Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет информационных технологий и вычислительной техники
Программа дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
для направления 230100.62
«Информатика и вычислительная техника»
подготовки бакалавра
Автор программы:
/Сухоцкий Г. В., gvsukhotskiy@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики МИЭМ «___»____________ 20 г
Зав. кафедрой Кузьмина Л.И.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и
отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 230100.62
«Информатика и вычислительная
техника» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Программа разработана в соответствии с
 ФГОС ВПО по направлению 230100
«Информатика и вычислительная
техника» подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 230100
«Информатика и вычислительная техника» подготовки бакалавра,
утвержденным в 2012 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
являются:
изучение основ теории вероятностей и математической статистики и
применение полученных знаний для решения конкретных практических задач.
Задачи дисциплины:
-освоить основные постановки задач, определения и теоремы теории
вероятностей и математической статистики;
-- обучить основным методам аналитического решения задач теории вероятностей
и математической статистики;
-- дать навыки решения статистических задач с помощью ЭВМ;
-- дать навыки статистического исследования различных явлений и процессов.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен
знать:

основные постановки задач теории вероятностей и математической
статистики;

основные определения и теоремы теории вероятностей;

методы построения точечных и интервальных оценок
неизвестных
параметров распределений;

методику проверки статистических гипотез;
уметь:

вычислять вероятности случайных событий;

вычислять числовые характеристики случайных величин;

строить точечные и интервальные оценки неизвестных параметров
распределений;

