Элективный курс по физике «Многообразный мир движения

Элективный курс по физике
«Многообразный мир движения»
Учитель МОУ «СОШ №50» Горбункова Галина Дмитриевна
Элективный курс «Многообразный мир движения» предназначен для учащихся 10 и 11 классов
общеобразовательных школ.
Основное направление современной физики – изучение наиболее общих форм движения материи,
лежащих в основе всех природных явлений; установление законов этих движений и их всеобщей
взаимосвязи между собой. Эти законы таковы, что им подчиняются все без исключения тела, где бы
они не находились, когда бы не наблюдались и каким бы изменениям ни подвергались. Формы
движения материи, изучаемые физикой, называют физическими процессами или физическими
явлениями.
Простейшее, что мы видим повседневно, это непрерывно происходящие изменения положений
тел друг относительно друга с течением времени. Это физическое явление служит предметом
изучения раздела физики, называемого механикой. Законам механических явлений подчиняются не
только тела, окружающие нас на Земле. Им подчиняются в своих движениях и звезды, и галактики, и
самые маленькие, невидимые частицы вещества - атомы и их составные части. Механические
процессы принадлежат к числу наиболее общих форм движения материи, и они присутствуют как
обязательные участники во всех других явлениях природы.
Логика школьного курса физики требует, чтобы его изучение начиналось с механики. Так как из
всех форм движения материи механическое движение наиболее наглядно; в классической физике
моделирование физических явлений связано с созданием преимущественно механических образов
структуры физических систем и происходящих в нем процессов.
Выбор данной темы для элективного курса обоснован тем, что при изучении механики имеется
возможность показать, как с помощью минимального числа физических законов едиными методами
решается большое число задач на движение и равновесие тел. Целесообразно на занятиях
элективного курса уделить внимание истории изучения механического движения, показать его
значимость.
«…от явлений движения к исследованию природы сил и затем от этих сил - к демонстрации других
явлений: … движения планет, комет, Луны и моря…»
Исаак Ньютон (1686 г.)
Курс рассчитан на 34 часа. Занятия включают в себя и исторические сведения, и описание
известных задач физики, но основную часть занимает решение задач. Основная цель курса в том,
чтобы учащиеся овладели такими общими научными методами, как анализ и синтез, индукция и
дедукция, пополнили свой банк решенных задач, так как решение задач по механике способствует
развитию научно- технического мышления, политехнического обучения.
Планируется, что после завершения изучения данного курса учащиеся будут лучше разбираться в
вопросах механики твердого тела, самостоятельно применять основные принципы и законы в
практической деятельности, видеть действие этих принципов в новых открытиях и достижениях
техники.
Содержание курса:
Тема занятия:
Введение. История развития механики.
Кинематика
О прямолинейном равномерном движении
Кол-во занятий
1
6
1
Относительность движения
Прямолинейное равнопеременное движение
1
1
Движение тела, брошенного вертикально
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Вращательное движение тела
Силы в механике
Всемирное тяготение
Законы Кеплера
Закон Гука
Вес тела
Сила трения
Динамика
Динамика тела, движущегося прямолинейно
Динамика движения системы тел
Динамика движения тела в вязкой среде
Динамика вращательного движения тела
Закон сохранения импульса
Столкновения
Энергия и закон сохранения энергии
О кинетической энергии
О потенциальной энергии тела
Закон сохранения энергии
Применение законов механики в ядерной физике
Работа и мощность
Динамика твердого тела
Вращение тела. Момент инерции. Уравнение моментов
Закон сохранения момента импульса
Статика
Равновесие тел при отсутствии вращения
Центр тяжести
Механические колебания
Механические волны. Звук
Гидростатика
Гидродинамика. Течение идеальной жидкости.
Подведение итогов. Конкурс на самую красивую задачу по механике
1
1
1
5
1
1
1
1
1
5
2
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
Занятие 1 История развития механики.
Античность. Эллинский период.
Наличие обширного комплекса практических знаний и технических навыков, высокий общий
культурный уровень, а также язык, уже отточенный на тонких философских и математических
исследованиях, - все это создало почву в Греции в IV веке до н.э. для начала работы по описанию,
упорядочению и объяснению явлений природы. Вокруг этого ядра в течение веков сформировалась
физика.
Практические знания и технический опыт, как и некоторые начатки научных исследований,
пришли к грекам от народов еще более древней культуры, в первую очередь из Вавилона и Египта;
самые древние научные достижения Китая, начало которых можно отнести к XIII веку до нашей эры.
Так в Вавилоне и Древнем Египте был предпринят ряд попыток упорядочения данных опыта и
наблюдения: введение уже к 2500 году до н.э. фиксированных единиц измерения длины, веса и
емкости.
Общий уровень греческой культуры, несомненно, способствовал тому, что техника переросла в
науку, связывающую воедино и объясняющую совокупность накопленных сведений и позволяющую
таким образом предвидеть явления и влиять на них.
Особую роль в развитии физики сыграл Аристотель со своим трудом о природе. Организаторский
гений Аристотеля позволил свести обширный материал в единую систему, которая в течение почти
двух тысяч лет служила каркасом науки. Аристотелевская физика уделяет огромное значение
механике. Он изучает свободное падение тел вниз. Большой заслугой аристотелевской кинематики
была формулировка точного правила сложения перемещений, формулировку принципа инерции,
формулировку правила равновесия рычага, описывает действие весов и блоков.
Данная эпоха ознаменована успехами Архимеда, который сконструировал мосты и дамбы,
подъемный винт, различные боевые машины многое другое. Архимед считается основателем
статики и гидростатики. Первым научным трудом Архимеда считается исследование центров
тяжести.
Средние века
В общей механике арабы следовали Аристотелю и не внесли в нее сколько-нибудь значительных
изменений, лишь внесли некоторый вклад в гидростатику. Аль – Наиризи написал трактат об
атмосферных явлениях. Аль-Рази ввел в употребление гидростатические весы для определения
удельного веса.
Возрождение
Эпоха возрождения связана с именем Леонардо да Винчи – великого изобретателя. Историки
техники насчитывает сотни изобретений, среди которых приспособления для преобразования и
передачи движения; простые и переплетенные ременные передачи; различного вида сцепления;
роликовые опоры для уменьшения трения; «кардановое» соединение; различные станки и многое
другое. В старинной науке гидравлике Леонардо был большим мастером и спроектировал
землечерпалки, использовал принцип сообщающихся сосудов, нашел центр тяжести плоских и
объемных фигур.
Пизанский период отмечен деятельностью Галилея, который открыл закон постоянства периода
качания маятника, исследовал свободное падение тел, доказывает теорему моментов. Галилей
закладывает два краеугольных камня современной динамики: принцип инерции и классический
принцип относительности.
Современным своим видом классическая механика обязана Ньютону, который сформулировал
основные законы движения.
Восемнадцатый век
Задачей восемнадцатого века было связать отдельные достижения ученых прошлого столетия в
одну связную картину с помощью систематического применения методов математического анализа
к исследованию физических явлений. В этом – главный вклад этого века в дальнейшее развитие
науки.
Занятие 2 Прямолинейное равномерное движение.
Движению, родившийся в 384 г. до н. э., Аристотель придавал значительно более широкий смысл,
чем принято в физике со времен Галилея. Аристотель понимает под движением любое
количественное или качественное изменение, благодаря которому явление реализуется. Такое
широкое понимание движения позволяет ему утверждать, что в природе все есть движение.
Частному понятию изменения положения тела с течением времени он дал наименование
локального движения, а локальные движения он разделял на естественные и насильственные. К
естественным он относил и прямолинейное равномерное движение.
Хотя этот вид движения является самым простым из всех видов движения, необходимо решение
задачи разбить на несколько этапов:
Качественный анализ всех возможных движений каждого тела, данного в задаче.
Определение порядка отсчета времени и длин путей.
Указание начальных состояний движения для каждого тела.
Написание законов движения для каждого тела.*
Отыскание недостающих уравнений.
Алгебраическое решение полученной системы уравнений и отыскание расчетных формул для
определения неизвестных величин.
Согласование единиц всех величин и арифметический расчет числовых значений неизвестных.
Решение задач:
1. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он проехал со скоростью 12
км/ч. Далее половину пути он ехал со скоростью 6 км/ч, а затем до конца пути шел пешком
со скоростью 4 км/ч. Определите среднюю скорость велосипедиста на всем пути.
Решение: Установив, что задача на прямолинейное равномерное движение одного тела, и
представив себе весь процесс движения, делаем схематичный чертеж:
V₁
V₂
V₃
Ѕ₁
Ѕ₂
Ѕ₃
t₁
t₂
t₃
Составляем уравнения движения для отрезка пути:
Ѕ₁=Ѕ₂+Ѕ₃; t₂=t₃; V(ср)= (Ѕ₁+Ѕ₂+Ѕ₃)/ (t₁+t₂+t₃)
Читаем еще раз условие задачи, выписываем числовые значения известных величин и, определив
число неизвестных в полученной системе уравнений, решаем ее относительно искомой величины.
Если при решении задачи учтены все условия, то решение системы относительно средней скорости
дает:
V(ср)=2V₁(V₂+V₃) / (2V₁+V₂+V₃)
Подставив числовые значения в расчетную формулу, получим:
V(ср) ≈7 км/ч.
2. Материальная точка движется так, что координата изменяется со временем по закону:
х=5t. Чему равна скорость материальной точки? Какой путь пройдет точка за 2с
3. Материальная точка движется вдоль оси Х так, что в момент времени t₁ ее координата 5м,
а к моменту времени t₂ ее координата -3м. Найти скорость движения точки. Записать закон
движения точки х(t). Найти перемещение и путь, пройденные точкой за любые Δt=2с
движения.
4. По оси Х движутся две точки: первая по закону х₁=10+2t, вторая по закону х₂=4+5t. В какой
момент они встретятся? Решить задачу аналитически и графически.
5. Материальная точка движется равномерно вдоль оси Х так, что в момент времени t₁=0 его
координата х₁=10м, а через Δt=2мин координата 250м. С какой скоростью движется точка?
Записать закон движения х(t).
Занятие 3 Относительность движения.
Все механические движения относительны. Относительность механического движения означает, что
говорить о движении можно только тогда, когда указано не только тело движущееся, но и тело
отсчета.
Из относительности движения вытекает первое, очень важное, требование к порядку действий при
рассмотрении любого вопроса о движении:
При решении любой задачи о движении прежде всего должна быть указана та система отсчета, в
которой будет рассматриваться движение.
Решение задач:
1. От буксира, идущего против течения реки, оторвалась лодка. В тот момент, когда на буксире
заметили лодку, она находилась от него на достаточно большом расстоянии Ѕ₀. С буксира
спустили катер, который доплыл до лодки и вернулся с ней назад. Сколько времени заняла
поездка катера и какое расстояние он проплыл в одну и другую сторону, если скорости катера и
буксира относительно воды равны соответственно V₁ и V₂?
