1. Целесообразность разработки электронного курса

Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов»
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный университет путей сообщения»
(МИИТ)
Научно-образовательный материал
Электронный курс «Геометрия. Часть 1»
(базовый курс)
Состав научно-образовательного коллектива:
1. Арутюнян Е.Б., доцент кафедры «Прикладная математика-1» ИУИТ
2. Семёнов Ю.С., доцент кафедры «Прикладная математика-1» ИУИТ
3. Тихоненко А.В., техник 1 категории УНЦ «МИИТ-Эксперт» ИУИТ
4. Шубина П.В., техник 1 категории УНЦ «МИИТ-Эксперт» ИУИТ
Москва 2010
Содержание
1. Целесообразность разработки электронного курса «Геометрия. Часть 1»
(базовый курс) ............................................................................................................. 2
2. Краткое содержание электронного курса «Геометрия. Часть 1» (базовый
курс) .............................................................................................................................. 5
Раздел 1. Сведения о курсе ..................................................................................... 5
Раздел 2. Основные понятия планиметрии ........................................................... 5
Раздел 3. Треугольники ........................................................................................... 5
Раздел 4. Замечательные линии и точки в треугольниках .................................. 6
Раздел 5. Параллелограммы и трапеции ............................................................... 7
Раздел 6. Вписанные и описанные четырёхугольники. Многоугольники......... 7
Раздел 7. Геометрические неравенства, равенства и задачи на максимум и
минимум. Применение подобия. Комбинированные задачи .............................. 8
Раздел 8. Итоговое контрольное тестирование .................................................... 9
1
1. Целесообразность разработки электронного курса «Геометрия. Часть
1» (базовый курс)
Электронный курс «Геометрия. Часть 1» (базовый курс) предназначен для
закрепления знаний геометрии в базовом объёме и для тренировки в решении
геометрических задач. Курс рассчитан на самостоятельную работу учащегося,
заканчивающего или уже закончившего изучение планиметрии в школе.
Курс предназначен для следующих категорий слушателей: абитуриенты,
студенты ссузов.
Знания и навыки, полученные в процессе изучения курса «Геометрия.
Часть 1» (базовый курс): навыки в решении основных типов задач
планиметрии.
Начало работы с курсом не требует особых знаний, по крайней мере, тех,
которые выходят за рамки обычного школьного курса. Желательно всё же
иметь представление об основных понятиях: геометрических фигурах (прямая и
ее части, углы, многоугольники, окружность и круг), измерениях
геометрических величин (градусная мера угла, длины и площади),
геометрических преобразованиях (симметрия, подобие, параллельный перенос).
Курс не начинается с «абсолютного нуля», хотя в основном его тексте (а также
в глоссарии-справочнике) имеются определения практически всех
используемых понятий.
Актуальность разработанного курса заключается в том, что обучаясь по
данному курсу, абитуриенты могут углублять свои знания, восполнять в них
пробелы, готовиться к ЕГЭ и обучению в вузе, не выезжая на место проведения
обучения. Таким образом, снижается транспортная нагрузка на город и
абитуриенты более эффективно расходуют свое время не тратя его на дорогу.
Более широкие возможности подготовки к поступлению в вуз также получают
люди с ограниченными жизненными способностями.
Востребованность этого курса населением Москвы объясняется также
тем, что на данный момент подобных курсов немного, и немногие вузы
способны предложить подобную форму подготовительных курсов.
Целью разработки курса «Геометрия. Часть1» (базовый курс) и создание
электронного контента по данной программе является систематизация
имеющихся у абитуриентов знаний, умений и навыков, полученных при
изучении школьного курса математики, устранение пробелов в знаниях
школьного курса математики, подготовка к успешному усвоению курса
математики, читаемому в вузе.
Для контроля качества в системе дистанционного обучения
организован непрерывный мониторинг освоения абитуриентами программ
2
обучения. По результатам данного мониторинга представляется отчет для
сотрудников факультета довузовской подготовки и родителей. Обучение может
проводиться в сопровождении преподавателя (тьютора), который может
проконсультировать абитуриента.
Структура курса:
В начале каждого раздела или подраздела проводится предварительное
тестирование. Это нужно для того, чтобы учащийся смог определить свой
уровень знаний по этой теме.
Отметим, что даже если предварительное тестирование успешно
пройдено, не следует пренебрегать этим разделом, поскольку в
предварительном тестировании могут оказаться неучтенными какие-либо
детали, важные в дальнейшем для решения задач. Нужно обязательно
проработать каждый раздел, хотя бы в ознакомительном плане.
Изложение темы внутри раздела или подраздела идёт от простого к
сложному. Материал обязательно сопровождается примерами. Часто примеры
сразу не высвечиваются – это сделано для того, чтобы учащийся мог сам
попробовать решить задачу, а затем посмотреть предлагаемое решение. Такая
работа с курсом только приветствуется. На нее рассчитаны и задачи для
самостоятельного решения.
В конце каждого раздела проводится контрольное тестирование. В случае
успеха можно считать, что тема вполне освоена, и переходить к изучению
следующей темы. После того, как все темы изучены, проводится контрольное
тестирование по всему курсу.
