ЕН.В.12 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
«Утверждаю»
Декан авиационного
факультета
______________В.Г.Стогней
«_____»___________20__ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.В.12 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
для специальности 130501 – Проектирование, сооружение и эксплуатация
газонефтепроводов и газонефтехранилищ
авиационного факультета
Форма обучения – очная
Срок обучения - нормативный
Воронеж 2009
Рабочая программа составлена на основании примерных программ дисциплин
«Компьютерное моделирование», «Численные методы», используемых в Московском, Омском и Нижнетагильском педагогических университетах и рекомендованных
Министерством образования Российской Федерации по специальности «Информатика», на основе программы курса «Математическое моделирование» факультета технической кибернетики СПбГТУ и программ курсов кафедр «Математическое моделирование» ВГУ и СПбГТУ, рабочей программы курса «Математические методы моделирования в геологии» Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова, программы курса «Математические модели механики сплошных сред» МФТИ,
программы курса лекций «Математическое моделирование» Алтайского государственного университета.
Составитель программы: __________ д.т.н., доцент Кретинин А.В.
Программа обсуждена на заседании кафедры НГОиТ
Протокол № ___ от «___»________20___ года
Рабочая программа рассмотрена и одобрена методической комиссией авиационного
факультета.
Председатель методической комиссии ______________________ / Кретинин А.В. /
СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ
ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина является базовой среди цикла дисциплин по направлению физикоматематического образования, имеет большое мировоззренческое значение и носит
фундаментальный характер. Содержание данной дисциплины коррелирует с содержанием курса “Математика”, а также математических дисциплин, вводимых вузом за
счет часов, отведенных в Госстандарте на дисциплины национально-регионального
(вузовского) компонента.
В настоящее время моделирование составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки, причем по важности оно приближается к
традиционным экспериментальным и теоретическим методам.
Необходимо отметить, что процесс моделирования требует проведения математических вычислений, которые в подавляющем большинстве случаев являются
весьма сложными. Для разработки программ, позволяющих моделировать тот или
иной процесс, от обучающихся потребуется не только знание предметной области исследований, конкретных языков программирования, но и владение методами вычислительной математики. При изучении данного курса представляется целесообразным
использовать пакеты прикладных программ для математических и научных расчетов,
ориентированных на широкие круги пользователей.
1. Цель и задачи дисциплины
Цель курса - расширить представления студентов о моделировании как методе
научного познания, привить представления о математике как науке об абстрактных понятиях и структурах, моделирующих те или иные стороны реального мира, ознакомить с ис-
пользованием компьютера как средства познания и научно-исследовательской деятельности, сформировать у студента навыки решения задач на ЭВМ. Основные задачи курса - углубление математического образования и развитие практических навыков в области прикладной математики. Студенты должны быть готовы использовать
полученные в этой области знания, как при изучении смежных дисциплин, так и в
профессиональной деятельности, в частности при проектировании, сооружении и эксплуатации газонефтепроводов и газонефтехранилищ.
Дисциплина состоит из элементов теории приближений, рассматривает различные численные методы. Подробно рассмотрены методы построения интерполя-
ционных многочленов, вопросы численного дифференцирования и интегрирования, а
также численного решения дифференциальных уравнений. Освещены вопросы нелинейной оптимизации и рассмотрены основы математического моделирования с использованием искусственных нейронных сетей.
При изучении дисциплины студент закрепляет знания и навыки, полученные
при изучении математических и общепрофессиональных дисциплин и получает знания и навыки, необходимые при изучении специальных дисциплин. Важно, что изучению данной дисциплины предшествовало прохождение студентами таких предметов как: “Математика”, “Информатика”, “Гидравлика'', “Теплотехника”, ''Геология'',
''Механика сплошной среды'', ''Физика пласта'', “Основы технической диагностики”,
т.е. студент имеет представление о тех специфических проблемах, возникающих у
инженеров специальности 130501, при решении которых в настоящее время перспективно применение современных методов математического моделирования.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Курс имеет теоретическую и практическую направленности в равной степени.
При осмысленном изучении дисциплины студент должен:
ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:
- о принципах и методах математического моделирования технических систем;
- о статистических экспериментальных и аналитических моделях;
- о математических моделях на основе дифференциальных уравнений;
- о численных методах в различных научных дисциплинах и вычислительном эксперименте;
- о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в частных производных;
- о компьютерном анализе и оптимизации;
- о нейросетевом моделировании;
- о методах анализа и распознавания образов.
ЗНАТЬ:
- методы математической обработки данных;
- основные типы математических моделей и особенности их применения в различных
областях нефтегазового дела;
- принципы нейросетевого моделирования;
- принципы нелинейной оптимизации
- существующие программные и технические средства математического моделирования.
