Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методические указания для студентов всех специальностей
вечернего и заочного отделения
Санкт-Петербург
2014
1
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ………………………………….….…………………………….….. 3
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………….………………………………..3
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ………………….………………………….……....4
ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ……………………..4
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ…..…………………………….……………..5
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ…………………..………………….………….5
ЗАДАЧА 1……………..………………………………………………….……………..5
ЗАДАЧА 2……………………………………………………………………………….8
ЗАДАЧА 3……………………………………………………………………………….9
ЗАДАЧА 4……...………………………………………………………………………11
ЗАДАЧА 5...……………………………………………………………………………12
ЗАДАЧА 6…………...…………………………………………………………………15
ЗАДАЧА 7………...……………………………………………………………………18
ЗАДАЧА 8…...…………………………………………………………………………20
ЗАДАЧА 9………………...……………………………………………………………23
ЗАДАЧА 10...…………………………………………………………………………..26
ЗАДАЧА 11……………...……………………………………………………………..30
ЗАДАЧА 12…...………………………………………………………………………..32
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………...……………………………34
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Mетодическое пособие содержит примеры графического решения позиционных и метрических задач с кратким изложением основополагающих аспектов теории начертательной геометрии.
Предлагаемый набор заданий и примеров выполнения предложенных геометрических задач позволит студентам приобрести необходимые навыки и освоить
приемы решения аналогичных задач.
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина "Начертательная геометрия. Инженерная графика" состоит из
двух структурно и методически согласованных разделов: "Начертательная геометрия", "Инженерная графика".
Дисциплина "Начертательная геометрия. Инженерная графика" является
фундаментальной дисциплиной в подготовке дипломированного специалиста широкого профиля. Это одна из основных дисциплин общеинженерного цикла.
Проектирование, изготовление и эксплуатация машин, механизмов, а также
современных зданий и сооружений связано с изображениями: рисунками, эскизами, чертежами. Это ставит перед графическими дисциплинами ряд важных задач.
Они должны обеспечить будущим инженерам знание вопросов общей графической методологии:
 построения и чтения чертежей;
 решения большого числа разнообразных инженерно-геометрических задач,
возникающих в процессе проектирования, конструирования, изготовления и эксплуатации различных технических и других объектов;
Методы начертательной геометрии и инженерной графики необходимы при
проектировании машин, приборов и комплексов, отвечающих современным требованиям точности, эффективности, надежности, экономичности.
Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели
конкретных инженерных изделий. Задача изучения начертательной геометрии
сводится к развитию пространственного представления и воображения, конструктивно-геометрического мышления, способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений, изучению способов конструирования различных
геометрических пространственных объектов (в основном - поверхностей), способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на
этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их зависимостями.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. ортогональные проекции. Метод Монжа. Дополнительные ортогональные проекции на П3.
3
2. Точка. Прямая. Плоскость.
3. Многогранники и кривые поверхности.
4. Позиционные задачи:
- пересечение прямой с плоскостью;
- пересечение двух плоскостей;
- пересечение плоскости с поверхностью;
- пересечение прямой с поверхностью
- пересечение поверхностей.
5. Метрические задачи:
- проецирование прямого угла перпендикуляр к плоскости;
- перпендикуляр к плоскости;
- метод дополнительного ортогонального проецирования
(замены плоскостей проекций);
- расстояние от точки до прямой;
- расстояние от точки до плоскости.
ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Все чертежи выполняются в соответствии с ГОСТ ЕСКД (Единая система
конструкторской документации). Чертежи должны отмечаться выразительностью, аккуратностью и четкостью графического исполнения. Толщина и тип линий принимается в соответствии с ГОСТ 2.303-68. Условия задач, все геометрические построения выполняются с помощью чертежных инструментов, карандашом, вначале тонкими линиями (0,2 мм), а затем линии видимого контура обводятся сплошной линией толщиной 0,6÷1,4 мм, линии
невидимого контура - штриховой 0,3÷0,4 мм.. Надписи и цифры на чертежах выполняются стандартным
шрифтом по ГОСТ ЕСКД 2.304-81. Высота цифр и
букв должна быть не менее 3,5 мм. Рекомендуется
оставлять на чертежах вспомогательные построения.
