 47)
1) Построить серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника.
2) Точку их пересечения обозначить буквой О (точка О – середина
гипотенузы).
3) Построить окружность с центром в точке О и радиусом, равным
расстоянию от точки О до любой из вершин треугольника.
2 способ (рис. 48)
1) Построить точку О – середину гипотенузы. 2) Построить окружность с центром в точке О и радиусом, равным половине гипотенузы.
B
B
O
•
A
O
•
C
Рис. 47
A
N
Рис. 48
34
«Окружность»
52. Где находится центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника? Центр окружности, описанной около
тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.
53. Как построить окружность, описанную около тупоугольного треугольника (рис. 49)?
1) Построить серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника.
2) Точку их пересечения обозначить буквой О (точка О лежит вне
треугольника).
3) Построить окружность с центром в точке О и радиусом, равным
расстоянию от точки О до любой из вершин треугольника.
Рис. 49
B
K
A
L
O•
C
54. Можно ли описать окружность около четырёхугольника?
Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.
55. В каком случае около четырёхугольника можно описать
окружность? Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180о, то около него можно описать окружность.
Рис. 50
C
B
В четырёхугольнике ABCD (рис. 50)
∠ A +∠ C =180о
( или ∠ В +∠ D =180о), поэтому
около него можно описать окружность
L
C
KО, LО – серединные перпендикуляры
к сторонам ∆ ABC,
КО ∩ LО = О,
точка О – центр окружности,
описанной около ∆ ABC, r = OC
A
D
«Окружность»
35
56. Можно ли описать окружность около ромба? квадрата? параллелограмма? прямоугольника? трапеции? Так как в квадрате и в прямоугольнике все углы равны по 90о, значит сумма противоположных углов равна 180о, поэтому около любого квадрата и
около любого прямоугольника можно описать окружность. Около
ромба только тогда можно описать окружность, когда он будет
квадратом. Около параллелограмма тогда можно описать окружность, когда он будет прямоугольником. Около трапеции можно
описать окружность, если она равнобедренная, так как только в
этом случае сумма противоположных углов равна 180о.
57. Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность? В любом вписанном четырёхугольнике
сумма противоположных углов равна 180о.
Рис. 51
C
По теореме о вписанном угле (рис. 51)
∠ А = 12 ∪ ВСD, ∠ C = 12 ∪ ВDА, отсюда
B
∠ А +∠ C =
1
2
(∪ ВСD + ∪ ВDА),
∠ А +∠ C =
A
D
1
2
· 360° = 180°
(∠ В +∠ D = 180°).
58. В какой четырёхугольник всегда можно вписать окружность и можно описать около него окружность? В квадрат всегда можно вписать окружность, и всегда можно описать окружность около него (рис. 52).
Рис. 52