ск Voevodsky motives II

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Voevodsky motives II»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Michael Finkelberg, PhD, fnklberg@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2014 г.
2
The goals of mastering the subject
The goals of mastering the subject «Voevodsky motives II» are: mastering dg-constructions of
categories of motives, learning how techniques of modern algebraic geometry and algebraic topology
can be applied to cohomological and arithmetic problems.
3
Competencies of a student which are formed by mastering the subject
As a result of mastering the subject the student should:

Learn the basic notions of the stable A1-homotopy theory (such as the spectra, homotopy
groups, homotopy t-structure), and its applications to calculating motivic cohomological operations
and motivic cohomology with finite coefficients.
Компетенция
Дескрипторы – основные
Код по ФГОС/
признаки освоения (показатели
НИУ
достижения результата)
Правильно воспроизводит
чужие результаты
Умение
формулировать
результат
умение строго
доказать
утверждение
ПК-3
ПК-4
Правильно формулирует
собственные результаты
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов,
услышанных на лекциях
Оценивает строгость и
корректность любых текстов
по теории мотивов Воеводского
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Компетенция формируется в
любом сегменте учебного
процесса
Формируется в процессе
активных занятий (участие в
семинарах, выполнение
курсовых и дипломных
работ).
Изучение базового курса
За счет повышения
математической культуры в
процессе обучения
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
Дескрипторы – основные
Код по ФГОС/
признаки освоения (показатели
НИУ
достижения результата)
умение грамотно
пользоваться языком ПК-7
предметной области
понимание
корректности
постановок задач
выделение главных
смысловых аспектов
в доказательствах
4
ПК-10
ПК-16
Распознает и воспроизводит
названия основных объектов
теорий когомологий
алгебраических многообразий,
возникающих при изучении
данного раздела.
Владеет и свободно
использует язык
триангулированных категорий
мотивов
Понимает постановки только
основных задач курса
Свободно владеет языком и
мотивными методами
алгебраической геометрии
Понимает и воспроизводит
основные моменты базовых
доказательств и построений
Обосновывает и оценивает
логические ходы в
произвольных рассуждениях и
конструкциях
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Продумывание и повторение
услышанного на семинарах и
лекциях. Беседы с
преподавателями.
Компетенция достигается в
процессе решения задач по
мотивным когомологиям
Продумывание базовых
понятий курса
Вырабатывается в процессе
решения задач,
самостоятельного чтения,
работы над курсовыми
заданиями
Продумывание ключевых
моментов лекций
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с
преподавателями.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин
по выбору.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
5
Thematic plan of the subject
1 курс магистратуры
№
Total
hours
Title of the section
Class hours
Lectures
1
2
3
Stable A1-homotopy theory
Motivic cohomological operations with finite
coefficients
Bloch-Kato conjecture: proof and applications
Seminars
Self-guided
study
Practical
classes
20
23
8
10
12
13
29
72
14
32
15
40
2 курс магистратуры
№
Title of the section
Total
hours
Class hours
Lectures
Seminars
Self-guided
study
Practical classes
1 Stable A1-homotopy theory
40
8
32
2 Motivic cohomological operations
with finite coefficients
41
10
31
3 Bloch-Kato conjecture: proof and applications
45
14
31
126
32
94
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Формы контроля знаний студентов
6
Тип кон- Форма контроля
троля
Текущий Контрольная
(неделя) работа
ИтогоЗачет
вый
1 год
1
*
2
8
3
2 год
4
1
2
Параметры **
3
4
письменная работа,
80 мин.
письменная работа,
240 мин
v
Критерии оценки знаний, навыков
На зачете студент должен продемонстрировать хорошее умение применять знания, полученные в курсе, к конкретным задачам из теории автоморфных форм, геометрии и арифметики адельных групп и связанным с этими разделами задачам из теории представлений.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.1
7
Content of the subject
1. Section 1. Stable A1-homotopy theory.
№
Topic
1.
Model structures on categories of simplicial (pre)sheaves.
The homotopy category of spaces. The stable homotopy
category.
Main properties of the homotopy categories: Thom
theorem, Gysin fiber sequence, representability of K-theory.
Slice filtration: conjectures, applications, examples.
Total:
2.
