Образец тех-файла \documentstyle[10pt,russian]{article} %\topmargin 0cm % (сдвиг верхней границы для принтера EPS) \textheight 16.2cm \textwidth 11.3cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{corol}{Следствие} \newtheorem{note}{Замечание} \newtheorem{claim}{Утверждение} \newtheorem{pro}{Предложение} \newtheorem{defin}{Определение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \sloppy %\large \begin{center} {\Large \bf О сложности недетерминированных \\ ветвящихся программ}\\ \vspace{3mm} \nopagebreak {\sc Е.А. Окольнишникова (Новосибирск)} \end{center} \nopagebreak \vspace{3mm} \nopagebreak В данной работе улучшены нижние оценки сложности недетерминированных ветвящихся программам, реализующих характеристические функции некоторых кодов Рида--Маллера. Подробное изложение результатов см. [1]. Недетерминированной ветвящейся программой от переменных $x_1,x_2,\ldots,x_n$ называется ориентированный граф без циклов с одной входной вершиной и двумя выходными вершинами, одна их которых помечена нулем, другая - единицей. Из каждой вершины, за исключением выходных, выходит ровно две дуги. Все невыходные вершины при этом делятся на два типа: \\ --- вершины, помеченные переменными из множества $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$; из вершин этого типа выходит одна дуга помеченная единицей, и одна дуга, помеченная нулем; \\ --- недетерминированные вершины, из которых выходит ровно две непомеченные дуги. Функция $f(x_1,\ldots,x_n)$, вычисляемая недетерминированной ветвящейся программой, описывает проводимость между входной и выходной вершиной, помеченной единицей, в зависимости от значений переменных $x_1,\ldots,x_n$. Сложность булевых функций в этом классе схем --- число помеченных вершин --- будем обозначать через ${\rm NBP}(f)$. \begin{theorem}{\rm ([2], теорема 1).\ } Пусть $g(X)$ --- булева функция и $C$ --- константа, $0<C<1$. Пусть для любого подмножества переменных $X_0$, $X_0\subseteq X$ и $|X_0|=\lfloor C n \rfloor$, существует такая подстановка констант из $\alpha $ в $X_0$, что сложность реализации функции ${g\big| }_{X_0=\alpha}(X\setminus X_0)$ недетерминированными ветвящимися $k(n)$-программами не менее чем $n\psi(n)$, где $\psi(n)$ --растущая функция. Тогда сложность реализации функции $g$ недетерминированными ветвящимися программами без ограничений не меньше $\min \{Cnk(n),n\psi(n)\}$. \end{theorem} Рассмотрим всевозможные представления функции $f(Y)$, $|Y|=n$, в виде \begin {equation} f(Y) = \bigvee_j f^j_1 (Y_1^j\cup Y_0^j) \wedge f^j_2 (Y_2^j\cup Y_0^j), \end {equation} где $Y_1^j $, $Y_2^j $, и $Y_0^j $ --- непересекающиеся множества; $Y=Y_1^j\cup Y_2^j\cup Y_0^j $; $|Y_1^j|\ge m_1$; $|Y_2^j|\ge m_2$. Через $A(f;n,m_1,m_2)$ обозначим минимальное число дизъюнктивных членов в представлении (1). Известно 2 подхода к получению высоких нижних оценок сложности ветвящихся $k$-программ. В [3] был применен подход из [2], который позволил сформулировать следующее утверждение \begin{theorem}\hspace{-1.75mm}{\bf.\ } Пусть $f$ --- булева функция, существенно зависящая от $n$ переменных, $n\ge 16$. Сложность ${\rm NBP}k(f)$ реализации булевой функции $f$ недетерминированными ветвящимися $k$-программами удовлетворяет неравенству $$ {\rm NBP}k(f)\ge \max \left\{ n; \frac{1}{8\sqrt{k}} \cdot \left(A(f;n,m_1,m_2)\right)^{1/(4k)} \right\}, $$ где $m_1= \left\lceil n\Big/\left(2(ke)^k\right)\right\rceil$, $m_2= \left\lceil n/(k+1)\right\rceil $. \end{theorem} {\sc Доказательство. } Используя формулу (1) из [4], имеем ... Теорема доказана. Для получения нижних оценок для величины $A(f;n,m_1,m_2)$ рассмотрим следующий способ. Среди всех $i$-мерных граней булева куба размерности $n$ выделим грань, в которой содержится максимальное число единиц функции $f$. Число единиц в этой грани обозначим через $H_i(f)$. Легко доказать следующее утверждение. \begin{lemma}\hspace{-1.75mm}{\bf.\ } Величина $A(f;n,m_1,m_2)$ удовлетворяет неравенству $$ A(f;n,m_1,m_2)\ge \frac{|f^{-1}(1)|}{2^{n-m_1-m_2}H_{m_1}(f)H_{m_2}(f)}. $$ \end{lemma} Исследование поддержано РФФИ (проект~03--01--00634). \vspace{3mm} \begin{center}{\sc Литература} \end{center} \begin{enumerate} \item Дебрев~Е.~В. Тестовые задачи на графах // Материалы XIV Меж\-ду\-на\-род\ной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем" (Нижний Новгород, 27~октября--1~ноября 2003~г.). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского педуниверситета, 2003. С.~27--32. \item Лупанов~О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984. \item Марченков~С.~С. S-классификация функций многозначной логики // Дискретная математика. 1997. Т.~9, вып.~3. С.~125--152. \item Сапоженко~А.~А. Проблема Дедекинда и метод граничных функционалов // Математические вопросы кибернетики. Вып.~9. М.: Наука, 2000. С.~161--220. \item Sutner K. Reduced power automata // Implementation and application of automata. 7-th International conference, CYAA 2002 (Tours. July~3--5, 2002). Berlin: Springer, 2002. P.~194--202 (Lecture Notes in Comput. Sci.; V.~2608). \end{enumerate} \end{document} %%% Никакие сведения, содержащиеся в этом файле, %%% не относятся к каким-либо конкретным лицам %%% или организациям; все возможные совпадения %%% могут носить только случайный характер.