УМЕТЬ:
- формулировать технические задачи в виде, удобном для их решения математическими методами;
- выбирать наиболее эффективные пути достижения цели – построения адекватной
математической модели исследуемого процесса;
- иметь четкое представление о возможностях и условиях использования математических методов и современной вычислительной техники при ведении проектных и эксплуатационных работ.
Полученные знания и умения должны позволить студенту, после изучения дисциплины, иметь навыки исследовательской работы в области разработки нефтяных и
газовых месторождений, техники и технологии нефте- и газодобычи, подземного хранения газа и выполнения курсовых и дипломных работ и УНИРС.
Кроме лекций предусматриваются практические и лабораторные занятия
3. Объем дисциплины и виды учебной работы
Форма обучения – дневная
Срок обучения – 5 лет
Курс – 4
Вид занятий
Всего часов
8 семестр
Общая трудоемкость
200
Аудиторные занятия
119
Лекции
51
Практические занятия
34
Лабораторные занятия
34
Семинары
Другие виды аудиторных занятий
Самостоятельная работа
81
Подготовка к практическим работам
Реферат
Работа над темами для самостоятельного изучения
34
Подготовка к практическим, семинарским и лабораторным занятиям
34
Выполнение контрольной работы 1
5
Подготовка к контрольным мероприятиям
8
Другие виды самостоятельной работы
Рубежи контроля знаний
Зачет
8 семестр
4. Содержание дисциплины
4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)
№ п/п
1
Раздел дисциплин
Л
ПЗ
ЛР
Технология математического
3
2
22
16
16
26
18
18
моделирования и ее этапы
2
Вычислительные методы в
инженерных расчетах
3
Анализ
и
оптимизация.
Нейросетевое моделирование
4.2. Содержание разделов дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Технология математического моделирования и ее этапы (3 часа)
Лекция 1. Моделирование как метод познания. Важнейшие понятия, связанные
с математическим моделированием
Цели и задачи моделирования. Натурные и абстрактные модели. Моделирование в естественных и технических науках. Абстрактные модели и их классификация.
Понятие «математическая модель». Различные подходы к классификации математических моделей. Характеристики моделируемого явления. Уравнения математической
модели. Внешние и внутренние характеристики математической модели. Замкнутые
математические модели (1 ч.).
Самостоятельное изучение. Информационные модели. Объекты и их связи. Основные структуры в информационном моделировании. Примеры информационных моделей.
Лекция 2. Технология математического моделирования и ее этапы. Примеры математических моделей в естественных и технических науках
Составление модели. Проверка замкнутости модели. Идентификация модели.
Разработка процедуры вычисления внутренних характеристик модели. Численный
эксперимент. Программные средства проведения вычислительного эксперимента. Верификация и эксплуатация модели. Модель нестационарной теплопроводности в
стержне. Пример математической модели гидродинамического процесса. Пример математической модели насосного агрегата (2 ч.).
Самостоятельное изучение. Применение теории размерностей и подобия при
составлении уравнений математической модели.
РАЗДЕЛ 2. Вычислительные методы в инженерных расчетах (22 часа)
Лекция 3. Численные методы. Основы теории погрешностей
Точные и приближенные значения величин, точные и приближенные числа.
Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Верные знаки, связь количества верных знаков и относительной погрешности.
Правила округления и погрешность округления. Оценка погрешностей вычислений,
возникающих в ЭВМ. Источники и составные части вычислительной ошибки. Априорные и апостериорные оценки ошибок в задачах вычислительного эксперимента.
Оценки ошибок численного дифференцирования. Оценки ошибок для решений обыкновенных дифференциальных уравнений (1 ч.).
Самостоятельное изучение. Плотности распределения вероятностей случайных
величин.
Лекция 4. Численные методы решения скалярных уравнений
Отделение корней. Приближенное вычисление корня уравнения с заданной точностью методом половинного деления. Метод простой итерации численного решения
уравнений. Условия сходимости итерационной последовательности. Практические
схемы вычисления приближенного значения корня уравнения с заданной точностью
методом простой итерации. Сходимость и устойчивость численного метода (2 ч.).
Самостоятельное изучение. Теорема Лакса об эквивалентности.
Лекция 5. Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений
Численные методы решения систем алгебраических уравнений. Метод простой
итерации. Метод Зейделя. Метод релаксации. Метод Гаусса. Метод LU-разложения.
Решение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений (4 ч.).
Самостоятельное изучение. Оценка погрешности решения системы линейных
алгебраических уравнений.
