УДК 330.115(075.8) МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В УСЛОВИЯХ РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ

1
УДК 330.115(075.8)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В УСЛОВИЯХ
РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
 2005 В.К. Семенычев
Самарский государственный аэрокосмический университет
Предложены методы моделирования реальных статистических данных логистическими моделями на
основе авторегрессий динамических рядов отсчетов показателей экономической динамики с учетом экзогенных
воздействий, отвечающих реальной практике. Методы моделирования реализуются на малых выборках и не
предполагают знания априорных сведений об анализируемых процессах.
В экономике распространены процессы логистической динамики, которые сначала
растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому либо пределу (уровню насыщения): изменение цены на товары, обладающие способностью
достигать некоторого уровня спроса, суммарная емкость рынка на определенный момент
времени и т.д. [1, 2]. Логистой может описываться и динамика уменьшения значений
экономических показателей.
В реальной траектории Y(t) логистической динамики присутствует гладкий
логистический тренд П(t), соответствующий основной тенденции, а также аддитивные
компоненты, отражающие экзогенные воздействия, например [1, 3], A2t, A2tSin(t + ) или
A2Sin(t + ), и стохастическая гетероскедастическая компонента (t), что приводит к
необходимости рассмотрения моделей
Y(t) = П(t) + A2t + (t),
(1)
Y(t) = П(t) + A2Sin(t + ) + (t),
(2)
Y(t) = П(t) + A2tSin(t + ) + (t),
(3)
где t – время.
Известны следующие модели логистического тренда П(t):
1.Обобщенная логистическая функция:
1
П(t) = ,
(4)
m
A0 + Аiexp( - Cit)
I=1
где обычно m  3, а при m = 1 имеем, как частный случай, функцию Верхулста;
t
2.П(t) = ABС - функция Гомперца;
(5)
2
3.П(t) = A1exp{ - B1exp( - 1t)};
(6)
4.П(t) = A1exp{ - A2(1 – exp( - 2t)\2}.
(7)
Как показали проведенные исследования [4], обобщенную логистическую функцию (4)
при m  1 целесообразно применять лишь при необходимости моделирования начальных
участков логистической динамики, а модели (5) – (7) сводятся к функции Верхулста при
соответствующей замене переменных. Таким образом, в большинстве практически важных
случаев для моделирования логистического тренда можно использовать функцию Верхулста.
Поставим целью устранить общие недостатки известных частных эвристических
методов идентификации функции Верхулста [1 - 3]: необходимость априорного знания уровня
насыщения, сложность и большое число требуемых отсчетов, невозможность учета при
идентификации дополнительного временного тренда и колебательных компонент.
Представим знаменатель функции Верхулста первыми тремя членами разложения ряда
Тейлора в окрестности начала осуществления моделирования - точки «a»:
A0 + A1exp( - 1t) ≈ В0 – В1t + В0t2,
где В0 = A0 + A1exp( - 1a)(1 + 1a + (1a)2), В1 = A11exp( - 1a)(1 + 21),
В2 = A1(1)2exp( - 1a).
Тогда траектория (t) анализируемого экономического показателя при структуре вида
(1) может быть представлена в виде
1 + А2В0t - А2В1t2 + А2В2t3
(t) =  + (t).
В0 – В1t + В0t2
(8)
После приведения (8) к общему знаменателю, перехода к отсчетам соответствующего
динамического ряда, применения Z – преобразования [4], придем при «к»  4 к следующей
авторегрессии отсчетов
 = 4-1 - 6-2 + 4-3 - -4 – С0{ - 4-1 + 6-2 - 4-3 +
+-4 ) + В1{(к) - 4(к-1)-1 + 6(к - 2)-2 – 4(к - 3)-3 +
+ (к - 4)-4)} + В2{(к)2 - 4(к - 1)22-1 + 6(к - 2)22-2 –
+ 4(к - 3)23-3 + (к - 4)22-4)} + g,
(9)
где С0 = В0 – 1; g – стохастическая компонента, образованная линейной комбинацией
отсчетов к, …, к-4 и произведений на соответствующие отсчеты знаменателя (8),
обладающая свойством гетероскедастичности.
