Математический анализ_1 БПМИ_2 сем

Математический анализ. 1БПМИ 2 семестр.
Вопросы к зачету
2 семестр
1 часть «Метрические пространства. Функции нескольких переменных»
1. Классификация пространств. Основные определения и свойства. (топологические, метрические,
хаусдорфовы, полные пространства)
2. Классификация пространств. Основные определения и свойства. (линейные, нормированные,
банаховы, гильбертовы, евклидовы пространства)
3. Открытые и замкнутые множества. Теоремы о пересечении и объединении открытых и замкнутых
множеств.
4. Классификация точек метрического пространства по отношению к произвольному множеству.
Теорема о дополнении к открытому и замкнутому множеству.
5. Компакт. Свойства компакта в метрическом пространстве (ограниченность, существование
предельной точки последовательности).
6. Компактность куба в n–мерном евклидовом пространстве.
7. Компакт. Свойства компакта в метрическом пространстве (замкнутость). Теорема о полноте n–
мерного евклидова пространства.
8. Критерий компактности множества в n-мерном пространстве.
9. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений.
10. Теорема Банаха о единственности неподвижной точки сжимающего отображения.
11. Непрерывное отображение метрических пространств. Связное множество. Теорема о
промежуточном значении непрерывной функции на связном множестве.
12. Теорема об ограниченности и достижении точной верхней и нижней грани функциями,
непрерывными на компакте.
13. Функция нескольких переменных. Основные определения (способы задания, график, линии и
поверхности уровня). Примеры.
14. Предел функции нескольких переменных (по Коши и по Гейне). Примеры. Теорема о пределе
суммы, разности, произведения и частного.
15. Непрерывность функции нескольких переменных (по Коши, по Гейне, на «языке пределов», на
«языке приращений»). Точки разрыва. Примеры. Теорема о действиях с непрерывными функциями.
16. Свойства функций нескольких переменных, связанные с их непрерывностью.
17. Частные производные и необходимое условие дифференцируемости функции. Примеры.
18. Частные производные и достаточное условие дифференцируемости. Примеры.
19. Частные производные высших порядков. Теоремы Шварца и Юнга о равенстве смешанных
производных. Следствия из них.
20. Полный и частный дифференциалы функции нескольких переменных. Применение полного
дифференциала к приближённым вычислениям. Примеры.
21. Дифференциалы высших порядков. Вывод формул для дифференциалов 2-го и 3-го порядков для
функции двух переменных. Примеры.
22. Производная по направлению (вывод формулы). Градиент. Свойства производной по направлению.
Примеры.
23. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Примеры.
24. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Формула полной производной. Примеры.
25. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.
26. Теорема об условиях существования однозначной и непрерывной неявной функции. Теорема о
производной функции, заданной неявно. Примеры.
27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума функций
многих переменных.
28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Достаточное условие экстремума.
29. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум. Алгоритм нахождения
наибольшего и наименьшего значений. Примеры.
30. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Пеано и
Лагранжа.
2 часть «Интегралы»
1. Определение интеграла Римана. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции.
2. Интеграл Римана. Теорема о единственности определённого интеграла.
3. Интеграл Римана. Теорема о необходимом условии существования определённого интеграла.
4. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу.
5. Критерий интегрируемости функции по Риману.
6. Классы функций, интегрируемых по Риману.
7. Свойства определенного интеграла (доказать аддитивность и теорему о среднем).
8. Интеграл Римана как предел по некоторой базе, свойства.
9. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Теорема о производной от
интеграла с переменным верхним (нижним) пределом.
10. Формула Ньютона-Лейбница (теорема).
11. Методы вычисления определённого интеграла. Формула замены переменной (теорема).
12. Методы вычисления определённого интеграла. Формула интегрирования по частям в определенном
интеграле (теорема).
13. Методы вычисления определённого интеграла. Интегрирование чётных и нечётных функций в
симметричных пределах (теорема).
14. Несобственные интегралы первого и второго рода.
15. Приложения определённого интеграла. Примеры.
16. Определение двойного интеграла. Теорема о достаточном условии интегрируемости функции
нескольких переменных(о существовании двойного интеграла).
17. Двойной интеграл Римана как предел по базе.
18. Основные свойства двойного интеграла (доказать линейность и аддитивность).
19. Основные свойства двойного интеграла (доказать теоремы об оценке интеграла).
20. Основные свойства двойного интеграла (доказать теорему о среднем).
21. Простая (правильная) область. Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному.
22. Основные свойства повторного интеграла (доказать аддитивность).
23. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
24. Приложения двойного интеграла. Примеры.
25. Определение тройного интеграла. Теорема о достаточном условии интегрируемости функции
нескольких переменных (о существовании тройного интеграла).
26. Основные свойства тройного интеграла.
27. Простая (правильная) область. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному.
28. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
29. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в сферических координатах.
30. Приложения тройного интеграла. Примеры.