Практическое занятие №5

Практическое занятие №6
Тема: Построение и условия для проверки циклов.
1.
Построение циклов исходя из инвариантов и ограничений.
Существуют две стратегии построения циклов при данных предусловии Q, постусловии
R, инварианте Р и ограничивающей функции t. Первая приводит к циклу с одной охраняемой
командой: do B  S od. Во второй учитываются преимущества, предоставляемые гибкостью
конструкции повторения.
2.
Условия для проверки циклов.
2.1. Покажите, что инвариант цикла Р истинен перед началом выполнения цикла.
2.2. Покажите, что i: 1  i  n {P AND Bi} Si {P} – выполнение охраняемой команды
завершается при истинном Р.
2.3. Покажите, что P AND NOT BB  R – в момент завершения цикла R результат истинен.
2.4. Покажите, что P AND NOT BB  (t > 0) – до завершения цикла ограничение снизу
справедливо.
2.5. Покажите, что i: 1  i  n {P AND Bi} t1 := t; Si {t < t1} – каждый шаг цикла приводит к
уменьшению ограничивающей функции t.
3.
Стратегия построения циклов №1.
3.1. Построить охрану В такую, что P AND NOT B  R;
3.2. Построить тело цикла так, чтобы оно уменьшало ограничивающую функцию при
сохранении инварианта цикла.
4.
Стратегия построения циклов №2.
4.1. Стройте охраняемые команды так, чтобы каждая из них приближала цикл к завершению,
а соответствующая охрана обеспечивала сохранение инварианта.
4.2. Завершайте процесс создания охраняемых команд, если их создано достаточно для
доказательства P AND NOT BB  R.
5.
Пример применения стратегий построения циклов.
Написать алгоритм нахождения фиксированного значения х в двумерном массиве
b[0 : m-1][0 : n-1], m > 0, n > 0. Если х встречается в нескольких местах, определить любое.
5.1. i := 0; j := 0;
do i  m cand x  b[i, j]  if j < n-1  j := j+1 П j = n-1  i := i+1; j := 0 fi od
5.2. i := 0; j := 0;
do i  m AND j  n cand x  b[i, j]  j := j+1 П i  m AND j = n  i := i+1; j := 0 od
6.
Построение инвариантов циклов.
При данных предусловии Q и постусловии R перед написанием цикла можно построить
инвариант Р путем ослабления постусловии R.
6.1.
Пример устранения конъюнктивного члена.
Приближенно определить значение квадратного корня целого числа n  0.
Постусловие R:
0  a2  n <(a+1)2 или R:
0  a2 AND a2  n AND n < (a+1)2.
Устранение третьего конъюнктивного члена дает инвариант Р: 0  a2  n. В качестве охраны В
цикла используем отрицание устраненного конъюнктивного члена, что обеспечит
удовлетворение необходимого условия P AND NOT BB  R.
Получим алгоритм, время выполнения которого ~ n:
а := 0; do (a+1)2  n  а := a+1 od.
1
6.2.
Пример замены константы переменной.
Приближенно определить значение квадратного корня целого числа n  0.
Постусловие R: 0  a2  n <(a+1)2.
Заменим a+1 новой переменной b в границах а < b  n+1 и получим инвариант
Р: а < b  n+1 AND a2  n < b2. Охрана В цикла, получаемая из условия P AND NOT B  R, это
а+1  b. Пусть ограничивающая функция уменьшает интервал (a, b) делением на 2.
Получим алгоритм, время выполнения которого ~ log n < n:
а := 0; b := n+1; do a+1  b  d := (a+b)2; if d*d  n  a := d П d*d > n  b := d fi od.
6.3.
Пример расширения области значений переменной.
Дан массив b[0 : n-1], n > 0 в котором содержится значение х. Найти первое вхождение х.
Обозначим наименьшее i, удовлетворяющее условию : 0  i AND x = b[i], через iv.
Постусловие R: i = iv. Инвариант Р: 0  i  iv.
Получим алгоритм: i := 0; do x  b[i]  i := i+1 od.
6.4.
Пример комбинирования пред- и постусловий.
Во многих случаях при построении инварианта последний следует рассматривать в
качестве обобщения пред- и постусловия.
Написать алгоритм вставки пробелов, который для строки слов b[0 : n-1], n  0 и р  0
прибавляет p*i к каждому элементу b[i].
Начальное значение b[i]=Вi, а Вi – это номера столбцов, в которых начинаются
последовательные слова, в строке, выровненной по правому краю вставкой пробелов между
словами, р – число пробелов между каждой парой слов.
Предусловие Q: ( i: 0  i < n b[i]=Bi); постусловие R: ( i: 0  i < n b[i]=Bi + p*i).
Заменим постоянной n переменной j, вспомогательный инвариант:
P1: 0  j  n AND ( i: 0  i < j b[i]=Bi + p*i)
говорит, что первые j элементов b имеют окончательные значения. Стоит включить в инвариант
и то, что оставшиеся n-j элементов сохраняют свои начальные значения. Тогда полный
инвариант:
P: 0  j  n AND ( i: 0  i < j b[i]=Bi + p*i) AND ( i: j  i < n b[i]=Bi).
Получим алгоритм:
j := 0; do j  n  j := j+1; b[j] := b[j] + p*j od.
2
Задания
1.
Написать алгоритм решения Вашей задачи из практического занятия №5, используя обе
стратегии построения циклов.
2.
Написать алгоритм и программу решения задач:
Вариант 1.
2.1. Дан массив b[0 : n-1], n > 0. Присвоить переменной х наименьшее значение из b.
Если наименьшее значение встречается в b более одного раза, выбрать любой из них.
Предусловие
Q:
n >0;
Постусловие
R:
x  b[0 : n-1] AND ( j: 0  j < n x = b[j]);
Инвариант
Р:
1  j  n AND x  b[0 : i-1] AND ( j: 0  j < i x = b[i]);
Ограничение
t:
n-i.
2.2. Дан массив b[0 : m-1, 0 : n-1], m > 0, n > 0, в котором содержится значение х.
Найти вхождение х, при котором х нет в предыдущих строках или в предыдущих столбцах
той же строки.
2.3. Дан массив b[0 : n-1], n  0. Записать в переменную а число нечетных значений в
b[0 : n-1]. Разрешено использование функций odd(), even().
Вариант 2.
2.1. Дан массив b[0 : n-1], n > 0. Присвоить переменной х наименьшее значение из b.
Если наименьшее значение встречается в b более одного раза, выбрать любой из них.
Предусловие
Q:
n >0;
Постусловие
R:
x  b[0 : n-1] AND ( j: 0  j < n x = b[j]);
Инвариант
Р:
0  j  n AND x  b[0 : n-1] AND ( j: i  j < n x = b[j]);
Ограничение
t:
i.
2.2. Дано n > 0. Присвоить переменной х наибольшее целое число, являющееся
степенью двойки и не большее n.
2.3. Дан массив b[0 : n-1], n > 0. Найти в нем место максимального значения.
Вариант 3.
2.1. Дано n > 0. Присвоить переменной х наивысшую степень двойки, не
превосходящую n.
Предусловие
Q:
n >0;
Постусловие
R:
0 < x  n < 2*x AND ( j: x = 2j);
Инвариант
Р:
0 < x  n AND ( j: x = 2j);
Ограничение
t:
n-i.
2.2. Даны целые числа x > 0, y > 0. Не используя операций умножения и деления,
найти частное q и остаток r от деления х на у.
2.3. Дан массив b[0 : n-1], n  0. Определить, состоит ли b[0 : n-1] из одних нулей.
3