УДК 517.55 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ЧЕРЕЗ ГРАНИЧНЫЕ ДУГИ ПУТЕМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕРОМОРФНЫМИ ФУНКЦИЯМИ Мкртчян А. Д. Научный руководитель д-р физ.-мат. наук Цих А. К. Сибирский Федеральный Университет Вопросы аналитического продолжения и нахождения сингулярных точек функции имеют давнюю историю. Этими вопросами занимались многие известные математики, такие как Карлсон, Полиа, Адамар и др.(см. например [1]). Есть разные подходы для исследования таких проблем. В настоящей работе мы будем рассматривать вопрос продолжения степенного ряда через границу круга сходимости. Дадим некоторые определение. Рассмотрим степенной ряд f ( z) f n z n (1) n 0 переменного z , имеющий своей областью сходимости единичный круг D : {z C :| z | 1} . Скажем, что целая функция интерполирует коэффициенты ряда (1), если (n) f n , n . Напомним (см., например, [2]), что индикатор целой функции определяется пределом h ( ) limsup r ln | (re i ) | , r . Пусть - сектор {z re i :| | } , [0, ) , а через обозначим открытую дугу D1 \ . Теорема(Arakelian) [3] Сумма ряда (1) аналитически продолжается в открытый сектор \ тогда и только тогда, когда существует интерполирующая коэффициенты f n целая функция экспоненциального типа ( z ) такая, что h ( ) | sin | для | | 2 . (2) Как видно из формулировки, утверждение теоремы специализирует факт продолжения f ( z ) через дугу = D1 \ сразу в весь сектор. Свойство продолжимости f ( z ) хотя бы в некоторую окрестность дуги рассматривалось в статье [4] (см. также [5]). В таких случаях говорят, что является дугой регулярности для ряда (1). Теорема (Arakelian) [4] Открытая дуга = D1 \ является дугой регулярности для ряда (1) тогда и только тогда, когда существует целая функция экспоненциального типа , интерполирующая коэффициенты ряда: (n) f n , у которой индикатриса роста h ( ) удовлетворяет условиям: h (0) 0 и limsup 0 h ( ) | | . (3) Разумеется неравенство (2) влечет неравенство (3) и это является следствием так называемого свойства тригонометрической выпуклости индикатора целой функции. Иногда целесообразно интерполировать коэффициенты ряда не целыми функциями а мероморфными. В качестве таких интерполяционных функций берутся следующие: p ( a j b j ) ( ) ( ) j 1 q (c k d k ) (4) k 1 где ( ) целая функция, a j 0 , j=1,...,p, и p q j 1 k 1 a j c k 0 . q p k 1 j 1 Пусть l | ck | a j . Теорема 1. Сумма ряда (1) аналитически продолжается в открытый сектор \ если, существует интерполирующая коэффициенты f n мероморфная функция ( ) вида (4) такая, что индикатор целой функции p ( ) ( ) a aj j j 1 q ckck k 1 Удовлетворяет условиям 1) h (0) 0 , 2) max{h ( ) l , h ( ) l} . 2 2 2 2 Теорема 2. Дуга = D1 \ является дугой регулярности для ряда (1) если, существует интерполирующая коэффициенты f n мероморфная функция ( ) вида (4) такая, что индикатор целой функции p ( ) ( ) a aj j j 1 q ckck k 1 удовлетворяет условиям 1) h (0) 0 , 2) limsup 0 h ( ) l . | | 2 ЛИТЕРАТУРА [1] Л. Бибербах, Аналитическое продолжение, Москва, Наука 1967. [2] Л. И. Ронкин, Введение в теорию целых функций многих переменных. Москва, Наука, 1971. [3] Аракелян Н. У., Мартиросян В. А. Степенные ряды: аналитическое продолжение и локализация особенностей. Ереван 1991. [4] N. U. Arakelian, Approximation by entire functions and analytic continuation, 1992, Progress in approximation theory (FL: Tampa, 1990); Computational Mathematical Series, Vol. 19 (New York:Springer), pp. 295–313. [5] N. Arakelian, W. Luh, and J. Mueller. On the localization of singularities of Lacunar power series. Complex Variables and Elliptic Functions, 52(2007), no. 7, pp. 561-573