Решение: В задаче рассматривается равномерное движение тел относительно друг друга,
причем каждое тело участвует в сложном движении - оно движется относительно воды и вместе
с водой, которая сама течет относительно берега. Изучая движение тел в системах отсчета,
движущихся равномерно и прямолинейно относительно неподвижной системы отсчета, все
расчеты можно производить так, как если бы переносного движения не было.
Изучая относительное движение двух или нескольких тел, систему отсчета удобно связывать с
одним из этих тел, принимая его за тело отсчета, и рассматривать перемещения, скорости и
ускорения относительно этого тела. Свяжем систему отсчета с буксиром. В этой системе буксир
покоится, лодка удаляется от него со скоростью V₁+V₂, катер вместе с лодкой приближается к
нему со скоростью V₁ - V₂
Допустим, что за время t₁, спустя которое катер догонит лодку, буксир удалился от лодки на
расстояние Ѕ₁, тогда уравнение движения для катера и лодки за это время дает:
Ѕ₀+Ѕ₁=( V₁+V₂) t₁ и
Ѕ₁= V₂ t₁
Если для возвращения на буксир катеру потребовалось время t₂, то уравнение его движения
имеет вид:
Ѕ₀+Ѕ₁+(V₁ - V₂) t₂.
Исковое время движения будет равно:
t= t₁ + t₂,
и за это время катер проплывет расстояние
Ѕ= 2(Ѕ₀+ Ѕ₁)
Решая уравнения совместно, находим:
t=2Ѕ₀/( V₁ - V₂);
Ѕ = 2Ѕ₀ ( 1+ V₂/V₁).
2. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 36км/ч и 54км/ч. Пассажир в первом
поезде замечает, что второй поезд прошел мимо него за 6 секунд. Какова длина поезда?
3. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору метрополитена за 3мин, а по
движущемуся вверх эскалатору за 2мин. Сможет ли он подняться по эскалатору,
движущемуся с той же скоростью вниз? Если сможет, то за какое время?
4. Теплоход длиной 300м движется прямолинейно по озеру со скоростью V₁ . Катер,
имеющий скорость 90км/ч, проходит расстояние от кормы до носа движущегося теплохода и
обратно за 37,5с. Найти скорость теплохода.
5. Пролетая над пунктом А, пилот догнал воздушный шар, который сносило ветром по курсу
вертолета. Через полчаса пилот повернул обратно и встретил шар в 30км от пункта А. Чему
равна скорость ветра, если мощность двигателя вертолета осталась постоянной?
Занятие 4 Прямолинейное равнопеременное движение.
Наибольший вклад в изучение равно - переменного движения внес в период средневековья
Никола Орезм (ок. 1328-1388). Применив впервые в истории науки графическое представление
движения, соответствующее современному методу координат, он установил закон, используемый и
сейчас и связывающий для равно - переменного движения пройденный движущимся телом путь со
временем, затраченным на его прохождение.
Решение задач:
1. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 30см от начала
пути шарик побывал дважды: через 1 секунду и через 2 секунды после начала движения.
Определить начальную скорость и ускорение движения шарика, считая его постоянным.
Решение: Зависимость координаты тела вдоль наклонной плоскости от времени
выражается формулой:
Х=V₀t - αt²/2. Отсюда t² - 2V₀t/α +2х/α=0. Так как t₁ и t₂ - корни этого уравнения
при х = t, то, по теореме Виета, t₁ + t₂= 2V₀/α и t₁t₂= 2t/α. Из полученной системы получим
V₀= 0,45м/с и α=0,3м/с².
2.
В момент, когда тронулся поезд, провожающий начал равномерно бежать по ходу
поезда со скоростью3,5м/с. Принимая движение поезда равноускоренным, определить
скорость поезда в тот момент, когда провожатый поравнялся с провожающим.
3. За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом в равноускоренном
движении, втрое больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если движение
происходит без начальной скорости?
4. Реактивный самолет летит со скоростью 720км/ч. С некоторого момента самолет летит с
ускорением в течение 10 секунд и в последнюю секунду проходит путь 295м. Определить
ускорение и конечную скорость самолета.
5. Пуля, летящая со скоростью 400м/с, ударяет в земляной вал и проникает в него на
глубину 36см. Сколько времени двигалась она внутри вала? С каким ускорением? На
какой глубине скорость пули уменьшится в три раза?
Занятие 5 Движение тела, брошенного вертикально.
При изучении движения тел, движущихся под действием силы тяжести, нельзя не вспомнить о
Галилео Галилее, который предположил, что скорость падающих тел одна и та же для всех тел
независимо от их веса. Это свойство в 1590 году было подтверждено Галилеем в опытах на
Пизанской башне, проведенным им с большой торжественностью в присутствии его коллег –
последователей Аристотеля – и учеников.
Решение задач:
1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V₀. Когда оно достигло высшей
точки пути, из того же начального пункта с той же скоростью брошено второе тело. На
какой высоте они встретятся?
Решение: Момент встречи делит время подъема, так же и время падения тел, на две
равные части. Пути же, проходимые телом, падающим без начальной скорости, в
последовательные равные промежутки времени относятся как 1:3. Следовательно,
встреча произойдет на ¾ высоты.
2. Аэростат поднимается с земли вертикально вверх с ускорением 2м/с². Через 5с от начала
его движения из него выпал предмет. Через сколько времени этот предмет упадет на
Землю?
3. С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты 20м, чтобы он подпрыгнул
на высоту 40м?
4. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти
время падения и высоту, с которой упало тело.
5. Из точек А и В, расположенных по вертикали (А выше) на расстоянии 100м друг от друга,
бросают одновременно два тела с одинаковой скоростью 10м/с: из точки А вниз, а из
точки В вверх. Через сколько времени и в каком месте они встретятся?
Занятие 6 Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
При движении тела, брошенного под углом к горизонту, когда на тело действует сила тяжести,
задачи решаются аналогично задачам на движение тела, брошенного вертикально.
Решение задач:
1. Начальная скорость брошенного камня 10м/с, а спустя 0,5с скорость камня 7м/с. На какую
максимальную высоту поднимется камень?
Решение:
Очевидно, что камень брошен вверх под углом к горизонту, так как если бы он был брошен
вертикально, то его скорость через 0,5с составляла бы V₀ -gt =5.1м/с.
Высота, на которую поднимется камень, Н=V₀t²/(2g), где V₀t -вертикальная составляющая
начальной скорости, ее можно определить из следующей системы уравнений:
V₀² =Vt² +Vt²
V² =Vt² +(V₀t - gt²), где Vt-горизонтальная проекция начальной скорости.
Вычитая из второго уравнения первое, получим
V₀t = (V₀² - V² + g²t²)/(2gt).
Подставляя это уравнение в уравнение для максимальной высоты, получим
Н=(V₀² -V² +g²t²)²/(8gt²)
Н=2,8м
2.
Под углом 60° к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20м/с. Через сколько
времени оно будет двигаться под углом 45° к горизонту?
3. На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены два тела под углом 45° к
вертикали со скоростью 20м/с: одно вниз, другое вверх. Определите разность высот, на
которых будут тела через 2с.
4. Тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 40м/с с поверхности Земли.
Определить скорость тела на высоте 5м.
5. Артиллерийское орудие расположено на горе высотой 20м. Снаряд вылетает из ствола со
скоростью 100м/с, направленной под углом 30° к горизонту. Определите дальность полета
снаряда.
Занятие 7 Вращательное движение тел:
Впервые о вращательном движении можно было узнать из работы Ньютона «Математические
начала натуральной философии» в первой книге, где центростремительное движение носит
геометрический характер. Леонард Эйлер пошел дальше исследования центрального движения,
принятого со времен Ньютона, и рассмотрел в общем виде произвольное вращательное движение,
подготовив, таким образом, почву для современной кинематики.
Решение задач:
1. Через блок, радиусом R перекинута нить, на концах которой находятся два груза,
установленные на одном уровне. Предоставленные самим себе, грузы приходят в
равноускоренное движение и, спустя время t один находится под другим на высоте h.
Определите угол поворота блока, его угловую скорость и полное ускорение точки А в
конце интервала времени t. Нить не проскальзывает.
А
Решение: Так как по условию задачи нить по блоку не проскальзывает, то касательное ускорение
всех точек, лежащих на ободе равно ускорению грузов.
Поскольку движение грузов равноускоренное и за время t они смещаются друг относительно друга
на расстояние h, то уравнение движения для каждого груза будет иметь вид: h/2=α₀t²/2, так как
ускорение у них одинаковое и каждый груз проходит расстояние h/2.
Запишем кинематические уравнения движения для блока, учитывая, что он вращается
равноускоренно:
v=αt и x=αt²/2.
Угловая скорость и угловое ускорение блока связаны с нормальным и касательным ускорениями
точки А формулами:
α(норм)=w²R и α=α(кас)/R.
Полное ускорение точки α=√α(кас)²+α(норм)².
Решая совместно уравнения, получим:
ϕ=h/(2 R); w= h/( Rᵼ); α=(h√h²+ R²
) /( Rᵼ²).
2. Поезд движется по закруглению радиусом 200м со скоростью 54км/ч. Найдите модуль
нормального ускорения.
3. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1м и за 10 с
проходит путь 50м. Чему равно нормальное ускорение точки через 5с после начала
движения?
4. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54км/ч и проходит
путь 600м за 30с. Радиус закругления равен 1км. Определите модуль скорости и полное
ускорение поезда в конце пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.
5.
Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной
скорости равен 20м/с. Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального
подъема?
Занятие 8 О законе всемирного тяготения.
Впервые о земном тяготении можно прочитать в работах Аристотеля. Регулярность и вечность
круговращения звезд должны иметь какую – то причину, которую Аристотель усматривал в
неподвижном перводвигателе, сообщающим движение всем сферам, к которым прикреплены
звезды. А центр этих сфер совпадает с центром Земли. Помещение Земли в центре мироздания
соответствовало данным повседневного опыта, который показывал, что звезды обращаются вокруг
Земли. Из повседневного опыта известно, что есть тела, которые падают вниз. Отсюда следует
заключение, что тяжелые тела стремятся к «своему месту», находящемуся в центре Земли. Но
Галилей устами Сальвиати показал несоответствие учения Аристотеля данным астрономических
наблюдений, с другой показал возможность гелиоцентрической системы мира.
Стремление подобного соединиться с подобным постулировалось еще первыми греческими
школами (Эмпедокл, Анаксагор, Демокрит). Эта идея продолжала жить в течение всего
средневековья и в эпоху Возрождения, поддерживаемая явлением магнитного притяжения,
которое в известном смысле служило ее иллюстрацией. В 1674 году Гук публикует этюд о движении
Земли. Там говорится: « все небесные тела испытывают притяжение и действие сил притяжения
настолько больше, насколько ближе к центру притяжения тела, на которые они действуют».
