ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ВОЛГОГРАДСКОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания Волгоград 2009 УДК 517.5(07) Р98 РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ: методические указания / Сост. И. Э. Симонова, В. Ф. Казак, Б. В. Симонов; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2009. – 26 с. Содержат 27 вариантов заданий к семестровой работе по теме «Ряды и их приложения». Приведены образцы решения основных типов задач, и даны указания по их выполнению. Показана возможность использования общематематического пакета «Mathcad» при решении этих задач. Предназначены для студентов ВПО 1–2 курсов технических и экономических специальностей. Рецензент: С. В. Мягкова Ил. 6. Табл. 3. Библиогр.: 6 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета. 2 Волгоградский государственный технический университет, 2009 ВВЕДЕНИЕ Теория рядов имеет большое теоретическое и практическое значение. Она дает возможность представления широких классов функций в виде сумм рядов, составленных из степенных, тригонометрических и ряда других специальных функций. С 18 века регулярное применение рядов Тейлора стало мощным аппаратом исследования функций, приближенного вычисления значений функций и интегралов, приближенного решения дифференциальных уравнений. Аппарат рядов Фурье наиболее широкое применение находит в задачах функционального анализа и в задачах математической физики. 3 1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов. 2. Необходимый признак сходимости, его недостаточность. 3. Сравнение рядов с положительными членами. 4. Признаки сходимости Даламбера и Коши (радикальный). 5. Интегральный признак сходимости Коши. 6. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда. 7. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Ряды с комплексными членами. 8. Функциональный ряд, его область сходимости. 9. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. 10. Свойства степенных рядов (непрерывность, дифференцирование, интегрирование). 11. Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора. 12. Разложение в ряд Тейлора функций еz, sin z, cos z, ln (1+x), (1+x)m, arctg x. 13. Ряд Фурье функции с периодом 2l. Теорема о виде его коэффициентов. 14. Теорема Дирихле. 15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд по синусам и ряд по косинусам функций, заданных на отрезке [0, l]. 2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задача № 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд с комплексными членами 1.10. 2 3i n(n 1) 1.11. ( 1) n i 6n 2 1.1. (1 i ) n n n 1 3 1.2. n 1 1 n i 1.19. 1.3. 1.12. 1.4. (1 i ) n 2 n 1.13. 1.5. (2 i ) n n! 1.6. n i n3 (1) n i n 1 n 1 1.20. 1.21. 1.14. 1.15. 4 (2 i ) n 3 n 1 n 1.23. n! 1 i n 1 1 i 2 n 1 n 1 1.22. (1 i ) 2 n n 5 n 1 (1 2i) n n 4 n 1 (1) n i n3 n 1 (1 i ) n n 2n n 1 in 2n 1 (1 i ) n n! n 1 1.24. n 1 n 2i n2 1.7. 1 in 2 n 1.8. 2i n n 1.9. n(1 i ) n! 1.16. 2n i 3 n 1 n i n 2 n 1 n 1 1.25. 1.17. 2 1 i n n 1 2 n 1.27. 3n n 1 3i 2 n 1 1.26. (3 i ) n 1.18. in n n 1 2 1 Задача № 2. Найти область сходимости функционального ряда. 2n n n 1 x 2.10. 1 n n 1 ( n 1) x 2.11. 2.1. 2.2. sin x 3 n 1 ( n 1) 2.4. 2.14. (n 1) x 2.15. (sin x) n 1 2.16. n n 2.17. n 1 2.23. ( x 1) n 2.24. (cos x) n n 1 e n 2.25. x 2.18. (cos2 x) x n 1 x n 1 n 1 2.26. n 1 2.9. n 1 n n n 1 ( x 1) n x n n 1 2 n2 n 1 x n (ln x) n (sin 2 x) n 1 n 1 x sin 2 n 2.22. n 1 n 1 2.8. cos nx 2 n 1 n 1 n x 2.13. x 1 2n 2.21. xn n 1 n 1 2 2.7. n 1 x tg 2 n n 1 2.6. 