IX Международная Жаутыковская олимпиада по математике Алматы, 2013 16 января 2013 года, 9.00–13.30 Второй день (Каждая задача оценивается в 7 баллов) 4. Дан квадратный трехчлен p ( x ) с вещественными коэффициентами. Докажите, что 1 существует натуральное n, для которого уравнение p( x) не имеет рациональных n корней. 5. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF , в котором AB DE , BC EF , CD FA . Расстояние между прямыми AB и DE равно расстоянию между прямыми BC и EF и расстоянию между прямыми CD и FA . Докажите, что сумма AD BE CF не превосходит периметра шестиугольника ABCDEF . 6. Таблица 10 10 разбита на 100 единичных квадратиков. Назовем блоком любой квадрат 2 2 , состоящий из четырех единичных квадратиков этой таблицы. Множество С, состоящее из n блоков, покрывает таблицу (т.е. каждый единичный квадратик таблицы накрыт некоторым блоком из С), но никакие n 1 блоков из С эту таблицу не покрывают. Найдите наибольшее возможное значение n. IX International Zhautykov Olympiad in Mathematics Almaty, 2013 16 January, 2013, 9.00–13.30 Second day (Each problem is worth 7 points) 4. A quadratic trinomial p ( x ) with real coefficients is given. Prove that there is a positive 1 integer n such that the equation p( x) has no rational roots. n 5. Given convex hexagon ABCDEF with AB DE , BC EF , CD FA . The distance between the lines AB and DE is equal to the distance between the lines BC and EF and to the distance between the lines CD and FA . Prove that the sum AD BE CF does not exceed the perimeter of hexagon ABCDEF . 6. A 10 10 table consists of 100 unit cells. A block is a 2 2 square consisting of 4 unit cells of the table. A set C of n blocks covers the table (i.e. each cell of the table is covered by some block of C ) but no n 1 blocks of C cover the table. Find the largest possible value of n.