Контрольная работа выполняется на листах чертежной бумаги формата A4 (210x297)по ГОСТ 2.30168. Поле чертежа ограничивается рамкой. Слева 20 мм
от линии обреза листа, с других трех сторон 5 мм
(Рис.1). Задача 9
выполняется на формате
А3(297х420).
Рис. 1
Вдоль короткой стороны формата располагается основная надпись по форме 2а ГОСТ 2.1004-2006 (Рис .2)
4
Рис. 2
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Выполнению графических работ должно предшествовать изучение учебной
литературы. Необходимо так же изучить символы и обозначения графических
элементов (точек, прямых, плоскостей, поверхностей), применяемые при оформлении чертежей.
Основные обозначения и символы
Обозначение
Содержание
Горизонтальная плоскость проекции
Фронтальная плоскость проекции
Профильная плоскость проекции
x
Ось проекции (ось абсцисс)
y
Ось проекции (ось ординат)
z
Ось проекции (ось аппликат)
A, B, C, D…
Точка в пространстве
1,2,3,4,…
Точка в пространстве
A1, B1, C1, 11, 21 …
Горизонтальные проекции точек
A2, B2, C2,12,22…
Фронтальные проекции точек
A3, B 3, C3, 13, 23, 33…
Профильные проекции точек
a, b, c…
Линии в пространстве
a1, b1, c1…
Горизонтальные проекции линий
a2, b2, c2…
Фронтальные проекции линий
a3, b3, c3…
Профильные проекции линий
5
Плоскости в пространстве
Совпадение
Принадлежность для точки (А а)
Задача 1.В заданной плоскости построить через точку А горизонталь, чeрез
точку В- фронталь.
Горизонталью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и
параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис.3)
Рис.3
Фронтальная проекция горизонтали всегда параллельна оси х
Фронталью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис.4)
6
Рис. 4
Задача 2. Построить фронтальную (горизонтальную) проекцию треугольника
АВС, принадлежащего плоскости  (рис. 5).
Рис. 5
Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой принадлежащей
этой плоскости. В качестве прямых, принадлежащих плоскости, удобно воспользоваться главными линиями плоскости – горизонталью (h) или фронталью (f).
Ход решения
1. Построим фронтальную проекцию B2 . Для этого через горизонтальную
проекцию B1 проведем горизонтальную проекцию фронтали параллельно оси х,
построим ее фронтальную проекцию параллельно f2 и отметим на ней фронтальную проекцию B2.
7
Рис. 6
2. Аналогично строим фронтальную проекцию C2.
3. Построим фронтальную проекцию точки А2. Если горизонтальная проекция точки А1 принадлежит горизонтальной проекции прямой h1, то фронтальная
проекция А2 находится на h2 (рис. 6).
4. Соединим А2В2С2 и получим недостающую фронтальную проекцию треугольника АВС (рис.7).
Рис. 7
Задача 3. Построить линию пересечения плоскостей (рис. 8)
Плоскость ΔАВС частного положения (ΔАВС  π1), плоскость ΔMNK – общего положения
Рис.8
8
Две плоскости пересекаются по прямой. Чтобы построить эту прямую, надо
найти две общие точки для этих плоскостей.
Ход решения
1. Отметим общие горизонтальные проекции Q1 и T1 на пересечении горизонтальных проекций треугольников АВС и MNK (рис.9).
2. Фронтальные проекции Q2 и T2 ищем на линиях проекционной связи в
ΔM2N2K2.
3. Линия пересечения QT определена QT (Q 2T2 и Q1T1).
4. Определим видимость плоских фигур, т.к. плоскости считаются непрозрачными. Видимость горизонтальной проекции фигур определять не надо, т.к.
ΔАВС проецируется в прямую линию, проекция M1N1K1видима. Определим видимость плоских фигур относительно плоскости проекций π2. Для этого рассмотрим
конкурирующие точки 1 и 2, лежащие на скрещивающихся прямых ВС и МK.