Ньютон признавал, что одно из писем Гука послужило ему поводом для расчета движения планет.
Кеплер, еще до открытия своих законов, задавался вопросом о причине движения планет вокруг
Солнца, а Луны вокруг Земли. В случае движения планет механическая причина заключена в Солнце;
она убывает обратно пропорционально расстоянию.
Похоже, что Ньютон не знал об этой работе Кеплера, когда сформулировал свой закон всемирного
тяготения. Ньютон сначала излагает установленные наблюдениями законы движения планет, Луны,
спутников Юпитера и Сатурна. Ньютон дает динамическую интерпретацию этих законов по существу
в том виде, как это делается теперь, и приходит к выводу, что во всех случаях центральная звезда
действует на планету или планета действует на спутник с силой, обратно пропорциональной
квадрату расстояния. Основным можно считать предложение, в котором Ньютон производил расчет,
доказывающий, что сила, удерживающая Луну на ее орбите,- это та же сила, которая заставляет
падать тела на Землю, лишь ослабленная за счет расстояния.
Приведя упомянутый расчет, Ньютон приходит к выводу:
« Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них»
Решение задач:
1. Свинцовый шар радиусом 50 см имеет внутри сферическую плоскость радиусом 5 см,
центр которой находится на расстоянии 40 см от центра шара. С какой силой
притягивается к шару материальная точка массой 10г, находящаяся на расстоянии 80 см
от центра шара, если линия, соединяющая центры шара и полости, составляет угол 60°с
линией, соединяющей центр шара с материальной точкой? Плотность свинца 11,3 г/см3.
Решение:
α
А
F₂
F
F₁

ᵦ
Мысленно поместим в полость шарик таких же размеров, что и полость, тогда
свинцовый шар будет сплошным. Его масса М =4/3πR3, и сила тяготения между
материальной точкой и сплошным шаром будет:
F₁ = GМm/r²,
Сила тяготения точки и маленького шарика в полости, равна:
F₁ = Gm₁m/s ²,
Где m₁ - масса маленького шарика, а s –расстояние между центром полости и
материальной точкой.
Из рисунка видно F =F₁ - F₂, и по теореме косинусов F = √ F₁² + F₂² -2F₁F₂cоs.
Расстояние s и косинус β можно найти по теоремам косинусов и синусов.
F = 5,7 мН.
2. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение силы тяжести равно 1 м/с²?
3. Определить ускорение силы тяжести на высоте 20 км над Землей, принимая ускорение
силы тяжести на поверхности Земли 9,81 м/с², а радиус Земли 6400км.
4. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность
вещества 3000 кг/м ᶾ. Определите период обращения планеты вокруг собственной оси.
5. Каково ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу Земли?
Занятие 9 Законы Кеплера.
Физика XVII века фактически состояла из двух разделов – механики и оптики, для которых общей
областью применения была астрономия. Чтобы удовлетворить нужды астрономии, Иоганн Кеплер
написал фундаментальный труд, состоящий из 11 глав, шесть из которых посвящены оптике и пять –
астрономии. После принятия гелиоцентрической системы, Кеплер опубликовал первые два
эмпирических закона движения планет, а в 1618г. – третий. В школьном курсе физики законам
Кеплера отводится мало времени, но они заслуживают внимания.
Решение задач:
1. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите радиуса R= 3Rз, где Rз - радиус Земли,
равный 6400км. В результате кратковременного действия тормозного устройства скорость
спутника уменьшилась так, что он начинает двигаться по эллиптической орбите,
касающейся поверхности Земли. Через какое время после этого спутник приземлится?
Решение: После торможения спутник движется по эллиптической орбите, большая полуось
которой α =(R +RЗ)/2. Если применить законы Кеплера к движению спутника по круговой и
эллиптической орбитам, получим (Т/Т0)2 = (α/R)3. Период обращения спутника по круговой
орбите находим из условия 4π2R/Т02 = GМЗ/R2. Но GМЗ =gRЗ2. Используя эти соотношения,
находим период обращения спутника по эллиптической орбите:
Т = 2π/Rз(R3/g)1/2((R +RЗ)/2R)3/2.
С момента торможения до посадки спутник пройдет половину эллиптической орбиты.
Поэтому t=Т/2 =7150с. Около двух часов.
2. На какое максимальное расстояние от Солнца удаляется комета Галлея? Период
обращения ее вокруг Солнца 76 лет, минимальное расстояние, на котором она проходит
от Солнца 0,9 108 км. Радиус орбиты Земли 1,5 108 км.
3. Спутник, запущенный на круговую орбиту высотой 500 км над поверхностью Земли,
тормозится в верхних слоях атмосферы. На какой высоте окажется спутник через месяц,
если угловое ускорение спутника 3 10-13рад/с2.
4. Известно, что в настоящее время Луна удаляется от земли со скоростью 3,3 см/год. Найти
угловое ускорение Луны. Среднее расстояние Луны от Земли 3,84 10 5км, угловая скорость
вращения Луны вокруг Земли 2,56 10-6рад/сек.
5. Ракета запущена с поверхности Земли вертикально вверх с первой космической скоростью
и возвращается на Землю недалеко от места старта. Сколько времени она находилась в
полете?
Занятие 10 Закон Гука.
По мнению современников, характер у английского ученого, современника Ньютона, Роберта Гука
был непростой, но у него был редкий изобретательский талант (ему предписывают около ста
изобретений) и гениальная интуиция, которая позволила ему установить основные динамические
законы, управляющие солнечной системой. Однако он не мог их систематически изложить из-за
непостоянства характера и недостаточных математических знаний. Зависимость силы упругости от
деформации Роберт Гук установил экспериментально. Закон Гука справедлив для упругой
деформации растяжения и сжатия.
Решение задач:
1. К пружине, коэффициент жесткости которой равен 0.3 кН/м, подвешена гиря массой 0,6
кг. Найти удлинение пружины в случае подъема гири с постоянным ускорением 0,2 м/с2.
Как изменится деформация пружины в случае опускания гири с тем же по модулю
ускорением?
Решение: Тело движется вверх с ускорением. На гирю действуют сила тяжести mg и сила
упругости Fупр, возникающая вследствие удлинения пружины.
Х
Fупр
mg
Для проекций сил на ось Х по второму закону Ньютона Fупр –mg =mα. По закону Гука Fупр = k∆x,
где∆x– удлинение пружины. Тогда k∆x - mg =mα и ∆x=m (g+α)/k, ∆x =0,02 м. При движении
гири вниз с ускорением пружина сжата на ∆x1 большее нуля, и получаем уравнение
mg - k∆x1 = mα; ∆x1 = m(g-α)/k; ∆x1 = 0,192 м.
2. Найти удлинение буксирного троса с жесткостью 100кН/м при буксировке автомобиля
массой 2т с ускорением 0,5м/с2. Трением пренебречь.
3. На подставке лежит тело, подвешенное к потолку с помощью пружины. В начальный
момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с ускорением 0,5м/с2.
Через какое время тело оторвется от подставки? Жесткость пружины 40Н/м, масса тела
500г.
4. На сколько переместится конец нити (точка А), перекинутой через неподвижный
невесомый блок, если к концу нити приложить силу 20Н? Жесткости пружин равны 30Н/м
и 40Н/м. Нить нерастяжима.
k1
А
K2
F
5.
При помощи пружинного динамометра груз массой 10кг движется с ускорением 5м/с2 по
горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения груза о стол равен 0,1. Найдите
удлинение пружины, если ее жесткость 2000Н.
Занятие 11 Вес и невесомость.
Вес – очень знакомое слово. Однако очень часто, к сожалению, смешивают понятия «сила тяжести»
и «вес тела», а в быту вес отождествляют с массой. Непосредственные предшественники Ньютона
(Декарт и Гюйгенс) путали понятия массы и веса. Первое четкое различие между весом и массой мы
находим в предисловии к работе Джована Баттисты Бальяни «О естественном движении тел»:
«…в то время как вес ведет себя как действующее начало, вещество ведет себя как пассивное
начало, и поэтому тяжелые тела движутся в зависимости от отношения их веса к их веществу.
Природа тяжелых тел такова, что их вес связан с веществом: каков вес, а значит, и его способность к
действию, таково количество и вещества». Отсюда видно, что Бальяни было ясно не только понятие
массы, но и ее пропорциональность весу.
Вес – это сила. Он ничем не отличается от любой другой силы, если не считать двух особенностей:
вес направлен вертикально и действует постоянно, его невозможно устранить. Вес – это не что иное,
как одно из проявлений силы упругости. Если тело лежит на опоре, то вследствие притяжения к
Земле оно давит на опору. По этой же причине подвешенное тело растягивает подвес. Вес тела
обладает особенностями, существенно отличающими его от силы тяжести. Во-первых, вес тела
определяется всей совокупностью действующих на тело сил, а не только силой тяжести (так, вес тела
в жидкости или воздухе меньше, чем в вакууме, из-за появления выталкивающей силы) Во- вторых,
вес тела, как мы увидим при решении задач, существенно зависит от ускорения, с которым движется
опора (подвес). А при свободном падении наступает невесомость.
Решение задач:
1. Найти вес автомобиля, движущегося в верхней точке выпуклого моста, радиус кривизны
которого 800м, если автомобиль движется со скоростью 72км/ч. А его масса 1200кг.
Решение:
F
У
α
Fт
Вес движущегося автомобиля равен по модулю силе упругости моста, действующей на
транспорт. В уравнение второго закона Ньютона войдет именно эта сила упругости. В проекции на
ось ОУ это уравнение имеет вид:
- F + mg = mα,
Или F = m(g – α).
Так как α = V²/R, то Р=F, Р=m(g-V²/R). Видно, что в верхней точке моста вес тела меньше силы
тяжести.
Р=1200кг(9,8Н/кг – 400м²/с²/800м)=11160Н=11,16кН.
2.
Космический корабль совершает мягкую посадку на Луну (gл=1,6м/с²), двигаясь
замедленно в вертикальном направлении (относительно Луны) с постоянным ускорением
8,4м/с². Сколько весит космонавт массой 70кг, находящийся в этом корабле?
3. С какой скоростью должен автомобиль проходить середину выпуклого моста радиусом
40м, чтобы пассажир на мгновение оказался в состоянии невесомости?
4.
На экваторе некоторой планеты тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Плотность
вещества планеты 3000кг/мᶾ. Определите период обращения планеты вокруг собственной
оси.
5 . Найти среднюю плотность планеты, у которой на экваторе пружинные весы показывают
вес тела на 10% меньше, чем на полюсе. Сутки на планете составляют 24 часа.
Занятие 12 О силе трения
Силы трения, как и силы упругости, имеют электромагнитную природу. Главная же особенность сил
трения, отличающая их от гравитационных сил и сил упругости, состоит в том, что они зависят от
скорости движения тел относительно друг друга. При малых относительных скоростях движения тел
сила трения скольжения мало отличается от максимальной силы трения покоя. Силы трения
действуют между всеми без исключения телами, и с ними приходится считаться. Очень часто в
трении видят только помеху, не позволяющую создавать и сохранять неизменными движения тел.
