Введение в Теорию струн и Конформную теорию поля.

Ââåäåíèå â Òåîðèþ ñòðóí è Êîíôîðìíóþ òåîðèþ ïîëÿ. Ëåêöèè íà Çèìíåé Øêîëå ÈÒÝÔ 2009. À.À.Áåëàâèí, Ã.Ì.Òàðíîïîëüñêèé Èíñòèòóò òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè èì. Ë.Ä. Ëàíäàó ÐÀÍ, ×åðíîãîëîâêà, 142432, Ðîññèÿ 1 Ïëàí Ëåêöèé 1. Íåêðèòè÷åñêèå ñòðóíû è Êîíôîðìíàÿ àíîìàëèÿ. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ñòðóíà. Ïîäõîä Ïîëÿêîâà. Ôèêñàöèÿ êàëèáðîâêè. j - äèôôåðåíöèàëû è îïåðàòîðû Ëàïëàñà. Ïðåäñòàâëåíèå det ∆j â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà. Ðåãóëÿðèçàöèÿ äåòåðìèíàíòîâ. ßäðî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Àñèìïòîòèêà ÿäðà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Êîíôîðìíàÿ àíîìàëèÿ. Êîíôîðìíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå 2. Êîíôîðìíûé Áóòñòðàï. Ïîëÿ, Êîððåëÿòîðû è Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà â Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà â ÊÒÏ â èñêðèâëåííîì ïðîñòðàíñòâå, ïñåâäîòåíçîð. Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà, Àëãåáðà Âèðàñîðî. Ïðèìàðíûå ïîëÿ è èõ ïîòîìêè. Ñèíãóëÿðíûå âåêòîðà è ïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ "âûðîæäåííûõ ïîëåé". Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ "âûðîæäåííûõ ïîëåé". 3. Ìèíèìàëüíàÿ Òåîðèÿ Ñòðóí. Ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë Ïîëÿêîâà â êîíôîðìíîé êàëèáðîâêå. Ôîðìóëèðîâêà Äàâèäà - Äèñòëåðà - Êàâàè. Ñïåêòð ãðàâèòàöèîííûõ ðàçìåðíîñòåé. Ìèíèìàëüíàÿ 2-ìåðíàÿ Ãðàâèòàöèÿ Ëèóâèëëÿ. 1 Íåêðèòè÷åñêèå ñòðóíû è Êîíôîðìíàÿ àíîìàëèÿ. Îñíîâíûì âîïðîñîì â ýòîé ëåêöèè áóäåò ïîñòðîåíèå êâàíòîâîé òåîðèè äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ñòðóíû. Ïîíÿòèå îá îäíîìåðíîì îáúåêòå, ñòðóíå, äâèæóùåìñÿ â D-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùå- íèåì ïîíÿòèÿ î òî÷å÷íîì îáúåêòå, ÷àñòèöå. Åñòåñòâåííûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ êëàññè÷åñêîé ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ñòðóíû ñîñòîèò â ãåîìåòðè÷åñêîì 2 îáîáùåíèè ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè äëÿ ÷àñòèöû. Íàïîìíèì îñíîâíûå ìîìåíòû. 1.1 Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà. Ïîëîæåíèå òî÷å÷íîé ÷àñòèöû â òîðîì xµ (τ ), ãäå τ d èçìåðåíèÿõ îïèñûâàåòñÿ d-ìåðíûì âåê- ïàðàìåòð, íàïðèìåð, ñîáñòâåííîå âðåìÿ. Ðàññìîòðèì xµ0 = xµ (0) â êîíå÷µ µ íóþ òî÷êó x1 = x (1). Äëÿ äåéñòâèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âûáèðàåòñÿ ïðîñòåéøàÿ èíâàðèàíòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïóòè åãî äëèíà çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíåíèè ÷àñòèöû èç íà÷àëüíîé òî÷êè Z S=m Z ds = m 1 p (ẋµ )2 dτ. (1) 0 Ïàðàìåòð m èìååò ðàçìåðíîñòü ìàññû, è ìîæíî ïîêàçàòü, äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ìàññîé ÷àñòèöû. Äåéñòâèå (1) èìååò èíâàðèàíòíûé âèä, òî åñòü íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû. Ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ýêñòðåìàëüíîé òðàåêòîðèè, èëè ìèíèìàëüíîãî ïóòè ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè. Ïåðåéäåì ê êâàíòîâîé òåîðèè, â êîòîðîé ÷àñòèöà ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî ëþáûì òðàåêòîðèÿì, âåäóùèì èç íà÷àëüíîé òî÷êè â êîíå÷íóþ. Â ýòîì ñëó÷àå èìååò ñìûñë ãîâîðèòü ëèøü îá àìïëèòóäå, èëè âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå. Àìïëèòóäà ïåðåõîäà äàåòñÿ õîðîøî èçâåñòíûì èíòåãðàëîì ïî ïóòÿì A(x(0) → x(1)) = X µ e−S[x (τ )] , (2) ãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì ïóòÿì, âåäóùèì èç íà÷àëüíîé òî÷êè â êîíå÷íóþ, è êàæäûé ïóòü âõîäèò ñ âåñîì, îïðåäåëÿåìûì åãî äëèííîé. Îñòàíîâèìñÿ ÷óòü ïîäðîáíåå íà ñèììåòðèÿõ äåéñòâèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äåéñòâèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ðåïàðàìåòðèçàöèè τ → τ̃ (τ ). Ðàññìîò- ðèì òåïåðü àìïëèòóäó ïåðåõîäà Z A(x(0) → x(1)) = Dx(τ )e−m R1√ 0 (ẋµ )2 dτ . (3) Ýòîò èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê îäíè è òå æå ïóòè ñ ðàçëè÷íûìè ðåïàðàìåòðèçàöèÿìè áóäóò ó÷èòûâàòüñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Êàê ìû óâèäèì, òî÷íî òàêàÿ æå ïðîáëåìà âîçíèêíåò è â òåîðèè ñòðóí. Ìû íå áóäåì çäåñü èññëåäîâàòü ýòó ïðîáëåìó äàëåå, à òîëüêî îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç òåîðèè ñ äåéñòâèåì (1) ìîæíî ïîëó÷èòü, èçó÷àÿ äðóãóþ òåîðèþ ñ äåéñòâèåì 1 √ (ẋµ )2 gdτ, (4) g(τ ) p g(τ )dτ èíâàðèàíòíûé ãäå ïîëå g(τ ) ìåòðè÷åñêèé òåíçîð íà ïóòè, µ 2 ýëåìåíò îáúåìà è âåëè÷èíà (ẋ ) /g(τ ) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ðåïàðàS̃[xµ (τ ), g(τ )] = Z ìåòðèçàöèè ïóòè. 3 1.2 Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ñòðóíà. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ðåëÿòèâèñòñêîé ñòðóíû áóäåì äåéñòâîâàòü ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì ÷àñòèöû. Ýâîëþöèÿ ñòðóíû â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè õàðàêòåðèçóåòñÿ íàáîðîì öèè µ 1 2 X (x , x ) D ôóíêöèé X µ (x1 , x2 ), ãäå µ = 0, 1, ...D − 1. Ôóíê- çàäàþò îòîáðàæåíèå ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè, â ïðîñòðàíñòâî- âðåìÿ. Îñíîâíûì ïðèíöèïîì ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ÿâëÿåòñÿ èäåÿ ðåïàðàìåòðèçàöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè xµ → x̃µ = f µ (x1 , x2 ). (5) Ãåîìåòðè÷åñêèì àíàëîãîì äëèíû ìèðîâîãî ïóòè ÷àñòèöû, ÿâëÿåòñÿ ïëîùàäü ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè ñòðóíû, ò.å. ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, êîòîðóþ çàìåòàåò ñòðóíà ïðè ñâîåé ýâîëþöèè â ïðîñòðàíñòâå âðåìåíè. Ïîýòîìó, ïðîñòåéøåå ðåïàðàìåòðèçàöèîííî èíâàðèàíòíîå äåéñòâèå èìååò âèä SN G [X µ ] = Z q det(∂a X µ ∂b Xµ )dx1 dx2 , (6) êîòîðîå èçâåñòíî êàê äåéñòâèå Íàìáó-Ãîòî. Ýòî äåéñòâèå ðåïàðàìåòðèçàöèîííî èíâàðèàíòíî ïî ïîñòðîåíèþ. Êðîìå òîãî, ýòî äåéñòâèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû Ïóàíêàðå â µ X → Aµν X ν D-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå µ +B . (7) Àìïëèòóäó ïåðåõîäà ñòðóíû èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå îïðåäåëèì êàê ñóììó ïî âñåì ïîâåðõíîñòÿì, ñîåäèíÿþùèì íà÷àëüíóþ è êîíå÷íóþ êîíôèãóðàöèþ ñòðóíû Z= def e−(ïëîùàäü) = X Z µ DX µ e−SN G [X ] , (8) Ïî ïîâåðõíîñòÿì SN G ãäå äåéñòâèå Íàìáó-Ãîòî, îïðåäåëÿåìîå âûðàæåíèåì (6). Êîãäà ìû èñïîëüçóåì âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû â âèäå ñóììû ïî ïîâåðõíîñòÿì, îñíîâíûì òðåáîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü âõîäèò â ñóììó òîëüêî îäèí ðàç, íî êîãäà ìû ïåðåïèñûâàåì àìïëèòóäó â òåðìèíàõ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà, ó íàñ íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé ñ÷èòàòü, ÷òî îäíà ïîâåðõíîñòü ó÷èòûâàåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç, ïîñêîëüêó ðàçëè÷íûì êîíôèãóðàöèÿì X µ (x) ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü îäèíàêîâûå ïîâåðõ- íîñòè. Íåîáõîäèìî àêêóðàòíî âûäåëèòü âêëàä, ïðîèñõîäÿùèé îò ïåðåó÷åòà ïîâåðõíîñòåé. Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê ýòîìó âîïðîñó, íàäî êàêèì-íèáóäü îáðàçîì îïðåäåëèòü ìåðó èíòåãðèðîâàíèÿ â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ýòîãî, ìîæíî âûáðàòü ìåòðèêó â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ò.å. ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ôóíêöèÿìè, íàïðèìåð, â âèäå kδX µ k2 = 1.3 Z (δX µ )2 d2 x. (9) Ïîäõîä Ïîëÿêîâà. Àíàëîãè÷íî, äåéñòâèå Íàìáó-Ãîòî ìîæíî ïåðåïèñàòü â äðóãîì, êëàññè÷åñêè ýêâèâàëåíòíîì âèäå ñ èñïîëüçîâàíèåì äâóìåðíîé ìåòðèêè gab , îïðåäåëåí- íîé íà ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè ñòðóíû. SP [X µ , gab ] = Z √ g ab ∂a X µ ∂b Xµ gd2 x. 4 (10) Èíûìè ñëîâàìè, ìû ââîäèì â òåîðèþ äâóìåðíóþ ãðàâèòàöèþ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ îáùåêîîðäèíàòíîé èíâàðèàíòíîñòè. Òàêîå äåéñòâèå ñ òî÷êè çðåíèÿ äâóìåðíîé òåîðèè ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèåì äëÿ D ñêàëÿðíûõ ïîëåé X µ (x1 , x2 ), ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûõ ñ ãðàâèòàöèåé gab . Äåéñòâèå (10), èçâåñòíîå êàê äåéñòâèå Ïîëÿêîâà, èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ðåïàðàìåòðèçàöèè ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè è äåéñòâèÿ ãðóïïû Ïóàíêàðå. Êëàññè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü äåéñòâèé (6) è (10) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gab ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ δSp /δgab = 0, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ôîðìóëå 1 ∂a X µ ∂b Xµ − gab g cd ∂c X µ ∂d Xµ = 0, 2 èç êîòîðîé íå òðóäíî ïîëó÷èòü, ââåäÿ îáîçíà÷åíèå ñòâî hab = (11) hab = ∂a X µ ∂b Xµ , ðàâåí- 1 gab g cd hcd . 2 (12) Äàëåå, âû÷èñëÿÿ äåòåðìèíàíò îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì det hab = 1 cd g hcd det gab . 2 (13) Èç ôîðìóë (12) è (13) ëåãêî íàõîäèì, ÷òî g hab √ = √ab , g h (14) ñâîðà÷èâàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì gab , èìååì √ 2 h g ab hab = √ , g (15) ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â äåéñòâèå Ïîëÿêîâà, ïîëó÷àåì äåéñòâèå ÍàìáóÃîòî ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà. Äåéñòâèå Ïîëÿêîâà (10) èíâàðèàíòíî òàêæå îòíîñèòåëüíî ëîêàëüíûõ Âåéëåâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé gab → ρ(x)gab (16) Cèììåòðèÿìè êëàññè÷åñêîãî äåéñòâèÿ Ïîëÿêîâà ÿâëÿþòñÿ: 1. Ðåïàðàìåòðèçàöèÿ ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè ñòðóíû xa → f a (x1 , x2 ), ïðè- ÷åì X µ → X̃ µ , (17) c gab (x1 , x2 ) → g̃ab (x1 , x2 ) = d ∂f ∂f gcd (f 1 (x), f 2 (x)). ∂xa ∂xb (18) 2. Äåéñòâèå ãðóïïû Ïóàíêàðå X µ → Aµν X ν + B µ . (19) 3. Ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ gab (x) → ρ(x)gab (x). 5 (20) Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Âåéëÿ èãðàåò âàæíóþ ðîëü. Ñëåäñòâèåì ýòîé èíâàðèàíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âåëè÷èíà gab íè- êàê íå ó÷àñòâóåò â äèíàìèêå íà êëàññè÷åñêîì óðîâíå. Äåéñòâèòåëüíî, â äâóõ èçìåðåíèÿõ ìåòðè÷åñêèé òåíçîð âêëþ÷àåò òðè ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Êðîìå òîãî, ìû èìååì ðîâíî òðè êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè äâå ðåïàðàìåòðèçàöèè è îäíî ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ñòðóíû ñòðîèòñÿ â ôîðìàëèçìå èíòåãðàëà ïî ïóòÿì. Ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì òî÷å÷íîé ÷àñòèöû, àìïëèòóäà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñòðóíû èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå äàåòñÿ èíòåãðàëîì ïî âñåì ìèðîâûì ïîâåðõíîñòÿì ñòðóíû. Ïîýòîìó, îñíîâíàÿ çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â êîððåêòíîì îïðåäåëåíèè èíòåãðàëà ïî ðèìàíîâûì ïîâåðõíîñòÿì. Èäåÿ Ïîëÿêîâà [1, 2] çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè äåéñòâèÿ (10) äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû â âèäå def Z= Z Z √ 2 ab µ DgDX exp − g ∂a X ∂b Xµ gd x . µ (21) Ýòîò èíòåãðàë íóæäàåòñÿ â äàëüíåéøåì äîîïðåäåëåíèè. Ìåðû â ïðîñòðàíñòâå ïîëåé è ìåòðèê ñòðîÿòñÿ ïî ýëåìåíòàì îáúåìà è èìåþò âèä kδX µ k2 = kδgab k2 = Z Z √ (δX µ )2 gd2 x, √ (22) gg ac g bd δgab δgcd d2 x. (23) Çàìåòèì, ÷òî òàêèì îáðàçîì îïðåäåëåííûå èíòåðâàëû ÿâíî èíâàðèàíòíû òîëüêî îòíîñèòåëüíî äâóõ ñèììåòðèé: 1. îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû Ïóàíêàðå 2. îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ. Â ñèëó ëîêàëüíîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ðåïàðàìåòðèçàöèé, èíòåãðàë (21) ñîäåðæèò áåñêîíå÷íûé ôàêòîð, êîòîðûé äîëæåí áûòü óñòðàíåí âûáîðîì ïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå âñåõ ìåòðèê, êîòîðóþ îðáèòû ãðóïïû ðåïàðàìåòðèçàöèé ïåðåñåêàþò ïî îäíîìó ðàçó. Âîïðîñ, îñòàíåòñÿ ëè èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Âåéëÿ íà êâàíòîâîì óðîâíå îñòàåòñÿ îòêðûòûì è áóäåò âûÿñíÿòüñÿ ÿâíûì âû÷èñëåíèåì. Îïðåäåëèì ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå äëÿ ïîëåé Xµ e ,gab ] e−SX [gab ] = Èíòåãðàë ïî Xµ Z Dg X µ e−SP [X µ ïî ôîðìóëå . (24) â ôîðìóëå (24) ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâûì. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, äåéñòâèå Ïîëÿêîâà ïðèîáðåòàåò âèä µ Z SP [X , gab ] = ãäå √ X µ ∆0 X µ gd2 x, 1 √ ∆0 = − √ ∂a g ab g∂b g (25) (26) îïåðàòîð Ëàïëàñà. Ââåäåì ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ýòîãî îïåðàòîðà ∆0 Ψn = λn Ψn . 6 (27) Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé îïðåäåëèì ôîðìóëîé (22), òî åñòü √ Ψ̄Φ gd2 x. Z (Ψ, Φ) = (28) Òåïåðü ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïåðàòîð Ëàïëàñà ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì (Ψ, ∆0 Φ) = (∆0 Ψ, Φ). (29) Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, îðòîãîíàëüíû. Ïîýòîìó áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé, ìîæíî âûáðàòü èç åãî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé. Ïóñòü âñå íàøè âû÷èñëåíèÿ ïðîõîäÿò â íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ìåòðèêå gab . Òîãäà ãàóññîâ èíòåãðàë ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ è â ðåçóëüòàòå ìû ïî- ëó÷àåì Z ãäå èíäåêñ [g] µ Dg X µ e−SP [X íàä îïåðàòîðîì ∆0 ,gab ] [g] = (det∆0 )−D/2 , (30) óêàçûâàåò ìåòðèêó â êîòîðîé îí îïðåäå- ëÿåòñÿ. 