Лекция 6. Аппроксимация функций
Метод наименьших квадратов. Аппроксимация функций конечным рядом Фурье (2 ч.)
Самостоятельное изучение. Линейный фильтр
Лекция 7. Интерполирование функций
Графический метод. Линейная интерполяция. Кубические сплайны. Интерполяционный многочлен Лагранжа (2 ч.).
Самостоятельное изучение. Интерполяция Безье.
Лекция 8. Численное дифференцирование
Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности численного
дифференцирования. Численное вычисление первой и второй производной во внутреннем узле таблицы. Численное дифференцирование на ЭВМ (2 ч.).
Самостоятельное изучение. Общий случай численного вычисления производной
произвольного порядка.
Лекция 9. Численное интегрирование
Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла, формула прямоугольников. Формула трапеций. Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Формула Симпсона. Метод Монте–Карло (2 ч.).
Самостоятельное изучение. Численное интегрирование на ЭВМ.
Лекция 10. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка сведением к разностной краевой задаче. Метод сеток (2 ч.).
Самостоятельное изучение. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.
Лекция 11. Численные методы решения систем уравнений в частных производных
Решение дифференциальных уравнений в частных производных с помощью
построения разностных схем. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Явные, неявные разностные схемы. Понятие о решении задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа сведением к системе линейных уравнений с последующим ее решением.
Решение уравнений Навье-Стокса методом маркеров и ячеек (4 ч.).
Самостоятельное изучение. Численное решение дифференциальных уравнений в
частных производных на ЭВМ.
Лекция 12. Примеры приближенных решений интегральных уравнений
Приближенное решение уравнения Фредгольма методом замены интеграла конечной суммой. Интегральные уравнения энергии для потока вязкой сжимаемой жидкости (1 ч.).
Самостоятельное изучение. Интегральное уравнение энергии для турбулентного пограничного слоя на пластине.
РАЗДЕЛ 3. Анализ и оптимизация. Нейросетевое моделирование (26 часов)
Лекция 13. Экспериментальные факторные математические модели
Особенности экспериментальных факторных моделей. Основные принципы
планирования эксперимента. План эксперимента. Регрессионный анализ. Оценка параметров регрессионной модели. Планы экспериментов и их свойства. План однофакторного эксперимента. План полного и дробного факторного эксперимента. Статистический анализ результатов активного эксперимента. Определение коэффициентов
регрессионной модели и проверка их значимости. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной модели. Планы второго порядка. Регрессионный анализ
результатов (6 ч.).
Самостоятельное изучение. План эксперимента на основе равномерных последо-
вательностей чисел (эль-пи-тау алгоритм).
Лекция 14. Нелинейная параметрическая оптимизация
Параметрическая оптимизация в проектировании. Основные параметры и
определения параметрической оптимизации. Определение экстремума аналитической
целевой функции. Постановка задач оптимизации. Критерии оптимизации, формирование целевой функции в многокритериальной задаче оптимизации. Выбор управляемых параметров. Безусловная и условная оптимизация. Метод штрафных функций.
Методы поиска экстремума целевой функции. Метод покоординатного спуска. Мето-
ды случайного поиска. Метод наискорейшего спуска. Определение оптимального шага при многомерном поиске. Метод Ньютона. Метод Левенберга-Маркардта. Аппроксимация градиента целевой функции. Оценка эффективности методов поиска в условиях сложного рельефа поверхности отклика. Метод сопряженных градиентов. Метод
регулярного симплекса. Метод деформируемого многогранника. Метод непрямой оптимизации на основе самоорганизации (8 ч.).
Самостоятельное изучение. Поиск Парето-оптимальных решений при двухкритериальной оптимизации.
Лекция 15. Нейросетевое моделирование
Параллели из биологии. Базовая искусственная модель. Применение нейронных сетей. Сбор данных для нейронной сети. Пре/пост процессирование. Многослойный персептрон (MLP). Обучение многослойного персептрона. Алгоритм обратного
распространения. Переобучение и обобщение. Отбор данных. Как обучается многослойный персептрон. Алгоритмы обучения многослойного персептрона. Радиальная
базисная функция. Обобщенно-регрессионная нейронная сеть. Линейная сеть. Сеть
Кохонена. Построение нейросетевых математических моделей. Универсальный нелинейный аппроксиматор. Построение моделей функционирования технических
устройств. Принципы технической диагностики с использованием нейросетевых
функциональных моделей. Метод взвешенных невязок на базе нейросетевых пробных
функций. Оптимизация нейросетевых математических моделей (12 ч.).
Самостоятельное изучение. Решение задач классификации и распознавания образов с использованием искусственных нейронных сетей.
