13 - eSSUIR

УДК 621.385.6
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ ЭЛЕКТРОННООПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Г.С. Воробьев***, проф.; А.Г. Понoмарев*; А.А. Дрозденко***, студ.;
И.В. Коплык**
* - Институт прикладной физики НАН Украины,
** - Военный институт ракетных войск и артиллерии СумГУ,
*** - СумГУ
ВВЕДЕНИЕ
Выходные характеристики электровакуумных приборов СВЧ существенным образом
зависят от свойств используемых электронных пучков (ЭП). При этом необходимы
сведения об их точной пространственной конфигурации и микроструктуре, то есть о
распределении плотности тока по поперечному сечению пучка, и о распределении
продольной и поперечной компонент скорости в любом поперечном сечении. Эта
информация особенно важна при конструировании электронных приборов СВЧ с
протяженными ЭП высоких энергий, к которым относятся, например, устройства типа
ЛОВ, ЛБВ, генератор дифракционного излучения (ГДИ). При этом желательно иметь
сведения о конфигурации и структуре пучка в отсутствие высокочастотных полей
(статический) и при взаимодействии ЭП с электромагнитным СВЧ-полем (динамический
режим).
В настоящее время для получения информации о параметрах пучка существуют
различные способы, которые могут быть сгруппированы по двум основным
направлениям.
Опыт экспериментальных исследований ЭП [1] показывает, что эффективность
применения различных методов измерений параметров пучков во многом зависит от их
специфических особенностей. В частности, при исследовании ЭП с поперечными
размерами порядка 0.1мм и удельными мощностями в десятки и сотни кВт/см2 становится
проблематичным использование одного из основных методов – метода диафрагмы с
малым входным отверстием [2]. Некоторые сведения о геометрических размерах и
структуре таких пучков в поперечном сечении можно получить, наблюдая изображение
следа пучка на различных экранах, помещенных на пути движения ЭП [3]. Достаточно
часто используется оптическое излучение из объема пучка, вызываемое взаимодействием
электронов с молекулами остаточного газа [4].
В последние годы при исследовании тонких ЭП высокой удельной мощности
используется переходное излучение оптического диапазона, возникающее при падении
электронов на металлическую поверхность [5,6]. Данное явление легло в основу метода
определения геометрических размеров, характера распределения и величины плотности
тока в поперечном сечении ленточных и аксиально-симметричных ЭП [7-11].
Однако применение экспериментальных методов - достаточно дорогостоящий процесс,
поэтому на стадии начального исследования конкретного ЭП целесообразным является
численный анализ.
Численные методы решения уравнений движения электрона в заданных внешних
электрических и магнитных полях с учетом поля пространственного заряда и некоторых
других факторов позволяют рассчитать траектории граничного и внутреннего электронов
и определить границы ЭП для заданного режима работы пушки [12-15].
Основная цель исследований численными методами является в обеспечении
автоматического построения алгоритмов на ЭВМ для решения конкретных задач.
Широкое распространение нашли конечно-разностные методы для решения уравнения
Пуассона в двухмерных и трехмерных областях с различными типами граничных условий,
различные типы итерационных методов, комбинированные методы последовательности
сеток и итераций по подобластям. При условии, что электроды имеют достаточно ровные
поверхности, во многих случаях рекордно высокую точность потенциалов можно
получить сведением дифференциальной задачи к интегральным уравнениям теории
потенциала [16]. Полученные результаты расчета структуры являются исходными для
траекторного анализа электронов в электростатическом поле исследуемой электроннооптической системы.
В целом же рассмотрение методов подтверждает очевидный факт, что не существует
самого лучшего метода для решения всех задач. Для каждой задачи, точнее класса задач,
имеется свой предпочтительный алгоритм. И в зависимости от характера задачи различие
в эффективности алгоритмов может быть большим или меньшим.
Следует также отметить, что современное понятие алгоритма включает в себя его
программную реализацию. Поэтому окончательное суждение об эффективности методов
надо проводить с учетом разных факторов, в том числе не являющихся чисто
математическими в традиционном смысле.
Целью данной работы является построение алгоритма для численного анализа
движения электронов в электрическом поле аксиально-симметричных электродов
произвольной конфигурации и апробации его на конкретной геометрии электроннооптической системы путем сравнения результатов траекторного анализа с ранее
полученными экспериментальными данными [10,11].
1 МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
В общем случае при расчете электростатических полей известными считаются
геометрия электродов, образующих электронно-оптическую систему, их потенциалы и
распределение плотности электронного заряда в области, ограниченной контуром
электродов. При решении задачи применим метод интегральных уравнений [16].
Используя теорему Грина, можно показать, что решение задачи Дирихле для уравнения
Пуассона в случае аксиально-симметричных полей может быть представлено в виде
( r ,  , z - цилиндрические координаты)
U r , z  
1
1