2.20. 2.12. 2.5. x 2n cosn n 1 cos nx 3 n 1 n n 2 n 1 ( x 1) 2.19. 2.3. x n n 11 3 n 2 2.27. n 1 1 n n 1 n ( x 1) Задача № 3. Найти интервал и область сходимости степенного ряда. 3.1. xn 2 n 1 n 1 3.10. ( x 1) n n n 1 3.2. ( x 1) n n n 1 3 xn n 1 n 1 3.11. 5 xn n 1 ln n 3.19. 3.20. ( x 2) n 1 n 1 3.3. 3.4. 3n 1 x n 3.12. n 1 n 1 n n 1 xn n 1 3.13. xn 2 n n 1 n 2 n (2 x 1) n 1 3.7. 3.8. nx n 1 2 n 3.14. ( x 1) n n n 1 ( x 1) n 3.15. n (2 x 1) n n 1 3.22. cosn x n 3.24. 3.25. x cosn n 1 3.18. 3 n n 1 x n 1 n 1 n 3.26. ( x 1) 21 n x n n 1 n 1 n (2 x 1) n n2 n 1 1 n! x n 1 n 1 ( x 5) n ln n x n n 1 3.17. (n 1)( x 1) 2 3.23. n 1 3.16. 2n 1 x n n 1 n 1 n 1 3.9. (1) n 3.21. n 1 3.5. 3.6. (1 x) n 3 n n 3.27. n 1 ( x 1) n n! n 1 Задача № 4. Вычислить приближенное значение величины с точностью до 0,01. 4.1. sin 10º 4.10. 4 18 4.19. arctg 0.3 4.2. ln 1.2 4.11. e-0.15 4.20. 10 4.3. arctg 0.1 4.12. 3 84 4.21. ln 1.9 10 4.13. ln 1.3 4.22. 3 4.5. sin 18º 4.14. arctg 0.4 4.23. e-0.3 4.6. e-0,3 4.15. e-0.2 4.24. ln 1.3 4.7. 5 4.16. arctg 0.2 4.25. cos 18º 3 4.4. 30 4.8. ln 1.1 4.17. sin 18º 4.26. ln 1.8 4.9. cos 10º 4.18. ln 1.4 4.27. e-0.4 Задача № 5. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с точностью до 0.001. 0.5 5.1. 0 .1 3 e x dx 5.10. 0 0.5 5.2. 0 arctgx dx x 2 ln(1 x )dx 0.2 5.19. 0 1 x 2 dx 0 2 5.11. sin x 2 x dx 0 6 0.5 5.20. 0 2 x 2 e x dx 0 .5 5.3. 1 x sin x dx 5.12. 0 2 5.4. 0 .1 0 5.21. 0 2 0 0.1 0 4 1 x e 1 5.15. 3 0 0.5 5.16. 1 x 0 1 e x dx 5x 3 5.8. 5.14. 0.2 dx 0.1 3 x ln(1 x ) dx x 5.7. 5.9. 0 2 0.1 5.13. ex 1 x 2 dx 0 1 5.6. dx 0 0 .5 ex 2 dx 0 x ln(1 2 x) dx x 0.1 0 1 5.5. arctgx 2 4 5.22. sin( 5 x 0 .5 dx 5.23. cos(3x 5.17. 8 x3 0 0.2 dx 27 x 3 2 5.24. 5.18. ) dx arctg 2 x dx x arctgx 2 3 e x dx 0 0 .2 5.25. 0 0.5 arctg 3 x dx 5x 2 0 sin( 3x )dx 0.2 )dx 0 0 dx 2 dx 3 1 x3 1 5.26. 2 x x e 2/4 dx 0 0 .5 dx cos 5.27. 0 x dx 0 Задача № 6. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. 6.16. y y 2 2 x ; y (1) 2 y xy cos x ; y (0) 1 6.17. y e y x ; y (1) 0 6.18. y x ln( y x) ; y( 0 ) e y e y 2 xy ; y (0) 1 y x ln( x y ) ; y (1) 0 6.19. y x 2 y ; y( 1 ) 2 6.21. 6.8. y x xy 2 ; y (0) 1 y cos y ; y(0) 0 , y(0) 1 y xy e x ; y( 1 ) 0 y x cos y ; y(0) 0 ; 6.22. y e y ; y(0) 0 6.9. y x 2 xy ; 6.23. 6.10. y xy ; y(1) 1 ; y (1) 0 6.24. y x 3 y ; y(2) 1 ; y(2) 0 y y cos x ; y(0) 1 ; y(0) 0 6.11. y x e y ; y(0) 0 6.25. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. y 2 x y 2 ; y (1) 0 y ln( x y ) ; y(0) e 1 y x ; y(1) 1 y y x 2 xy ; y (0) 1 6.15. 6.20. y(1) 1 7 y x 2 y 1 ; y(2) 1 6.12. y x sin y ; y(0) 2 ; y(0) 0 x ; y (1) 2 y 6.14. y y cos x ; y(0) 0 ; y (0) 1 6.13. y 6.26. y xy ; y(0) y(0) 1 6.27. y y esin x ; y(0) y(0) 1 Задача № 7. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном промежутке. В задачах 14–20 разложить f(x) по синусам кратных дуг, в задачах 21–27 – по косинусам. Построить график данной функции и суммы ряда. 7.1. f ( x ) x 1 , x (1;1) 7.15. 1 0 , x [ 0 , ] 2 f (x) 1 1, x [ ,1] 2 7.2. f ( x ) x 2 1 , x (2;2] 7.16. f ( x) 0.5x , x (1,0] 7.3. f (x) x , x ( ; ] 2 7.17. x, x [0,1] f (x) 1, x [1,2] 1, x [0, ) f (x) 2, x [ ,2 ) 7.4. f ( x ) x 1, x (1;1) 7.18. 7.5. 0, x 0 f (x) x,0 x 7.19. 7.6. f ( x ) 1 x 2 , x (1,1) 7.20. 7.7. f ( x ) 1 x , x ( ; ) 7.21. 7.8. f ( x ) x 2 , x (0;2 ) 7.22. 0, x [0,1) f (x) 1, x [1,2) 7.9. 2, x ( ,0) , f (x) 1 , x [ 0 ; ) 7.23. f ( x ) x , x [0, ) 7.10. 1, x ( ,0) f (x) 1 x, x [0, ) 7.24. 