ОБ ОДНОМ КЛАССЕ АЛГЕБР ОТНОШЕНИЙ С БИНАРНОЙ ДИОФАНТОВОЙ ОПЕРАЦИЕЙ Д. А. Бредихин Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А. , Саратов, Россия Множество бинарных отношений , замкнутое относительно некоторой совокупности операций над ними, образует алгебру (, ) , называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная (, , ) отношением теоретико-множественного включения . Теория алгебр отношений является существенной составной частью современной алгебраической логики и находит многочисленные приложения в программировании, теории баз данных и других разделах теоретической кибернетики. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А.Тарского [1,2]. Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Логические операции могут быть классифицированы по виду задающих их формул. Операция называется диофантовой [3] (в другой терминологии примитивно-позитивной [4]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. Диофантовы операции допускают описания с помощью графов [3, 4]. Эквациональные и квазиэквациональные теории алгебр отношений с диофантовыми операциями описаны в [5, 7]. Предметом нашего рассмотрения будут алгебры с одной бинарной диофантовой операцией. Рассмотрение бинарных операций над отношениями играет в алгебраической логики предикатов роль аналогичную роли бинарных булевых функций в пропозициональной логике высказываний. Поэтому естественен интерес к алгебраическим свойствам указанных операций. Одной из важнейших бинарных диофантовых операций над отношениями является операция умножения отношений . Алгебры отношений вида (, ) являются полугруппами и всякая полугруппа допускает изоморфное представление полугруппой бинарных отношений. В общем случае алгебра отношений вида (, ) , где - некоторая бинарная операция над отношением, образует группоид. Класс всех группоидов не имеет естественных представлений в виде алгебр бинарных отношений, поэтому с точки зрения теории группоидов также представляет интерес рассмотрение группоидов, представимых группоидами бинарных отношений. Некоторые результаты в этом направлении можно найти в [8, 9]. Для заданного множества операций над бинарными отношениями обозначим через R{} (соответственно R{, } ) класс алгебр (упорядоченных алгебр) изоморфных алгебрам (упорядоченным алгебрам) отношений с операциями из . Пусть Q{} (соответственно Q{, } ) - квазимногообразие и Var{} (соответственно V {, } ) - многообразие, порожденное классом R{} (соответственно R{, } ). Следующие проблемы обычно рассматриваются при изучении различных конкретных классов алгебр отношений. (1) найти систему элементарных аксиом для класса R{} ; (2) выяснить является ли класс R{} конечно аксиоматизируемым; (3) выяснить является ли класс R{} квазимногообразием; (4) найти базис квазитождеств квазимногообразия Q{} ; (5) выяснить является ли квазимногообразие Q{} конечно базируемым; (6) выяснить является ли квазимногообразие Q{} многообразием; (7) найти базис тождеств многообразия Var{} ; (8) выяснить является ли многообразия Var{} конечно базируемым. Аналогичные проблемы формулируются для упорядоченных классов алгебр отношений. Сосредоточим свое внимание на следующей диофантовой операции над бинарными отношениями, определяемыми следующим образом: {( x, y}: (u, v) (u, x) (u, v) } . Упорядоченным группоидом ( A, , ) назовем группоид ( A, ) , с заданным на множестве A отношением порядка , согласованным с операцией группоида. Полурешеточно упорядоченный группоид - это алгебра ( A, , ) типа (2,2) , где ( A, ) - группоид, ( A, ) - верхняя полурешетка, каноническое отношение порядка которой согласовано с операцией группоида. Элемент 0 называется нулевым элементом группоида, если x0 0 x 0 для любого x A . Основные результаты работы, решающие перечисленные выше проблемы для рассматриваемого класса алгебр отношений, формулируются в следующих теоремах. ТЕОРЕМА 1. Квазимногообразие Q{, } является многообразием, то есть Q{, } Var{ , } . Упорядоченный группоид ( A, , ) принадлежит многообразию Var{ , } тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим тождествам: (( x1x) x3 ) 2 ( x1x) x3 ) (1), x12 (( x2 x3 ) x4 ) x1 (( x2 x3 ) x4 ) (2), (( x1x) x3 ) x4 (( x1x) x3 ) x42 (3), x1 ((( x2 x3 ) x4 ) x1 ) x1 (( x2 x3 ) x4 ) (4), (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 ) (( x1x) x3 )( x5 x4 ) (5) (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 ) x7 ) (( x4 x5 ) x7 )( x1x) x3 ) (6), (( x1x2 ) x3 )((( x4 x5 ) x6 ) x7 ) ((( x1x2 ) x3 ) x7 )(( x4 x5 ) x6 ) (7), ( x1 (( x2 x3 ) x4 ))(( x5 x6 ) x7 ) x1 (( x2 x3 ) x4 )(( x5 x6 ) x7 )) (8), x1x2 x12 (9), (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 ) (( x1x2 ) x3 ) x4 (10). Класс R{, } не является квазимногообразием. Упорядоченный группоид ( A, , ) принадлежит классу R{, } тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1) - (10) и следующим условиям: ( x2 x3 ) x4 0 x1 (( x2 x3 ) x4 ) x1 (11), x4 x5 0 (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 ) ( x1x2 ) x3 (12). СЛЕДСТВИЕ. Полурешеточно упорядоченный группоид ( A, , ) принадлежит многообразию Var{ , } тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1) – (8) и следующим тождествам: x1 ( x2 x3 ) x1x2 x1x3 (13), ( x1 x2 ) x3 ) x1x3 x2 x3 (14), x1x2 x12 x12 (15), (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 ) (( x1x2 ) x3 ) x4 (( x1x2 ) x3 ) x4 (16). ТЕОРЕМА 2. Квазимногообразие Q{} не является многообразием и не имеет конечного базиса квазитождеств. Группоид ( A, ) принадлежит многообразию Var{ } тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1) – (8) и следующему тождеству: ((( x1x2 ) x3 )( x4 x5 )) x5 (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 ) (17). Класс R{} не является квазимногообразием и не может быть охарактеризован никакой конечной системой элементарных аксиом. Группоид ( A, ) принадлежит классу R{} тогда и только тогда, когда он принадлежит квазимногообразию Q{} и удовлетворяет условиям (11) –(12). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. V 4. P. 73-89. 2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations// J. Symbolic Logic. 1953. V. 18. P. 188-189. 3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Доклады Российской Академии Наук. 1998. Т. 360. С. 594--595. 4. Boner P., Poschel F. Clones of operations on binary relations// Contributions to general algebras. 91. V. 7. P. 50-70. 5. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. Вузов. Матем. 1993. № 3. С. 23-30. 6. Andreka H., Bredikhin D. A. The equational theory of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. V. 33. P. 516-532. 7. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовами операциями // Сибирск. матем. журн. 1997. T. 38. С. 29-41. 8. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions// Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1994. V. 54. P. 11-124. 9. Bredikhin D. A. Varietes of groupoids associated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations// Semigroup Forum. 1992. V. 44. P. 87-192.