Глава 3 Работа и энергия § 9 Энергия, работа, мощность

Глава 3
Работа и энергия
§9
Энергия, работа, мощность
Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связаны различные формы энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная и др. В одних явлениях
форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других – переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех
случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу,
равна энергии, полученной последним телом.
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на тело со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс
обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.
r
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F ,
r
которая составляет некоторый угол α с направлением перемещения s , то работа
r
r
этой силы равна скалярному произведению векторов F и s или произведению
проекции силы Fs на направление вектора перемещения (Fs = Fs cos α ) , умноженной на перемещение точки приложения силы
rr
A = Fs = Fs s = Fs cos α .
(9.1)
В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (9.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элеr
r
ментарное перемещение dr , то силу F можно считать постоянной, а движение
точки ее приложения – прямолинейным.
r
r
Элементарной работой силы F на перемещение dr называется скалярная величина
r r
dA = Fdr = F cos αds = Fsds ,
r
r
r
где α – угол между векторами F и dr ; ds = dr –
r
элементарный путь; Fs – проекция вектора F на
r
вектор dr (рис. 13).
Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути.
Эта сумма приведена к интегралу
2
2
A = ∫ Fds cos α = ∫ Fsds .
1
(9.2)
1
Для вычисления этого интеграла надо знать
зависимость силы Fs от пути s вдоль траектории 1–2.
Пусть эта зависимость представлена графически (рис.
14), тогда искомая работа A определяется на графике
площадью заштрихованной фигуры. Если, например,
тело
движется
прямолинейно,
сила
F = const и
α = const , то получим
2
2
1
1
A = ∫ Fds cos α = F cos α ∫ ds = Fs cos α ,
где s – пройденный телом путь.
Из формулы (9.1) следует, что при α < π 2 A > 0 , в этом случае составr
ляющая Fs совпадает по направлению с вектором скорости v (рис.13). Если
α > π 2 , то A < 0 . При α = π 2 A = 0 .
[ A] = [Дж] = [Н ⋅ м]
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие
мощности
N=
dA
.
dt
(9.3)
r
r r
За время dt сила F совершает работу Fdr , и мощность, развиваемая этой
силой в данный момент времени
r r
Fdr r r
N=
= F ⋅v,
dt
(9.4)
т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой
движется точка приложения этой силы; N – величина скалярная.
[N ] = [Вт] (1 Вт = 1 Дж/с )
Задача 1. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в
r
r r
плоскости xy из точки А с радиусом-вектором r1 = i + 2 j (м) в точку В с радиуr r
r
сом-вектором r2 = 2i − 3j (м). При этом на нее действовала постоянная сила
r
r r
F = 3i + 4 j (H). Найдите работу, которую совершила эта сила.
Решение. По определению работа постоянной силы равна
r r
A = F ⋅ ∆r ,
r r r
где ∆r = r2 − r1 – вектор перемещения частицы, который равен
r
r r
r r
∆r = i (2 − 1) + j (−3 − 2) = i − 5 j .
Теперь подставим значения для векторов силы и перемещения в формулу работы
A = 3 ⋅1 + 4 ⋅ (−5) = −17 Дж.
Задача 2. Тело массой m бросили под углом α к горизонту с начальной
скоростью v0 . Найдите мгновенную мощность, развиваемую силой тяжести, как
функцию времени.
Решение. По определению мгновенная мощность
равна
r r
N = F ⋅v .
Как видно из рисунка, сила тяжести направлена вертикально вниз, и для нее в
векторном виде можно записать следующее выражение
r
r
F = −mgj .
Вектор скорости можно представить следующим образом
r
r
r
v = v x i + vy j ,
где vx = v0 x = v0 cos α , vy = v0 y − gt = v0 sin α − gt . С учетом этого выражение для
вектора скорости будет иметь вид
r
r r
v = i v 0 cos α + j ( v 0 sin α − gt ) .
Подставим выражения для векторов силы и скорости в формулу для мгновенной
мощности
r r
r
N = (− mgj ) ⋅ (i v0 cos α + (v0 sin α − gt ) j ) = mg(gt − v0 sin α) .
