83.37Kb - G

Параметрическое регулирование экономического роста на базе монетарной модели Турновского
А.А. Ашимов, Б.Т. Султанов, Ж.М. Адилов, Ю.В. Боровский, Д.К. Суйсинбаев, Ас.А. Ашимов
В работе представлены результаты применения теории параметрического регулирования в сфере
экономического роста за счет технологического прогресса на монетарной модели Турновского. Приведены
результаты решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой модели. Получена оценка
слабой структурной устойчивости модели Турновского в компактной области фазового пространства. Найдены
оптимальные (в смысле критерия, характеризующего экономический рост) значения регулируемых параметров
модели и зависимость оптимальных значений критерия от двух неуправляемых параметров.
.
Key words: optimal control, nonlinear systems, modelling and simulation, parametrical regulation.
Введение
Важной задачей является оценка эффективных инструментов роста, когда в экономике задействованы
такие финансовые активы, как деньги, облигации и выпущенные производителями-фирмами простые акции.
В данной работе рассматривается применение теории параметрического регулирования (эффективность
которой показана на ряде приложений [2]-[5]) для оценки эффективных инструментов государственной
политики в сфере экономического роста на базе монетарной модели Турновского.
Описание модели
Монетарная модель Турновского [1] после соответствующих преобразований представлена системой
следующих дифференциальных и алгебраических уравнений.
𝜋̇ = 𝜌 [𝑝 − 𝜋],
(1)
𝑚̇ = 𝑔 − 𝑢𝑦 + 𝑏(𝑟𝑒 (1 − 𝑢) + 𝜋) − (𝑚 + 𝑏)(𝑛 + 𝑝),
𝑧̇ =
𝛾(1−𝑢)
𝛾−1
𝑧
𝑧−𝑘
𝛾−1 𝑘
𝛾−1
[𝑟𝑒 𝑧 − 𝑅𝑘] + [
𝛾
(2)
( − 1) + 1] 𝛾(𝑘 ∗ − 𝑘) + 𝑛
𝑘̇ = 𝛾(𝑘 ∗ − 𝑘),
𝑦 = 𝐴𝑘 𝛼 ,
,
(3)
(4)
(5)
𝑟𝑒 = 𝐴𝛼𝑘 ∗ 𝛼−1 ,
(6)
𝑅 = 𝐴𝛼𝑘 𝛼−1 ,
(7)
𝑏+𝑧
𝑘∗ =
𝑦−𝑐[(𝑦−𝑅𝑘)(1−𝑢)+ 𝑙 [(1−𝑙4 )𝑚−𝑙4 (𝑏+𝑧)−𝑙1 𝑦+𝑙3 𝜋]+𝑧𝑛−𝑚𝜋]−𝑛𝑘+𝑔
2
𝑐𝑧
𝑘
𝜆[ −𝑐+1]
,
𝑖 = 𝜆(𝑘 ∗ − 𝑘) + 𝑛𝑘.
Здесь точкой обозначены производные по времени (t), измеряемому в годах.
Эндогенные переменные модели:
𝜋 - мгновенный ожидаемый уровень инфляции;
𝑚 – номинальный запас внешних денег на душу населения;
𝑧 - реальный объем акций;
𝑘 – капиталовооруженность;
𝑦 – выпуск реального продукта на душу населения;
𝑟𝑒 – реальная ставка дохода на ценные бумаги до уплаты налогов;
𝑅 – крайний физический продукт капитала;
𝑘 ∗ - желательный реальный основной капитал на душу населения;
𝑖 - реальные инвестиции на душу населения;
Экзогенные переменные модели (функции времени):
1
(8)
(9)
𝑝 – индекс потребительских цен;
𝑔 - государственные затраты на душу населения (𝑔 > 0);
𝑛 - уровень роста населения;
𝛾 - коэффициент уравнения капиталовооруженности (0 < 𝛾 < 1);
𝐴, 𝛼 – коэффициенты производственной функции (𝐴 > 0, 0 < 𝛼 < 1);
𝑐 - доля реального потребления от реального располагаемого дохода (0 < 𝛼 < 1);
𝑙1 , 𝑙2 , 𝑙3 , 𝑙4 – коэффициенты уравнения реального спроса на деньги на душу населения (𝑙1 > 0, 𝑙2 < 0, 𝑙3 >
0, 0 < 𝑙4 < 1);
𝜆 - коэффициент уравнения инвестиции на душу населения (𝜆 > 0)
𝑢 – ставка налогообложения дохода, 0 < 𝑢 < 1.