1, x [0,1) f (x) x, x [1,2) 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. x, x 0 f (x) 1,0 x f (x) x 1 , 0 x 2 2x, x [0, ) ,x f (x) 0, x ( ,0) f ( x ) x 1 , x (1,0) 7.25. 7.26. 7.27. 8 f ( x ) x , x [0,2 ) x, x [0, ) f (x) 0, x [ ,2 ) f ( x ) 1 x 2 , x [0,1] 1, x [0,1) f (x) 2, x [1,2) f ( x ) x , x [0,2 ) 0, x [0,1) f (x) x 1, x [1,2) 3. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 3.1. Числовые ряды Ряды широко используются в прикладных задачах. Но сначала для числового ряда надо выяснить, сходится ли он, а для функционального – при каких значениях аргумента он сходится. Признаки сходимости числовых рядов приведены в таблице 1. Признаки 25 относятся к знакоположительным рядам. Для произвольного ряда ∑ un их можно применить к ряду из модулей ∑ | un|. В примерах 1-3 требуется исследовать ряды на сходимость. 2n 3 n 1 n 1 Пример 1. 2n К этому ряду удобно применить радикальный признак Коши. lim n n 2n 3 n 1 Пример 2. 2n 2n 3 2 lim 2 4 1. n n 1 2 1 n ln n . Значит, ряд расходится. Для исследования применим интегральный признак n 2 Коши. Заменим в выражении общего члена a n т.е. запишем функцию f ( x ) x [2, ) Вычислим 1 индекс n на аргумент x, n ln n 1 , которая убывает и непрерывна для x ln x dx d (ln x ) ln(ln x ) 2 , 2 2 x ln x 2 ln x т.е. интеграл расходится. Следовательно, и ряд расходится. Проведем исследование этого ряда в ППП Mathcad. Определим ряд и попробуем найти его сумму. В меню Simbolic предусмотрено символьное вычисление суммы ряда (знак символьного равенства ), пределов и т. д. 1 n ln n n 1 Вывод: ряд расходится. Об этом же свидетельствует поведение частичных сумм ряда S(n ) . Эти суммы неограниченно возрастают, что подтверждает и график.(рис.1) n 1 S(n ) S(n ) : k k 1 f ( x )dx 9 Рис.1. Поведение частичных сумм S(n) Числовые ряды Таблица 1 Название признака Необходимый признак Признак сравнения a n (1) n 1 b n 1 n (2) 0 an bn Метод исследования lim an 0 (вопрос о сходимо- Примечание Если lim an 0 , то ряд расхо- сти не решен) дится. Ряды, обычно используемые для сравнения: I. Геометрический ряд x x Возможные варианты: a q n1 а) сходится при 1. Ряд (1) сходится ? n 1 2. Ряд (2) сходится ряд (1) 0<q<1 сходится. б) расходится при 3. Ряд (2) сходится ? 4. Ряд (1) расходится ряд (2) q 1 II. Ряд Дирихле расходится. 1 n n 1 a (a n 1 n n 0) an1 p x a n lim Радикальный признак Коши an lim n an p x а) сходится при p>1 б) расходится при p 1 Признак применяется, в основном, если an имеет: 1).показательный вид: Признак Даламбера p n а) p<1 – ряд сходится. 1 n б) p>1 – ряд расходится содержит 2 , ,… в) p=1 – вопрос о сходимости не 3 решен. 2) в формуле общего члена присутствует факториал. 3.в записи формулы общего члена содержится n множителей. Признак применяется, если an а) p<1 – ряд сходится имеет вид: б) 0 <p<1 – ряд расходится n n в) p=1 – вопрос о сходимости n n 1 2 не решен. , ,… n 1 10 3n 2 Окончание табл. 1 Название признака Метод исследования Примечание Интегральный признак Ко ши a (a n 1 n n 0) 1. f ( x)dx сходится ряд 1 расходится. Применяется, если f (n) an f ( x) 0 убывает 2. f ( x)dx расходится 1 на (1; ) f ( x)dx 1 известен ряд расходится. Признак Лейбница (1) n 1 n 1 an an 0 Исследовать на сходимость ряд an (1) a n (2) Если I) a1 a2 a3 … lim an 0 , 2) x то ряд сходится Если ряд (2) сходится, то ряд (1) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (2) расходится, а (1) – сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся. Оценка остатка знакочередующегося