программаx - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное учреждение высшего
профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»»
Общеуниверситетский факультатив
Программа дисциплины
«ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛЯВЭНА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФИНАНСАХ»
(на 2013 – 2014 учебный год)
Автор – Конаков В.Д.
Программа одобрена на заседании кафедры
статистических методов
Заведующий кафедрой статистических методов
________________________В.С. Мхитарян
«____»_______2013 г.
Утверждено
Первый проректор НИУ «Высшая школа экономики»
______________________ В.В. Радаев
«____» _____________2013 г.
Москва 2013
ОСНОВНЫЕ ТЕМЫ КУРСА
Тема 1. Интеграл Скорохода или оператор дивергенции.
Тема 2.
Дифференцирование. Производная Маллявэна.
Тема 3.
Формула Камерона-Мартина.
Тема 4.
Приложения в статистике. Лемма Стейна.
Тема 5.
Мартингалы, моменты остановки, локальные
мартингалы.
Тема 6. Теорема И.В. Гирсанова.
Тема 7.
Формула Фейнмана - Каца.
Тема 8.
Алгебра кратных интегралов Ито-Винера.
Тема 9.
Интегральное представление Ито.
Тема 10. Формула Кларка – Окона. Обобщённая формула
Кларка – Окона.
Тема 11. Применение обобщенной формулы Кларка – Окона к
анализу портфеля ценных бумаг. Выбор оптимального
портфеля. Пример применения: вывод формулы Блэка
– Шоулза.
Тема 12. Приложение к анализу чувствительности и
вычислению греческих коэффициентов («дельта»,
«гамма», «вега», «ро» ) в теории опционов.
«ИСЧИСЛЕНИЕ МАЛЛЯВЭНА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФИНАНСАХ»
(Программа дисциплины)
Настоящий курс предназначен для изучения в качестве
общеуниверситетского факультатива. В первую очередь он
предназначен для студентов бакалавриата, магистратуры и
аспирантов факультетов экономики и математики НИУ ВШЭ,
интересующихся применением современных математических
методов, точнее, методов теории вероятностей, к анализу
сложных экономических процессов, динамика которых является
результатом воздействия многих случайных факторов, т.е. имеет
вероятностную природу.
Исчисление, которое будет изложено в настоящем курсе, было
создано французским математиком, академиком Полем
Маллявэном (1925 -2010). Выражаясь формальным математическим
языком, предмет изучения можно определить как метод изучения
гладкости распределений нелинейных функционалов на
бесконечномерных пространствах с мерами.
Следует сказать, что в европейских университетах исчисление
Маллявэна входит в число базовых курсов, читаемых для студентов
старших курсов и аспирантов и, поэтому, прочно входит в научный
арсенал молодых исследователей. Напротив, в российских
университетах таких курсов практически нет, а из монографий,
выпущенных на русском языке, можно упомянуть лишь книгу В.И.
Богачёва «Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна»,
РХД, Ижевск, 2008. Цель настоящего курса – восполнить
существующий пробел.
В 2011-2012 гг. В. Конаков, читал этот курс как спецкурс по
выбору студента на кафедре теории вероятностей механикоматематического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Ввиду
проявленного интереса к курсу со стороны научных руководителей
международной лаборатории математических финансов (МЛМФ),
созданной на базе НИУ ВШЭ, и лаборатории структурных методов
анализа данных в предсказательном моделировании (PreMoLab),
созданной на базе МФТИ, предполагается расширить аудиторию
слушателей студентами-исследователями, прикрепленными к этим
лабораториям.
Слушатели факультатива, освоив курс, сумеют применять
современные метолы стохастики к различным задачам,
возникающим в теории математических финансов.
Курс рассчитан на 216 часов, в том числе 96 аудиторных часов
(лекции 48 часов и семинарские занятия 48 часов) и
самостоятельная работа 120 часов.
Основная литература по курсу
1. D. Nualart. The Malliavin Calculus and Related Topics. Springer.
2006.
2. M. Sanz - Solé. Malliavin calculus with applications to stochastic
partial differential equations. EPFL Press, 2005.
3. B. ksendal. An introduction to Malliavin calculus with
application to economics. Univ. of Oslo, Norwegian School of
Economics and Business Administration, 1997.
4. G. Di Nunno, B. ksendal, F. Proske. Malliavin calculus for Lévy
Processes with Applications to Finance. Springer. 2009.
5. J. van der Hoek. Postgraduate Workshop in Stochastics. Lectures
80 -100. Private communication.
6. Kuo H. Introduction to Stochastic Integration. Springer. 2006.
7. ksendal B. Stochastic Differential Equations. 5-th edition.
Springer, 2000.
Дополнительная литература по курсу
1. P. Malliavin. Integration and Probability. Graduate Texts in
Mathematics. Springer, 1993.
2. P. Malliavin. Stochastic Calculus of Variations and Hypoelliptic
Operators. In: Proc. Inter. Symp. On Stoch. Diff. Equations,
Kyoto, 1976, Wiley 1978, pp. 195-263.
3. S. Watanabe. Lectures on Stochastic Differential Equations and
Malliavin Calculus. Tata Institute of Fundamental Research.
Bombay, Springer -Verlag, 1984.
4. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и
функционального анализа. М., Наука, 1968.
5. Е.Б. Дынкин. Марковские процессы. Физматгиз. М., 1963.
6. М. Лоэв. Теория вероятностей. М., ИЛ, 1962.
7. S. Janson. Gaussian Gilbert Spaces. Cambridge University
Press, 1997.
8. M. Reed, B. Simon. Methods of Modern Mathematical
Physics, Functional Analysis I. Academic Press, 1980.
9. В.М. Кадец. Курс функционального анализа. Изд-во
Харьковского ун-та, 2010.
10. И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. Пространства основных и
обобщённых функций. Обобщённые функции, вып.2,
М.1958.
11. I. F. Wilde. Distribution Theory (Generalized Functions).
Notes. 2005.
http://homepage.ntlworld.com/ivan.wilde/notes/gf/gf.pdf
12. R. Adams. Sobolev spaces. Acad. Press. 1975.
13. В.В. Петров. Суммы независимых случайных величин.
М., Наука, 1972.
14. Nobuaki Obata. White Noise Calculus and Fock Space.
Springer. 1994.
Образцы задач и контрольных вопросов по курсу «Исчисление
Маллявэна и его применение в математических финансах»
1. Найти разложение Винера-Ито для
a)
;
b)
c)
d)
e) exp
Известная теорема о представлении Ито (B. ksendal, Stochastic
Differential Equations, Springer, 2003, Theorem 4.3.3., p. 51) гласит,
что если
является
- измеримой, то существует
единственный
- адаптированный процесс
такой, что
2. Найти
a)
b)
если
c)
d)
e)
3. Вычислить следующие интегралы Скорохода:
a)
b)
c)
Рассматриваются две возможности инвестирования: в рисковые
активы (например, облигации) с динамикой цены акций
описываемой дифференциальным уравнением
и в рисковые активы (например, акции) с динамикой цены акций
описываемой стохастическим дифференциальным
уравнением
Пусть
обозначает число единиц,
инвестируемых в момент для каждой их указанных выше
возможностей. Тогда стоимость
портфеля ценных бумаг
равна
4. Используя обобщённую формулу Кларка-Окона, для случая
и функции выплат
найти самофинансируемый портфель
ценных бумаг
имеющий стоимость
в
момент