Если всё же у учащегося возник вопрос, ответ на который не удается
найти ни в глоссарии-справочнике, ни даже в учебнике, этот вопрос можно
задать тьютору, который поддерживает с учащимся интерактивную связь
внутри системы дистанционного обучения.
Выполнение заданий:
Задания, используемые в курсе, бывают нескольких типов:
 задания, в которых ответ вводится непосредственно с клавиатуры;
 задания, в которых требуется выбрать правильный ответ из нескольких
предложенных вариантов;
 задания, в которых требуется установить парные соответствия между
элементами двух групп, например, между несколькими фигурами и
несколькими значениями площади, каждое из которых соответствует
одной и только одной фигуре.
При их выполнении рекомендуется иметь под рукой ручку и несколько
листов бумаги для того, чтобы можно было записать решение и ответ и затем
занести ответ в компьютер.
3
Заметим, что при прохождении предварительных и контрольных
тестирований не сообщается, какие задачи сделаны правильно, а какие
неправильно. Сообщается лишь процент правильно решённых задач. Для
успешного прохождения таких тестирований обычно требуется решить не
менее 70 – 80 процентов задач. При прохождении контрольного тестирования
по разделу или итогового контрольного тестирования даётся 3 попытки. Даже
если вы успешно прошли такое тестирование, но хотите использовать ещё одну
попытку, чтобы улучшить свой результат, имейте в виду:
Результат каждой новой попытки отменяет результат предыдущей
попытки. Сохраняется только результат последней использованной попытки.
4
2.
Краткое содержание электронного курса «Геометрия. Часть 1»
(базовый курс)
Раздел 1. Сведения о курсе
Цели изучения, навигация по курсу. Предварительное тестирование.
Раздел 2. Основные понятия планиметрии
2.1. Предварительное тестирование
2.2. Прямая, луч, отрезок, окружность и круг
Прямая и части прямой, окружность и круг.
2.3. Угол
Виды углов, измерение углов, смежные углы, перпендикуляр и наклонная,
вертикальные углы, биссектриса угла, биссектрисы смежных углов.
Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся
прямых, примеры.
2.4. Параллельные прямые
Параллельность прямых, параллельность двух перпендикуляров к одной
прямой, аксиома параллельных, углы при пересечении двух параллельных
прямых третьей прямой, признаки параллельности, свойства углов при
пересечении двух параллельных прямых третьей прямой , перпендикуляр к
одной из двух параллельных прямых, примеры.
2.5. Преобразования плоскости
Понятие преобразования плоскости, движение, некоторые виды движений,
гомотетия и подобие, примеры.
2.6. Контрольное тестирование
Раздел 3. Треугольники
3.1. Предварительное тестирование
3.2. Треугольники. Виды треугольников. Равенство треугольников.
Подобие треугольников
Треугольник, сумма углов треугольника, виды треугольников, внешний угол
треугольника, равенство треугольников, первый признак равенства
треугольников, первый признак равенства треугольников – примеры, второй
признак равенства треугольников, , второй признак равенства треугольников –
примеры, третий признак равенства треугольников, третий признак равенства
треугольников – примеры, , свойства равнобедренного треугольника, ,
соотношения между сторонами и углами треугольника, неравенство
треугольника, отрезок и ломаная, перпендикуляр и наклонная, признаки
5
равенства прямоугольных треугольников, признаки равенства прямоугольных
треугольников – примеры, подобие треугольников, первый признак подобия
треугольников, первый признак подобия треугольников – пример, второй
признак подобия треугольников, второй признак подобия треугольников –
пример, третий признак подобия треугольников, третий признак подобия
треугольников – пример.
3.3. Теорема Пифагора. Тригонометрические функции острого угла
Теорема Пифагора, теорема Пифагора – примеры, определение синуса,
косинуса и тангенса, некоторые свойства тригонометрических функций,
значения тригонометрических функций некоторых углов, тригонометрические
функции углов от 0о до 180о, теорема синусов и теорема косинусов.
3.4. Площадь треугольника
Основная формула площади треугольника, тригонометрическая формула
площади треугольника и формула Герона.
3.5. Контрольное тестирование по разделу 3
Раздел 4. Замечательные линии и точки в треугольниках
4.1. Предварительное тестирование
4.2. Серединные перпендикуляры. Описанная окружность
Серединный перпендикуляр к отрезку, серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника, положение центра описанной окружности для остроугольных,
тупоугольных и прямоугольных треугольников, углы между радиусами,
нахождение радиуса описанной окружности, примеры решения задач на радиус
описанной окружности, задачи для самостоятельного решения по подразделу
4.2.
4.3. Медианы
Медианы в треугольнике, точка пересечения медиан в треугольнике, длина
медианы, построение треугольника по трём медианам, примеры задач на
медианы, задачи для самостоятельного решения по подразделу 4.3.