Но в тоже время без существования трения невозможно было бы движение тел по поверхности
земли. Используя трение колес о землю или о рельсы, автомобили и поезда приходят в движение.
Поэтому в технике решают задачу не только о том, как уменьшить трение там, где оно мешает
движению, но и как его увеличить там, где оно помогает создать или передать движение. Например,
тепловозы и электровозы делают возможно более тяжелыми. Сцепления в автомобиле передают
движения от двигателя к колесам с помощью сил трения, которые должны быть большими. Чтобы
добиться этого, диски сцепления прижимают друг к другу сильными пружинами. Этим создают
большую силу нормального давления и добиваются значительного увеличения сил трения покоя,
передающих движение от одной части машины к другой. Также поступают, когда силы трения
используют для соединения деталей в различных механизмах. Для этого детали впрессовывают друг
в друга. При этом возникают упругие силы, создающие большое нормальное давление на
поверхность впрессованной детали. За счет этого в месте соединения развиваются необходимые
большие силы трения. Такие же силы трения удерживают на месте любую туго завинченную гайку.
При решении задач используют уравнение Fтр = µN как дополнительное, выражающее особые
свойства сил трения скольжения.
Решение задач:
1. Автомобиль массой 1200 кг движется по горизонтальной дороге и совершает поворот по
закруглению дороги радиусом 50 м. Какая скорость должна быть у автомобиля, чтобы его
не занесло, если коэффициент трения между поверхностями колес и дороги равен 0,2?
Решение:
По второму закону Ньютона mα = ∑F. На автомобиль действует лишь сила трения.
mV2/R = µN; V2 = µNR/m, а так как тело движется по горизонтальной дороге, то сила
реакции опоры равна силе тяжести: N = mg.
V2 = µmgR/m; V2 = µgR; V= √ µgR.
V = √0.2 10 50 ;
V = 10 м/с.
2. Упряжка собак при движении саней по снегу может действовать с максимальной силой
0,5 кН. Какой массы сани с грузом может перемещать упряжка, двигаясь равномерно,
если коэффициент трения равен 0,1?
3. На соревнованиях лошадей тяжелоупряжных пород одна из них перевезла груз массой 20
т, двигаясь равномерно при коэффициенте трения 0,02. Найти силу тяги лошади.
Движение считать равномерным.
4. Деревянный брусок массой 5 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной
горизонтально, с помощью пружины с жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен
0,3. Найти удлинение пружины.
5. Два деревянных бруска массой по 0,5 кг каждый лежат на деревянной доске.
А
Какую силу нужно приложить в точке А к нижнему бруску, чтобы вытащить его из под
верхнего? Коэффициент трения на обеих поверхностях нижнего бруска равен 0,3.
Занятие 13 Динамика тела, движущегося прямолинейно.
В динамике Аристотеля движущееся тело непрерывно находится под действием некоторой силы и
скорость его прямо пропорциональна приложенной силе и обратно пропорциональна
сопротивлению среды. Понятие силы как причины движения ввел еще Кеплер, но он измерял ее
скоростью. У Галилея сила была эквивалентна весу, зато в отличие от Кеплера он измерял силу
вызванным ускорением. У Ньютона, пожалуй, не было столь ясного представления, как у Галилея.
Его определение гласит:
«…приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя
или равномерного прямолинейного движения».
Ньютон сформулировал основные законы движения, которые являются основой динамики.
Решение задач:
1. Груз массой 20кг поднимают вверх с помощью веревки так, что в течении первого
промежутка времени 2с его скорость меняется от 2м/с до 6м/с. В последующий
промежуток времени 1с скорость уменьшается до значения 2м/с. Найдите модуль сил, с
которыми веревка действовала на груз в эти промежутки времени, считая эти силы
постоянными.
Решение
F
α
Х
В течение первого промежутка времени на тело действуют две силы: сила тяжести и
сила натяжения нити. Согласно 2 закона Ньютона
mα=Т₁+F в проекции на ось оу, Т₁=Т₁, F= -mg.
Отсюда Т₁=m(g+α₁).
Для нахождения силы определить проекцию ускорения с помощью формулы
скорости: α₁=(V₁ - V₀)/Δt₁
α₁= 2м/с².
Определим модуль силы Т
Т₁=m(g + (V₁ - V₀)/Δt₁)
Т₁=236 Н
Аналогично Т₂=116 Н
2.
Какую массу балласта надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он
начал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с балластом 1200кг,
подъемная сила аэростата постоянна и равна 8000 Н. Силу сопротивления воздуха считать
одинаковой при подъеме и спуске.
3. Через сколько секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 44,8м/с, упало на
землю, если сила сопротивления воздуха не зависела от скорости и составляла в среднем
1/7 силы тяжести,
4. Санки массой 5кг тянули в течение 5с горизонтально с силой 20Н. Коэффициент трения
0,3. Какое расстояние пройдут сани до полной остановки?
5. Динамометр вместе с прикрепленным к нему грузом сначала поднимают вертикально
вверх, затем опускают. В обоих случаях движение происходит с ускорением, равным
6м/с². Чему равна масса груза, если разность показаний динамометра оказалась равной
29,4 Н?
Занятие 14 Динамика тела, движущегося прямолинейно (если тело движется по
наклонной плоскости или под действием силы, приложенной под углом к горизонту)
Решение задач:
1. По канатной железной дороге с уклоном α=30⁰ к горизонту спускается вагонетка массой
500 кг. Найти силу натяжения каната при торможении вагонетки в конце спуска, если
скорость вагонетки перед торможением 2 м/с, а время торможения 5 с. Коэффициент
трения колес вагонетки о дорогу 0,01.
Решение: Ускорение вагонетки во время торможения α = V0/t и направлено вверх
вдоль уклона дороги. В этом направлении на вагонетку действуют сила натяжения
каната Т и сила трения Fтр =kN =kmg cosα. Составляющая силы тяжести mg sinα
направлена вдоль уклона дороги вниз. Уравнение второго закона Ньютона для
вагонетки:
Т + Fтр - mg sinα = mα;
отсюда Т = m(α + g sinα) - kmg cosα;
Т = 2,6 кН
2. Какую силу нужно приложить для подъема вагонетки массой 500 кг по эстакаде с
углом наклона 40⁰, если коэффициент сопротивления движению равен 0,05?
3. На наклонную плоскость с углом α помещена плоская плита массой m2, а на нее брусок
массой m1. Коэффициент трения между бруском и плитой k1. Определить при каких
значениях коэффициента тренияk2 между плитой и плоскостью плита не будет двигаться,
если известно, что брусок скользит по плите.
4. За какое время первоначально покоившееся тело соскользнет с наклонной плоскости
высотой 3 м, наклоненной под углом 30⁰ к горизонту, если при угле наклона плоскости к
горизонту 10⁰ оно движется равномерно.
5. Бруски А и В массами m1 и m2 находятся на столе. К бруску В приложена сила F,
направленная под углом α к горизонту. Найти ускорения движения брусков, если
коэффициенты трения брусков друг о друга и бруска о стол равны соответственно k1 и k2.
Сила трения между поверхностями максимальна.
F
α
В
А ААаАА
Занятие 15 Динамика движения тела в вязкой среде.
Вся первая книга «Начал» Ньютона написана в предположении, что тела движутся в среде без
сопротивления, под действием одних лишь приложенных сил. Для завершения учения о движении
нужно исследовать, как это и делает Ньютон во второй книге, какие изменения испытывают законы
движения, когда тела движутся в жидкости.
Уаллис ввел предположение о том, что сопротивление жидкости движению тела пропорционально
скорости этого тела. Однако Гюйгенс заметил, что с увеличением скорости тела возрастает масса
перемещенной жидкости, так что сопротивление должно быть пропорционально квадрату скорости.
Ньютон рассматривал оба эти случая. Он заметил, что движущееся в жидкости тело должно не
только смещать жидкость, но и преодолевать ее вязкость; поэтому он считает сопротивление
равным сумме двух членов; одного - пропорционального квадрату скорости и другого пропорционального скорости. Результаты теории применимы к движению тел в среде с
сопротивлением. Жидкое трение возникает между поверхностью твердого тела и окружающей его
жидкой или газообразной средой, в которой оно движется. При медленном движении сила
сопротивления пропорциональна скорости, а при быстром - квадрату скорости.
Благодаря тому, что сила сопротивления растет с увеличением скорости, любое тело в вязкой среде
при действии на него какой-либо постоянной силы, например силы тяжести. В конце концов тело
начинает двигаться равномерно.
Решение задач:
1. Стеклянный шарик, радиус которого 2мм, падает в растворе глицерина. Определите
установившуюся скорость и начальное ускорение шарика. Плотность стекла 2530кг/м3, а
плотность глицерина 1210кг/м3. Считать, что при движении шарика в растворе глицерина на
него со стороны раствора действует сила сопротивления Fс=6πkRV (закон Стокса), где
коэффициент k=0,0502 Пас-вязкость раствора.
Решение:
Уравнение движения шарика, падающего в растворе глицерина, в проекциях на
вертикальную ось имеет вид
mg-FА-Fс=mα, где 4/3πR3ρ – масса шарика, FА= 4/3πR3ρ0g-архимедова сила,
действующая на шарик со стороны раствора.
Получаем 4/3πR3ρg-4/3πR3ρ0g-6πkRV=4/3πR3ρα.
Установившуюся скорость найдем из условия, что ускорение равно нулю:
Vу=2R2g(ρ-ρ0)/9k; Vу=23см/с.
Начальное ускорение получим из уравнения движения, полагая скорость равной
нулю:
α0=g(ρ-ρ0)/ρ; α0=5.1м/с2.
2. Два шара одинакового размера, но разных масс 200г и 100г связаны нитью, длина которой
много больше их радиусов. При помещении в жидкость эта система шаров тонет. Какая
сила натяжения будет действовать на соединяющую шары нить при их установившемся
падении в жидкости?
3. Стальной и деревянный шарики одинакового объема падают в глицерине. Какой из них
движется с большей скоростью при условии, что скорость тел установилась.
4. Одновременно опустили в воду два одинаковых бруска: один - плашмя, другой - ребром.
Какой из них упадет раньше? Объясните явление.
5. Установившаяся скорость движения стального шарика, радиус которого 4мм, равна 0,38м/с.
Определите вязкость раствора.
Занятие 16 Динамика движения системы тел.
Решение задач:
1. К концам шнура, перекинутого через блок, подвешены грузы массами 50г и 75г.
Пренебрегая трением и считая шнур и блок невесомыми, а шнур нерастяжимым,
определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, силу натяжения шнура и
показания динамометра, на котором висит блок.