ряда: R n an1 Пример 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд Лейбница (1) 1 n 1 1 1 1 1 ... n 2 3 4 (1) Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница. Проверим два условия: 1 1 1) 1 ... ¸т. е. члены ряда убывают по модулю 2 3 1 2) lim an lim 0 n n n Оба условия выполнены, и ряд сходится. Ряд, составленный из его модулей, является гармоническим рядом 1 (2) n 1 и расходятся. Поэтому ряд Лейбница сходится условно. ППП Mathcad дает возможность символьного вычисления суммы ряда. Кроме того, мы можем изобразить графически частичные суммы S1(n) и S2(n) рядов (1) и (2) и увидеть, что частичные чумы первого ряда сходятся к своему пределу ln(2), а второго – стремятся к бесконечности при n . Приведем фрагмент рабочего документа Mathcad: 11 (1) n 1 n ln( 2) , т. е. ряд Лейбница сходится и имеет сумму ln(2), n 1 1 n , т. е. гармонический ряд расходится. Поведение частичных сумм n 1 представлено на графике: Рис. 2. Графики частичных сумм S1(n) и S2(n) Пример 5. Исследовать на сходимость ряд i n n 2 (3) Т. к. для комплексного числа z x iy его модуль z x 2 y 2 , то ряд из модулей имеет вид член ряда an n 1 1 n 2n . Применим к нему признак Даламбера. Общий a n 1 n2 Найдем предел отношения a n 1 : an 2 n 1 a n 1 n 2 2n 1 n2 1 1 1 lim a lim n 1 2 n 1 2 lim n 1 2 lim 1 n 1 2 1 . n n n n n Итак, ряд из модулей сходится, а ряд (3) сходится абсолютно. Приведем фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором проведено исследование на сходимость ряда (3). Зададим члены ряда an : (i n ) 2 n Составим ряд из модулей: b(n ) : a n 2n Применим к нему признак Даламбера, используя возможность символьного b(n 1) 1 lim b(n) 2 вычисления пределов: n . 12 Предел существует и меньше единицы. Значит, ряд из модулей сходится по признаку Даламбера, а ряд (3) сходится абсолютно. 3.2. Функциональные и степенные ряды В прикладных исследованиях можно использовать разложение функции в ряд. В простейших ситуациях этот ряд является степенным. В более сложных случаях ряд составляется из тригонометрических или специальных функций. Оперировать с рядами можно внутри их области сходимости. Определение. Областью сходимости функционального ряда f n ( x) f1 ( x) f 2 ( x) ... (4) n 1 называется множество тех значений x, при которых ряд сходится. Частным случаем функционального ряда является степенной ряд вида ( x x 0 ) n (5) или при x0 = 0 ряд n 1 xn n 1 Интервал сходимости – это такой интервал вида ( x 0 R , x 0 R ) , что внутри него ряд сходится, а при x x 0 R расходится. Число R называется радиусом сходимости. Для нахождения интервала сходимость функционального ряда обычно использовуют признаки Даламбера или Коши (радикальный), применяя их к ряду, составленному из модулей членов ряда. Концы интервала могут входить или не входить в область сходимости, поэтому ряд в концах интервала надо исследовать отдельно, применяя признаки сходимости из таблицы 1. Пример 5. Найти области сходимости функциональных рядов а) n ( x 1) n б) cosnx 2n Решение а) Зная общий член ряда a n ( x ) a n 1 ( x ) (n 1) ( x 1) n 1 n ( x 1) n и последующий член , находим предел отношения их модулей: a n 1 (n 1)( x 1) n lim lim a n n n (x 1) n 1 n 13 1 n 1 1 lim . x 1 n n x 1 1 1 , т. е. x 1 1, x 1 x 1 1 или x 1 1 x (,0) (2, ) . Ряд сходится по признаку Лейбница, если Границы интервалов исследуем особо. При x=0 числовой ряд ходится, т. к. модуль его общего члена не стремится к нулю: n n 1( 1) n рас- lim n . Это же n справедливо при x = 2 для ряда n 1 интервалов (,0) (2, ) . б) Т. к. cosnx 1 , то ряд ской прогрессией n . Итак, область сходимости состоит из двух cos nx n 1 2n мажорируется сходящейся геометриче- 2 n . Поэтому он сходится (абсолютно) при всех x. Заме- n 1 тим, что по теореме Вейерштрасса эта сходимость является и равномерной. Значит, область сходимости x (, ) . 