ск Voevodsky motives I

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Voevodsky motives I»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Michael Finkelberg, PhD, fnklberg@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2014 г.
2
The goals of mastering the subject
The goals of mastering the subject «Voevodsky motives» are: mastering dg-constructions of
categories of motives, learning how techniques of modern algebraic geometry and algebraic topology
can be applied to cohomological and arithmetic problems.
3
Competencies of a student which are formed by mastering the subject
As a result of mastering the subject the student should:

Learn the basic notions of dg-categories of motives (such as presheaves with transfers,
Nisnevich descent, Drinfeld dg-quotients of dg-categories, Tate motives, motivic cohomology complexes), and some applications to arithmetic questions.
Компетенция
Умение
формулировать
результат
умение строго
доказать
утверждение
Код по ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит
чужие результаты
ПК-3
Правильно формулирует
собственные результаты
ПК-4
Воспроизводит
доказательства стандартных
результатов, услышанных на
лекциях
Оценивает строгость и
корректность любых текстов
по теории мотивов
Воеводского
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий (участие в
семинарах, выполнение
курсовых и дипломных
работ).
Изучение базового курса
За счет повышения
математической культуры в
процессе обучения
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
Код по ФГОС/
НИУ
умение грамотно
пользоваться языком ПК-7
предметной области
понимание
корректности
постановок задач
выделение главных
смысловых аспектов
в доказательствах
4
ПК-10
ПК-16
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Распознает и воспроизводит
названия основных
объектов теорий
когомологий алгебраических
многообразий, возникающих
при изучении данного
раздела.
Владеет и свободно
использует язык
триангулированных
категорий мотивов
Понимает постановки только
основных задач курса
Свободно владеет языком и
мотивными методами в
алгебраической геометрии
Понимает и воспроизводит
основные моменты базовых
доказательств и построений
Обосновывает и оценивает
логические ходы в
произвольных
рассуждениях и
конструкциях
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах и
лекциях. Беседы с
преподавателями.
Компетенция достигается в
процессе решения задач по
мотивным когомологиям
Продумывание базовых
понятий курса
Вырабатывается в процессе
решения задач,
самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с
преподавателями.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин
по выбору.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5
Thematic plan of the subject
1 курс магистратуры
№
Total
hours
Title of the section
Class hours
Lectures
1
2
Review of DG-categories
Finite correspondences and Nisnevich topology
DG-category of motives
3
Seminars
Self-guided
study
Practical
classes
20
23
8
10
12
13
29
72
14
32
15
40
2 курс магистратуры
№
Title of the section
Total
hours
Class hours
Lectures
Seminars
Self-guided
study
Practical classes
1 Review of DG-categories
40
8
32
2 Finite correspondences and Nisnevich
topology
41
10
31
3 DG-category of motives
45
14
31
126
32
94
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Формы контроля знаний студентов
6
Тип кон- Форма контроля
троля
Текущий Контрольная
(неделя) работа
ИтогоЗачет
вый
1 год
1
*
2
8
3
2 год
4
1
2
Параметры **
3
4
письменная работа,
80 мин.
письменная работа,
240 мин
v
Критерии оценки знаний, навыков
На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к конкретным задачам из теории автоморфных форм, геометрии и арифметики адельных групп и связанным с этими разделами задачам из теории представлений.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Content of the subject
1. Section 1. Review of DG-categories
№
Topic
1.
DG-categories. Homotopy and derived categories of DGcategories. H-injective, h-projective, h-flat dg-modules.
Drinfeld quotient of a DG-category.
Examples of DG-enhancement of triangulated categories.
DG-category of functors between DG-categories. Gluing
DG-categories.
Total:
2.
Semina
rs
Selfguided
study
Total
hours
Lectur
es
7
3
4
13
5
8
1
20
1
8
3
2
12
Suggested bibliography:
Keller B. On differential graded categories //arXiv preprint math/0601185. – 2006.
Drinfeld V. DG quotients of DG categories //Journal of Algebra. – 2004. – Т. 272. – №. 2. – С.
643-691.