проверять статистические гипотезы;
владеть:
основными методами аналитического решения вероятностных и статистических
задач и соответствующим математическим аппаратом.
2
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную
речь (ОК-2);
способность к работе в коллективе, руководителя подразделения, лидера группы
сотрудников формировать цели команды, принимать организационно-управленческие
решения в ситуациях риска и нести за них ответственность, предупреждать и
конструктивно разрешать конфликтные ситуации в процессе профессиональной
деятельности (ОК-6);
способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь на русском языке, готовить и редактировать тексты
профессионального назначения, публично представлять собственные и известные
научные результаты, вести дискуссии (ОК7);
способность к логически правильному мышлению, обобщению, анализу,
критическому осмыслению информации, систематизации, прогнозированию,
постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании
принципов научного познания (ОК-9);
способность самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и
самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых
областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития
социальных и профессиональных компетенций, изменения вида своей
профессиональной деятельности (ОК-10);
способность работать в коллективе и использовать нормативные правовые
документы в своей деятельности (ОК-13);
способность использовать в научной и познавательной деятельности, а также в
социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными и
компьютерными
технологиями (ОК-14);
способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук,
математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий,
связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);
способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя
современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);
способность понимать и применять в исследовательской
деятельности современный математический аппарат (ПК-3);
и
прикладной
способность приобретать и использовать организационно-управленческие
профессиональной и социальной деятельности (ПК-11);
навыки
в
готовность к изучению научно-технической информации, отечественного и
зарубежного опыта по тематике инвестиционного (или иного) проекта; уметь собирать и
анализировать информацию для формирования исходных данных для проектирования
(ПК-13);
способность готовить научно-технические
результатам выполненных работ (ПК-17).
4
отчеты,
обзоры,
публикации
по
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится
естественнонаучного цикла.
к базовой части
3
математического и
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 «Математический анализ»
 «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 «Физика»
 «Специальные главы математики»
 «Основы математического моделирования»
 «Сети и телекоммуникации»
 «Основы управления техническими системами»
 «Основы информационной безопасности и криптографии».
5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
7
8.
9.
6
Всего
часов
Название раздела
Вероятностное пространство. Определение
и свойства вероятности.
Условная вероятность. Независимость
событий. Схема Бернулли.
Случайные величины. Функция
распределения.
Многомерные случайные величины.
Числовые характеристики случайных
величин.
Предельные теоремы теории вероятностей.
Основные понятия математической
статистики.
Оценки неизвестных параметров.
Проверка статистических гипотез.
16
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
4
4
8
12
3
3
6
26
7
7
12
8
18
2
4
2
4
4
10
16
8
4
2
4
2
8
4
24
16
6
4
6
4
12
8
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Форма
контроля
Контрольная
работа
(часть1)
Контрольная
работа
(часть2)
Промежу- Зачет
точный
1 семестр
Параметры
*
письменная работа 80
минут
*
На семестр;
предпочтительно с
использованием Excel
Устный зачет
4
6.1
Критерии оценки знаний, навыков
1. Контрольная работа (две части).
При оценке контрольной работы применяется дифференцированный подход по
десятибалльной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными
студентом во время их выполнения.
2. Зачет.
Сдача студентом зачета оценивается по десятибалльной
системе в
соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за текущий контроль рассчитывается следующим
образом:
Отекущий = 0,5·Окр(часть1) + 0,5·Окр(часть2)
Активность работы студентов на практических лабораторных занятиях учитывается
в рабочей ведомости и составляет оценку Оаудиторная. Также учитывается оценка
Осам. работа самостоятельной работы студентов: в практических домашних задачах на
программирование оценивается функциональность и объем созданных программ; в
самостоятельной работе на практических занятиях – полнота и глубина освещения
рассматриваемых тем.
Итоговая оценка по курсу выставляется по следующей формуле:
Оитоговая = 0,5·Озачет +0,3·Отекущий + 0,2·Оаудиторная
где О зачет – оценка за работу непосредственно на зачете.
7
Содержание дисциплины
№
п/п
1.
Наименование раздела
дисциплины
Вероятностное
пространство.
Определение и
свойства вероятности.
Содержание раздела
2.
Условная вероятность.
Независимость
событий. Схема
Бернулли.
Определение условной вероятности. Формула умножения
вероятностей. Независимость событий. Формула полной
вероятности. Формула Байеса. Схема независимых
испытаний Бернулли.
Случайные величины.
Функция
распределения.
Понятие случайной величины. Функция распределения.
Дискретные случайные величины. Закон распределения.
Распределения: биномиальное, геометрическое, Пуассона.
Непрерывные
случайные
величины.
Плотность
распределения.
Распределения:
равномерное,
экспоненциальное, нормальное. Функции от случайных
величин.
Совместная функция распределения. Дискретные и
непрерывные двумерные случайные величины. Условные
5
3.
4.
Многомерные
случайные величины.
События, операции над событиями. Пространство
элементарных исходов. Определение вероятности:
классическое,
геометрическое,
статистическое,
аксиоматическое. Свойства вероятности. Формула
сложения вероятностей.
распределения. Независимые случайные величины.
Распределение суммы двух случайных величин.
5.
Числовые
характеристики
случайных величин.