3.4. Ряд Тейлора и его применение в приближенных вычислениях В приближенных вычислениях удобно представлять функцию в виде суммы степенного ряда, а затем вместо функции брать частичную сумму этого ряда (являющуюся многочленом). В 1712 г. английский математик и механик Тейлор показал, как найти коэффициенты этого ряда, названного в его честь рядом Тейлора: (6) Многочленом Тейлора порядка n называется частичная сумма этого ряда: Функция равна сумме своего ряда Тейлора (что записано в (6)) только для тех значений х, при которых остаточный ч лен формулы Тейлора стремится к нулю: ( ) Для приближенного вычисления полагают , подбирая значение n так, что погрешность не превосходит заданной точности . Для оценки погрешности существуют два основных способа: 1. Можно воспользоваться формулой Лагранжа , 14 (7) где – некоторая точка, лежащая между и . 2. Если в точке функция разлагается в ряд Тейлора, который является знакочередующимся, то его остаток по теореме Лейбница не превосходит первого отброшенного члена: Ряды Тейлора основных функций при № 1 +…+ … … 3 … … … … 4 6 Область сходимости Разложение 2 5 = 0 представлены в таблице 2. Таблица 2 … … … … . Многие другие функции различными преобразованиями сводятся к основным, затем к ним применяются разложения из таблицы 2. Пример 6. Разложить в ряд Тейлора в точке х=0 функцию . Решение. В разложении функции заменим х на , а затем умножим полученное равенство на х: …) Разложение верно при , т. е. (хотя разложение № 5 из таблицы 2 верно только при -1,1]). Используя ряд Тейлора, можно вычислять значения функций с большой точностью. Пример 7. Вычислить ln2 с точностью до 10-5. Решение. Ряд № 5 из табл. 2 при cходится достаточно быстро (быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем ). Но чем ближе к 1, тем сходимость медленнее. При х=1 имеем знакочередующийся ряд: … (8) По следствию из теоремы Лейбница остаток этого ряда не превосходит первого отброшенного члена: 15 Для вычисления по формуле (8) надо было бы взять 100 тыс. слагаемых. Используем метод убыстрения сходимости. Заменим в (8) аргумент х на –х: (9) Вычитая (9) из (8), имеем: Ряд используется при практическом вычислении логарифмов натуральных чисел. Например, при х=1/3 (10) Ряд сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия с нить остаток при : 1/9. Легко оце- Для вычисления ln 2 с точностью достаточно взять 5 слагаемых ряда (10), что даёт значение ln 2 0,693146. Пример 8. Вычислить значение интеграла при t=1 c точностью до 0,01. Первообразная Ф(t) от не является элементарной функцией, для её вычисления разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении для x на : … …, Степенной ряд можно интегрировать почленно внутри интервала сходимости: … … Последний ряд – знакочередующийся, его остаток не превосходит первого отброшенного члена: При t=1 выберем n так, что . Иначе говоря, выписываем члены ряда до тех пор, пока не дойдём до члена, по модулю не превышающего 0,01: Итак, уже Отбрасывая этот и последующие члены, полу- чаем, что с точностью до 0,01 . 