5.Законы сохранения

Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федераций
РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Мироненко И.В., Филиппенко В.П.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по теме "Законы сохранения" для абитуриентов
физического факультета
Ростов-на-Дону 1992
ВВЕДЕНИЕ
Законы сохранения позволяют рассматривать общие свойства движения без решения
уравнений движения и детальной информации о развитии процессов во времени.
Уравнения движения являются уравнениями изменения физических величин во
времени и пространстве. Перед нами возникает бесконечное количество физических
ситуаций. При рассмотрении последовательности физических ситуаций нас интересует не
только то, чем отличаются эти ситуации, но и то общее, что в них сохраняется. Законы
сохранения и отвечают на вопрос том, что в последовательности физических ситуаций,
описываемой уравнениями движения, остается неизменным, постоянным.
С законами сохранения можно познакомиться в учебнике для 9 класса "Механика",
главы "Закон сохранения импульса" и "Закон сохранения энергии".
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
П р и м е р 1. Человек весом 800 Н переходит с носа на корму в лодке длиной 5 м. Сколько ве
за время этого перехода переместилась в стоячей воде в обратном направлении на 2 м Начальн
относительно воды равна нулю.
Ре шение
L= 5 м.
P=800 H.
V1=V2=0
S=2 м.
P=?
1-й Способ.
Запишем закон сохранения импульса
m1V1+ m2V2 = m1V1’ + m2V2’
т.к. V1=V2=0, то m1V1’ + m2V2’=0
или m1/m2 =V2’/V1 ,где m1 - масса человека, m2— масса
лодки,V2’- скорость лодки относительно воды, V1’ скорость человека относительно воды,
равная сумме скорости человека относительно лодки и скорости лодки относительно воды
V2’,т.е. V1’=V’+V2’.Следовательно,
m1 /m2 = -V2 ’/(V+V2’)
Т.к. время взаимодействия для обоих тел одинаково, можно записать
m1/m2 = -V2’ t /(V+V2’)t или P1/P2= - S/ L+S ,
где P1 - вес человека, P2 - вес ложки. Отсюда
P2 = - P1 (L+S)/S; P1= - 800(5-2)/ -2 =1200(H).
Y
2-ой Способ. Т.к. импульс изолированной системы
постоянен, то ее центр масс остается в покое, т.е.
сохраняет свое положение в системе координат ОХY
(см. рисунок)
Х
0
( Xc = M L/2 +mL) / (M +m) = (M (L/2 +S) + mS) / ( M + m).
Отсюда находим
P = Mg = mg(L+S)/ S .
П р и м е р 2. Какова жесткость К буферной пружины вагона, если при скорости V0 он
останавливается на пути S при столкновении его с опорой? Мacca вагона М, буферных
пружин две.
К-?
V0
S
M
n=2
S
Решение
Очевидно, кинетическая энергия вагона
перешла в потенциальную энергию
сжатых пружин.
По закону сохранения энергии для
системы вагон-пружины имеем
А + Асопр. = Wk +Wп
Т.к. А = Асопр.=0, то
0= ( МV2 /2 – MV2/2) + 2(KS2 /2 – KS02/2)
C учетом V=0 и S0=0, получим
К= МV02 / (2S2)
П р и м е р 3. Цилиндрическая труба высотой H и толщиной стенок В построена из
материалов с плотностью . Считая, что сечение трубы есть кольцо с внутренним
радиусом R , найти работу силы тяжести при постройке трубы.
Н
В
R
А-?
Решение
Работа силы тяжести равна убили потенциальной энергии тела, поэтому
Атяж= -Wп или Aтяж= - (mgh – mgh0),
где h0 и h – высота центра тяжести материалов до и после постройки
Т.к. h0=0, h=H/2, m=V, то
Атяж= - gVH/2,
V=SH = H (R22 - R12) = H[(R+B)2- R2].
Подставив, получим
Атяж= - gBH2(2R+B)/2,
Знак минус означает, что работа силы тяжести .отрицательна, т.е. при перемещении
материалов вверх сила тяжести действовала навстречу, т.е. вниз.
П р и м е р 4. Тело массой m , брошенное под углом к горизонту, упало на расстоянии S от
места бросания. Зная, что максимальная высота, достигнутая телом, Н . Найти работу
бросания. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Работа 6poсaния - это работа, совершенная силой F, сообщившей
брошенному телу запас энергии для полета.
m
h1
S
H
А=?
Во время броска на тело действовала сила F,
изменившая энергию тела от нуля до W1,
поэтому А= W1.
Во время полета на тело действовала только
Потенциальная сила mg и W= const во все
время полета. Поэтому W1=W2 и A=W2
V
F
H
или А= mgH + mV2/2
Но V2=S/2t, где t- время подъема или спуска.
Из H=gt2/2 найдем t=  2H/g
S
mg
Тогда
А= mgH + mS2/ (242H/g)= mg(H+ S2/ (16H)).
П р и м е р 5. Планер массой m , имевший на высоте h1 скорость V1 по некоторой кривой
длины l снизился до высоты h2, погасив скорость до V2. Найти силу сопротивления воздуха,
считая ее постоянной.
Решение
m
h1
V1
l
h2
V2
Fc -?
Поддерживающая планер подъемная сила Q перпендикулярна к
скорости и работы не совершает. Поэтому А=0 и Асопр=W
-Fсопр l= (mgh2 + mV22/2) - (mgh1 + mV12/2), откуда
Fсопр= [mg(h2 - h1)+ m/2(V22-V12)]/ l
П р и м е р 6. Тело массой m поднимают медленно по желобу высотой h и длиной основания
b . Считая коэффициент трения равным к , найти работу внешней силы (силы тяги), работу
силы тяжести, работу силы трения и силы нормальной реакции.
Реше ние
m
h
b
k
AT -?
Amg -?
Ac -?
AQ -?
Fi
F
Q
Si
hi 
h
FTP