Предельные теоремы
теории вероятностей.
6.
7.
8.
9.
8
Математическое
ожидание
случайной
величины.
Свойства
математического
ожидания.
Дисперсия
случайной величины. Свойства дисперсии. Моменты
высших порядков. Асимметрия, эксцесс, мода, медиана,
квантиль. Ковариация. Коэффициент корреляции.
Коррелированность и зависимость.
Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Неравенство
Маркова. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Центральная предельная теорема.
Основные понятия
математической
статистики.
Задачи математической статистики. Генеральная
совокупность. Выборка. Вариационный ряд. Понятие
оценки. Свойства оценок. Эмпирическая функция
распределения. Гистограмма и полигон частот. Критерий
Колмогорова.
Оценки неизвестных
параметров.
Точечные
оценки.
Метод
моментов.
Метод
максимального
правдоподобия.
Другие
методы
получения точечных оценок. Доверительные интервалы.
Проверка
статистических
гипотез.
Статистические гипотезы. Критерии. Ошибки первого и
второго рода. Уровень значимости. Мощность критерия.
Основной принцип проверки статистических гипотез.
Критерий согласия Пирсона (2).
Образовательные технологии
Рекомендуемые образовательные технологии:
– чтение лекций;
– проведение практических занятий;
– выполнение студентами контрольной работы и домашнего задания;
– проведение экзамена.
Аудиторные занятия проводятся в форме лекций, практических занятий. Во время
проведения практических занятий используются активные и интерактивные формы
(обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения задач, предложенных
преподавателем).
Для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине
могут использоваться: устный опрос; письменные работы (ПР) в виде контрольных работ
(КР) и домашнего задания (ДЗ); зачет. Оценка на зачете может быть выставлена с учетом
всех перечисленных форм контроля и промежуточной аттестации.
Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий,
проработка материалов лекций, подготовка к контрольной работе, подготовка к зачету.
Для успешного освоения дисциплины рекомендуется перед каждым практическим или
6
семинарским занятием повторить теоретический материал соответствующей лекции, а
после активной работы на занятии - выполнить полученные задания и изучить
соответствующий раздел указанной в программе курса литературы.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1. Тематика заданий текущего контроля
Для текущей и промежуточной аттестации студентов выполняются 2 письменные
работы: контрольная работа (часть 1 и часть2).
Тематика контрольной работы (часть 1)
Математическая статистика. Эмпирическая функция распределения, гистограмма и
полигон частот. Точечные оценки. Доверительные интервалы. Проверка статистических
гипотез.
Примерный вариант контрольной работы (часть1)
1. По данному распределению выборки построить
распределения, гистограмму и полигон:
xi
1
2
3
4
5
6
ni
15
25
10
20
10
20
эмпирическую
функцию
2. Найти точечную оценку параметра p биномиального распределения (схема
Бернулли) по выборке (0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0), где Х i принимает значения: 1 с
вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р: а) методом моментов и б) методом
максимального правдоподобия.
3. Найти доверительный интервал надежности 1-α=0,95 для неизвестного
математического ожидания при неизвестной дисперсии по выборке
Х 1 =0,464,
Х 2 =0,137, Х 3 =2,455, Х 4 =-0,323. Распределение нормальное. Какова точность
этого интервала? Как изменится точность, если дисперсия известна и равна 1,5?
4. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется
ли гипотеза об экспоненциальном распределении генеральной совокупности с
результатами наблюдений, представленными в таблице:
00,2- 0,4- 0,6- 0,8- 1,0- 1,6- 2,0- 2,8- 3,0интервалы 0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,6
2,0
2,8
3,0
4,6
22
12
10
11
12
10
10
5
3
5
ni
При выполнении контрольной работы студентам рекомендуется по возможности
использовать СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ и МАСТЕР ДИАГРАММ Excel.
Тематика контрольной работы (часть2)
Операции над событиями. Вычисление вероятностей случайных событий.
Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Схема
Бернулли. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины.
Числовые характеристики случайных величин. Двумерные случайные величины.
Распределение суммы двух случайных величин. Предельные теоремы теории
вероятностей.
7
Примерный вариант контрольной работы (часть 2)
Операции над событиями
.
1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято число. Событие А – взятое число
четное, событие В – число оканчивается нулем. Что означают события: АВ, В А ,
АВ , А+В?
2. Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие Аi, i=1,…,5, заключается в том, что
i–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том,
что все детали хорошие.
3.
Классическое определение вероятности
4. Из 15 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди
наудачу взятых 5 билетов 2 выигрышных.
5. Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков не
менее 10.
6.
Формула сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности.
Схема Бернулли
7. По каналу связи передаются независимо два сообщения. Вероятность передачи без
искажений первого сообщения равна 0,95, второго – 0,92. Найти вероятность того,
что хотя бы одно из сообщений будет искажено.
8. В спортивной секции 80% студентов младших курсов и 20% старшекурсников.
Среди спортсменов младших курсов разрядники составляют 20%, а среди
старшекурсников – 90%. Найти вероятность того, что наудачу выбранный
спортсмен окажется разрядником.
9. Чему равна вероятность выигрыша у равносильного соперника не менее 4 партий
из 8?
10.
Дискретные случайные величины
11. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным
в таблице:
xi
-2
-1
1
2
4
pi
5/16
c2
3/8
c/16
c/16
1.Найти константу с. Ответ обосновать.
2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.Найти дисперсию случайной величины Х.
4.Построить график функции распределения случайной величины Х.
5.Найти вероятность Р{-1  X  4}.
Непрерывные случайные величины
12. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
8
 cx, x   3;1