4.4. Высоты
Высота в треугольнике, точка пересечения высот в треугольнике, углы между
высотами в остроугольном треугольнике, длины высот, окружности,
проходящие через две вершины и два основания высот, окружности,
проходящие через вершину, ортоцентр и два основания высот, расстояние от
вершины до ортоцентра остроугольного треугольника, треугольники,
образованные вершиной и двумя основаниями высот, примеры задач на
высоты, задачи для самостоятельного решения по подразделу 4.4.
4.5. Биссектрисы. Вписанная окружность. Вневписанные окружности
Биссектрисы треугольника, свойство биссектрисы, пример задачи на свойство
биссектрисы, точка пересечения биссектрис в треугольнике, углы между
6
биссектрисами, вписанная окружность и её радиус, расстояния от вершин
треугольника до точек касания вписанной окружности со сторонами
треугольника, вневписанные окружности и их радиусы, пересечение
биссектрисы угла и серединного перпендикуляра, длина биссектрисы, примеры
задач на биссектрисы и вписанные окружности, задачи для самостоятельного
решения по подразделу 4.5.
4.6. Задачи на замечательные линии и точки в треугольнике
Задача на описанную и вписанную окружность, задача на биссектрису и
высоту, задача на медиану и высоту, задача на медиану и биссектрису, задачи
для самостоятельного решения по подразделу 4.6.
4.7. Контрольное тестирование
Раздел 5. Параллелограммы и трапеции
5.1. Предварительное тестирование
5.2. Параллелограмм
Параллелограмм, свойства его сторон и углов, свойство его диагоналей,
параллелограмм, свойства его сторон и углов, свойство его диагоналей –
пример, площадь параллелограмма, признаки параллелограмма, признаки
параллелограмма – примеры, центр симметрии параллелограмма.
5.3. Виды параллелограмма
Прямоугольник, ромб, квадрат.
5.4. Теорема Фалеса и ее следствия. Трапеция
Теорема Фалеса, средняя линия треугольника, трапеция, средняя линия
трапеции, площадь трапеции.
5.5. Контрольное тестирование
Раздел 6. Вписанные и описанные четырёхугольники. Многоугольники
6.1. Предварительное тестирование
6.2. Четырёхугольники общего вида. Вписанные и описанные
четырёхугольники
Выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, сумма углов четырёхугольника,
четырёхугольник,
образованный
серединами
сторон
данного
четырёхугольника, площадь четырёхугольника, пример применения формулы
площади выпуклого четырёхугольника, вписанные четырёхугольники, сумма
противоположных углов
вписанных четырёхугольников, вписанные
параллелограммы и трапеции, формула, связывающая стороны и диагонали
вписанного четырёхугольника, описанные четырёхугольники, суммы длин
противоположных сторон описанных четырёхугольников, площадь описанного
7
четырёхугольника, описанные параллелограммы и трапеции, примеры задач на
вписанные и описанные четырёхугольники, задачи для самостоятельного
решения по подразделу 6.2.
6.3. Многоугольники
Понятие многоугольника, сумма углов n - угольника, вписанные n -угольники,
описанные n -угольники, площадь описанного n -угольника, правильные n угольники, окружность, вписанная в правильный n -угольник, окружность,
описанная около правильного n -угольника, выражение периметра и площади
правильного n -угольника через радиус вписанной окружности, выражение
периметра и площади правильного n -угольника через радиус описанной
окружности, о построении правильного n -угольника циркулем и линейкой,
примеры задач на n -угольники, задачи для самостоятельного решения по
подразделу 6.3.
Раздел 7. Геометрические неравенства, равенства и задачи на максимум и
минимум. Применение подобия. Комбинированные задачи
7.1. Предварительное тестирование
7.2. Геометрические неравенства, равенства и задачи на максимум и
минимум
Неравенства для сторон треугольника, неравенства для высот треугольника,
неравенства для высоты, медианы и биссектрисы треугольника, расположение
высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведённых из одной
вершины, неравенства для длин хорд окружности, хорды описанной
окружности треугольника, проходящие через центр вписанной окружности,
теорема эйлера, неравенство между радиусами вписанной и описанной
окружности треугольника, примеры геометрических задач на максимум и
минимум, задачи для самостоятельного решения по подразделу 7.2.
7.3. Применение подобия
Деление отрезка в данном отношении внутренним образом, деление отрезка в
данном отношении внешним образом, точки, сопряжённые относительно
отрезка, построение отрезков, которые делятся данной точкой в данном
отношении,
отрезки
в
треугольнике,
соединяющие
вершины
с
противоположными сторонами, теорема Чевы, обратная теорема Чевы, теорема
Менелая, обратная теорема Менелая, линия, проходящая через точку
пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, линия,
проходящая через середины оснований трапеции, ещё один способ построения
сопряжённых точек, примеры решения задач, задачи для самостоятельного
решения по подразделу 7.3.
7.4. Комбинированные задачи
8
Общие замечания, задача на площади частей треугольника, задача на
параллелограмм и окружность, задача на углы в параллелограмме, задача на
правильный треугольник, задача на замечательные линии и углы в
треугольнике, задача c неоднозначностью в ответе.
7.5. Контрольное тестирование
Раздел 8. Итоговое контрольное тестирование
9