16 ППП Mathcad предоставляет большие возможности по разложению функций как в ряды Тейлора, так и в ряды Фурье. В меню Symbolics содержится оператор Series. Для его использования надо ввести выражение функции f(x), щёлкнуть по ключевому слову series, ввести в помеченных позициях точку , в окрестности которой проводится разложение, и порядок остаточного члена. Затем нажать знак символьного равенства Пример 9. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию . Исследовать графически поведение функции и частичных сумм ряда Тейлора порядка n = 1, 3, 4. Решение. Разложим функцию в ряд Тейлора: series, x, 6 … Возьмём сумму первых двух, трёх и четырёх членов ряда: Построим графики: Рис. 3. Аппроксимация функции отрезком ряда Тейлора По графику видно, что приближение функции рядом Тейлора имеет локальный характер: функция хорошо аппроксимируется многочленом Тейлора в окрестности точки . Аппроксимация тем лучше, чем больше членов ряда Тейлора мы берем. Замечание 1. При разложении функции f(x) в ряд Тейлора в точке , отличной от нуля, оператор series два первых члена ряда даёт в виде , затем их надо привести к виду , где = . Например, для точки Т. к. и функции , то приводим разложение к виду , 1/x series x = 2, 2 . . Замечание 2. Оператор series позволяет получать разложение в ряд Тейлора функции двух переменных в окрестности точки . Например, в окрестности нуля series x, y, 3 . 17 Пример 10. Вычислить в Mathcad приближенное значение cos (18º) с точностью до 0,001, используя ряд Тейлора. Решение. Перейдём от градусной меры угла к радианной: 18º = π/10. Разложим функцию cos (x) в ряд Тейлора: cos (x) series, x, 7 . Этот ряд знакочередующийся. По теореме Лейбница допускаемая погрешность (отбрасываемый остаток ряда) не превосходит первого отброшенного члена, то есть . Подсчитаем значения второго и третьего членов ряда для х = π/10. Фрагмент рабочего документа имеет вид: , , , . Значит, достаточно взять два первых члена ряда, отбросив третий и последующие: , . Вычислим погрешность: . Итак, с точностью до 0,001 . Замечание 3. При вычислении значения определённого интеграла с заданной точностью можно использовать оператор series для приближения подынтегральной функции многочленом Тейлора , а затем находить интеграл от и оценивать погрешность . 3.5. Применение ряда Тейлора к приближенному решению дифференциальных уравнений В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение не удаётся, можно использовать приближенные методы решения. При нахождении частного решения y(x) дифференциального уравнения с начальными условиями, заданными в точке , в качестве приближенного решения можно взять конечное число членов разложения y(x) в ряд Тейлора: … (11) Для определения коэффициентов разложения (11) используют метод последовательного дифференцирования. Значения определяются по начальным условиям. Последующие значения ,… находим при последовательном дифференцировании исходного уравнения (если они не заданы в начальных условиях). 18 Пример 11. Найти три первых члена разложения в ряд Тейлора решение дифференциального уравнения (12) с начальным условием . Решение будем искать в виде ряда … Подставляя начальное условие Чтобы найти подставим в него (13) ) = 0,5 в уравнение (12), имеем: , продифференцируем исходное уравнение (12). Затем : Подставляя найденные значения в (13), получаем приближенное решение как сумму трёх первых члена ряда Тейлора: … 3.6. Разложение функций в ряд Фурье Ряд Фурье используется для разложения его периодических функций с периодом 2l в ряд, составленный из гармоник … В зависимости от вида функции и интервала разложения меняются формулы и вид ряда Фурье (см. табл. 3). В первой строке таблицы представлен ряд Фурье общего вида, в остальных – ряд Фурье для более простых частных случаев. Для разложения функции в ряд Фурье руководствуйтесь планом: 1) Проверьте условия теоремы Дирихле разложимости функции в ряд Фурье, продолжите функцию по периоду и постройте её график. 