Применяя к (9) обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) [1, 2, 4] для
компенсации гетероскедастичности, определим из соответствующей (называемой обычно
«нормальной») системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) третьего порядка
ОМНК - оценки С0о, В1о, В2о, а затем через них рассчитаем и оценки параметров модели
Верхулста
1о = В2о(В1о - 2В2о),
3
A1о = В2оexp( - 1оa)\(1о)2,
A0о = С0о + 1 - A1оexp( - 1оa)(1 + а1о + а2(1о)2).
При эконометрическом моделировании статистических данных моделью (2) оправданы
разложение всей логистической компоненты в ряд Тейлора и переход к динамическому ряду
отсчетов
 = Е0 + Е1(к) + Е2(к)2 + A2Sin(к + ) + ,
(10)
где D0 = П(0), D1 = (П)(0), D2 = (П)(0)/2, Е0 = D0 - D1а + D2а2, Е1 = D1 - 2D2а, Е2 = D2.
Можно показать, что выражению (10) соответствует при «к»  7 авторегрессия отсчетов
 = 6-1 - 16-2 + 26-3 - 30-4 + 26-5 - 16-6 + + 6-7 – -8 +
+ λ1(-1 - 6-2 + 15-3 - 20-4 + 15-5 - 6-6 + -7) + ,
где λ1 = 2Cosω;  - гетероскедастическая стохастическая компонента, образованная
линейной комбинацией отсчетов , …, -4.
Через ОМНК - оценку параметра λ1о определим частоту гармонической компоненты
ωо = (ArcCos(λ1о\2))\,
а затем, подставив ее в (10), найдем ОМНК - оценки Е0о, Е1о, Е2о и A3о = A2Cos, A4о = A2Sin и
через них – и ОМНК - оценки параметров модели (2):
1о = 2((Е1о + 2Е2о)/(Е0о + Е1оа + Е2оа2) - Е2о/(Е1о + Е2оа)),
А1о = (Е1о + Е2оа)/((Е0о + Е1оа + Е2оа2)21оexp( - 1оа)),
А0о = 1 – (Е0о + Е1оа + Е2оа2)А1оexp( - 1оа),
А2о = ((А3о)2 + (А4о)2)1/2,
о = Arctg(А4о/А3о).
При моделировании анализируемых данных выражением (3) и использовании, как и
ранее, разложения в ряд Тейлора и Z – преобразования получим при «к»  7 следующую
авторегрессию отсчетов динамического ряда
 = λ12( - -2 + 3-3 - 3-4 + -5) + λ1(2-1 – 6-2 + 8-3 - 8-4 + 6-5 –
- 2-6) + 3-1 - 5-2 + 7-3 – 10-4 + 5-5 - 7-7) + ,
из которой, решая соответствующую СЛАУ второго порядка, определим ОМНК – оценки λ1о и
ωо. Подставляя в (3) ωо, можно легко найти ОМНК - оценки остальных параметров модели:
1о, А0о, А1о, А2о, о.
Подстановка найденных ОМНК – оценок в детерминированные компоненты моделей (1)
- (3) позволит определить «сглаженные» значения «состоявшихся» или, что более интересно в
приложениях, «будущих» прогнозных значений  при тех или иных значениях «к».
4
Интервал упреждения при этом, как правило, не должен превышать одной трети
интервала наблюдения, который, в свою очередь, должен быть не менее 7 отсчетов для модели
(1), не менее 9 отсчетов для модели (2), не менее 8 отсчетов для модели (3). Как показало
моделирование на реальных и модельных данных, приведенных в [2], для сглаживания
стохастической компоненты обычно достаточно 15 - 16 отсчетов.
Выбор в пользу «гладкой» или «колебательной» логистической динамики, а также
между моделями (3) и (4) может быть сделан, исходя из априорных предположений, по виду
тренда, по мере адекватности идентифицированных моделей реальным статистическим
данным.