Фронтальные проекции 12 и 22 совпадают, а горизонтальная проекция 21 находится перед горизонтальной проекцией 11. Точка 12 не видима относительно плоскости проекций π2. Далее рассуждаем так: точка 2 лежит на ΔАВС, следовательно,
фронтальная проекция ΔА2В2С2 видима на π2 с той стороны, где находятся точки 12
и 22. После фронтальной проекции линии пересечения Q2 и T2 видимость Δ А2В2С2
меняется на противоположную, т.е. он становится невидимым (рис.9).
Рис. 9
Задача 4. Построить линию пересечения плоскостей.(рис.10)
Заданы две плоскости общего положения.
Рис. 10
9
Ход решения
1. Проведем вспомогательную плоскость частного положения, например
плоскость горизонтального уровня α ‫ ׀׀‬π1 (рис.11).
2. Плоскость α пересечет плоскость ,заданную горизонталью h и фронталью
f по горизонтали h*.
3. Плоскость α пересечет плоскость (а∩b) по прямой 2-3.
4. Прямые h* и 2-3 пересекаются в точке M (M1 и M2)
Рис. 11
5. Для построения второй общей точки проведем еще одну вспомогательную
плоскость β ‫ ׀׀‬π1 (рис.12).
6. Плоскость β пересечет плоскость α по горизонтали h’
7. Плоскость β пересечет плоскость (а∩b) по прямой 5-6.
8. Прямые h’ ‘и 5-6 пересекутся в точке N(N1 и N2). Соединяем одноименные
проекции точек М и N получим проекции линии пересечения (М1N1) и (М2N2).
Рис. 12
Задача 6. Построить точку пересечения прямой l с плоскостью . Определить видимость прямой l.
Пример 1. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми h и f
(рис.13).
10
Рис. 13
Ход решения
1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо
через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например фронтально-проецирующую α  π2, l2  α2(рис. 14).
Рис. 14
2. Строим линию пересечения 12 заданной и вспомогательной плоскости
(рис. 15)
Рис. 15
3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения
12.
4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.
Пример 2. Плоскость задана плоской фигурой (рис. 16).
11
Рис. 16
Ход решения
1. Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую α  π1. l1  α1 (рис. 16).
Рис. 16
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей.
М1=А1С1 ∩ α1, М2  А2С2 и N1=В1С1∩ α 1,N2  В2С2 (рис. 17).
3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN.
К2= М2N2∩l2. К1 находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К2 и М'N'.
4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.
Определяем видимость относительно плоскости π2 .Отметим фронтальную
проекцию 1 2совпадающую с 22 Горизонтальную проекцию 21 отметим на А1С1, а
11 на l1. Горизонтальная проекция 11 лежит перед 21, следовательно, фронтальная
проекция 22не видима относительно π2. Точка 1 лежит на прямой l, она видима на
π2, следовательно фронтальная проекция l2 от 12 22 до К2 видима, в точке К2 видимость меняется на противоположную.
Определим видимость прямой l относительно плоскость π1. Отметим горизонтальную проекцию 31 совпадающую с горизонтальной проекцией М1. М2 А2С2
уже отмечена, 32  l2. Фронтальная проекция М лежит выше фронтальной проекции
32, следовательно, точка М видима относительно π1. Точка 3 лежит на l, следовательно от М1 ≡3 1 до К 1, горизонтальная проекция l 1 невидима. В горизонтальной
проекции К 1 видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.
12
Рис. 17
Задача 6.Построить линию пересечения плоскости общего положения с заданной поверхностью.
Пример1.Трехгранная призма (рис.18).
Рис.18
Ход решения
Ребра призмы перпендикуляры горизонтальной плоскости проекций, поэтому
горизонтальные проекции A1,В1,С1 точек встречи ребер призмы с плоскостью совпадают с горизонтальными проекциями вершин основания призмы. Фронтальные
проекции А2,В2,С2 точек А, В, С будут лежать на фронтальных проекциях фронталей плоскости, проведенных через эти точки (рис.19).
Рис. 19
Рис.20
13
Полученные точки соединили с учетом видимости граней призмы (рис.20).