1.4 Ôèêñàöèÿ êàëèáðîâêè. Ïðåæäå ÷åì äâèãàòüñÿ äàëüøå, îáðàòèìñÿ ê ôóíêöèîíàëüíîìó èíòåãðàëó Ïîëÿêîâà Z Z= Z √ ab gg ∂a X µ ∂b Xµ d2 x . DgDg X µ exp − (31) Èç-çà ïàðàìåòðèçàöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè, êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü ó÷èòûâàåòñÿ â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå (31) ìíîãî, à òî÷íåå áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. Ýòî ñâÿçàííî ñ òåì, ÷òî îáúåì ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ áåñêîíå÷åí. Íåîáõîäèìî âûäåëèòü ôàêòîð, ó÷èòûâàþùèé ýòîò ïåðåó÷åò ïîâåðõíîñòåé. Äëÿ ýòîãî óäîáíî èñïîëüçîâàòü çàìå÷àòåëüíûé ãåîìåòðè÷åñêèé ôàêò, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî ëþáàÿ ðèìàíîâà ìåòðèêà â ñëó÷àå òîïîëîãèè ñôåðû, ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåé ðåïàðàìåòðèçàöèè ê âèäó eϕ(x) ĝab (x), âàííîé ìåòðèêè òî åñòü ê ìåòðèêå îòëè÷àþùåéñÿ îò íåêîòîðîé ôèêñèðî- ĝab ëîêàëüíûì ðàñòÿæåíèåì. Ïîýòîìó èíòåãðèðîâàíèå â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê ìîæíî ïðîèçâîäèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê ïîâåðõíîñòü Σ (ðèñ. 1), íà êîòîðîé ìåòðèêè èìåþò Ðèñ. 1: Ïðîöåäóðà ôèêñàöèè êàëèáðîâêè âèä eϕ ĝ , ãäå ĝ íåêîòîðàÿ (áýêãðàóíä) ìåòðèêà. Îñòàëüíûå ìåòðèêè ïîëó- ÷àþòñÿ èç ìåòðèê òàêîãî âèäà â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ãðóïïû ðåïàðàìåòðèçàöèé. Èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïåðåéòè îò èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì ìåòðèêàì ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ìåòðèêàì íà ïîâåðõíîñòè Σ è ïî ýëåìåí- òàì ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ. À çàòåì, ïîëüçóÿñü èíâàðèàíòíîñòüþ ìåðû è äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíî ðåïàðàìåòðèçàöèé, âûäåëèòü îáúåì îðáèòû ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ â êà÷åñòâå ôàêòîðà, êîòîðûé ìîæåò áûòü óñòðàíåí ïåðåîïðåäåëåíèåì ìåðû â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê. 7 gab , Ïðîèçâîëüíóþ ìåòðèêó ìû âñåãäà ìîæåì ïðåäñòàâèòü â âèäå gab = [eϕ ĝ]fab = eϕ(f (x)) ãäå, êàê ìû óæå ãîâîðèëè âûøå, ðàæàÿ âàðèàöèþ δgab ĝ ∂f c (x) ∂f d (x) ĝcd (f (x)), ∂xa ∂xb (32) íåêîòîðàÿ ("áýêãðàóíä") ìåòðèêà. Âû- ÷åðåç âàðèàöèè δϕ è δf , ìîæíî ïîëó÷èòü δgab = [δϕeϕ ĝab + ∇a ωb + ∇b ωa ]f = ∂f c (x) ∂f d (x) (δϕeϕ ĝab + ∇a ωb + ∇b ωa )(f (x)), ∂xa ∂xb = ãäå ω a (x) = δf a (f −1 (x)). Ïîä ∇a (33) ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñòàíäàðòíàÿ êîâàðèàíò- íàÿ ïðîèçâîäíàÿ âû÷èñëåííàÿ â ìåòðèêå eϕ ĝ , à ñèìâîë f −1 îçíà÷àåò îáðàò- íóþ ôóíêöèþ. Ôîðìóëó (33) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå k ⊥ δgab = [δgab + δgab ]f , (34) ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèÿ k δgab = [(δϕ + ∇c ωc )eϕ ĝ]ab , ⊥ δgab Îòìåòèì, ÷òî âàðèàöèÿ (35) ϕ c = [∇a ωb + ∇b ωa − e ĝab ∇ ωc ]. ⊥ δgab (36) ÿâëÿåòñÿ áåññëåäîâûì ñèììåòðè÷íûì òåíçî- ðîì 2 ðàíãà. Òåïåðü ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (34) äëÿ âàðèàöèè ìåòðèêè â ôîðìóëó äëÿ íîðìû (23), è ó÷èòûâàÿ, ÷òî òàê îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé (23) ýëåìåíò äëèíû â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê ðåïàðàìåòðèçàöèÿì, â èòîãå íàõîäèì kδgab k2 = Z eϕ p ⊥ ĝ 2(δϕ + ∇c ωc )2 + (e−ϕ ĝ ac )(e−ϕ ĝ bd )δgab δgñ⊥d d2 x = k ⊥ 2 = kδgab k2 + kδgab k . Çäåñü íîðìû íà âàðèàöèÿõ k kδgab k2 = ⊥ 2 kδgab k = Z Z ⊥ δgab è k δgab îïðåäåëåíû â ñëåäóþùåì âèäå eϕ p eϕ p −ϕ ac −ϕ bd ⊥ ⊥ 2 ĝ(e ĝ )(e ĝ )δgab δgcd d x. ĝ[2(δϕ + ∇c ωc )2 ]d2 x, ×òîáû ïîíÿòü ñòðóêòóðó (39), âûáåðåì íûå êîîðäèíàòû (z, z̄). (37) ĝab = δab . (38) (39) Óäîáíî ââåñòè êîìïëåêñ- Îíè ñâÿçàííû ñ âåùåñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè ôîð- ìóëàìè z = x1 + ix2 , z̄ = x1 − ix2 , Â êîîðäèíàòàõ 1 ∂ = ∂z = ∂ = (∂1 − i∂2 ), ∂z 2 ∂ 1 = ∂z̄ = ∂¯ = (∂1 + i∂2 ), ∂ z̄ 2 ∂1 = ∂z + ∂z̄ , (40) ∂2 = i(∂z − ∂z̄ ). (41) (z, z̄): gab dxa dxb = eϕ(z,z̄) dzdz̄ = ρ(z, z̄)dzdz̄ , òî åñòü ìåòðè- ÷åñêèé òåíçîð ïðèíèìàåò âèä gab = gzz gz̄z gzz̄ gz̄z̄ = 0 ρ/2 ρ/2 0 , g ab = g zz g z̄z g zz̄ g z̄z̄ = 0 2/ρ 2/ρ 0 (42) 8 . Ýëåìåíò îáúåìà ïðè èíòåãðèðîâàíèè â êîîðäèíàòàõ (z, z̄ ) ñâÿçàí ñ ýëåìåí- 1 òîì îáúåìà â êîîðäèíàòàõ (x √ , x2 ) ñëåäóþùåé ôîðìóëîé gdx1 dx2 = ρdzdz̄ , 2i (43) dzdz̄ 2i . Âåðíåìñÿ ê ôîðìóëå (39), â êîíôîðìíî ïëîñêîé ìåòðèêå â êîîðäèíàòàõ (z, z̄ ) èìååì äëÿ êðàòêîñòè, â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïèñàòü ⊥ 2 kδgab kg Z = z z̄ z z̄ ρ(g g ⊥ ⊥ δgz̄⊥z̄ δgzz + g z̄z g z̄z δgzz δgz̄⊥z̄ )d2 z Òåïåðü íàïèøåì â ÿâíîì âèäå âûðàæåíèÿ äëÿ d2 z = Z 1 ⊥ ⊥ 2 δg δg d z. ρ zz z̄z̄ =8 ⊥ δgzz è δgz̄⊥z̄ , (44) ñëåäóþùèå èç ôîðìóëû (36) ⊥ δgzz = 2∇z ωz = 2(∂z ωz − Γzzz ωz ) = ρ∂ ω̄, ¯ δg ⊥ = 2∇z̄ ωz̄ = 2(∂z̄ ωz̄ − Γz̄ ωz̄ ) = ρ∂ω, z̄ z̄ z̄ z̄ (45) (46) ãäå ìû ó÷ëè, ÷òî â êîíôîðìíî ïëîñêîé ìåòðèêå ñèìâîë Êðèñòîôåëÿ èìååò òîëüêî äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû Γzzz = ∂z ρ/ρ, à òàêæå ââåëè îáîçíà÷åíèÿ Γz̄z̄z̄ = ∂z̄ ρ/ρ, ω z = ω, ω z̄ = ω̄ . (47) Ïîýòîìó òåïåðü âûðàæåíèå (44) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ⊥ 2 kδgab kg = 2 Ââåäåì îïåðàòîð Z 1 2 ¯ (2ρ∂ ω̄)(2ρ∂ω)d z=2 ρ ∆−1 = −4ρ−2 ∂ρ∂¯. Z 2 ¯ ρ2 ω̄(−4ρ−2 ∂ρ∂ω)d z. (48) Âûáðàííûå çäåñü îáîçíà÷åíèÿ áóäóò ïîÿñíåíû â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì îêîí÷àòåëüíî çàïèñàòü âèä íîðìû âàðèàöèè ⊥ δgab ⊥ 2 kδgab k =2 Z ρ2 ω̄∆−1 ωd2 z. (49) Òåïåðü îïðåäåëèì ìåðó è íîðìó â ïðîñòðàíñòâå äèôôåîìîðôèçìîâ. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íîðìà, èíâàðèàíòíàÿ ïî îòíîøåíèþ ê ëåâîìó è ïðàâîìó óìíîæåíèþ. Îíà äàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé kδf k2g Z = √ ggab (x)ω a (x)ω b (x)d2 x. (50) Ýòà ôîðìóëà îáëàäàåò äâóìÿ âèäàìè èíâàðèàíòíîñòè. Ðàññìîòðèì ñïåðâà ïðàâîå óìíîæåíèå, à èìåííî çàìåíó f → f ◦ α, f (x) → f (α(x)). (51) (52) Òîãäà èìååì f −1 (x) → α−1 (f −1 (x)), (53) δf (x) → δf (α(x)), ω(x) → δf (α(α −1 9 (54) (f −1 (x)))) = ω(x). (55) Òàêèì îáðàçîì, óæå ñàìà ôîðìà ω(x) èíâàðèàíòíà ïðè ïðàâîì óìíîæå- íèè íà äèôôåîìîðôèçì. Åñëè òåïåðü ðàññìîòðåòü ëåâîå óìíîæåíèå, ìû ïîëó÷èì f → β ◦ f, a (56) a f (x) → β (f (x)), (57) ∂β a (f ) b δf a (x) → δf (x), ∂f b ∂β a (β −1 ) b −1 −1 δf a (f −1 (x)) → δf (f (β (x))), ∂(β −1 )b ∂β a (β −1 ) b −1 ω a (x) → ω (β (x)). ∂(β −1 )b Â èòîãå ωa (58) (59) (60) ïðè óìíîæåíèè ñëåâà ïðåîáðàçóåòñÿ êàê îáû÷íûé (êîíòðàâàðè- àíòíûé) âåêòîð. Ïåðåïèøåì òåïåðü òàêæå è ôîðìóëó (50) â êîîðäèíàòàõ, ãäå ìåòðèêà êîíôîðìíî ïëîñêàÿ, ïîëó÷èì Z 2 kδf k = ρ2 ω̄ωd2 z. (61) Èñõîäÿ èç ýòîãî âûðàæåíèÿ è ôîðìóë (38), (49) è (61), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî [eϕ ĝ] Dgab = det ∆−1 Dĝ ϕDeϕ ĝ f, (62) ãäå íîðìà â ïðîñòðàíñòâå âåéëåâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé îïðåäåëåíà ïî ôîðìóëå kδϕk2ĝ à Dĝ ϕ = Z p ĝeϕ(x) (δϕ(x))2 d2 x, (63) ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò îáúåìà. Ìû âèäèì, ÷òî ïðè ôèêñàöèè êà- ëèáðîâêè, âîçíèêàåò èíòåãðàë ïî âñåì äèôôåîìîðôèçìàì, ïðè÷åì ìåðà ýòîãî èíòåãðàëà çàâèñèò îò òî÷êè êàëèáðîâî÷íîé ïîâåðõíîñòè, òî åñòü îò eϕ ĝ . Çàìåòèì, ÷òî Z [Vol(di)]eϕ ĝ = Z Deϕ ĝ f = Dg f, (64) g ëþáàÿ ìåòðèêà, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç eϕ ĝ ïðè ïðîèçâîëüíîé ðåïàðàìåòðèϕ f çàöèè, ò.å. g = [e ĝ] . Âòîðîå ðàâåíñòâî â ôîðìóëå (64) ñëåäóåò èç ñâîéñòâ R íîðìû (50) íà äèôôåîìîðôèçìàõ. Òàêèì îáðàçîì Dg f åñòü ïî ñóòè îáúåì ϕ îðáèòû, ïåðåñåêàþùåé êàëèáðîâî÷íóþ ïîâåðõíîñòè â òî÷êå e ĝ . Ïîýòîìó, äëÿ êîððåêòíîãî îïðåäåëåíèÿ ìåðû Dg â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå, íàì ñëåäóåò ðàçäåëèòü ýëåìåíò îáúåìà â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê Dgab íà îáúåì ãäå îðáèòû Dg = Dgab . [Vol(di)]eϕ ĝ (65) Òåïåðü ó÷èòûâàÿ, ÷òî èç-çà èíâàðèàíòíîñòè äåéñòâèÿ Ïîëÿêîâà è ìåðû â ïðîñòðàíñòâå ïîëåé Xµ ïî îòíîøåíèþ ê ðåïàðàìåòðèçàöèÿì, ìîæíî íàïè- ñàòü Z Dg X µ e−SP [X µ ,gab ] Z ϕ f D[eϕ ĝ]f X µ e−SP [Xµ ,[e ĝ]ab ] = Z ϕ [eϕ ĝ] = Deϕ ĝ Xµ e−SP [Xµ ,e ĝab ] = (det ∆0 )−D/2 . = 10 (66) Â ðåçóëüòàòå ÷åãî äëÿ ïîëíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà ìû ïîëó÷àåì Z Z= 1.5 DgDg X µ e−SP (X µ ,gab ) Z [eϕ ĝ] [eϕ ĝ] −D/2 Dĝ ϕ det ∆−1 (det ∆0 = ) . (67) j - äèôôåðåíöèàëû è îïåðàòîðû Ëàïëàñà. Ðàíåå ôèêñèðîâàâ êîíôîðìíóþ êàëèáðîâêó, ìû ñâåëè ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ê äâóì äåòåðìèíàíòàì îïåðàòîðîâ Ëàïëàñà ∆0 è ∆−1 . Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê ïîÿñíåíèþ âîïðîñà î çàâèñèìîñòè ýòèõ äåòåðìèíàíòîâ îò ìåòðèêè, ââåäåì íåêîòîðîå îáîáùåíèå ýòèõ îïåðàòîðîâ Ëàïëàñà. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì ïîëÿ Ψ(j) (z, z̄), Ψ̄(j) (z, z̄) , êîòîðûå ïðè ãîëîìîðôíûõ ïðåîáðà- çîâàíèÿõ z → w(z), z̄ → w̄(z̄) (68) ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðàâèëàì Ψ(j) (z, z̄) → Ψ0(j) (z, z̄) = (j) Ψ̄ 0(j) (z, z̄) → Ψ̄ (z, z̄) = dw dz j dw̄ dz̄ j Ψ(j) (w(z), w̄(z̄)), (69) Ψ̄(j) (w(z), w̄(z̄)), (70) j -äèôôåðåíöèàëàìè. Ñëåäóþùèì øàãîì Lj äåéñòâóþùèå íà ïðîñòðàíñòâå j èõ â (1 − j) äèôôåðåíöèàëû òàêèå òåíçîðíûå ïîëÿ íàçûâàþòñÿ íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü îïåðàòîðû äèôôåðåíöèàëîâ è ïåðåâîäÿùèå Lj : Vj → V̄1−j , ¯ Lj = 2ρ−j ∂. Ïðèìåðîì òàêîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð (71) (72) 1 2 L−1 â ôîðìóëå (46). Èñ- ïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå ìåòðèêè ρ(z, z̄) → ρ0 (z, z̄) = è çàêîí ïðåîáðàçîâàíèé çîð Lj Ψ(j) Ψj , dw dz dw̄ dz̄ dw 2 ρ(w, w̄), ρ(w, w̄) = dz (73) îïðåäåëåííûé âûøå, ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî òåí- ïðåîáðàçóåòñÿ êàê (j) Lj Ψ (z, z̄) → dw̄ dz̄ 1−j òî åñòü ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì Lj Ψ(j) (w, w̄), (74) (1−j)-äèôôåðåíöèàëîì. Òåïåðü j -äèôôåðåíöèàëîâ, ïî íàì ñëåäóåò îïðåäåëèòü ìåòðèêó íà ïðîñòðàíñòâå ôîðìóëå (j) (Ψ (z), Φ (j) Z (z)) = ρ1−j Ψ̄(j) (z̄)Φ(j) (z)d2 z. (75) Ýòî âûðàæåíèå èíâàðèàíòíî ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ (68). Ââåäåì ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (1−j) (L+ , Φ(j) ) = (Ψ(1−j) , Lj Φ(j) ), j Ψ 11 (76) òîãäà èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ (1−j) (Ψ Z ¯ (j) d2 z = ) = ρj Ψ̄(1−j) 2ρ−j ∂Φ Z Z = − 2∂¯Ψ̄(1−j) Φ(j) d2 z = ρ1−j (−2ρj−1 ∂Ψ(1−j) )Φ(j) d2 z , Lj Φ (j) (77) ñëåäóåò, ÷òî j−1 L+ ∂, j = −L̄1−j = −2ρ è ýòîò îïåðàòîð äåéñòâóåò èç ïðîñòðàíñòâà òåíçîðîâ ðàíãà ñòðàíñòâî òåíçîðîâ ðàíãà j. (78) (1 − j) â ïðî- Îïðåäåëèì îïåðàòîð Ëàïëàñà ïî ôîðìóëå ∆j = L+ j Lj = −L̄1−j Lj . (79) Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî òàê îïðåäåëåííûé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì è èìååò ñëåäóþùèé ÿâíûé âèä ¯ ∆j = −4ρj−1 ∂ρ−j ∂. (80) Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò îïåðàòîð ∆1−j = Lj L+ j = −Lj L̄1−j . (81) Òåïåðü îïðåäåëèì íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýòèõ îïåðàòîðîâ (j) (j) ∆j Ψ(j) n = λn Ψn , (82) ∆1−j Φ(1−j) n (83) = λ(1−j) Φ(1−j) . n n Ïîêàæåì, ÷òî íàáîð íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îäèíàêîâ, òî åñòü (j) (1−j) λn = λn . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà, ïîäåéñòâóåì íà îáå ÷àñòè âûðàæåíèÿ (j) (j) (j) L+ j Lj Ψn = λn Ψn , îïåðàòîðîì Lj . (84) Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì (j) (j) (j) (Lj L+ j )(Lj Ψn ) = λn (Lj Ψn ), (85) (j) Ψn ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà ∆j ñ (j) (j) ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λn , òî ôóíêöèÿ Lj Ψn áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà ∆1−j ñ òåì æå ñàìûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Òàêèì (j) îáðàçîì, óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïóñòü òåïåðü Ψn ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ + îïåðàòîðà Lj Lj , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííîé è ñ íåíóëåâûì ñîáñòâåí- òî åñòü, åñëè ôóíêöèÿ íûì çíà÷åíèåì. Ðàññìîòðèì (j) Lj Ψn è âû÷èñëèì íîðìó ýòîé ôóíêöèè + (j) (j) (j) (j) (j) (j) (Lj Ψ(j) n , Lj Ψn ) = (Ψn , Lj Lj Ψn ) = λn (Ψn , Ψn ). (86) Ýòà è äðóãèå ôîðìóëû, ïðèâåäåííûå âûøå, ïîòðåáóþòñÿ íàì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. 12 1.6 Ïðåäñòàâëåíèå det ∆j â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà. ∆j ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåΨ è Φ ÿâëÿþùèõñÿ ñîîòâåòñòâåííî (1−j) è j -äèôôåðåíöèàëàìè. Äåòåðìèíàíò îïåðàòîðîâ ãðàëà ïî ïîëÿì Âû÷èñëèì ÷åìó ðàâíî âûðàæåíèå, âèäà Z Z= D(Ψ, Φ) exp 2πi(Ψ(1−j) , L̄j Φ(j) ) + 2πi(Ψ̄(1−j) , Lj Φ̄(j) ) , (87) D(Ψ, Φ) = DΨDΨ̄DΦDΦ̄. Ðàçëîæåíèå ïîëåé Φ(j) è Φ̄(j) ïî ñîáñòâåí¯ j = −L1−j L̄j è ∆j = −L̄1−j Lj íûì íîðìèðîâàííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðîâ ∆ ãäå ìåðà ïðèíèìàåò âèä Φ(j) = X φn Φ(j) n , (j) (Φ(j) n , Φm ) = δmn , (j) ¯ j Φ(j) ∆ n = λ n Φn , (88) φ̄n Φ̄(j) n , (j) (Φ̄(j) n , Φ̄m ) = δmn , (j) ∆j Φ̄(j) n = λn Φ̄n . (89) n Φ̄(j) = X n Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ìû ìîæåì ðàçëîæèòü ïîëå Ψ(1−j) ïî íîðìèðîâàííûì ôóíêöèÿì Ψ(1−j) = X (1−j) Ψn = L̄j Φ(j) √ n , ñëåäîâàòåëüíî λn ψm Ψ(1−j) , m (1−j) Ψ(1−j) , Ψ = δmn , n m (90) ψ̄m Ψ̄(1−j) , m (1−j) Ψ̄(1−j) , Ψ̄ = δmn . n m (91) m Ψ̄(1−j) = X m Òàêèì îáðàçîì ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî ! (1−j) (Ψ , L̄j Φ (j) )= X ψm Ψ(1−j) , L̄j m X m n X X φn Φ(j) n = Xp λn ψn φn , (92) n ! (Ψ̄(1−j) , Lj Φ̄(j) ) = ψ̄m Ψ̄(1−j) , Lj m m Ìåðû Φ DΨDΨ̄ è DΦDΦ̄ φ̄n Φ̄(j) n = n Xp λn ψ̄n φ̄n . (93) n â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå ïðè ðàçëîæåíèè Ψ è ïî ñèñòåìàì íîðìèðîâàííûõ îðòîãîíàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ïðîñòî ïðåâðàùàþòñÿ â ïðîèçâåäåíèÿ DΨDΨ̄ = Y dψn dψ̄n , n DΦDΦ̄ = Y dφn dφ̄n . (94) n Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì äëÿ âûðàæåíèÿ (87) ñëåäóþùóþ ôîðìóëó Z= Z Y p dψn dφn dψ̄n dφ̄n exp(2πi λn (ψn φn + ψ̄n φ̄n )) = n 1 =Q = (det ∆j )−1 . λn n 13 (95) ΨèΦ Ψ è Φ áûëè áû ãðàññìàíîâû- Â òîëüêî ÷òî ïðèâåäåííîì âû÷èñëåíèè ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ êîììóòèðóþùèìè ïîëÿìè. Åñëè æå ìè ïîëÿìè, òî Z D(Ψ, Φ) exp det ∆j = 1 1 (1−j) (j) (1−j) (j) (Ψ , L̄j Φ ) + (Ψ̄ , Lj Φ̄ ) . 