2. Section 2. Finite correspondences and Nisnevich topology
№
Topic
3.
Cycle
maps
and
Dold-Thom
theorem.
Finite
correspondences and their properties. Presheaves with
transfers and their examples.
Motivic complex and motivic cohomology. Vanishing
theorems. Calculation of motivic cohomology of weight 1.
4.
5
Semina
rs
Selfguided
study
Total
hours
Lectur
es
4
1
3
4
1
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5.
Milnor K-theory and motivic cohomology. Etale sheaves
with transfers. Sheafification with transfers. Handicaps.
Nisnevich topology. Abstract blow-ups and distinguished
squares. Examples of Nisnevich sheaves.
Nisnevich sheaves with trasnfers. Sheafification with
transfers. Homotopy invariant sheaves with transfer.
Total:
6.
7.
6
4
2
4
2
2
5
2
3
1
23
1
10
3
2
13
Suggested bibliography:
Mazza C. et al. Lecture notes on motivic cohomology. – American Mathematical Soc., 2011. –
Т. 2.
3. Section 3. DG-category of motives
№
Topic
8.
DG-category of presheaves with transfers. DG-category of
effective motives. A1-homotopy localization.
Motivic localization and Nisnevich sheaves with transfers.
A1-homotopy invariant sheaves and localization.
DG-category of motives. Motivic cohomology as
morphisms between motives. Homotopy purity and Gysin
traingle.
Cycle maps, motive of a blow-up, Poincare duality. Higher
K-theory and its motivic realization.
Zariski sheaves with transfers. Contractions and Rost
modules. Homotopy invariance of cohomology of sheaves
with transfer.
Total:
9.
10.
11.
12.
Semina
rs
Selfguided
study
Total
hours
Lectur
es
8
4
4
4
1
3
7
4
3
6
3
3
4
2
2
1
29
1
14
3
2
15
Suggested bibliography:
Beilinson A., Vologodsky V. A DG guide to Voevodsky’s motives //Geometric And Functional
Analysis. – 2008. – Т. 17. – №. 6. – С. 1709-1787.
Mazza C. et al. Lecture notes on motivic cohomology. – American Mathematical Soc., 2011. –
Т. 2.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы для контрольной работы
1. Calculate the group H2,1(X,Z) in terms of line bundles on X.
2. State the homotopy purity and Gysin triangle theorems.
3. Prove that a presheaf F (with or without transfers) is homotopy invariant if and only if
points 0 and 1 induce the same map F(X×A1)->F(X).
8.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. What is a DG-category? What is an h-injective DG-module?
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
2. What is a Drinfeld quotient? What corresponds to it on the level of triangulated categories?
3. Define the motivic cohomology. Calculate all weight-one motivic cohomologies.
4. What is a presheaf with transfers? What is a sheaf with transfers (in any topology)?
5. What is the construction of DG-category of effective motives? What is the Tate motive?
6. Construct a tensor structure on the DG-category of effective motives.
7. State the Voevodsky rigidity theorem in terms of the DG-category of effective motives.
8. Let Y/X be a Galois etale covering of smooth varieties with the Galois group G, and F be a
presheaf with transfers such that the multiplication by |G| on F is invertible. Prove that F(X)=F(Y)G.
9. Define cycle maps into the motivic cohomology. Define a multiplication on motivic cohomology compatible with intersection of cycles.
10. What is a Poincare dual of a motive? Describe it in the case of a smooth projective variety.
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной
шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной
результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и
оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Нет. Должны быть обеспечены ридеры.
10.2 Основная литература
Beilinson A., Vologodsky V. A DG guide to Voevodsky’s motives //Geometric And Functional
Analysis. – 2008. – Т. 17. – №. 6. – С. 1709-1787.
Mazza C. et al. Lecture notes on motivic cohomology. – American Mathematical Soc., 2011. –
Т. 2.
10.3 Дополнительная литература
Keller B. On differential graded categories //arXiv preprint math/0601185. – 2006.
Drinfeld V. DG quotients of DG categories //Journal of Algebra. – 2004. – Т. 272. – №. 2. – С.
643-691.
7