mg
b
Qi
S
bi

mg
FTP i
Силы, действующие на тело, очевидны.
Т.к. тело движется под действием переменных сил (движение криволинейное), то путь S
надо разбить на столь малые участки Si, которые были бы неотличимы от отрезков прямых.
Тогда
Aсопр.i= FTр.i Si (-1)= -kQiSi= - kmg cosi Si= -kmgbi
Aсопр = Асопр.1+…+Асопр.n= -kmg (b1+b2+…+bn)= -kmgb
Ag i = mgSi cosi = -mghi
Ag= -mg (h1+h2+…+hn)= -mgh
Или т.к. W0 n=0 (на высоте, равной 0), то
-mgh= -(W-W0)= Wg
и Ag= -Wg
Сила Q работы не совершает, т.к. она составляет угол 900 с направлением движения.
Для работы силы F имеем
Ai = FiSi (+1) = (Fi +mgsini) Si =
= (kmgcosi + mgsini) Si = kmgbi + mghi=
= mg(kbi +hi),
A = kmgb + mgh
V=const W=0 A= - A +W=kmgb +mgh.
Надо обратить внимание на то, что если работа силы F на участке ΔS равна ΔA1 , то
работа ΔA2 против этой силы, т.е. силы равной и противоположной силе F будет отличаться
от ΔA1 лишь по знаку.
Действительно, поскольку F1 = -F2 и ΔS1 =ΔS2 ,то F1 ΔS1 = -F2 ΔS2 или ΔA1 =
- ΔA2.
Поэтому работа силы тяжести в нашей задаче
Ag = - mgh
Работа внешней силы, преодолевающей силу тяжести
A = mgh
Аналогично, работа силы трения A = - kmgb; работа же силы, преодолевающей силу
трения, равна + kmgb.
П р и м е р 7. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы однородный
свинцовый кубик с ребром l, находящийся на горизонтальной плоскости, повернуть с одной
грани на другую (соседнюю)?
Решение

l
A -
l
k
0
h
d
0
l /2
а)
б)
k
При поворачивании кубика центр тяжести его (точка 0) должен выть поднят на
высоту h=d-l/2 . Следовательно, наименьшая работа, необходимая для такого поворота
будет равна изменению (увеличению) только потенциальной энергии кубика при подъеме
его центра тяжести на эту высоту h:
A = W2 -W1
где W1 - потенциальная энергия кубика в положении, изображенном на рис. a; W2 потенциальная энергия кубика в положении, изображенном на рис. б.
За уровень начала отсчета потенциальной энергии выберем уровень kk1 ,
проходящей через центр тяжести кубика в исходном положении. Тогда W1=0; W2 =mgh,
где m - масса кубика: m =V=l3 (— плотность).
Следовательно,
A = W2 -W1= gl3( d- l/2 )
d=(2/2 )l
Окончательно,
П р и м е р 8. Доказать , что при абсолютно упругом ударе шарика о стенку угол отражения
равен углу падения, а V0 и V лежат в одной плоскости с перпендикуляром к стенке,
восстановленным из точки падения.
Ре ш е н и е
sin 0= V0x / V0
V0
y
V
0
и
sin = Vx / V
но из mV02/ 2 = mV2/2