5. Лабораторный практикум
№
№№ раздела дисциплины
Наименование лабораторной работы
Кол-во
часов
1
2
4
2
2
Освоение пользовательского интерфейса системы
MatLab. Элементарные вычисления.
Визуализация в MatLab.
3
2
Основы программирования в среде MatLab
4
4
2,3
4
5
3
Интерполяция. Линейные, нелинейные уравнения
и системы. Минимизация функций в MatLab.
Освоение пользовательского интерфейса программы нейросетевого моделирования ST Neural
Networks Построение различных типов нейросетевых моделей (многослойный персептрон, ради-
4
4
6
3
7
3
8
3
ально базисная сеть, обобщенно-регрессионная
сеть) в системе ST Neural Networks
Использование различных методов обучения
нейросетевых моделей в среде ST Neural
Networks.
Решение задач аппроксимации с использованием
нейронных сетей
Проведение вычислительного эксперимента. Запуск нейронной сети. Визуализация качества
функционирования нейронной сети
Проведение классификации с использованием
нейронных сетей
4
4
4
6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
6.1. Рекомендуемая литература
а) основная литература:
1. Булыгин Ю.А. Популярные вычислительные методы в инженерных расчетах
// Ю.А. Булыгин, С.Г. Валюхов, М.И. Зайцева, А.В. Кретинин/ Учеб. пособие. – Воронеж, ВГТУ, 2007. 146 с.
б) дополнительная литература:
1. Примеры решения вычислительных задач с использованием искусственных
нейронных сетей / В.Г. Стогней, А.В. Кретинин, Ю.А. Булыгин, А.В. Шостак // Учебное пособие. Воронеж, ВГТУ. 2004. 83 с.
в) методическая литература
1. Булыгин Ю.А., Валюхов С.Г., Кретинин А.В., Гуртовой А.А. Методическое
руководство к выполнению практических заданий по курсу «Основы математического моделирования» // Воронеж, ВГТУ, 2006. № 320-2006. 62 с.
2. Булыгин Ю.А., Валюхов С.Г., Кретинин А.В., Студеникин А.В. Методические указания для выполнения лабораторных работ по курсу «Основы математического моделирования». Ч. 1. // Воронеж, ВГТУ, 2006. № 398-2006. 37 с.
3. Булыгин Ю.А., Валюхов С.Г., Кретинин А.В., Гуртовой А.А. Методические
указания для выполнения лабораторных работ по курсу «Основы математического
моделирования». Ч. 2// Воронеж, ВГТУ, 2006. № 399-2006. 42 с.
6.2. Средства обеспечения освоения дисциплины
Программно-алгоритмическое обеспечение:
1. MatLab
2. IOSO NS Design optimization software
3. STATISTICA NEURAL NETWORKS
* электронные пособия и учебники по разделам курса.
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Специализированная лаборатория экспериментального моделирования рабочих процессов в нефтегазовом оборудовании (ФГУП «Турбонасос»), компьютерный класс кафедры
НГОиТ в ВГТУ и на ФГУП «Турбонасос».
8. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
а) методические рекомендации по организации изучения дисциплины для преподавателя
В соответствии с учебным планом для изучения дисциплины «Основы математического моделирования» на аудиторные занятия отводится 119 часов, из них 51 час
лекций, 34 часа практических и 34 часа лабораторных занятий. Дисциплина изучается
в восьмом семестре. Рубеж контроля знаний – зачет в восьмом семестре. Способами
учебной деятельности являются лекционные, практические и лабораторные занятия.
Лекционный курс позволяет получить общее представление о математическом
моделировании, его практическом применении, выявить связи с другими дисциплинами. Цель лекционного курса - ознакомить студентов с основными положениями и
методологией дисциплины.
Практические занятия предназначены для углубления и закрепления теоретического материала и сведений, полученных на лекциях. Целью практических занятий
является формирование у студентов навыков и умений самостоятельного применения
теоретических сведений и знаний при решении практических задач.
Лабораторные занятия предназначены для ознакомления студентов с компьютерными программами, реализующими методы математического моделирования. Целью лабораторных работ является выработка у студентов умения самостоятельного
решения вычислительных задач. При выполнении лабораторных работ группа делится на две подгруппы.
К зачету по основам математического моделирования допускаются студенты,
выполнившие и защитившие все лабораторные работы. На зачете студент решает одну задачу и отвечает на один теоретический вопрос. Перечень вопросов и тематика
задач сообщаются студентам заранее.