2   2  0


S

  K t 0   dV

r  r 0   z  z0 
  K t i   dS
r  r i 2  z  zi 2
2    0
2
2
V

2
.
(1)
Здесь первый интеграл берется по объему V, ограниченному поверхностью S, и
представляет потенциал объемных зарядов с плотностью  r 0 , z0  ; r 0 , z0 - координаты
расположения объемных зарядов; второй интеграл определяет потенциал поверхностных
зарядов, расположенных на поверхности S с поверхностной плотностью зарядов  r i , zi  ;
r i , zi - координаты расположения поверхностных зарядов;  0 - диэлектрическая
постоянная:

K t  
2

0
d
1  t  sin 2  
2
- полный эллиптический интеграл первого рода, где  -
переменная интегрирования, t 0 
2 r  r0
r
 r 0   z  z0 
2
2
, ti 
2 r  ri
r
 r i   z  zi 
2
2
.
Элементарную часть объема dV можно представить в виде dV  2r 0  dr 0  dz 0 , а
элементарную часть контура dS - в виде dS  2r i  dC , где dC - элемент дуги контура
электродов.
Предыдущее выражение может быть записано в следующем эквивалентном виде:
U r , z 

1
  0
1
  0


  r 0  K t 0   dF

r
F

 r 0   z  z0 
2
2
.
  r i  K t i   dC

r
C
(2)
 r i   z  zi 
2
2
Здесь интегрирование ведется по области F , принадлежащей меридианной плоскости
(   const ), занятой объемным зарядом, и контуру С .
Входящая в предыдущие выражения плотность объемного заряда  считается на этапе
расчета поля электронно-оптической системы известной функцией координат. В отличие
от этого распределение плотности поверхностного заряда  на данном этапе расчета
неизвестно. По этой причине необходимы предварительные сведения о распределении
плотности поверхностного заряда. Для этого будем перемещать точку наблюдения по
поверхности (контуру электродов), тогда левая часть уравнения будет известной
функцией координат, и любое из приведенных выше уравнений можно рассматривать как
интегральное уравнение относительно неизвестной функции  . Решение этих уравнений
может быть выполнено численными методами с использованием ЭВМ.
При использовании численных методов необходимо перейти от непрерывной
плотности поверхностного заряда  к набору дискретных заряженных точек,
расположенных по контуру электрода. Также необходимо выбрать набор точек
наблюдения, причем точки наблюдения тоже должны находиться на контуре электрода.
Зная потенциал электрода для каждой точки наблюдения, уравнение (2) будет выглядеть
следующим образом [16]:
n
q 
i
m  1,2,3,..., n  ,
 Um
im
(3)
i 1
где U m - потенциалы в точках наблюдения, в нашем случае это известные напряжения на
электродах;  im - значения функции Грина свободного пространства для точек
наблюдения с индексами m и точек расположения зарядов qi ; для аксиальносимметричного поля
 im 
1
2    0
2