Экзогенные параметры модели:
𝑏 - номинальный запас государственных облигаций на душу населения; 𝑏 > 0. Постоянность величины 𝑏
предусматривается рассмотренным в [1] сценарием экономического развития, когда государственный дефицит
полностью финансируется деньгами при неизменном запасе облигаций на душу населения.
К экзогенным параметрам модели относятся начальные значения (при 𝑡 = 0) эндогенных переменных
динамических уравнений (1) - (4) модели: 𝜋0 , 𝑚0 , 𝑧0 , 𝑘0 . Значения экзогенных функций модели при
целочисленных значениях времени 𝑡 также будем считать экзогенными параметрами модели; все экзогенные
функции модели рассматриваются в виде кусочно-линейных непрерывных функций.
Оценка экзогенных параметров модели Турновского и ретроспективный прогноз
В рамках решения задачи оценки экзогенных параметров (параметрической идентификации) модели
были получены значения экзогенных функций и параметров 𝑝(𝑡), 𝑔(𝑡), 𝑛(𝑡), 𝛾(𝑡), 𝐴(𝑡), 𝛼(𝑡), 𝜆(𝑡), с(𝑡), 𝑙1 (𝑡),
𝑙2 (𝑡), 𝑙3 (𝑡), 𝑙4 (𝑡), где 𝑡 = 0, 1, … , 9, а также 𝑏, 𝑢, 𝜋0 , 𝑚0 , 𝑧0 , 𝑘0 поисковым методом в смысле минимума критерия
(суммы квадратов невязок эндогенных переменных) на базе статистических данных эволюции экономики
Республики Казахстан за 2000-2009 годы. При этом значения экзогенных функций и параметров искались в
малых промежутках с центрами в наблюдаемых значениях (при их наличии) соответствующих функций и
параметров.
Критерий параметрической идентификации имеет вид (10).
𝐾𝐼 = ∑𝜈
𝑥𝑗 (𝑡)−𝑥𝑗∗ (𝑡)
1
𝑛
𝑗=1 ∑𝑡=0 𝑀𝑡𝑗
∑𝜈𝑗=1 ∑𝑛𝑡=0 𝑀𝑡𝑗 (
𝑥𝑗∗ (𝑡)
2
) → 𝑚𝑖𝑛
(10)
Здесь 𝜈 = 5 - число эндогенных переменных, используемых в оценке параметров, 𝑗 – номер переменной; 𝑛 + 1 –
количество наблюдений, 𝑡 = 0 соответствует 2000 году; 𝑥𝑗 (𝑡) - расчетные значения эндогенных переменных
(𝑦(𝑡), 𝑘(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝜋(𝑡), 𝑖(𝑡)) при соответствующих значениях времени. Знак «*» соответствует наблюдаемым
значениям соответствующих переменных. 𝑀𝑡𝑗 – положительные весовые коэффициенты, значения которых
были подобраны исходя из значимостей соответствующих значений эндогенных переменных при решении
задачи параметрической идентификации модели. Веса 𝑀𝑡𝑗 критерия 𝐾𝐼 приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Веса 𝑀𝑡𝑗 критерия 𝐾𝐼 .
Год
Переменная
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
𝑦(𝑡), 𝑗 = 1
0.001
0.001
0.001
0.01
0.01
1
1
1
1
1
𝑘(𝑡), 𝑗 = 2
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
𝑧(𝑡), 𝑗 = 3
0.001
0.001
0.001
0.01
0.01
1
1
1
1
1
𝜋(𝑡), 𝑗 = 4
0.001
0.001
0.001
0.01
0.01
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
𝑖(𝑡), 𝑗 = 5
0.001
0.001
0.001
0.01
0.01
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
При решении задачи оценки параметров применялись алгоритмы Рунге-Кутта и Нелдера – Мида [7].