§ 10
Кинетическая и потенциальная энергии
Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы.
r
Сила F , действующая на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной раr
боты. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время
r
возрастания скорости от 0 до v , идет на увеличение кинетической энергии dT
тела, т.е.
dA = dT .
r
r
dv
Используя II закон Ньютона F = m
и умножая обе части равенства на
dt
r
перемещение dr , получим
r
r r
dv r
Fdr = m dr = dA .
dt
r
r dr
Так как, v =
, то
dt
r r
dA = mvdv = mvdv = dT ,
откуда
v
mv 2
.
T = ∫ mvdv =
2
0
Таким образом, тело массой m , движущееся со скоростью v , обладает кинетической энергией
mv 2
T=
.
2
(10.1)
Из формулы (10.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее
движения.
При выводе формулы (10.1) предполагалось, что движение рассматривается
в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия
будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.
Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Если работа, совершаемая действующей силой при перемещении тела из
одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положения, то такую силу называют консервативной, а силовое поле потенциальным (сила упругости, сила Кулона, гравитационные силы).
Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела
из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (сила трения).
Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией U (потенциальную энергию можно обозначить еще буквой Π ). Работа консервативных сил при элементарном изменении конфигурации системы равна
приращению потенциальной энергии, взятой со знаком минус, так как, работа совершается за счет убыли потенциальной энергии
dA = −dU .
(10.2)
r
Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещеr
ние dr и выражение (10.2) можно записать в виде
r r
Fdr = −dU .
(10.3)
r
Следовательно, если известна функция U (r ) , то из формулы (10.3) можно найти
r
силу F по модулю и направлению.
Потенциальная энергия может быть определена исходя из (10.3) как
r r
U = − ∫ Fdr + C ,
где C – постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с
точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается
на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий или производная U по координате. Поэтому потенциальную энергию тела в
каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой
уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.
Для консервативных сил
Fx = −
∂U
∂U
∂U
, Fy = −
, Fz = −
,
∂y
∂x
∂z
или в векторном виде
r
F = −gradU ,
(10.4)
где
gradU =
∂U r ∂U r ∂U r
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(10.5)
Вектор, определяемый выражением (10.5), называется градиентом скаляра U .
Для него наряду с обозначением gradU применяется также обозначение
r
r
∇U . ∇ означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона
r
∂ r ∂ r ∂ r
∇=
i+
j + k.
∂z
∂x
∂y
(10.6)
Конкретный вид функции U зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m , поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна
U = mgh ,
(10.7)
где h отсчитывается от нулевого уровня, для которого U 0 = 0. Выражение (10.7)
вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы
тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.
Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия
может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна). Если принять за ноль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина
h′ ), U = −mgh ′ .
Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины).
Сила упругости пропорциональна деформации
Fx упр = −kx ,
где Fx упр – проекция силы упругости на ось x ; k – коэффициент упругости
(жесткости), а знак минус указывает, что Fx упр направлена в сторону, противопо-
ложную деформации x .
По III закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена (рис.15),
т.е.
Fx = −Fx упр = kx .
Элементарная работа dA , совершаемая силой Fx
при бесконечно малой деформации dx , равна
dA = Fx dx = kxdx ,
а полная работа
x
A = ∫ kxdx =
0
kx 2
2
идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированного тела равна
kx 2
U=
.
2
Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является
функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее
положения по отношению к внешним телам.
Полная механическая энергия системы – это энергия механического
движения и взаимодействия и равна сумме кинетической и потенциальной энергии
E =T+ U.
Задача 1. На материальную точку массой m = 1 кг действовала сила, измеr
r
r
r
няющаяся по закону F = 12 t 3 i + 6 t 2 j + t k (Н). В начальный момент точка
r
r
r
имела скорость v0 = 2 j − 0,5k (м/с). Определите модуль импульса и кинетическую
энергию точки в момент времени t = 1 с .
Решение. Из второго закона Ньютона
r dpr
F=
dt
выразим изменение импульса точки
r r
dp = Fdt .
Для того, чтобы найти импульс точки в указанный момент времени проинтегрируем обе части этого равенства
r
p
t r
r
∫ dp = ∫ Fdt .
r
p0
0
Подставим в полученную формулу выражение для вектора силы
t
r
r r
r
r t2 r
r r
3
2
4
3
p − p0 = ∫ (12t i + 6t j + tk )dt = 3t i + 2t j + k
2
0
и, учитывая, что
r
r
r
r
p0 = mv0 = m (2 j − 0,5k ) ,
получаем формулу для импульса точки
r
r
r t2 r r
r
r t2 r
r
r
p = 3t 4 i + 2t 3 j + k + p0 = 3t 4 i + 2t 3 j + k + 2mj − 0,5mk =
2
2
.