В более общем случае процесс, достигнув насыщения, может иметь стадию
стабилизации, а затем вновь расти по логистическому закону или даже падать с последующим
ростом [1]. В первом случае очевидна возможность моделирования тенденции суммой
(«склейкой») двух логист, причем у второй будет запаздывающий аргумент. Случай падения
значений анализируемого показателя распространен, например, при моделировании
социальных процессов [5]: наряду с логистической тенденцией имеется и колеблемость
некоторого общего вида около нее, не сводящаяся к (5), (6), (7) или их комбинациям. Это – так
называемые длинные волны экономической динамики, появление которых объясняется
неравномерностью инновационной активности.
В экономике одновременно действуют несколько (как правило, не больше двух)
технологических укладов c периодом жизни 100 – 150 лет, что демонстрирует рис. 1
(коэффициент по оси ординат на рис. 1 равен десяти). Зарождение нового технологического
уклада по времени совпадает с началом падения эффективности доминирующего уклада.
Суммарная траектория экономической эволюции испытывает колебания вокруг
повышающегося тренда.
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
5
10
15
20
25
30
Рис. 1. Траектория экономической эволюции.
Большинство теорий экономической эволюции исходят из чисто экономических
предпосылок, однако ряд экономистов уделяет большое внимание и социальным факторам.
Некоторые зарубежные ученые (К.Перес, И.Миллендорфер) являются сторонниками
интегрированного подхода, объясняющего явление периодичности взаимодействием технико экономических и социальных сфер. Одной из причин кризисов является рассогласование
скоростей инноваций в экономической и социальных областях.
Покажем, что траекторию экономической эволюции можно моделировать суммой двух
функций (показанными на рис. 1) с запаздывающими аргументами з1 и з2:
Y(t) = А1(t - з1)1exp( - 1(t - з1)) + А2(t - з2)2exp( - 2(t - з2)).
(11)
Амплитуды, симметричность или крутизна фронтов каждого из импульсов могут быть
различны. Общим случаем при осуществлении идентификации модели (11) является
5
допущение существования обоих импульсов в момент времени 0 начала эконометрического
моделирования.
Тогда запись суммы двух импульсов в новом времени t1 = t - 0 при ограничении
биномиальных рядов разложения каждого из импульсов первыми тремя членами примет вид
Y(t1) = А1з11(1 + 1t1/1 + 1(1 – 1)\2t1212)exp( - 1t1)exp( - 11) +
+ А2з22(1 + 2t1/2 + 2(2 – 1)\2t1222)exp( - 2t1)exp( - 22) + ,
где 1 = 0 - з1, 2 = 0 - з2.
Вводя обозначения
В1 = А1з11exp( - 11),
В2 = А2з22exp( - 22),
С1 = 1/1,
С2 = 2/2,
D1 = 1(1 – 1)\212,
D2 = 2(2 – 1)\222 ,
получим аппроксимативную модель траектории экономической эволюции
Y(t1) = (В1 + В1С1t1 + В1D1t12)exp( - 1t1) + (В2 + В2С2t1 + В2D2t12)exp( - 2t1) + (t).
Последнему выражению можно поставить в соответствие авторегрессию шестого
порядка
 = 1-1 - 2-2 + 3-3 - 4-4 + 5-5 - 6-5 + ,
где
1 = 3(λ1 + λ2),
2 = 3(λ12 + 3λ1λ2 + λ22),
3 = λ13 + 9λ1λ22 + 9λ2λ12 + λ22,
4 = 2λ1λ2,
5 = 1(λ1λ2)2,
6 = (λ1λ2)3,
λ1 = 2exp( - 1),
λ2 = 2exp( - 2).
Решение соответствующей СЛАУ шестого порядка для реализации условия нахождения
ОМНК – оценок 1, 2, 3, 4, 5, 6 позволит на первом этапе идентификации
определить ОМНК – оценки модели по формулам
1 = - Lnλ1\,
в которых
(λ2)2 - 1λ2\3 + 4\2 = 0,
λ1 = 4\(2λ2).