Пример 2. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью общего положения (рис.21).
n2
m2
n1
m1
Рис.21
Прямая круговая цилиндрическая поверхность пересекается плоскостью общего положения. Плоскость задана пересекающимися прямыми m и n. Построить
проекции линии пересечения.
Линией пересечения прямой круговой цилиндрической поверхности плоскостью общего положения является эллипс.
Данная цилиндрическая поверхность является горизонтально-проецирующей,
так как ее образующие перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций.
Следовательно, линия пересечения, как принадлежащая такой поверхности, на горизонтальную плоскость проекций проецируется в виде очерка этой поверхности,
т.е. в виде окружности. На фронтальную плоскость проекций линия пересечения
проецируется в виде эллипса.
Отметим опорные (базовые), обязательные для построения точки, принадлежащие линии пересечения:
 точки, наиболее и наименее удаленные от плоскостей проекций;
 точки перехода от видимой к невидимой части линии пересечения
 Ход решения:
1.В рассматриваемом примере фигурой сечения является эллипс, имеющий
большую и малую ось..
Большая ось принадлежит линии наибольшего ската секущей плоскости, проходящей через ось вращения цилиндрической поверхности и располагающейся
перпендикулярно горизонталям секущей плоскости. Для построения большой оси
необходимо на горизонтальной проекции через центр основания провести прямую
перпендикулярную прямой m, являющейся горизонталью секущей плоскости.
Отметить точки М и N пересечения с очерком цилиндрической поверхности, и
точку 1 с прямой m. Спроецируем точку 1 на фронтальную проекцию прямой m.
Отрезок MN – большая ось эллипса (рис.22)
Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси. Взаимная перпендикулярность между осями сохранится только на горизонтальной проекции, так как малая
ось, являясь горизонталью секущей плоскости, параллельна горизонтальной плоскости проекций, а большая ось, являясь прямой общего положения. Следователь14
но, для построения малой оси нужно на горизонтальной проекции через центр
эллипса провести прямую перпендикулярно отрезку MN и отметить точки А и В
пересечения с очерком цилиндрической поверхности.
Центр эллипса (точка О) на горизонтальной проекции совпадает с центром
основания цилиндрической поверхности. Фронтальная проекция точки О является
точкой пересечения фронтальных проекций большой и малой оси.
.Наиболее и наименее удаленные от горизонтальной плоскости проекций
точки фигуры сечения определяются на фронтальной проекции. Это точки М и N,
принадлежащие большой оси эллипса.
2.Наиболее и наименее удаленные от фронтальной плоскости проекций
точки определяются на горизонтальной проекции. Это точки E и F – точки
пересечения вертикальной оси симметрии с очерком цилиндрической
поверхности. Для построения их фронтальной проекции следует использовать
горизонтали секущей плоскости(рис.23).
.3. Точками перехода от видимой к невидимой части линии пересечения являются точки, принадлежащие очерковым образующим. На горизонтальной проекции им соответствуют точки пересечения очерка цилиндрической поверхности с
горизонтальной осью симметрии – точки C и D. Их перенос на фронтальную проекцию выполняется также с помощью горизонталей секущей плоскости (рис.24).
Для более точного построения проекций линии пересечения следует ввести
дополнительные точки. Целесообразно брать точки, принадлежащие тем же горизонталям, которые были использованы для построения опорных точек.
Соединяем с учетом видимости с помощью лекала полученные точки.
N2
42
32
n2
A2
n2
B2
M2
m2 4
1
O2
B2
A2
C2
G2
n2
C2
E2
M2
52
12
m2 8
1
O2
E2
L2 M2
F1
N1
71
T2
K2
N1
H1
P1
31
O1
A1
21
6
n11
B1
M1
11 m
1
A1
C1
O1
51
D1
B1
M1 E1
m1
Рис.22
D2
B2
m2
F1
N1
n1
R2
P2
A2
62
F2
H2
D2
72
O2
22
N2 S
2
N2
F2
82
Рис .23
15
n1
R1
A1
C1
S1
D1
O1
G1
L1
M1 E
1
m1
Рис.24
B1
T1
K1
Задача 7. Построить линию пересечения поверхности конуса с плоскостью
(рис. 25).