Решение:
Х
Т₁
Т₂
Запишем уравнения движения грузов в проекции на ось Х:
- m₁α =-m₁g + Т; m₂α =Т - m₂g.
Решая эту систему, получаем
α =(m₁ -m₂)g/(m₁ +m₂); Т =2m₁m₂g/(m₁ +m₂).
α =1.96м/с²; Т =0.6Н; F =1.2Н, так как показание динамометра равно, очевидно,
сумме сил натяжения нитей.
2. Две гири массами 7кг и 11кг висят на концах нерастяжимой нити, которая перекинута
через блок. Гири сначала находились на одной высоте. Через какое время после начала
движения более легкая гиря окажется на 10см выше тяжелой?
3. Два груза массами 0,2кг и 4кг соединены нитью и лежат на гладком столе (трением
пренебречь). К первому грузу приложена сила 0,2Н, действующая вдоль направления
нити, ко второму – в противоположном направлении сила 0,5Н. С каким ускорением будут
двигаться грузы и какова сила натяжения соединяющей их нити?
4. К грузу массой 7кг подвешен другой груз массой 5 кг. Какое натяжение будет испытывать
верхний конец и середина веревки, если всю систему поднимать вертикально вверх,
приложив к большему грузу силу 235Н? Масса веревки 4 кг.
5. На концах веревки длиной 12м и массой 6кг укреплены два груза массами 2кг и 12кг.
Веревка переброшена через неподвижный блок и начинает скользить по нему без трения.
Какое натяжение испытывает середина веревки в тот момент, когда длина ее по одну
сторону блока достигнет 8м?
Занятие 17 Динамика вращательного движения тела.
Расчет сил, действующих на тело, движущееся по окружности, является, пожалуй, одним из
наиболее трудных для усвоения.
Трудности в проведении этого расчета возникают в тех случаях, когда центростремительное
ускорение во вращательном движении и ускорение в прямолинейном движении рассматривают как
две принципиальные различные физические величины, для каждой из которых существуют свои
законы: одна может рассчитываться по « обычным» законам Ньютона, а для другой обязательно
требуется введение «особых» сил. При таком неправильном противопоставлении законов и
характеристик прямолинейного и вращательного движений становится недоступным решение
задач, в которых нельзя ввести понятие центробежной силы как силы, действующей на связь.
При решении задач на расчет вращательного движения прежде всего, следует помнить, что
ускорение в прямолинейном движении и центростремительное ускорение по своей физической
природе одинаковы. Одинаковость физической природы определяет и одинаковость законов,
используемых для расчета этих величин. Для расчета центростремительных ускорений нет
необходимости вводить какие-то «особые» силы, помимо сил, возникающих в результате
взаимодействия тел.
Решение задач:
1. Найти силу, прижимающую летчика к сиденью самолета в верхней и нижней
точках петли Нестерова, если масса летчика 75кг, а радиус петли 200м, а скорость
самолета при прохождении петли 360км/ч.
Решение: В верхней точке петли сила тяжести mg и сила реакции опоры F1,
действующие на летчика направлены вниз. Центростремительное ускорение летчика
V2/R также направлено вниз. По второму закону Ньютона
F1+mg=mV2/R, F1=3015 Н.
В нижней точке петли центростремительное ускорение летчика V2/R и сила F2
направлены вверх, и уравнение второго закона Ньютона имеет вид
F2-mg=mV2/R, F2=4485 Н.
mg
F1
mgm
F2
mg
2. Автомобиль массой 2т движется с постоянной скоростью72км/ч: а)по
горизонтальному плоскому мосту; б)по выпуклому мосту; в) по вогнутому мосту.
Радиус кривизны моста в последних двух случаях равен 100м. С какой силой
нормального движения действует автомобиль на мост в каждом из этих случаев,
проезжая через середину моста?
3. Небольшая шайба находится на вершине полусферы радиусом R. Какую
наименьшую горизонтальную скорость V нужно сообщить шайбе. Чтобы она
оторвалась от полусферы в начальной точке движения?
V
R
4. На вращающемся горизонтальном столике на расстоянии 50см от оси вращения
лежит груз массой 1кг. Коэффициент трения груза о поверхность столика 0,25. Какова
сила трения, удерживающая груз, если столик вращается с частотой 0,2об/с? При какой
угловой скорости груз начнет скользить по столику?
5. Небольшая шайба массой 50г соскальзывает без трения с вершины полусферы
радиусом 20см. На какой высоте от основания шайба оторвется от полусферы?
Занятие 18 Закон сохранения импульса.
Впервые об импульсе можно узнать из Декартовой механики. Третий ее закон утверждает
постоянство количества движения (произведение массы тела, которую Декарт путал с весом, на его
скорость). Декарт полагает также количество движения равным произведению приложенной силы
на время ее действия и называет это произведение импульсом силы; это название сохранилось в
науке и сейчас в том же значении. Третий закон Декарта является по существу центральным пунктом
его механики. То, что Декарт сумел выделить его и положить в основу своей механики, говорит о
незаурядной интуиции автора. К сожалению, Декарт не учитывает того, что скорость является
величиной, имеющей ориентацию и направление и, соответственно того, что количества движения
являются векторами и их сумму нужно понимать в геометрическом, а не алгебраическом смысле.
Закон сохранения импульса играет огромное значение в механике. Этот закон позволяет
сравнительно простым путем решать ряд практически важных задач.
Решение задач:
1. Снаряд в верхней точке траектории на высоте Н=100м разорвался на две части: m₁=1кг и
m₂=1.5кг. Скорость снаряда в этой точке V₀=100м/с. Скорость большего осколка V₂
оказалась горизонтальной, совпадающей по направлению с начальной скоростью и
равной 250м/с. Определить расстояние между точками падения обоих осколков.
Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение:
Из закона сохранения количества движения
(m₁+m₂)V₀ =m₁V₁ + m₂V₂, находим, что
V₁ = ((m₁ +m₂)V₀ - m₂V₂)/m₁,
V₁ = -125м/
Следовательно, S =( V₁ + V₂,)
2h/g
S =1695м.
2.
Граната, летевшая со скоростью 10м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок,
масса которого составляла 60% массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем
направлении, но с увеличенной скоростью 25м/с. Найти скорость меньшего осколка.
3. Человек массой 70кг находится на корме лодки, находящейся в озере. Длина лодки 5м и
ее масса 280кг. На какое расстояние передвинется человек относительно дна?
Сопротивлением лодки пренебречь.
4. Тележка массой 120кг движется по рельсам без трения со скоростью 6м/с. С тележки
соскакивает человек массой 80кг под углом 30° к направлению ее движения в
горизонтальной плоскости. Скорость тележки уменьшилась до 5м/с. Какова была скорость
человека во время прыжка относительно земли?
5. На платформу массой 600кг, движущуюся горизонтально со скоростью 1м/с, насыпали
сверху 200кг щебня. Чему стала равна скорость платформы?
Занятие 19 Столкновения.
Исследование столкновения тел представляло собой большую трудность для первых механиков. Ею
занимался Джован Баттиста Бальяни в своей работе « О движении твердых тел», 1638 г. Галилей
собирался посвятить этому вопросу «День шестой» своих «Бесед», но хотя в дошедших до нас
фрагментов никакого решения мы не найдем. На этом подводном камне потерпела крушение вся
механика Декарта.
В своей работе «О движении тел после удара», опубликованной после его смерти, Гюйгенс
рассматривает эту сложную задачу, утверждая, что если два одинаковых тела с равными, но
противоположно направленными скоростями испытывают центральный удар, то они отлетают одно
от другого с теми же скоростями, но поменявшими знак. Гюйгенс вывел законы соударения упругих
тел, которые мало изменились при последующих исследованиях.
Эдм Мариотт исследовал те же задачи и чисто экспериментальным путем пришел примерно к тем
же результатам. Ему принадлежит прибор, применяемый и сейчас для демонстрации передачи
движения упругими телами и состоящий из ряда подвешенных на нитях упругих шаров,
соприкасающихся друг с другом; если сместить первый шар и позволить ему падать, то последний
шар поднимется вверх, а остальные останутся неподвижными.
Законы соударения тел мы используем и сейчас при решении задач.
Решение задач:
1. Две частицы с массами m и 2m, имеющие импульсы р и р/2, движутся по взаимно
перпендикулярным направлениям. После соударения частицы обмениваются
импульсами. Определить потерю механической энергии при соударении.
Решение: Так как при соударении тела обмениваются импульсами, закон сохранения
импульса автоматически выполняется. Кинетические энергии частиц
Е10 =р2/2m,
Е20=р2/16m до соударения;
Е1= р2/8m,
Е2= р2/4m
после соударения.
По закону сохранения энергии Е10+ Е20 = Е1+ Е2+Q, где Q –потерянная при
соударении механическая энергия. Подставляя значения Е, получаем Q =3р2/16 m.
2.
Тело массой 20г., движущееся со скоростью 20м/с, налетает на покоящееся тело и после
упругого соударения отскакивает от него под углом 90° к первоначальному направлению
своего движения со скоростью 10м/с. Определить массу второго тела.
3. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они
соприкасаются. Массы шаров 100г и 200г. Первый шар отклоняют так, что его центр
тяжести поднимается на высоту 4,5см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары
после соударения, если удар: а)упругий; б)неупругий?
4. Тело массой 50г ударяется неупруго о покоящееся тело массой 200г. Найдите долю
потерянной при этом энергии.
5. Два груза массами 10кг и 15кг подвешены на нитях длиной 2м так, что соприкасаются
между собой. Меньший груз был отклонен на 60° и отпущен. На какую высоту поднимутся
оба груза после удара? Удар грузов считать непругим. Какое количество теплоты при этом
выделяется?
Занятие 20 О кинетической энергии.
В своей работе « О движении тел после удара» Христиан Гюйгенс выдвигает утверждение, что сумма
произведений «каждого тела» на квадрат его скорости до и после удара остается неизменной. С этой
теорией сохранения был знаком и Лейбниц, который называет произведение «тела» на квадрат его
скорости «живой силой» и противопоставляет его «мертвой силе», или, как мы бы ее назвали
теперь, потенциальной энергии. Первое выражение, как известно, осталось в науке до сих пор с
изменением, внесенным Густавом Кориолисом, который в качестве меры живой силы предпочел
принять половину произведения массы тела на квадрат его скорости.
С тех пор мы и пользуемся формулой, необходимой для расчета кинетической энергии.
1. Импульс тела равен 8кг м/с, а кинетическая энергия 16Дж. Найти массу и скорость тела.
Решение:
Е =mV²/2; р = mV;
Е=рV/2; V =2Е/р;
V =4м/с;
m =р/V; m =2кг.
2.
Шарик массой 100г, подвешенный на нити, длиной 40см, описывает в горизонтальной
плоскости окружность. Какова кинетическая энергия шарика, если во время движения
нить образует с вертикалью постоянный угол 60°?