2
r
r
r
t
= 3t 4 i + (2t 3 + 2m ) j + ( − 0,5m )k
2
Подставив числовые значения, получим вектор импульса точки в указанный момент времени
r
r
r 12
r r
r
4
3
p = 3 ⋅1 i + (2 ⋅1 + 2 ⋅1) j + ( − 0,5 ⋅1)k = 3i + 4 j .
2
Модуль импульса точки найдем по формуле
p = px2 + py2 + pz2 = 32 + 4 2 + 0 2 = 5 Н ⋅ с .
Кинетическую энергию точки в момент времени t = 1 с можно найти по
формуле
mv 2 m 2v 2 p 2
T=
=
=
.
2
2m
2m
Подставив числовые значения, найдем
52
T=
= 12,5 Дж .
2 ⋅1
Задача 2. Потенциальная энергия частицы имеет вид U = b(x 2 + y 2 ) . Найдите зависимость вектора силы, действующей на частицу, и ее модуля от координат.
Решение. Сила и потенциальная энергия связаны между собой соотношением
r
r
F = −∇U .
Исходя из этого выражения найдем проекции вектора силы на координатные оси
Fx = −
∂U
∂U
= −2bx и Fy = −
= −2by .
∂x
∂x
Тогда зависимость вектора силы от координат будет иметь вид
r
r
r
F = −2bxi − 2byj .
Модуль найденной силы определяется выражением
F = Fx2 + Fy2 = 2b x 2 + y 2 .
§ 11
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии – результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В. Ломоносову (1711–1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814–
1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821–1894).
Рассмотрим систему материальных точек массами m1 , m 2 , …, m n двиr r
r
r r
r
жущихся со скоростями v1 , v2 , …, vn . Пусть F1′ , F2′ , …, Fn′ – равнодействующие
r r
внутренних консервативных сил, действующие на каждую из этих точек, а F1 , F2 ,
r
…, Fn – равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют
еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действуюr r
r
щих на каждую из материальных точек, обозначаем f1 , f2 , …, fn . При v << c
массы материальных точек постоянны и уравнения II закона Ньютона для этих
точек следующие:
r
dv1 r r r
m1
= F1′ + F1 + f1 ,
dt
r
dv2 r r r
m2
= F2′ + F2 + f2 ,
dt
....................................
r
r r
dvn r
mn
= Fn′ + Fn + fn .
dt
Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt соr
r
r
вершают перемещения, соответственно равные dr1 , dr2 , …, drn . Умножим каждое уравнений скалярно на соответствующие перемещения и, учитывая, что
r r
dri = vi dt , получим:
r r r r r
r r
m1 (v1dv1 ) − F1′ + F1 dr1 = f1dr1 ,
r r r r r
r r
m2 (v2dv2 ) − F2′ + F2 dr2 = f2dr2 ,
(
)
(
)
..................................................
r
r r r r
r r
mn (vn dvn ) − Fn′ + Fn drn = fn drn .
(
)
Сложив эти уравнения, получим
(
)
n r
n r
r r
r r
r
′
(
)
m
v
d
v
−
F
+
F
d
r
=
∑ i i i ∑ i i i ∑ fi dri .
n
i =1
i =1
(11.1)
i =1
Первый член левой части равенства (11.1)
r
n
n
 mi vi2 
r r
∑ mi (vidvi ) = ∑ d 2  = dT ,
i =1
i =1 

где dT – есть приращение кинетической энергии системы. Второй член
r
r
r
∑ (Fi′ + Fi )dri
равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных
сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dU системы.
Правая часть равенства (11.1) задает работу внешних неконсервативных
сил, действующих на систему. Таким образом, имеем
d (T + U ) = dA .
(11.2)
При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2
2
∫ d (T + U) = A12 ,
1
т.е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если эти силы отсутствуют, то из (11.2) следует, что
d (T + U ) = 0 ,
откуда
T + U = E = const ,
(11.3)
т.е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение
(11.3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе
тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.