2) Выберите нужную строку из таблицы 3. 3) Вычислите коэффициенты ряда Фурье. 4) Запишите ряд Фурье. 5) Найдите сумму ряда в точках разрыва и на концах интервала: Изобразите сумму ряда на том же графике, что и f(x). (Чем они отличаются?) Пример 11. Разложить в ряд Фурье функцию периода , если . Построить график f(x) и суммы S(x) её ряда Фурье. Решение. 1) Продолжим f(x) по периоду и построим график: 19 Рис. 4. График функций f(x) и S(x) Эта функция кусочно-монотонна (и кусочно-непрерывна), т. е. удовлетворяет условиям Дирихле. Значит, она разлагается в ряд Фурье. 2) Эта функция общего вида: она не является ни чётной, ни нечётной. Поэтому выбираем п. 1 из табл. 3. 3) Вычислим коэффициенты разложения по формулам (14) Подставим свою функцию f(x) и вычислим интегралы: an =((-1)n+1+1)/ πn, bn =(-1)n/n. 4) Запишем несколько первых членов разложения функции в ряд Фурье: f(x)=0.75 π + 2cosx – sinx + 0 5sin(2x) + 2cos(2x)/3 + … По теореме Дирихле сумма S(x) ряда Фурье совпадает с функцией f(x) в точках, где f(x) непрерывна, т. е. при х . Функция разрывна при х = . В силу периодичности . График S(x) совпадает с графиком f(x) в точках непрерывности и изображён на рис. 4. Значения S(x) в точках разрыва отмечены символом “x”. Возможности MathCad позволяют не только найти коэффициенты ряда, но и проиллюстрировать характер приближения к f(x) частичных сумм порядка n её ряда Фурье На графике, приведенном на рис. 5, видно, что с ростом n частичныe суммы ряда Фурье быстро приближаются к f(x) в точках, достаточно удалённых от точек разрыва. 20 Таблица 3 Ряд Фурье f(x) интервал ряд Фурье f(x) – 1 общего вида f(x) – 2 общего вида 21 f(x) – чётная 3 f(-x)=+ f(x) f(x) – нечётная 4 f(-x)=f(x) f(x) – 5 общего ряд по ковида синусам ряд f(x) – 6 общего по синувида сам 0 0 Как в п. 3 Как в п.4 0 Пусть функция f(x) интегрируется с квадратом на [-l, l]. Известно, что частичные суммы дают наилучшее приближение к f(x) среди всех тригонометрических многочленов (x) порядка n, если в качестве меры уклонения от f(x) взять среднеквадратичное уклонение Кроме того, . Чтобы убедиться в этом, вычислим значение для n = 1,…,10. Фрагмент документа Mathcad приведён ниже. Зададим исследуемую функцию, используя в панели Programming кнопку Add Line: Вычислим первые 10 пар коэффициентов Фурье, используя формулы из табл. 3: Запишем выражение для n-ой частичной суммы ряда: Изобразим график f(x) и графики частичных сумм для n = 1, 3, 10. Укажем диапазоны значений x от –π до π с шагом : n=1 n=3 Рис.5. Приближение функции отрезком ряда Фурье. Найдём среднеквадратическое отклонение n:=7, 22 n = 10 3.7. Применение рядов Тейлора к оценке изменения цены облигации 1. Определение текущей цены P облигации с нулевым купоном Рассмотрим облигацию с выкупной стоимостью С. Пусть рыночная процентная ставка равна а % (т. е. совокупная доходность ), а срок погашения облигации равен n лет. Определим текущую цену облигации Р. При n=1 . 