Документ Microsoft Office Word (2)x

8 класс
1) Зная, что
m 1
n  2m
 , найдите значение выражения
.
n 3
m
Ответ:
𝟑−𝟐∗𝟏 𝟑−𝟐 𝟏
𝟏
=
𝟏
= =1
𝟏
2) Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x 2  y 2  69
.
Ответ (x-y)(x+y)=69
x-y=±69
x+y=±1
x-y=±1
x+y=±69
x-y=±23
x+y=±3
x-y=±3
x+y=±23
3) Число А составляет 92% от числа В. Если В увеличить на 700, то оно будет
больше А на 9% от увеличенного В. Найдите эти числа.
Ответ: 58604
4) Найдите два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24.
Ответ: x = 1, y = 6. Тогда сами числа равны 24 и 144.
x = 2, y = 5. Тогда сами числа равны 48 и 120.
x = 3, y = 4. Тогда сами числа равны 72 и 96.
5 * 415 * 99  4 * 320 * 89
5) Вычислить
.
5 * 29 * 619  7 * 229 * 276
Ответ:
5 * 415 * 99  4 * 320 * 89
5 * 29 * 619  7 * 229 * 276
𝟓∗𝟏𝟎𝟕𝟑𝟕𝟒𝟏𝟖𝟐𝟒∗𝟑𝟖𝟕𝟒𝟐𝟎𝟒𝟖𝟗−𝟒∗𝟑𝟒𝟖𝟔𝟕𝟖𝟒𝟒𝟎𝟏∗𝟏𝟑𝟒𝟐𝟏𝟕𝟕𝟐𝟖
=
𝟓∗𝟓𝟏𝟐∗𝟔𝟎𝟗𝟑𝟓𝟗𝟕𝟒𝟎𝟎𝟏𝟎𝟒𝟗𝟔−𝟕∗𝟓𝟑𝟔𝟖𝟕𝟎𝟗𝟏𝟐∗𝟑𝟖𝟕𝟒𝟐𝟎𝟒𝟖𝟗
=
𝟓∗𝟒𝟏𝟓𝟗𝟖𝟗𝟓𝟖𝟐𝟓𝟏𝟑𝟖𝟑𝟏𝟗𝟑𝟔−𝟒∗𝟒𝟔𝟕𝟗𝟖𝟖𝟐𝟖𝟎𝟑𝟐𝟖𝟎𝟔𝟎𝟗𝟐𝟖
=
𝟓∗𝟑𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟏𝟖𝟔𝟖𝟖𝟓𝟑𝟕𝟑𝟗𝟓𝟐−𝟕∗𝟐𝟎𝟕𝟗𝟗𝟒𝟕𝟗𝟏𝟐𝟓𝟔𝟗𝟏𝟓𝟗𝟔𝟖
𝟐𝟎𝟕𝟗𝟗𝟒𝟕𝟗𝟏𝟐𝟓𝟔𝟗𝟏𝟓𝟗𝟔𝟖𝟎−𝟏𝟖𝟕𝟏𝟗𝟓𝟑𝟏𝟐𝟏𝟑𝟏𝟐𝟐𝟒𝟑𝟕𝟏𝟐
𝟏𝟓𝟓𝟗𝟗𝟔𝟎𝟗𝟑𝟒𝟒𝟐𝟔𝟖𝟔𝟗𝟕𝟔𝟎−𝟏𝟒𝟓𝟓𝟗𝟔𝟑𝟓𝟑𝟖𝟕𝟗𝟖𝟒𝟏𝟏𝟕𝟕𝟔
𝟐𝟎𝟕𝟗𝟗𝟒𝟕𝟗𝟏𝟐𝟓𝟔𝟗𝟏𝟓𝟗𝟔𝟖
𝟏𝟎𝟑𝟗𝟗𝟕𝟑𝟗𝟓𝟔𝟐𝟖𝟒𝟓𝟕𝟗𝟖𝟒
=
=2
6) Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде,
проходят по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются
обратно. В какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с
быстрым течением или в реке с медленным течением?
Ответ: больше времени потребуется на поездку в реке с
более быстрым течением.
7) Найти положительное четырехзначное число, кратное 7 и представляющее собой
сумму куба и квадрата некоторого целого числа.
Ответ 3528
8) Основания трапеции равны 3 и 2. Диагонали его равны 4 и 3. Найдите площадь
трапеции.
Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 3 см, АВ = 2 см, BD = 4 см и АС = 3 см.
Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём
диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник
АСВ'. Так как ВС'CD – параллелограмм, то В'С = 4 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ
+ CD = 5 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как
АС2+ В'С2= (АВ')2= 3*2+4*2(2)*2=6+32=38, то треугольник АВ'С –
прямоугольный, причем ?АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что
угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°.
Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине
произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна
1/2AC*BD *sin 90° = 1/2*12*5*1 = 30 см2.
Ответ: 30 см2, 90°
9) Доказать, что если a  b  c  0 , то a  a c  abc  b c  b  0
10)
Узнать, через сколько минут после того как часы показывали 4 часа,
минутная стрелка догнала часовую?
3
2
2
3
Решение: Для того, чтобы минутная стрелка догнала часовую, ей
надо пройти на 45 минутных делений больше часовой. Поскольку
часовая стрелка проходит одно минутное деление на 12 минут
меньше, то она за каждую минуту проходит
1
12
минутного
деления, и, следовательно, минутная стрелка нагоняет часовую
за каждую минуту на
11
12
минутных делений, а на 45 минутных
𝟏𝟏 𝟐𝟒𝟎
делений потребуется: 20 =
𝟏𝟐 𝟏𝟏
𝟏𝟏 𝟐𝟒𝟎
Ответ 20 =
𝟏𝟐 𝟏𝟏
= 21
9
11
= 21
минут.
9
11
минут.