Рис. 25
Задан конус и плоскость частного положения, в данной задаче плоскость
фронтально-проецирующая α  π2. Линия пересечения поверхности конуса с фронтально-проецирующей плоскостью представляет собой эллипс. Эллипс – это лекальная кривая, которая строится минимум по 8 точкам. Фронтальная проекция
эллипса совпадает с фронтальной проекцией плоскости α.
Ход решения
1.
Возьмем ряд точек на α2 и найдем их горизонтальные проекции. Отметим характерные фронтальные проекции A 2 и B 2 , C 2 и D 2. Остальные точки можно выбрать произвольно. Точка лежит на поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности (рис. 26). Горизонтальные проекции A1 и B 1
получим на образующих, совпадающих с осью симметрии.
Рис. 26
Рис.27
16
2. Для получения горизонтальных проекций C 1 и D 1 проведем параллельно
основанию линию, горизонтальная проекция которой является окружностью, и на
ней отметим C1 и D1.
3. Фронтальные проекции M и N выбрали произвольно .Для нахождения горизонтальных проекций M1, N1 проведем линию параллельно основанию, горизонтальная проекция которой является также окружностью.
4. Полученные горизонтальные проекции точек надо соединить плавной
кривой от руки, а затем обвести по лекалу (рис. 27).
Задача 8. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью . Определить видимость прямой.
Пример 1. Конус (рис. 28).
Рис. 28
Ход решения
1. Заключаем прямую l в плоскость частного положения так, чтобы при пересечении конуса с плоскостью была простая линия пересечения – окружность. В
данной задаче
α – горизонтальная плоскость, l2  α2.
(рис.
29).
Рис. 29
Рис.30
2. Строим линию пересечения конуса с плоскостью α. Это окружность радиуса R.
17
3. На пересечении горизонтальной проекции l1 и окружности радиуса R отметим искомые горизонтальные проекции M 1 и N 1. M 2 и N2 отмечаем на l2 .
4. Определяем видимость прямой l. Между получившимися точками M и N
прямая всегда невидима. Горизонтальная проекция прямая l1 видима (невидима
только от M1 до N1). Фронтальная проекция l2 до М2 видима, т.к. точка М лежит на
видимой части конуса относительно π2. Точка N лежит на невидимой части конуса относительно π2, следовательно, фронтальная проекция l2 от N2 до очерковой
образующей невидима. За очертаниями конуса прямая l всегда видима (рис.30 ).2
Пример 2. Гранная поверхность - призма (рис.31 )
Рис. 31
Ход решения
1. Заключаем прямую l во вспомогательную плоскость частного положения.
Линией пересечения плоскости с гранной поверхностью будет ломаная линия. Заключаем прямую l во фронтально-проецирующую плоскость απ2, l2 α2 (рис.
32).
Рис.32
Рис.33
2. Строим линию пересечения плоскости α с призмой. Отметим 12, 22, 32 на
α2.
18
3. Построим горизонтальные проекции 11, 21 и 31 на соответствующих ребрах.
4. Соединяем горизонтальные проекции11-21-31ломаной линией с учетом видимости.
5. На пересечении горизонтальной проекции l1 с горизонтальной проекцией
11-21-31 отметим горизонтальные проекции M1 и N1искомых точек М и N.
6. Построим фронтальные проекции M2 и N2 точек М и N на l2.
7. Определяем видимость прямой l. Между полученными точками M и N
прямая невидима всегда. Горизонтальная проекция l1 невидима между M1N1 и от
M1 до горизонтальной проекции ребра В1, т. к. горизонтальная проекция М1 принадлежит невидимой относительно π1 грани ВС.
На π2: точка М лежит на грани BС видимой относительно π2, следовательно,
М2 видима и фронтальная проекция l2 видима до М2. Точка N принадлежит грани
А C, невидимой относительно π2, следовательно, фронтальная проекция N2 не видима и фронтальная проекция l2 от N2 невидима. За очертаниями призмы прямая l
видима (рис. 33).
Задача 9. Построить три проекции геометрического тела с вырезом. Выполнить задачу 9 на формате А3.