Механические системы, на тела которых действуют только консервативные
силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами.
Закон сохранения механической энергии: в консервативных системах полная
механическая энергия сохраняется.
Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени,
т.е. инвариантностью физических законов относительно начала отсчета времени.
Диссипативные системы – системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы
энергии.
Процесс постепенного уменьшения энергии называется диссипацией или
рассеянием энергии.
Закон сохранения и превращения энергии – фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем микроскопических тел, так и для систем макрочастиц.
Закон сохранения энергии для диссипативных систем: энергия никогда
не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.
В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.
Задача 1. Потенциальная энергия частицы определяется выражением
U = b(x 2 + y 2 + z 2 ) , где b = 4,0 кг/с2. Частица начинает двигаться из точки с коор-
динатами (1; 1; 1) (м). Найдите ее кинетическую энергию в момент, когда частица
находится в точке с координатами (0,5; 0,5; 0,5) (м).
Решение. По закону сохранения механической энергии полная энергия
частицы в указанных в задаче точках должна быть одинаковой
E = T1 + U1 = T2 + U2 = const ,
где T1 = 0 – кинетическая энергия частицы в начальной точке; U1 – ее потенциальная энергия в этой точке; T2 – кинетическая энергия в конечной точке; U2 –
потенциальная энергия в конечной точке. Из записанной формулы выразим кинетическую энергию в конечной точке
T2 = T1 + U1 − U2 = T1 + b(x12 + y12 + z12 ) − b(x22 + y22 + z22 ) .
Подставив, в найденное выражение, числовые значения получим
T2 = 4 ⋅ (12 + 12 + 12 ) − 4 ⋅ (0,52 + 0,52 + 0,52 ) = 9,0 Дж .
§ 12
Графическое представление энергии
Рассмотрим случай одномерного движения и представим потенциальную
энергию в виде функции U = U (x) .
График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента называется
потенциальной кривой.
Будем рассматривать только консервативные системы.
Рассмотрим графическое представление потенциальной
энергии для тела в одномерном поле тяжести. Потенциальная энергия тела массой m , поднятого на высоту h над поверхностью
Земли, тогда U (h ) = mgh. Угол наклона графика U = U (h ) (рис. 16) к оси h тем
больше, чем больше масса тела tgα = mg.
Пусть полная энергия тела равна E . На высоте h тело обладает потенциальной энергией U , которая определяется отрезком вертикали заключенным между точкой h на оси абсцисс и графиком U (h ) . Естественно, что кинетическая
энергия T задается ординатой между графиком U (h ) и горизонтальной прямой
ЕЕ. Из рисунка следует, что если h = hmax , то T = 0 и U = mghmax , т.е. потенциальная энергия становится максимальна и равна полной энергии.
Из представленного графика можно найти скорость тела на высоте h :
T =E−U,
т.е.
mv 2
= mghmax − mgh ,
2
откуда v = 2g(hmax − h ) .
Теперь рассмотрим графическое представление
потенциальной энергии для упругого деформированного тела. Зависимость потенциальной энергии упругой деформации U = kx 2 2 от деформации x имеет
вид параболы (рис. 17). Из рисунка видно, что с
возрастанием деформации x потенциальная энергия тела возрастает, а кинетическая – уменьшается. Абсцисса xmax определяет максимально возможную деформацию растяжения тела, а − xmax – максимально возможную деформацию сжатия
2
тела. Если x = ± xmax , то T = 0 и U = E = kxmax
2 , т.е. потенциальная энергия ста-
новится максимальной и равной полной энергии. В случае, изображенном на рисунке, можно сказать, что тело находится в потенциальной яме с координатами
− xmax ≤ x ≤ xmax .
Проанализируем потенциальную кривую изображенную на рис. 18. Частица может находиться
только там, где U (x) < E , то есть в областях I и III.
Переходить из области I в III и обратно частица не
может, так как ей препятствует потенциальный барьер CDG , ширина которого
равна интервалу значений x , при которых E < U , а его высота определяется разностью UD − E . Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера
или превышающую ее. В области I частица с полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме АВС и совершает колебания между точками с координатами xA и xC .
В точке В с координатой x0 потенциальная энергия частицы минимальна.