Semina
rs
Selfguided
study
Total
hours
Lectur
es
7
3
4
13
5
8
1
20
1
8
3
2
12
Suggested bibliography:
Morel F., Voevodsky V. A 1-homotopy theory of schemes //Publications Mathématiques de
l'IHES. – 1999. – Т. 90. – №. 1. – С. 45-143.
2. Section 2. Motivic cohomological operations with finite coefficients.
№
Topic
3.
Steenrod operations in topology and group theory via dgalgebras . Adem relations. Structure of Steenrod algebras.
Steenrod operations in Chow theory. Equivariant Chow
groups and correspondences.
Formal group laws. Landweber-Novikov operations in
differential geometry.
4.
5.
5
Semina
rs
Selfguided
study
Total
hours
Lectur
es
4
1
3
4
1
3
6
4
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
6.
Motivic Landweber-Novikov operations and algebraic
cobordism.
Contstruction of motivic Steenrod operations. Motivic
cohomological operations with finite coefficients.
Total:
7.
4
2
2
5
2
3
1
23
1
10
3
2
13
Suggested bibliography:
May J. P. A general algebraic approach to Steenrod operations //The Steenrod Algebra and Its
Applications: A Conference to Celebrate NE Steenrod's Sixtieth Birthday. – Springer Berlin Heidelberg, 1970. – С. 153-231.
Brosnan P. Steenrod operations in Chow theory //Transactions of the American Mathematical
Society. – 2003. – Т. 355. – №. 5. – С. 1869-1903.
Riou J. Operations de Steenrod motiviques //arXiv preprint arXiv:1207.3121. – 2012.
3. Section 3. Bloch-Kato conjecture: proof and applications
№
Topic
8.
11.
Bloch-Kato conjecture. Applications to cohomology of
smooth projective varieties and to K-theory.
Reduction steps of the proof. Cech simplicial scheme of a
variety. Splitting variety of an element of a Milnor K-group.
Rost varieties. Rost motives as modules over the ring of
cohomological operations.
Symmetric products of motives. Proper Tate motives.
12.
Construction of a Rost splitting motive.
9.
10.
Semina
rs
Selfguided
study
Total
hours
Lectur
es
8
4
4
4
1
3
7
4
3
6
3
3
4
2
2
1
Total:
29
1
14
3
2
15
Suggested bibliography:
Weibel C. A. The proof of the Bloch–Kato conjecture //ICTP Lecture Notes Series. – 2008. –
Т. 23. – С. 1-28.
Suslin A., Voevodsky V. Bloch-Kato conjecture and motivic cohomology with finite coefficients //The arithmetic and geometry of algebraic cycles. – Springer Netherlands, 2000. – С. 117-189.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы для контрольной работы
1. What is the Gysin sequence in the A1-homotopy category?
2. Prove the Cartan's formula for the motivic Steenrod operations.
3. Construct the norm maps for finite extensions of a field both for Milnor K-theory and etale
cohomology and show that they are compatible with the norm residue map .
8.2
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. What is a space in A1-homotopy theory? What is a spectrum?
2. Desribe the spectrum representing K-theory.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Voevodsky motives II» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
3. State the Thom isomorphism theorem.
4. What are motivic Steenrod operations? What are motivic Landweber-Novikov operations?
5. Desribe Adem relations in the Steenrod algebra.
6. What is Margoulis homology?
7. What does the Bloch-Kato conjecture state? Construct the norm residue map.
8. What is a splitting variety? Give an example of a splitting variety.
9. What are Rost varieties? What is the use of it in the proof of the Bloch-Kato conjecture?
10. What is a Cech simplicial scheme of a variety? Why is it non contractible?
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной
шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной
результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и
оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Нет. Должны быть обеспечены ридеры.
10.2 Основная литература
Morel F., Voevodsky V. A 1-homotopy theory of schemes //Publications Mathématiques de
l'IHES. – 1999. – Т. 90. – №. 1. – С. 45-143.
Riou J. Operations de Steenrod motiviques //arXiv preprint arXiv:1207.3121. – 2012.
Weibel C. A. The proof of the Bloch–Kato conjecture //ICTP Lecture Notes Series. – 2008. –
Т. 23. – С. 1-28.
10.3 Дополнительная литература
Suslin A., Voevodsky V. Bloch-Kato conjecture and motivic cohomology with finite coefficients //The arithmetic and geometry of algebraic cycles. – Springer Netherlands, 2000. – С. 117-189.
7