K t i 
r
 r 0   z  z0 
2
2
.
После перебора всех рассматриваемых m точек получаем матричное уравнение
следующего типа:
 im  qi  U m ,
(4)
где qi - искомый набор величин точечных зарядов в точках r i .
Это уравнение может быть разрешено относительно qi различными методами, но при
условии применения вычислительной техники наиболее подходит метод Гаусса [17]. Суть
метода состоит в следующем: матрица  im преобразовывается в матрицу с нулями под
главной диагональю, что достигается с помощью последовательного умножения строк на
необходимые величины и дальнейшего сложения строк. Хотя этот метод решения
достаточно громоздок, но из-за простоты алгоритма он наиболее рационален для
применения на ЭВМ.
После решения матричного уравнения (4) получаем набор величин точечных зарядов
qi с координатами r i , zi , что эквивалентно электродам заданной формы и заданным
потенциалам. Далее следует рассматривать электрическое поле в электронной пушке, как
электрическое поле от набора точечных зарядов qi . Основной характеристикой поля
является напряженность. Для определения напряженности электрического поля
рассмотрим рис.1.
A
h
l
r
r
α
x
R
dα
qi
Рисунок 1 – Схема определения напряженности поля от заряда
qi в точке А
Из рис.1 видно, что каждый i -й заряд меридианной плоскости - это не что иное как
кольцо зарядов (элементарная заряженная часть аксиально-симметричного электрода).
Используя известное выражение для определения напряженности в некоторой точке А
через величину заряда qi и его расстояние до точки А, получаем выражение для
радиальной составляющей напряженности от каждого i -го кольца зарядов:
E rim 
qi
2

где
K (t r 1 , t r 2 ) 
2

0
2
 0
r
r i
t r22
ri rm
ri  rm
 rm 
 r i   zm  zi 
2
m
1  t r21  sin 2  
1 
параметрами t r 1  2 


 sin  
2
2
 d
3
, tr2  2 
-

3
 K t r 1 , t r 2  ,
эллиптический
ri rm
r i
(5)
2
2
 r m   zi
2
 zm 
радиальный
интеграл
с
.
Суммарная радиальная составляющая напряженности в m -й точке будет суммой всех
радиальных напряженностей от qi -х зарядов: E rm   E rim .
i
Аналогично определяются выражения для продольных составляющих: Ezm   Ezim ,
i
где
E zim 