следует
V02=V2 или V0=V Т.к. сил трения
между шариком и стенкой нет (из-за упругости
удара), то ах=0 ,т.е. V0x=Vx .
Но тогда V0x / V0= Vx / V и, значит,
sin0 = sin 
x
Т.к. 0 и  - острые углы, то из sin0 = sin следует, что  = 0.
Поскольку касательных сил при ударе нет, то у шарика не могло появиться
составляющей скорости, перпендикулярной к плоскости V0Y. Это означает, что и V будет
лежать в той же плоскости.
П р и м е р 9. Два глиняных комка массами m1 и m2 , летящие со скоростями V1 и
V2 навстречу друг другу, неупруго соударяются. Найти количество выделившегося тепла
Q.
Решение
m1
m2
V1
V2
Q-?
V
m2V2
m1V1
(m1+m2)u
до удара
после удара
Очевидно,
m1V1 + m2V2 = (m1+m2)u
m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2)u2 /2 +Q
Считая направление вправо положительным, имеем
m1V1 - m2V2 = (m1+m2)u
m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2)u2 /2 +Q
Исключая u, получим
m1V12 /2 + m2V2 2 /2= (m1+m2) (m1V1 - m2V2 )2/ [2(m1+m2)2] +Q
Откуда
Q= m1V12 /2 + m2V2 2 /2 - (m1+m2) (m1V1 - m2V2 )2/ [2(m1+m2)]
раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим,
Q= m1 m2(V1 + V2 )2/ [2(m1+m2)]
П р и м е р 10. Два костяных шарика одинаковых масс настают друг на друга со
скоростями V1 и V2 под углом  и разлетаются после абсолютно упругого удара со
скоростями U1 и U2 . Найти угол разлета  (т.е. между скоростями u1 и u2)
Решение
m1=m2
V1
V2
m1V1 + m2V2

