Ряды Тейлора Разложение функции в ряд Тейлора – представление функции в виде степенного ряда. Ряд Тейлора сходится во всех точках непрерывности функции Разложение в ряд Тейлора можно производить двумя способами. 1 способ. Разложение в ряд Тейлора по формуле. Все производные от функции и факториалы подставляем формулу Тейлора: 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑓 ′′ (𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 2! (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ + 𝑛! (𝑥 − 𝑎)𝑛 Иногда проще разложить функцию в ряд Маклорена. (да, собственно, в него почти всегда и раскладывают… если не стоит задание «разложить по степеням (х-3)» или в таком роде) Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора, если сделать а=0. Соответственно, выглядит он так: 𝑓 ′′ (0) 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓 ′ (0) ∗ 𝑥 + 2! 𝑥 2 + ⋯ + Пример: Разложим в ряд Тейлора функцию ех: 𝑓(0) = 1 𝑓 ′ (0) = 1 … 𝑓 (𝑛) (0) = 1 𝑥 𝑒 𝑥 = 1 + 1! + 𝑥2 2! + 𝑥3 3! 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛! 𝑥𝑛 +⋯ 2 способ Разложение в ряд Тейлора с использованием известных разложений. Вместо х в данном случае подставляют аргумент функции в том виде, в котором он требуется по условию задачи. Принято использовать следующие разложения: 𝑥 𝑒 𝑥 = 1 + 1! + sin 𝑥 = 𝑥 − cos 𝑥 = 1 − 𝑥2 𝑥3 3! 𝑥2 2! 2! +⋯+ 𝑥𝑛 𝑛! +⋯ , 𝑥 ∈𝑅 𝑥 2𝑛+1 + ⋯ + (−1)𝑛 (2𝑛+1)! + ⋯ , 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 2𝑛 + ⋯ + (−1)𝑛 (2𝑛)! + ⋯ , 𝑥 ∈ 𝑅 ln(1 + 𝑥) = 𝑥 − 𝑥2 2 + ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑚(𝑚−1) 𝑥𝑛 𝑛 + ⋯ , 𝑥 ∈ (−1,1] (1 + 𝑥)𝑚 = 1 + 𝑚𝑥 + 2 𝑥 2 + ⋯ + Пример: sin 𝑥 Разложим в ряд Тейлора функцию 𝑥 sin 𝑥 𝑥 =1− 𝑥2 3! 𝑚(𝑚−1)…(𝑚−𝑛+1) 𝑛! 𝑥 𝑛 + ⋯ , 𝑥 ∈ (−1,1) 𝑥 2𝑛 + ⋯ + (−1)𝑛 (2𝑛+1)! + ⋯ В приближённых расчётах с помощью ряда Тейлора нам понадобится информация о точности вычислений. Точность мы оцениваем при помощи остаточного члена. Погрешность не превышает 𝑓 (𝑛+1) (𝜀) (𝑥 (𝑛+1)! − 𝑎)𝑛+1 Для вычислений с помощью ряда Тейлора надо вместо x подставлять то значение, которое стоит в примере. Например, для вычисления 𝑒 1⁄ 3 вместо х подставляем 1/3. Ряды Фурье Разложение в ряд Фурье – разложение функции в гармонический ряд (сумму гармонических функций). Гармонические функции – функции синуса и косинуса. Общий вид ряда Фурье: Коэффициенты ряда Фурье находятся следующим образом: Вообще, в ряд Фурье можно раскладывать периодические функции с периодом 2π. Соответственно, для всех остальных (непериодических или периодических, но с другим периодом) существуют другие всякие ухищрения. Давай разберёмся с непериодическими функциями. Их нужно сначала делать периодическими, а потом уже и работать. Сначала кушай алгоритм сего действия: 1. Начертить график функции 2. Проверить выпонение условий теоремы Дирихле a. В промежутке (-π;π) должно быть конечное число точек разрыва или не быть их совсем b. Должно быть конечное число экстремумов (или тоже не быть совсем) 3. Начертить график суммы ряда Фурье (или же в лекциях сие действо называлось достроением периодического прожолжения – лучше называй так, так оно даже правильней. ) 4. Вычислить коэффициенты суммы ряда Фурье 5. Найти сумму ряда Фурье в точках разрыва и на конце промежутка 6. Записать ответ Пример: Разложим в ряд Фурье функцию 𝑦 = 𝑥 2 в интервале [-π; π ]. (не забывай, если интервал обозначен не квадратными скобками, а круглыми – ставить стрелочки!!! И убирать их только в самом конце, когда докажешь, что в пи, 3пи и т.д. ряд сходится!!) 2) На промежутке нет точек разрыва и один экстремум. Условия Дирихле выполняются. 1 𝜋 2 𝜋 2 𝑥3 2𝜋 2 4) 𝑎0 = 𝜋 ∫−𝜋 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 3 | 𝜋0 = 3 bn=0 2 x 2 1 2 2 x cos nx 1 cos nxdx an x 2 cos nxdx sin nx n n 0 n n0 0 0 2 22 4 (1) n 2 * cos n sin nx n2 n n3 0 5) вычислим сумму на концах промежутка: f ( 0) f ( 0) 2 2 S1 2 2 2 2 f ( 0) f ( 0) 2 S2 2 2 2 Ряд Фурье сходится на концах промежутка и сумма совпадает со значением функции => график суммы ряда Фурье неразрывен. 6) записываем ответ: 2 (1) n cos nx 2 x 4 3 n2 n 1 [-π; π ]