При изучении дисциплины рекомендуется использовать разработанную на кафедре рейтинговую (бальную) систему. Основными задачами применения этой системы являются обеспечение ритмичности работы студентов в течение семестра, кон-
троль их самостоятельной работы, создание условий для глубокого усвоения ими
изучаемой дисциплины. По данной системе итоговая оценка знаний студентов в конце изучения курса проводится по следующим критериям:
- результатам выполнения и защиты в течение семестра лабораторных работ;
- результатам выполнения в течение семестра практических работ;
- результатам письменного ответа на зачете.
По сумме баллов выносится решение о зачете.
При организации изучения дисциплины рекомендуется использовать:
а) в качестве методов обучения:
- программированный контроль с использованием тестовых заданий;
- проблемное обучение при изложении отдельных разделов (например, при
изучении нейросетевого моделирования);
б) в качестве средств обучения:
- демонстрационные плакаты;
- расчетные и контролирующие программы на ПЭВМ;
- компьютерные презентации.
б) Методические рекомендации по организации изучения дисциплины для студентов
В соответствии с учебным планом для изучения дисциплины «Основы математического моделирования» на аудиторные занятия отводится 119 часов, из них 51 час
лекций, 34 часа практических и 34 часа лабораторных занятий. Дисциплина изучается
в восьмом семестре. Рубеж контроля знаний – зачет в восьмом семестре. Способами
учебной деятельности являются лекционные, практические и лабораторные занятия.
Самостоятельная работа является основной в работе студента. Она требует активной мыслительной деятельности и может привести к желаемым результатам лишь
при ее правильной организации. Неумение работать самостоятельно является одной
из основных причин низкой успеваемости.
Самостоятельная работа состоит из следующих модулей:
- работа над темами для самостоятельного изучения;
- подготовка к практическим и лабораторным занятиям;
- подготовка к контрольным мероприятиям;
- подготовка к зачету.
На самостоятельное изучение тем теоретического курса и подготовку к практическим и лабораторным занятиям планируется 4 часа в месяц (см. план-график самостоятельной работы студентов). На подготовку к контрольным мероприятиям предусматривается 13 часов во время зачетной недели.
При самостоятельном изучении теоретического курса, подготовке к практическим занятиям и контрольным мероприятиям рекомендуется руководствоваться учебными пособиями: 1. Булыгин Ю.А. Популярные вычислительные методы в инженерных расчетах // Ю.А. Булыгин, С.Г. Валюхов, М.И. Зайцева, А.В. Кретинин/ Учеб. пособие. – Воронеж, ВГТУ, 2007. 146 с.; 2. Примеры решения вычислительных задач с
использованием искусственных нейронных сетей / В.Г. Стогней, А.В. Кретинин, Ю.А.
Булыгин, А.В. Шостак // Учебное пособие. Воронеж, ВГТУ. 2004. 83 с.
Студентам рекомендуется следующий порядок организации самостоятельной
работы над темами и подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Подземная гидромеханика»:
- ознакомиться с содержанием темы;
- прочитать материал лекций, при этом нужно составить себе общее представление об излагаемых вопросах;
- прочитать параграфы учебника, относящиеся к данной теме;
- перейти к тщательному изучению материала, усвоить теоретические положения и выводы, при этом нужно записывать основные положения темы (формулировки, определения, термины, воспроизводить отдельные схемы и чертежи из учебника и
конспекта лекций);
- закончив изучение темы, решить предложенные преподавателем задачи с целью закрепления теоретического материала и приобретения практических навыков
самостоятельно решения задач;
- нельзя переходить к изучению нового материала, не усвоив предыдущего;
- необходимо помнить, что непременным условием успеха самостоятельной
работы является систематичность и последовательность.
При изучении дисциплины рекомендуется использовать разработанную на кафедре рейтинговую (бальную) систему. Основными задачами применения этой системы являются обеспечение ритмичности работы студентов в течение семестра, кон-
троль их самостоятельной работы, создание условий для глубокого усвоения ими
изучаемой дисциплины.
В результате изучения дисциплины студенты должны
- знать:
- методы математической обработки данных;
- основные типы математических моделей и особенности их применения в различных
областях нефтегазового дела;
- принципы нейросетевого моделирования;
- принципы нелинейной оптимизации
- существующие программные и технические средства математического моделирования.
уметь:
- формулировать технические задачи в виде, удобном для их решения математическими методами;
- выбирать наиболее эффективные пути достижения цели – построения адекватной
математической модели исследуемого процесса;
- иметь четкое представление о возможностях и условиях использования математических методов и современной вычислительной техники при ведении проектных и эксплуатационных работ.
Полученные знания и умения должны позволить студенту, после изучения дисциплины, иметь навыки исследовательской работы в области разработки нефтяных и
газовых месторождений, техники и технологии нефте- и газодобычи, подземного хранения газа и выполнения курсовых и дипломных работ и УНИРС.