Пример 1. Вырез на конусе (рис. 34).
Рис. 34
19
Вырез произведен двумя плоскостями. Одна проходит через вершину конуса
и рассечет его поверхность по образующим. Вторая плоскость – фронтальнопроецирующая, линия пересечения – часть эллипса, ограниченная прямой принадлежащей линии пересечения плоскостей.
Ход решения
1. Отметим фронтальные проекции характерных точек для построения выреза – А2, В2, С2, M2, N2 (рис. 35).
Рис. 35
Рис. 36
2. Точки D и Е выбраны произвольно для построения эллипса, т.к. линия
среза от А до С N представляет собой часть эллипса.
3. Найдем горизонтальные проекции точек А, В, С, D, Е, N. Точки лежат на
поверхности конуса, а значит, они лежат линиях, принадлежащих поверхности конуса. Горизонтальные проекции точек М и В, D и E найдены на окружностях, принадлежащих поверхности конуса. Точки С и N – на образующих S1 и S2.
4. Соединяем полученные горизонтальные проекции. S1С1 и S1N1 – прямые,
C1, B1, D1, A1, E1, M1, N1 – кривая линия-часть эллипса (рис. 36).
5. Строим профильную проекцию конуса и профильные проекции точек. Соединяем их (рис. 37)
20
Рис. 37
Пример 2. Вырез на цилиндре (рис. 38).
Рис. 38
Вырез произведен тремя плоскостями. Наклонные фронтальнопроецирующие плоскости рассекут цилиндр по части эллипса, ограниченного
прямой. Плоскость, параллельная оси вращения пересекает поверхность цилиндра
по образующим.
Ход решения
1.Отметим на фронтальной проекции выреза фронтальные проекции
A2,F2,G2,K2,L2,P2. Характерные точки D2, E2, M2, N2 – на оси симметрии цилиндра,
21
B2, C2, T2,V2 – отмечены произвольно на линии, принадлежащей поверхности цилиндра. Все точки принадлежат боковой поверхности цилиндра, которая проецируется в окружность на горизонтальной плоскости проекций. Поэтому все горизонтальные проекции точек принадлежат этой окружности (рис. 39).
Рис. 39
2. Найдем профильные проекции всех точек. Затем полученные точки соединяем. Линия GECABDF – часть эллипса, FK и GL – отрезки прямых, GF и KL –
отрезки прямых, LNVPTMK – часть эллипса (рис.40 ).
Рис.40
22
Пример3. Вырез на призме(рис.41)
Рис. 41
23
Пример4.Вырез на пирамиде (рис. 42).
Рис. 42
24
Пример5.Вырез на сфере (рис. 43).
Рис. 43
Задача 10. Построить линию пересечения поверхностей геометрических тел.
Пример 1. Пересечение сферы с цилиндром. Цилиндр занимает фронтальнопроецирующее положение (рис.44 ).
25
Рис. 44
Ход решения
Поскольку цилиндр занимает фронтально проецирующее положение, фронтальные проекция линии пересечения совпадает с фронтальным очерком цилиндра. Остается построить горизонтальную проекцию окружности, принадлежащую
поверхности сферы. Отметим характерные точки - фронтальные проекции точек,
лежащих на экваторе сферы – G2,H2 , F2, P2. Отметим фронтальные проекции M2,
N2, K2, L2, в которых будет меняться видимость линии пересечения. Горизонтальные проекции точек, принадлежащих поверхности сферы находим при помощи
окружностей соответствующего радиуса (рис.45).
Рис. 45
Рис.46
26
2. Соединим полученные точки плавной линией с учетом видимости. Точки,
принадлежащие видимой части поверхности цилиндра относительно горизонтальной плоскости проекций соединяем сплошной линией. В точках М,N,K,L происходит изменение видимости. Определим видимость горизонтальных очерков
цилиндра и сферы (рис. 46).
Пример 2. Пересечение сферы с конусом (рис. 47).
Рис. 47
Обе поверхности общего вида. У этих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, поэтому линия пересечения будет симметрична относительно
этой плоскости. Обе поверхности второго порядка, следовательно, линия их пересечения пространственная кривая четвертого порядка.