3. Определить величину кинетической энергии тела массой 1кг, брошенного горизонтально
со скоростью 20м/с, в конце четвертой секунды его движения.
4. Найти кинетическую энергию тела массой 3кг, свободно падающего с высоты 5м, на
расстоянии 2м от поверхности земли.
5. Начальная скорость пули 600м/с, ее масса 10г. Под каким углом к горизонту она вылетела
из дула ружья, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна 450Дж.
Занятие 21 О потенциальной энергии.
Лейбниц противопоставляет «живой силе» «мертвую силу», которую мы сейчас называем
потенциальной энергией.
Итак, Лейбниц предложил оценивать «силу» (мы бы сказали – энергию) падающего тела высотой, на
которую это тело могло бы подняться, если бы его бросили вверх с приобретенной им скоростью;
таким образом, во всех случаях имело бы место равенство между живой силой и мертвой силой.
Решение задач:
1. Полтергейст обладает такой мощностью, что может поднимать сковородку массой 500г на
высоту 2м за 0,2с. Сможет ли он заставить светиться в номинальном режиме лампочку
мощностью 60Вт?
Решение: Р = mgh/t, Р =50Вт
Полтергейст не сможет заставить светиться лампочку мощностью 60Вт.
2. Действуя постоянной силой 200Н, поднимают груз массой 10кг на высоту 10м. Какой
потенциальной энергией обладает поднятый груз?
3. На балкон, расположенный на высоте 6м бросили с поверхности земли предмет массой
200г. Во время полета предмет достиг максимальной высоты 8м от поверхности земли.
Найти результирующее изменение потенциальной энергии.
4. К концу сжатия пружины детского пружинного пистолета на 3см приложенная к ней сила
была равна 20 Н. Найти потенциальную энергию сжатой пружины.
5. Каково значение потенциальной энергии стрелы массой 50г, выпущенной из лука со
скоростью 30м/с вертикально вверх, через 2с после начала движения?
Занятие 22 Закон сохранения механической энергии.
Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными
формами движения материи. В этом состоит особое значение этого закона. Так же как и закон
сохранения количества движения, он справедлив не только для механических движений, но и для
всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что движение нельзя уничтожить,
так же как нельзя создать движение из ничего. В природе возможны только переходы движений из
одной формы в другую.
Решение задач:
1. Высота плотины Саяно-Шушенской ГЭС 237м. Разность высот между поверхностью воды в
водохранилище и уровнем, на котором находятся турбины, 212м. Определить, какую
скорость имела бы вода при входе на лопатки рабочих колес турбины, если бы она шла по
водопадам без трения.
Решение:
Для решения сопоставим энергию для массы воды m до входа в водовод и после выхода из
него на рабочее колесо турбины и применим закон сохранения энергии. Условимся
потенциальную энергию воды на уровне рабочего колеса турбины считать равной нулю.
Тогда до входа в водовод вода будет обладать только потенциальной энергией, равной mgh .
При выходе из водовода на рабочее колесо турбины потенциальная энергия будет равна
нулю, а кинетическая mV²/2. По закону сохранения энергии должно быть:
m g h = mV²/2 , откуда V = √ 2gh .
2. С какой начальной скоростью надо бросить мяч с высоты 5м, чтобы он подпрыгнул на
высоту 12м? Удар упругий. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Конькобежец, разогнавшись до скорости 27км/ч, въезжает на ледяную гору. На какую
высоту от начального уровня въедет конькобежец с разгона, если подъем горы составляет
0,5м на каждые 10м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед 0,02?
4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 49м/с. На какой высоте его кинетическая
энергия равна потенциальной?
5. Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1кг, укрепленную на
пружине с жесткостью980Н/м. Определите наибольшее сжатие пружины, если в момент
удара груз обладал скоростью5м/с. Удар считать неупругим.
Занятие 23 Применение законов физики в ядерной физике.
Первые механики даже и не предполагали, что законы механики будут использоваться в
ядерной физике. Закон сохранения импульса и закон сохранения энергии нашли применение и в
этом разделе физики.
Решение задач:
1. Атом распадается на две части, массы которых оказались равными М1 и М2. Определить
их скорости, если общая кинетическая энергия частей равна Е.
Решение:
Движение частей атома после распада может быть описано уравнениями:
М1V1 = М2V2, М1V12/2 + М2V22/2 = Е,
первое из которых выражает закон сохранения импульса, а второе – закон сохранения
энергии ( V1 и V2 – скорости частей атома);
V1 = М2 ( 2Е/(М1М22 + М2М12))1/2, V2 = М1( 2Е/ (М1М22 + М2М12))1/2.
2 . При β-распаде атома радиоактивного изотопа радия 228Ra из него вылетает электрон с
энергией 0,05МэВ. При этом изотоп радия превращается в изотоп актиния 22Ас. Какую
кинетическую энергию имеет атом актиния?
3. Нейтрон с энергией 10-15 Дж поглощается первоначально неподвижным ядром кадмия.
Определить скорость вновь образовавшегося ядра.
4. Нейтрон испытывает упругое соударение с ядром гелия и затем, отразившись, упруго
соударяется с другим ядром гелия (при упругих соударениях суммарная кинетическая
энергия сохраняется). Ядра гелия до соударения были неподвижны. Считая оба
соударения центральными (скорости до и после соударения направлены вдоль линии
центров соударяющихся частиц), определить, во сколько раз изменится энергия нейтрона
после двух соударений.
5. α – частица, имеющая скорость 1000 м/с, налетает на атом углерода, который двигался
до соударения в том же направлении, но со скоростью, вдвое меньшей. С какой
скоростью перемещается центр масс системы соударяющихся частиц?
Занятие 24 Работа силы и мощность.
Появлению в физике понятия «работа» предшествовал долгий период накопления человеком
знаний о природе, о мире, о законах, которым подчиняются все явления во Вселенной. Жизнь и
производственная деятельность людей потребовали от ученых в 19 веке ответа на вопросы: Как
получать из тепла механическую работу? Как рассчитывать паровые машины, шахтные насосы?
Понятие о работе развивалось вначале в рамках технической науки и инженерного дела. В 1774году
русский ученый Сергей Котельников в своем курсе механики использует для оценки действия силы
произведение силы на расстояние. Он пишет: «Действие силы равно тягости, умноженной на
перейденный ею путь. Действие машины состоит в произведенном количестве движения. А оное
количество движения равно тягости, помноженной на путь, ею перейденный. Следовательно, и
действие силы равно тягости, помноженной на перейденный ею путь».
Само слово «работа» было введено в физику через 30 лет, французским механиком Жаном Понселе.
Сейчас мы рассматриваем различные виды работ: работа силы тяжести; работа сил всемирного
тяготения; работа силы трения.
Решение задач:
1. Ведро с водой массой 10кг поднимают из колодца глубиной 8м равноускоренно за
3,2 с. Определить величину совершенной при этом работы.
Решение:
F
mg
Работа постоянной силы при подъеме А=Fh, величину силы найдем из уравнения
движения F-mg=mα. Ускорение α=2h/t2. Следовательно,
А=m(g+α)h=m(g+2h/t2)h.
А=910Дж.
2. Чему равна работа по подъему цепи, взятой за один конец и лежащей на плоскости, на
высоту, равную ее длине? Длина цепи 2м, масса 5кг.
3. Определить работу, которую нужно произвести для того, чтобы сжать пружину на 10см.
если для сжатия ее на 1см необходима сила 100н.
4. Пуля ,летящая со скоростью 800м/с, пробивает несколько одинаковых досок,
расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В какой по счету доске застрянет
пуля, если ее скорость после прохождения первой доски уменьшилась на 17%.
Мотор с полезной мощностью 25кВт, установленный на автомобиле. Может сообщить ему
при движении по горизонтальному участку дороги скорость 90км/ч. Тот же мотор,
установленный на моторной лодке, обеспечивает ей скорость не выше 15км/ч. Определить
силу сопротивления движению автомобиля и моторной лодки при заданных скоростях.
Занятия 25 Динамика твердого тела. Момент инерции. Уравнение моментов.
В 1760 году вышла книга Леонардо Эйлера «Теория движения твердых и жестких тел». В этом
труде Эйлер развил теорию моментов инерции и исследовал движение свободного твердого тела.
Он пошел дальше исследования центрального движения, принятого со времен Ньютона, и
рассмотрел в общем виде произвольное вращательное движение и движение под действием
произвольных сил, подготовив, таким образом, почву для современной кинематики. В частности,
вызывает восхищение в значительной части справедливое и сейчас аналитическое исследование
движения волчка, в котором используются понятия момента и осей инерции.
Влияние собственных свойств тела на изменение вращательного движения оказывается
значительно более сложным, чем в поступательном движении. Инертность тела по отношению к
вращательному движению, ее влияние на угловое ускорение зависит не только от массы тела, но и
от того, как она распределена относительно оси вращения. На инертность во вращательном
движении влияют форма и геометрические размеры тела, его расположение относительно оси
вращения, особенности распределения массы по объему тела. Момент инерции тела определяет
инертность тела по отношению к вращательному движению. Инертность тела при вращении растет
прямо пропорционально массе и квадрату расстояния от тела до оси вращения: J = mR2. Так
находится момент инерции кольца при вращении вокруг выбранной оси. Момент инерции
однородного диска такой же массы и такого же радиуса должен быть меньше, чем у кольца, так как
значительная масса диска сосредоточена ближе к оси вращения: J =1/2 mR2. Момент силы М=βJ, где
β – угловое ускорение. Это уравнение называется уравнением моментов.
Решение задач:
1. Маховое колесо некоторой машины имеет радиус 2м и массу 1т. Маховик вращается,
делая 120 оборотов в минуту. По окончанию работы маховик тормозится колодками,
которые действуют на обод маховика с силой 100кгс. Определить, через какое время
после начала торможения остановится маховик?
Решение:
Для простоты будем считать, что вся масса маховика сосредоточена на ободе и кроме
колодок ничто не мешает его движению. Маховик совершает вращательное движение.
Сила действия колодок создает момент силы М = FR, тормозящий движения этого
маховика. Вращательное движения маховика будет замедляться. Нужно применить
уравнение моментов, принимая направление вращения маховика положительным.
- FR = Jβ,
Так как по условию задачи, вся масса маховика сосредоточена на ободе, то его момент
инерции равен: J = mR2.
Тогда: β = - F/mR.
По условию ускорение постоянно, тогда находим угловую скорость
ω = ω0 + βt, β меньше 0.
По условию задачи ω = 0, тогда
β = -- F/mR.
Отсюда
t = ω0mR/F,
t=25с.
2. Определить момент инерции диска радиусом 20см и массой 1кг относительно оси,
перпендикулярной плоскости и проходящей через: а) центр диска; б) середину одного из
радиусов диска
3. Два маленьких шарика, массы которых 40г и 120г, соединены стержнем, длина которого
20см, а масса ничтожно мала. Определить момент инерции системы относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей: а) через середину стержня; б) сквозь центр
массы системы.