9. Рекомендуемый перечень тем практических занятий (по разделам)
№
№ раздела дисциплины
Наименование практического занятия
Кол-во
часов
1
1
Технология математического моделирования и ее
2
этапы. Примеры математических моделей в
естественных и технических науках
2
2
Численные методы. Основы теории погрешностей
1
3
2
Численные методы решения скалярных урав-
1
нений
4
2
Численные методы решения систем линейных
2
и нелинейных уравнений
5
2
Аппроксимация функций.
2
6
2
Интерполирование функций
1
7
2
Численное дифференцирование
1
8
2
Численное интегрирование
1
9
2
Численные методы решения обыкновенных
2
дифференциальных уравнений
10
2
Численные методы решения систем уравне-
4
ний в частных производных
11
2
Примеры приближенных решений интеграль-
1
ных уравнений
12
3
Экспериментальные факторные математические
2
модели
13
3
Параметрическая нелинейная оптимизация
6
14
3
Нейросетевое моделирование
8
10. Рекомендуемый перечень тем семинарских и иных занятий (по разделам)
Не предусмотрены
11. Дополнительный учебно-методический материал
Контрольные вопросы и задачи освоения дисциплины
Теория погрешностей и машинная арифметика.
Вопрос 1. Сформулируйте правила округления приближенных чисел: по дополнению и
усечением.
Вопрос 2. Докажите утверждение об оценке абсолютной погрешности суммы и разности
двух чисел.
Вопрос 3. На основании формулы вычисления погрешности функции многих переменных
сформулируйте правило вычисления абсолютной и относительной погрешностей функции
одной переменной.
Задача 1.
Выполнить округление приближенных чисел и записать результат с учетом верных цифр:
a = - 0.5689176,
a = 0.005
b = 1.386222
b = 0.02
Задача 2.
Высота и радиус основания цилиндра измерены с точностью до 0.5%. Какова относительная погрешность при вычислении объема цилиндра?
Задача 3.
Указать правила оценки абсолютных и относительных погрешностей функций: a x и
xa.
Решение нелинейных уравнений. Методы бисекций, простой итерации, Ньютона.
Вопрос 1. Сформулируйте постановку задачи приближенного решения нелинейного уравнения и основные этапы ее решения.
Вопрос 2. Докажите оценку погрешности метода бисекций.
Вопрос 3. Запишите расчетную формулу метода Ньютона и дайте геометрическую интерпретацию метода.
Вопрос 4. Что такое итерационная функция?
Вопрос 5. Выведете критерий окончания итераций для метода простой итерации из оценки
погрешности.
Вопрос 6. Можно ли найти кратный корень с помощью метода бисекции?
Задача 1. Определить количество корней уравнения и для каждого корня найти отрезки
локализации:
Задача 2.
Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения
с точностью  = 0.3.
Сколько нужно сделать итераций для получения точности  = 0.01?
Задача 3.
Методом простой итерации найти корни уравнения
c точностью  = 0.1
Указание: отрицательный корень найти простым преобразованием уравнения,
а положительный корень найти методом простой итерации с оптимальным выбором итерационного параметра.
Задача 4.
Записать расчетную формулу метода Ньютона и указать критерий окончания итераций для
решения уравнения
Вычислить два первых приближения к корню.
Задача 5.
Указать критерий окончания в методе Ньютона для решения задачи: методом Ньютона
найти корень уравнения с к верными значащими цифрами.
Решение нелинейных уравнений. Обусловленность задачи нахождения корня. Интервал неопределенности.
Вопрос 1. Что такое интервал неопределенности корня.
Вопрос 2. Каков алгоритм поиска корня методом Ньютона.
Задача 1.
Записать расчетные формулы для нахождения корней
.
Задача 2.Найти радиус интервала неопределенности корня уравнения. Предполагается,
что абсолютная погрешность вычисления функции
равна
.
Решение систем линейных уравнений.
Вопрос 1. Сформулируйте определение нормы вектора и запишите формулы для нахождения нормы.
Вопрос 2. Дайте определение нормы матрицы. Какие Вы знаете свойства нормы матрицы?
Вопрос 3. Сформулируйте алгоритм метода Гаусса и запишите формулы для преобразования элементов матрицы на к-ом шаге прямого хода метода.
Вопрос 4. Что такое LU - разложение матрицы?
Задача 1.
Даны 2 вектора x1 = (-3, 2.4, 5.5) и x2 = (-3.1, 2.4, 5.4), являющиеся приближениями к
вектору x = (-3, 2, 5). Какой из векторов является более точным приближением к вектору
x?
Задача 2.