Поставленная задача параметрический идентификации решалась с использованием статистических данных
2000-2007гг. (𝑛 = 7). В результате решения поставленной задачи, относительная величина средневзвешенного
квадратичного отклонения расчетных значений эндогенных переменных модели от соответствующих
наблюдаемых значений (100√𝐾𝐼 ) не превысила 1.2 %.
2
В рамках оценки адекватности модели решалась следующая задача ретропрогноза. Используя найденные
в результате оценки значений экзогенных функций, параметров и начальных значений эндогенных переменных
на промежутке 2000-2007, (а также экстраполяцию значений экзогенных функций на 2008 – 2009 годы)
получить оценку на промежутке с 2008 по 2009 год относительных погрешностей расчетных значений
эндогенных переменных модели относительно соответствующих наблюдаемых значений. Результаты решения
этой задачи приведены в следующей таблице (таблица 2). Here sign “*” corresponds to the observed values; the sign
“Δ” corresponds to the deviations (in percentage) of calculated values from the corresponding observed values.
Table 2. Observed, calculated values of output variables of the model and corresponding deviations (в
процентах)
Год
2008
2009
∗
336140
334680
𝑦
333843
333015
∆𝑦
𝑦
0.68322
0.49744
∗
1117488
1305937
𝑧
1228469
1483599
∆𝑧
9.93126
13.60410
∗
747806
771832
𝑘
675539
762518
∆𝑘
9.66383
1.20669
𝜋∗
0.11828
0.07525
𝜋
0.11881
0.07639
∆𝜋
0.45321
1.51652
∗
136501
151534
𝑖
136424
151855
∆𝑖
0.05666
0.21187
𝑧
𝑘
𝑖
Средняя погрешность указанных в таблице переменных на период ретропрогнозирования составила
3.7825%, что указывает на приемлемую точность описания эволюции экономики Казахстана с помощью
исследуемой модели.
Исследование структурной устойчивости монетарной модели Турновского
Как известно [8], что чтобы судить по решениям системы (1)-(9) об описываемом ею объекте, эта система
должна обладать свойством неизменяемости качественной картины траекторий в некотором компакте при
малых в некотором смысле возмущениях правых частей уравнений системы (1)-(9). Другими словами, поток,
задаваемый системой (1)-(9) должна обладать свойством грубости, или структурной устойчивости.
Данное исследование проводилось на базе следующей теоремы (теорема А) Робинсона [6] о достаточных
условиях слабой структурной устойчивости.
Пусть 𝑁′ - некоторое многообразие и 𝑁 - компактное подмножество в 𝑁′ такое, что замыкание
внутренности 𝑁 есть 𝑁. Пусть некоторое векторное поле задано в окрестности множества 𝑁 в 𝑁′, это поле
определяет 𝐶 1 - поток 𝑓 в этой окрестности. Обозначим через 𝑅(𝑓, 𝑁) цепочно-рекуррентное множество потока
𝑓 на 𝑁.
Пусть 𝑅(𝑓, 𝑁) содержится внутри 𝑁. Пусть оно имеет гиперболическую структуру, кроме того, поток 𝑓
на 𝑅(𝑓, 𝑁) удовлетворяет также условиям трансверсальности устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда
поток 𝑓 на 𝑁 слабо структурно устойчив. В частности, если 𝑅(𝑓, 𝑁) - пустое множество, то поток 𝑓 слабо
структурно устойчив на 𝑁. Аналогичный результат справедлив и для дискретной динамической системы
(каскада), задаваемого гомеоморфизмом (с образом) 𝑓: 𝑁′ → 𝑁.
На основе алгоритма построения символического образа [9], ниже предлагается алгоритм локализации
цепно-рекуррентного множества для компактного подмножества фазового пространства динамической системы,
описываемой системой обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. Для компьютерного
3
моделирования цепно-рекуррентного множества использовался ориентированный граф (символический образ),
являющийся дискретизацией отображения сдвига по траекториям, определяемого этой динамической системой.
Пусть ищется оценка цепно-рекуррентного множества 𝑅(𝑓, 𝑁) некоторой динамической системы в
компактном множестве 𝑁 ее фазового пространства. Для конкретной математической модели экономической
системы в качестве компакта 𝑁 можно взять, например, параллелепипед ее фазового пространства,
включающий в себя все возможные траектории эволюции экономической системы для рассматриваемого
промежутка времени.