4. Найти момент инерции плоской однородной прямоугольной пластины массой 900г
относительно оси, совпадающей с одной из сторон, если длина другой 20см.
5. Маховик, момент инерции которого J=63,6кг·м2, вращается с постоянной угловой
скоростью ω=31,4рад/с. Найти тормозящий момент, под действием которого маховик
остановится через 20с.
Занятие 26 Закон сохранения момента импульса.
В механике имеется три закона сохранения: импульса, энергии и момента импульса. Все они
являются следствиями законов движения. Если при вращении тела вокруг неподвижной оси момент
внешних сил относительно этой оси равен нулю, то, равна нулю производная момента импульса, а
это означает, что момент импульса остается постоянным:
Jω = соnst.
Из неизменности момента инерции J твердого тела, вращающегося вокруг определенной оси,
следует постоянство угловой скорости вращения. Так, если бы не было силы трения, то не менялась
бы угловая скорость вращающегося на оси колеса. В замкнутой системе тел полный момент
импульса остается постоянным. Этот закон выполняется всегда, как и закон сохранения импульса.
Решение задач:
1. На краю горизонтальной платформы массой m и радиусом R , которая может свободно
вращаться относительно оси ОА, закреплена небольшая пушка. Платформа сначала
покоится. Затем из пушки производится выстрел. Снаряд летит по касательной к краю
платформы со скоростью V. Масса снаряда mс, масса пушки mп. Определите угловую
скорость платформы после выстрела. Пушку и снаряд можно рассматривать как
материальные точки.
О
А
Решение:
До выстрела момент внешних сил, действующих на пушку и платформу, равен нулю. Он равен
нулю и после выстрела, так как при выстреле между пушкой и снарядом действуют лишь
внутренние силы, суммарный момент которых равен нулю. Вследствие этого суммарный
момент импульса снаряда, пушки и платформы остается неизменным. До выстрела он был
равен нулю. Следовательно, он будет равняться нулю и после выстрела. Это означает, что
момент импульса, которым обладает заряд, равен по модулю и противоположен по знаку
моменту импульса платформы и пушки.
Момент импульса снаряда равен произведению импульса снаряда mсV на плечо, т.е. mсVR.
Момент импульса платформы и пушки состоит из двух частей: момента импульса платформы
1/2· mR2ω. Учитывая, что момент импульса снаряда равен по модулю суммарному моменту
импульса пушки и платформы, получим равенство:
mсVR. = mпR2ω + 1/2·mR2ω.
Отсюда находим угловую скорость вращения:
ω = mсVR/ (mп + 1/2m)R.
2. На краю горизонтальной платформы, имеющий форму диска радиусом 2м и массой 4кг,
стоит человек, масса которого 80кг. Платформа может свободно вращаться вокруг
вертикальной оси, проходящей через ее центр. С какой угловой скоростью будет
вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2м/с
относительно платформы?
3. Однородный тонкий стержень массой 0,2кг и длиной 0,2м может свободно вращаться
вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. В верхний конец стержня
попадает пластилиновый шар массой 10г, движется со скоростью 10м/с и прилипает к
стержню. Определить угловую скорость стержня.
О
О mV
4. Маховик, имеющий форму диска массой 48кг и радиусом 0,4м, может вращаться вокруг
горизонтальной оси. К концу нити, намотанной на маховик, прикреплен груз массой 0,2кг,
который удерживается на высоте 0,2м от пола. Какую максимальную угловую скорость
приобретет маховик, если его отпустить?
5. На барабан с горизонтальной осью вращения радиусом 0,5м намотан шнур, к концу
которого привязан груз массой 10кг. Найдите момент инерции барабана, если известно,
что угловое ускорение 2рад/с2. Трением пренебречь.
Занятие 27 Равновесие тел при отсутствии вращения.
Основателем статики заслужено считается Архимед. Первым научным трудом Архимеда было, повидимому, исследование центров тяжести; в нем рассматриваются законы рычага и центры тяжести
(барицентры) тел. Архимед выводит условие равновесие рычага, полученное из непосредственных
опытов с рычагами:
« предположим, что равные тяжести, подвешенные на равных длинах, уравновешиваются. На
неравных же длинах равные силы не уравновешиваются: опускается та часть (системы), где тяжесть
подвешена на большем расстоянии»
« Соизмеримые величины уравновешиваются, если длины, на которых они подвешены, находятся в
обратном отношении к тяжестям»
В работах Архимеда появляется фундаментальное понятие механики – понятие о центре тяжести.
С разработкой этого понятия связано и открытие другого фундаментального понятия механики –
момента силы относительно прямой или плоскости:
«Две величины, подвешенные на плечах рычага, находятся в равновесии, если равны произведения
их площадей или объемов на расстояние их центров тяжести от опоры»
Леонардо да Винчи также занимался исследованием центров тяжести плоских и объемных фигур.
Как Архимед нашел центр тяжести треугольника, так и Леонардо находит центр тяжести и тетраэдра
и пошел дальше, расширив понятие момента силы по отношению к точке, открыв для двух частных
случаев теорему о разложении моментов и с удивительным искусством применив ее для решения
задач о сложении и разложении сил.
Этими открытиями мы пользуемся при решении задач по статике.
Решение задач:
1. Однородная балка лежит на платформе так, что один конец ее свешивается с платформы.
Длина свешивающегося конца равна 0,25 длины всей балки. На конец балки в точке В
действует сила 2.94 кН, под действием которой противоположный конец балки начинает
подниматься. Найдите массу балки.
Решение:
С
О
В
Сила тяжести, действующая на свешивающийся конец балки равна Р/4 и
приложена к точке О. Уравнение моментов сил относительно точки С:
3Р/4 3l/8 =Fl/4 +Р/4 l/8, где l – длина балки; отсюда Р=F, или m =F/g =300кг.
2. Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. Масса бруска 2кг. Длина наклонной
плоскости 1м, а высота 60см. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость 0,4. С
какой силой нужно прижать брусок к наклонной плоскости, чтобы он оставался на ней в
равновесии?
3. а) Два человека тянут канат за концы с силами равными по модулю, но противоположными
по направлению; б)один конец каната прикреплен к неподвижной опоре, а другой тянет
человек с силой 2F. В каком случае сила натяжения каната будет больше?
4. Какова должна быть приложенная сила, чтобы можно было равномерно двигать ящик
массой 60 кг вдоль горизонтальной поверхности, если коэффициент трения между ящиком и
площадкой 0,27, а сила действует под углом 30° к горизонту?
5. Груз массой 50кг прижат к вертикальной стене силой 118Н. Какую минимальную силу
необходимо приложить к грузу, чтобы удержать его в покое; чтобы поднимать его
равномерно вверх? Коэффициент трения скольжения 0.3.
Занятие 28 Центр тяжести.
Вопрос о центрах тяжести находится на стыке математики, прикладной и теоретической
механики. Труды Аристотеля, Архимеда и Герона сохранены для всего средневековья. Леонардо да
Винчи, несомненно, был знаком со многими трудами по механике. Помимо Аристотеля, Архимеда и
Герона, он знал работы Евклида, Табита бен-Курра (826-901). Исследование центров тяжести плоских
и объемных фигур, начатое великими мыслителями Архимедом и Героном, продолжил Леонардо да
Винчи. Как Архимед нашел центр тяжести треугольника, так и Леонардо находит центр тяжести
центр тяжести тетраэдра (а отсюда и произвольной пирамиды). К этому открытию он добавляет
весьма изящную теорему о прямых, соединяющих вершины тетраэдра с центрами тяжести
противоположных граней, пересекающихся в одной точке, являющейся центром тяжести тетраэдра
и делящей каждую из прямых на две части, из которых та, что прилегает к вершине, втрое больше
другой. Это первый результат, который наука добавила к исследованиям Архимеда о центрах
тяжести.
Решение задач:
1. Из квадратной стальной пластины со стороной 20см вырезан прямой круглый цилиндр,
ось которого перпендикулярна основанию пластины и расположена на диагонали
основания на расстоянии четвертой части этой диагонали от ближайшей вершины
квадрата. Найти положение центра тяжести такой пластины. Радиус цилиндра 5см.
СССОо·
-Р1
h
С О
А Р1
Р
Решение: Центр тяжести цельной квадратной пластины расположен в точке О, а
центр тяжести вырезанного цилиндра - в точке А. Центр тяжести фигуры,
получившейся вычитанием цилиндра, расположен в точке приложения
равнодействующей антипараллельных сил тяжести Р и –Р1.
Для сложения таких сил известно
СО/АС = Р1/Р.
Иначе СО/(АО +СО) = Р1/Р.
Значит, АО/СО +1+= Р1/Р.
АО – четверть диагонали основания пластины, а диагональ равна 2·ОВ = а√2 .
АО =АВ = 1/4а √2 . Искомый отрезок СО =1,73·10-2м.
2.
Кусок какой длины нужно отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести
сместился на 10см?
3. Два шара одинакового объема, медный и цинковый, скреплены в точке касания. Найти
положение центра тяжести системы шаров.
4. Из однородного диска радиусом 105,6см вырезан квадрат так, как показано на рисунке.
Определить положение центра тяжести диска с таким вырезом.
5. В свинцовом шаре сделана сферическая полость, касающаяся поверхности шара и
проходящая через его центр. Масса сплошного шара М, радиус шара R. Найти положение
центра тяжести получившегося тела.
Занятие 29 Механические колебания.
Впервые о колебаниях маятника мы узнаем из работы Винченцо Вивиани, ученика Галилея «
Исторические повествования о жизни синьора Галилея, члена академии деи Линчеи, благородного
флорентийца». Винченцо Вивиани, ученик Галилея, который провел со своим учителем два
последних года его жизни, рассказывает, что в 1583 году Галилей, наблюдая раскачивание лампады
в Пизанском соборе, открыл закон постоянства периода качания маятника, причем, как советовал
Кардан, время он измерял по биению собственного пульса. Это сообщение Вивиани многие считают
легендой. Тем не менее Вивиани наверняка узнал об этом из собственных уст Галилея, и, если
отбросить возможные приукрашивания, сущность рассказа Вивиани представляется истинной,
потому что закон изохронизма рассматривается Галилеем и в «Диалоге о двух главнейших системах
мира» и в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук». В последнем
произведении один из участников диалога, Сальвиати, который представляет самого Галилея,
действительно вспоминает о колебаниях лампады:
« Я тысячи раз наблюдал за колебаниями, в частности колебаниями подвешенной в церкви на
длинном подвесе лампады, которую кто-нибудь нечаянно толкнул»
С этого началось изучение колебательных систем, а сейчас мы разбираем задачи о математических и
пружинных маятниках, используя основные законы гармонических колебаний математической
точки.
Решение задач:
1. Математический маятник длиной Lсовершает колебания вблизи вертикальной стенки.
