Документ 1008748

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей Псковской области
«Псковский областной центр развития одаренных детей и юношества»
Областной конкурс «Юные дарования» 2013/2014
«Юный знаток математики»
Заочный тур
8 класс
Ответы и комментарии
1.
Назовём натуральное число особым, если оно представимо в виде
, где m и n – целые числа. Докажите, что произведение двух
особых чисел – также особое число.
Утверждение задачи следует из тождества:
(m2 + 2n2)(a2 + 2b2) = m2a2 + 2m2b2 + 2n2a2 + 4n2b2 = (ma – 2nb)2 + 2(mb + na)2.
2. Соедините попарно через одну вершины выпуклого пятиугольника и
найдите сумму внутренних углов полученной пятиконечной звезды.
, по свойству внешнего
угла треугольника  АСО.
+
, по свойству внешнего
угла треугольника  КBE.
как
сумма
углов треугольника  EОD.
Значит,
.
3.
Сложите из фигур вида, изображенных на рисунке 1, квадрат
размером 9 9 с вырезанным в его центре квадратом 3 3 .
рис.1
Ответ:
4. Кроссворд
Разместите в пустых клетках цифры от 1 до 9 (рис.2) , чтобы в строках
и столбиках получились правильные числовые примеры (всего – 6
примеров, три горизонтальных и три вертикальных). Каждая цифра
должна быть использована ровно один раз.
рис.2
Ответ:
5. Крокодилу Гене через столько лет, сколько сейчас
Чебурашке, будет в 6 раз больше лет, чем ему
исполнилось, когда Чебурашка родился, а родились они
в один и тот же день года. Сколько лет каждому из них
сейчас, если в тот день, когда Чебурашке станет столько
лет, сколько Крокодилу Гене сейчас, им вместе будет 32
года?
Ответ: Крокодилу Гене сейчас 14 лет, Чебурашке -10 лет
Пусть Крокодилу Гене сейчас – х лет, а Чебурашке - у лет, тогда
составим систему уравнений:
 õ  ó  6õ  ó  5 õ  7 ó  0

 16 õ  224  õ  14 ,

 3õ  ó  32
 21õ  7 ó  224
тогда ó  3  14  32 , ó  10