Наименьшие и наибольшие значения тригонометрических выражений Метод тождественных преобразований Суть этого метода состоит в том, чтобы, пользуясь основными тригонометрическими соотношениями, упростить заданное выражение, сведя его исследованию одной тригонометрической функции. Пример 1. Найти наибольшее целое значение из множества значений 𝑛 функции 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 + √2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 − ). 4 Решение. Преобразуя данную функцию, получаем следующую цепочку равенств: 𝑛 f(x)=cos 2𝑥 + √2 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 − )= 4 = 1+cos 2𝑥 2 1+cos 2𝑥 2 + √2 (sin 2𝑥 ∗ √2 2 − cos 2𝑥 ∗ √2 ) 2 = 1 + sin 2𝑥 − cos 2𝑥 = (1 + 2 sin 2𝑥 − cos 2𝑥) = 2 1 = (1 + √5 ( 2 2 √5 sin 2𝑥 − 1 √5 cos 2𝑥)) = 1 1 = (1 + √5(cos 𝜑 ∗ sin 2𝑥 − sin 𝜑 ∗ cos 2𝑥 )) = (1 + √5 ∗ sin(2𝑥 − 𝜑)), 2 2 2 где cos 𝜑 = Итак, , sin 𝜑 = √5 1 1 1 , т.е. φ=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 . √5 2 Поскольку f(x)= (1 + √5 ∗ sin(2𝑥 − 𝜑)). 2 в таком случае - 1≤sin(2x - φ)≤ 1, то 1 - √5 ≤ 1 + √5 ∗ sin(2𝑥 − 𝜑) ≤ 1 + √5 и, следовательно, 1−√5 2 ≤ 𝑓(𝑥) 1+√5 2 . Замечая теперь, что 1< значением f(x) будет 1. 1+√5 2 < 2, приходим к выводу, что искомым Ответ: 1 Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения sin x+cos4x. 4 Решение. Преобразуя данное выражение, получим: sin4 𝑥 + cos 4 𝑥 = (sin2 𝑥 + cos 2 𝑥)2 - 2sin2 𝑥 ∙ cos 2 𝑥= 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 =1 - (4 sin2 𝑥 + cos 2 𝑥)=1 - sin2 𝑥=1 - (1 − cos 2 2𝑥) = cos 2 2𝑥 + . Заметив, что 0≤ cos22x≤1, приходим к двойному неравенству 1 1 2 2 1 2 ≤ cos22x+ ≤ 1. 1 Ответ: ; 2 2 Функциональный метод Этот метод базируется на стандартном способе нахождения наименьших и наибольших значений непрерывной на отрезке [𝑎; 𝑏] функции f(x), основанном на определении критических точек, лежащих внутри отрезка, и вычислении затем значений функций f(x) как в найденных критических точках, так и в точках, являющихся концами отрезка. При этом в качестве независимой переменной обычно выбирают угол, а упомянутым отрезком является отрезок длины периода функции. Пример 3. Найти наименьшее значение выражения cos2x - x на отрезке [−𝜋; 𝜋]. Решение. Для того чтобы найти наименьшее на отрезке [−𝜋; 𝜋] значение данного выражения, достаточно вычислить значение функции 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 − 𝑥 в критических точках, принадлежащих интервалу ( - ; ), а также значения 𝑓(𝑥) в концевых точках данного промежутка и затем среди полученных значений выбрать наименьшее. Функция 𝑓(𝑥) определена и имеет поизводную при всех x∊ R: f’(x)=2cosx( - sinx) - 1= - sin2x - 1. Критическими точками функции f(x) 𝑛 𝑛 3𝑛 являются все x= +n, n∊ Z, из которых только x1= и x2= принадлежат 4 4 4 промежутку ( - ; ). π Заметив, что f( - )=1+; f(− ) = 4 2+π 4 3π 2−3π ; f( ) = 4 4 к выводу: искомым значением является 1 - . ; f()=1 - , приходим Ответ: 1 - . Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения 5sin2α+3sinα+3cosα – 7. Решение. Преобразуя данное выражение, получим: 5sin2α+3sinα+3cosα – 7=52sinαcosα+3(sinα+cosα) – 7= =5(2sinαcosα+sin2α+cos2α - sin2α - cos2α)+3(sin 𝛼 + cos α) – 7= =5((sin 𝛼 + cos α)2 – 1)+3(sin 𝛼 + cos α) – 7= =5(sin 𝛼 + cos α)2 +(sin α + cos α) − 12. Если теперь сделать замену (sin 𝛼 + cos α)=t, |t| ≤ √2, то исходная задача сведется к нахождению наименьшего и наибольшего значений квадратного трехчлена 5t 2 +3t–12, определенного на отрезке [−√2; √2]. Заметив, что графиком функции y(t)=5𝑡 2 +3t–12 является парабола, 3 абсциссой вершины которой будет точка 𝑡0 = (принадлежащая отрезку 10 абсциссой вершины которой будет точка [−√2; √2]), приходим к выводу: искомое наименьшее значение – это значение y( − 3 )= 10 5∙9 100 - 9 10 - 12 = - 11,64. Что же касается наибольшего значения, то оно достигается на одном из концов промежутка [−√2; √2]. Вычисляя значения y(t) в точках - √2 и √2, имеем: y( - √2) = 10 - 3√2 - 12 = - 2 - 3√2; y(√2) = 10 +3√2 - 12 = - 2 + 3√2. Таким образом, искомым наибольшим значениям является значение, равное - 2 + 3√2. Ответ: - 11,64; - 2+3√2. Метод введения параметра Применяя этот метод, заданное тригонометрическое выражение обозначают какой-либо буквой (вводят параметр). Тогда исходная задача сводится к задаче нахождения тех значений (наименьшего и наибольшего) параметра, при которых полученное уравнение имеет решение. Пример 5. Найти наибольшее целое значение из множества значений 𝜋 функции 𝑓(x) = cos 2 x + √2 ∙ sin(2х − ). 4 𝜋 Решение. Обозначим cos2 х + √2 ∙ sin (2х − ) = a. Тогда исходная задача 4 сводится к следующей: при каком наибольшем целом значении а полученное уравнение имеет решение? Чтобы решить эту переформулированную полученное уравнение с параметром. Имеем: задачу, преобразуем 𝜋 cos2 х + √2 ∙ sin (2х − ) = cos2 х + sin 2x – cos 2x = cos2 х + 2sin x ∙ cos x 4 cos2 х + sin2 x = sin2 x + 2sin x ∙ cos x = a (cos2 х + sin2 x). Отсюда следует, что (а - 1) sin2 x - 2sin x ∙ cos x + а cos2 х = 0. Очевидно, что при а=1 последнее уравнение имеет решения. Предположим, а≠1. Поскольку преобразованное уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, то, разделив это уравнение почленно на cos2 х (деление на cosx всегда допустимо в однородном уравнении, так как если cos x = 0, то из уравнения следует, что и sin x = 0, а cos x и sin x не могут быть равны нулю одновременно), придем к уравнению (a – 1) tg2x – 2 tg x + a = 0. Это квадратное относительно tgx уравнение имеет решения, если его дискриминант неотрицателен, что, как нетрудно видеть, равносильно 1− √5 1+ √5 неравенству а2 - а – 1 ≤ 0, решая которое, находим ≤ а≤ , где, по 2 2 предложению, а≠1. Но при а=1 рассматриваемое однородное уравнение, как уже отмечалось, имеет решения. Таким образом, всеми значениями параметра а, при котором исследуемое уравнение имеет решения, являются значения а 𝜖 [ 1− √5 1+√5 2 ; 2 ], наибольшее целое из них – это 1. Ответ: 1 Геометрический метод Этот метод основан на применении формулы скалярного произведения двух векторов а ⃗ и 𝑏⃗: а ⃗ ∙ 𝑏⃗ = ⃗⃗⃗⃗ |а| ∙ |𝑏⃗| ∙ cos x, где а – угол между данными векторами. Следствием формулы является тот факт, что поскольку – 1 ≤ cos x ≤ 1, то имеет место двойное неравенство - ⃗⃗⃗⃗ |а| ∙ |𝑏⃗| ≤ а ⃗ ∙ 𝑏⃗ ≤ ⃗⃗⃗⃗ |а| ∙ ⃗⃗⃗ |𝑏|. Пример 6. Найти наибольшее значение суммы S=cos 𝛼+cos 𝛽+cos 𝛾, где α, β, γ – углы треугольника. Решение. Рассмотрим треугольник ABC. Отложим на сторонах треугольника единичные векторы 𝑙 1, 𝑙 2, 𝑙 3: 𝑙 1 от точки A на стороне AB, 𝑙 