Под точкой подвеса маятника, на расстоянии ½ от нее по вертикали, в стенке забит гвоздь.
Найти период Т колебаний маятника.
А
О
В
Решение:
На участке АО маятник совершает колебания на нити длиной L.
Период таких колебаний Т = 2π√L/g , а время, затрачиваемое на прохождение дуги АО, t1=Т1/4. На
участке ОВ маятник совершает колебания на нити длиной L/2 с периодом Т2 = 2π√(L/2)/g ,
причем время прохождения ОВ: t2 = Т2/4.
Пусть Т – искомый период колебаний маятника, тогда
Т/2 =Т1/4 + Т2/4, Т =(Т1 + Т2)/2 = π√L/g ( 1+1/√2 ).
2. На какую часть длины надо уменьшить длину математического маятника, чтобы период
колебаний маятника на высоте 10км был равен периоду его колебаний на поверхности
Земли? Радиус Земли 6400км.
3. Определить период колебания тела массой 200г, подвешенного на пружине с
коэффициентом жесткости 40Н/м.
4. На вертикально расположенной пружине с коэффициентом жесткости 60 Н/м подвешен
груз массой 300г. Грузу сообщают начальную скорость 10 м/с, направленную вертикально
вниз. Определить период и амплитуду колебаний груза.
5. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом 0, 6 с и с
амплитудой 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течении которого она
проходит путь 5 см: 1) из положения равновесия; 2) из крайнего положения.
Занятие 30 Механические волны. Звук.
Теорию волнового распространения движения Ньютон начинает рассматривать с
колебательного движения жидкости в U- образном сосуде и показывает, что колебания жидкости
подобны колебаниям маятника. Затем он показывает, что возмущение, вызванное в точке А
жидкости, распространяется волнообразно. Впервые применяется, по крайней мере как термин,
общепринятое сейчас выражение «длина волны». Находится скорость распространения упругих
волн, равная квадратному корню из отношения модуля упругости к плотности среды. В последнем
«поучении» Ньютон заключает, что эти предложения применимы к распространению звука.
Ньютон дал первый расчет длины волны звука и пришел к выводу, хорошо известному сейчас в
физике. Что для любой открытой трубы длина волны испускаемого звука равна удвоенной длине
трубы.
« И в этом состоят главнейшие звуковые явления».
На этом Ньютон заканчивает эту часть труда с чувством удовлетворения, ибо ему удалось
превратить акустическую науку в раздел механики, чем она остается и поныне.
Решение:
1. Определите скорость распространения продольной упругой волны малой амплитуды в
стальном стержне.
Решение: Для того чтобы возбудить в стержне продольную волну, надо произвести удар по его
торцу. В результате стержень деформируется на величину ΔL = uΔt, где u – скорость,
приобретенная частицами стержня при ударе,Δt - время удара. За время Δt фронт возбужденной
при деформации стержня продольной волны переместится на расстояние L = VΔt, где V –
скорость распространения продольных волн. Следовательно, за время Δt в колебательное
движение приходит часть стержня массой Δm =ρSL = ρSVΔt, где S – площадь поперечного сечения
стержня.
По второму закону Ньютона:
FΔt = Δ(mu) = Δmu = ρSVuΔt,
или F = ρSVu, где ρ – плотность стали.
Согласно закону Гука имеем:
F/S = ЕΔL/L, где Е – модуль Юнга.
Отсюда F =ЕS ΔL/L = ЕSuΔt/(VΔt) = ЕSu/V.
Получим ЕSu/V = ρSuV.
Отсюда V = √Е/ρ.
Е =2,1·1011Па, ρ = 7,8·103 кг/м3, определим V=5,2·103 м/с.
2. Движущийся по реке теплоход дает свисток, частота которого 400Гц. Стоящий на берегу
наблюдатель воспринимает звук свистка как колебания с частотой 395 Гц. С какой скоростью
движется теплоход? Приближается или удаляется он от наблюдателя? Скорость звука принять
равной 340 м/с.
3. Определите собственные частоты колебаний воздушного столба в закрытой с обоих концов
трубе длиной 3,4 м. Скорость звука принять 340 м/с.
4. Скорость звука в стержне из дюралюминия 5100 м/с. Плотность дюралюминия 2700 кг/м 3.
Определите модуль Юнга.
5. На расстоянии 1068 м от наблюдателя ударяют молотком по железнодорожному рельсу.
Наблюдатель, приложив ухо к рельсу, услышал звук на 3 секунды раньше, чем он дошел до
него по воздуху. Чему равна скорость звука в стали? Скорость звука в воздухе принять равной
333 м/с.
Занятие 31 Гидростатика.
Еще Леонардо да Винчи знал принцип сообщающихся сосудов для жидкостей различной плотности
и основной закон гидростатики, известный теперь под названием «закона Паскаля.
В эпоху
Возрождения обострился старинный спор между сторонниками и противниками пустоты.
Перипатетики продолжали объяснять различные физические явления, как, например, действие
сифонов, медицинских банок, пипеток и др., тем, что природа боится пустоты. Сторонников пустоты
(вакуистов) объединяла одна черта: они признавали что воздух обладает «абсолютным» весом, т.е.
весом воздуха, «вынутого из атмосферы». Это может показаться странным сейчас, но для первых
физиков воздух в воздухе ничего не весил, как и вода в воде. Но отрицать, что часть жидкости,
находящаяся внутри жидкости, имеет вес, значит отрицать, что внутри массы жидкости
уравновешиваются давления, приложенные к этому весу. Иными словами, наличие веса у воздуха не
приводило к выводу об атмосферном давлении, а в некотором смысле даже исключало его.
Некоторые идеи о внутреннем давлении были у Леонардо да Винчи, но их обобщение на воздух
после определения его плотности Галилеем потребовало еще 30 лет работы до всем известного
опыта Торричелли.
Решение задач:
1. Сосуд, имеющий форму усеченного конуса с приставным днем, опущен в воду. Если в сосуд
налить 200г воды, то дно оторвется. Отпадет ли дно, если на него поставить гирю 200г?
Налить 200г масла? Налить 200г ртути?
Решение: Если сосуд сужается кверху, то гиря и ртуть не оторвут дно, а масло – оторвет. Если же
сосуд сужается книзу, то наоборот.
На дно изнутри действует сила давления ghS
Если сосуд сужается кверху, то эта сила больше веса жидкости, налитой в конус, на величину
веса жидкости, занимающей заштрихованный объем. Поэтому ртуть и гиря не оторвут дна.
Масло оторвет дно, так как в случае конуса, сужающегося кверху, произведение h для масла
больше, чем для воды (масло займет больший объем, чем такое же количество воды).
Связанное с этим относительное увеличение высоты уровня h больше относительного
уменьшения плотности .
Если сосуд сужается книзу, то сила давления жидкости, налитой в сосуд, на дно меньше ее
веса на величину веса жидкости в заштрихованном объеме. Поэтому в этом случае масло не
оторвет дна, а гиря и ртуть оторвут.
2. В сосуд с водой вставлена трубка сечением 2см2 . В трубку налили 72г масла плотностью
900кг/м3. Найдите разность уровней масла и воды.
3. Льдина площадью поперечного сечения 1м2 и высотой 0,4м плавает в воде. Какую работу
нужно совершить, чтобы погрузить полностью льдину в воду?
4. Прямоугольная коробочка из жести массой 76г и площадью дна 38см2и высотой 6см
плавает в воде. Определите высоту надводной части коробочки.
5. Вес тела в воде в три раза меньше, чем в воздухе. Какова плотность материала тела?
Занятие32 Гидродинамика. Течение идеальной жидкости.
Вся первая книга «Начал» написана в предположении, что тела движутся в среде без
сопротивления, под действием одних лишь приложенных сил. Для завершения учения о движении
нужно исследовать, как это и делает Ньютон во второй книге, какие изменения испытывают
найденные законы движения, когда тела движутся в жидкости, как это имеет место в земных
условиях.
В этой работе Ньютон рассматривает истечение жидкостей из сосудов. Многие экспериментаторы,
начиная с Торричелли, занимались этим, но мало что добавили нового. Уже во втором издании
книги Ньютон дал точный вывод скорости истечения. Он заметил сжатие струи жидкости у отверстия
и приближенно измерил его, но дал ему неудовлетворительное объяснение, основываясь на
представление о сходимости нитей потока жидкости. Идеальной жидкостью условились называть
жидкость, если бы она была лишена трения. Однако во всех реальных жидкостях существует
внутреннее трение.
Решение задач:
1. Из брандспойта бьет струя воды. Расход воды Q=60л/мин. Какова площадь поперечного
сечения струи S1 на высоте h =2м над концом брандспойта, если вблизи него сечение
равно S0 = 1.5см2.
Решение:
Скорость воды у конца брандспойта V0=Q/S0.
Вылетая из брандспойта, вода движется равнозамедленно с ускорением g, и поэтому на
высоте h скорость воды
V=√V02 - 2gh.
Из уравнения непрерывности струи V0S0 =VS , выражающего собой то, что масса жидкости,
протекающей через любое поперечное сечение струи в единицу времени, одна и также,
получим:
S = V0/V·S0 =Q/ √(Q/S0)2 - 2gh
S = 4,37 см2.
2. Вода течет по горизонтальной трубе переменного сечения. Скорость течения в широкой
части трубы 20 см/с. Определите скорость течения воды в узкой части тубы, диаметр
которой в 1,5 раза меньше диаметра широкой части.
3. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью 2м/с.
Определите скорость течения нефти в узкой части трубы, если разность давлений в
широкой и узкой частях трубы составляет 50мм.рт.ст.
4. На какой высоте площадь поперечного сечения струи фонтана будет в n раз больше
площади выходного отверстия трубки? Скорость воды на выходном отверстии трубки V.
5. Бак, заполненный водой до высоты 1м, пробивается пулей на высоте 0,1м. На какое
расстояние от бака будет бить струя воды?
Литература:
1. Баканина Л.П. Сборник задач по физике. М.: Наука, 1990.
2. Балаш В.А. Задачи по физике. М.: Просвещение, 1983.
3. Блудов М.И. Беседы по физике. М.: Просвещение, 1984.
4. Бутиков Е.И. Физика в примерах и задачах. М.: Наука, 1989.
5. Воробьев И.И. Задачи по физике. М.: Наука, 1988.
6. Гольдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. М.: Высшая школа, 1982.
7. Евграфова Н.Н., Каган В.Л. Курс физики. М.: Высшая школа, 1973.
8. Зубов В.Г. Задачи по физике. Задачи по физике. М.: Наука, 1985.
9. Зубов В.Г. Начала физики. М.: наука, 1978.
10. Марио Льоцци, История физики. М.: Мир, 1970.
11. Мощанский В.Н. История физики в средней школе. М.: Просвещение, 1981.
12. Роджерс Э. Физика для любознательных. М.: Мир, 1972.