U1
U2
-?
m1V1
1800-

m1U1+m2U2
m2U2
m2V2
1800-

m1U1
По законам сохранения импульса и энергии
m1V1 + m2V2 = m1U1+m2U2
m1V12 /2 + m2V2 2 /2= m1U12 /2+m2U22 /2
Т.к. m1=m2=m, то сократив на m, получим
V1 +V2 = U1+U2
V12 + V22= U12 +U22
Но mV1+V2 и mU1+U2 - величины диагоналей векторных параллелограммов,
причем mV1+V2= mU1+U2 по закону сохранения импульса, а тогда по теореме
косинусов
m2 V12 + V22 - 2V1V2 cos(180 - ) =m2 U1 + U2 – 2U1U2 cos(180 - )
V12 + V22 - 2V1V2 cos(180 - ) = U1 + U2 – 2U1U2 cos(180 - )
Т.к. V12 + V22= U12 +U22 ,то
-2V1V2 cos(180 - ) = 2U1U2 cos(180 - )
V1V2 cos  =U1U2 cos 
Откуда
cos  = V1V2 cos  / ( U1U2 )
В силу V1V2=U1U2 , окончательно имеем
cos = cos
П р и м е р 11. В известной демонстрации на законы сохранения импульса и энергии при
ударе всегда отскакивает столько шаров, сколько налетает; объяснить это:
Решение
Пусть налетает k1 шаров, двигающихся совместно (слитно) со скоростью V1, отскочат k2
шаров со скоростьюV2. По закону сохранения импульса и энергии
k1mV1 =k2mV2
k1mV12 / 2=k2mV22/ 2
Сократив массу, получим
k1V1 =k2V2
(1)
k1V12 =k2V22
(2)
Возводя равенство (1) в квадрат и поделив полученное выражение на (2), получим k1=k2 ,
что и требовалось доказать. Деля (2) на (1), получим
V1 =V2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
Мальчик догнал тележку, движущуюся со скоростью 3 м/с и вскочил на нее.
Чему равна скорость тележки после того, как вскочил на нее мальчик, если
скорость прыжка мальчика 4 м/с, масса мальчика 50 кг, а масса тележки 80 кг?
Чему ровна скорость тележки, если мальчик прыгнет на встречу движущейся
тележке? (Ответ: 3,4 м/с; 0,3 м/с)
1.
2.
Граната, летевшая со скоростью 1О м/с, разорвалась на 2 осколка. Больший
осколок, масса которого составляет 60% массы всей гранаты, продолжает
двигаться В прежнем направлении, но с увеличенной скоростью, равной 25 м/с.
Найти скорость меньшего осколка. (Ответ: -12.5 м/с)
3.
С какой силой действует автомат на плечо стрелка, если скорострельность 600
выстрелов в минуту, масса пули 9 г и скорость вылета из ствола 800 м/с.
(Ответ: 72 Н)
4.
Автомобиль, двигаясь равноускоренно, на участке 100 м набрал скорость 72
км/ч. Определить работу двигателя автомобиля на этом участке, если масса его
с грузом 1800 кг, а коэффициент трения 0,05. (Ответ: 448,2 кДж)
5.
Какую скорость может развить трамвай на подъеме с уклоном ТО0, имеющий
четыре электродвигателя мощностью 55 кВт каждый, если вес трамвая с
пассажирами 300 кН, а коэффициент трения 0,05. (Ответ: 3,4 м/с)
6.
Пуля массой 9 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, пробивает
бревно толщиной 30 см и вылетает из него со скоростью 100 м/с. Какова
средняя сила сопротивления движению пули в бревне. (Ответ: 2250 Н)
7.
Столб длиной l и массой m , лежащий на земле, устанавливают вертикально.
Какая при этом совершается работа? (Ответ: mgl /2)
8.
C какой начальной скоростью надо бросить мяч с высоты h, чтобы он
подпрыгнул на высоту 2h? (Ответ:  2gh )
9.
Стальной шарик массой m=20г, падая с высоты h1=1м на стальную плиту,
отскакивает от нее на высоту h2 = 81см. Найти: 1) импульс силы, действующей
на плиту за время удара; 2.) количество теплоты. выделившееся при ударе.
(0твет: 0.17 Нс; 3,7 10 -2Дж)
10.
Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном
направлении камень массой m = 3 кг со скоростью V‘= 8м/с. Найти, на какое
расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения
коньков о лед к=0.02?. (Ответ:  0,29 м)
11.
В покоящийся шар массой, M=1кг, подвешенный на несжимаемом стержне,
закрепленном в подвесе на шарнире, попадает пуля массой m=0.01кг. Угол
между направлением полета пули и линией стержня равен =45°. Удар
центральный. После удара пуля застревает в шаре и шар вместе с пулей,
отклонившись, поднимается на высоту h=0,02 м относительно первоначального
положения. Найти скорость пули (Ответ: 89 м/с)
12.
Тело с массой m1, движущееся со скоростью V1 , упруго ударяется о стенку с
массой m2 (m1m2), движущуюся в ту же сторону со скоростью V2 (V1 V2).
Найти изменение кинетической энергии и импульса тела.
(Ответ:
W= 2m1V2(V2-V1); p= 2m1(V2-V1))
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.
1. Человек массой m неподвижно cтоит на тележке массой М.
Найти скорость тележки, если человек будет двигаться no ней
с относительной скоростью V
(трением между тележкой и дорогой пренебречь).
2.
Две тележки А и В стоят на рельсах одна за другой и связаны
нераcтяжимым тросом. На тележке А с массой mA стоит
человек с массой m, масса тележки B — mB. Человек начинает
двигаться по тележке A в сторону тележки В со скоростью V
относительно тележки. Найти скорость обеих тележек.
3. Тележка с песком, имеющая массу М, движется горизонтально со скоростью V . Камень с массой m попадает в
песок и движется вместе с тележкой. Найти скорость
движения тележки после попадания камня: a) падающего по
вертикали; в) летящего горизонтально навстречу тележке.
4. Клеть с грузом поднимается из шахты глубиной 180 м
равноускоренно за 60 с. Определить мощность двигателей,
если масса груженной плети 8103 кг.
5. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола орудия со скоростью
600 м/с. Определить среднюю силу давления пороховых газов,
если время движения снаряда в стволе 0,01с.
6. По склону горы длиной l скатываются санки массой m.
Определить среднюю силу сопротивления движению санок
при скатывании, если у подножия горы они имели скорость V
. Высота горы h, начальная скорость санок равна нулю.
7. Шайбу бросают снизу вверх по ледяной горе, составляющей с
горизонтом угол . За t шайба поднимается по горе на высоту
h, после чего соскальзывает вниз. Каков коэффициент трения
скольжения между льдом и шайбой? Сопротивление воздуха
не учитывать.
8. Ракета массой 0,2 кг вылетает из ракетницы вертикально
вверх со скоростью 5U м/с. Определить кинетическую и
потенциальную энергию ракеты через Т с после выстрела,
считая, что масса ракеты не меняется.
9. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный
на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса
пули в n=1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки
подвеса до центра шара l=1м. Найти скорость пули, если
известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на
угол =100.
10. Пуля массой m1 =10 г, летевшая горизонтально со скоростью
V1=600м/с, ударилась в свободно подвешенный деревянный
брусок массой m2=5 кг и застряла в нем, углубившись на
S=10см. Найти силу сопротивления дерева движению пули.
11.
Тело массой m1 ударяется неупруго о покоящееся тело массой
m2 . Найти долю q потерянной при этом кинетической
энергии.
12.
Теннисный мяч, летящий со скоростью V1 , отброшен
ударом ракетки в противоположном направлении со
скоростью V2. При этом его кинетическая энергия
изменилась на W . Найти изменение импульса мяча.