K (t z ) 
2

0
1 
qi
2
2
d
t z2
 0

 sin  
2
3

r
zm
 r i   zm  zi 
2
m
 zi 
2

3
 K t z  ,
(6)
2
- продольный эллиптический интеграл с параметром t z  t r 2 .
Воспользовавшись соотношениями (5), (6) для составляющих напряженности
электрического поля можно, запрограммировав их для ЭВМ, рассчитать структуру поля в
необходимой точке при практически любой геометрии аксиально-симметричных
электродов.
2 ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
Объектом исследования в данной работе является аксиально-симметричный
электронный пучок [10,18], который используется в СВЧ приборах типа ЛБВ. Он
формируется трехэлектродной пушкой со сходящейся оптикой и далее вводится в
замедляющую систему, где фокусируется периодическим магнитным полем. В
исследуемой пушке катод выполнен в виде керна из вольфрам-рениевой смеси с
активированной поверхностью. Пушки такого типа позволяют формировать электронные
пучки с диметром в кроссовере порядка 0,1-0,5мм, током пучка I=1-30мА при
ускоряющих напряжениях 2000-6000В.
На рис.2 показана конфигурация электродов аксиально-симметричной электронной
пушки, состоящей из следующих элементов, которые находятся под различными
потенциалами U: 1 – фокусирующий электрод (UФ), 2 – первый анод (UА1), 3 – второй
анод (UА2), 4 – термокатод (UК).
На первом этапе численного моделирования по вышеописанной методике
рассчитывается структура поля электронно-оптической системы (рис.2.) При этом
важным является вопрос оптимального разбиения электродов на элементарные
заряженные участки. Предварительный анализ показал, что разбиение электродов на
большое количество элементарных участков приводит к замедлению счета, возрастанию
относительной погрешности и не рациональному использованию памяти вычислительной
машины. Установлено, что оптимальным является вариант укрупнения элементарных
участков в центральной области электродов с последовательным 25% их уменьшением к
краям, причем крайние элементарные участки смежных электродов также должны быть
соизмеримы друг с другом. Данная схема позволяет достигнуть минимальной
погрешности при расчете реальной структуры электрического поля. Далее, путем метода
суперпозиционного наложения полей зарядов элементарных участков, определяется
структура результирующего электрического поля в пролетном канале электроннооптической системы.
2
3
1
4
Рисунок 2 – Конфигурация электродов исследуемой аксиально-симметричной электронной пушки
При траекторном анализе электроны помещаются («вбрасываются») в область
электрического поля катода с некоторой начальной кинетической энергией, определяемой
работой выхода конкретного типа катода. Для описанного выше катода, с учетом разброса
электронов по скоростям, начальная энергия составляет 10±5эВ. Учет разброса электронов
по направлениям предполагает, что их максимальное отклонение, относительно оси ЭП,
составляет ±10º. В дальнейшем движение заряженных частиц описывается системой
дифференциальных уравнений, для решения которой используется пошаговый метод
Эверхарта [19] (аналог метода Рунге-Кутта). На первом этапе, без учета
пространственного заряда, рассчитываются траектории порядка 1000 частиц,
эмитируемых различными участками катода. Далее вводится фактор, учитывающий
кулоновское отталкивание электронов без влияния фокусирующего электрического поля.
Следующий этап заключается в учете фокусирующего действия поля электродов. Процесс
итераций повторяется до тех пор, пока огибающая ЭП не приобретет своего равновесного
положения. При этом относительная погрешность корректировок данного метода
составляет менее 0,1%.
В качестве примера апробации вышеописанной методики численного анализа на рис.3а
для значений UФ=0В, UА1=180В, UА2=3200В изображено семейство огибающих
траекторий ЭП при различных значениях тока пучка. Из приведенных графиков видно,
что рост тока (рост пространственного заряда) приводит к увеличению диаметра пучка и
смещению кроссовера к внешней поверхности второго анода электронной пушки. На
рис.3б показана общая картина распределения электрического поля и конфигурация
движения ЭП при вышеуказанных потенциалах на электродах пушки для значения тока 2
мА.
Результаты экспериментальных исследований статических характеристик аксиальносимметричного ЭП удовлетворительно коррелирует с траекторным численным анализом.
В частности, по методике [8,9] было установлено, что диаметр пучка на расстоянии от
второго анода l=4,4мм составляет 0,5мм. Дальнейшее увеличение расстояния, в
отсутствие фокусирующего поля, приводит к росту диаметра пучка до 2мм при l=24мм.
Построение границ ЭП по полученным значениям диаметра указывает на расположение
кроссовера пучка, расположен в области пролетного канала второго анода, что
соответствует при заданных режимах работы пушки результатам траекторного анализа
(рис.3а). Отличие экспериментальных данных от теоретического анализа связано с
отсутствием учета колебаний электронов, вторичных электронов из электродов и т.д.
а)
б)
Рисунок 3 – Результаты траекторного анализа движения электронов:
а) семейство огибающих траекторий ЭП при различных значениях тока пучка;
б) общая картина распределения электрического поля и конфигурация движения ЭП
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе развита методика расчета полей и траекторного анализа электронов для
произвольной конфигурации аксиально-симметричных электронно-оптических систем.
Расчет структуры электрического поля базируется на разделении всех электродов пушки
на элементарные заряженные участки с последующим применением известного метода
интегральных уравнений. При компьютерном моделировании движения электронов
применяется неявный пошаговый метод Эверхарта, позволяющий при прохождении в
фокусирующем поле порядка 1000 частиц сформировать огибающую пучка с учетом
влияния пространственного заряда и теплового разброса электронов по скоростям.
Сравнительный анализ численного счета и экспериментальных исследований для
конкретной конструкции электронно-оптической системы указывает на достоверность
полученных результатов.
SUMMARY
In work the design procedure of fields and trajectory the analysis of electron beam for axial-symmetric electron-optical systems is offered.
Calculation of structure of electrical field is based on the dividing all electrodes to elementary charged parts. With computer modeling is used
method of Everhart for forming envelope of electron beam. Attached method keep in mind influence of space charge, energy spread and direction
spread of electrons. Calculations for concrete electron-optical system which correlate with results before the received experimental data are
carried spent.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Методы экспериментального исследования структуры электронных пучков приборов О- и М-типов / Александров Г.И., Заморозков
Б.М., Калинин А.Ю. и др. // Обзоры по электронной технике. Сер. Электроника СВЧ.- 1973.- Вып. 8 (108). – 206с.
Минкин А.М. О точности измерения параметров электронного пучка // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Электроника.- 1964.- Вып.
12.- С.125-136.
Евтифеева Е.С., Кибардина Л.А. Методы экспериментального исследования электронных пучков // Вопросы радиоэлектроники.
Сер. Электроника.- 1968.- Вып. 8.- С.54-107.
Муравьев А.А., Заморозков Б.М. Невозмущающий метод исследования структуры электронных пучков // Электронная техника.
Сер. Электроника СВЧ.- 1967. - Вып. 5.- С.28-40.
Гинзбург В.Л., Цытович В.Н. Переходное излучение и переходное рассеяние.- М.: Наука, 1984.- 260с.
Гинзбург В.Л. Излучение равномерно движущихся источников (эффект Вавилова-Черенкова, переходное излучение и некоторые
другие явления) // Усп.физ.наук.- 1996.- Т.166, №10. – С.1033-1042.
Балаклицкий И.М., Белоусов Е.В., Корж В.Г. Фотометод исследования электронных пучков с высокой удельной мощностью // Изв.
вузов Радиоэлектроника.- 1982.- Т.25, №5.- С.38-42.
Пат. 2008737 С1 РФ, МКИ H01J-9/42, G01T1/29 / Способ определения статических характеристик электронных пучков малого
сечения и устройство для его осуществления: Пат. 2009737 С1 РФ, МКИ H01J-9/42, G01T1/29 / Е.В. Белоусов, Г.С. Воробьев, В.Г.
Корж, К.А. Пушкарев, В.Я. Чабань (Украина) - №5007898; Заявлено 9.07.91.; Опубл. 28.02.94.; Бюл. №4.- 1с.
Анализатор электронного пучка / Белоусов Е.В., Воробьев Г.С., Корж В.Г. и др.
// Приборы и техника эксперимента.- 1996.№6.- С.137-138.
Воробьев Г.С., Нагорный Д.А., Пушкарев К.А., Белоусов Е.В., Корж В.Г. Фотометод диагностики аксиально-симметричных
электронных пучков //Изв. вузов. Радиоэлектроника.- 1998. - №6. - С.59-64.
Method for measurement of static parameters of axially symmetric beam in devices of mm-wave band / Borisenko A.A., Belousov Y.V.,
Vorobyov G.S., et.al. // International Journal of Infrared and Millimeter Waves.– 1988.– Vol. 19, №2.– P.243-250.
Новые методы расчета электронно-оптических систем: Сб. научн. статей.- М.: Наука, 1983.- 238с.
Проектирование электронно-оптических систем ЭВП О-типа с многоскоростным электронным пучком в режиме диалога с ЭВМ.
Математическая модель, алгоритмы
/ Морев С.П., Журавлева В.Д., Филатов В.А. и др. // Электронная техника. Сер.
Электроника СВЧ.- 1990.- Ч.1., Вып. 4(428).- С.37-42.
Проектирование электронно-оптических систем ЭВП О-типа с многоскоростным электронным пучком в режиме диалога с ЭВМ.
Ч.2. Программа, примеры расчета / Морев С.П., Журавлева В.Д., Филатов В.А. и др. // Электронная техника. Сер. Электроника
СВЧ.- 1990.- Вып. 5(429).- С.34-37.
Силадьи М. Электронная и ионная оптика / Пер. с англ. - Мир, 1990.- 639с.
Молоковский С.И., Сушков А.Д. Интенсивные электронные и ионные пучки.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Энергоатомиздат, 1991.304с.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.- М.: Наука, 1977.- 872с.
Белоусов Е.В., Воробьев Г.С., Корж В.Г., Пушкарев К.А., Рубан А.И. Сравнительный анализ статических характеристик ленточных
и аксиально-симметричных электронных пучков // Вестник СумГУ.- 1997. №1(7).- С.73-76.
Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики.- М.: Наука, 1984.- 136с.
Поступила в редакцию 24 ноября 2003 г.