2π 2π (96) det ∆−1 çàïèøåòñÿ â âèäå Z 1 ¯ + B̄∂ C̄ d2 z , B ∂C D(B, Ñ) exp − 2π Èç ýòîãî â ÷àñòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî Z det ∆−1 = (97) ãäå ìû ââåëè ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ãðàññìàíîâûõ ïîëåé Φ (−1) , à èìåííî (2) B=Ψ Ψ(2) , è (−1) =Φ . Âåëè÷èíà Z 1 ¯ + B̄∂ C̄ d2 z SGh = B ∂C 2π è Ñ (98) íàçûâàåòñÿ äåéñòâèåì äóõîâ. 1.7 Ðåãóëÿðèçàöèÿ äåòåðìèíàíòîâ. Òåïåðü ïðèñòóïèì ê èññëåäîâàíèþ çàâèñèìîñòè áàÿ âàðèàöèÿ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gab , det ∆j îò ìåòðèêè g. Ëþ- êàê ìû çíàåì, ýêâèâàëåíòíà íåêî- òîðîìó êîíôîðìíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ è íåêîòîðîé ðåïàðàìåòðèçàöèè. Ïîñêîëüêó äåòåðìèíàíòû îïåðàòîðîâ Ëàïëàñà ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ðåïàðàìåòðèçàöèé, òî íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü òîëüêî, êàê îíè ìåíÿþòñÿ ïðè ëîêàëüíîì ðàñòÿæåíèÿõ ìåòðèêè. Äåòåðìèíàíò ëþáîãî îïåðàòîðà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýòîãî îïåðàòîðà. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ôîðìàëüíî çàïèñàòü log det ∆j = X log λ(j) n . (99) n Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ñóììà ðàñõîäèòñÿ ïðè áîëüøèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ (j) λn . Åñëè âû÷åñòü èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ëîãàðèôì äåòåðìèíàíòà îïåðàòîðà Ëàïëàñà ∆j0 , îïðåäåëåííîãî â êàêîé-òî äðóãîé ôèêñèðîâàííîé ìåòðèêå ρ0 , òî ðàñõîäèìîñòü îñòàíåòñÿ, íî óìåíüøèòñÿ. Ýòó ðàçíîñòü ìîæíî çàïèñàòü êàê (j) log det ∆j − log det ∆j0 = X log (j) λn0 (j) =− λn0 n ãäå çà λn XZ n 0 ∞ (j) e−λn t (j) − e−λn0 t dt, t ìû îáîçíà÷èëè ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà Ëàïëàñà ýòîì âàðèàöèÿ âûðàæåíèÿ (100) ïî ìåòðèêå ðèàöèåé âûðàæåíèÿ log det ∆j . ρ (100) ∆j0 . Ïðè î÷åâèäíî ñîâïàäàåò ñ âà- Çàìåíèì òåïåðü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è ñóììèðîâàíèÿ (j) X n log λn (j) λn0 Z =− 0 ∞ (j) dt X −λn(j) t (e − e−λn0 t ). t n (101) Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè (101) ðàñõîäèòñÿ ïðè ìàëûõ t. Ýòà ðàñõîäèìîñòü ýêâèâàëåíòíà ðàñõîäèìîñòè èñõîäíîé ñóììû ïðè áîëüøèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ (j) λn . Ìû ìîæåì ñäåëàòü ýòî âûðàæåíèå êîíå÷íûì, ââåäÿ îáðåçàíèe 14 t, íà íèæíåì ïðåäåëå â èíòåãðàëå ïî îïðåäåëèâ òåì ñàìûì ðåãóëÿðèçî- âàííûå çíà÷åíèÿ äëÿ ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ äåòåðìèíàíòîâ, êàê ∞ Z log det ∆j − log det ∆j0 = − (j) dt X −λn(j) t (e − e−λn0 t ). t n (102) -îáðåçàíèå ýêâèâàëåíòíî îáðåçàíèþ íà áîëüøèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ (j) λn . Ïîñêîëüêó òåïåðü ïðàâàÿ ÷àñòü (102) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü êîíå÷íûõ âûðàæåíèé, ìû ìîæåì ïðèíÿòü ôîðìóëó (log det∆j ) = − XZ n ∞ (j) e−λn t dt = − t Z ∞ dt −∆j t Tre , t (103) êàê îïðåäåëåíèå äëÿ ðåãóëÿðèçîâàííîãî äåòåðìèíàíòà. Òàêîé ñïîñîá ðåãóëÿðèçàöèè íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðèçàöèåé ìåòîäîì ñîáñòâåííîãî âðåìåíè. 1.8 ßäðî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Äëÿ ïîñëåäóþùèõ âû÷èñëåíèé óäîáíî âûðàçèòü ðåãóëÿðèçîâàííûé ÷åðåç òåïëîâîå ÿäðî Kj (t, z, u), −t∆j e ãäå f (z, z̄) det ∆j îïðåäåëåííîå ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì Z f (z, z̄) = Kj (t, z, u)f (u, ū)d2 u, (104) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèÿ ïîýòîìó ôóíêöèþ f (z, z̄) (j) Ψn (z, z̄) îïåðàòîðà ∆j ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü, êàê f (z, z̄) = X an Ψ(j) n (z, z̄), (105) n ãäå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè Z 1−j f (u, ū)Ψ̄(j) (u, ū)d2 u. n (u, ū)ρ an = (106) Â èòîãå ïîëó÷àåì e−t∆j f (z, z̄) = e−t∆j X an Ψ(j) n (z, z̄) = X (j) an e−λn t Ψ(j) n (z, z̄) = n Z Xn (j) (j) 1−j e−λn t Ψ̄(j) (u, ū)d2 u, = n (u, ū)Ψn (z, z̄)f (u, ū)ρ (107) n îòêóäà âèäíî, ÷òî Kj (t, z, u) = X (j) (j) 1−j e−λn t Ψ(j) (u, ū) = n (z, z̄)Ψ̄n (u, ū)ρ n = X (j) e (j) e−λn t Ψ(j) n (z, z̄)Ψn (u, ū), (108) n ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå ÿäðî Kj (t, z, u) (j) 1−j e (j) Ψ (u, ū). n (u, ū) = Ψ̄n (u, ū)ρ Î÷åâèäíî, ÷òî óäîâëåòâîðÿþò òåïëîâîìó óðàâíåíèþ ∂ + ∆j Kj (t, z, u) = 0, ∂t 15 ïðè t > 0, (109) ãäå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïåðåìåííîé ïðè t=0 z . Òàêæå çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (104) âûãëÿäèò êàê Z f (z, z̄) = Kj (0, z, u)f (u, ū)d2 u, (110) ñëåäîâàòåëüíî Kj (0, z, u) = δ (2) (u − z). (111) Çäåñü äåëüòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà êàê îáû÷íî Z f (z, z̄)δ (2) (u − z)d2 z = f (u, ū). (112) Òåïåðü âñïîìèíàÿ ôîðìóëó (103), è èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (108), íàõîäèì ∞ Z dt Tre−∆j t = − t (log det ∆j ) = − Z ∞ dt t Z Kj (t, z, z)d2 z. (113) Êàê îáñóæäàëîñü âûøå, íàñ èíòåðåñóåò íå ñàìà ýòà âåëè÷èíà, à åå âàðèàöèÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Âåéëÿ. Ñíà÷àëà íàéäåì âàðèàöèþ ñàìîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà ïðè Âåéëåâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∆j = −L̄1−j Lj , ïîëó÷èì δρ δρ L̄1−j Lj + j L̄1−j Lj , ρ ρ (114) δρ δρ −∆j t −∆j t + j L̄1−j Lj e . dtTr (j − 1) ∆j e ρ ρ (115) δ∆j = −(j − 1) ïîýòîìó ∞ Z δ(log det∆j ) = Ïîä çíàêîì ñëåäà âî âòîðîì ñëàãàåìîì ìîæíî ñäåëàòü öèêëè÷åñêóþ ïåðåñòàíîâêó, à ïåðâîå ñëàãàåìîå ëåãêî ïåðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå, ïîýòîìó èìååì ∞ Z δ(log det∆j ) = dtTr δρ ∂ δρ (j − 1) − e−∆j t + jLj e−∆j t L̄1−j . ρ ∂t ρ (116) Äëÿ òîãî ÷òîáû çàïèñàòü â ïîäõîäÿùåì âèäå âòîðîå ñëàãàåìîå, èñïîëüçóåì ôîðìóëó èç ëèíåéíîé àëãåáðû AeBAt B = ABeABt A, B − îïåðàòîðû. ãäå (117) Ïîýòîìó âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (116) ðàâíî Z ∞ dtTr δρ ∂ −∆1−j t j e , ρ ∂t (118) è â ðåçóëüòàòå íàõîäèì δ(log det∆j ) = Tr δρ (j − 1)e−∆j − je−∆1−j = ρ Z δρ = ((j − 1)Kj (, z, z) − jK1−j (, z, z)) d2 z. ρ Òàêèì îáðàçîì êîíôîðìíàÿ âàðèàöèÿ ôóíêöèè Kj (t, z, z) det ∆j ïðè ìàëûõ âðåìåíàõ. 16 (119) îïðåäåëÿåòñÿ àñèìïòîòèêîé 1.9 Àñèìïòîòèêà ÿäðà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïðèñòóïèì òåïåðü ê âû÷èñëåíèþ àñèìïòîòèêè ÿäðà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðåäåëå t → 0. Ýòî âû÷èñëåíèå ìîæíî ïðîäåëàòü â íàèáîëåå ïðîñòîé ôîðìå, ðàçâèâ òåîðèþ âîçìóùåíèé ïî îòêëîíåíèþ ìåòðèêè ρ(z) îò òî÷êè ê òî÷êå. Êàê ìû çíàåì èç ôèçèêè, ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â òåëå ïðîïîðöèîíàëüíà √ t, ïîýòîìó ïðè t→0 ñóùåñòâåííûé âêëàä â áóäóò âíîñèòü òî÷êè, îòñòîÿùèå îò íà÷àëüíîé íà ðàññòîÿíèè Îáîçíà÷èì ρ(z) = eσ(z) è ðàçëîæèì ∂σ(z) √ Kj t. â ðÿä Òåéëîðà z2 z̄ 2 σzz + σz̄z̄ + z z̄σzz̄ + ..., 2 2 δσ(z) = σ(z) − σ(0) = zσz + z̄σz̄ + à ðàçëîæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé σ(z) ∆z ∼ (120) ïðèìåò âèä ∂σ(z) = σz + zσzz + z̄σzz̄ + .... (121) Ìû ðåøàåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ∂ + ∆j Kj (t, z, u) = δ(t)δ (2) (z − u), ∂t ãäå îïåðàòîð Ëàïëàñà â òåðìèíàõ σ (122) èìååò âèä ¯ ∆j = −4e−σ [∂ ∂¯ − j(∂σ)∂], Ïðåäñòàâèì ∆j êàê ñóììó îïåðàòîðà (0) ∆j (123) è âîçìóùåíèÿ Vj (0) ∆j = ∆j + Vj , (124) ïðè÷åì (0) ∆j Âîçìóùåíèå ¯ = −4e−σ(0) ∂∂. (125) (1) (2) Vj = Vj + Vj (δσ(z))2 (1) ¯ Vj (z) = −4 −δσ(z) + + ... e−σ(0) ∂ ∂, 2 (2) ¯ V (z) = 4je−σ(0) (1 − δσ(z) + ...)(∂σ(z))∂. Vj óäîáíî ðàçáèòü íà äâå ÷àñòè (126) (127) j Äëÿ òîãî ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò íå î÷åíü óäîáíûõ ìíîæèòåëåé â âûðàæåíèÿõ äëÿ âîçìóùåíèÿ îïðåäåëèì K̃j , êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç Kj ïðîñòûì ïåðåìàñøòàáèðîâàíèåì âðåìåíè K̃j (t, z, u) = Kj ( ρ(0) t, z, u). 4 (128) Ýòà íîâàÿ ôóíêöèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ ∂ ¯ + Ṽj K̃j (t, z, u) = δ(t)δ (2) (z − u), − ∂∂ ∂t (129) ãäå (1) Ṽj (2) Ṽj = (δσ)2 δσ − 2 ¯ ∂ ∂, ¯ = j(1 − δσ)(∂σ)∂. 17 (130) (131) Ïóñòü K̃j0 ðåøåíèå íàøåãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè áåç âîçìóùåíèÿ Ṽj , òî åñòü óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ∂ ¯ − ∂ ∂ K̃j0 (t, z, u) = δ(t)δ (2) (z − u). ∂t (132) Åãî ðåøåíèå âûãëÿäèò êàê K̃j0 (t, z, u) 1 |z − u|2 = exp − . πt t Áóäåì ïîðÿäîê çà ïîðÿäêîì âû÷èñëÿòü âåëè÷èíó K̃j . (133) Èç óðàâíåíèÿ (K̃j0 )−1 K̃j + Ṽj K̃j = I (134) K̃j = K̃j0 − K̃j0 Ṽj K̃j0 + K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 + .... (135) ñëåäóåò, ÷òî Â ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, â ÿâíîé çàïèñè, èìååì K̃j0 Ṽj K̃j0 Zt = Z dt1 d2 uK̃j0 (t − t1 , z − u)Ṽj (u)K̃j0 (u). (136) 0 Kj òîëüz = 0. Òàêæå íóæíî íàéòè ëèøü òó ïîïðàâêó, 0 êîòîðàÿ íå èñ÷åçàåò ïðè t → 0, òî åñòü ïîïðàâêó ∼ t . Ïðîñòàÿ îöåíêà ïîêà- Êðîìå òîãî, ñðàçó çàìåòèì, ÷òî íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü ÿäðî êî íà äèàãîíàëè, ïîýòîìó çûâàåò, ÷òî â ýòó ïîïðàâêó âíîñÿò âêëàä òîëüêî ïåðâûé è âòîðîé ïîðÿäêè òåîðèè âîçìóùåíèé. À òåïåðü îáðàòèìñÿ ñîáñòâåííî ê âû÷èñëåíèþ. Ïåðâûé ïîðÿäîê òåîðèè âîçìóùåíèé. Âêëàä (1) Ṽj . Îöåíèì òåïåðü âêëàä ÷ëåíà (1) K̃j0 Ṽj K̃j0 . Äëÿ íà÷àëà, ðàçëî- æèì âîçìóùåíèå â ðÿä Òýéëîðà (1) Ṽj = X (1) ¯ akl ūk ul ∂∂, (137) (k,l)>0,(k+l)>1 ãäå (1) akl êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âîçìóùåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà, ñëåäóþùèå èç ôîðìóëû (120). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â (136), ïåðâàÿ ïîïðàâêà òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ (1) Vj ðàâíà (1) K̃j0 Ṽj K̃j0 = Z Z 1 X (1) t dt1 ūu ūu 2 k l ¯ = 2 akl d u exp − ū u ∂ ∂ exp − . π t − t1 t1 0 t1 (t − t1 ) (138) k,l Äèôôåðåíöèðóÿ ýêñïîíåíòó ïîä èíòåãðàëîì ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ūu ¯ − t1 = − 1 + ∂∂e t1 ūu t21 ūu e− t1 , â (1) K̃j0 Ṽj K̃j0 = Z Z 1 X (1) t dt1 1 ūu t = 2 akl d2 u − + 2 uk ūl exp −uū . π t1 t1 t1 (t − t1 ) 0 t1 (t − t1 ) k,l (139) 18 k Ñäåëàåì îöåíêó çíà÷åíèé ∼ t0 . l, è êîòîðûå íàì ïîòðåáóþòñÿ äëÿ ïîïðàâêè Îáîçíà÷èì t Z (1) Ikl Z dt1 t1 (t − t1 ) = 0 1 ūu d u − + 2 t1 t1 2 t u ū exp −uū t1 (t − t1 ) k l . (140) Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Z (141) tk+1 δkl t = tk−1 δkl . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî k, l > 0 è t2 · t 1, çàêëþ÷àåì, ÷òî íàì íóæíû ëèøü k = l = 1. Èòàê, ïîñìîòðèì, Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî k+l > n ūu o ūk ul = πk!t(k+1) δkl . d2 u exp − t (1) Ikl ∼ ÷åìó ðàâíà ïåðâàÿ ïîïðàâêà ñ k = l = 1. 1 (1) a + O(t) 6π 11 (142) 1 ¯ − ∂σ ∂σ ¯ + O(t). ∂ ∂σ 6π (143) (1) K̃j0 Ṽj K̃j0 = (1) a11 , èëè, íàõîäÿ èìååì (1) K̃j0 Ṽj K̃j0 = Âêëàä (2) Ṽj Ïîñëå âû÷èñëåíèé, ïîëó÷àåì . Ðàñêëàäûâàåì âîçìóùåíèå (2) Ṽj (2) Ṽj â ðÿä Òýéëîðà X =j (2) ¯ akl ūk ul ∂, (144) k,l>0 ãäå (2) akl êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ. Òîãäà ïåðâàÿ ïîïðàâêà òåîðèè âîçìó- ùåíèé äëÿ (2) Ṽj (2) K̃j0 Ṽj K̃j0 = ðàâíà Z Z ūu j X (2) t dt1 ūu 2 k l¯ d u exp − ū u . a ∂ exp − kl π2 t − t1 t1 0 t1 (t − t1 ) k,l (145) ūu Äèôôåðåíöèðóÿ ýêñïîíåíòó ïîä èíòåãðàëîì ūu ¯ − t1 = − u e− t1 ∂e t1 , â ðåçóëüòà- òå ïîëó÷àåì (2) K̃j0 Ṽj K̃j0 = − Z Z j X (2) t dt1 t 2 k l+1 a . d uū u exp −uū kl 2 π2 t1 (t − t1 ) 0 t1 (t − t1 ) k,l (146) Ñíîâà ñäåëàåì îöåíêó çíà÷åíèé ïðàâêè ∼ t0 . k è l, êîòîðûå íàì ïîòðåáóþòñÿ äëÿ ïî- Îáîçíà÷èì (2) Ikl Z = 0 t dt1 t21 (t − t1 ) Z 2 d uū u k=1 è l= (2) t exp −uū t1 (t − t1 ) . (147) (2) t k+1 δk,l+1 = tk−1 δk,l+1 , ïîýòîìó t3 t 0. Âû÷èñëÿÿ ïåðâóþ ïîïðàâêó, ïîëó÷àåì Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (141), íàõîäèì íàì íóæíû òîëüêî k l+1 Ikl ∼ K̃j0 Ṽj K̃j0 = − j (2) a + O(t), 2π 10 19 (148) èëè ïîñëå âû÷èñëåíèÿ (2) a10 , èìååì (2) K̃j0 Ṽj K̃j0 = − j ¯ − ∂σ ∂σ) ¯ + O(t). (∂ ∂σ 2π (149) Ñîáèðàÿ âìåñòå ïîïðàâêè ïåðâîãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé, íàõîäèì, ÷òî (1) (2) K̃j0 Ṽj K̃j0 = K̃j0 Ṽj K̃j0 + K̃j0 Ṽj K̃j0 = − 3j − 1 ¯ ¯ + O(t). (∂ ∂σ − ∂σ ∂σ) 6π (150) Âòîðîé ïîðÿäîê òåîðèè âîçìóùåíèé. Âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, ìû áóäåì âû÷èñëÿòü K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 , è â ÿâíîé çàïèñè èìååì K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 = t Z t1 Z dt1 0 ZZ dt2 d2 u1 d2 u2 K̃j0 (t − t1 , z − u1 )× 0 × Ṽj (u1 )K̃j0 (t1 − t2 , u1 − u2 )Ṽj (u2 )K̃j0 (t2 , u2 ). Òàê êàê ìû âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå ÿäðî íà äèàãîíàëè, òî z = 0. (151) Ìû íå áóäåì ïðèâîäèòü çäåñü âû÷èñëåíèÿ, ñêàæåì ëèøü, ÷òî îíè ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íû âû÷èñëåíèÿì, ïðîâåäåííûì âûøå. È â èòîãå îòâåò ðàâåí K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 = Òåïåðü ó÷èòûâàÿ, ÷òî äî ÷ëåíîâ ∼t K̃j0 (t, z, z) = 0 3j − 1 ¯ ∂σ ∂σ + O(t). 6π 1 πt , ïîëó÷àåì, äëÿ K̃j = K̃j0 − K̃j0 Ṽj K̃j0 + K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 + ... = K̃j (t, z, z) (152) ñ òî÷íîñòü 1 3j − 1 ¯ + ∂ ∂σ + O(t). πt 6π (153) È ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî íåîáõîäèìî ïåðåéòè âî âñåõ âåëè÷èíàõ, êîòîðûå ìû âû÷èñëÿëè, îò K̃j ê Kj , ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíîå ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà ÿäðà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðåäåëå ìàëåíüêèõ âðåìåí Kj (t → 0, z, z) = ¯ ρ 2∂ ∂σ 1 1+ j− t + O(t2 ) . 4πt ρ 3 (154) Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà â êîíôîðìíî ïëîñêîé ìåòðèêå gab dxa dxb = ρdzdz̄ , ãäå σ = log ρ, ðàâíà ¯ R = −4e−σ ∂ ∂σ, (155) è â èòîãå ïîëó÷èì ρ (3j − 1)R 2 1− t + O(t ) . Kj (t → 0, z, z) = 4πt 6 Òàêèì îáðàçîì ìû âû÷èñëèëè ïîâåäåíèå ÿäðà òåïëîïðîâîäíîñòè ïðè (156) t → 0. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîíàäîáèòñÿ íàì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðåãóëÿðèçîâàííîãî ëîãàðèôìà äåòåðìèíàíòà Ëàïëàñà. 20 1.10 Êîíôîðìíàÿ àíîìàëèÿ. Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ÿäðî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðåäåëå → 0 èìååò àñèìïòîòèêó ρ (3j − 1)R 2 Kj (, z, z) = 1− + O( ) . 4π 6 (157) Âîçâðàùàÿñü ê ôîðìóëå äëÿ âàðèàöèè ðåãóëÿðèçîâàííîãî ëîãàðèôìà äåòåðìèíàíòà Ëàïëàñà Z δ(log det∆j ) = δρ ((j − 1)Kj (, z, z) − jK1−j (, z, z)) d2 z, ρ (158) è ïîäñòàâëÿÿ â íåå íàéäåííóþ àñèìïòîòèêó òåïëîâîãî ÿäðà, à òàêæå âñïîìèíàÿ, ÷òî ρ = eσ , [g] δ(log det∆j ) ïîëó÷èì 1 =− 4π Z aj √ δσ(x) gd2 x − 24π Z √ δσ(x)R[g] (x) gd2 x, (159) çäåñü aj = 6j 2 − 6j + 1. Çàïèñü R[g] (160) îçíà÷àåò, ÷òî êðèâèçíà ïðîñòðàíñòâà âû÷èñëÿåòñÿ â ìåòðèêå g. g = eσ(x) ĝ , òîãäà ôîðìóëà (159) ïðèìåò âèä Z Z p 1 aj √ [eσ ĝ] δ(log det∆j ) = − δσ(x)eσ(x) ĝd2 x − δσ(x)R[g] (x) gd2 x. 4π 24π Òåïåðü ïîëîæèì (161) Äëÿ âòîðîãî ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (161) âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé √ gR[g] (x) = p [ĝ] ĝ(R[ĝ] (x) + ∆0 σ(x)), ãäå gab = eσ ĝab , p 1 [ĝ] ∆0 = − √ ∂a ĝ ab ĝ∂b . ĝ (162) Òîãäà âûðàæåíèå (161) ìîæíî áóäåò ïðåäñòàâèòü â âèäå Z p 1 ) = − δσ(x)eσ(x) ĝd2 x− 4π Z Z p p aj aj [ĝ] − δσ(x)R[ĝ] (x) ĝd2 x − δσ(x)∆0 σ(x) ĝd2 x. 24π 24π [eσ ĝ] δ(log det∆j (163) Èíòåãðèðóÿ â ôîðìóëå (163) òðåòüå ñëàãàåìîå ïî ÷àñòÿì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ [eσ ĝ] δ(log det∆j ) = Z Z p 2 p 2 aj 1 ab [ĝ] σ(x) =δ − ĝ ∂a σ(x)∂b σ(x) + R (x)σ(x) ĝd x + ∆µ e ĝd x , 24π 2 (164) ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå 1 ∆µ = − 4π . Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ êîñìîëîãè÷å- ñêîé ïîñòîÿííîé. Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, ìû ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ, 21 êîòîðîå ïîêàçûâàåò êàê ìåíÿåòñÿ äåòåðìèíàíò îïåðàòîðà Ëàïëàñà ïðè êîíôîðìíîì ïðåîáðàçîâàíèè ìåòðèêè [eσ ĝ] log det∆j Z p [ĝ] eσ(x) ĝd2 x = log det∆j − Z p Z p 2 aj 1 ab − ∆µ ĝd2 x − ĝd x. ĝ ∂a σ(x)∂b σ(x) + R[ĝ] (x)σ(x) 24π 2 − ∆µ ×ëåíû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ïðîïîðöèîíàëüíûå (165) ∆µ ìîãóò óñòðàíåíû R √ áûòü ∆µ ĝd2 x ê èñõîäíîìó ïðèáàâëåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòð÷ëåíà âèäà äåéñòâèþ òåîðèè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî, äåòåðìèíàíòû îïåðàòîðà Ëàïëàñà â èñõîäíîé è ðàñòÿíóòîé ìåòðèêå ñâÿçàííû ñîîòíîøåíèåì a j [ĝ] W [σ, ĝ] det ∆j , = exp − 24π [eσ ĝ] det ∆j (166) W [σ, ĝ] äàåòñÿ âûðàæåíèåì Z p 2 1 ab W [σ, ĝ] = ĝ ∂a σ(x)∂b σ(x) + R[ĝ] (x)σ(x) ĝd x. 2 ãäå ôóíêöèîíàë (167) Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê ìåíÿþòñÿ ïðè ðàñòÿæåíèè ìåòðèêè, ýôôåêòèâíûå äåéñòâèÿ äóõîâ è ïîëÿ D 2 [g] log det ∆0 X µ, ðàâíûå e [g] = − log det ∆ SGh −1 [g] , è e [g] = SX ñîîòâåòñòâåííî. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (166) èìååì cGh W [σ, ĝ], 48π e [eσ ĝ] = S e [ĝ] − cX W [σ, ĝ], SX X 48π e [eσ ĝ] = S e [ĝ] − SGh Gh (168) (169) ãäå ÷èñëî cGh = −2a−1 = −26 íàçûâàåòñÿ äóõîâûì öåíòðàëüíûì çàðÿäîì, à cX = Da0 = D öåíòðàëüíûì çàðÿäîì ïîëÿ X µ . Òàêèì îáðàçîì âûðàæåíèå äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû ñòðóíû (67) ïðè ó÷åòå ôîðìóë (168) è (169) ïðèíèìàåò âèä Z Z= Dĝ ϕ e D−26 48π W [ϕ,ĝab ] Z Dĝ (B, C)e−SGh [ĝab ,B,C] Z Dĝ Xe−SP [ĝab ,X] . Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî âàðèàöèÿ ïî ìåòðèêå êàêîãî-ëèáî äåéñòâèÿ (170) S[φ, gab ], ïî îïðåäåëåíèþ äàåòñÿ ôîðìóëîé δS[gab ] = ãäå Tab 1 4π Z √ δgab T ab gd2 x, (171) òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà. È åñëè âàðèàöèÿ ìåòðèêè ÿâëÿåòñÿ ðàñ- òÿæåíèåì gab → (1 + δσ(x))gab , (172) òî ìû ïîëó÷àåì δS[gab ] = 1 4π Z √ δσ(x)Taa (x) gd2 x. (173) Ñ äðóãîé ñòîðîíû èç ôîðìóë (168) è (169) ñëåäóåò, ÷òî δS e [gab ] = − ñ 48π Z √ δσ(x)R[g] (x) gd2 x. 22 (174) Èç ÷åãî ìîæíî ïîëó÷èòü Taa (x) = − c R(x). 12 (175) Ñîîòíîøåíèÿ (168), (169) è (175) ðàâíîñèëüíû óòâåðæäåíèþ î êîíôîðìíîé àíîìàëèè ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðèè ïîëÿ. 1.11 Êîíôîðìíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå Ñîîòíîøåíèÿ (168) è (169) è (175) áûëè ïîëó÷åíû íàìè êàê ñâîéñòâî òåîðèè ñ äåéñòâèåì Sj [φ] â ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî âû÷èñëåíèÿ. Îäíàêî, îíè ìîãóò ðàñ- ñìàòðèâàòüñÿ êàê îïðåäåëåíèå Êîíôîðìíîé Òåîðèè Ïîëÿ (CFT) â îáùåì ñëó÷àå. À èìåííî, ïóñòü ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ òåîðèÿ ñ äåéñòâèåì S[φ]. Ïîãðó- çèì åå â êðèâîå ïðîñòðàíñòâî ñ Ðèìàíîâîé ìåòðèêîé, òîãäà äåéñòâèå ïðèìåò âèä S[φ, gab ]. Îïðåäåëèì ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ïî ôîðìóëå e−Se [g] = Z Dg φe−S[gab ,φ] . Â ñëó÷àå åñëè ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ïðè ðàñòÿæåíèè ìåòðèêè ðàçóåòñÿ êàê Se [eσ gab ] = Se [gab ] − (176) gab , c W [σ, gab ], 48π ïðåîá- (177) Òàêàÿ òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ Êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ. Äðóãîå, ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå, îñíîâàííî íà ôîðìóëå (175), à èìåííî, åñëè ñëåä òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà íåêîòîðîé òåîðèè ñâÿçàí ñ êðèâèçíîé, ôîðìóëîé Taa (x) = − c R(x), 12 (178) òî ýòà òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ Êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ. Ñâîéñòâî (177) âìåñòå ñ äðóãèìè îáùèìè ñâîéñòâàìè ëîêàëüíîé Êâàíòîâîé Òåîðèè Ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ âåñüìà æåñòêèìè è ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü âàæíûå ñîîáðàæåíèÿ îá àëãåáðå Ëîêàëüíûõ ïîëåé è êîððåëÿòîðàõ â Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ [3, 4]. Ýòèì ìû çàéìåìñÿ â ñëåäóþùåé ëåêöèè. 2 Êîíôîðìíûé Áóòñòðàï. Îñíîâíîé òåìîé ýòîé ëåêöèè ÿâëÿåòñÿ îáùàÿ ñòðóêòóðà äâóìåðíîé Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ. 23 2.1 Ïîëÿ, Êîððåëÿòîðû è Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå. Îñíîâíûì îáúåêòîì Êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ëîêàëüíûõ ïîëåé Aj (x) hAj1 (x1 )...AjN (xN )i. Íàáîð ëîêàëüíûõ ïîëåé A = {A} (179) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ïðî- ñòðàíñòâî. Ýòîò íàáîð ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, â òîì ñìûñëå, ÷òî ëþáîå ïîëå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî ïî áàçèñó {Aj (x)}. Êðîìå òîãî ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñïðàâåäëèâîñòü Àêñèîìû îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ îïåðàòîðîâ ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî ïî áàçèñó Ai (x)Aj (y) = X {Aj (x)} k Cij (x, y)Ak (y). (180) k Óðàâíåíèå (180) íóæíî ïîíèìàòü, êàê ñîîòíîøåíèå êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé hAi (x)Aj (y)Xi = X k Cij (x, y)hAk (y)Xi, (181) k ãäå X = Aj1 (y1 )...AjN (yN ). Ââèäó ïðåäïîëîæåíèÿ î âûïîëíåíèè (180), íàáîð ëîêàëüíûõ ïîëåé îáðàçóåò íå òîëüêî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íî è ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé. Ñîîòíîøåíèå (180) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî, ÷òîáû âûðàçèòü íûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ÷åðåç òóðíûå ôóíêöèè k Cij (x), N −1 N òî÷å÷- òî÷å÷íûå. Ïîýòîìó, çíàÿ ñòðóê- ìû â ïðèíöèïå ìîæåì íàéòè ëþáûå êîððåëÿöèîí- íûå ôóíêöèè. Îòìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (180) ïðåäïîëàãàåòñÿ, êàê òî÷íîå ñîîòíîøåíèå, è êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðÿä ñõîäèòüñÿ, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x è y ìåíüøå, ÷åì ðàññòîÿíèå äî ëþáîãî äðóãîãî îïåðàòîðà. Äëÿ áîëüøèõ ðàññòîÿíèé (180) ïîíèìàåòñÿ, êàê àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ýòîãî ðÿäà. Êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè (179) ÿâëÿþòñÿ îäíîçíà÷íûìè è èìåþò îñîáåííîñòè, êîãäà ïîëîæåíèÿ êàêèõ ëèáî ïîëåé ñîâïàäàþò. Àêñèîìà (180) äîëæíà áûòü ñîãëàñîâàííà ñ âîçìîæíîñòüþ åå ïðèìåíåíèÿ â ëþáîì ïîðÿäêå ê ïðîèçâîëüíîé ïàðå ëîêàëüíûõ ïîëåé â êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ÷åòûðåõòî÷å÷íóþ ôóíêöèþ hA1 (x1 )A2 (x2 )A3 (x3 )A4 (x4 )i. (182) Òîãäà, èñïîëüçóÿ îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå (180) âíóòðè êîððåëÿöèîííîé A1 , A2 è A3 , A4 ïîëó÷èì X k l h(A1 (x1 )A2 (x2 ))(A3 (x3 )A4 (x4 ))i = C12 (x1 − x2 )Dkl (x2 − x4 )C34 (x3 − x4 ), ôóíêöèè (182) ìåæäó ïîëÿìè k,l (183) ãäå hAi (xi )Aj (xj )i = Dij (xi − xj ). (184) Ìû ïèøåì âåçäå ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ, òàê êàê ïðåäïîëàãàåì òðàíñëÿöèîííóþ èíâàðèàíòíîñòü. Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ñïàðèòü ïîëÿ â äðóãîì ïîðÿäêå, 24 A1 , A 3 íàïðèìåð A2 , A 4 . è Ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èì X hA1 (x1 )A2 (x2 )A3 (x3 )A4 (x4 )i = k l C13 (x1 − x3 )Dkl (x3 − x4 )C24 (x2 − x4 ). k,l (185) Ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ äâóõ ðàçíûõ ïîðÿäêîâ äîëæíû ñîâïàäàòü X k l C13 (x1 − x3 )Dkl (x3 − x4 )C24 (x2 − x4 ) = k,l = X l k (x3 − x4 ). C12 (x1 − x2 )Dkl (x2 − x4 )C34 (186) k,l Óðàâíåíèå (186) íàêëàäûâàåò æåñòêèå óñëîâèÿ íà ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè àëãåáðû ëîêàëüíûõ ïîëåé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè îíî âûïîëíåíî, òî ïðèìåíåíèå àêñèîìû (180) äëÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ôóíêöèè òàêæå íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà â êîòîðîì îíî âûïîëíÿåòñÿ. Ýòî ñâîéñòâî îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì àññîöèàòèâíîñòè èëè êðîññèíã ñèììåòðèè îïåðàòîðíîé àëãåáðû. 2.2 Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà. Ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì àëãåáðû ëîêàëüíûõ ïîëåé â ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé Òåîðèè Ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà Tab ∈ A. Åãî îïðåäåëåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè áåñêî- xa → xa + εa (x), îïðåäåëåíû è áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé Aj (x) → Aj (x) + δε Aj (x). Òîãäà ìû ïîñòóëèðóåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëå Tab (x), òàêîå, ÷òî Z 1 δε hA1 (x1 )...AN (xN )i = ∂a εb (x)hT ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )id2 x, (187) 2π R2 íå÷íî ìàëûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò ãäå âàðèàöèÿ êîððåëÿòîðà δε hA1 (x1 )...AN (xN )i = X hA1 (x1 )...δε Ak (xk )...AN (xN )i. (188) k Òàêæå ïîñòóëàòîì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà T ab (x) = T ba (x). Âàðèàöèÿ δε Aj (x) íåêîãî ëîêàëüíîãî ïîëÿ Aj (189) ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïðåîá- ðàçîâàíèè êîîðäèíàò, âñëåäñòâèå ëîêàëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèè ε(x) è êîíå÷íîãî ÷èñëà åå ïðîèçâîäíûõ, âçÿòûõ â òî÷êå x. Ýòî ìîæíî çàïèñàòü êàê δε Aj (x) = νj X (k−1) Bj k=0 ãäå (k−1) Bj (x) dk ε(x), dxk ëîêàëüíûå ïîëÿ, ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâó (190) A è νj íåêèå öåëûå ÷èñëà. Èíòåãðèðîâàíèå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (187) âåäåòñÿ ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó R2 . Z R2 Ýòîò èíòåãðàë ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ÷àñòè (...)d2 x = N Z X k=1 (...)d2 x + Dk 25 Z D̄ (...)d2 x, (191) Ðèñ. 2: Êîîðäèíàòû ëîêàëüíûõ ïîëåé, îêðóæåííûå îáëàñòÿìè Dk xk xk ∈ Dk è xi ∈ / Dk , åñëè i 6= k . È D̄ îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ïðî2 2 ñòðàíñòâà R , òî åñòü D̄ = R −∪i Di . Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ãäå Dk ìàëåíüêèå îáëàñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îêðóæàåò òîëüêî òî÷êó (ðèñ. 2), òî åñòü ïî ÷àñòÿì è ïîëó÷èì, ÷òî 1 2π Z (...)d2 x = − R2 1 2π Z εb (x)h∂a T ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )id2 x− D̄ − Z Z N N X X 1 1 (...)dx + (...)d2 x. 2π ∂Dk 2π Dk k=1 (192) k=1 ε(x) = 0 âî Dk , è ε(x) 6= 0 â D̄. Ñëåäîâàòåëüíî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ h∂a T ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )i äîëæíà èñ÷åçíóòü, êîãäà x ∈ D̄, è òàê êàê ìû ìîæåì âûáðàòü îáëàñòè Dk ïðîèçâîëüíî ìàëûìè, òî ïîëó÷àåì, ÷òî Ìû ìîæåì âûáðàòü òàêóþ âàðèàöèþ êîîðäèíàò, ïðè êîòîðîé âñåõ îáëàñòÿõ h∂a T ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )i = 0, åñëè x 6= x1 , ...xN . (193) Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè äëÿ òåíçîðà ýíåðãèèèìïóëüñà ∂a T ab (x) = 0, åñëè x 6= x1 , ...xN . ×òîáû íå îãîâàðèâàòü ïîñòîÿííî óñëîâèå òîãî, ÷òî ïèñàòü x 6= x1 , ..., xN , (194) ìû áóäåì ∂a T ab (x) ' 0. Â èòîãå ìû ïîëó÷èëè δε hA1 (x1 )...AN (xN )i = N Z 1 X (...)d2 x− 2π D k k=1 I N X dxa − εb (x)hT̃ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )i, Ck 2π (195) k=1 ãäå T̃ab (x) = eac T cb (x), è eac ñîâåðøåííî àíòèñèììåòðè÷íûé åäèíè÷íûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà. Èíòåãðèðîâàíèå âî âòîðîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî êîíòóðàì 2.3 Ck = ∂Dk , â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà â Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå. Åñëè êîíôîðìíàÿ òåîðèÿ íàõîäèòñÿ â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìåòðèêîé gab = δab , òî êðîìå òîãî, ÷òî äëÿ òåíçîðà ýíåðãèè èìïóëüñà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè è ñèììåòðè÷íîñòè ∂a T ab (x) = 0, T ab (x) = T ba (x), (196) èç ôîðìóëû (178) ñëåäóåò, ÷òî îí ñòàíîâèòñÿ áåññëåäîâûì Taa (x) = 0. 