Описание алгоритма локализации цепно-рекуррентного множества состоит в следующем.
1. Определяется отображение 𝑓, определенное в 𝑁 и задаваемое сдвигом по траекториям динамической
системы для фиксированного промежутка времени.
2. Строится разбиение 𝐶 компакта 𝑁 на ячейки 𝑁𝑖 . Задается ориентированный граф 𝐺, вершины которого
соответствуют ячейкам, а ребра, соединяющие ячейки 𝑁𝑖 с 𝑁𝑗 соответствуют условиям пересечения образа
одной ячейки 𝑓(𝑁𝑖 ) с другой ячейкой 𝑁𝑗 .
3. В графе 𝐺 находятся все возвратные вершины (вершины принадлежащие циклам). Если множество
таких вершин пустое, то 𝑅(𝑓, 𝑁) – пустое и процесс его локализации завершается. Делается вывод о слабой
структурной устойчивости динамической системы.
4. Ячейки соответствующие возвратным вершинам графа 𝐺 разбиваются на ячейки меньшего размера, и
по ним строится новый ориентированный граф 𝐺. (См. пункт 2 алгоритма).
5. Переход к пункту 3.
Пункты 3, 4, 5 повторяются до тех пор, пока диаметры ячеек разбиения не станут меньше некоторого
наперед заданного числа ε.
Последний набор ячеек и является оценкой цепно-рекуррентного множества 𝑅(𝑓, 𝑁).
Исследование грубости (структурной устойчивости) модели (1)-(9) проводилось на основе: приведенной
теореме о достаточных условиях слабой структурной устойчивости, реализации алгоритма локализации цепнорекуррентного множества и при дополнительном предположении о постоянности всех экзогенных функций
модели. В этом случае уравнения (1)-(9) определяют поток 𝑓 в четырехмерном фазовом пространстве
эндогенных переменных (𝜋, 𝑚, 𝑧, 𝑘) модели.
С помощью реализации приведенного численного алгоритма для выбранного компакта 𝑁, определяемого
неравенствами {0 ≤ 𝜋 ≤ 0.2, 0 ≤ 𝑚 ≤ 8000, 0 ≤ 𝑧 ≤ 50000, 0 ≤ 𝑘 ≤ 830000} в фазовом пространстве модели
(1)-(9) была получена оценка цепно-рекуррентного множества 𝑅(𝑓, 𝑁) как пустого множества. Это означает, что
исследуемая монетарная модель Турновского с рассматриваемыми значениями экзогенных параметров
оценивается как слабо структурно устойчивая в указанном компакте 𝑁.
Оценка параметрической чувствительности модели Турновского
В рамках решения задачи по оценке влияний значений экзогенных параметров и функций модели на
значения ее эндогенных переменных была составлена матрица, строки которой занумерованы с помощью всех
экзогенных параметров и функций, а столбцы – значениями шести эндогенных переменных для 𝑡 = 9, что
соответствует 2009 году. Эта матрица содержит коэффициенты эластичности указанных выходных значений
модели по ее входным значениям, рассчитываемые формуле:
𝐹𝑝𝑗 = 100
𝑥𝑗𝑛 (𝑡)−𝑥𝑗 (𝑡)
𝑥𝑗 (𝑡)
.
(11)
Здесь 𝑝 – варьируемый экзогенный параметр или значение экзогенной функции; 𝑥𝑗 (𝑡) – значение -ой эндогенной
переменной для времени 𝑡, полученное при запуске модели со значениями экзогенных параметров и функций,
полученными в результате оценки параметров или взятыми из статистических источников (базовый
просчет); 𝑥𝑗𝑛 (𝑡) – значение соответствующей эндогенной переменной, полученное при увеличении
варьируемого экзогенного параметра 𝑝 на 1%, при этом остальные значения экзогенных параметров и функций
остаются неизменными по сравнению с базовым просчетом.
Результаты решения задачи по построению матрицы параметрической чувствительности частично
приведены в таблице 3.