2 от точки B на стороне BC и 𝑙 3 от точки C на стороне CA. Тогда угол между векторами 𝑙 1 и 𝑙 2 равен 180 - β, угол меду векторами 𝑙 2 и 𝑙 3 равен 180 - γ, а угол между векторами 𝑙 1 и 𝑙 3 равен 180 - α. Рассмотрим очевидное неравенство (𝑙 1+𝑙 2+𝑙 3)2≥0, которое подробнее можно переписать в виде 𝑙 12+𝑙 22+𝑙 32+2𝑙 1𝑙 2+2𝑙 1𝑙 3≥0 Если теперь воспользоваться определением скалярного произведения двух векторов, то полученное равенство примет вид 3-2 3 (cos 𝛼+cos 𝛽+cos 𝛾)≥0, откуда находим, что cos 𝛼+cos 𝛽+cos 𝛾 ≤ , где знак 2 равенства достигается при α=β=γ=60. Ответ: 3 2 Комбинированные методы При решении ряда задач рассмотренных выше методов. приходиться сочетать некоторые из Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения sin2 x+ π π 𝑝sinx+𝑞 (при - 2< 𝑝 <2) на промежутке [− ; ]. 2 2 Решение. Обозначим sinx=t, t≤1. Тогда задача сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значения квадратно трехчлена t2+pt+q, определенного на промежутке [−1; 1]. Как известно, этот трехчлен имеет на всей числовой оси наименьшее значение при t= p p 2 и это значение равно –p+4q p . 4 При этом на интервале (−∞; − ) трехчлен убывает, а на интервале (− + ∞) 2 2 он возрастает. p Наименьшее значение данное выражение принимает в точке x= - arcsin , 4𝑞−𝑝2 и оно равно 4 2 . Наибольшим значением здесь является большее из π π 2 2 граничных значений (при х= - или х= ) т.е. 1+|p|+q. Ответ: 4𝑞−𝑝2 4 , 1+|p|+q Пример 8. Найти минимум наибольшего значения выражения x4 – π π 2x2sin2α – 2(1+cosα)3 (при α ) на промежутке [ - (1+cosα)4 1+cosα]. 4 2 Решение. Рассмотрим функцию f(x)=x4 – 2x2sin2α – 2(1+cosα)3 Эта функция является четной по х, и, следовательно, чтобы решить задачу, достаточно найти искомый минимум на промежутке [0; 1+cosα]. Далее рассуждаем следующим образом. Так как x4 – 2x2sin2α – 2(1+cosα)3=(x2- sin2α)2 – sin4α – 2(1+cosα)3, то наибольшее значение функция f(x) будет принимать при наибольшем значении х, т.е. при х=1+cosα. Обозначив наибольшее значение функции f(x) через M(α), имеет: M(α)=((1+cos α)2 – sin2 α)2 – sin4α - 2(1+cosα)3 = 3(cos4α+2cos3α - 2cosα - 1). Если же обозначить cos α = t , то исходная задача сводится к следующей: требуется найти наименьшее значение функции y(t) = 3(t4 + 2r3 – 2t - 1) на отрезке [ 0; √2 ]. 2 Решая эту переформулированную задачу, найдем сначала производную функции y(t): y’ (t) = 3(4t 3+ 6t2 - 2) = 6(2t3 + 3t 2- 1). Здесь критической точкой функции y(t), принадлежащей отрезку [0; 1 1 2 2 81 является t*= .А так как y(t*) = y( )= искомым значением будет y(t*)= - 81 √2 √2 ], 2 3 3 , y(0)= - 3, y( )= - ( + √2), то 16 2 2 2 . 16 Ответ: - 81 . 16 Упражнения 1. Найдите наибольшее значение функции: 1) 𝑦 = √2 (sin 𝑥 4 − cos 𝑥) 4) 𝑦 = sin4 𝑥 + cos 4 𝑥 7) 𝑦 = 1 2+𝑠𝑖𝑛𝑥 2) 𝑦 = 1 + √sin2 𝑥 + 2 cos 2 𝑥 3) 5) 𝑦 = sin2 𝑥 cos 4 𝑥(2 − sin2 𝑥) 6) 8) 9) 10) 2. Найдите наименьшее значение функции: 1) 𝑦 = 3√2 (sin 𝑥 5 + cos 𝑥) 4) 𝑦 = 12 cos 𝑥 + 5 sin 𝑥 7) 𝑦 = 4 2−𝑠𝑖𝑛𝑥 2) 𝑦 = 4sin2 𝑥 + 5 cos 2 𝑥 3) 5) 𝑦 = 1 − 2√cos 2 𝑥 − 4 sin2 𝑥 6) 8) 𝑦 = sin 𝑥 cos 3 𝑥 − sin3 𝑥 cos 𝑥 9) 10) 3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке: 1) 𝑦 = 3 cos 𝑥 − 15𝑥 + 3, [− 3𝜋 2 𝜋 ; 0] 2) 3) 𝑦 = 17𝑥 − 7 sin 𝑥 + 4, [0; ] 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 2