Так как, на частицу действует сила Fx = −
ной энергии
∂U
, а условие минимума потенциаль∂x
∂U
= 0 , то в точке В Fx = 0 . Указанное условие выполняется и для
∂x
точки x′0 (для UD ).
Положением устойчивого равновесия называется положение частицы x0 ,
при смещении из которого она испытывает действие возвращающей силы.
Точка x0 является положением устойчивого равновесия.
Положением неустойчивого равновесия называется положение частицы
x′0 , при смещении из которого на нее начинает действовать сила стремящаяся
удалить ее от этого положения.
Точка x′0 является положением неустойчивого равновесия.
§ 13
Удар абсолютно упругих и неупругих тел
Удар (или соударение) – это столкновение двух или нескольких тел, при котором
взаимодействие длится очень короткое время.
Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до
удара называется коэффициентом восстановления ε:
ε=
v′n
.
vn
Если для сталкивающихся тел ε = 0 , то такие тела называются абсолютно неупругими.
Если для сталкивающихся тел ε = 1 , то такие тела называются абсолютно упругими.
На практике обычно 0 < ε < 1.
Например: сталь – ε ≈ 0,56 ; слоновая кость – ε ≈ 0,89 ; свинец – ε ≈ 0 .
Прямая проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара.
Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой проходящей через их центры масс.
Абсолютно упругий удар – это столкновение двух тел, в результате которого в
обеих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после
удара снова превращается в кинетическую энергию.
При абсолютно упругом ударе (рис. 19) законы
сохранения имеют вид:
r
r
r
r
m1v1 + m2v2 = m1v1′ + m2v′2 ,
(13.1)
m1v12 m2v22 m1v1′2 m2v′22
+
=
+
.
2
2
2
2
(13.2)
Произведя соответствующие преобразования в выражениях (13.1) и (13.2),
получаем
m1 (v1 − v1′ ) = m2 (v′2 − v2 ) ,
(
)
(
)
m1 v12 − v1′2 = m2 v′22 − v22 ,
(13.3)
(13.4)
откуда
v1 + v1′ = v2 + v′2 .
Решая уравнения (13.3) и (13.5), находим
(13.5)
v1′ =
(m1 − m2 )v1 + 2m2v2 ,
(13.6)
v′2 =
(m2 − m1 )v2 + 2m1v1 .
(13.7)
m1 + m2
m1 + m2
Пример 1. v2 = 0
v1′ =
v′2 =
(m1 − m2 )v1 ,
m1 + m2
2m1v1
.
m1 + m2
(13.8)
(13.9)
Проанализируем выражения (13.8) и (13.9) для двух шаров различных масс:
а) m1 = m2 ⇒ v1′ = 0 , v′2 = v1 ;
r
r
б) m1 > m 2 ⇒ v1′ < v1 , v′2 > v1′ , v1′ ↑↑ v1 ;
r
r
в) m1 < m2 ⇒ v1′ ↑↓ v1 , v′2 < v1′ ;
r
r
2m1v1
г) m2 >> m1 ⇒ v1′ = −v1; v′2 ≈
≈ 0.
m2
Пример 2. При m1 = m 2 выражения (13.6) и (13.7) будут иметь вид:
v1′ = v2 , v′2 = v1 ,
т.е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.
Абсолютно неупругий удар – это столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.
При абсолютно неупругом ударе (рис. 20) закон сохранения импульса имеет вид
r
r
r
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )v ,
откуда
r
r
r m1v1 + m2v2
v=
.
m1 + m2
(13.10)
r r
r v1 + v2
Если m1 = m2 , то v =
.
2
Определим потери кинетической энергии в абсолютно неупругом ударе:
 m1v12 m2v22  (m1 + m 2 )v 2
 −
.
∆T = 
+
2
2
2


Используя выражение (13.10), получим
∆T =
(m1m2 ) (v − v )2 .
1
2
2(m1 + m2 )
Если первоначально v2 = 0 , то
v=
m2
m v2
m1v1
⋅ 1 1.
, ∆T =
m1 + m2
m1 + m2
2
Когда m2 >> m1 ⇒ v << v1 и почти вся кинетическая энергия тела при ударе
переходит в другие формы энергии.
При m1 >> m2 ⇒ v ≈ v1 .