Подсчитать количество арифметических действий в методе Гаусса.
Задача 3.
Найти LU-разложение матрицы
Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами.
Вопрос 1. Что такое прямые и итерационные методы.
Вопрос 2. С какой целью применяют модификацию метода Гаусса - схему с выбором
наибольшего ведущего элемента.
Вопрос 3. Запишите формулы для нахождения решения после приведения системы к виду.
Вопрос 4. Сформулируйте алгоритм метода прогонки.
Задача 1.
Методом Гаусса с выбором главного элемента найти решение системы уравнений:
Задача 2.
Подсчитать количество арифметических действий в методе прогонки.
Решение систем алгебраических уравнений итерационными методами
Вопрос 1. Сформулируйте достаточное условие сходимости методов Якоби и метода Зейделя.
Вопрос 2. Сформулируйте критерий окончания итераций в методе Якоби.
Вопрос 3. Сформулируйте условия сходимости метода простой итерации и метода Зейделя
для случая симметрических положительно определенных матриц.
Вопрос 4. Из каких условий выбирается итерационный параметр в методе простой итерации.
Вопрос 5. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального итерационного параметра в
методе простой итерации.
Задача 1.
Вывести оценку числа итераций, требуемых для достижения заданной точности в методе
Якоби.
Приближение функций. Метод наименьших квадратов.
Вопрос 1. Сформулируйте постановку задачи приближения функции по методу наименьших квадратов.
Вопрос 2. Что такое среднеквадратичное отклонение.
Вопрос 3. Как определить степень приближающего многочлена.
Вопрос 4. Из какого условия выводится нормальная система наименьших квадратов.
Задача 1.
Построить приближение таблично заданной функции по методу наименьших квадратов
многочленами 0-ой, 1-ой и 2-ой степеней.
x
-2
-1
0
1
2
y
9.9
5.1
1.9
1.1
1.9
Построить графики функции и найденных многочленов.
Задача 2.
Функция y=a/x+b задана таблицей своих значений.
x
0.1
0.2
0.5
y
10.22
5.14
2.76
Найти параметры a и b по методу наименьших квадратов Указание. Предварительно свести задачу к линейной, сделав замену: t=1/x. Тогда функция y приближается многочленом 1-ой степени a t+b.
Задача 3.
Вывести нормальную систему уравнений для определения параметров a, b, c функции
g(x)=a sin(x)+b cos(x)+c , осуществляющей среднеквадратичную аппроксимацию таблично заданной функции y(x).
Приближение функций. Интерполяция.
Вопрос 1. Сформулируйте постановку задачи приближения функции по методу интерполяции.
Вопрос 2. Запишите интерполяционный многочлен Лагранжа первой степени.
Вопрос 3. Сформулируйте теорему об оценке погрешности интерполяции.
Задача 1.
Построить интерполяционные многочлены Лагранжа, приближающие табличную функцию:
x
0
2
4
y
3
0
2
Задача 2.
Функция y = sin(x) приближается на отрезке интерполяционным многочленом по значениям в точках 0,
,
. Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке.
Задача 3.
Определить степень многочлена Лагранжа на равномерной сетке, обеспечивающую точность приближения функции
Задача 4.
Пусть в точках
и
на отрезке [0,1] не хуже 0.001.
известны не только значения функции
и
, но и значения про-
изводных
и
. В этом случае узлы называются кратными. Построить интерполяционный многочлен с кратными узлами.
Приближение функций. Сплайны.
Вопрос 1. Объясните разницу между глобальной и кусочно-полиномиальной интерполяцией. Почему на практике чаще используется кусочно-полиномиальная интерполяция.
Вопрос 2. Дайте определение интерполяционного сплайна m-ой степени.
Вопрос 3. Запишите формулу сплайна первой степени.
Задача 1.
Функция y = f(x) задана таблицей своих значений.
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
0.75
1.1
1.35
1.25
1.05
0.8
Предложить способы интерполирования для нахождения значений функции в точках 0.24,
0.5, 0.96.
Задача 2.
Функция y = f(x) задана таблицей своих значений.
x
0
1
2
y
1
4
6
Построить интерполяционный кубический сплайн с граничными условиями
,
.
Задача 3.Проинтерполировать функцию задачи 2 методом кусочно-линейной интерполяции и построить график исходной функции и найденных многочленов
Решение задачи Коши одношаговыми методами.
Вопрос 1. Запишите постановку задачи Коши и сформулируйте теорему существования и
единственности.
Вопрос 2. Запишите расчетную формулу метода Эйлера. Дайте геометрическую интерпретацию метода.
Вопрос 3. Что такое локальная и глобальная погрешности.