26 (197) Â êîíôîðìíûõ êîîðäèíàòàõ (z, z̄) (ôîðìóëû (40),(41)) óðàâíåíèÿ (196) è (197) çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå ¯ zz̄ = 0, ∂Tz̄z + ∂T ¯ zz = 0, ∂Tz̄z̄ + ∂T Tzz̄ = Tz̄z , (198) Tz̄z + Tzz̄ = 0, ãäå ñíîâà Tzz = ∂ = ∂z , ∂¯ = ∂z̄ . 2 Tz̄z , ρ Tz̄z̄ = (199) Òàêæå ìû ó÷ëè, ÷òî 2 Tzz̄ , ρ T zz = T z̄z̄ = 4 Tz̄z̄ , ρ2 4 Tzz , ρ2 T zz̄ = Èç óðàâíåíèé (198),(199) ïîëó÷àåì, ÷òî 4 Tz̄z , ρ2 Tzz̄ = Tz̄z = 0. T z̄z = 4 Tzz̄ . ρ2 (200) Ñëåäîâàòåëüíî åñëè îïðåäåëèòü âåëè÷èíû T (z, z̄) = Tzz (z, z̄), (201) T̄ (z, z̄) = Tz̄z̄ (z, z̄), (202) òî äëÿ íèõ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ óðàâíåíèÿ ¯ (z, z̄) = 0, ∂T (203) ∂ T̄ (z, z̄) = 0. (204) Òî åñòü, â äâóìåðíîé êîíôîðìíîé òåîðèè åñòü äâà ïîëÿ, ãîëîìîðôíîå è àíòèãîëîìîðôíîå. Ãîëîìîðôíîñòü T = T (z) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî êîððåëÿòîð hT (z)Xi = hT (z)A1 (z1 , z̄1 )...A1 (zN , z̄N )i z, ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé òî÷êàõ (205) êîòîðàÿ èìååò ñèíãóëÿðíîñòè òîëüêî â z1 , z2 , ..., zN . Âíîâü âåðíåìñÿ ê âûðàæåíèþ (195), òàê êàê âàðèàöèè êîîðäèíàò ìîãóò èçìåíÿòüñÿ íåçàâèñèìî â êàæäîé îáëàñòè εa (x) Dk , â ôîðìóëå (195) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü âàðèàöèè êàæäîãî ïîëÿ â îòäåëüíîñòè, ïîýòîìó èìååì δε Ak (x) = 1 2π Z d2 y∂a εb (y)T ab (y)Ak (x) − I Ck Dk dy a εb (y)T̃ab (y)Ak (x). 2π (206) Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèþ ∂a εb + ∂b εa = (∂c εc )δab . (207) Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ êîíôîðìíûìè, ïîñêîëüêó ñîîòâåòñòâóþò ëîêàëüíûì ðàñòÿæåíèÿì èíòåðâàëà (dxa )2 → (1 + ∂c εc )(dxa )2 . Ïðè ýòîì óãëû ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ëèíèé íå ìåíÿþòñÿ. Taa (y) = 0, Òàê êàê â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå òî ïåðâîå ñëàãàåìîå â âûðà- æåíèè (206) ðàâíî íóëþ è ìû ïîëó÷àåì, ÷òî I δε Ak (x) = − Ck dy a εb (y)T̃ab (y)Ak (x). 2π (208) Åñëè òåïåðü ïåðåéòè â êîíôîðìíûå êîîðäèíàòû ïî ôîðìóëàì u = y1 + iy2 , ū = y1 − iy2 27 z = x1 + ix2 . z̄ = x1 − ix2 (209) È ó÷åñòü, ÷òî â íèõ ñèìâîë Ëåâè-×èâèòû T̃ab èìååò êîìïîíåíòû euū = −eūu = i/2, euu = eūū = 0, òî êîìïîíåíòû òåíçîðà eab (210) ðàâíû T̃uu = T̃ūū = 0, T̃uū = 2iTuu , T̃ūu = −2iTūū . (211) Â êîíôîðìíûõ êîîðäèíàòàõ ìàëûå âàðèàöèè âûãëÿäÿò êàê u → u + εu (u), ū → ū + εū (ū). Âåëè÷èíû ε(u) = εu (u) è ε̄(ū) = εū (ū) (212) ìû ìîæåì ñ÷èòàòü íå çàâèñèìûìè. Â èòîãå èç ôîðìóë (208) è (210), (211) ñëåäóåò, ÷òî â ãîëîìîðôíûõ êîîðäèíàòàõ ìàëàÿ âàðèàöèÿ ïîëÿ èìååò âèä I du ε(u)T (u)Ak (z, z̄), Ck 2πi I dū δε̄ Ak (z, z̄) = − ε̄(ū)T̄ (ū)Ak (z, z̄), 2πi Ck δε Ak (z, z̄) = (213) (214) ãäå êîíòóðíûå èíòåãðàëû áåðóòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. 2.4 Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà â ÊÒÏ â èñêðèâëåííîì ïðîñòðàíñòâå, ïñåâäîòåíçîð. Â èñêðèâëåííîì ïðîñòðàíñòâå c ìåòðèêîé gab ôîðìóëà (187) çàïèøåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå δε hA1 (x1 )...AN (xN )i = ãäå 1 2π √ ∇a b (x)hT ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )i gd2 x, Z R2 ∇a εb = ∂a εb − Γcab εc , Γcab (215) ñèìâîë Êðèñòîôåëÿ. Äåëàÿ àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, à òàêæå âñïîìèíàÿ ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì g ab hTab i = − c R, 12 ∇a T ab ' 0, ãäå R (216) (217) ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè âûáîðå êîîðäèíàò, â êî- òîðûõ ìåòðèêà êîíôîðìíàÿ ïëîñêàÿ gab dxa dxb = ρ(z, z̄)dzdz̄ = eσ(z,z̄) dzdz̄ , ñèìâîë Êðèñòîôåëÿ èìååò òîëüêî äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû ¯ ¯ Γz̄z̄z̄ = ∂ρ/ρ = ∂σ, Γzzz = ∂ρ/ρ = ∂σ, (218) à ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà ðàâíà ¯ R = −4e−σ ∂∂σ. 28 (219) Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè â êîíôîðìíûõ êîîðäèíàòàõ çàïèøåòñÿ êàê ∇z̄ T z̄z̄ + ∇z T zz̄ = 0, ∇z̄ T z̄z + ∇z T zz (220) = 0. (221) Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îäíó ôîðìóëó (220), ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ (221) àíàëîãè÷íû. Òåïåðü ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî Γbac T ca , ïîëó÷èì, ÷òî ∇a T ab = ∂a T ab + Γaac T cb + ∇z̄ T z̄z̄ + ∇z T zz̄ = ∂z̄ T z̄z̄ + 2Γz̄z̄z̄ T z̄z̄ + ∂z T zz̄ + Γzzz T zz̄ = 0. (222) Â èòîãå ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ¯ z̄z̄ + 2∂σT ¯ z̄z̄ + ∂T zz̄ + ∂σT zz̄ = 0, ∂T (223) êîòîðîå ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó ¯ 2σ T z̄z̄ ) + eσ ∂(eσ T zz̄ ) = 0. ∂(e Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî T ab = g ac g bd Tcd g zz̄ = g z̄z = 2e−σ , è (224) èìååì ¯ zz + eσ ∂(e−σ Tzz̄ ) = 0. ∂T (225) Òàêæå ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (216), ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ ¯ zz + eσ ∂(e−σ Tzz̄ ) = 0, ∂T ¯ Tzz̄ = −α∂ ∂σ, ãäå c . α = − 12 (226) (227) Èç íèõ ñëåäóåò, ÷òî α ∂¯ Tzz − {2∂ 2 σ − (∂σ)2 } = 0. 2 (228) Òåïåðü âèäíî, ÷òî åñëè îïðåäåëèòü âåëè÷èíû α tzz , 2 α − tz̄z̄ , 2 T = Tzz − ãäå tzz = 2∂ 2 σ − (∂σ)2 , (229) T̄ = Tz̄z̄ ãäå ¯ 2, tz̄z̄ = 2∂¯2 σ − (∂σ) (230) òî îíè áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ãîëîìîðôíûìè è àíòèãîëîìîðôíûìè ïîëÿìè. Ýòè ïîëÿ è íàçûâàþòñÿ ãîëîìîðôíûìè è àíòèãîëîìîðôíûìè êîìïîíåíòàìè ïñåâäîòåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà. Ïðè ãîëîìîðôíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ z → w(z), z̄ → w̄(z̄) (231) êîìïîíåíòà tzz = 2∂ 2 σ − (∂σ)2 (232) tzz → (∂z w)2 tww − 2{w, z}. (233) ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 29 Âåëè÷èíà {w, z} íàçûâàåòñÿ Øâàðöèàíîì è ðàâíà wzzz 3 − wz 2 {w, z} = Êîìïîíåíòû òåíçîðà Tzz wzz wz 2 . (234) ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ôîðìóëå Tzz → (∂z w)2 Tww . (235) Ïîýòîìó çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ãîëîìîðôíîãî ïñåâäîòåíçîðà T (z) âû- ãëÿäèò êàê T (z) → (∂z w)2 T (w) − α{w, z}. T̄ (z̄) Àíòèãîëîìîðôíûé ïñåâäîòåíçîð 2.5 (236) ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî. Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà, Àëãåáðà Âèðàñîðî. Çàìåòèì, ÷òî èç ôîðìóëû (236) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ãîëîìîðôíîé âàðèàöèè êîîðäèíàò z → z + ε(z), ïñåâäîòåíçîð T (z) ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó T (z) → (1 + ∂z ε(z))2 T (z + ε(z)) − α∂z3 ε(z), (237) îòñþäà ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åãî âàðèàöèÿ ðàâíà δε T (z) = ε∂z T (z) + 2(∂z ε(z))T (z) − α∂z3 ε(z). Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî âàðèàöèÿ ïîëÿ â òî÷êå z (238) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîíòóðíûé èíòåãðàë âîêðóã ýòîé òî÷êè I δε T (z) = Cz du ε(u)Tzz (u)T (z) 2πi è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè òåíçîðà (239) tzz ñ òåíçîðîì T íåò ñèíãóëÿðíûõ ÷ëåíîâ, ÷òî ýêâèâàëåíòíî I Cz du ε(u)tzz (u)T (z) = 0, 2πi (240) ïðèõîäèì ê ôîðìóëå I δε T (z) = Cz du ε(u)T (u)T (z). 2πi (241) È àíàëîãè÷íî äëÿ àíòèãîëîìîðôíîãî ïñâåâäîòåíçîðà I δε̄ T̄ (z̄) = − Cz dū ε̄(ū)T̄ (ū)T̄ (z̄). 2πi (242) Èç ýòîãî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (238), íå òðóäíî ïîëó÷èòü, îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ãîëîìîðôíîãî ïñåâäîòåíçîðà ñ ñàìèì ñîáîé 2T (z) ∂z T (z) c + + + ðåã., 2(u − z)4 (u − z)2 u−z c 2T̄ (z̄) ∂z̄ T̄ (z̄) + + T̄ (ū)T̄ (z̄) = + ðåã., 2(ū − z̄)4 (ū − z̄)2 ū − z̄ T (u)T (z) = 30 (243) (244) c α = − 12 , à ”ðåã.” îçíà÷àåò ñëàãàåìûå, ðåãóëÿðíûå ïðè z → ÷òî òàê êàê δε̄ T = 0, òî ðàçëîæåíèå òåíçîðà T (u) ñ òåíçîðîì ãäå ìû ó÷ëè, ÷òî u. Î÷åâèäíî, T̄ (z̄), ñîäåðæèò òîëüêî ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû T (u)T̄ (z̄) = ðåã.. (245) Íåîáõîäèìî áîëåå ïîäðîáíî èçó÷èòü ñâîéñòâà îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ, ÷òîáû óâèäåòü êàêèå âîçíèêàþò îãðàíè÷åíèÿ íà êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òåîðèè. Ðàññìîòðèì îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ãîëîìîðôíîãî ïñåâäîòåíçî- Aj ∈ A . ðà ýíåðãèè èìïóëüñà ñ îäíèì èç ïîëåé Êàê ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ãîëîìîðôíûé è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òåîðèè îäíîçíà÷íû, âîçìîæíûå îñîáåííîñòè â ýòîì îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè ìîãóò èìåòü âèä ∞ X T (u)A(z, z̄) = (u − z)−n−2 An (z, z̄), (246) n=−∞ An (z) ïðèíàäëåæàò ïðîA. Ïîýòîìó óäîáíî èõ ïðåäñòàâèòü êàê ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Ln ê ïîëþ A An = Ln A. (247) ãäå n ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷åíèÿ. Êîýôôèöèåíòû ñòðàíñòâó ëîêàëüíûõ ïîëåé è ëèíåéíî çàâèñÿò îò Òàêèì îáðàçîì ∞ X T (u)A(z, z̄) = (u − z)−n−2 Ln A(z, z̄). (248) n=−∞ Ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèåì îïåðàòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå ïîëåé A. Ln , n ∈ Z, äåéñòâóþùèõ Àíàëîãè÷íî ôîðìóëà ∞ X T̄ (ū)A(z, z̄) = (ū − z̄)−n−2 L̄n A(z, z̄) (249) n=−∞ îïðåäåëÿåò îïåðàòîðû Ln è L̄n íà ïîëå A L̄n . Òåïåðü íåòðóäíî íàïèñàòü äåéñòâèå îïåðàòîðîâ â âèäå êîíòóðíîãî èíòåãðàëà I du (u − z)n+1 T (u)A(z, z̄), 2πi Cz I dū L̄n A(z, z̄) = − (ū − z̄)n+1 T̄ (ū)A(z, z̄). 2πi Cz Ln A(z, z̄) = Âû÷èñëèì êîììóòàòîð [Ln , Lm ] îïåðàòîðîâ ìåíèòü ïîî÷åðåäíî ýòè îïåðàòîðû ê ïîëþ Ln A, è Lm . (250) (251) Äëÿ ýòîãî íàäî ïðè- à çàòåì âû÷åñòü ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ â äðóãîì ïîðÿäêå. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà I Ln Lm A(z, z̄) = C2 ãäå êîíòóð ñàì êîíòóð dv (v − z)n+1 T (v) 2πi I C1 du (u − z)m+1 T (u)A(z, z̄), 2πi (252) C1 îõâàòûâàåò òî÷êó z , à êîíòóð C2 îõâàòûâàåò è òî÷êó z è C1 . Ïðèìåíåíèå îïåðàòîðîâ â äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäåò 31 Ðèñ. 3: Âû÷èñëåíèå êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé â àëãåáðå Âèðàñîðî. èìåòü òî÷íî òàêîé æå âèä, òîëüêî êîíòóð C1 áóäåò îõâàòûâàòü êîíòóð C2 . Èíòåãðàëû â (252) áóäåì âû÷èñëÿòü èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî I I I I I = C2 u ãäå òî÷êà C1 ëåæèò íà êîíòóðå I + C1 C1 . , C2 C1 À êîíòóð Cv (253) Cv îõâàòûâàåò òî÷êó u. Â ðå- çóëüòàòå, ïðè âû÷èñëåíèè êîììóòàòîðà, ïåðâûé ÷ëåí ñîêðàùàåòñÿ, è îñòàåòñÿ òîëüêî ïîñëåäíèé. Òàêèì îáðàçîì I [Ln , Lm ]A(z, z̄) = C1 du (u−z)m+1 2πi Êîíòóð, îõâàòûâàþùèé òî÷êó z)n+1 u I dv (v −z)n+1 T (v)T (u)A(z, z̄), 2πi Cv ìîæíî ñæàòü è ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ íå èìååò îñîáåííîñòåé â òî÷êå u, (254) (v − òî ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî èíòåãðàëà áóäóò äàâàòü âêëàä òîëüêî ñèíãóëÿðíûå ÷ëåíû èç îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ T (v)T (u). Ïîñëå ýòîãî ìîæíî âûïîëíèòü âòîðîå èíòåãðèðîâàíèå. Â ðåçóëü- òàòå ïîëó÷èì [Ln , Lm ] = (n − m)Ln+m + c n(n2 − 1)δn+m,0 . 12 (255) L̄n ïîä÷èíÿþòñÿ àíàëîãè÷íûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì. Ln îáðàçóþò áåñêîíå÷íî ìåðíóþ àëãåáðó Ëè, ãåíåðàòîðàêîòîðîé ÿâëÿþòñÿ Ln è ýëåìåíò c öåíòðàëüíûé çàðÿä. Ýòà àëãåáðà Îïåðàòîðû Èòàê îïåðàòîðû ìè íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé Âèðàñîðî. Ìû îáîçíà÷èì åå Vir. Îíà äåéñòâóåò íà ïðîñòðàíñòâå ëîêàëüíûõ ïîëåé. Òàê êàê ïîëíàÿ àëãåáðà ñîñòîèò èç ãåíåðàòîðîâ Ln è L̄n , äëÿ êîòîðûõ âåðíî [Ln , L̄m ] = 0, òî âñÿ àëãåáðà Âèðàñîðî åñòü Vir (256) × Vir. Èçó÷èì íåêîòîðûå èíòåðåñíûå ïîäàëãåáðû àëãåáðû Âèðàñîðî. Âî-ïåðâûõ, {Ln } è {L̄n } ñ n > −1. Ýòà ïîäàëãåáðà ñâÿçàíà áåñêîíå÷íîεn (u) = (u − z)n+1 è ε̄n (ū) = n+1 (ū − z̄) . Åùå îäíà âàæíàÿ êîíå÷íîìåðíàÿ ïîäàëãåáðà Sl(2) × Sl(2), ôîðìèðóåìàÿ îïåðàòîðàìè L−1 , L0 è L1 , à òàêæå L̄−1 , L̄0 è L̄1 , ïðè÷åì, êàê åñòü ïîäàëãåáðà ìàëûìè êîíôîðìíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè âèäà íåòðóäíî âèäåòü [L0 , L±1 ] = ∓L±1 , (L̄±1 , L̄0 [L1 , L−1 ] = 2L0 . (257) óäîâëåòâîðÿþò òàêèì æå ñîîòíîøåíèÿì). Ýòà ïîäàëãåáðà ñîîòâåò- ñòâóåò ïîäãðóïïå ïðîåêòèâíûõ êîíôîðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèé w= ãäå ìîæíî ïîëîæèòü, ÷òî az + b , cz + d w̄ = āz̄ + b̄ , c̄z̄ + d¯ ad − bc = ād¯ − b̄c̄ = 1. (258) Ïðîåêòèâíûå (äðîáíî- ëèíåéíûå) ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãîëîìîðôíûìè. Îíè òàêæå ÿâëÿþòñÿ 32 äèôôåîìîðôèçìàìè ñôåðû â ñåáÿ. Ïîýòîìó ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ åñòü ïîëíûå ñèììåòðèè òåîðèè, â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè îñòàâëÿþò èíâàðèàíòíûìè êîððåëÿòîðû ëîêàëüíûõ ïîëåé hAj1 (z1 , z̄1 )...AjN (zN , z̄N )i = hÃj1 (z1 , z̄1 )...ÃjN (zN , z̄N )i, ãäå Ãji (zi , z̄i ) ïîëÿ ïîëó÷àþùèåñÿ èç ïîëåé Aji (zi , z̄i ) (259) ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ (258). Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê áåñêîíå÷íî ìàëûå äðîáíî ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ, êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ãîëîìîðôíûìè, òî, âñïîìèíàÿ ôîðìóëó (215), ïîëó÷èì δ hA1 (x1 )...AN (xN )i = 0. Ïðî÷èå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íàïðèìåð (260) z → z+z 3 , íå ÿâëÿþòñÿ äèôôåîìîðôèç- ìàìè è èç íèõ íå ñëåäóåò íèêàêèõ óñëîâèé íà êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè. Îäíàêî îíè îãðàíè÷èâàþò âèä îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî L−1 è L̄−1 ÿâëÿþòñÿ ãåíåðàòîðàìè ñäâèãîâ ñ îïåðàòîðîì ñïèíà ïîëÿ S, z → z +a. À L0 è L̄0 ñâÿçàíû äåéñòâèå êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé I SA(z, z̄) = (L0 − L̄0 )A(z, z̄) = Cz dū du (u − z)T (u) − (ū − z̄)T̄ (ū) A(z, z̄), 2πi 2πi (261) ÷òî ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðåîáðàçîâàíèÿì âðàùåíèÿ. Â ñâîþ î÷åðåäü áåñêîíå÷íî ìàëîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ðàñòÿæåíèÿ èëè êàê ýòî åùå íàçûâàåòñÿ äèëàòàöèè, ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð D, êîòîðûé äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó I DA(z, z̄) = (L0 +L̄0 )A(z, z̄) = Cz dū du (u − z)T (u) + (ū − z̄)T̄ (ū) A(z, z̄). 