4
Таблица 3. Некоторые элементы матрицы параметрической чувствительности модели
Переменная
Параметр
𝑦(9)
𝜋(9)
𝑚(9)
𝑧(9)
𝑘(9)
𝑖(9)
𝑐(9)
-0.01637
0
-0.0123
0.00309
-0.0165
1.693064
𝑔(9)
0.280699
0
0.26993
0.33196
0.28325
0.881013
𝑛(9)
-0.01726
0
-0.0206
-0.0293
-0.0174
0.048407
𝑝(9)
-0.00993
0.5161
-0.052
-0.0136
-0.01
-0.3979
𝜆(9)
-0.03802
0
0.0294
-0.0888
-0.0384
-2.59267
𝛾(9)
0.136572
0
-0.002
-0.2708
0.13781
-0.45509
𝐴(9)
0.790219
0
-0.0334
-0.2985
-0.2096
-3.41885
𝛼(9)
11.38849
0
-0.3144
-2.2215
-2.6097
-53.2406
𝑙1 (9)
-0.16371
0
0.0578
-0.2697
-0.1652
-4.8311
𝑙2 (9)
0.009145
0
0.01151
-0.0083
0.00923
-1.51853
𝑙3 (9)
-0.04331
0
-0.0052
-0.0387
-0.0437
0.849691
𝑙4 (9)
-0.14034
0
0.0436
-0.2246
-0.1416
-3.58984
Анализ таблицы 3 показывает, что в рамках указанных в этой таблице экзогенных параметров 2009 года
наибольшее влияние на значения эндогенных переменных 𝑦(9), 𝑚(9), 𝑧(9), 𝑘(9), 𝑖(9)оказывает изменение
коэффициента производственной функции 𝛼(9), а на значение эндогенной переменной 𝜋(9) может оказывать
влияние только изменение индекса цен 𝑝(9).
Нахождение оптимальных значений регулируемых параметров на базе модели Джонса
Рассмотрим теперь возможность осуществления эффективной государственной политики на базе модели
(1)-(9) через синтез оптимальных значений экономических параметров: государственные затраты на душу
населения 𝑔(𝑡) и ставка налогообложения дохода 𝑢(𝑡) для периода 2010-2015 годов.
Задачу синтеза оптимального закона параметрического регулирования на уровне указанных параметров
𝜋𝑡 можно сформулировать в следующем виде. Найти на основе математической модели (1)-(9) оптимальный
закон параметрического регулирования параметров 𝑔(𝑡), 𝑢(𝑡) то есть, найти такие значения 𝑔(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡 =
10, … ,15, которые обеспечили бы максимум критерия (среднее значение выпуска реального продукта на душу
населения для промежутка 2010-2015 гг):
1
𝐾 = ∑15
𝑡=10 𝑦(𝑡)
6
(12)
при следующих ограничениях, накладываемых на эндогенные переменные модели и регулируемые параметры.
𝑚(𝑡) > 0, 𝑧(𝑡) > 0, 𝑘(𝑡) > 0, 𝑦(𝑡) > 0, 𝑟𝑒 (𝑡) > 0, 𝑅(𝑡) > 0, 𝑘 ∗ , 𝑖(𝑡) > 0, 𝑡 = 10, … ,14.
𝑔(𝑡) > 0, 0 < 𝑢 < 1.
(13)
(14)
Заметим, что для базового просчета модели до 2015 года, полученного при найденных значениях
экзогенных параметров модели и с помощью экстраполяции экзогенных функций модели линейным трендом,
значение критерия оказалось равным 𝑲 = 𝟒𝟑𝟕𝟑𝟔𝟖 тенге (в ценах 2000 года, тенге – денежная единица
Казахстана).
В результате численного решения поставленной задачи нахождения оптимальных значений параметров
𝒈(𝒕), 𝒖(𝒕) экономической системы методом Нэлдера - Мида [7] получен оптимальный результат - 𝑲 = 𝟓𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐.
Увеличение критерия 𝑲 при применении рассмотренного выше параметрического регулирования по сравнению
с базовым вариантом составило 16.96%.
Графики расчетных значений эндогенной переменной модели - выпуск реального продукта на душу
населения 𝒚(𝒕) без параметрического регулирования, а также с применением найденного оптимального закона
параметрического регулирования приведены ниже на рисунке 1.