Вопрос 4. Сформулируйте правило Рунге для оценки погрешности.
Задача 1.
Найти решение задачи Коши методом Эйлера-Коши:
Задача 2.
Для задачи Коши
,
в точках 1.2 и 1.4.
,
методом Эйлера найти решение в двух последовательных точках 0.2,
0.4 с точностью 0.1. Погрешность оценивать с помощью правила Рунге.
Приложение 4
Календарный план чтения лекций
Номер и краткое название темы
Дата и №№ недель
Трудоемкость
(час)
Лекция № 1. Моделирование как метод позна-
1
1
1
2
1
1
2
2
3
4
4
2
ния. Важнейшие понятия, связанные с математическим моделированием
Лекция № 2. Технология математического моделирования и ее этапы. Примеры математических мо-
делей в естественных и технических науках
Лекция № 3. Численные методы. Основы теории
погрешностей
Лекция № 4. Численные методы решения скалярных уравнений
Лекция № 5. Численные методы решения систем
линейных и нелинейных уравнений
Лекция № 6. Аппроксимация функций.
Лекция № 7. Интерполирование функций
5
2
Лекция № 8. Численное дифференцирование
5
2
Лекция № 9. Численное интегрирование
6
2
Лекция № 10. Численные методы решения
7
2
7-8
4
9
1
9-11
6
11-14
8
14-17
12
обыкновенных дифференциальных уравнений
Лекция № 11. Численные методы решения систем уравнений в частных производных
Лекция № 12. Примеры приближенных решений
интегральных уравнений
Лекция № 13. Экспериментальные факторные математические модели
Лекция № 14. Параметрическая нелинейная оптимизация
Лекция № 15. Нейросетевое моделирование
Приложение 5
План-график самостоятельной работы
№ недели
Вид работы
Норматив
час/задание
1
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
2
3
Трудоемкость
(час)
1
Объем
(кол-во
заданий)
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
2
Всего за
неделю
(час)
4
4
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
работам
13
14
15
16
17
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Подготовка к практическим
работам
Самостоятельное изучение
материала
Подготовка к лабораторным
работам
Выполнение контрольной работы № 1
Подготовка к контрольным
мероприятиям
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
0,5
2
1
1
2
2
0,5
2
1
5
1
5
1
13
8
4
4
4
4
17
Приложение 6
Карта обеспеченности студентов учебной и учебно-методической литературой
Рекомендуемая литература
Количество
Ожидае- Обеспеэкз. в бибченность
лиотеке на Год из- мое чис- на одномомент дания ло обу- го обучающихутверждечающеся
ния прогося
граммы
Основная
1. Булыгин Ю.А. Популярные вычислительные
методы в инженерных расчетах // Ю.А. Булыгин,
С.Г. Валюхов, М.И. Зайцева, А.В. Кретинин/
Учеб. пособие. – Воронеж, ВГТУ, 2007. 146 с.
51
2006
76
0,67
50
2006
76
0,66
45
2006
76
0,59
45
2006
76
0,59
Методическая
1. Булыгин Ю.А., Валюхов С.Г., Кретинин А.В.,
Гуртовой А.А. Методическое руководство к выполнению практических заданий по курсу «Основы математического моделирования» // Воронеж, ВГТУ, 2006. № 320-2006. 62 с.
2. Булыгин Ю.А., Валюхов С.Г., Кретинин А.В.,
Студеникин А.В. Методические указания для
выполнения лабораторных работ по курсу «Основы математического моделирования». Ч. 1. //
Воронеж, ВГТУ, 2006. № 398-2006. 37 с.
3. Булыгин Ю.А., Валюхов С.Г., Кретинин А.В.,
Гуртовой А.А. Методические указания для выполнения лабораторных работ по курсу «Основы
математического моделирования». Ч. 2// Воронеж, ВГТУ, 2006. № 399-2006. 42 с.
Зав. кафедрой
С.Г. Валюхов
Директор библиотеки
Т.И. Буковшина
Приложение 7
«Утверждаю»
Декан авиационного
факультета
______________В.Г.Стогней
«_____»___________20__ г.
Дополнения и изменения к рабочей программе по дисциплине
«Основы математического моделирования»
на 200__/ 200__ учебный год
В рабочую учебную программу вносятся следующие дополнения (изменения):
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Дополнения (изменения) в рабочую учебную программу обсуждены на заседании кафедры НГОиТ
Протокол № ___ от «___»________20___ года
Зав. кафедры НГОиТ ______________/ Валюхов С.Г./
Дополнения (изменения) рассмотрены и одобрены методической комиссией
авиационного факультета.
Председатель методической комиссии ______________ / Кретинин А.В. /