f ( x)  cx, x  1;2
0,  ;3   1;1  2;

1.Найти константу с.
2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.Найти дисперсию случайной величины Х.
4.Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной
величины Х.
5. Найти P{X>0}, P{-2<X<1,5}.
Многомерные случайные величины
13. Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная
случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,7 и -1 c
вероятностью 0,3, а Y имеет нормальное распределение с математическим
ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).
Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.
14. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена
внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-2;-1), (4;-1), (-2;1). Найти
двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения
случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.
15.
Предельные теоремы теории вероятностей
16. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник
сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж
содержит ровно 5 бракованных книг.
17. Всхожесть семян данного растения равна 0,9.Найти вероятность того, что из 900
посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.
18. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа
каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева
оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом
отказавших элементов и средним числом отказов за время Т не меньше двух.
9.2. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины.
Примерный список вопросов для подготовки к экзамену.
Теория вероятностей
Предмет теории вероятностей.
События, операции над событиями.
Пространство элементарных исходов.
Основные формулы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.
Определение вероятности: классическое, геометрическое, статистическое,
аксиоматическое. Свойства вероятности.
6. Формула сложения вероятностей.
7. Определение условной вероятности.
8. Формула умножения вероятностей.
9. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.
10. Формула полной вероятности.
9
1.
2.
3.
4.
5.
11. Формула Байеса.
12. Схема независимых испытаний Бернулли.
13. Понятие случайной величины. Примеры.
14. Функция распределения. Свойства функции распределения.
15. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Биномиальное,
геометрическое, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона.
16. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Равномерное,
экспоненциальное, нормальное распределение.
17. Функции от случайных величин.
18. Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения.
19. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные
распределения. Независимые случайные величины.
20. Распределение суммы двух случайных величин. Формула свертки.
21. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического
ожидания. Математическое ожидание случайной величины, имеющей
распределение:
биномиальное,
геометрическое,
Пуассона,
равномерное,
экспоненциальное, нормальное.
22. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Дисперсия случайной
величины, имеющей распределение: биномиальное, геометрическое, Пуассона,
равномерное, экспоненциальное, нормальное.
23. Моменты высших порядков.
24. Ковариация. Коэффициент корреляции. Коррелированность и зависимость.
25. Теорема Пуассона.
26. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
27. Неравенство Маркова.
28. Неравенство Чебышева.
29. Закон больших чисел.
30. Центральная предельная теорема.
31.
Математическая статистика
32. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка.
Вариационный ряд.
33. Понятие
оценки.
Свойства
оценок
(несмещенность,
состоятельность,
эффективность).
34. Показать, что если оценка является несмещенной и ее дисперсия стремится к нулю,
то такая оценка состоятельна.
35. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот.
36. Показать, что эмпирическая функция распределения является несмещенной
оценкой функции распределения.
37. Показать, что эмпирическая функция распределения является состоятельной
оценкой функции распределения.
38. Точечные оценки. Метод моментов.
39. Найти с помощью метода моментов точечные оценки для: неизвестного параметра
экспоненциального распределения; неизвестного параметра пуассоновского
распределения; неизвестных параметров a и b равномерного распределения R[a;b];
неизвестных параметров a и  нормального распределения N(a,).
40. Метод максимального правдоподобия.
41. Найти с помощью метода максимального правдоподобия точечные оценки для:
неизвестного параметра экспоненциального распределения; неизвестного
параметра пуассоновского распределения; неизвестных параметров a и b
10
равномерного распределения R[a;b]; неизвестных параметров a и  нормального
распределения N(a,).
42. Выборочное среднее. Свойства выборочного среднего (несмещенность,
состоятельность, эффективность в классе линейных оценок).
43. Выборочная дисперсия.
44. Исправленная выборочная дисперсия.
45. Доверительные интервалы. Точность и надежность доверительных интервалов.
Распределение Стьюдента, распределение 2
46. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при
известной дисперсии (нормальное распределение).
47. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при
неизвестной дисперсии (нормальное распределение).
48. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при известном
математическом ожидании (нормальное распределение).
49. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии при неизвестном
математическом ожидании (нормальное распределение).
50. Статистические гипотезы. Критерии. Ошибки первого и второго рода. Уровень
значимости. Основной принцип проверки статистических гипотез.
51. Критерий согласия Пирсона (2). Проверка гипотезы о распределении выборки.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая
школа, 2000 — 479 с.
10.2. Основная литература
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. — М.: Высшая школа, 2000 — 400 с.
10.3. Дополнительная литература
1. Белько И.В., Свирид Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика.
Примеры и задачи. – Минск: Новое знание, 2002 – 250 с.
2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. —
М.: Гардарика,1998. —327 с.
3. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению
задач. – Минск: ТетраСистемс, 1999 - 287 стр.
4. Золотаревская Д.И. Теория вероятностей. Задачи с решениями. — М: Едиториал
УРСС, 2003 — 165 с.
5. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и
математическая статистика. — М.: Bысшая школа, 1991 — 400 с.
6. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1989 – 640 с.
Источник в Интернете:
Википедия
http://ru.wikipedia.org/
11
10.4.Справочники, словари, энциклопедии
Математический энциклопедический словарь. Под ред. Ю.В.Прохорова. – М.: Советская
энциклопедия, 1988
10.5.Программные средства
Для успешного освоения дисциплины, студент использует по возможности следующие
программные средства:
 Microsoft Excel.
10.6.Дистанционная поддержка дисциплины
Для обеспечения интерактивного и непрерывного учебного процесса в качестве
образовательных технологий широко используются коммуникационные средства,
предоставляемые сетью «Интернет», в частности, осуществляется информационный
обмен посредством электронной почты.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Специализированный компьютерный класс для проведения контрольной работы.
12