2 = - Lnλ2\,
6
Подстановка ОМНК – оценок 1 и 2 в приведенную выше модель экономической
эволюции, реализация условия ОМНК оценок Вi, (ВiСi), (ВiDi) (I = 1, 2) приводит на втором
этапе идентификации к СЛАУ шестого порядка, из которой рассчитываются В1, С1, D1, В2,
С2, D2, а через них, с учетом принятых обозначений, и параметры
1 = С1\((С1)2 - 2D1),
2 = С2\((С2)2 - 2D2),
1 = (С1)2\((С1)2 - 2D1),
2 = (С2)2\((С2)2 - 2D2),
А1 = В1exp( - 11)\(1)1,
А2 = В2exp( - 22)\(2)2,
з1 = 0 - 1,
з2 = 0 - 2.
Для идентификации модели (11) минимально необходимо 11 отсчетов динамического
ряда.
Таким образом, предложены методы идентификации по статистическим данным пяти
наиболее широко употребляемых моделей логист, причем с приближением к реальной
экономической практике: возможностью учета временного тренда, экзогенных воздействий,
колеблемости общего вида.
Методы позволяют достаточно просто, по малому числу отсчетов динамического ряда
(что эквивалентно малому требуемому периоду стационарности каждой из моделей), без
знания априорных сведений о параметрах логисты осуществить идентификацию модели
логистической динамики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Эконометрика/ Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: «Финансы и статистика». 2002.
2.Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. - М.: «Статистика». 1977.
3.Джонсон Дж. Эконометрические методы. – М.: «Статистика». 1980.
4.Семёнычев В.К. Идентификация экономической динамики на основе моделей
авторегрессии. – Самара.: АНО «Изд - во СНЦ РАН». 2004.
5.Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. – М.:
«Логос». 1998.
MODELING OF LOGISTIC DYNAMIC IN REAL PRACTICE CONDITIONS
©2005 V. K. Semyonitchev
Samara State Aerospace University
The methods of modeling of real statistic dates by logistic models on the base of auto regressive models of
dynamic-series data economic dynamic parameters with external factors, according the real practice, are proposed. The
methods of modeling are realizing on small sample without a priori information about analyzing processes.
7
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В УСЛОВИЯХ
РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
Автор:
Семенычев Валерий Константинович – д.т.н., профессор кафедры «Математические
методы в экономике» Самарского государственного аэрокосмического университета имени
С.П.Королева
раб. т. 267 - 44 – 95
Домашний адрес: г. Самара ул. Галактионовская 152 кв.13. т. сот. т. 267 – 5432;
сот. т. 221 - 01 -01
8
Отзыв на статью Семенычева В.К.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ В УСЛОВИЯХ
РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
Результаты, представленные в статье, представляют собой развитие общего подхода к
идентификации моделей экономической динамики, изложенные в монографии автора, для
логисты в условиях реальной экономической практики: при линейном тренде и экзогенных
воздействиях.
Автору для данных практически важных случаев эконометрического моделирования и
прогнозирования удалось, используя аппроксимативные разложения, сконструировать модели
авторегрессии для отсчетов динамического ряда.
Двухэтапная процедура идентификации привела к необходимости решения СЛАУ
невысокого порядка, что дало возможность обеспечить малые вычислительные погрешности.
В предлагаемых методах идентификации требуется малое количество отсчетов
динамического ряда, что позволяет считать данные модели адекватными на малом интервале
анализа.
Удобным для практического применения данных методов является и снятия
необходимости априорного знания уровня насыщения логист.
Рекомендую данную статью для публикацию в Вестнике СГАУ, как содержащую новые
результаты в области математических и инструментальных методов экономики,
представляющую интерес для аналитиков и практиков, занимающихся идентификацией
экономической динамики.
Зав. кафедрой экономики СГАУ д.т.н, профессор
_____________Гришанов Г.М.