Ход решения
1. Отметим характерные точки линии пересечения. Точки А и В лежат на пересечении фронтальных очерков. Точки С и D найдем на пересечении экватора
сферы a и окружности b поверхности конуса, лежащих в одной горизонтальной
плоскости α. Аналогично могут быть найдены и другие точки линии пересечения.
Так точки М и N строим как пересечение окружностей c и d, принадлежащих одной горизонтальной плоскости β (рис.47).
27
Рис. 47
Рис. 48
3. Полученные точки соединяем плавной кривой с учетом видимости. При
установлении видимости следует помнить, что эта линия будет видима, если она
принадлежит как поверхности сферы, так и конуса. Точки А и В отделяют видимую относительно фронтальной плоскости часть линии пересечения (она проходит через точки А, С, М, В) от невидимой. В данной задаче фронтальные проекции
видимой и невидимой части линии пересечения совпадают.
Точки С и D отделяют видимую относительно горизонтальной плоскости
часть линии пересечения от невидимой. Точка А видима относительно горизонтальной плоскости проекций, так как лежит выше экватора сферы. Следовательно
линия, проходящая через точки А, С, D – видима, остальная часть линии невидима.
Определим видимость очерков поверхности конуса и сферы (рис. 48).
Задача 11. Определить расстояния от точки А до прямой l (рис. 49)
Рис. 49
Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка перпендикуляра,
опущенного из точки на прямую.
28
Ход решения
1. На эпюре проекции перпендикуляра к прямой можно построить, если прямая параллельна плоскости проекций. Поэтому сначала строим дополнительную
ортогональную проекцию прямой и точки А на плоскости π4, параллельной прямой
l и перпендикулярной к π1. При этом ось х14 параллельна l1. Для построения дополнительной проекции прямой l на ней отмечены точки 1 и 2 (рис. 50).
2. Проводим дополнительную проекцию А4K4 перпендикуляра (А4K4  l4), а
затем строим горизонтальную проекцию А1К1. Построена также и фронтальная
А2К2 проекция перпендикуляра АК.
Рис. 50
Рис. 51
3. По двум данным проекциям отрезка АК (А1К1 и А4K4) находим его длину,
построив дополнительную ортогональную проекцию отрезка на плоскости π 5, параллельной АК и перпендикулярной к π4 (рис. 51).
Аналогично можно определить расстояние между двумя параллельными
прямыми.
Задача 12. Определить расстояние от точки А до плоскости α(ΔВСD) (рис.52
Рис. 52
29
Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка перпендикуляра,
опущенного из точки на плоскость.
Если плоскость является проецирующей, то перпендикуляр к ней параллелен плоскости проекций и длина проекции его отрезка на этой плоскости проекций равна искомому расстоянию. Исходя из этого построим дополнительную ортогональную проекцию плоскости α и точки А на плоскости π4, перпендикулярной
к плоскости α и к плоскости π1.
Ход решения
1. Плоскость π4 будет перпендикулярна к плоскости α, если она перпендикулярна к горизонтали этой плоскости. При этом ось х14 перпендикулярна к горизонтальной проекции h1 горизонтали h плоскости α. Дополнительной ортогональной проекцией плоскости α на плоскость π4 является прямая B4C4D4 (рис.52 ).
Рис. 52
Рис.53
2. Из точки А4 опускаем перпендикуляр А4 K4 на прямую B4C4D4. Длина отрезка А4K4 равна расстоянию от точки А до плоскости α(ΔBCD) (рис.53 ).
Построим проекции отрезка АК. Горизонтальная проекция А1К1 параллельна оси х14, так как отрезок АК параллелен плоскости π4, и перпендикулярна к горизонтальной проекции h1горизонтали h плоскости α. Фронтальную проекцию К2
точки К строим по двум ее проекциям К1 и K4.
На основании решения рассмотренной задачи можно определить расстояние
между параллельными прямой и плоскостью, между двумя параллельными плоскостями.
30
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука, 2000 – 272с.
2. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 2007 –
224с.
3. Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии. – М.: Высшая
школа, 2001 – 130с.
4. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1983 –
240с.
31