2πi 2πi (262) Aj Áàçèñ ïîëåé ìû ìîæåì âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî ýòè ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè äëÿ îïåðàòîðîâ L0 è L̄0 ¯ j Aj (z, z̄), L̄0 Aj (z, z̄) = ∆ L0 Aj (z, z̄) = ∆j Aj (z, z̄), ãäå ∆j è ¯j ∆ (263) ñîáñòâåííûå ÷èñëà ýòèõ äâóõ îïåðàòîðîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ¯ j = sj ∆j − ∆ ¯ íàçûâàåòñÿ ñïèíîì ïîëÿ, à ∆j + ∆j = dj àíîìàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ. Ôîðìóëà (263) îçíà÷àåò, ÷òî ïðè çàìåíàõ z → λ1 z è z̄ → λ2 z̄ , ïîëå ïðåîáðàçóåòñÿ ïðàâîé è ëåâîé ðàçìåðíîñòÿìè ïîëÿ ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì êàê ∆ ¯ ∆ Aj (z, z̄) → Ãj (z, z̄) = λ1 j λ2 j Aj (λ1 z, λ2 z̄). Îäíîâðåìåííî ìû ìîæåì âûáðàòü áàçèñíûå ïîëÿ L−1 è L̄−1 Aj (264) òàê, ÷òî îïåðàòîðû äåéñòâóþò äèôôåðåíöèðîâàíèåì íà íèõ, òî åñòü L−1 Aj (z, z̄) = ∂z Aj (z, z̄), à ïðè êîíå÷íûõ ñäâèãàõ z → z + a1 L̄−1 Aj (z, z̄) = ∂z̄ Aj (z, z̄), è z̄ → z̄ + a2 (265) ïîëÿ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê Aj (z, z̄) → Ã(z, z̄) = Aj (z + a1 , z̄ + a2 ). (266) Óæå îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îäíîòî÷å÷íàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ áàçèñíîãî ïîëÿ Aj (z, z̄) ðàâíà íóëþ, åñëè åãî ðàçìåðíîñòü íå ðàâíà íóëþ hAj (z, z̄)i = 0, åñëè ∆j 6= 0 33 èëè ¯ j 6= 0. ∆ (267) Òåïåðü íàéäåì ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ k C12 (z1 , z2 ) â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè äëÿ ïîëåé A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ) = X k C12 (z1 , z2 )Ak (z2 , z̄2 ). (268) k Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì âûðàæåíèå âèäà I C ãäå êîíòóð C du T (u)A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ), 2πi z1 îêðóæàåò ñðàçó äâå òî÷êè òî÷êàì è, ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî åñëè u è z2 . C ê ýòèì z1 èëè z2 , ìû ìîæåì L−1 = ∂z , ïîëó÷èì Ñòÿíóâ êîíòóð íàõîäèòñÿ âáëèçè èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (248), à òàêæå ó÷èòûâàÿ, ÷òî I (269) du T (u)A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ) = A2 (z2 , z̄2 )∂z1 A1 (z1 , z̄1 )+A1 (z1 , z̄1 )∂z2 A2 (z2 , z̄2 ) = 2πi = (∂z1 + ∂z2 )A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ). (270) C Àíàëîãè÷íóþ ïîëó÷àåì I X X du k k T (u) C12 (z1 , z2 )Ak (z2 , z̄2 ) = C12 (z1 , z2 )∂z2 Ak (z2 , z̄2 ). 2πi C k (271) k Â èòîãå ìû èìååì ðàâåíñòâî (∂z1 + ∂z2 )A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ) = X k C12 (z1 , z2 )∂z2 Ak (z2 , z̄2 ). (272) k Òåïåðü ïîäñòàâëÿÿ â ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ôîðìóëó (268) íàõîäèì, ÷òî X k (∂z1 + ∂z2 )C12 (z1 , z2 )Ak (z2 , z̄2 ) = k X k C12 (z1 , z2 )∂z2 Ak (z2 , z̄2 ). (273) k Îòêóäà ìîæíî ïîëó÷èòü îäíî èç ñâîéñòâ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè k (∂z1 +∂z2 )C12 (z1 , z2 ) = 0, ñëåäîâàòåëüíî k k C12 (z1 , z2 ) = C12 (z1 −z2 ). (274) Àíàëîãè÷íî íàõîäèì, ÷òî I C du uT (u)A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ) = 2πi = [(z1 ∂z1 + ∆1 ) + (z2 ∂z2 + ∆2 )]A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ). (275) Ïðîäåëûâàÿ ïîäîáíûå îïåðàöèè â èòîãå ïîëó÷àåì åùå îäíî óðàâíåíèå íà ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû k k (z1 ∂z1 + z2 ∂z2 )C12 (z1 − z2 ) = (∆k − ∆1 − ∆2 )C12 (z1 − z2 ). (276) Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû ìîæíî íàïèñàòü ñ ïîìîùüþ àíòèãîëîìîðôíîãî ïñåâäîòåíçîðà, íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé ¯ ¯ ¯ k k C12 (z1 , z2 ) = (z1 − z2 )∆k −∆1 −∆2 (z̄1 − z̄2 )∆k −∆1 −∆2 C12 , 34 (277) k ãäå C12 óæå ÿâëÿþòñÿ ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè. Òåïåðü âñïîìíèì, ¯ k 6= 0. Ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òî hAk (z, z̄)i = 0, åñëè ∆k = 6 0 èëè ∆ hA1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 )i = (z1 − z2 D12 ∆ +∆ 1 2 (z̄ ) 1 ÷òî (278) ¯ 1 +∆ ¯2 − z̄2 )∆ Áàçèñíûå ïîëÿ, äëÿ êîòîðûõ L1 Aj (z, z̄) = 0, L̄1 Aj (z, z̄) = 0 (279) íàçûâàþòñÿ êâàçèïðèìàðíûìè, â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü èõ êàê φα (z, z̄). Îíè îáëàäàþò, êàê ìû óæå âûÿñíèëè, ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè L0 φα (z, z̄) = ∆α φα (z, z̄), ¯ α φα (z, z̄), L̄0 φα (z, z̄) = ∆ L−1 φα (z, z̄) = ∂z φα (z, z̄), L̄−1 φα (z, z̄) = ∂z̄ φα (z, z̄), L1 φα (z, z̄) = L̄1 φα (z, z̄) = 0. (280) (281) (282) Âñïîìèíàÿ, ÷òî äðîáíîëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðèÿìè êîððåëÿòîðîâ (ôîðìóëà (259)), íàõîäèì, ÷òî ∆i = ∆j , ¯i = ∆ ¯ j, ∆ è èíà÷å ìû ïîëó÷èì íîëü. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî çàïèñàòü â êîìïàêòíîì âèäå âûðàæåíèå äëÿ äâóõòî÷å÷íîé ôóíêöèè hφ1 (z1 , z̄1 )φ2 (z2 , z̄2 )i = ãäå z12 = z1 − z2 , à òàêæå D12 ¯ 1 ,∆ ¯2, ¯ δ∆1 ,∆2 δ∆ 2∆1 2∆ z12 z̄12 1 δ∆1 ,∆2 = 1, åñëè ∆1 = ∆ 2 è δ∆1 ,∆2 = 0 (283) èíà÷å. Òåïåðü ïðèâåäåì ïðîñòî îòâåò äëÿ òðåõòî÷å÷íîé ôóíêöèè γ3 γ2 γ1 γ̄3 γ̄2 γ̄1 hφ1 (z1 , z̄1 )φ2 (z2 , z̄2 )φ3 (z3 , z̄3 )i = C123 z12 z13 z23 z̄12 z̄13 z̄23 , ¯i −∆ ¯, C123 êîíñòàíòà, γi = ∆i − ∆, γ̄i = ∆ ¯1 + ∆ ¯2 + ∆ ¯ 3. ∆ ãäå 2.6 à (284) ¯ = ∆ = ∆1 + ∆ 2 + ∆ 3 , ∆ Ïðèìàðíûå ïîëÿ è èõ ïîòîìêè. Òåïåðü äàâàéòå âåðíåìñÿ ê îïåðàòîðíîìó ðàçëîæåíèþ (248). Òàê êàê ìû ãîâîðèëè, ÷òî âàðèàöèÿ δε A(z) íåêîãî ëîêàëüíîãî ïîëÿ A ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèè ε(z) z , òî î÷åâèäíî ÷òî nA , ïîýòîìó ìîæíî è êîíå÷íîãî ÷èñëà åå ïðîèçâîäíûõ, âçÿòûõ â òî÷êå ðÿä â ôîðìóëå (248) îáðûâàåòñÿ câåðõó ïðè íåêîòîðîì çàïèñàòü nA X T (u)A(z, z̄) = (u − z)−n−2 Ln A(z, z̄). (285) n=−∞ Äàëåå, òàê êàê ïîëå íîñòü ïîëÿ A. Ln A ¯ , (∆ − n, ∆) âñåõ n > nA , èìååò ðàçìåðíîñòü È òàê êàê Ln A = 0 ïðè ¯ ) ðàçìåðãäå (∆, ∆ òî ìû âèäèì, ÷òî ñïåêòð ðàçìåðíîñòåé îãðàíè÷åí ñíèçó. Îòñþäà ñëåäóåò ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ëîêàëüíûõ ïîëåé A ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå êîíôîðìíûå ïîëÿ, êîòîðûå óíè÷òîæàþòñÿ îïåðàòîðàìè Ln , ïðè n > 0, òî åñòü Ln Φα = L̄n Φα = 0, (286) L0 Φα = ∆α Φα , (287) 35 n > 0, ¯ α Φα L̄0 Φ = ∆ Òàêèå ïîëÿ íàçûâàþòñÿ ïðèìàðíûìè. Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå òåíçîðîâ ýíåðãèè èìïóëüñà ñ ïðèìàðíûì ïîëåì ∆α 1 Φα (z, z̄) + ∂z Φ(z, z̄) + ðåã., 2 (u − z) u−z ¯α ∆ 1 Φα (z, z̄) + ∂z̄ Φ(z, z̄) + ðåã.. T̄ (ū)Φα (z, z̄) = 2 (ū − z̄) ū − z̄ T (u)Φα (z, z̄) = (288) (289) Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ïðèìàðíîãî ïîëÿ ïðè z + ε(z) è z→ z̄ → z̄ + ε̄(z̄) δε Φα (z, z̄) = ε(z)∂z Φα (z, z̄) + ∆α ε0 (z)Φα (z, z̄), ¯ α ε̄0 (z̄)Φα (z, z̄), δε̄ Φα (z, z̄) = ε̄(z̄)∂z̄ Φα (z, z̄) + ∆ à äëÿ êîíå÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé Φα (z, z̄) → z → w(z), z̄ → w̄(z̄), dw dz ∆α dw̄ dz̄ (290) (291) ïîëó÷èì ∆ ¯α Φα (w, w̄). (292) L−n ê ïðèìàðíî¯ α ). Φα (z, z̄), òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîëå ñ ðàçìåðíîñòüþ (∆α +n, ∆ Òàêèå ïîëÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ïîòîìêàìè ïðèìàðíîãî ïîëÿ Φα (z, z̄). ×òîáû Åñëè ìû ðàññìîòðèì ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà ìó ïîëþ íå áûëî ÿâíîãî ïåðåó÷åòà ïîòîìêîâ, â ñëåäñòâèå êîììóòàöèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ (255), èõ ìîæíî âûáðàòü â âèäå L−n1 L−n2 ...L−nN L̄−m1 ...L̄−mM Φα , 0 6 n1 < n2 6 ... 6 nN ãäå è 0 < m1 6 m2 6 ... 6 mM . (293) Âñå ýòî áåñêîíå÷- íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî îáðàçóåò ïðåäñòàâëåíèå àëãåáðû Âèðàñîðî. Íàáîð ïîëåé [Φα ] ∈ A, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ïîëåé òèïà (293), ìû áóäåì íàçûâàòü êîíôîðìíûì ñåìåéñòâîì. Êîíôîðìíîå ñåìåéñòâî ñîäåðæèò ñàìî ïðèìàðíîå ïîëå Φα (z, z̄), à òàêæå âñå åãî ïîòîìêè, ïîëó÷àåìûå äåéñòâèåì îïåðàòîðîâ àëãåáðû Âèðàñîðî. Ñäåëàåì âàæíîå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âñ¼ ïðîñòðàíñòâî ïîëåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó A = ⊕α [Φα ]. Áîëåå òîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî äðóãèõ ïîëåé íåò, õîòÿ ýòî è íå îáùàÿ ñèòóàöèÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè íåêîòîðûõ ïðèìàðíûõ ïîëåé è òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà hT (u)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i. (294) u, ïðè ôèêñèðîâàízi . Êàê ìû çíàåì, ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãîëîìîðôíîé, çà èñêëþ÷åíèåì Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò êîððåëÿòîð, êàê ôóíêöèþ íûõ òåõ òî÷åê, ãäå íàõîäÿòñÿ îñòàëüíûå ïîëÿ. Â ýòèõ òî÷êàõ, èìåþòñÿ ñèíãóëÿðíîñòè â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè (288). Êðîìå òîãî, â ïðåäåëå ôóíêöèÿ âåäåò ñåáÿ êàê 1/u4 . u→∞ ýòà ×òîáû ýòî óâèäåòü, çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ïðå- äåëå, èñïîëüçóÿ îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ìåæäó ïîëÿìè Φ, ìû, â êîíå÷íîì èòîãå ïîëó÷èì äâóõòî÷å÷íóþ êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ âèäà T (u)Φ̃(z). Ìû îïóñòèëè ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû è ñóììû ïî ïðîìåæóòî÷íûì ðàçìåðíîñòÿì. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ðàçìåðíîñòü òåíçîðà ýíåðãèè èìïóëüñà ðàâíà äâóì, ïîýòîìó, êàê ìû îáñóæäàëè âûøå, ðàçìåðíîñòü ïîëÿ Φ̃ òîæå äîëæ- íà áûòü ðàâíà äâóì. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà 36 íóëþ. Åñëè æå ðàçìåðíîñòè ñîâïàäàþò, òî äâóõòî÷å÷íàÿ ôóíêöèÿ óáûâàåò êàê 1/(u)2∆ = 1/(u)4 ïðè u → ∞. Îïèðàÿñü íà ýòè ðàññóæäåíèÿ, ñðàçó ìîæåì íàïèñàòü, êàêèì îáðàçîì ýòà ôóíêöèÿ çàâèñèò îò u hT (u)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = N X ∆k ∂ 1 = + hΦ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i (u − zk )2 (u − zk ) ∂zk (295) k=1 Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü, çíà÷åíèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, ñîäåðæàùåé ëþáîå ÷èñëî îïåðàòîðîâ òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà è ïðîèçâîëüíîå êîëè÷åñòâî ïðèìàðíûõ ïîëåé. Ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (295) ÿâëÿåòñÿ âàæíûé ôàêò, ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîòîìêîâ âûðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîì ïðèìåíåíèÿ íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ê êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ïðèìàðíûõ ïîëåé. Äåéñòâèòåëüíî, êàê ìû çíàåì, ïîòîìêè ïðèìàðíîãî ïîëÿ ïîëó÷àþòñÿ ïðèìåíåíèåì íåêîòîðîé êîìáèíàöèè îïåðàòîðîâ àëãåáðû Âèðàñîðî ê ïðèìàðíîìó ïîëþ I L−n Φ(z, z̄) = Cz du (u − z)1−n T (u)Φ(z, z̄). 2πi (296) Ðàññìîòðèì òåïåðü êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ, ñîäåðæàùóþ ýòî âòîðè÷íîå ïîëå h(L−n Φ(z, z̄))Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = I du = (u − z)1−n hT (u)Φ(z, z̄)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i. 2πi Cz Êîíòóð ìîæíî ïåðåêèíóòü íà òî÷êè zk , k = 1, .., N , (297) (ðèñ.4) è òàê êàê Ðèñ. 4: Âû÷èñëåíèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè. êîíòóð, îõâàòûâàþùèé âñå òî÷êè â ïðåäåëå áåñêîíå÷íî áîëüøîãî êîíòóðà, íå äàåò âêëàäà, òî ïîëó÷àåì h(L−n Φ(z, z̄))Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = N I X du =− (u − z)1−n hT (u)Φ(z, z̄)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i. 2πi Cz k=1 (298) k Òåïåðü ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îïåðàòîðíûì ðàçëîæåíèåì âíóòðè êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, òàê êàê åäèíñòâåííûå ñèíãóëÿðíîñòè ïî òî÷êå z. u íàõîäÿòñÿ â Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì h(L−n Φ(z, z̄))Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = N X 1 ∂ (n − 1)∆k − = hΦ(z, z̄)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i. (zk − z)n (zk − z)n−1 ∂zk k=1 (299) Òàêèì îáðàçîì, ìû ÿâíî ïîêàçàëè, êàê êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïîòîìêîâ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïðèìàðíûõ ïîëåé. 