2. Купонные облигации. По большинству облигаций выплачиваются купоны: держатель акций имеет право на серию процентных платежей и выплату основной суммы при погашении. Любой платёж можно рассматривать как новую облигацию, но уже с меньшим сроком погашения. Рассмотрим, например, двухгодичную облигацию с выкупной стоимостью C и выплатой суммы итоговым платежом за первый год. При совокупной доходности r Кривая рис. 6. называется кривой цены – доходности и изображена на Рис. 6. Кривая цены – доходности 3. Определение чувствительности цены облигации к изменению совокупной доходности r. 23 Для проведения приближенных расчётов аппроксимируем кривую в окрестности точки r, разлагая P(r) в ряд Тейлора. Пусть r – текущая доходность, h – её изменение. По формуле Тейлора . Линейное приближение задаётся многочленом Тейлора первого порядка: задаёт заниженные значения цены. На графике (рис.6) изменению h соответствует движение по касательной. Точность приближения заметно улучшается, если взять многочлен Тейлора второго порядка: . Определение. Первый член ряда Тейлора, делённый на цену облигации, при h = 1 % называется модифицированной дюрацией (МД), второй – выпуклостью. Члены более высокого порядка обычно незначительны при определении чувствительности цены облигации. По определению, . Выясним смысл модифицированной дюрации. Первая производная , делённая на цену P, даёт приближенно процентное изменение цены облигации в ответ на изменение доходности на h = 1 %. При сроке погашения n лет зависимость цены купонной облигации от доходности r задаётся формулой: (14) Пример. Дана двухлетняя облигация стоимостью 100 у. е., по которой раз в полгода производятся выплаты по 5 у. е. ( . Положив доходность равной 8 % годовых, вычислить цену облигации , модифицированную дюрацию MODDUR и выпуклость W. Решение. В условиях задачи число периодов (и выплат) n = 4, доходность за полгода r = 0,04. вычисляем по формуле (14). Используем ППП Mathcad. Так как годовому изменению доходности на h = 1 % соответствует изменение на 0,5 % за полгода, то приведём значение к стандартному виду, умножив его на 0,5: MОDDUR = 0,5MD. Для нахождения выпуклости W используем отношение второго члена ряда Тейлора к цене Р: Так как в год идёт два денежных потока, то W = 24 . СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. / Н. С. Пискунов Т.2. - М. : Интеграл – Пресс, 2004. – 416с. 2. Демидович, Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Б. П. Демидович. Учеб. пособие. - 11 изд. -М. : Высшая школа, 1997. – 142с. 3. Данко, П. Ф. Высшая математика в примерах и задачах. /П. Ф. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. В 2-х т. Т.2 – 6 изд. -М.: ОНИКС 21 век. 2005.- 416с. 4. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.: Наука, 1981. - 287с. 5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / А. П. Рябушко [и др.]. В 3-х ч. Ч.3. – М. : Высшая школа, 1991. – 109с. 6. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике / Л. А. Кузнецов. -М. : Высшая школа, 2003. – 163с. 25 Составители: Ирина Эдуардовна Симонова Вячеслав Федорович Казак Борис Витальевич Симонов РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Методические указания Под редакцией авторов Темплан 2009 г., поз. № 38К. Подписано в печать 20. 05. 2009 г. Формат 1/8. Бумага листовая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,25. Усл. авт. л. 2,88. Тираж 50 экз. Заказ № Волгоградский государственный технический университет 400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28. РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета 400131 Волгоград, ул. Советская, 35.