5
7.00E+05
6.00E+05
5.00E+05
4.00E+05
3.00E+05
2.00E+05
1.00E+05
0.00E+00
- базовый просчет,
- используется параметрическое регулирование
Рисунок 1 - Реальный продукт на душу населения
Исследование зависимости оптимальных значений критерия параметрического регулирования от
значений неуправляемых параметров на базе модели Турновского
Рассматриваемая выше оптимизационная задача решались при фиксированных значениях экзогенных
параметров, не участвующих в регулировании. Кроме того, в процессе исследований была найдена зависимость
оптимальных значений критерия 𝑲 от значений неуправляемых параметров модели на примере двумерного
параметра 𝒂 = (𝒄(𝟗), 𝝀(𝟗)), состоящего из доли реального потребления от реального располагаемого дохода и
коэффициента уравнения инвестиций для 2009 года.
Область изменения этих параметров была определена исходя из оцененных значений 𝒄(𝟗) и 𝝀(𝟗) в виде
прямоугольника 𝑨 = [𝟎. 𝟎𝟖𝟐𝟎; 𝟎. 𝟏𝟎𝟗𝟎] × [𝟎. 𝟕𝟎𝟖; 𝟎. 𝟕𝟏𝟗].
На рисунке 2 представлены некоторые результаты исследований: графики зависимости критерия 𝑲 от
параметра 𝒂 (где 𝒂 ∈ 𝑨) для рассмотренной выше задачи параметрического регулирования.
Графики на рисунке 2 описывают базовые и оптимальные (для решаемой задачи нахождения
государственных затрат на душу населения и ставки налогообложения дохода) значения критерия 𝑲.
6
Рис. 2.
- базовый вариант,
налогообложения дохода.
- регулирование государственных затрат на душу населения и ставки
Заключение
1. Приведены результаты решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой модели.
2. Получена оценка слабой структурной устойчивости модели Турновского в компактной области
фазового пространства.
3. Найдены оптимальные (в смысле критерия, характеризующего экономический рост) значения
регулируемых параметров модели.
4. Найдена зависимость оптимальных значений критерия, характеризующего экономический рост, от
двух неуправляемых параметров.
Полученные результаты могут быть использованы при разработке и осуществлении эффективной
государственной экономической политики.
References
1. Turnovsky S. Macroeconomic Dynamics and Growth in a Monetary Economy: a Synthesis // Journal of
money, Credit and Banking, Vol. 10, Issue 1 (Feb., 1978), 1-26.
2. Ashimov A.A., Sultanov B.T., Adilov Zh.M., Borovkiy Yu.V., Novikov D.A., Nizhegorodcev R.V., Ashimov
As.A. Macroeconomic analysis and economic policy based on parametrical regulation - Moscow: Physmatlit (2010) (in
Russian).
3. Ashimov А.А., Iskakov N.A., Borovskiy Yu.V., Sultanov B.T., Ashimov As.А. Parametrical regulation of
economic growth on the basis of one-class mathematical models, Systems Science, 2009, Vol. 35, No. 1, 57-63.
4. Ashimov A.A., Sagadiyev K.A., Borovskiy Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov Аs.A. Elements of the market
economy development parametrical regulation theory // Proceedings of the ninth IASTED International Conference on
Control and Application, 2007 - Montreal, Quebec, Canada, 296-301.
5. Ashimov A.A., Sagadiyev K.A., Borovskiy Yu.V., Iskakov N.A., Ashimov As.A. On the market economy
development parametrical regulation theory // Kybernetes, The international journal of cybernetics, systems and
management sciences. Vol. 37, No. 5, 2008, 623-636.
6. Robinson C. Structural Stability on Manifolds with Boundary// Journal of differential equations. No. 37. 1980.
1-11.
7
7. Nelder J.A., and Mead R. A simplex method for function minimization // The Computer Journal. №. 7. 1965.
P. 308-313.
8. Arnold V.I., Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag (1988).
9. Petrenko E.I. Development and Implementation of Algorithms for Construction of the Symbolic Image //
Electronic journal “Differential equations and control processes” N 3, 2006, 55-96.
8