№1.20. Точечные заряды Q 1 = - 1нКл, Q 2 = -1нКл, Q 3 = 2нКл расположены на плоскости в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной a=0.1м. Узлы решетки, в которых находятся указанные заряды, заданы радиус-векторами r1 =(0,a), r2 = (-a, 0), r3 =(-a,-a). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке О с радиус-вектором r =(-2a, -2a). Решение: 1) Напряженность поля, создаваемого зарядом Q 1 в искомой точке E1 = Q1 * ( r r1 ) 40 R 31 Где R 1 - модуль вектора, соединяющего заряд Q 1 с точкой О, т.е r r1 . Q3 Q2 E Q 2 - создает E 2 = , Q = * ( r r ) * ( r r3 ) 3 3 2 40 R 3 2 40 R 3 3 r r1 =(-2a, -3a) R 1 =a 13 ; r r2 =(-a, -2a) R 2 =a 5 ; r r3 =(-a, -a) R 3 =a 2 Исходя из принципа суперпозиции E = E1 E 2 E3 =(-522,62; -421,57) E =671 В м 2) Потенциал равен алгебраической сумме потенциалов = Q1 40 R1 + Q2 40 R2 + Q3 40 R3 , Q – величина скалярная. =63В Ответ: E =671 В м . =63В. №1.25. Точечные заряды Q 1 =1нКл, Q 2 =-2нКл, Q 3 =1нКл расположены на плоскости в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной a=0.1м. Узлы решетки, в которых находятся указанные заряды, заданы радиус-векторами r1 =(a, 0), r2 =(a, a), r3 =(0, a). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке с радиус-вектором r =(2a, a). Решение: 1) Напряженность поля, создаваемого зарядом Q 1 в искомой точке E1 = Где R 1 - модуль вектора, соединяющего заряд Q 1 с точкой О, т.е r r1 . Q3 Q2 E Q 2 - создает E 2 = , Q = * ( r r ) * ( r r3 ) 3 3 2 40 R 3 2 40 R 3 3 r r1 =(a, a) R 1 =a 2 ; r r2 =(a, 0) R 2 =a; r r3 =(2a, 0) R 3 =2a Исходя из принципа суперпозиции E = E1 E 2 E3 =(-1253,6; 321,4) E =1294 В м 2) Потенциал равен алгебраической сумме потенциалов Q1 * ( r r1 ) 40 R 31 = Q1 Q2 + 40 R1 40 R2 + Q3 40 R3 , Q – величина скалярная. =-71В Ответ: E =671 В м . =-71В. №2.5 Тонкое кольцо радиуса R=0.08м несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью =10 8 Кл . Какова напряженность электрического поля в м точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние a=0.1м? Решение: 1 dQ , dQ-заряд, который содержится в dl. Очевидно, что суммарная y40 a 2 составляющая напряженности поля в искомой точке равна 0(симметрия), а dE x =dE*cos (её сумма и будет общей), где - угол между вектором dE и осью X. dE dQ R2 Q dl = dl , Q – общий, а dQ- заряд участка dl кольца. cos = 1 2 2R a dE x E= * 1 40 1 40 * * a2 a2 * 1 R2 * dl a2 2R * 1 R2 R R2 = =2711.82 В - направлена вдоль оси OX. * dl * 1 м a 2 0 2 0 a 2 a2 Ответ: E=2711.82 В м №2.7. Одна половина тонкого прямого стержня имеет положительный заряд с Кл линейной плотностью =10 8 , а другая отрицательный заряд с такой же м линейной плотностью. Длина всего стержня b=0.2м. На перпендикуляре к оси стержня, восстановленном из его середины, находится точечный положительный заряд Q=10 9 Кл. Определить силу, действующую на этот заряд. Решение: Очевидно, что суммарная Yсоставляющая напряженностей от левой и правой частей проводника равна нулю, а xсоставляющие от левой и правой частей стержня сонаправлены и равны по модулю. Вычислим напряженность поля в искомой точке, которое создает положительно-заряженная часть стержня. 1 dQ dE * 2 40 r x 2 dQ= dx dE x dE * cos , -угол между вектором dE и осью OX. 1 *x x * dx dE x cos 2 2 3 40 r 2 x2 r x E= 0 * 4 0 b 2 x r 2 x 2 3 dx = 2 0 * b 2 4r 2 . Результирующая напряженность в искомой точке направлена горизонтально и численно равна E= 0 * b 2 4r 2 = Cила сонаправлена с вектором напряженности и численно равна F=E*Q= Ответ: F= 180 *10 9 0.01 2r 2 180 0.01 2r 2 В м 180 *10 9 0.01 2r 2 Н Н №3.9. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определите частоту вращения электрона, если радиус его орбиты r=53 * 10 12 м. Решение: meV 2 V об e2 e2 2*10 15 3 3 2 2R с R 16 R 0 me 40 R об с №3.23. Тонкое кольцо радиусом R=0.1м несет равномерно распределенный заряд Q=10 7 Кл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его середины, находится точечный заряд Q1 =10 8 Кл. Определить силу F, действующую на точечный заряд Q 1 со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на b=0.2м. Решение: Ответ: 2*10 15 Напряженность поля в точке, где находится заряд Q1 равна E= bQ * 40 1 b 3 2 2 и R вектор направлен вдоль перпендикуляра к плоскости кольца, восстановленном из его 2 середины, от плоскости кольца. сила, действующая на заряд F Q1 E F =Q 1 * bQ * 40 1 b 2 R 3 2 2 1.8*10 4 Н Ответ: 1.8*10 4 Н №4.19. Согласно выводам квантовой механики при локализации электрона внутри сферы радиуса R=10 10 м. его электрический заряд может быть распределен по e r * sin 2 , e-заряд электрона, r- расстояние от центра объему с плотностью 2 2Rr R R сферы. Определить напряженность электрического поля на расстоянии r= от 2 центра сферы. Решение: По теореме Гаусса. Поток вектора напряженности через сферу радиусом r равен Q Ф=4 r 2 E. Ф= , Q – заряд, заключенный в сферу. dQ= dV 4r 2 dr 0 R 2 R e 2e 1 R e 2r 2 e 2 2 2 r r Q= *4 dr= * r sin * sin = ; 4 r E= 2 2 0 R 2 4 R R 0 2 0 2Rr e В E= E 28*10 10 2 м 2R 0 В м №4.24. Согласно выводам квантовой механики при локализации электрона внутри сферы радиуса R=10 10 м. его электрический заряд может быть распределен по e 2r * sin 2 объему с плотностью , e-заряд электрона, r- расстояние от 2 2Rr R R центра сферы. Определить напряженность электрического поля на расстоянии r= 2 от центра сферы. Решение: Ф=4 r 2 E; dQ= dV 4r 2 dr Ответ: E=28*10 10 R 2 e e В e 2r 2 E 28*10 10 * sin 2 *4 r dr= E= 2 2 2 м 2R 0 R 0 2Rr Q= Ответ: E=28*10 10 В м №5.6. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью Кл заряда =0.2*10 9 . Определить потенциал электрического поля в точке м пересечения диагоналей. Решение: Используем принцип суперпозиции для скалярного потенциала i d Потенциал всей рамки 8 0 , где φ0 - потенциал ½ стороны квадрата. Найдем φ0 , разбивая сторону рамки на бесконечно малые участки с зарядом dq=τdl: dl φ0 = = 4 0 l r 4 0 4 0 rd 4 = ln tg = r cos 4 0 2 4 0 3 0.07 7 10 2 2 10 9 14 10 3 ln tg = = = = 1,58В ln tg ln 1 = 8.85 8.85 10 12 0 4 0 8 8 4 0 8 0 =12,64В Ответ: =12.64В №5.15. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d равном 5*10 3 м друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с в в поверхностными плотностями 1 = 0.2*10 6 и 2 =-0.3*10 6 . Определить м м разность потенциалов между плоскостями. Решение: 1 2 (сумма модулей, т.к векторы 2 0 2 0 сонаправлены). Разность потенциалов =Ed , =( 1 2 )d=141В 2 0 2 0 Напряженность поля между плоскостями E= Ответ: = 141В № 6.17. Точечные заряды Q 1 =10 9 Кл, Q 2 =10 9 Кл, Q 3 =-10 9 Кл, Q 4 =-10 9 Кл расположены на плоскости в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной a=0.1м. Узлы решетки, в которых находятся указанные заряды, заданы радиус векторами r1 =(0,0), r2 =(a,0), r3 =(a,a), r4 =(0,a). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить дипольный момент p данной системы зарядов и его В потенциальную энергию П во внешнем электрическом поле E =(0,100) . м Решение: Суммарный заряд системы зарядов равен нулю. p =(0;-2*10 10 ) Кл*м, П=- p* E (скалярное произведение) П=2*10 8 Дж Ответ: П=2*10 8 Дж, p =(0;-2*10 10 ) Кл*м № 6.17. Точечные заряды Q 1 =10 9 Кл, Q 2 =-2*10 9 Кл, Q 3 =10 9 Кл расположены на плоскости в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной a=0.1м. Узлы решетки, в которых находятся указанные заряды, заданы радиус-векторами r1 =(a,a), r2 =(-a,a), r3 =(-a,-a). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить дипольный момент p данной системы зарядов и его потенциальную энергию П во внешнем В электрическом поле E =(0,-100) . м Решение: Суммарный заряд системы зарядов равен нулю. p =(2*10 10 , -2*10 10 ), П=- p* E =-2*10 8 Дж Ответ: p =(2*10 10 , -2*10 10 ), П=-2*10 8 Дж №7.21. Электрон движется вдоль силовой линии однородного электрического поля. В некоторой точке поля с потенциалом 1 =100В электрон имел скорость м V 0 =6*10 6 . Определить потенциал точки поля, в которой скорость электрона будет с в два раза меньше первоначальной. Решение: Релятивистскими эффектами пренебрегаем. Изменение кинетической энергии электрона равно работе сил электрического поля. meV02 meV02 3 meV02 1 +23.2В e * ( 2 1 ) 2 =- * 8 e 2 8 Ответ: 2 =+23.2В №7.22. При радиоактивном распаде из ядра атома полония вылетает -частица со м скоростью V=1.6*10 7 . Определить разность потенциалов электрического поля, в с котором можно разогнать покоящуюся -частицу (ядро атома гелия) до такой же скорости. Решение: масса покоя частицы m=6.64*10 27 кг, заряд +2e.Релятивистскими эффектами пренебрегаем. mV 2 mV 2 2e * = =2.656*10 6 В 2 4e Ответ: =2.656*10 6 В №8.2. Определить электроёмкость C металлической сферы радиусом R=0.02м, погруженной в воду. Диэлектрическая проницаемость воды =81. Решение: При условии, что внешний слой диэлектрика бесконечен – C=4 0R 180*10 12 Ф Ответ: С=180*10 12 Ф. №8.8. Два одинаковых плоских конденсатора соединены параллельно и заряжены до разности потенциалов U 0 6В. Определить разность потенциалов между пластинами конденсаторов, если после отключения конденсаторов от источника у одного конденсатора уменьшили расстояние между пластинами в два раза. Решение: С=2С к S Электроемкость плоского конденсатора С к = 0 . Т.к система конденсаторов была d отключена от источника, то после изменения емкости одного конденсатора неизменным S S 2 0 S 2 0 S остался заряд системы СU=q= U 0 =( 0 + 0 )U d 0. 5d d d 2 U= U 0 =4В 3 Ответ: U=4В. №9.17. Определить объёмную плотность тепловой мощности w в металлическом А проводнике, если плотность протекающего по нему тока j=10 7 2 при м В напряженности электрического поля E=10 3 . м Решение: Закон Ома в дифференциальной форме j= E, - удельная проводимость. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме: w= E 2 Вт w=jE=10 4 3 м Вт Ответ: w=10 4 3 м №9.18. Исходя из модели свободных электронов, определить число соударений N, которое испытывает электрон за одну секунду, находясь в металле, имеющем удельную проводимость =10 7 (Ом*м) 1 . Концентрацию электронов проводимости принять равной n=10 29 м 3 . u Решение: число столкновений в единицу времени N= , l -средняя длина свободного l пробега электрона. Удельная проводимость движения электронов ne 2 1 * 0.142*10 15 c 1 N= 2me Ответ: N=0.142*10 15 c 1 ne 2 l * , u – средняя скорость теплового 2me u