37 2.7 Ñèíãóëÿðíûå âåêòîðà è ïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ. Â ïðîøëîì ðàçäåëå ìû ïîñòóëèðîâàëè, ÷òî âñå ïðîñòðàíñòâî ïîëåé Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ ìîæåò áûòü ðàçáèòî íà ïðÿìóþ ñóììó ïðåäñòàâëåíèé àëãåáðû Âèðàñîðî ñî ñòàðøèì âåñîì A = ⊕α [Φα ], (300) ãäå êîíôîðìíîå ñåìåéñòâî (êîíôîðìíûé áëîê) ïîëÿ Φα è âñåõ åãî ïîòîìêîâ, ïîëó÷àþùèõñÿ èç íèåì ê íåìó ãåíåðàòîðîâ [Φα ] ñîñòîèò èç ïðèìàðíîãî Φα ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíå- Ln , ñ n < 0. Ïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì. Óðîâíåì ìû áóäåì íàçûâàòü öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íà êîòîðîå ðàçìåðíîñòü ïîëÿ ïîòîìêà îòëè÷àåòñÿ îò ðàçìåðíîñòè ïðèìàðíîãî ïîëÿ. Íàïðèìåð, âñå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé íà Ðèñ. 5: Ïðîñòðàíñòâî ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû Âèðàñîðî. ïåðâûõ íåñêîëüêèõ óðîâíÿõ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ L−1 Φα L2−1 Φα L3−1 Φα Íà ïðîèçâîëüíîì íà ïåðâîì óðîâíå L−2 Φα L−1 L−2 Φα íà âòîðîì L−3 Φα íà òðåòüåì (ðèñ.5) N -îì óðîâíå, ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé áóäåò ëèíåéíîé îáî- ëî÷êîé âåêòîðîâ âèäà L−n1 L−n2 ...L−nN Φα , (301) òàêèõ, ÷òî n1 + n2 + ... + nN = N . Áàçèñ ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî n1 > n2 > ... > nN . ×èñëî áàçèñíûõ âåêòîðîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó ðàçáèåíèé ÷èñëà N , â ñóììó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäèìûì, åñëè íà íåêîòîðîì óðîâíå ñóùå- W (ðèñ. 6), òàêîé, ÷òî îí ñàì ÿâëÿåòñÿ ïðèìàðíûì ïîëåì, Ln W = 0 äëÿ n > 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäïðîñòðàíñòâî [Φα ], ñîñòîÿ- ñòâóåò ïîòîìîê òî åñòü Ðèñ. 6: Ñèíãóëÿðíûé âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû Âèðàñîðî. ùèå èç ïîòîìêîâ W, ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Òàêæå W ìû áóäåì íàçûâàòü îñîáûì âåêòîðîì. Åñëè ðàçìåðíîñòü ïðèìàðíîãî ïîëÿ è öåíòðàëüíûé çàðÿä òåîðèè íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè, òî îñîáûõ âåêòîðîâ íåò, îäíàêî ïðè ñïåöèàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ýòèõ ïàðàìåòðîâ îñîáûå âåêòîðà âîçíèêàþò. Îòâåò íà âîïðîñ, êîãäà âîçíèêàþò îñîáûå âåêòîðà äàåòñÿ òåîðåìîé Êàöà. Äëÿ òîãî, ÷òîá ñôîðìóëèðîâàòü ýòó òåîðåìó, ââåäåì äîïîëíèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ. Âûáåðåì ïàðàìåòðèçàöèþ öåíòðàëüíîãî çàðÿäà c = 1 + 6Q2 , 38 (302) ãäå Q = b−1 + b. (303) Ðàçìåðíîñòü ïðèìàðíîãî ïîëÿ óäîáíî ïàðàìåòðèçîâàòü êàê ∆(a) = a(Q − a), (304) òîãäà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Òåîðåìà Êàöà. Åñëè ïàðàìåòð amn = ãäå m, n a ðàâåí ñïåöèàëüíîìó çíà÷åíèþ (1 − m)b−1 + (1 − n)b , 2 öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî íà óðîâíå (305) N = mn íàõîäèòüñÿ îñîáûé âåêòîð. Ýòîò îñîáûé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ïîòîìêîì ïðèìàðíîãî ïîëÿ ñ ðàçìåðíîñòüþ ∆mn = ∆(amn ), êîòîðîå ìû áóäåì èìååò âèä Wnm = Dmn Φmn , ãäå îáîçíà÷àòü Φmn . Ñàì îñîáûé âåêòîð mn−2 Dmn = Lmn L−2 + .... −1 + a1 L−1 (306) Ïðîöåäóðà íàõîæäåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî âåêòîðà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Çàïèñûâàåì ñàìûé îáùèé âèä âåêòîðà íà óðîâíå îïåðàòîðàìè Ln , n > 0, N. Çàòåì, äåéñòâóÿ íà íåãî ñìîòðèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ðåçóëüòàò ýòîãî äåé- a1 , a2 , .... Dmn . Îòìå- ñòâèÿ ðàâåí íóëþ. Òàêèì ñïîñîáîì îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ßâíîå âû÷èñëåíèå îñîáûõ âåêòîðîâ ïîçâîëÿåò íàéòè îïåðàòîðû òèì, ÷òî Dnm ñâÿçàíû çàìåíîé b → b−1 . Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïåðâûõ äëÿ Dmn Dmn âûðàæåíèé è D11 = L−1 , D12 = (L2−1 + b2 L−2 ), D13 = (L3−1 + 4b2 L−2 L−1 + 2b2 (1 + 2b2 )L−3 ), D41 = (L4−1 + 10b2 L−2 L2−1 + 2b2 (5 + 12b2 )L−3 L−1 + 9b2 (1 + 4b2 + 6b4 )L−4 ). (307) 2.8 Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ "âûðîæäåííûõ ïîëåé". Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîëå Φmn , ñîîòâåòñòâóþùåå ñèíãóëÿðíîìó âåêòîðó, îáëàäàåò íóëåâîé íîðìîé, ïîýòîìó ìû áóäåì òðåáîâàòü ÷òîáû îñîáûå âåêòîðà áûëè ðàâíû íóëþ [4] . Âìåñòå ñ ñèíãóëÿðíûì âåêòîðîì áóäåì ïîëàãàòü íóëþ è âñåõ åãî ïîòîìêîâ. Â ðåçóëüòàòå ïðåäñòàâëåíèå íåïðèâîäèìûì. Òàêîå ïîëå Φmn [Φmn ] ñòàíåò â ëèòåðàòóðå, âîçìîæíî íå î÷åíü óäà÷íî, íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì. Èç ýòîãî òðåáîâàíèÿ îòùåïëåíèÿ îñîáîãî âåêòîðà ìîæíî ïîëó÷èòü èíòåðåñíûå ñëåäñòâèÿ äëÿ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé, à èìåííî, êîððåëÿöèîí- 39 íûå ôóíêöèè, ñîäåðæàùèå ïðèìàðíûå ïîëÿ Φmn óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîä- íûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì hDmn Φmn Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = D̂mn hΦmn Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = 0, (308) ãäå D̂mn óæå íåêîòîðûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð. Ðàññìîòðèì, íàïðè- ìåð, îñîáûé âåêòîð D12 Φ12 . Òîãäà êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ ýòî ïîëå òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ hD12 Φ12 Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñïîìíèì, êàê äåéñòâóåò îïåðàòîð I Ln A(z, z̄) = Cz Ln (309) íà ïîëå A(z, z̄) du (u − z)n+1 T (u)A(z, z̄). 2πi (310) Òîãäà, èñïîëüçóÿ òîæäåñòâà Óîðäà (295) èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ïîëó÷àåì " # N X ∆k d2 1 ∂ 2 +b + hΦ12 Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = 0, dz 2 (z − zk )2 z − zk ∂zk k=1 (311) òî åñòü, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ. 2.9 Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ "âûðîæäåííûõ ïîëåé". Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âîçíèêàåò îãðàíè÷åíèå íà îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå âûðîæäåííîãî ïîëÿ ñ äðóãèìè ïîëÿìè. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü z → z1 . Ðàñ- ñìîòðèì îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå Φ12 (z)Φ∆ (z1 ) = X ˜ ˜ ∆ C12,∆ (z − z1 )∆−∆−∆12 (Φ∆ ˜ (z1 ) + ...). (312) ˜ ∆ Îáîçíà÷èì ˜ − ∆ − ∆12 . κ = ∆ Ïîäñòàâèì â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (311) ïðàâóþ ÷àñòü îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ (312). Ïîëó÷èì, ÷òî íàèáîëåå (z−z1 )κ−2 . Äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíåíèå κ−2 âûïîëíÿëîñü, íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû êîýôôèöèåíò ïðè (z − z1 ) ñèíãóëÿðíûå ÷ëåíû ïðîïîðöèîíàëüíû áûë ðàâåí íóëþ. Îòñþäà ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå κ(κ − 1) + b2 ∆ − b2 κ = 0. Èñïîëüçóÿ ïàðàìåòðèçàöèþ (313) ∆(a) = a(Q−a), ãäå Q = b+b−1 , ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (313) ñâîäèòñÿ ê âèäó (ab − κ)(1 − ab + b2 − κ) = 0. (314) Ïîýòîìó äâà ðåøåíèÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ðàâíû ˜ − ∆ − ∆1,2 = ab, ∆ ˜ − ∆ − ∆1,2 = 1 − ab − b2 . ∆ 40 (315) (316) Òåïåðü ó÷òåì, ÷òî ã(Q − ã), ∆1,2 = −3b2 /4 − 1/2, à òàêæå ïàðàìåòðèçóåì ˜ ∆(ã) = òîãäà ðåøåíèÿ ïðèîáðåòàþò âèä (ã − a + b/2)(Q − a − ã + b/2) = 0, (317) (ã − a − b/2)(Q − a − ã − b/2) = 0. (318) Òåïåðü íåñëîæíî íàéòè ã ã = a ± b/2, ã = Q − a ± b/2. (319) Ìû ïîëó÷èëè îãðàíè÷åíèå íà âèä îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ, òî åñòü ïðè Φa = Φ∆(a) ˜ = ã(Q − ã), ãäå ∆ ðàññìîòðåíèè îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ ñ ïîëåì ã Φ12 ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ ïîëÿ ñ ðàçìåðíîñòüþ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì (319). Ýòî óòâåðæäåíèå ñõåìàòè÷åñêè ìîæíî çàïèñàòü òàê Φ12 Φa = Φa+b/2 + Φa−b/2 . Êðîìå ïîëÿ Φ12 èìååòñÿ åùå ïîëå Φ21 . (320) Êàê ìû îòìå÷àëè âûøå, ðàçíèöà ìåæäó îñîáûìè âåêòîðàìè ýòèõ ïîëåé çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå b → b−1 . Ïî- ýòîìó èìååì Φ21 Φa = Φa+1/2b + Φa−1/2b . Àíàëîãè÷íî ìîæíî èçó÷àòü è îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ ñ ïîëÿìè ïðèìåð, äëÿ ïîëÿ Φ13 (321) Φmn . Íà- ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå òðåòüåé ñòåïåíè. Âìåñòî ýòîãî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äðóãèì ïðèåìîì. Ïóñòü a = a12 = −b/2. Òîãäà èç ôîðìóëû (320) ñëåäóåò Φ12 Φ12 = Φa12 +b/2 + Φa12 −b/2 = [Φ11 ] + [Φ13 ] . (322) Ìîæíî òàêæå íàïèñàòü Φ13 Φa = Φ12 (Φ12 Φa ) = [Φa+b ] + [Φa ] + [Φa−b ]. Äëÿ ïîëÿ îáùåãî âèäà êàê (Φ21 )m−1 (Φ12 )n−1 , Φmn , (323) êîòîðîå ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñèìâîëè÷åñêè ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó ìîæåì ïîëó÷èòü Φmn Φa = X Φa+λr,s , (324) r,s ãäå λr,s = à r è s rb + sb−1 , 2 (325) ïðîáåãàþò çíà÷åíèÿ r = m − 1, m − 3, ... , 1 − m, s = n − 1, n − 3, ... , 1 − n. (326) (327) È òàêæå ìîæíî íàéòè, ÷òî Φn1 m1 Φn2 m2 = min(mX 1 ,m2 )−1 min(n1 ,n2 )−1 X k=0 ãäå l=0 n0 = |n1 − n2 | + 1, m0 = |m1 − m2 | + 1. 41 [Φn0 +2l,m0 +2k ], (328) Âîçìîæíà ëè òåîðèÿ â êîòîðîé àëãåáðà ïîëåé èñ÷åðïûâàåòñÿ ïðîñòðàí- AD = ∞ L [Φmn ]? Äëÿ òîãî, ÷òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ ñëåäóåò n,m=1 îïðåäåëèòü ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ è ïîêàçàòü, ñòâîì ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ àññîöèàòèâíîñòè. Ýòà çàäà÷à áûëà ðåøåíà, äàâ íà ýòîò âîïðîñ ïîëîæèòåëüíûé îòâåò, íî åå òåìà âûõîäèò çà ðàìêè íàøèõ ëåêöèé. Êîíôîðìíàÿ Òåîðèÿ Ïîëÿ ñ òàêèì íàáîðîì ïîëåé è ìíèìûì ïàðàìåòðîì b = iβ íàçûâàåòñÿ Îáîáùåííîé Ìèíèìàëüíîé Ìîäåëüþ. Ñîáñòâåííî æå Ìèíèìàëüíîé Ìîäåëüþ Êîíôîðìíîé Òåîðèè Ïîëÿ íàçûâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ïàðàìåòð β2 ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì β 2 = p/q . Â ýòîì ñëó÷àå öåíòðàëüíûé çàðÿä ñ =1−6 (p − q)2 , pq (329) à çíà÷åíèå ðàçìåðíîñòåé ∆mn = (pm − qn)2 − (p − q)2 . 4pq (330) Ìèíèìàëüíûå ìîäåëè Êîíôîðìíîé Òåîðèè Ïîëÿ îïèñûâàþò ðàçëè÷íûå òèïû êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïðè d=2 òàêèõ ìîäåëåé Ñòàòèñòè÷åñêîé ôè- çèêè, êàê äâóìåðíàÿ Ìîäåëü Èçèíãà, Ìîäåëè Ïîòòñà è äðóãèå. 3 Ìèíèìàëüíàÿ Òåîðèÿ Ñòðóí. Â ýòîé ëåêöèè ìû âîçâðàùàåìñÿ ê íåêðèòè÷åñêîé Òåîðèè ñòðóí. Àëüòåðíàòèâíàÿ ê èñõîäíîé ôîðìóëèðîâêà ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ñòðóííóþ âîñïðèèì÷èâîñòü è ãðàâèòàöèîííûå ðàçìåðíîñòè íàáëþäàåìûõ â òåðìèíàõ öåíòðàëüíîãî çàðÿäà è ðàçìåðíîñòåé ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðèìàðíûõ ïîëåé êîíôîðìíîé ìàòåðèè [5]. 3.1 Ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë Ïîëÿêîâà â êîíôîðìíîé êàëèáðîâêå. Âñïîìíèì, ñ ÷åãî ìû íà÷èíàëè. Ìû îïðåäåëèëè àìïëèòóäó ïåðåõîäà ñòðóíû èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå, êàê ñóììó ïî âñåì ïîâåðõíîñòÿì ñîåäèíÿþùèì íà÷àëüíóþ è êîíå÷íóþ êîíôèãóðàöèþ ñòðóíû Z= X def e−(ïëîùàäü) = Z DgDX µ exp(−SP [X µ , gab ]), (331) Ïî ïîâåðõíîñòÿì ãäå SP [X µ , gab ] äåéñòâèå Ïîëÿêîâà. Íàì íóæíî ó÷èòûâàòü êàæäóþ ïî- âåðõíîñòü ïî îäíîìó ðàçó, íî èç-çà ïàðàìåòðèçàöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè, êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü âõîäèò â ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë (331) áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. Íåîáõîäèìî áûëî âûäåëèòü ôàêòîð, ó÷èòûâàþùèé ýòîò ïåðåó÷åò ïîâåðõíîñòåé. Äëÿ ýòîãî ìû ïðîâåëè ôèêñàöèþ êàëèáðîâêè. Âêðàòöå íàïîìíèì îñíîâíûå øàãè ýòîé ïðîöåäóðû. Âíà÷àëå ìû âûáðàëè â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê ïîâåðõíîñòü Σ, íà êîòîðîé ìåòðèêè èìåþò âèä eσ ĝ , ãäå ĝ íåêîòîðàÿ ìåòðèêà. Îñòàëüíûå ìåòðèêè ïîëó÷àþòñÿ èç ìåòðèê íà ïîâåðõíîñòè Σ â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ãðóïïû ðåïàðàìåòðèçàöèé. Çàòåì ìû ïåðåøëè 42 îò èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì ìåòðèêàì, ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ìåòðèêàì íà ïîâåðõíîñòè Σ è ïî ýëåìåíòàì ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ. Îáúåì îðáèòû ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ è ÿâëÿåòñÿ ôàêòîðîì ïåðåó÷åòà ïîâåðõíîñòåé. Ïîýòîìó ìû ïåðåîïðåäåëèëè ìåðó â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê, óñòðàíèâ ýòîò ôàêòîð. È â èòîãå ïîëó÷èëè, ÷òî Z Z= DP ϕDeϕ ĝ (B, C)Deϕ ĝ X µ exp(−SP [X µ , eϕ ĝab ] − SGh [B, C, eϕ ĝab ]), (332) DP ϕ, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì Z p 2 kδϕkP = eϕ(x) (δϕ(x))2 ĝd2 x. ãäå íîðìà íà ìåðå Ïîëÿêîâà Ýòà ìåðà íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé ïðè çàìåíå âûðàæåíèåì ϕ(x) → ϕ(x) + η(x), (333) òî åñòü íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé. Äàëåå, èñïîëüçóÿ êîíôîðìíóþ àíîìàëèþ, ìû â èòîãå ïðèøëè ê êîíå÷íîìó îòâåòó, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Z Z= P DP ϕDĝ (B, C)Dĝ X exp(−Stot [B, C, X, ϕ, ĝab ]), ãäå ïîëíîå äåéñòâèå ñòðóíû ãàåìûõ P Stot [B, C, X, ϕ, ĝab ], (334) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé òðåõ ñëà- P Stot [B, C, X, ϕ, ĝ] = SP [X µ , ĝ] + SGh [B, C, ĝ] + 26 − D W [ϕ, ĝ]. 48π (335) Ïîñëåäíèé ÷ëåí â ôîðìóëå (335), ïîÿâëÿþùèéñÿ èç-çà ó÷åòà êîíôîðìíîé àíîìàëèè, îïèñûâàåò äèíàìèêó ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Çàâèñèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà (334) îò ĝ ÿâëÿåòñÿ êàæóùåéñÿ, ïîñêîëüêó â èñõîä- íîé ôîðìóëèðîâêå èíòåãðèðîâàíèå ïðîèñõîäèò ïî âñåì ìåòðèêàì è íèêàêàÿ ìåòðèêà íå ÿâëÿåòñÿ âûäåëåííîé. Ýòî ìîæíî ïðîâåðèòü ÿâíûì âû÷èñëåíèåì. Ôîðìóëó (334) ìîæíî îáîáùèòü, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî ðîëü ìàòåðèè âìåñòî D-ìåðíîãî ñêàëÿðíîãî áåçìàññîâîãî ïîëÿ X µ , èãðàåò íåêîòîðîå ïîëå, òàêæå îáîçíà÷àåìîå X , äèíàìèêà êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîé Äâóìåðíîé Êîíôîðìíîé Òåîðèè Ïîëÿ ñ äåéñòâèåì SM [X, g] è öåíòðàëüíûì çàðÿäîì cM . Èçìåíèâ íîðìèðîâêó ïîëÿ ϕ r 24 ϕ→ ϕ, (336) 26 − D ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ äåéñòâèÿ ñòðóíû P Stot [B, C, X, ϕ, ĝ] = SP [X µ , ĝ] + SGh [B, C, ĝ] + S̃L [ϕ, ĝ], (337) ãäå Z h ip 1 S̃L [ϕ̃, ĝ] = ĝ ab ∂a ϕ∂b ϕ + Q̃R[ĝ] ϕ ĝd2 x, 4π r r 26 − D 6 Q̃ = , b̃ = , 6 26 − D (338) (339) à âûðàæåíèå äëÿ ìåðû (333) ïðèîáðåòåò âèä kδϕk2P Z = e2b̃ϕ(x) (δϕ(x))2 43 p ĝd2 x. (340) 3.2 Ôîðìóëèðîâêà Äàâèäà - Äèñòëåðà - Êàâàè. Ñóùåñòâóåò àëüòåðíàòèâíàÿ ôîðìóëèðîâêà íåêðèòè÷åñêîé òåîðèè ñòðóí, ïðèíàäëåæàùàÿ Äàâèäó-Äèñòëåðó-Êàâàè (DDK) [6], êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîé èñõîäíîìó ïîäõîäó Ïîëÿêîâà. Â ôîðìóëèðîâêå DDK âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà â êîíôîðìíîé êàëèáðîâêå def Z Dĝ ϕDĝ (B, C)Dĝ X exp(−SM [X, ĝ] − SGh [B, C, ĝ] − SL [ϕ, ĝ]) Z= îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî ìåðà èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîëÿ ëèíåéíîé kδϕk2 = à äåéñòâèå SL [ϕ, ĝ], SL [ϕ, ĝ] = ãäå µ Z (δϕ(x))2 p ϕ (341) ÿâëÿåòñÿ ĝd2 x, (342) íàçûâàåìîå äåéñòâèåì Ëèóâèëëÿ, ïðèíèìàåò âèä 1 4π Z h ĝ ab ∂a ϕ∂b ϕ + QR[ĝ] ϕ + 4πµe2bϕ êîñìîëîãè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, à Q è b ip ĝd2 x, (343) íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Îñ- íîâíîå ïðåäïîëîæåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî åäèíñòâåííûì ñëåäñòâèåì îò çàìåíû ìåðû èíòåãðèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íàÿ ïåðåíîðìèðîâêà ïàðàìåòðîâ â SL [ϕ, ĝ]. Ïåðåíîðìèðîâàííûå ïàðàìåòðû Q è b îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà îò áýêãðàóíä ìåòðèêè ĝ . Òàê êàê ïðè ðåïàðàìåòðèçàöèÿõ âûðàæåíèå (341) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì, îñòàåòñÿ îáåñïå÷èòü èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Âåéëÿ. Ïîñêîëüêó ìû çíàåì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ôóíêöèîíàëüíûìè èíòåãðàëàìè, îïèñûâàþùèìè êîíôîðìíóþ ìàòåðèþ è äóõè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè eσ ĝab , ĝab → gab = îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü êàê èçìåíÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ïî ëèóâèëëåâñêîìó ïîëþ e [ĝ] −SL Z e = Dĝ ϕe−SL [ϕ,ĝ] . (344) Äëÿ íà÷àëà îáðàòèìñÿ ê ñëó÷àþ, â êîòîðîì ýêñïîíåíöèàëüíûé ÷ëåí â ôîðìóëå (343) îòñóòñòâóåò, òî åñòü √ gR[g] (x) = p µ = 0. Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó [ĝ] ĝ(R[ĝ] (x) + ∆0 σ(x)), gab = eσ ĝab , ãäå p 1 [ĝ] ∆0 = − √ ∂a ĝ ab ĝ∂b , ĝ (345) äëÿ äåéñòâèÿ (343) ïîëó÷àåì 1 SL [ϕ, e ĝ] = 4π σ Z h ĝ ab ∂a ϕ∂b ϕ + QR[ĝ] ϕ + Qĝ ab ∂a σ∂b ϕ ip ĝd2 x, (346) ãäå ìû óæå ïðîèçâåëè èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì Z [ĝ] Qϕ(x)∆0 σ(x) p Òåïåðü ïåðåéäåì ê íîâîìó ïîëþ ôóíêöþ Z 2 ĝd x = Qĝ ab ∂a σ∂b ϕ p 2 ĝd x. (347) ϕ̃(x), ñäâèãîì ïîëÿ ϕ(x) íà ôèêñèðîâàííóþ Q 2 σ(x) ϕ̃(x) = ϕ(x) + 44 Q σ(x). 2 (348) ϕ̃ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Z p 2 1 Q2 1 ab σ [ĝ] ab [ĝ] SL [ϕ, e ĝ] = ĝd x, ĝ ∂a σ∂b σ + R σ ĝ ∂a ϕ̃∂b ϕ̃ + QR ϕ̃ − 4π 2 2 Âûðàæåíèå (346) â òåðìèíàõ ïîëÿ (349) èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, SL [ϕ, eσ ĝ] = SL [ϕ̃, ĝ] − Q2 W [σ, ĝ], 8π (350) ãäå Z W [σ, ĝ] = p 2 1 ab [ĝ] ĝd x. ĝ ∂a σ(x)∂b σ(x) + R (x)σ(x) 2 Â ñèëó ëèíåéíîñòè ìåðû ïîëÿ ϕ, (351) ìû èìååì Deσ ĝ ϕ = Deσ ĝ ϕ̃. (352) Ó÷åò êâàíòîâîé àíîìàëèè â ìåðå ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíîìó ñëàãàåìîìó â ñîîòíîøåíèè ìåæäó ýôôåêòèâíûìè äåéñòâèÿìè òåîðèè Ëèóâèëëÿ â ìåòðèêå eσ ĝ è ĝ , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìû ïîëó÷àåì SLe [eσ ĝ] = SLe [ĝ] − 1 + 6Q2 W [σ, ĝ]. 48π (353) Òàêèì îáðàçîì ìû äîêàçàëè, ÷òî òåîðèÿ Ëèóâèëëÿ, çàäàâàåìàÿ (344) ïðè µ=0 ÿâëÿåòñÿ Êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ, â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ äàííîãî â êîíöå ïåðâîé ëåêöèè, ñ öåíòðàëüíûì çàðÿäîì cL = 1 + 6Q2 . (354) Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ýòîé òåîðèè â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèä Tab = −∂a ϕ∂b ϕ + ĝab 2 ĝab (∂a ϕ)2 + Q ∂a ∂b ϕ − ∂a ϕ . 2 2 (355) Êàê îáû÷íî â Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ ñóùåñòâóþò äâå êîìïîíåíòû òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà Tzz = T (z) = −(∂ϕ)2 + Q∂ 2 ϕ, ¯ 2 + Q∂¯2 ϕ, Tz̄z̄ = T̄ (z̄) = −(∂ϕ) (356) (357) êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ãîëîìîðôíûì è àíòèãîëîìîðôíûì ïîëÿìè ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèìàðíûìè ïîëÿìè â òåîðèè Ëèóâèëëÿ, ÿâëÿþòñÿ ïîëÿ Va (x) =: e2aϕ(x) :. Èõ îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ñ òåíçîðîì ýíåðãèè-èìïóëüñà ëåãêî ïîëó÷èòü, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Âèêà T (u)Va (z, z̄) = ãäå ∆a = a(Q − a) ∆a 1 Va (z, z̄) + ∂z Va (z, z̄) + ðåã., (u − z)2 u−z (358) Va (z, z̄). Va =: e2aϕ(x) : òðåáóåò äëÿ ñâîåãî îïðå- ðàçìåðíîñòü ïîëÿ Ñîñòàâíîå ýêñïîíåíöèàëüíîå ïîëå äåëåíèÿ ðåãóëÿðèçàöèè è ïåðåíîðìèðîâêè. Â ðåçóëüòàòå ýòîãî âîçíèêàåò çàâèñèìîñòü ïîëÿ Va îò ìåòðèêè 2 [e2aϕ(x) ]eσ ĝ = ea 45 σ(x) [e2aϕ(x) ]ĝ . (359) Ïîýòîìó ïðè êîìáèíàöèè ïðåîáðàçîâàíèé ïîëå Va ĝab → eσ ĝab , (360) Q ϕ(x) → ϕ(x) − σ(x), 2 (361) òðàíñôîðìèðóåòñÿ ïî çàêîíó Va (x) → e−∆(a)σ(x) Va (x). Ïóñòü ïàðàìåòð b òàêîâ, ÷òî ∆(b) = 1, (362) ÷òî ýêâèâàëåíòíî Q = b + b−1 , (363) Vb (x) → e−σ(x) Vb (x). (364) òîãäà ïîëå Èíòåãðàë Z √ Vb gd2 x (365) îñòàåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðè (360) è (361). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ Ëèóâèëëÿ [8] ñ äåéñòâèåì (343), â êîòîðîì ïðèñóòñòâóåò êîñìîëîãè÷åñêèé ÷ëåí ñ µ 6= 0, òàêæå ïðåîáðàçóåòñÿ ïî çàêîíó (353). Èíà÷å ãîâîðÿ, ýòà òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ Êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ ñ cL = 1 + 6Q2 . Ïîýòîìó òåîðèÿ ñòðóíû ÿâëÿåòñÿ ñóììîé òðåõ Êîíôîðìíûõ òåîðèé ïîëÿ ñ öåíòðàëüíûìè çàðÿäàìè ðàâíûìè cM , cGh = −26 è cL = 1 + 6Q2 . Äëÿ äîñòèæåíèÿ íåçàâèñèìîñòè ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû ñòðóíû çàäàâàåìîé ôóíêöèîíàëüíûì èíòåãðàëîì (341), òåïåðü äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü çàíóëåíèå ïîëíîãî öåíòðàëüíîãî çàðÿäà òåîðèè ctot = cM + cGh + cL = 0. (366) Ýòî ñîîòíîøåíèå, êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî ôîðìóëå r Q= 25 − cM , 6 âûðàæàåò êîíñòàíòó ñâÿçè Ëèóâèëëÿ b (367) ÷åðåç öåíòðàëüíûé çàðÿä êîíôîðì- íîé ìàòåðèè. Êðîìå ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû â Òåîðèè ñòðóí îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ òàêæå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè íàáëþäàåìûõ. Íàáëþäàåìûå èëè ôèçè÷åñêèå ïîëÿ òàêæå äîëæíû áûòü èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Âåéëÿ. Ïðîñòåéøèå ôèçè÷åñêèå ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ñ ðàçìåðíîñòüþ Φ∆ íåêîòîðîå ïðèìàðíîå ïîëå èç ìàòåðèàëüíîãî ñåêòîðà ∆M . Ïðè êîíôîðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ìåòðèêè ïîëå Φ∆ ïðåîáðàçóåòñÿ êàê Ïðîèçâåäåíèå ïîëÿ [Φ∆ ]eσ ĝ = e−∆M σ [Φ∆ ]ĝ . Φ∆ è îäåâàþùåãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïîëÿ (368) Va èç ëè- óâèëëåâñêîãî ñåêòîðà Ua = Φ∆ Va , (369) ∆M + ∆(a) = 1, (370) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ 46 êîòîðîå ðàâíîñèëüíî ôîðìóëå ∆M + a(Q − a) = 1, (371) è ïðè ðàñòÿæåíèè ìåòðèêè è ñîîòâåòñòâóþùåì ñäâèãå ïîëÿ ϕ, òðàíñôîð- ìèðóåòñÿ ïî çàêîíó Ua = Φ∆ Va → e−σ(x) Φ∆ Va , à íàáëþäàåìûå âèäà Z Oa = (372) √ Φ∆ Va gd2 x (373) îñòàþòñÿ èíâàðèàíòíûìè. Òàêèì îáðàçîì ìû ïðèõîäèì ê îïðåäåëåíèþ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé hOa1 ...OaN i, (374) êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Âåéëÿ, ïîýòîìó íå çàâèñÿò îò áýêãðàóíä ìåòðèêè 3.3 ĝ , òî åñòü ÿâëÿþòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûìè. Ñïåêòð ãðàâèòàöèîííûõ ðàçìåðíîñòåé. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ìàñøòàáíîé çàâèñèìîñòè êîððåëÿòîðà (374). Îí âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Z hOa1 ...OaN i = √ 2 ĝd x ab [ĝ] 2bϕ 1 Dĝ ϕe− 4π [ĝ ∂a ϕ∂b ϕ+QR ϕ+4πµe ] R × N Z Y d2 xi e2 P i ai ϕ(xi ) × hΦ1 (x1 )...Φn (xN )iM , (375) i=1 ãäå Oai = R √ Φ∆i Vai ĝd2 x, à hΦ1 (x1 )...Φn (xN )iM ÿâëÿåòñÿ N-òî÷å÷íîé êîð- ðåëÿöèîííîé ôóíêöèåé ìàòåðèàëüíîé òåîðèè. Â ôîðìóëå (375) åñòü òîëüêî îäèí ðàçìåðíûé ïàðàìåòð ýòî êîñìîëîãè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ µ µ. Ïîýòîìó çàâèñèìîñòü êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè îò è ïðåäñòàâëÿåò åå ìàñøòàáíóþ çàâèñèìîñòü. Ïîñìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ êîððåëÿòîð (375) ïðè ðàñòÿæåíèè µ µ → eρ µ, ãäå ρ (376) êîíñòàíòà. Î÷åâèäíî, ÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü ðàñòÿæåíèå â êîñìîëî- ãè÷åñêîì ÷ëåíå, íàì íåîáõîäèìî ñäåëàòü ñäâèã ïîëÿ ϕ(x) → ϕ(x) − ϕ(x) ïî ôîðìóëå ρ . 2b (377) Òàê êàê ìåðà â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå (375) ëèíåéíà ρ Dĝ ϕ − = Dĝ ϕ, 2b èçìåíåíèå äåéñòâèÿ SL [ϕ, ĝ] ïðè (378) òàêîì ñäâèãå ïðîèçîéäåò ëèøü èç-çà ÷ëåíà ñ êðèâèçíîé. Ó÷èòûâàÿ òåîðåìó Ãàóññà- Áîííå 1 4π Z R[ĝ] p ĝd2 x = χE = 2 − 2h, 47 (379) χE ãäå ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà, à íåíèå ïîëåé eρ µ e2aϕ h êîëè÷åñòâî ðó÷åê, à òàêæå èçìå- ïðè ñäâèãå (377), ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó êîððåëÿòîðîì îò è êîððåëÿòîðîì îò µ “ χ Q P ρ E i 2b − hOa1 ...OaN i(eρ µ) = e ai b ” hOa1 ...OaN i(µ). Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ìàñøòàáíàÿ çàâèñèìîñòü hOa1 ...OaN i (380) äàåòñÿ âûðàæåíèåì “ hOa1 ...Oan i(µ) = µ ãäå χE Q P ai i b 2b − ” F (a1 , ..., aN , b), (381) F (a1 , ..., aN , b) ôóíêöèÿ êîòîðàÿ óæå íå çàâèñèò îò µ. Êîýôôèöèåíòû δi = − ai b (382) íàçûâàþòñÿ ãðàâèòàöèîííûìè ðàçìåðíîñòÿìè. Îíè îïèñûâàþò âêëàä îò ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé Oai ïðè ìàñøòàáíîì ïðåîáðàçîâàíèè. Âåëè÷èíà Γstr = 2 − Q b (383) íàçûâàåòñÿ ñòðóííîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ è ïîêàçûâàåò, êàê èçìåíÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà ïðè ìàñøòàáíîì ïðåîáðàçîâàíèè. Âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ôèçè÷åñêèõ ïîëåé (374) ïî êîñìîëîãè÷åñêîé ïîñòîÿííîé Z hOa1 ...OaN i = ∞ hOa1 ...OaN iA e−µA dA. (384) 0 Îáðàç Ëàïëàñà hOa1 ...OaN iA ÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé îò ïîëåé, çàäàâàåìîé ôóíêöèîíàëüíûì èíòåãðàëîì ïî ïîâåðõíîñòÿì ñ ôèêñèðîâàííîé ïëîùàäüþ hOa1 ...OaN iA = Z Z p = hOa1 ...OaN iM e−S0 [ϕ,ĝ] δ A − e2bϕ(x) ĝd2 x Dĝ ϕ, à S0 [ϕ, ĝ] äåéñòâèå Ëèóâèëëÿ (343) áåç ýêñïîíåíöèàëüíîãî ÷ëåíà 1 S0 [ϕ, ĝ] = 4π Z p [ĝ ab ∂a ϕ∂b ϕ + QR[ĝ] ϕ] ĝd2 x. Çàâèñèìîñòü êîððåëÿòîðà (385) îò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòåé ñòåïåííîé hOa1 ...OaN iA ∼ A− 3.4 (385) P N ai χE Q i=1 b 2b −1+ (386) A, òàêæå ÿâëÿåòñÿ . (387) Ìèíèìàëüíàÿ 2-ìåðíàÿ Ãðàâèòàöèÿ Ëèóâèëëÿ. Âàðèàíò íåêðèòè÷åñêîé Òåîðèè Ñòðóí, â êîòîðîé êîíôîðìíàÿ ìàòåðèÿ îïèñûâàåòñÿ îäíîé èçìèíèìàëüíûõ ìîäåëåé, óïîìÿíóòûõ â êîíöå âòîðîé ëåêöèè, íàçûâàåòñÿ Ìèíèìàëüíîé òåîðèåé ñòðóí èëè Ìèíèìàëüíîé ãðàâèòàöèåé Ëèóâèëëÿ (MLG) [7, 9, 10]. 48 Çíà÷åíèå öåíòðàëüíîãî çàðÿäà êîíôîðìíîé ìàòåðèè â ýòîì ñëó÷àå q = β −1 − β. cM = 1 − 6q 2 , (388) Âûðàæåíèå æå äëÿ êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòè ïðèìàðíîãî ïîëÿ Φmn â Îáîá- ùåííîé Ìèíèìàëüíîé Ìîäåëè óäîáíî çàïèñàòü â âèäå ∆M mn = αmn (αmn − q), ãäå αmn = (389) (n − 1)β − (m − 1)β −1 . 2 (390) Ïîýòîìó òðåáîâàíèå çàíóëåíèÿ ïîëíîãî öåíòðàëüíîãî çàðÿäà ñòðóíû cL + cM = 26, ãäå cL = 1 + 6(b−1 + b)2 , (391) ýêâèâàåëåíòíî ñîîòíîøåíèþ β = b, à óñëîâèå áàëàíñà ðàçìåðíîñòåé (392) ∆M + ∆L = 1, òî åñòü ∆mn + a(Q − a) = 1, (393) ýêâèâàëåíòíî a = am,−n , ãäå ak,l = (1 − k)b−1 + (1 − l)b . 2 (394) Òàêèì îáðàçîì ôèçè÷åñêèå íàáëþäàåìûå â Ìèíèìàëüíîé òåîðèè ñòðóí çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì Z Omn = Φmn (x)e2am,−n ϕ(x) d2 x. (395) Èç ôîðìóë (382) è (383) òîãäà ñëåäóåò, ÷òî ñòðóííàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü â MLG(b) Γstr = 1 − 1 , b2 à ñïåêòð ãðàâèòàöèîííûõ ðàçìåðíîñòåé èìååò âèä δmn = (396) δmn = a − m,−n èëè b (m − 1) −2 n + 1 b − . 2 2 (397) Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî â òî âðåìÿ êàê Ìèíèìàëüíûå Ìîäåëè Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ îïèñûâàþò ðàçëè÷íûå òèïû êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ íà ïëîñêîñòè, Ìèíèìàëüíûå Ìîäåëè ãðàâèòàöèè Ëèóâèëëÿ îïèñûâàþò êðèòè÷åñêîå ïîâåäåíèå òåõ æå ñàìûõ ñèñòåì íà ñëó÷àéíûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Ýòîò ôàêò ïîäòâåðæäåí ñðàâíåíèåì ñ êîððåëÿòîðàìè íàáëþäàåìûõ â Ìàòðè÷íûõ Ìîäåëÿõ [11], êîòîðûå â îïðåäåëåííîì ñìûñëå äàþò ýêñïåðèìåíòàëüíóþ ðåàëèçàöèþ òàêèõ ñèñòåì. Áëàãîäàðíîñòè Ìû áëàãîäàðíû Î.Àëåêñååâó, êîòîðûé ïðåäîñòàâèë íàì ñâîè êîíñïåêòû ëåêöèé, ïðî÷èòàííûõ îäíèì èç àâòîðîâ â ÍÌÓ. Òàêæå ìû ïðèçíàòåëüíû Â.Àëüáå è Ì.Áåðøòåéíó çà ìíîãî÷èñëåííûå ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ. Ðàáîòà áûëà ïîääåðæàíà ãðàíòàìè RFBR 07-02-00799 è SS-3472.2008.2. 49 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] A.Polyakov, "Quantum Geometry of Bosonic Strings Phys.Lett.B103:207210,(1981). [2] À.Ïîëÿêîâ. Êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ è ñòðóíû, Èçäàòåëüñêèé äîì Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò, 1999. [3] A.Belavin, A.Polyakov, A.Zamolodchikov, Innite conformal simmetry in two-dimensional quantum eld theory, Nucl.Phys. B241, 333-380, (1984) [4] À.Á.Çàìîëîä÷èêîâ, Àë.Á.Çàìîëîä÷èêîâ. Êîíôîðìíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ è 2 - ìåðíûå êðèòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, Ìîñêâà, èçäàòåëüñòâî ÌÖÍÌÎ, 2009. [5] V. G. Knizhnik, A. M. Polyakov and A. B. Zamolodchikov, Fractal structure of 2d-quantum gravity, Mod. Phys. Lett. A 3 (1988) 819. [6] F.David, "Conformal Field Theories Coupled to 2D Gravity in the Conformal Gauge Mod.Phys.Lett.A3:1651,1988 ; J.Distler, H.Kawai, "Conformal Field Theory and 2D Quantum Gravity Or Who's Afraid of Joseph Liouville?"Nucl.Phys.B321:509,(1989) [7] P.H.Ginsparg and G.W.Moore, "Lectures on 2-D gravity and 2-D string theory arXiv:hep-th/9304011 ; P.Di Francesco, P.H.Ginsparg, J.Zinn-Justin, "2-D Gravity and random matrices Phys.Rep.254:1-133,(1995), hep-th/9306153 [8] A.Zamolodchikov and Al.Zamolodchikov, Structure constants and conformal bootstrap in Liouville eld theory, Nucl.Phys., B477 (1966) 577605, hep-th/9506136 [9] Al.Zamolodchikov, "Three-point function in the minimal Liouville gravity Theor.Math. Phys.142:183-196,(2005) [10] A.Belavin, Al.Zamolodchikov, Moduli integrals, ground ring and fourpoint function in minimal Liouville gravity, Theor.Math.Phys.147:729754,(2006); hep-th/0510214, pages 16-46 [11] A.Belavin, A.Zamolodchikov, On Correlation Numbers in 2D Minimal Gravity and Matrix Models, arXiv:0811.0450v1 [hep-th] (2008) 50

Введение в Теорию струн и Конформную теорию поля.

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Введение в Теорию струн и Конформную теорию поля.

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib